Nemlineáris jelenségek és Kao2kus rendszerek vizsgálata MATHEMATICA segítségével. Előadás: Szerda, 215 Labor: 16-18, Szerda, 215

Átírás

1 Nemlineáris jelenségek és Kao2kus rendszerek vizsgálata MATHEMATICA segítségével Előadás: Szerda, 215 Labor: 16-18, Szerda, 215 Célok: Ismerkedés a kao2kus dinamikával és ennek tanulmányozása. A MATHEMATICA program megismerése, és ennek alkamazása a fizikában. Játék a nemlineáris dinamikus rendszerekkel.

2 A káoszelmélet olyan egyszerű nemlineáris dinamikai rendszerekkel foglalkozik, amelyek viselkedése az őket meghatározó determinisz2kus törvényszerűségek ellenére sem jelezhető hosszú időre előre. Jellemző a kao2kus rendszerekre a kezdőfeltételekre való érzékenység. Lényeges eredmény, hogy az egyszerű, néhány szabadsági fokkal és paraméterrel jellemzex determinisz2kus rendszerek is mutathatnak összetex, megjósolhatatlan viselkedést. A kao2kus rendszerek sok esetben sta2sz2kus módszerekkel írhatóak le. A kao2kus viselkedést mutató rendszerek determinisz2kusak, ellentétben a káosz szó hétköznapi jelentésével, ami totális rendetlenséget sugall. A kao2kus viselkedés nem tévesztendő össze a véletlenszerű, stochasz2kus viselkedéssel. Mi klasszikus mechanikai rendszerekkel fogunk foglalkozni, ezért klasszikus káoszról fogunk tanulni.létezik azonban kvantumkáosz is, nemlineáris kvantummechanikai rendszerekben.

3 Példák: 1. A kexős inga

4 Példák: 2. Mágneses inga

5 Példák 3: Julia és Mandelbrot halmazok z n +1 = z n 2 + C A Julia halmazok a komplex tér azon pontjait tartalmazza amelyekre az iteráció nem megy el a végtelenbe z n +1 = z n 2 + C z 0 = 0 A Mandelbrot halmaz azon C értékeket tartalmazza, amelyekre a Julia halmazok kompaktak. Ha a 0- ból kiindulva nem konvergálunk a végtelenbe akkor a Julia halmaz kompakt marad.

6 A Mathema.ca Sowtver csomag A Mathema2ca egy nagyon széles körben használt matema2kai programcsomag amely anali2kus es numerikus számításokra is képes. A Mathema2ca hatékony, szakterület- specifikus programozási nyelv is egyben, amely számos programozási paradigma emulálására alkalmas. Stephen Wolfram ban kezdex dolgozni a programon, ban bocsátoxa ki az első változatot. A jelenleg aktuális stabil változat az 8.0 [1], amit november 15- én bocsátoxak ki. - Fizetendő szoewer - Ingyenesen elérhető a WEB- en a WolframAlpha amely interpretálni is képes, hogy mit is akarunk.ha nem tudjuk a megfelelő utasításokat - Letölthető egy illegális változat - Egy magas fokú programozási nyelv, amely nagyon komplikált matema2kai számításokra, grafikai vizualizációkra képes. - Elméle2 fizikusoknak egy hihetetlenül fontos és hasznos eszköz. - Gyorsan és egyszerűen nagyon bonyolult számításokat lehet vele végezni - - Nagyon jó segítő (sugó) felülete van.

7 Miért MATHEMATICA- val és nem egy programozási nyelvvel dolgozunk? - Könnyen végezhetők el a számítások egyenletek megoldása..iterálások - Elsőrangú vizualizálási és grafikus lehetőségekkel rendelkezik - A paraméterek hatása nagyon könnyen, és vizuálisan tanulmányozható - Lehetőség nyílik, hogy a fizikai lényegre fokuszáljunk, és ne programálási részletekkel veszítsük az időt - Nagyon sok számunkra hasznos dolog már megvan írva - Egzszerre két dolgot sajáktunk el - Lehetőségünk van egy nagyon jó könyvet követni, és az ox használt notebook- okkal dolgozni hxp://library.wolfram.com/infocenter/books/6881/

8 Hogyan dolgozunk a MATHEMATICA- val Az utasításokat egy notebook felületen adjuk meg. A notebook file kterjesztése:.nb A notebook megmenthető. Az input vagy klikkelve (palexeken keresztül) történik, vagy egyszerűen karakterekkel írva. Mi ezen karakteres input módban fogunk dolgozni.

9 Néhány egyszerű példa

10 Néhány magasabb matema2ka példa

11 További példák Vektorok, mátrixok és determinánsok

12 Néhány speciális transzformáció Im F(s) = 0 e st f (t)dt f (t) = 1 2πi lim T F(w) = + γ +it e st γ it f (x)e i2πxw dx F(s)ds γ Re f (x) = + F(w)e i2πxw dw

13 Grafikus ábrázolások

14 Grafikus ábrázolások

15 Differen2al equa2ons

16

17

18

19 The Manipulate command

20

21

22