Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 1/29. Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE
|
|
- Marcell Molnár
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE Bozóki Sándor BCE, MTA SZTAKI november 4. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 1/29
2 Vázlat Páros összehasonlítás mátrix Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix Sajátérték optimalizálás Ciklikus koordináták Egyváltozós Newton-módszer Többváltozós Newton-módszer Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 2/29
3 Adott n elem a w 1,w 2,w 3,...,w n súlyokkal. A páros összehasonlítás mátrixot a következõképpen értelmezzük: w 1 1 w 1 w w 2 w w n ahol w 2 w w w 3 w 3 w 1. w n w 1 w w w n w w w n, w n w w n w 2 w ij > 0, w ij = 1 w ji, w ij = w ik w kj. minden i, j, k indexre. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 3/29
4 Valós döntési helyzetekben a súlyok ismeretlenek, de páros összehasonlításokat lehet alkotni: 1 a 12 a a 1n a 21 1 a a 2n A = a 31 a a 3n, a n1 a n2 a n ahol a ij > 0, a ij = 1 a ji. minden i,j = 1,...,n-re. A cél, hogy meghatározzuk a súlyvektort: w = (w 1,w 2,...,w n ) R n +. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 4/29
5 A Sajátvektor módszerben (EM) w EM amely w közelítése, így határozzuk meg: Aw EM = λ max w EM, ahol λ max jelöli az A legnagyobb sajátértékét, vagy más néven Perron-sajátértékét, és w EM jelöli az A mátrix λ max -hoz tartozó jobb oldali sajátvektorát Perron tétele szerint, w EM pozitív, és skalár szorzótól eltekintve egyértelmû. A leggyakrabban használt n normalizálás: wi EM = 1. i=1 Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 5/29
6 Saaty a következõ módon definiálta az inkonzisztencia hányadost: CR = λ max n n 1 RI n, ahol λ max a döntéshozó által megadott páros összehasonlítás mátrix Perron sajátértéke, és RI n így adható meg: λ max n n 1, ahol λ max véletlen generált n n-es páros összehasonlítás mátrixok átlagos Perron sajátértéke. Ismert, hogy λ max n és egyenlõ n-el pontosan akkor ha a mátrix konzisztens, azaz a tranzitivitás fennáll. A definícióból következik, hogy CR pozitív lineáris transzformációja λ max -nak. Saaty szerint, CR nagyobb értéke nagyobb mértékû inkonzisztenciát jelez, és a 10%-os szabály (CR 0.10) választja el az elfogadható mátrixokat a nem elfogadhatóaktól. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 6/29
7 Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix ( = páros összehasonlítás mátrix hiányzó elemekkel) A = 1 a a 1n 1/a 12 1 a /a a 3n /a 1n 1/a 3n Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 7/29
8 Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix ( = páros összehasonlítás mátrix hiányzó elemekkel) A = 1 a 12 x 1... a 1n 1/a 12 1 a /x 1 1/a a 3n /a 1n 1/a 3n Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 8/29
9 Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix ( = páros összehasonlítás mátrix hiányzó elemekkel) A = 1 a 12 x 1... a 1n 1/a 12 1 a x d 1/x 1 1/a a 3n /a 1n 1/x d 1/a 3n... 1, Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 9/29
10 Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix ( = páros összehasonlítás mátrix hiányzó elemekkel) A = 1 a 12 x 1... a 1n 1/a 12 1 a x d 1/x 1 1/a a 3n /a 1n 1/x d 1/a 3n... 1, ahol x 1,x 2,...,x d R +. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 10/29
11 A fenti ötlet alapján Shiraishi, Obata és Daigo a következõ módon fogalmazta meg a sajátérték optimalizálási problémát: Egy hiányzó elem esetén, jelölje x, a λ max (A(x)) minimalizálandó: min x>0 λ max(a(x)). Több hiányzó elem esetén, amelyet az x vektorba rendezünk, a cél megoldani: min λ max(a(x)). x>0 Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 11/29
12 Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix gráf reprezentációja Adott A, n n-es nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix. A G = (V,E) gráf a következõ módon van definiálva: V = {1, 2,...,n} E = {e(i,j) a ij (és a ji ) adottak és i j} Spec. eset: ha az összes összehasonlítás adott, a hozzá tartozó gráf K n. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 12/29
13 Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix gráf reprezentációja Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 13/29
14 Tétel (Bozóki, Fülöp, Rónyai, 2010): A min λ max(a(x)). x>0 sajátérték minimalizálási feladat optimális megoldása egyértelmû akkor és csak akkor, ha a nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixhoz tartozó G gráf összefüggõ. Ha a nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixhoz tartozó G gráf összefüggõ, akkor az exponenciális paraméterezést alkalmazva x 1 = e y 1,x 2 = e y 2,...x d = e y d, a sajátérték minimalizálási probléma egy szigorúan konvex optimalizálási feladattá transzformálódik. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 14/29
15 Példa Q = 1 2 x 1/ /x 1/4 1 λ max (Q(x)) és az x = e t exponenciális skálázást használva λ max (Q(e t )) kirajzolva: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 15/29
16 Algoritmusok a sajátérték minimalizációs probléma megoldására min x>0 λ max(a(x)). Ciklikus koordináták a Matlab fminbnd függvényével Ciklikus koordináták az egyváltozós Newton-módszerrel Többváltozós Newton-módszer Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 16/29
17 Ciklikus koordináták módszere M(x) = /3 1/4 1/5 1 x 1 5 x 2 3 x 3 1/7 1/3 1/x 1 1 x 4 3 x 5 6 x 6 1/7 1/5 1/x 4 1 x 7 1/4 x 8 1/8 1/6 1/x 2 1/3 1/x 7 1 x 9 1/5 x 10 1/6 1/3 1/x 5 4 1/x 9 1 x 11 1/6 3 1/x 3 1/6 1/x 8 5 1/x 11 1 x /x 6 8 1/x /x 12 1 Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 17/29
18 Ciklikus koordináták módszere Jelölje x (k) i az x i értékét az iteráció k-ik lépésében, melynek d (a példában d = 12) részlépése van minden k-ra. k = 0-ra: A kezdõérték minden változóra legyen 1: while x (0) i := 1 (i = 1, 2,...,d). max i=1,2,...,d xk i xk 1 i > T x (k) i := arg min λ max (M(x (k) x 1,...,x(k) i i 1,x i,x (k 1) i+1,...,x (k 1) d )), i = 1, 2,...,d next k end while Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 18/29
19 Ciklikus koordináták módszere Tekintsük min x i λ max (M(x (k) 1,...,x(k) i 1,x i,x (k 1) i+1,...,x (k 1) d )) A Matlab fminbnd függvénye ezt közvetlenül és gyorsan megoldja. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 19/29
20 Egyváltozós Newton-módszert is alkalmazhatunk. min x>0 λ max(a(x)) Legyen x = e t and L(t) = λ max (e t ). t n+1 = t n L (t n ) L (t n ) = t n 2 λ max (x) ( x) 2 λ max (x) x e t n + λ max (x) x. Harker alapján, a formális deriváltak, λ max(x) x ismertek. és 2 λ max (x) ( x) 2 Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 20/29
21 Harker formulája az elsõ deriváltra λ max(x) x ( ) λmax (A) i > j = ij ( [y(a) i x(a) j ] [y(a) ) jx(a) i ] [a ij ] 2 ahol x(a),y(a) rendre az A jobb oldali és bal oldali Perron sajátvektora, az y(a) T x(a) = 1 normalizálással. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 21/29
22 Harker formulája a második deriváltra 2 λ max (A) ij kl = (x(a)y(a) T ) li Q + jk + (x(a)y(a)t ) jk Q + li ha i k vagy j l, (x(a)y(a)t ) ki Q + jl + (x(a)y(a)t ) jl Q + ki [a kl ] 2 (x(a)y(a)t ) lj Q + ik + (x(a)y(a)t ) ik Q + lj [a ij ] 2 + (x(a)y(a)t ) kl Q + il + (x(a)y(a)t ) il Q + kj [a ij ] 2 [a kl ] 2 Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 22/29
23 Harker formulája a második deriváltra 2 λ max (A) ij kl = 2(x(A)y(A)T ) ij [a ij ] 3 + 2(x(A)y(A) T ) ji Q + ii 2 (x(a)y(a)t ) ii Q + jj + (x(a)y(a)t ) jj Q + ii [a ij ] 2 +2 (x(a)y(a)t ) ij Q + ij [a ij ] 4 ha i = k és j = l, ahol Q = λ max (A)I A és Q + a Q Moore-Penrose pszeudoinverze. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 23/29
24 Többváltozós Newton-módszer t n+1 = t n [HL(t n )] 1 L(t n ). Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 24/29
25 Az eredmények alkalmazása: A sajátvektor módszer általánosítása a nem teljesen kitöltött esetre CR-inkonzisztenciát lehet számolni a kitöltés alatt, amint egy összefüggõ gráfot kapunk A felhasználó automatikus figyelmeztetést kaphat elírásoknál, amint a CR-inkonzisztenciában történõ nagy ugrással detektálhatunk Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 25/29
26 Kérdések: Hány összehasonlításra van szükség, ha kevesebbre mint n(n 1)/2? A figyelmeztetés küszöbértéke? Más inkonzisztencia indexek Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 26/29
27 Hivatkozások 1/2 Ábele-Nagy, K. [2010]: Incomplete pairwise comparison matrices in multi-attribute decision making, Master s Thesis, Eötvös Loránd University. Bozóki, S., Fülöp, J., Rónyai, L. [2010]: On optimal completions of incomplete pairwise comparison matrices, Mathematical and Computer Modelling, 52, pp Harker, P.T. [1987]: Incomplete pairwise comparisons in the analytic hierarchy process. Mathematical Modelling, 9(11), pp Harker, P.T. [1987]: Derivatives of the Perron root of a positive reciprocal matrix: with application to the Analytic Hierarchy Process. Applied Mathematics and Computation, 22, pp Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 27/29
28 Hivatkozások 2/2 Saaty, T.L. [1977]: A scaling method for priorities in hierarchical structures, Journal of Mathematical Psychology, 15, pp Saaty, T.L. [1980]: The analytic hierarchy process, McGraw-Hill, New York. Shiraishi, S., Obata, T., Daigo, M. [1998]: Properties of a positive reciprocal matrix and their application to AHP. Journal of the Operations Research Society of Japan, 41(3), pp Shiraishi, S., Obata, T. [2002]: On a maximization problem arising from a positive reciprocal matrix in AHP. Bulletin of Informatics and Cybernetics, 34(2), pp Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 28/29
29 Köszönöm a figyelmet. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 29/29
Páros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása
Páros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása Bozóki Sándor 1,2, Fülöp János 1,3 1 MTA SZTAKI; 2 Budapesti Corvinus Egyetem 3 Óbudai Egyetem XXXI. Magyar Operációkutatási Konferencia
RészletesebbenBozóki Sándor. MTA SZTAKI, Budapesti Corvinus Egyetem. Vitaliy Tsyganok
A feszítőfákból számolt súlyvektorok mértani közepének optimalitása a logaritmikus legkisebb négyzetes célfüggvényre nézve Bozóki Sándor MTA SZTAKI, Budapesti Corvinus Egyetem Vitaliy Tsyganok Laboratory
RészletesebbenPáros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata p. 1/20
Páros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata Bozóki Sándor 1,2, Dezső Linda 3,4, Poesz Attila 2, Temesi József 2 1 MTA SZTAKI; 2 Budapesti Corvinus Egyetem 3 Szegedi Tudományegyetem 4 Budapesti
RészletesebbenNéhány elemmel konzisztenssé tehető páros összehasonlítás mátrixok
Néhány elemmel konzisztenssé tehető páros összehasonlítás mátrixok Poesz Attila BCE Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék 2010. április 1. Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 1 / 28
RészletesebbenNem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok a többszempontú döntésekben
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok a többszempontú döntésekben Diplomamunka Írta: Ábele-Nagy Kristóf Alkalmazott matematikus szak Témavezet : Kovács Gergely, f iskolai docens Operációkutatási
Részletesebben5. Analytic Hierarchy Process (AHP)
5 Analytic Hierarchy Process (AHP) (ld Temesi J: A döntéselmélet alapjai, 120-128) (Rapcsák T: Többszempontú döntési problémák I ld http://wwwoplabsztakihu/tanszek/download/ ITobbsz-dont-modszpdf) 51 Bevezetés
Részletesebben5. Analytic Hierarchy Process (AHP)
5 Analytic Hierarchy Process (AHP) (ld Temesi J: A döntéselmélet alapjai, 120-128) (Rapcsák T: Többszempontú döntési problémák I ld http://wwwoplabsztakihu/tanszek/download/ ITobbsz-dont-modszpdf) 51 Bevezetés
RészletesebbenAnalitikus hierarchia eljárás. Módszertani alapok, algoritmus és számpélda
Analitikus hierarchia eljárás Módszertani alapok, algoritmus és számpélda Készítette: Dr. Kiss Ferenc 2009. Tartalom Az Analitikus Hierarchia eljárás...3 Alapelvek és a szempontrendszer kialakítása...
RészletesebbenÚj eredmények a nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok témájában (2. rész)
Új eredmények a nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok témájában (2. rész) A módszertan alkalmazása a 2010-es sakkolimpia eredményeire Csató László laszlo.csato@uni-corvinus.hu Budapesti
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenPáros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata. Bozóki Sándor
Páros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata Bozóki Sándor MTA SZTAKI Operációkutatás és Döntési Rendszerek Kutatócsoport Budapesti Corvinus Egyetem Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék
RészletesebbenPrincipal Component Analysis
Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
RészletesebbenDöntéselőkészítés. XII. előadás. Döntéselőkészítés
XII. előadás Többszempontú döntések elmélete MAUT (Multi Attribute Utility Theory ) A többszempontú döntési feladatok megoldásának lépései: A döntési feladat felépítése: a) a cél megfogalmazása, b) az
RészletesebbenKvadratikus alakok gyakorlás.
Kvadratikus alakok gakorlás Kúpszeletek: Adott eg kvadratikus alak a következő formában: ax 2 + 2bx + c 2 + k 1 x + k 2 + d = 0, a, b, c, k 1, k 2, d R (1) Ezt felírhatjuk a x T A x + K x + d = 0 alakban,
RészletesebbenMátrixhatvány-vektor szorzatok hatékony számítása
Mátrixhatvány-vektor szorzatok hatékony számítása Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék & ELTE-MTA NumNet Kutatócsoport munkatárs: Szekeres Béla János Alkalmazott Analízis
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenProblémás regressziók
Universitas Eotvos Nominata 74 203-4 - II Problémás regressziók A közönséges (OLS) és a súlyozott (WLS) legkisebb négyzetes lineáris regresszió egy p- változós lineáris egyenletrendszer megoldása. Az egyenletrendszer
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebbenw w = kifejezés, egyrészt torzítatlan becslése az várható értéknek, másrészt szórásnégyzete 1/n 2 nagyságrendő:
Válasz Bakó András bírálatára Köszönöm Bakó Andrásnak a Közlekedéstudomány Doktorának rendkívül alapos opponensi munkáját az értekezés téziseinek további fejlesztését szolgáló észrevételeit megjegyzéseit
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
Részletesebben10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
Részletesebben4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenOpkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
Részletesebben1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
RészletesebbenBudapesti Corvinus Egyetem. Közgazdaságtani Ph.D. Program
Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtani Ph.D. Program SÚLYOZÁS PÁROS ÖSSZEHASONLÍTÁSSAL ÉS ÉRTÉKELÉS HASZNOSSÁGI FÜGGVÉNYEKKEL A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI FELADATOKBAN Ph.D. értekezés tézisgyűjtemény Bozóki
RészletesebbenSzemidenit optimalizálás és az S-lemma
Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Pólik Imre SAS Institute, USA BME Optimalizálás szeminárium 2011. október 6. Outline 1 Egyenl tlenségrendszerek megoldhatósága 2 Az S-lemma 3 Szemidenit kapcsolatok
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenGPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenMátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
RészletesebbenTöbbszempontú döntési módszerek, modellek Dr. Stettner Eleonóra
Kaposvári Egyetem Gazdaságtudományi Kar Kari Tudományos Diákköri Tanács TDK módszertani kurzus 3. alkalom Többszempontú döntési módszerek, modellek Dr. Stettner Eleonóra 2016. április 4. A kurzus a Nemzeti
RészletesebbenNem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása Szakdolgozat Írta: Ábele-Nagy Kristóf Közgazdasági elemz mesterszak Témavezet : Bozóki Sándor, egyetemi adjunktus Operációkutatás és Aktuáriustudományok
RészletesebbenOpponensi vélemény. Farkas András. Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával
Opponensi vélemény Farkas András Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával 1. Disszertáció felépítése c. akadémiai doktori értekezéséről Az angol
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenA logaritmikus legkisebb négyzetek módszerének karakterizációi
A logaritmikus legkisebb négyzetek módszerének karakterizációi Csató László laszlo.csato@uni-corvinus.hu MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutatóintézet (MTA SZTAKI) Operációkutatás és Döntési Rendszerek
Részletesebben1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenA KLT (Kanade Lucas Tomasi) Feature Tracker Működése (jellegzetes pontok választása és követése)
A KL (Kanade Lucas omasi) Feature racker Működése (jellegzetes pontok választása és követése) Készítette: Hajder Levente 008.11.18. 1. Feladat A rendelkezésre álló videó egy adott képkockájából minél több
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenMádi-Nagy Gergely * A feladat pontos leírása. Tekintsünk darab tetszõleges eseményt, jelöljük ezeket a következõképpen: ,...,
Mádi-Nagy Gergely * AZ ESEMÉNYEK UNIÓJÁNAK VALÓSZÍNÛSÉGE BECSLÉS A TÖBBVÁLTOZÓS DISZKRÉT MOMENTUM PROBLÉMA SEGÍTSÉGÉVEL Az események uniója valószínûsége becslésére szolgáló elsõ fontos eredmények a Boole-
RészletesebbenIndexszámítási módszerek; Simpson-paradoxon
Indexszámítási módszerek; Simpson-paradoxon Vida Balázs 2018. március 7. Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 1 / 22 Bevezetés Mir l lesz szó? 1 Index(szám) fogalma, példák 2 Érték-, ár- és volumenindexek
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK
NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 04. január 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el!
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenBevezetés a görbe vonalú geometriába
Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenBozóki Sándor február 16. Érzékenységvizsgálat a Promethee módszertanban p. 1/18
Érzékenységvizsgálat a Promethee módszertanban Bozóki Sándor 2011. február 16. Érzékenységvizsgálat a Promethee módszertanban p. 1/18 Vázlat PROMETHEE Parciális érzékenységvizsgálat egy szempontsúly változhat
RészletesebbenEgy energiapiaci kombinatorikus aukció hálózati korlátozásokkal
Egy energiapiaci kombinatorikus aukció hálózati korlátozásokkal Csercsik Dávid MTA KRTK, PPKE ITK e-mail: csercsik@itk.ppke.hu MTA KRTK KTI 2015 Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 1 / 14 Motiváció
RészletesebbenTársadalmi és gazdasági hálózatok modellezése
Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése 2. el adás A hálózatkutatás néhány fontos fogalma El adó: London András 2015. szeptember 15. Átmér l ij a legrövidebb út a hálózatban i és j pont között =
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenNem-lineáris programozási feladatok
Nem-lineáris programozási feladatok S - lehetséges halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 1 Elég egyszerű példa: nemlineáris célfüggvény + lineáris feltételek Lehetséges halmaz x 1 *x 2 =6.75 Gradiens
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
Részletesebben11. Előadás. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2011. április 27. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás Múlt héten nem szerepeltek
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
RészletesebbenDöntési módszerek és alternatív sakkeredmények
Döntési módszerek és alternatív sakkeredmények Csató László Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék 2011. október 14. Összefoglaló A tanulmány
RészletesebbenAlap fatranszformátorok II
Alap fatranszformátorok II Vágvölgyi Sándor Fülöp Zoltán és Vágvölgyi Sándor [2, 3] közös eredményeit ismertetjük. Fogalmak, jelölések A Σ feletti alaptermek TA = (T Σ, Σ) Σ algebráját tekintjük. Minden
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
RészletesebbenP 2 P 1. 4.1 ábra Az f(x) függvény globális minimuma (P 1 ) és egy lokális minimuma (P 2 ).
Paláncz Béla - Numerikus Módszerek - 211-4. Optimalizálás 4 Optimalizálás Bevezetés Az optimalizáció, egy függvény szélsőértéke helyének meghatározása, talán a legfontosabb numerikus eljárások közé tartozik.
RészletesebbenOptimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben
Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenLosonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar
Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
RészletesebbenAlgoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,
RészletesebbenAz elméleti fizika alapjai házi feladat
Az elméleti fizika alapjai házi feladat A jellel ellátott feladatok opcionálisak és plusz pontot érnek. A határidőn túl leadott házi feladatok is pontot érnek, még ha kevesebbet is. Pl. az 1. házi feladat
Részletesebben