Bevezete s a ha ló zatók vila ga ba

Átírás

1 Bevezete s a ha ló zatók vila ga ba Bevezetés Kezdjük egy játékkal! Képzeletünkben kalandozzunk el és válasszunk egy tetszőleges országot a világon, annak tetszőleges települését és egy ott élő tetszőleges embert. Bizonyítható, hogy köztünk és a között az ember között fellelhető ismeretségi kapcsolat, e kapcsolat pedig elérhető összesen hat lépésben. Ezen érdekes felfedezés először Karinthy Frigyestől származik 1929-ből. Álljon itt Karinthy idézete: A nehezebb feladatot: egy szögecselő munkást a Ford-művek műhelyéből, ezek után magam vállaltam, és négy láncszemmel szerencsésen meg is oldottam. A munkás ismeri műhelyfőnökét, műhelyfőnöke magát Fordot, Ford jóban van a Hearst-lapok vezérigazgatójával, a Hearst-lapok vezérigazgatójával tavaly alaposan összeismerkedett Pásztor Árpád úr, aki nekem nemcsak ismerősöm, de tudtommal kitűnő barátom csak egy szavamba kerül, hogy sürgönyözzön a vezérigazgatónak, hogy szóljon Fordnak, hogy Ford szóljon a műhelyfőnöknek, hogy az a szögecselő munkás sürgősen szögecseljen nekem össze egy autót, éppen szükségem lenne rá. Karinthy Frigyes: Láncszemek (1929) Egy néhány száz, vagy akár milliárd emberből álló rendszer viselkedésének vizsgálatakor szükség van a rendszer kapcsolatainak hálózatos diagramjára. A 21. század nagy vívmánya, az internet megjelenésével lehetősége nyílt az emberiségnek e kapcsolatok feltárására és elemzésére. Az elmúlt évek/évtizedek nagyfokú érdeklődése a hálózatok jelentősége iránt vitathatatlan. Nemcsak a szociológia tudománya hangsúlyozza ennek elkerülhetetlen hatását, hanem a közgazdaságtanban is egyre nagyobb figyelmet kap. Amennyiben gazdasági elemzéseket végzünk, manapság már elengedhetetlen, hogy a vizsgálandó egyének közötti interakciókat figyelembe vegyük. A manapság már közhellyé vált gyorsuló világ kifejezés ez esetben megállja a helyét: ugyanazon időegység alatt létrejövő interakciók száma drasztikusan megnőtt. A hálózat fogalma hallatán az embernek valamiféle kapcsolódási pontokból és kapcsolatrendszerből álló káosz jut először eszébe. Ez nem is áll teljesen messze a valóságtól. A hálózat nem más, mint egyfajta rendszer. Egy olyan rendszer, amely elemekből és az elemek között lévő interakciókból áll. A 20. század hatalmas felfedezése volt, hogy a különböző, hálózatba rendeződött struktúrák szerte a világon nagyfokú hasonlóságot mutatnak: az út- és közlekedési hálózatok, társadalmi kapcsolathálók, gazdasági (piaci) hálózatok, sejtek hálózatai (pl. neuronok) vagy akár a sejten

2 belüli alkotóelemek (fehérjék) hálózatai. Barabási Albert-László és munkatársai hozták azon felfedezést, hogy egymástól meglehetősen különböző területeken felbukkanó hálózatok azonos szereveződési mintákat mutatnak. Ha meg akarunk érteni egy komplex rendszert, ismernünk kell annak kapcsolási rajzát, ehhez nyújtanak segítséget a gráfok, mint a hálózatok matematikai váza. A hálózat felöleli egy rendszer alkotóelemeit (pontok, vagy csúcsok), és a közöttük lévő kapcsolatokat (élek). Ezzel közös nyelv használható jó néhány egymástól eltérő természetű, megjelenésű vagy alkalmazhatóságú rendszer tanulmányozásához. A következő ábrán látható hálózatok egymástól teljesen eltérő elemeket és kapcsolatokat reprezentálnak. Egy valami mégis közös bennük: a struktúrájuk. Mindegyik hálózat matematikai váza ugyanolyan. Példa (a) útválasztók (routerek, speciális számítógépek), (b) hollywoodi színészek kapcsolatai (ha szerepeltek közös filmben, össze vannak kötve a színészek), (c) fehérje-fehérje kölcsönhatási hálózat (akkor vannak összekötve, ha a sejten belül két fehérje összekapcsolódik) a gráf ugyanaz, 4 csomópont (N) és 4 kapcsolat (L). Forrás: Barabási (2016). Amennyiben egy hálózatot vizsgálunk strukturális szempontból, a hálózatot azonosítjuk a neki megfelelő gráffal. Erre két okból van szükség: az egyik, hogy szemléltetni lehessen a struktúrát, a másik pedig, hogy vizsgálni lehessen a hálózatot. A hálózat és a gráf kifejezések szinonímaként használhatóak. Ehhez segítségül hívhatóak azok a matematikai tételek, definíciók, illetve összefüggések, amelyeket a gráfelmélettel foglalkozó matematikusok alkalmaznak. Ezek közül tekintsük a legfontosabbakat:

3 A gráfelméleti bevezetők legnépszerűbb példája Leonhard Eulerhez és egy porosz városkához, Königsberghez kapcsolódik. Königsbergben (a mai nevén Kalinyingrádban) az 1700-as évek elején 7 híd ívelt át a Prégel folyón, amelyek különböző városrészeket kötöttek össze. A legenda szerint a város elitje vasárnaponként arra tett kísérletet, hogy úgy sétáljon át mind a 7 hídon, hogy minden hídon csak egyszer menjen át és visszatérjen a kiindulópontba. Mivel a problémát nem sikerült megoldaniuk, a neves matematikushoz, Leonhard Eulerhez fordultak. Euler ekkor alkotta meg az első gráfot, amelynek pontjai a szigetek, illetve városrészek, élei a hidak voltak ábra Korabeli térkép Königsberg városáról, az 1700-as évek elejéről (feketével kiemelve a hidak), valamint a térkép alapján készített gráf. Forrás: térkép: gráf: saját készítés Tekintsünk két halmazt. Az egyik halmaz, N, elemei legyenek pontok, csúcsok a csúcsokat jelöljük n i -vel,, azaz { }. Tegyük fel, hogy N halmaz nemüres. A másik halmaz, L, elemei legyenek élek jelölésük legyen, azaz { }. Ebben az esetben a gráf egy rendezett pár, amely a összefüggéssel azonosítható, azaz egy gráf pontokat és közöttük futó éleket tartalmaz. A fokszám a pont és a hálózat többi csúcsa közötti kapcsolatok száma, jele. Egy irányítatlan hálózatban az összes kapcsolat (él) száma (L) kiszámítható a pontok fokszámának összegéből Tekintsük a következő gráfot: 1 Euler 1736-ban bebizonyította, hogy lehetetlen úgy átsétálni a hidakon, hogy minden hídon csak egyszer haladjanak át és visszatérjenek a kiindulási pontba. A problémáról bővebben, illetve a bizonyításról részletes információ található Katona-Recski-Szabó (2006) könyvének oldalán.

4 A fenti esetben a gráfnak 4 csúcsa, 4 éle van, a fokszámok rendre 2,3,2,1. A hálózati vizsgálatok során a fokszámeloszlás fogalma nagy jelentőséggel bír. A fokszámeloszlás annak a valószínűségét adja meg, hogy a hálózatban egy véletlenszerűen kiválasztott pontnak éppen k legyen a fokszáma. Mivel -k valószínűségek és a gráf minden pontjához tartozik egy ilyen valószínűség, összegüknek 1-nek kell lennie. Tekintsük a következő ábra a. részében található gráfot. Az ehhez tartozó fokszámeloszlást mutatja a mellette lévő ábra: Látható, hogy a gráf 4 csúcsához összesen 4 él tartozik. 1 fokszámú csúcsból 1 darab, 2 fokszámú csúcsból 2 darab és 3 fokszámú csúcsból 1 db van. A fokszámeloszlást mutató diagramról leolvashatjuk, hogy a fenti adatok tükrében egy tetszőlegesen kiválasztott csúcs a gráfban 25%-os valószínűséggel 1 fokszámú, 50%-os valószínűséggel 2 fokszámú és 25%-os valószínűséggel 3 a fokszáma. A következő gráf tulajdonsága, hogy minden pont foka 2. Ennek megfelelően, annak valószínűsége, hogy egy tetszőlegesen kiválasztott csúcs fokszáma 2, 100%. Minden más fokszám előfordulásának valószínűsége pedig 0.

5 Súlyozott gráfról akkor beszélhetünk, ha az élekhez számértékeket rendelünk. Irányított az a gráf, amelyben az éleknek iránya is van. A hálózatok (gráfok) tárolásának egyik legpraktikusabb módja a szomszédsági mátrix. Ez egy olyan mátrix, amelynek sorai és oszlopai a gráf csúcsait reprezentálják, elemei azt mutatják meg, hogy a megadott csúcsok között fut-e él, vagy sem. Az irányítatlan hálózat szomszédsági mátrixában minden él kétszer szerepel,. Az ábra első gráfja irányítatlan, második irányított. A gráfok alatt megtalálhatóak a hozzájuk tartozó szomszédsági mátrixok. Az i-edik pont fokszáma megkapható a szomszédsági mátrix elemeiből: Irányítatlan esetben: egy pont fokszáma a hozzá tartozó sor vagy oszlop elemeinek összege, azaz Irányított hálózatban a megfelelő sor- és oszlopösszeg adja a be- és ki-fokszámot, azaz A fizikai rendszerek elemeinek kapcsolatában nagy szerepe van a fizikai távolságnak, a hálózatokban a távolság fogalma viszont már nem ilyen egyszerű. Gondoljunk csak bele, hogyan értelmezhető két weboldal távolsága? Vagy két, egymást nem ismerő ember távolsága? A hálózatokban a modellezés során a fizikai távolságot az út hosszával helyettesítjük; az út a hálózat élei révén egymás után kapcsolódó, egymástól különböző hálózati pontokból áll. Minden út n pontból és (n-1) élből áll. Az út hossza az utat alkotó élek számával egyezik meg. A következő példában az útnak 4 a hossza.

6 A legrövidebb út nem más, mint két pont között a legrövidebb útnak a hossza. Természetesen több ilyen legrövidebb út is létezhet. A következő példában az vizsgáljuk az 1-es és a 4-es pont közötti utakat. A kékkel jelölt útnak és a narancs színnel jelölt útnak is 3 a hossza. Az alapfogalmak után a továbbiakban a gazdaságban releváns hálózatok ismertetésére kerül sor. Hálózatok a gazdaságban Maga a hálózat fogalma kellően összetett, mégis érezni a különféle megfogalmazások egységességét. Ugyanez a tulajdonság jellemzi a gazdasági hálózatot ( economic network ) is. A gazdasági hálózatra nincsen egységes definíció, általában csak tényként kezelik azt, összpontosítva azokra az interakciókra, amelyek az adott vizsgálatokkal kapcsolatosak. A gazdasági hálózat egyik legáltalánosabb definíciója a következő: A gazdasági hálózat minta a vállalatok és intézmények közötti kapcsolatokról. Az itt fellelhető kölcsönhatások mintái kódolják azokat a kapcsolatokat, amelyek reprezentálják a hálózatot (Kogut, 2000). A gazdasági hálózatok azonosítása után célszerű azokat elhelyezni a valóságban megfigyelhető hálózatok között. Newman (2003) szerint a valóságban megfigyelhető hálózatok négy csoportba sorolhatóak: szociális hálózatok (például baráti kapcsolatok hálózata, vállalatok közötti együttműködési hálózat), információs hálózatok (ide tartoznak például a hivatkozások tudományos művek között, a World Wide Web), technológiai hálózatok (például villamosenergia-hálózat), biológiai hálózatok (például a genetikai szabályozási hálózat). Newmann elmélete szerint egy, a valóságban megfigyelt, vagy generált hálózat besorolható a fenti csoportok valamelyikébe. Természetesen a csoportok között nem éles határok húzódnak,

7 lehetnek átfedések közöttük. A szociális hálózatok tartalmazzák a társadalmi hálózatokat, amelyeket elsősorban az ismeretség, a másik egyénről rendelkezésre álló információ tart egyben. Az információs hálózatok csoportjába olyan hálózatok tartoznak, amelyek csomópontjai olyan egyéneket vagy egységeket reprezentálnak, amelyek a kapcsolataik révén különféle információkat osztanak meg egymással. A technológiai hálózatok olyan fizikai megjelenési formával rendelkező hálózatok, ahol a műszaki tudományok szükségesek a hálózat kiépítéséhez és fenntartásához. Ezen hálózatok mentén materiális és nem-materiális jószágok is áramolhatnak. A biológiai hálózatok olyan élettani és természeti folyamatokat reprezentálnak, ahol az alkotóelemek közötti kölcsönhatásokat reprezentáló élek vagy a rendszer életben tartásához elengedhetetlenek, vagy olyan közvetítő szerepet töltenek be, amelyeken keresztül különféle anyagok áramolhatnak. Minden, élettel összeegyeztethető, a természetben előforduló hálózat ebbe a csoportba tartozik. A fenti megközelítést figyelembe véve felmerül a kérdés, hogy a közgazdaságtanban megfigyelhető hálózatok hová tartozhatnak? Létezik-e egyértelműen meghatározható csoportosítás erre vonatkozóan? A gazdasági hálózatokat két csoportba sorolhatjuk (Jackson, 2011): az első a klasszikus értelemben vett hálózat, a második a társadalmi hálózatok. A klasszikus értelemben vett hálózat esetében a csomópontok és élek gazdasági folyamatokat reprezentálnak, mint például eladó-vevő hálózat, telekommunikációs hálózat, ellátási láncok, stb. A társadalmi hálózatok hatással vannak a gazdasági folyamatokra, azaz egy adott szituációban legyen például egy fogyasztói döntés fontos, hogy mekkora mértékű befolyásoló erővel bírnak az egyes szereplők, vagy intézmények társadalmi hálózatának strukturális jellemzői. De hol van itt a játszma? A következő alkalommal fény derül rá.

8 Felhasznált irodalom: 1. Barabási Albert-László (2016): A hálózatok tudománya. Libri, Budapest 2. Karinthy Frigyes (1929): Minden másképpen van (Ötvenkét vasárnap). Athenaeum, Irodalmi és Nyomdai Rt., Budapest 3. Jackson, M. O. (2011). An overview of social networks and economic applications. In Handbook of social economics (Vol. 1, pp ). North-Holland. 4. Kogut, B. (2000). The network as knowledge: Generative rules and the emergence of structure. Strategic management journal, 21(3), Newman, M. E. (2003). The structure and function of complex networks. SIAM review, 45(2),