Algoritmuselmélet 7. előadás
|
|
|
- Borbála Királyné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Algoritmuselmélet 7. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b 2002 Március 11.
2 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 1 Múltkori animációk Java animáció: Hash-elés Java animáció: Huffman-fa
3 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 2 A Lempel Ziv Welch-módszer A. Lempel és J. Ziv, 1970; T. Welch 1984
4 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 2 A Lempel Ziv Welch-módszer A. Lempel és J. Ziv, 1970; T. Welch 1984 Használja: GIF, v.42bis, compress; ZIP, ARJ, LHA
5 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 2 A Lempel Ziv Welch-módszer A. Lempel és J. Ziv, 1970; T. Welch 1984 Használja: GIF, v.42bis, compress; ZIP, ARJ, LHA Nem betűnként kódól, hanem a szöveg bizonyos szavaiból szótárat épít. = S
6 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 2 A Lempel Ziv Welch-módszer A. Lempel és J. Ziv, 1970; T. Welch 1984 Használja: GIF, v.42bis, compress; ZIP, ARJ, LHA Nem betűnként kódól, hanem a szöveg bizonyos szavaiból szótárat épít. = S az egybetűs szavak, azaz Σ elemei mind benne vannak S-ben;
7 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 2 A Lempel Ziv Welch-módszer A. Lempel és J. Ziv, 1970; T. Welch 1984 Használja: GIF, v.42bis, compress; ZIP, ARJ, LHA Nem betűnként kódól, hanem a szöveg bizonyos szavaiból szótárat épít. = S az egybetűs szavak, azaz Σ elemei mind benne vannak S-ben; ha egy szó benne van a szótárban, akkor annak minden kezdődarabja is benne van;
8 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 2 A Lempel Ziv Welch-módszer A. Lempel és J. Ziv, 1970; T. Welch 1984 Használja: GIF, v.42bis, compress; ZIP, ARJ, LHA Nem betűnként kódól, hanem a szöveg bizonyos szavaiból szótárat épít. = S az egybetűs szavak, azaz Σ elemei mind benne vannak S-ben; ha egy szó benne van a szótárban, akkor annak minden kezdődarabja is benne van; a szótárban tárolt szavaknak fix hosszúságú kódjuk van; az x S szó kódját c(x) jelöli.
9 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 2 A Lempel Ziv Welch-módszer A. Lempel és J. Ziv, 1970; T. Welch 1984 Használja: GIF, v.42bis, compress; ZIP, ARJ, LHA Nem betűnként kódól, hanem a szöveg bizonyos szavaiból szótárat épít. = S az egybetűs szavak, azaz Σ elemei mind benne vannak S-ben; ha egy szó benne van a szótárban, akkor annak minden kezdődarabja is benne van; a szótárban tárolt szavaknak fix hosszúságú kódjuk van; az x S szó kódját c(x) jelöli. Gyakorlatban a kódok hossza bit.
10 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 3 LZW kódolás az összenyomni kívánt szöveget S-beli szavak egymásutánjára bontjuk
11 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 3 LZW kódolás az összenyomni kívánt szöveget S-beli szavak egymásutánjára bontjuk a szavakat a szótárbeli kódokkal helyettesítjük
12 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 3 LZW kódolás az összenyomni kívánt szöveget S-beli szavak egymásutánjára bontjuk a szavakat a szótárbeli kódokkal helyettesítjük Az eredeti szöveg olvasásakor egyidőben épül, bővül az S szótár
13 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 3 LZW kódolás az összenyomni kívánt szöveget S-beli szavak egymásutánjára bontjuk a szavakat a szótárbeli kódokkal helyettesítjük Az eredeti szöveg olvasásakor egyidőben épül, bővül az S szótár nincs optimalizálás, de a gyakorlatban jól működik
14 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 3 LZW kódolás az összenyomni kívánt szöveget S-beli szavak egymásutánjára bontjuk a szavakat a szótárbeli kódokkal helyettesítjük Az eredeti szöveg olvasásakor egyidőben épül, bővül az S szótár nincs optimalizálás, de a gyakorlatban jól működik A szótár egyik szokásos tárolási módja a szófa adatszerkezet.
15 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 3 LZW kódolás az összenyomni kívánt szöveget S-beli szavak egymásutánjára bontjuk a szavakat a szótárbeli kódokkal helyettesítjük Az eredeti szöveg olvasásakor egyidőben épül, bővül az S szótár nincs optimalizálás, de a gyakorlatban jól működik A szótár egyik szokásos tárolási módja a szófa adatszerkezet. Ha az olvasás során egy x S szót találunk, aminek a következő Y betűvel való folytatása már nincs S-ben, akkor c(x)-et kiírjuk a kódolt szövegbe.
16 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 3 LZW kódolás az összenyomni kívánt szöveget S-beli szavak egymásutánjára bontjuk a szavakat a szótárbeli kódokkal helyettesítjük Az eredeti szöveg olvasásakor egyidőben épül, bővül az S szótár nincs optimalizálás, de a gyakorlatban jól működik A szótár egyik szokásos tárolási módja a szófa adatszerkezet. Ha az olvasás során egy x S szót találunk, aminek a következő Y betűvel való folytatása már nincs S-ben, akkor c(x)-et kiírjuk a kódolt szövegbe. Az xy szót felvesszük az S szótárba. A szó c(xy ) kódja a legkisebb még eddig az S-ben nem szereplő kódérték lesz.
17 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 3 LZW kódolás az összenyomni kívánt szöveget S-beli szavak egymásutánjára bontjuk a szavakat a szótárbeli kódokkal helyettesítjük Az eredeti szöveg olvasásakor egyidőben épül, bővül az S szótár nincs optimalizálás, de a gyakorlatban jól működik A szótár egyik szokásos tárolási módja a szófa adatszerkezet. Ha az olvasás során egy x S szót találunk, aminek a következő Y betűvel való folytatása már nincs S-ben, akkor c(x)-et kiírjuk a kódolt szövegbe. Az xy szót felvesszük az S szótárba. A szó c(xy ) kódja a legkisebb még eddig az S-ben nem szereplő kódérték lesz. Ezután az Y betűvel kezdődően folytatjuk a bemeneti szöveg olvasását.
18 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 4 Legyen z egy szó típusú változó, K egy betű típusú változó. A z változó értéke kezdetben az összenyomni szánt állomány első betűje. Végig teljesül, hogy z S.
19 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 4 Legyen z egy szó típusú változó, K egy betű típusú változó. A z változó értéke kezdetben az összenyomni szánt állomány első betűje. Végig teljesül, hogy z S. (0) Olvassuk a bemenő állomány következő betűjét K-ba.
20 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 4 Legyen z egy szó típusú változó, K egy betű típusú változó. A z változó értéke kezdetben az összenyomni szánt állomány első betűje. Végig teljesül, hogy z S. (0) Olvassuk a bemenő állomány következő betűjét K-ba. (1) Ha az előző olvasási kísérlet sikertelen volt (vége a bemenetnek), akkor írjuk ki c(z)-t, és álljunk meg.
21 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 4 Legyen z egy szó típusú változó, K egy betű típusú változó. A z változó értéke kezdetben az összenyomni szánt állomány első betűje. Végig teljesül, hogy z S. (0) Olvassuk a bemenő állomány következő betűjét K-ba. (1) Ha az előző olvasási kísérlet sikertelen volt (vége a bemenetnek), akkor írjuk ki c(z)-t, és álljunk meg. (2) Ha a zk szó is S-ben van, akkor z zk, és menjünk vissza (0)-ra.
22 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 4 Legyen z egy szó típusú változó, K egy betű típusú változó. A z változó értéke kezdetben az összenyomni szánt állomány első betűje. Végig teljesül, hogy z S. (0) Olvassuk a bemenő állomány következő betűjét K-ba. (1) Ha az előző olvasási kísérlet sikertelen volt (vége a bemenetnek), akkor írjuk ki c(z)-t, és álljunk meg. (2) Ha a zk szó is S-ben van, akkor z zk, és menjünk vissza (0)-ra. (3) Különben (azaz ha zk S) írjuk ki c(z)-t, tegyük a zk szót S-be. Legyen z K, majd menjünk vissza (0)-ra.
23 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 4 Legyen z egy szó típusú változó, K egy betű típusú változó. A z változó értéke kezdetben az összenyomni szánt állomány első betűje. Végig teljesül, hogy z S. (0) Olvassuk a bemenő állomány következő betűjét K-ba. (1) Ha az előző olvasási kísérlet sikertelen volt (vége a bemenetnek), akkor írjuk ki c(z)-t, és álljunk meg. (2) Ha a zk szó is S-ben van, akkor z zk, és menjünk vissza (0)-ra. (3) Különben (azaz ha zk S) írjuk ki c(z)-t, tegyük a zk szót S-be. Legyen z K, majd menjünk vissza (0)-ra. A c(x) kódok rögzített hosszúságúak. Ha például ez a hosszúság 12 bit, akkor az S szótárba összesen 4096 szó kerülhet. =
24 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 4 Legyen z egy szó típusú változó, K egy betű típusú változó. A z változó értéke kezdetben az összenyomni szánt állomány első betűje. Végig teljesül, hogy z S. (0) Olvassuk a bemenő állomány következő betűjét K-ba. (1) Ha az előző olvasási kísérlet sikertelen volt (vége a bemenetnek), akkor írjuk ki c(z)-t, és álljunk meg. (2) Ha a zk szó is S-ben van, akkor z zk, és menjünk vissza (0)-ra. (3) Különben (azaz ha zk S) írjuk ki c(z)-t, tegyük a zk szót S-be. Legyen z K, majd menjünk vissza (0)-ra. A c(x) kódok rögzített hosszúságúak. Ha például ez a hosszúság 12 bit, akkor az S szótárba összesen 4096 szó kerülhet. = Ha a szótár betelt, nem bővítünk tovább, úgy folytatjuk.
25 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 5 Példa LZW-re Legyen Σ = {a, b, c} és c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3. Szótár ababcbababaaaaaaa a 1 b 2 c 3
26 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 5 Példa LZW-re Legyen Σ = {a, b, c} és c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3. Szótár ababcbababaaaaaaa 1 a 1 b 2 c 3 ab
27 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 5 Példa LZW-re Legyen Σ = {a, b, c} és c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3. Szótár ababcbababaaaaaaa 1 2 a 1 b 2 c 3 ab 4 ba
28 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 5 Példa LZW-re Legyen Σ = {a, b, c} és c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3. Szótár ababcbababaaaaaaa a 1 b 2 c 3 ab 4 ba 5 abc
29 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 5 Példa LZW-re Legyen Σ = {a, b, c} és c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3. Szótár ababcbababaaaaaaa a 1 b 2 c 3 ab 4 ba 5 abc 6 cb 7
30 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 5 Példa LZW-re Legyen Σ = {a, b, c} és c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3. Szótár ababcbababaaaaaaa a 1 b 2 c 3 ab 4 ba 5 abc 6 cb 7 bab 8
31 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 5 Példa LZW-re Legyen Σ = {a, b, c} és c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3. Szótár ababcbababaaaaaaa a 1 b 2 c 3 ab 4 ba 5 abc 6 cb 7 bab 8 baba 9
32 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 5 Példa LZW-re Legyen Σ = {a, b, c} és c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3. Szótár ababcbababaaaaaaa a 1 b 2 c 3 ab 4 ba 5 abc 6 cb 7 bab 8 baba 9 aa 10
33 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 5 Példa LZW-re Legyen Σ = {a, b, c} és c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3. Szótár ababcbababaaaaaaa a 1 b 2 c 3 ab 4 ba 5 abc 6 cb 7 bab 8 baba 9 aa 10 aaa 11
34 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 5 Példa LZW-re Legyen Σ = {a, b, c} és c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3. Szótár ababcbababaaaaaaa a 1 b 2 c 3 ab 4 ba 5 abc 6 cb 7 bab 8 baba 9 aa 10 aaa 11 aaaa 12
35 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 5 Példa LZW-re Legyen Σ = {a, b, c} és c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3. Szótár ababcbababaaaaaaa a 1 b 2 c 3 ab 4 ba 5 abc 6 cb 7 bab 8 baba 9 aa 10 aaa 11 aaaa 12
36 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 5 Példa LZW-re Legyen Σ = {a, b, c} és c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3. Szótár ababcbababaaaaaaa a 1 b 2 c 3 ab 4 ba 5 abc 6 cb 7 bab 8 baba 9 aa 10 aaa 11 aaaa 12
37 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 6 Dekódolás
38 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 6 Dekódolás Elvégezhető pusztán az egybetűs szavak kódjainak, valamint a kódok képzési szabályának ismeretében, nem kell tárolni S-et.
39 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 6 Dekódolás Elvégezhető pusztán az egybetűs szavak kódjainak, valamint a kódok képzési szabályának ismeretében, nem kell tárolni S-et. Pl. Ha a kódolt szöveg: és tudjuk, hogy c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3 =
40 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 6 Dekódolás Elvégezhető pusztán az egybetűs szavak kódjainak, valamint a kódok képzési szabályának ismeretében, nem kell tárolni S-et. Pl. Ha a kódolt szöveg: és tudjuk, hogy c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3 = Ez első két jel betű kódja = ab
41 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 6 Dekódolás Elvégezhető pusztán az egybetűs szavak kódjainak, valamint a kódok képzési szabályának ismeretében, nem kell tárolni S-et. Pl. Ha a kódolt szöveg: és tudjuk, hogy c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3 = Ez első két jel betű kódja = ab ab nem volt a kezdeti S-ben, de az eleje igen; = a kódoló algoritmus ezt c(ab) = 4 értékkel S-be tette = abab =
42 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 6 Dekódolás Elvégezhető pusztán az egybetűs szavak kódjainak, valamint a kódok képzési szabályának ismeretében, nem kell tárolni S-et. Pl. Ha a kódolt szöveg: és tudjuk, hogy c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3 = Ez első két jel betű kódja = ab ab nem volt a kezdeti S-ben, de az eleje igen; = a kódoló algoritmus ezt c(ab) = 4 értékkel S-be tette = abab = ba volt a következő szó, ami S-be került = c(ba) = 5... Ha itt tartunk
43 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 6 Dekódolás Elvégezhető pusztán az egybetűs szavak kódjainak, valamint a kódok képzési szabályának ismeretében, nem kell tárolni S-et. Pl. Ha a kódolt szöveg: és tudjuk, hogy c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3 = Ez első két jel betű kódja = ab ab nem volt a kezdeti S-ben, de az eleje igen; = a kódoló algoritmus ezt c(ab) = 4 értékkel S-be tette = abab = ba volt a következő szó, ami S-be került = c(ba) = 5... Ha itt tartunk a 1 b 2 c ab 4 ababcba ba 5 abc 6 cb 7
44 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 6 Dekódolás Elvégezhető pusztán az egybetűs szavak kódjainak, valamint a kódok képzési szabályának ismeretében, nem kell tárolni S-et. Pl. Ha a kódolt szöveg: és tudjuk, hogy c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3 = Ez első két jel betű kódja = ab ab nem volt a kezdeti S-ben, de az eleje igen; = a kódoló algoritmus ezt c(ab) = 4 értékkel S-be tette = abab = ba volt a következő szó, ami S-be került = c(ba) = 5... Ha itt tartunk a 1 b 2 a 8-as kódú szó ba c 3 alakú, ab 4 = ababcba ba 5 abc 6 cb 7
45 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 6 Dekódolás Elvégezhető pusztán az egybetűs szavak kódjainak, valamint a kódok képzési szabályának ismeretében, nem kell tárolni S-et. Pl. Ha a kódolt szöveg: és tudjuk, hogy c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3 = Ez első két jel betű kódja = ab ab nem volt a kezdeti S-ben, de az eleje igen; = a kódoló algoritmus ezt c(ab) = 4 értékkel S-be tette = abab = ba volt a következő szó, ami S-be került = c(ba) = 5... Ha itt tartunk a 1 b 2 a 8-as kódú szó ba c 3 alakú, ab 4 = következő betű biztos b ababcba ba 5 abc 6 cb 7
46 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 6 Dekódolás Elvégezhető pusztán az egybetűs szavak kódjainak, valamint a kódok képzési szabályának ismeretében, nem kell tárolni S-et. Pl. Ha a kódolt szöveg: és tudjuk, hogy c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3 = Ez első két jel betű kódja = ab ab nem volt a kezdeti S-ben, de az eleje igen; = a kódoló algoritmus ezt c(ab) = 4 értékkel S-be tette = abab = ba volt a következő szó, ami S-be került = c(ba) = 5... Ha itt tartunk a 1 b 2 a 8-as kódú szó ba c 3 alakú, ab 4 = következő betű biztos b ababcba ba 5 c(bab) = 8 abc 6 cb 7
47 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 6 Dekódolás Elvégezhető pusztán az egybetűs szavak kódjainak, valamint a kódok képzési szabályának ismeretében, nem kell tárolni S-et. Pl. Ha a kódolt szöveg: és tudjuk, hogy c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3 = Ez első két jel betű kódja = ab ab nem volt a kezdeti S-ben, de az eleje igen; = a kódoló algoritmus ezt c(ab) = 4 értékkel S-be tette = abab = ba volt a következő szó, ami S-be került = c(ba) = 5... Ha itt tartunk a 1 b 2 a 8-as kódú szó ba c 3 alakú, ab 4 = következő betű biztos b ababcba ba 5 c(bab) = 8 abc 6 ababcbabab cb 7
48 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 6 Dekódolás Elvégezhető pusztán az egybetűs szavak kódjainak, valamint a kódok képzési szabályának ismeretében, nem kell tárolni S-et. Pl. Ha a kódolt szöveg: és tudjuk, hogy c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3 = Ez első két jel betű kódja = ab ab nem volt a kezdeti S-ben, de az eleje igen; = a kódoló algoritmus ezt c(ab) = 4 értékkel S-be tette = abab = ba volt a következő szó, ami S-be került = c(ba) = 5... Ha itt tartunk a 1 b 2 a 8-as kódú szó ba c 3 alakú, ab 4 = következő betű biztos b ababcba ba 5 c(bab) = 8 abc 6 ababcbabab cb 7 Java animáció: LZW-kódolás
49 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 6 Dekódolás Elvégezhető pusztán az egybetűs szavak kódjainak, valamint a kódok képzési szabályának ismeretében, nem kell tárolni S-et. Pl. Ha a kódolt szöveg: és tudjuk, hogy c(a) = 1, c(b) = 2, c(c) = 3 = Ez első két jel betű kódja = ab ab nem volt a kezdeti S-ben, de az eleje igen; = a kódoló algoritmus ezt c(ab) = 4 értékkel S-be tette = abab = ba volt a következő szó, ami S-be került = c(ba) = 5... Ha itt tartunk a 1 b 2 a 8-as kódú szó ba c 3 alakú, ab 4 = következő betű biztos b ababcba ba 5 c(bab) = 8 abc 6 ababcbabab cb 7 Java animáció: LZW-kódolás Laczay Bálint féle GIF animáció
50 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 7 Gráfalgoritmusok irányított gráfok: G = (V, E)
51 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 7 Gráfalgoritmusok irányított gráfok: G = (V, E) irányított él, irányított út, irányított kör
52 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 7 Gráfalgoritmusok irányított gráfok: G = (V, E) irányított él, irányított út, irányított kör élsúlyok: c(e) lehetnek negatívak is
53 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 7 Gráfalgoritmusok irányított gráfok: G = (V, E) irányított él, irányított út, irányított kör élsúlyok: c(e) lehetnek negatívak is J H G E K D F I C B A L
54 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 8 Adjacencia-mátrix Definíció. A G = (V, E) gráf adjacencia-mátrixa (vagy szomszédossági mátrixa) a következő a V elemeivel indexelt n-szer n-es mátrix: { 0 ha (i, j) E, A[i, j] = 1 ha (i, j) E.
55 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 8 Adjacencia-mátrix Definíció. A G = (V, E) gráf adjacencia-mátrixa (vagy szomszédossági mátrixa) a következő a V elemeivel indexelt n-szer n-es mátrix: { 0 ha (i, j) E, A[i, j] = 1 ha (i, j) E. Irányítatlan gráfok esetén a szomszédossági mátrix szimmetrikus lesz (azaz A[i, j] = A[j, i] teljesül minden i, j csúcspárra).
56 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 8 Adjacencia-mátrix Definíció. A G = (V, E) gráf adjacencia-mátrixa (vagy szomszédossági mátrixa) a következő a V elemeivel indexelt n-szer n-es mátrix: { 0 ha (i, j) E, A[i, j] = 1 ha (i, j) E. Irányítatlan gráfok esetén a szomszédossági mátrix szimmetrikus lesz (azaz A[i, j] = A[j, i] teljesül minden i, j csúcspárra). v v 1 v 3 v A = v 4
57 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 9 Súlyozott adjacencia-mátrix Ha költségek is vannak = C[i, j] = 0 ha i = j, c(i, j) ha i j és (i, j) éle G-nek, különben.
58 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 9 Súlyozott adjacencia-mátrix Ha költségek is vannak = C[i, j] = 0 ha i = j, c(i, j) ha i j és (i, j) éle G-nek, különben. v v 1 v 3 v C = v 4
59 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 9 Súlyozott adjacencia-mátrix Ha költségek is vannak = C[i, j] = 0 ha i = j, c(i, j) ha i j és (i, j) éle G-nek, különben. v v 1 v 3 v C = v 4 Hátránya = a mérete (n 2 tömbelem) teljesen független az élek számától.
60 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 10 Éllistás megadás G = (V, E) gráf minden csúcsához egy lista tartozik.
61 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 10 Éllistás megadás G = (V, E) gráf minden csúcsához egy lista tartozik. Az i V csúcs listájában tároljuk az i-ből kimenő éleket, és ha kell, ezek súlyát is.
62 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 10 Éllistás megadás G = (V, E) gráf minden csúcsához egy lista tartozik. Az i V csúcs listájában tároljuk az i-ből kimenő éleket, és ha kell, ezek súlyát is. Az i listáján egy élnek a lista egy eleme (cellája) felel meg.
63 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 10 Éllistás megadás G = (V, E) gráf minden csúcsához egy lista tartozik. Az i V csúcs listájában tároljuk az i-ből kimenő éleket, és ha kell, ezek súlyát is. Az i listáján egy élnek a lista egy eleme (cellája) felel meg. 1 1-ből kimenő élek cellái i n j c(i,j) egy tipikus cella
64 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 10 Éllistás megadás G = (V, E) gráf minden csúcsához egy lista tartozik. Az i V csúcs listájában tároljuk az i-ből kimenő éleket, és ha kell, ezek súlyát is. Az i listáján egy élnek a lista egy eleme (cellája) felel meg. 1 i n 1-ből kimenő élek cellái j c(i,j) egy tipikus cella Az (i, j) élnek megfelelő cella tartalmazza a j sorszámot, a c(i, j) súlyt (ha van), egy mutatót a következő cellára, és esetleg még egyet az előzőre is.
65 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 10 Éllistás megadás G = (V, E) gráf minden csúcsához egy lista tartozik. Az i V csúcs listájában tároljuk az i-ből kimenő éleket, és ha kell, ezek súlyát is. Az i listáján egy élnek a lista egy eleme (cellája) felel meg. 1 i n 1-ből kimenő élek cellái j c(i,j) egy tipikus cella Az (i, j) élnek megfelelő cella tartalmazza a j sorszámot, a c(i, j) súlyt (ha van), egy mutatót a következő cellára, és esetleg még egyet az előzőre is. Tárigény: n + e cella, Irányítatlan gráfoknál: n + 2e cella
66 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 11 A legrövidebb utak problémája Legyen adott egy G = (V, E) irányított gráf a c(f), f E élsúlyokkal. Feladat. Mekkora a legrövidebb út egy adott pontból egy másik adott pontba?
67 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 11 A legrövidebb utak problémája Legyen adott egy G = (V, E) irányított gráf a c(f), f E élsúlyokkal. Feladat. Mekkora a legrövidebb út egy adott pontból egy másik adott pontba? Feladat. Mekkora a legrövidebb út egy adott pontból az összes többibe?
68 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 11 A legrövidebb utak problémája Legyen adott egy G = (V, E) irányított gráf a c(f), f E élsúlyokkal. Feladat. Mekkora a legrövidebb út egy adott pontból egy másik adott pontba? Feladat. Mekkora a legrövidebb út egy adott pontból az összes többibe? Feladat. Mekkora a legrövidebb út bármely két pont között?
69 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 11 A legrövidebb utak problémája Legyen adott egy G = (V, E) irányított gráf a c(f), f E élsúlyokkal. Feladat. Mekkora a legrövidebb út egy adott pontból egy másik adott pontba? Feladat. Mekkora a legrövidebb út egy adott pontból az összes többibe? Feladat. Mekkora a legrövidebb út bármely két pont között? A G gráf egy u-t v-vel összekötő (nem feltétlenül egyszerű) u v irányított útjának a hossza az úton szereplő élek súlyainak összege.
70 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 11 A legrövidebb utak problémája Legyen adott egy G = (V, E) irányított gráf a c(f), f E élsúlyokkal. Feladat. Mekkora a legrövidebb út egy adott pontból egy másik adott pontba? Feladat. Mekkora a legrövidebb út egy adott pontból az összes többibe? Feladat. Mekkora a legrövidebb út bármely két pont között? A G gráf egy u-t v-vel összekötő (nem feltétlenül egyszerű) u v irányított útjának a hossza az úton szereplő élek súlyainak összege. Legrövidebb u v út = egy olyan u v út, melynek a hossza minimális a G-beli u v utak között.
71 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 11 A legrövidebb utak problémája Legyen adott egy G = (V, E) irányított gráf a c(f), f E élsúlyokkal. Feladat. Mekkora a legrövidebb út egy adott pontból egy másik adott pontba? Feladat. Mekkora a legrövidebb út egy adott pontból az összes többibe? Feladat. Mekkora a legrövidebb út bármely két pont között? A G gráf egy u-t v-vel összekötő (nem feltétlenül egyszerű) u v irányított útjának a hossza az úton szereplő élek súlyainak összege. Legrövidebb u v út = egy olyan u v út, melynek a hossza minimális a G-beli u v utak között. u és v csúcsok (G-beli) d(u, v) távolsága: 0, ha u = v;
72 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 11 A legrövidebb utak problémája Legyen adott egy G = (V, E) irányított gráf a c(f), f E élsúlyokkal. Feladat. Mekkora a legrövidebb út egy adott pontból egy másik adott pontba? Feladat. Mekkora a legrövidebb út egy adott pontból az összes többibe? Feladat. Mekkora a legrövidebb út bármely két pont között? A G gráf egy u-t v-vel összekötő (nem feltétlenül egyszerű) u v irányított útjának a hossza az úton szereplő élek súlyainak összege. Legrövidebb u v út = egy olyan u v út, melynek a hossza minimális a G-beli u v utak között. u és v csúcsok (G-beli) d(u, v) távolsága: 0, ha u = v;, ha nincs u v út
73 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 11 A legrövidebb utak problémája Legyen adott egy G = (V, E) irányított gráf a c(f), f E élsúlyokkal. Feladat. Mekkora a legrövidebb út egy adott pontból egy másik adott pontba? Feladat. Mekkora a legrövidebb út egy adott pontból az összes többibe? Feladat. Mekkora a legrövidebb út bármely két pont között? A G gráf egy u-t v-vel összekötő (nem feltétlenül egyszerű) u v irányított útjának a hossza az úton szereplő élek súlyainak összege. Legrövidebb u v út = egy olyan u v út, melynek a hossza minimális a G-beli u v utak között. u és v csúcsok (G-beli) d(u, v) távolsága: 0, ha u = v;, ha nincs u v út egyébként pedig a legrövidebb u v út hossza.
74 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 11 A legrövidebb utak problémája Legyen adott egy G = (V, E) irányított gráf a c(f), f E élsúlyokkal. Feladat. Mekkora a legrövidebb út egy adott pontból egy másik adott pontba? Feladat. Mekkora a legrövidebb út egy adott pontból az összes többibe? Feladat. Mekkora a legrövidebb út bármely két pont között? A G gráf egy u-t v-vel összekötő (nem feltétlenül egyszerű) u v irányított útjának a hossza az úton szereplő élek súlyainak összege. Legrövidebb u v út = egy olyan u v út, melynek a hossza minimális a G-beli u v utak között. u és v csúcsok (G-beli) d(u, v) távolsága: 0, ha u = v;, ha nincs u v út egyébként pedig a legrövidebb u v út hossza. Vigyázat, itt u és v nem felcserélhető: ha az egyik csúcs valamilyen távol van a másiktól, akkor nem biztos, hogy a másik is ugyanolyan távol van az egyiktől!
75 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 12 Dijkstra módszere Feladat. A legrövidebb utak problémája (egy forrásból): Adott egy G = (V, E) irányított gráf, a c : E R + nemnegatív értékű súlyfüggvény, és egy s V csúcs (a forrás). Határozzuk meg minden v V -re a d(s, v) távolságot. D[ ] = Egy a G csúcsaival indexelt tömb
76 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 12 Dijkstra módszere Feladat. A legrövidebb utak problémája (egy forrásból): Adott egy G = (V, E) irányított gráf, a c : E R + nemnegatív értékű súlyfüggvény, és egy s V csúcs (a forrás). Határozzuk meg minden v V -re a d(s, v) távolságot. D[ ] = Egy a G csúcsaival indexelt tömb az eljárás során addig megismert legrövidebb s v utak hossza
77 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 12 Dijkstra módszere Feladat. A legrövidebb utak problémája (egy forrásból): Adott egy G = (V, E) irányított gráf, a c : E R + nemnegatív értékű súlyfüggvény, és egy s V csúcs (a forrás). Határozzuk meg minden v V -re a d(s, v) távolságot. D[ ] = Egy a G csúcsaival indexelt tömb az eljárás során addig megismert legrövidebb s v utak hossza Felső közelítése a keresett d(s, v) távolságnak
78 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 12 Dijkstra módszere Feladat. A legrövidebb utak problémája (egy forrásból): Adott egy G = (V, E) irányított gráf, a c : E R + nemnegatív értékű súlyfüggvény, és egy s V csúcs (a forrás). Határozzuk meg minden v V -re a d(s, v) távolságot. D[ ] = Egy a G csúcsaival indexelt tömb az eljárás során addig megismert legrövidebb s v utak hossza Felső közelítése a keresett d(s, v) távolságnak A közelítést lépésről lépésre finomítjuk, végül d(s, v)-t érjük el.
79 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 13 Tegyük fel, hogy a G gráf az alábbi alakú C adjacencia-mátrixával adott: C[v, w] = 0 ha v = w, c(v, w) ha v w és (v, w) éle G-nek, különben. Kezdetben D[v] := C[s, v] minden v V csúcsra.
80 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 13 Tegyük fel, hogy a G gráf az alábbi alakú C adjacencia-mátrixával adott: C[v, w] = 0 ha v = w, c(v, w) ha v w és (v, w) éle G-nek, különben. Kezdetben D[v] := C[s, v] minden v V csúcsra. Válasszuk ki ezután az s csúcs szomszédai közül a hozzá legközelebbit, vagyis egy olyan x V \ {s} csúcsot, melyre D[x] minimális
81 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 13 Tegyük fel, hogy a G gráf az alábbi alakú C adjacencia-mátrixával adott: C[v, w] = 0 ha v = w, c(v, w) ha v w és (v, w) éle G-nek, különben. Kezdetben D[v] := C[s, v] minden v V csúcsra. Válasszuk ki ezután az s csúcs szomszédai közül a hozzá legközelebbit, vagyis egy olyan x V \ {s} csúcsot, melyre D[x] minimális Biztos, hogy az egyetlen (s, x) élből álló út egy legrövidebb s x út, (az élsúlyok nemnegatívak!).
82 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 13 Tegyük fel, hogy a G gráf az alábbi alakú C adjacencia-mátrixával adott: C[v, w] = 0 ha v = w, c(v, w) ha v w és (v, w) éle G-nek, különben. Kezdetben D[v] := C[s, v] minden v V csúcsra. Válasszuk ki ezután az s csúcs szomszédai közül a hozzá legközelebbit, vagyis egy olyan x V \ {s} csúcsot, melyre D[x] minimális Biztos, hogy az egyetlen (s, x) élből álló út egy legrövidebb s x út, (az élsúlyok nemnegatívak!). A KÉSZ halmaz azokat a csúcsokat tartalmazza, amelyeknek s-től való távolságát már tudjuk.
83 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 13 Tegyük fel, hogy a G gráf az alábbi alakú C adjacencia-mátrixával adott: C[v, w] = 0 ha v = w, c(v, w) ha v w és (v, w) éle G-nek, különben. Kezdetben D[v] := C[s, v] minden v V csúcsra. Válasszuk ki ezután az s csúcs szomszédai közül a hozzá legközelebbit, vagyis egy olyan x V \ {s} csúcsot, melyre D[x] minimális Biztos, hogy az egyetlen (s, x) élből álló út egy legrövidebb s x út, (az élsúlyok nemnegatívak!). A KÉSZ halmaz azokat a csúcsokat tartalmazza, amelyeknek s-től való távolságát már tudjuk. = x-et betehetjük (s mellé) a KÉSZ halmazba.
84 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 14 Ezek után módosítsuk a többi csúcs D[w] értékét, ha az eddig ismertnél rövidebb úton el lehet érni oda x-en keresztül, azaz ha D[x] + C[x, w] < D[w]. s x C[x, w] w
85 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 14 Ezek után módosítsuk a többi csúcs D[w] értékét, ha az eddig ismertnél rövidebb úton el lehet érni oda x-en keresztül, azaz ha D[x] + C[x, w] < D[w]. s x C[x, w] w Újra válasszunk ki a v V \ KÉSZ csúcsok közül egy olyat, amelyre D[v] minimális.
86 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 14 Ezek után módosítsuk a többi csúcs D[w] értékét, ha az eddig ismertnél rövidebb úton el lehet érni oda x-en keresztül, azaz ha D[x] + C[x, w] < D[w]. s x C[x, w] w Újra válasszunk ki a v V \ KÉSZ csúcsok közül egy olyat, amelyre D[v] minimális. Ezen csúcs D[ ]-értéke már az s-től való távolságát tartalmazza.
87 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 14 Ezek után módosítsuk a többi csúcs D[w] értékét, ha az eddig ismertnél rövidebb úton el lehet érni oda x-en keresztül, azaz ha D[x] + C[x, w] < D[w]. s x C[x, w] w Újra válasszunk ki a v V \ KÉSZ csúcsok közül egy olyat, amelyre D[v] minimális. Ezen csúcs D[ ]-értéke már az s-től való távolságát tartalmazza. Majd megint a D[ ]-értékeket módosítjuk, és így tovább, míg minden csúcs be nem kerül a KÉSZ halmazba.
88 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 15 Dijkstra algoritmusa adjacencia-mátrixszal (1) KÉSZ := {s} for minden v V csúcsra do D[v] := C[s, v] ( a d(s, v) távolság első közelítése )
89 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 15 Dijkstra algoritmusa adjacencia-mátrixszal (1) KÉSZ := {s} for minden v V csúcsra do D[v] := C[s, v] ( a d(s, v) távolság első közelítése ) (2) for i := 1 to n 1 do begin Válasszunk olyan x V \ KÉSZ csúcsot, melyre D[x] minimális. Tegyük x-et a KÉSZ-be.
90 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 15 Dijkstra algoritmusa adjacencia-mátrixszal (1) KÉSZ := {s} for minden v V csúcsra do D[v] := C[s, v] ( a d(s, v) távolság első közelítése ) (2) for i := 1 to n 1 do begin Válasszunk olyan x V \ KÉSZ csúcsot, melyre D[x] minimális. Tegyük x-et a KÉSZ-be. (3) for minden w V \ KÉSZ csúcsra do D[w] := min{d[w], D[x] + C[x, w]} ( d(s, w) új közelítése ) end
91 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 15 Dijkstra algoritmusa adjacencia-mátrixszal (1) KÉSZ := {s} for minden v V csúcsra do D[v] := C[s, v] ( a d(s, v) távolság első közelítése ) (2) for i := 1 to n 1 do begin Válasszunk olyan x V \ KÉSZ csúcsot, melyre D[x] minimális. Tegyük x-et a KÉSZ-be. (3) for minden w V \ KÉSZ csúcsra do D[w] := min{d[w], D[x] + C[x, w]} ( d(s, w) új közelítése ) end Definíció. különleges út: egy s z irányított út különleges, ha a z végpontot kivéve minden pontja a KÉSZ halmazban van. A különleges úttal elérhető pontok éppen a KÉSZ-ből egyetlen éllel elérhető pontok.
92 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 16 Tétel. A (2) ciklus minden iterációs lépése után érvényesek a következők: (a) KÉSZ pontjaira D[v] a legrövidebb s v utak hossza.
93 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 16 Tétel. A (2) ciklus minden iterációs lépése után érvényesek a következők: (a) KÉSZ pontjaira D[v] a legrövidebb s v utak hossza. (b) Ha v KÉSZ, akkor van olyan d(s, v) hosszúságú (más szóval legrövidebb) s v út is, amelynek minden pontja a KÉSZ halmazban van.
94 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 16 Tétel. A (2) ciklus minden iterációs lépése után érvényesek a következők: (a) KÉSZ pontjaira D[v] a legrövidebb s v utak hossza. (b) Ha v KÉSZ, akkor van olyan d(s, v) hosszúságú (más szóval legrövidebb) s v út is, amelynek minden pontja a KÉSZ halmazban van. (c) Külső (vagyis w V \ KÉSZ) pontokra D[w] a legrövidebb különleges s w utak hossza.
95 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 16 Tétel. A (2) ciklus minden iterációs lépése után érvényesek a következők: (a) KÉSZ pontjaira D[v] a legrövidebb s v utak hossza. (b) Ha v KÉSZ, akkor van olyan d(s, v) hosszúságú (más szóval legrövidebb) s v út is, amelynek minden pontja a KÉSZ halmazban van. (c) Külső (vagyis w V \ KÉSZ) pontokra D[w] a legrövidebb különleges s w utak hossza. Bizonyítás: (a) Indukcióval
96 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 16 Tétel. A (2) ciklus minden iterációs lépése után érvényesek a következők: (a) KÉSZ pontjaira D[v] a legrövidebb s v utak hossza. (b) Ha v KÉSZ, akkor van olyan d(s, v) hosszúságú (más szóval legrövidebb) s v út is, amelynek minden pontja a KÉSZ halmazban van. (c) Külső (vagyis w V \ KÉSZ) pontokra D[w] a legrövidebb különleges s w utak hossza. Bizonyítás: (a) Indukcióval (2) előtt
97 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 16 Tétel. A (2) ciklus minden iterációs lépése után érvényesek a következők: (a) KÉSZ pontjaira D[v] a legrövidebb s v utak hossza. (b) Ha v KÉSZ, akkor van olyan d(s, v) hosszúságú (más szóval legrövidebb) s v út is, amelynek minden pontja a KÉSZ halmazban van. (c) Külső (vagyis w V \ KÉSZ) pontokra D[w] a legrövidebb különleges s w utak hossza. Bizonyítás: (a) Indukcióval (2) előtt Tegyük fel, hogy igaz a j-edik iteráció után. Belátjuk, hogy igaz a j + 1-edik iteráció után is.
98 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 16 Tétel. A (2) ciklus minden iterációs lépése után érvényesek a következők: (a) KÉSZ pontjaira D[v] a legrövidebb s v utak hossza. (b) Ha v KÉSZ, akkor van olyan d(s, v) hosszúságú (más szóval legrövidebb) s v út is, amelynek minden pontja a KÉSZ halmazban van. (c) Külső (vagyis w V \ KÉSZ) pontokra D[w] a legrövidebb különleges s w utak hossza. Bizonyítás: (a) Indukcióval (2) előtt Tegyük fel, hogy igaz a j-edik iteráció után. Belátjuk, hogy igaz a j + 1-edik iteráció után is. Tegyük fel, hogy az algoritmus a j + 1. iterációs lépésben az x csúcsot választja a KÉSZ-be.
99 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 17 s x y
100 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 17 s x Indirekt: mi van, ha D[x] nem a d(s, x) távolságot jelöli, azaz van ennél rövidebb s x út? y
101 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 17 s y x Indirekt: mi van, ha D[x] nem a d(s, x) távolságot jelöli, azaz van ennél rövidebb s x út? Ezen út eleje" különleges = D[y] d(x, s) < D[x]
102 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 17 s y x Indirekt: mi van, ha D[x] nem a d(s, x) távolságot jelöli, azaz van ennél rövidebb s x út? Ezen út eleje" különleges = D[y] d(x, s) < D[x] (b) Elég x-re = KÉSZ korábbi pontjaira az indukciós feltevésből
103 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 17 s y x Indirekt: mi van, ha D[x] nem a d(s, x) távolságot jelöli, azaz van ennél rövidebb s x út? Ezen út eleje" különleges = D[y] d(x, s) < D[x] (b) Elég x-re = KÉSZ korábbi pontjaira az indukciós feltevésből Láttuk, hogy d(s, x) = D[x], ez egy különleges s x út hossza volt a j + 1. iteráció előtt (itt a (c)-re vonatkozó indukciós feltevést használtuk)
104 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 17 s y x Indirekt: mi van, ha D[x] nem a d(s, x) távolságot jelöli, azaz van ennél rövidebb s x út? Ezen út eleje" különleges = D[y] d(x, s) < D[x] (b) Elég x-re = KÉSZ korábbi pontjaira az indukciós feltevésből Láttuk, hogy d(s, x) = D[x], ez egy különleges s x út hossza volt a j + 1. iteráció előtt (itt a (c)-re vonatkozó indukciós feltevést használtuk) annak végeztével az út minden pontja KÉSZ-beli lesz.
105 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 18 x s w
106 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 18 x s w (c) A j + 1. iteráció előtt D[w] = min v KÉSZ\{x} {d(s, v) + C[v, w]}.
107 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 18 x s w (c) A j + 1. iteráció előtt D[w] = min v KÉSZ\{x} {d(s, v) + C[v, w]}. Utána D[w] = min {d(s, v) + C[v, w]}. v KÉSZ
108 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 18 x s w (c) A j + 1. iteráció előtt D[w] = min v KÉSZ\{x} {d(s, v) + C[v, w]}. Utána D[w] = min {d(s, v) + C[v, w]}. v KÉSZ = Elég megnézni, hogy D[w] vagy d(s, x) + C[x, w] nagyobb
109 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 18 x s w (c) A j + 1. iteráció előtt D[w] = min v KÉSZ\{x} {d(s, v) + C[v, w]}. Utána D[w] = min {d(s, v) + C[v, w]}. v KÉSZ = Elég megnézni, hogy D[w] vagy d(s, x) + C[x, w] nagyobb Lépészám: (2) ciklus O(n), ez lefut n 1-szer = O(n 2 )
110 ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 18 x s w (c) A j + 1. iteráció előtt D[w] = min v KÉSZ\{x} {d(s, v) + C[v, w]}. Utána D[w] = min {d(s, v) + C[v, w]}. v KÉSZ = Elég megnézni, hogy D[w] vagy d(s, x) + C[x, w] nagyobb Lépészám: (2) ciklus O(n), ez lefut n 1-szer = O(n 2 )
Algoritmuselmélet. Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 3. előadás Katona Gyula Y. (BME
Algoritmuselmélet. Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2. előadás
Gráfalgoritmusok ismétlés ősz
Gráfalgoritmusok ismétlés 2017. ősz Gráfok ábrázolása Egy G = (V, E) gráf ábrázolására alapvetően két módszert szoktak használni: szomszédsági listákat, illetve szomszédsági mátrixot. A G = (V, E) gráf
Példa Hajtsuk végre az 1 pontból a Dijkstra algoritmust az alábbi gráfra. (A mátrixban a c i j érték az (i, j) él hossza, ha nincs él.
Legrövidebb utak súlyozott gráfokban A feladat egy súlyozott gráfban egy adott pontból kiinduló legrövidebb utak megkeresése. Az input a súlyozott gráf és a kiindulási s pont. Outputként egy legrövidebb
22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA
22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA A megoldandó feladatok, problémák modellezése során sokszor gráfokat alkalmazunk. A gráf fogalmát a matematikából ismertnek vehetjük. A modellezés során a gráfok több változata is
Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Algoritmuselmélet 18. előadás
Algoritmuselmélet 18. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Május 7. ALGORITMUSELMÉLET 18. ELŐADÁS 1 Közelítő algoritmusok
26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA
26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA Az előző két fejezetben tárgyalt feladat általánosításaként a gráfban található összes csúcspárra szeretnénk meghatározni a legkisebb költségű utat. A probléma
A számítástudomány alapjai
A számítástudomány alapjai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Legszélesebb utak Katona Gyula Y. (BME SZIT) A számítástudomány
Példa Hajtsuk végre az 1 pontból a Dijkstra algoritmust az alábbi gráfra. (A mátrixban a c i j érték az (i, j) él hossza, ha nincs él.
Legrövidebb utak súlyozott gráfokban A feladat egy súlyozott gráfban egy adott pontból kiinduló legrövidebb utak megkeresése. Az input a súlyozott gráf és a kiindulási s pont. Outputként egy legrövidebb
Gráfok 2. Legrövidebb utak, feszítőfák. Szoftvertervezés és -fejlesztés II. előadás. Szénási Sándor
Gráfok 2. Legrövidebb utak, feszítőfák előadás http://nik.uni-obuda.hu/sztf2 Szénási Sándor Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Legrövidebb utak keresése Minimális feszítőfa keresése Gráfok 2
Sali Attila Budapest Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. I. B. 137/b március 16.
Bevezetés a Számításelméletbe II. 6. előadás Sali Attila Budapest Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi és Információelméleti Tsz. I. B. 7/b sali@cs.bme.hu 004 március 6. A kritikus út
Algoritmuselmélet 12. előadás
Algoritmuselmélet 12. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Április 9. ALGORITMUSELMÉLET 12. ELŐADÁS 1 Turing-gépek
Algoritmuselmélet 6. előadás
Algoritmuselmélet 6. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Március 4. ALGORITMUSELMÉLET 6. ELŐADÁS 1 Hash-elés
24. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK I.
24. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK I. Az útvonaltervezés az egyik leggyakrabban végrehajtott eljárása a gráfok alkalmazásai körében. A feladat például a közlekedésben jelentkezik. A gráfot itt az a térkép jelenti,
5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus.
5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus. Optimalis feszítőfák Egy összefüggő, irányítatlan
Algoritmuselmélet. Mélységi keresés és alkalmazásai. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Mélységi keresés és alkalmazásai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 9. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Algoritmuselmélet 11. előadás
Algoritmuselmélet 11. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Március 26. ALGORITMUSELMÉLET 11. ELŐADÁS 1 Kruskal
Algoritmuselmélet 2. előadás
Algoritmuselmélet 2. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Február 12. ALGORITMUSELMÉLET 2. ELŐADÁS 1 Buborék-rendezés
Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Bonyolultságelmélet Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Gráfelméleti feladatok. c f
Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,
Algoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,
Gráf-algoritmusok Legrövidebb utak
https://www.cs.princeton.edu/~rs/algsds07/15shortestpaths.pdf Gráf-algoritmusok Legrövidebb utak Sapientia-EMTE 2017-18 Typesetting in TeX Két pont között, akkor van él, ha közéjük 1 2 3 4 eső szó szekvencia
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Gráfok, definíciók. Gráfok ábrázolása. Az adott probléma megoldásához ténylegesen mely műveletek szükségesek. Ábrázolások. Példa:
Gráfok, definíciók Irányítatlan gráf: G = (V,E), ahol E rendezetlen (a,b),a,b V párok halmaza. Irányított gráf: G = (V,E) E rendezett (a,b) párok halmaza; E V V. Címkézett (súlyozott) gráf: G = (V,E,C)
Informatikai Rendszerek Alapjai
Informatikai Rendszerek Alapjai Dr. Kutor László Minimális redundanciájú kódok (2) Szótár alapú tömörítő algoritmusok 2014. ősz Óbudai Egyetem, NIK Dr. Kutor László IRA 8/25/1 Az információ redundanciája
Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra:
Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: C(T ) = (u,v) T c(u,v) Az F = (V,T) gráf minimális feszitőfája G-nek,
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Dijkstra algoritmusa
Budapesti Fazekas és ELTE Operációkutatási Tanszék 201. július 1. Legrövidebb utak súlyozatlan esetben v 4 v 3 Feladat Hány élből áll a legrövidebb út ezen a gráfon az s és t csúcsok között? v v 6 v 7
Algoritmuselmélet 1. előadás
Algoritmuselmélet 1. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Február 11. ALGORITMUSELMÉLET 1. ELŐADÁS 1 Források
1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok. HálózatokII, 2007
Hálózatok II 2007 1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok 1 Az előadáshoz Előadás: Szerda 17:00 18:30 Gyakorlat: nincs Vizsga írásbeli Honlap: http://people.inf.elte.hu/lukovszki/courses/g/07nwii
Megjegyzés: A programnak tartalmaznia kell legalább egy felhasználói alprogramot. Példa:
1. Tétel Az állomány két sort tartalmaz. Az első sorában egy nem nulla természetes szám van, n-el jelöljük (5
Fraktál alapú képtömörítés p. 1/26
Fraktál alapú képtömörítés Bodó Zalán zbodo@cs.ubbcluj.ro BBTE Fraktál alapú képtömörítés p. 1/26 Bevezetés tömörítések veszteségmentes (lossless) - RLE, Huffman, LZW veszteséges (lossy) - kvantálás, fraktál
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Adatszerkezetek II. 1. előadás
Adatszerkezetek II. 1. előadás Gráfok A gráf fogalma: Gráf(P,E): P pontok (csúcsok) és E P P élek halmaza Fogalmak: Irányított gráf : (p 1,p 2 ) E-ből nem következik, hogy (p 2,p 1 ) E Irányítatlan gráf
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Algoritmuselmélet 1. előadás
Algoritmuselmélet 1. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Február 11. ALGORITMUSELMÉLET 1. ELŐADÁS 1 Források
Gráfok, definíciók. Minden irányítatlan G = (V,E) gráf olyan irányított gráfnak tekinthető, amelyre teljesül, hogy
Gráfok, definíciók Irányítatlan gráf: G = (V,E), ahol E rendezetlen (a,b),a,b V párok halmaza. Irányított gráf: G = (V,E) E rendezett (a,b) párok halmaza; E V V. Címkézett (súlyozott) gráf: G = (V,E,C)
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Gráfok 1. Tárolási módok, bejárások. Szoftvertervezés és -fejlesztés II. előadás. Szénási Sándor
Gráfok 1. Tárolási módok, bejárások előadás http://nik.uni-obuda.hu/sztf2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Gráfok 1. Tárolási módok Szélességi
INFORMATIKA javítókulcs 2016
INFORMATIKA javítókulcs 2016 ELMÉLETI TÉTEL: Járd körbe a tömb fogalmát (Pascal vagy C/C++): definíció, egy-, két-, több-dimenziós tömbök, kezdőértékadás definíciókor, tömb típusú paraméterek átadása alprogramoknak.
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2016.
Felvételi tematika INFORMATIKA
Felvételi tematika INFORMATIKA 2016 FEJEZETEK 1. Természetes számok feldolgozása számjegyenként. 2. Számsorozatok feldolgozása elemenként. Egydimenziós tömbök. 3. Mátrixok feldolgozása elemenként/soronként/oszloponként.
1. tétel - Gráfok alapfogalmai
1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési
Számítógép hálózatok, osztott rendszerek 2009
Számítógép hálózatok, osztott rendszerek 2009 1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok 1 Az előadáshoz Előadás: Hétfő 10:00 12:00 óra Gyakorlat: Hétfő 14:00-16:00 óra Honlap: http://people.inf.elte.hu/lukovszki/courses/0910nwmsc
10. előadás. Konvex halmazok
10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója
Diszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. előadás Gráfok halmaza, gráf, ahol a csúcsok halmaza, az élek illesztkedés reláció: illesztkedik az élre, ha ( -él illesztkedik
Gráfelméleti alapfogalmak
1 Gráfelméleti alapfogalmak Gráf (angol graph= rajz): pontokból és vonalakból álló alakzat. pontok a gráf csúcsai, a vonalak a gráf élei. GRÁ Irányítatlan gráf Vegyes gráf Irányított gráf G H Izolált pont
Melykeres(G) for(u in V) {szin(u):=feher Apa(u):=0} for(u in V) {if szin(u)=feher then MBejar(u)}
Mélységi keresés Ez az algoritmus a gráf pontjait járja be, eredményképpen egy mélységi feszítőerdőt ad vissza az Apa függvény által. A pontok bejártságát színekkel kezeljük, fehér= érintetlen, szürke=meg-
Algoritmuselmélet. 2-3 fák. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 8.
Algoritmuselmélet 2-3 fák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 8. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 8. előadás
EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF
Összefoglaló Gráfok / EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF Adott a G = (V, E) gráf ahol a V a csomópontok, E az élek halmaza E = {(x, y) x, y V, x y (nincs hurokél) és (x, y) = (y, x)) Jelölések:
Algoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 11. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm () 1 / 1 NP-telesség Egy L nyelv NP-teles, ha L NP és minden L NP-re L L. Egy Π döntési feladat NP-teles, ha Π NP és
Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Gráfok. Programozás II. előadás. Szénási Sándor.
Gráfok előadás http://nik.uni-obuda.hu/prog2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Tárolási módok Szélességi bejárás Mélységi bejárás Legrövidebb
Javító és majdnem javító utak
Javító és majdnem javító utak deficites Hall-tétel alapján elméletileg meghatározhatjuk, hogy egy G = (, ; E) páros gráfban mekkora a legnagyobb párosítás mérete. Ehhez azonban első ránézésre az összes
10. Gráf absztrakt adattípus, gráfok ábrázolása
Gráf absztrakt adattípus, gráfok ábrázolása Definíciók Irányítatlan gráf:g = (V, E) E rendezetlen {a,b,a,b V párok halmaza Irányított gráf:g = (V,E) E rendezett (a,b) párok halmaza; E V V Multigráf: G
Adatszerkezetek II. 3. előadás
Adatszerkezetek II. 3. előadás Körmentes-e egy irányítatlan gráf? Alapötlet: Ha a bejárás során minden szürke pontból csak fehér pontba vezet él, akkor a gráf körmentes. 2013.02.27. 2 Körmentes?(p): Szín(p):=szürke;
Algoritmusok és adatszerkezetek II. régebbi vizsgakérdések.
Algoritmusok és adatszerkezetek II. régebbi vizsgakérdések. Ásványi Tibor asvanyi@inf.elte.hu 2017. július 4. Az eljárásokat és függvényeket megfelel en elnevezett és paraméterezett struktogramok segítségével
Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek
Diagnosztika - 3. p. 1/2 Modell Alapú Diagnosztika Diszkrét Módszerekkel Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék Diagnosztika - 3.
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz. Diszkrét matematika 2.C szakirány 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 207.
Informatikai Rendszerek Alapjai
Informatikai Rendszerek Alapjai Dr. Kutor László A redundancia fogalma és mérése Minimális redundanciájú kódok 1. http://uni-obuda.hu/users/kutor/ IRA 2014 könyvtár Óbudai Egyetem, NIK Dr. Kutor László
angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy
Mohó algoritmusok angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy 1. feladat. Gazdaságos telefonhálózat építése Bizonyos városok között lehet direkt telefonkapcsolatot kiépíteni, pl. x és y város
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Gyakori elemhalmazok kinyerése
Gyakori elemhalmazok kinyerése Balambér Dávid Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar Számítástudomány szakirány 2011 március 11. Balambér Dávid (BME) Gyakori
Elmaradó óra. Az F = (V,T) gráf minimális feszitőfája G-nek, ha. F feszitőfája G-nek, és. C(T) minimális
Elmaradó óra A jövő heti, november 0-dikei óra elmarad. Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: C(T ) = (u,v)
KÓDOLÁSTECHNIKA PZH. 2006. december 18.
KÓDOLÁSTECHNIKA PZH 2006. december 18. 1. Hibajavító kódolást tekintünk. Egy lineáris bináris blokk kód generátormátrixa G 10110 01101 a.) Adja meg a kód kódszavait és paramétereit (n, k,d). (3 p) b.)
Mohó algoritmusok. Példa:
Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus sokszor olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Ezt gyakran dinamikus programozás alapján
Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
A számítástudomány alapjai. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
A számítástudomány alapjai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Bináris keresőfa, kupac Katona Gyula Y. (BME SZIT) A számítástudomány
HÁLÓZAT Maximális folyam, minimális vágás
HÁLÓZAT Maximális folyam, minimális vágás HÁLÓZAT informálisan Hálózat Irányított gráf Mindegyik élnek adott a (nemnegatív) kapacitása Spec csúcsok: Forrás (Source): a kiindulási pont csak ki élek Nyelő
Hálózati folyamok. Tétel: A maximális folyam értéke megegyezik a minimális vágás értékével.
Hálózati folyamok Definíció: Legyen G = (V,E) egy irányított gráf, adott egy c: E R + {0} ún. kapacitásfüggvény, amely minden (u,v) ε E élhez hozzárendel egy nem negatív c(u,v) kapacitást. A gráfnak van
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
Legrövidebb útkereső algoritmusok
EÖTVÖS LÓRÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Legrövidebb útkereső algoritmusok A diplomamunkát készítette: Podobni Katalin Matematika Bsc Matematikai elemző szakirány Témavezető: Nagy Adrienn PhD
Adatszerkezetek II. 2. előadás
Adatszerkezetek II. 2. előadás Gráfok bejárása A gráf bejárása = minden elem feldolgozása Probléma: Lineáris elrendezésű sokaság (sorozat) bejárása könnyű, egyetlen ciklussal elvégezhető. Hálós struktúra
Diszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
A gráffogalom fejlődése
A gráffogalom fejlődése ELTE Informatikai Kar, Doktori Iskola, Budapest Batthyány Lajos Gimnázium, Nagykanizsa erdosne@blg.hu a prezentáció kézirata elérhető: http://people.inf.elte.hu/szlavi/infodidact16/manuscripts/ena.pdf
Gráfok bejárása. Szlávi Péter, Zsakó László: Gráfok II :17
Gráfok 2. előadás Gráfok bejárása A gráf bejárása = minden elem feldolgozása Probléma: Lineáris elrendezésű sokaság (sorozat) bejárása könnyű, egyetlen ciklussal elvégezhető. Hálós struktúra bejárása nem
Melykeres(G) for(u in V) {szin(u):=feher Apa(u):=0} for(u in V) {if szin(u)=feher then MBejar(u)}
Példa Adott egy n n-es sakktábla. Az (1,1) mezőn áll egy huszár. Határozzuk meg eljuthat -e az (u,v) mezőre, ha igen adjunk meg egy legkevesebb lépésből álló utat! Adjunk algoritmust, ami megoldja a feladatot.
Gráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma
Készítette: Laczik Sándor János Gráfelmélet I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Definíció: a G=(V,E) párt egyszerű gráfnak nevezzük, (V elemeit a gráf csúcsainak/pontjainak,e elemeit
Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter
Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter 1 Fák Fákat akkor használunk, ha az adatok között valamilyen alá- és fölérendeltség van. Pl. könyvtárszerkezet gyökér (root) Nincsennek hurkok!!! 2 Bináris fák Azokat
23. SZÉLESSÉGI BEJÁRÁS
23. SZÉLESSÉGI BEJÁRÁS A bejárási algoritmusok feladata általában a gráf csúcsainak végiglátogatása valamilyen stratégia szerint. A bejárás gyakran azért hajtjuk végre, mert adott tulajdonságú csúcsot
Melykeres(G) for(u in V) {szin(u):=feher Apa(u):=0} for(u in V) {if szin(u)=feher then MBejar(u)}
Példa Adott egy sziget ahol 42 kaméleon lakik. A kaméleonok három színt vehetnek fel piros, kék és zöld. Ha két különböző színű kaméleon találkozik, akkor megijednek és mindkettő átváltoztatja a színét
Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar
Algoritmizálás Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar horvath@inf.u-szeged.hu 0.1. Az algoritmikus tudás szintjei Ismeri (a megoldó algoritmust) Érti Le tudja pontosan
Programozás. (GKxB_INTM021) Dr. Hatwágner F. Miklós április 4. Széchenyi István Egyetem, Gy r
Programozás (GKxB_INTM021) Széchenyi István Egyetem, Gy r 2018. április 4. Számok rendezése Feladat: Fejlesszük tovább úgy a buborék rendez algoritmust bemutató példát, hogy a felhasználó adhassa meg a
Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra:
Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: C(T ) = (u,v) T c(u,v) Az F = (V,T) gráf minimális feszitőfája G-nek,
Házi feladatok megoldása. Nyelvek felismerése. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 5. gyakorlat
Házi feladatok megoldása Nyelvek felismerése Formális nyelvek, 5. gyakorlat 1. feladat Adjunk a következő nyelvet generáló 3. típusú nyelvtant! Azon M-áris számrendszerbeli számok, melyek d-vel osztva
GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus
GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,
Az Informatika Elméleti Alapjai
Az Informatika Elméleti Alapjai Dr. Kutor László Az üzenet információ-tartalma és redundanciája Minimális redundanciájú kódok Statisztika alapú tömörítő algoritmusok http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/iea.html
Algoritmusok és adatszerkezetek 2.
Algoritmusok és adatszerkezetek 2. Varga Balázs gyakorlata alapján Készítette: Nagy Krisztián 11. gyakorlat Huffmann-kód Egy fát építünk alulról felfelé részfák segítségével. A részfa száraira 0 és 1-eseket
Súlyozott automaták alkalmazása
Súlyozott automaták alkalmazása képek reprezentációjára Gazdag Zsolt Szegedi Tudományegyetem Számítástudomány Alapjai Tanszék Tartalom Motiváció Fraktáltömörítés Súlyozott véges automaták Képek reprezentációja
INFORMATIKA tétel 2019
INFORMATIKA tétel 2019 ELIGAZÍTÁS: 1 pont hivatalból; Az 1-4 feladatokban (a pszeudokód programrészletekben): (1) a kiír \n utasítás újsorba ugratja a képernyőn a kurzort; (2) a / operátor osztási hányadost
38. A gráfalgoritmusok alkalmazása
38. A gráfalgoritmusok alkalmazása Állapotok és átmenetek A gráf adattípus nagyon sokféle feladat megoldásánál alkalmazható. Rejtvények, játékok, közlekedési és szállítási problémák, stratégiai feladatok
Smalltalk 2. Készítette: Szabó Éva
Smalltalk 2. Készítette: Szabó Éva Blokkok Paraméter nélküli blokk [műveletek] [ x := 5. 'Hello' print. 2+3] Kiértékelés: [művelet] value az értéke az utolsó művelet értéke lesz, de mindet kiírja. x :=