Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése"

Diána Gulyásné
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése 6. el adás Hálózatok növekedési modelljei: `uniform és preferential attachment' El adó: London András október 12.

2 Hogyan n nek a hálózatok? Statikus hálózatos modellek: a pontok száma (n) x, az élket `valamilyen véletlen' generálja Erd s-rényi modell (kis távolságok, alacsony klaszterezettég) Watts-Strogatz modell (kis távolságok, magas klaszterezettség) Kongurácó modell (adott fokszámsorozatú gráf) Sztochasztikus Blokk Model (adott magasszint struktúra) Ugyanakkor sokszor valós dinamikus rendszereket modellezünk hálózattal gondoljuk a web gráf n vekedésére a baráti és munkahelyi kapcsolatok kialakulására a tudományos publikációk citációira

alacsony klaszterezettég) Watts-Strogatz modell (kis távolságok, magas klaszterezettség) Kongurácó modell (adott fokszámsorozatú

3 Komplex hálózatok szerkezetét vizsgálva (fokszámeloszlás, közösségszerkezet, centralitások, stb.) számos tulajdonságot megtudhatunk a modellezett rendszerr l, DE nem feltétlenül tudjuk, hogy miért pont ezek a mintázatok jelennek meg? Szociális hálókban miért nagy a klaszterezettség? Biológiai rendszerekben miért jelent s a mag-periféria szerkezet? Tudományos publikációk citációs hálózata miért követ hatványtörvényes fokszámeloszlást Online közösségi hálókban miért jelennek meg `vastag-farkú' fokszámeloszlások? = Milyen mechanizmus hozta létre ezeket a hálózatokat?

Szociális hálókban miért nagy a klaszterezettség? Biológiai rendszerekben miért jelent s a mag-periféria szerkezet?

4 Hatványtörvény P(k i = k) = ck α Városok lakossága Szexuális partnerek száma Gének kópiáinak száma egy genomban stb.

5 A hatványtörvények története Pareto, 1897: Pareto eloszlás (80-20 törvény): a javak 80%-át a lakosság 20%-a birtokolja Zipf, 1916: szavak gyakorisága szövegekben, városok lakossága (a j-edik leggyakoribb angol szó gyakorisága az összes szövegben 1/j-vel arányos) Simon, 1955: a gazdag még gazagabb lesz (the rich gets richer) Price, 1965: citációs hálózatok vizsgálata; az ötlet: egy tudományos cikk annál több idézést kap, minél több idézést kapott már eddig kumulatív el ny Albert Réka és Barabási László, 1999: preferential attachment

Simon, 1955: a gazdag még gazagabb lesz (the rich gets richer) Price, 1965: citációs hálózatok vizsgálata; az ötlet: egy tudományos

6 Barabási-Albert modell 1 Preferential attachment dinamikus modell: 1 kezetben egy összefügg G 0 gráf n 0 ponton 2 t id pontban hozzáadunk G t -hez egy új v pontot úgy, és m 0 élt v -b l G t 1 -be, hogy P(v-t összekötjük egy meglév i-vel) = k i j k j 1 Barabási & Albert, Science, 1999

t -hez egy új v pontot úgy, és m 0 élt v -b l G t 1 -be, hogy P(v-t

7 Barabási-Albert modell Ebb l P(létez i pont kap új élt t id pontban) = m 0 k i j k j t-ben összesen tm 0 él van a gráfban = t j=1 k j(t) = 2tm 0. A kett b l adódik, hogy annak a valószín sége, hogy az i pont kap új élt t-ben (t = 1, 2,... ): k i (t) 2t Kis csalással a várható fokszám id beli változását a dk i (t) dt = k i(t) 2t dierenciálegyenlet írja le a k i (i) = m 0 (az i-edik pontot i id pillanatban adtuk hozzá a gráfhoz) kezdeti feltétellel (feltéve, hogy a fokszám folytonos valószín ségi változó ez csalás!)

.. ): k i (t) 2t Kis csalással a várható fokszám id beli változását a dk i (t) dt = k i(t) 2t dierenciálegyenlet írja le a k i

8 Barabási-Albert modell Az egyenlet megoldsása: k i (t) = m 0 ( t i ) 1/2 A fokszámeloszlás meghátározásához meg kellene nézni, hogy t-ben hány pont foka kisebb vagy egyenl k-val: P(k i (t) < k) = P(m 0 ( t i ) 1/2 < k) Ebb l P(i > m0k/t 2 2 ) = 1 P(i m0t/k 2 2 ) = 1 m0t/k 2 2 (t + m 0 ) feltéve, hogy a pontokat egyenl id intervallumokon adjuk a rendszerhez

egyenl k-val: P(k i (t) < k) = P(m 0 ( t i ) 1/2 < k) Ebb l P(i > m0k/t 2 2 ) = 1 P(i

9 Barabási-Albert modell A s r ségfüggvény ebb l mely stacionárius megoldása P(k) = dp(k i(t) < k) dk P(k) = 2 m2 0 k 3 k 3 Azaz a modell egy skálafüggetlen fokszámeloszlású hálózatot generál.

10 Uniform attachment az i cimkéj pont t = i id pontban születik (i = 1, 2,... ) k i (t) az i pont foka t-ben kezdetben m 0 pont k i (i) = m 0 kezdeti feltétel Minden t id pillanatban az újonnan szület pont m 0 új éllel köt dik a már meglév t ponthoz véletlen szer en, ezért t > i-ben az i pont várható fokszáma: dk i (t) dt = m t Ezután ugyanaz a sztori, mint az el bb. (szorgalmi feladat)

pillanatban az újonnan szület pont m 0 új éllel köt dik a már meglév t ponthoz véletlen szer en,

11 Vertex copy Adott egy G 0 hálózat Válasszunk egy pontot ki véletlen szer en, másoljuk le az összes élével együtt Minden élre dobjunk fel egy érmét: ha fej (q-val), akkor ugyanahhoz a ponthoz kössük be, ahova az eredeti pont esetén volt kötve, ha írás (1 q), akkor véletlenül választott ponthoz kössük be = Itt is a hatványtörvényes fokszámeloszlás jön el (projekt feladat)

ponthoz kössük be, ahova az eredeti pont esetén volt kötve, ha írás (1 q), akkor véletlenül

Hasonló dokumentumok

Hálózatok fejlődése A hatványtörvény A preferential attachment A uniform attachment Vertex copy. SZTE Informatikai Intézet

Hálózatok fejlődése A hatványtörvény A preferential attachment A uniform attachment Vertex copy. SZTE Informatikai Intézet Hálózattudomány SZTE Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék Előadó: London András 4. Előadás Hogyan nőnek a hálózatok? Statikus hálózatos modellek: a pontok száma (n) fix, az éleket valamilyen