Rekurzív sorozatok oszthatósága

Átírás

1 Debreceni Egyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet Szakdolgozat Rekurzív sorozatok oszthatósága készítette: Barta Attila Matematika BSc szakos hallgató témavezet : Dr Tengely Szabolcs egyetemi adjunktus Debrecen 2016

2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék i 1 Rekurzív sorozatok 2 2 Bináris rekurziók 4 21 A zárt formula 4 22 A Fibonacci sorozat zárt alakja 5 23 Rekurzív rend 6 24 A Fibonacci sorozat rekurzív rendje 13 3 Általános lineáris csoport 15 4 Sage kódok 17 Irodalomjegyzék 20 i

3 Bevezet Szakdolgozatomban a bináris rekurziókban fellép oszhatósági szabályokat vizsgáljuk Az els fejezetben általánosan deniáljuk a rekurzív sorozat fogalmát és egy példán keresztül bemutatjuk a sorozat n-edik tagjának explicit megadási módját A második fejezetben deniáljuk a bináris rekurziót és a továbbiakban ezeket a sorozatokat fogjuk vizsgálni mátrixos formában a bennük fellelhet periódusok szerint A harmadik fejezetben a csoportelmélet alapján adunk oszthatósági szabályokat A negyedik fejezetben a Sage programot használva tetsz leges prímre adunk olyan sorozatokat amelyekben különböz oszthatóságok lépnek fel 1

4 1 Rekurzív sorozatok 101 Deníció Egy S halmaz feletti s i i N = s 0 s 1 s 2 s i végtelen sorozatot m-edrendben rekurzívnak nevezünk ha létezik olyan m-változós F : S m S függvény mellyel tetsz leges nemnegatív egész i-re s i+m = F s i s i+1 s i+m 1 A következ kben egy ismertebb matematikai játékról a Hanoi tornyairól és az ehhez kapcsolható rekurzióról lesz szó Összesen három rúd áll rendelkezésre és a játék szabályai szerint az els rúdról az utolsóra kell átrakni a korongokat úgy hogy minden lépésben egy korongot lehet áttenni nagyobb korong pedig nem tehet kisebb korongra Mennyi a legkevesebb szükséges lépés amivel az els rúdról a harmadik rúdra lehet juttatni a korongokat? A megoldáshoz szükséges lépésszámot a következ rekurzió írja le: t n = 2 n 1 ahol n az átpakolni kívánt korongok száma Bizonyítás A bizonyítás teljes indukcióval történik n = 1 esetben a lépések száma 1 Tegyük fel hogy n darab korong esetén a megoldásszám t n Ekkor t n+1 = 2t n + 1 mivel n darabot t n lépéssel tudunk áttenni a középs rúdra és a legalsó helyrerakása után szintúgy t n lépés kell hogy a harmadik rúdra helyezzük ket 2 1 Jelölje T a rekurzióhoz csatolható mátrixot: T = T sajátértékei és 1 Legyen D = S 1 Ekkor T t n = A sajátvektorokból álló mátrix: S = t n = 2

5 FEJEZET 1 REKURZÍV SOROZATOK 3 Ezután kapjuk hogy T n 1 = SD n 1 S 1 = Így eljutunk az explicit alakhoz: 2 n 1 2 n t n 0 1 = 2 n = = t n 1 2 n 1 2 n

6 2 Bináris rekurziók A következ kben a bináris rekurziókkal fogunk részletesebben foglalkozni 202 Deníció Egy s i = c 1 s i 1 + c 2 s i c m s i m képlettel ellátott rekurziót m-edfokú lineáris rekurziónak nevezünk c i R 21 A zárt formula Az s n = us n 1 + vs n 2 rekurzió felírható a következ alakban: s n 1 s n = u v s n 2 Legyen az M mátrix a következ : M = s 2 vs 1 s 1 vs 0 = u v 211 Tétel M n = s n+1 s n vs n vs n 1 Bizonyítás A bizonyítást teljes indukcióval végezzük Az n = 1 esetben M deníciójából adódik az állítás Tegyük fel hogy n-re igaz Ekkor M n+1 = MM n u v s n+1 vs n = us n+1 + vs n s n+1 uvs n + v 2 s n 1 vs n s n = vs n 1 = s n+2 vs n+1 s n+1 vs n 4

7 FEJEZET 2 BINÁRIS REKURZIÓK 5 Az M mátrix karakterisztikus polinomjának gyökeit jelölje ezentúl α és β: α = u + u 2 + 4v β = u u 2 + 4v 2 2 Számoljuk ki az α sajátértékhez tartozó X Y sajátvektort Ehhez a következ lineáris egyenletrendszert oldjuk meg: ami ekvivalens az egyenlettel Ebb l adódóan u α v 1 α X Y = 0 u αx + vy = X αy u α 1X = v αy Hasonlóan kaphatjuk a β -hoz tartozó sajátvektort α 0 Jelölje T a sajátvektorokból álló mátrixot és legyen D = 0 β Ha α β akkor a megfelel sajátvektorok segítségével az M mátrix felírható a következ alakban: M = T DT 1 Ekkor M n = T DT 1 n = T D n T 1 = T 22 A Fibonacci sorozat zárt alakja A következ kben a [2] cikket használtuk fel A Fibonacci sorozatot a következ képp deniáljuk: F 0 = 0 F 1 = 1 F n = F n 1 + F n 2 α n 0 0 β n Ebben az esetben a rekurzió együtthatói: u = 1 és v = 1 Ekkor a fentebb leírtak alapján: T 1 α = A következ azonosságok teljesülnek: β = α 2 = α + 1 β 2 = β + 1 α β = 5 α + β = 1 1 α = β 1 β = α

8 FEJEZET 2 BINÁRIS REKURZIÓK 6 Ekkor a sajátvektorokat a következ képp szá- Legyen M a rekurzió mátrixa moljuk: α 1 αi M = 1 1 α α α α = α α 2 1 α 1 α 1 α 1 α 0 0 β esetben hasonlóképpen eljárva kapjuk hogy diagonizáláshoz a bázistranszformáció mátrixa: α β T = 1 1 Ennek a mátrixnak az inverze: T 1 = β 1 α Ezek után már könnyen tudjuk M hatványát számolni: M n = 1 α β α n 0 1 β β n 0 1 α Ekkor kapjuk hogy: F n+1 F n = M n 1 0 = 1 5 α n+1 β n+1 α n β n A végén megkapjuk a zárt formulát: [ F n = Rekurzív rend n 1 n ] 5 2 Az alábbiakban az s n = us n 1 + vs n 2 bináris rekurziót fogjuk vizsgálni ahol u v Z és s 0 = 0 s 1 = Deníció Egy rekurzív sorozat periódusán azt a legkisebb k > 1 természetes számot értjük modulo m felett m N amelyre s k 0 mod m és s k+1 1 mod m Jelölés: km Legyen p prím Ekkor a modulo p maradékosztályok rendszere véges testet alkot Jele: GF p

9 FEJEZET 2 BINÁRIS REKURZIÓK Tétel Egy bináris rekurzió modulo p feletti periódusának fels korlátja p 2 1 Bizonyítás Két egymást követ tag egyértelm en meghatározza az ket követ harmadikat Mivel két nulla nem állhat egymás mellett ezért p 2 1 féle szomszédot állíthatunk össze A továbbiakban a rekurzió rendjét mátrixának sajátértékei szerint fogjuk vizsgálni a következ feltételek mellett: p prím u v GF p u 0 v Tétel Ha u 2 4v GF p és u 2 4v 0 akkor a rekurzió rendje osztja p 1-et λ Bizonyítás A mátrix ekkor alakra diagonizálható ahol λ 1 és λ 2 a 0 λ 2 mátrix sajátértékei Legyen T a sajátvektorokból álló mátrix A kis Fermat-tétel szerint λ p 1 1 és λ p 1 2 azonosan 1 így p 1 u v = T 0 1 T 1 = Példa modulo 5 felett az u = 1 v = 2 rekurzió 1 2 A mátrixos alak ekkor: A sajátértékek: 2 és 4 A mátrix periódusa: p 1 = 4 A mátrix hatványai: n s n s n mod p Ekkor a sorozat minden negyedik eleme oszható 5-tel Ezen oszthatósági szabályt a periódusszám is megadja

10 FEJEZET 2 BINÁRIS REKURZIÓK Példa modulo 11 felett az u = 1 v = 2 rekurzió 10 2 A mátrixos alak ekkor: A sajátértékek: 1 és 9 p 1 A mátrix periódusa: 2 = 5 A mátrix hatványai: n s n s n mod p Ekkor a sorozat minden ötödik eleme oszható 11-gyel Ezen oszthatósági szabályt a periódusszám is megadja λ k k λ k Lemma Egy 2 2-es Jordan blokk k-adik hatványa 0 λ k alakú ahol λ a mátrix sajátértéke Bizonyítás A bizonyítást teljes indukcióval végezzük Az n = 1 esetben triviális az állítás Tegyük fel hogy n = k esetben teljesül az indukció Ekkor n = k + 1 esetben λ 1 λ k k λ k 1 λ k λ kλ k + λ k λ k+1 k + 1 λ k 0 λ 0 λ k = 0 λ k = λ 0 λ k Tétel Ha v = u2 4 akkor a mátrix periódusa osztja pp 1-et Bizonyítás Mivel v = u2 4 a diszkrimináns 0 A mátrix ekkor Jordan-féle normálalakra hozható: amely k-adik hatványa: λ 1 λ k k λ k 1 0 λ 0 λ k Ekkor a mátrixot p 1-edik hatványra emelve a f átlóban egyeseket kapunk Továbbá p-edik hatványra emelve a f átlón kívüli elemeket kinullázzuk Így pp 1 u v = T 0 1 T 1 = 0 1 amib l következik hogy s pp s pp 1 1 mod p

11 FEJEZET 2 BINÁRIS REKURZIÓK Példa modulo 5 felett az u = 1 v = 1 rekurzió 1 1 A mátrixos alak ekkor: A sajátértékek: 3 kétszeres multiplicitással A mátrix periódusa: p 1p = 20 A mátrix hatványai: n u n u n mod p n u n u n mod p Ekkor a sorozat minden ötödik eleme oszható 5-tel A periódusszám valódi osztója ad oszthatósági szabályt 234 Példa modulo 5 felett az u = 2 v = 1 rekurzió 2 1 A mátrixos alak ekkor: A sajátértékek: 4 kétszeres multiplicitással p 1 A mátrix periódusa: 2 p = 10 A mátrix hatványai:

12 FEJEZET 2 BINÁRIS REKURZIÓK 10 n u n u n mod p n u n u n mod p Ekkor a sorozat minden ötödik eleme oszható 5-tel A periódusszám valódi osztója ad oszthatósági szabályt 235 Példa modulo 5 felett az u = 2 v = 1 rekurzió 2 1 A mátrixos alak ekkor: A sajátértékek: 1 kétszeres multiplicitással A mátrix periódusa: p = 5 A mátrix hatványai: n u n u n mod p Ekkor a sorozat minden ötödik eleme oszható 5-tel Ezen oszthatósági szabályt a periódusszám is megadja 236 Példa modulo 11 felett az u = 2 v = 1 rekurzió 2 1 A mátrixos alak ekkor: A sajátértékek: -1 kétszeres multiplicitással A mátrix periódusa: 2p = 22 A mátrix hatványai:

13 FEJEZET 2 BINÁRIS REKURZIÓK n u n u n mod p n u n u n mod p n u n u n mod p Ekkor a sorozat minden tizenegyedik eleme oszható 11-gyel valódi osztója ad oszthatósági szabályt A periódusszám 234 Tétel Ha a mátrix karakterisztikus polinomjának diszkriminánsa nem GF p-beli elem akkor a mátrix rendje osztja p 2 1-et Bizonyítás Kib vítjük a véges testet a diszkriminánssal Ekkor az így kapott test ekvivalens GF p 2 -tel A mátrixot diagonizáljuk és ekkor a kis Fermat-tétel szerint az elem rendje osztja p 2 1-et 237 Példa modulo 5 felett az u = 1 v = 2 rekurzió 1 2 A mátrixos alak ekkor: A sajátértékek: λ 4λ + 1 Z 5 /x 2 + x + 2 A mátrix periódusa: p 2 1 = 24 A mátrix hatványai:

14 FEJEZET 2 BINÁRIS REKURZIÓK 12 n u n u n mod p n u n u n mod p n u n u n mod p Ekkor a sorozat minden hatodik eleme oszható 5-tel osztója ad oszthatósági szabályt A periódusszám valódi 238 Példa modulo 5 felett az u = 2 v = 1 rekurzió 2 1 A mátrixos alak ekkor: A sajátértékek: λ + 3 4λ + 4 Z 5 /x 2 + x + 2 p A mátrix periódusa: = 12 A mátrix hatványai: n u n u n mod p n u n u n mod p Ekkor a sorozat minden harmadik eleme oszható 5-tel A periódusszám valódi osztója ad oszthatósági szabályt

15 FEJEZET 2 BINÁRIS REKURZIÓK A Fibonacci sorozat rekurzív rendje A következ kben a Fibonacci sorozat oszthatóságát vizsgáljuk 241 Tétel 2 F 3n ahol n N Bizonyítás Az n = 1 esetben igaz: F 3 = 2 Tegyük fel hogy n-re igaz: 2 F n Ekkor n + 1 esetén: F n+3 = F n+2 + F n+1 = F n+1 + F n + F n+1 = 2F n+1 + F n 242 Tétel 3 F 4n ahol n N Bizonyítás Az n = 1 esetben igaz: F 4 = 3 Tegyük fel hogy n-re igaz: 3 F n Ekkor n + 1 esetén: F n+4 = F n+3 + F n+2 = F n+2 + F n+1 + F n+1 + F n = F n+1 + F n + F n+1 + F n+1 + F n = 3F n+1 + 2F n 243 Tétel 5 F 5n ahol n N Bizonyítás Az n = 1 esetben igaz: F 5 = 5 Tegyük fel hogy n-re igaz: 5 F n Ekkor n + 1 esetén: F n+5 = F n+4 + F n+3 = F n+3 + F n+2 + F n+2 + F n+1 = F n+2 + F n+1 + F n+1 + F n + F n+1 + F n + F n+1 = 5F n+1 + 3F n A következ kben a Fibonacci sorozat periódusát fogjuk vizsgálni az [1] cikk alapján A Fibonacci periódusának fels korlátja m 2 1 modulo m felett mert minden két egymást követ tag meghatározza az utánuk következ ket így m 2 1 féle szomszédot tudunk összeállítani mivel két nulla nem állhat egymás mellett Ezentúl jelölje U n = F n+1 F n F n F n 1 a Fibonacci mátrix n-edik hatványát és α β a Fibonacci mátrix sajátértékeit α 0 Legyen D = és C az ehhez tartozó sajátvektorokból álló mátrix 0 β Ha a sajátértékek megegyeznek akkor D egy Jordan blokk 241 Lemma A periódus osztója bármely n-nek amelyre teljesül a D n = E egyenl ség 244 Tétel Ha p egy páratlan prím és p 1 vagy p 4 mod 5 akkor kp p 1 Bizonyítás A sajátvektorok ekkor különböz ek A Fermat-tétel alapján α p 1 β p 1 1 mod p ezért D n = E

16 FEJEZET 2 BINÁRIS REKURZIÓK 14 Ha p 2 vagy p 3 mod 5 akkor az U mátrix karakterisztikus polinomjának nincsenek gyökei GF p-ben ezért kénytelen vagyunk testet b víteni Legyen F = GF p x/x 2 x 1 Ekkor F izomorf GF p 2 -tel 242 Lemma Ha p 2 vagy p 3 mod 5 akkor 5 p = Lemma α p+1 β p+1 F felett 245 Tétel Ha p egy páratlan prím és p 2 vagy p 3 mod 5 akkor kp 2p + 1 Bizonyítás Tudjuk hogy αβ = 1 mod p 2 így α p+1 α p+1 = α p+1 β p+1 = 1 p+1 Mivel p páratlan ezért 1 p+1 = 1 így α 2p+1 = 1 Az el z lemma alapján tudjuk hogy β 2p+1 = 1

17 3 Általános lineáris csoport Ebben a fejezetben az általános lineáris csoport rendje által fogunk eljutni a bináris rekurzív sorozatok rendjéig 301 Deníció Általános lineáris csoportnak nevezzük a V vektortér invertálható lineáris transzformációinak csoportját Jele: GLV 302 Deníció A másodrangú lineáris csoport egy véges test felett a mátrixszorzással deniált 2 2-es invertálható mátrixok csoportja Jele: GL2 F 306 Tétel Legyen p prím Egy GL2 p-beli mátrix rendje legfeljebb p 2 pp 2 1 Bizonyítás A mátrix els sorába p 2 1 féle elempárt választhatunk mivel a csupa nulla sor szingularitáshoz vezetne Ekkor a második sorba az els nem skalárszorosa szerepelhet amib l p 2 p darab létezik 307 Tétel Legyen s n = us n 1 ± s n 2 rekurzió Ekkor bármely p prím osztja s 2pp 2 1-et Bizonyítás Legyen G := {A M 2 Z p deta = ±1} és M = u ±1 Ekkor M G és G rendje 2pp 2 1 s Így n+1+2pp 2 1 s n+2pp 2 1 s n+2pp 2 1 s n 1+2pp 2 1 s n+1 s n s n s n 1 mod p = M n+2pp2 1 = M n = 15

18 FEJEZET 3 ÁLTALÁNOS LINEÁRIS CSOPORT 16 1 Következmény Bármely p prím osztja F 2pp 2 1-et ahol F n a Fibonacci sorozat n-edik tagja Bizonyítás Az el z tétel bizonyítása alapján: 1 1 {A M 2 Z p deta = ±1} 303 Deníció Az u = 2 v = 1 bináris rekurziót Pell sorozatnak hívjuk 2 Következmény Bármely p prím osztja P 2pp 2 1-et ahol P n a Pell sorozat n-edik tagja 3 Következmény Bármely p prím osztja s 2pp 2 1-et ahol s n az u = 4 v = 1 rekurzió n-edik tagja 301 Példa A fentebb leírt sorozat néhány tagja: n s n

19 4 Sage kódok Ebben a fejezetben három Sage [5] programon keresztül szerkesztünk példákat a p 1 p 2 p és a p 2 1 osztóival megegyez periódusszámokra 402 Példa def rekuvn: if n==0: return 0 elif n==1: return 1 return u*rekuvn-1+v*rekuvn-2 def _p='p'7: Mp=MatrixSpaceGFp22 L=p-1divisors Lremove1 for d in L: Md=[k for k in Mp if k[10]==1 and k[01]!=0 and k[11]==0 and k[00]^2+4*k[01]is_square and k[00]k[01]!=00 and kmultiplicative_order==d] pretty_printhtml'egy mátrix amelynek a rendje $%s$:'%latexd M1=Mdpop pretty_printm1 pretty_printhtml'kapcsolódó rekurzív sorozat: $a_0=0a_1=1a_n=%sa_{n-1}+\%sa_{n-2}$' %latexm1[00]latexm1[01] Muj=[krekM1[00]M1[01]k for k in [02*d]] pretty_printmuj 403 Példa def rekuvn: if n==0: return 0 elif n==1: return 1 17

20 FEJEZET 4 SAGE KÓDOK 18 else: return def _p='p'5: Mp=MatrixSpaceGFp22 L=p-1*pdivisors Lremove1 for d in L: Md=[k for k in Mp if k[10]==1 and k[01]!=0 and k[11]==0 and k[00]^2+4*k[01]==0 and k[00]k[01]!=00 and kmultiplicative_order==d] if Md!=[]: pretty_printhtml'egy mátrix amelynek a rendje $%s$: '%latexd M1=Mdpop pretty_printm1 pretty_printhtml'kapcsolódó rekurzív sorozat: $a_0=0 a_1=1a_n= %sa_{n-1}+%sa_{n-2}$'%latexm1[00]latexm1[01] Muj=[krekM1[00]M1[01]k for k in [02*d]] pretty_printmuj 404 Példa def rekuvn: if n==0: return 0 elif n==1: return 1 else: return def _p='p'5: Mp=MatrixSpaceGFp22 L=p^2-1divisors Lremove1 for d in L: Md=[k for k in Mp if k[10]==1 and k[01]!=0 and k[11]==0 and k[00]^2+4*k[01]!=0 and k[00]^2+4*k[01]is_square==false and k[00]k[01]!=00 and kmultiplicative_order==d] if Md!=[]:

21 FEJEZET 4 SAGE KÓDOK 19 pretty_printhtml'egy mátrix amelynek a rendje $%s$: '%latexd M1=Mdpop pretty_printm1 pretty_printhtml'kapcsolódó rekurzív sorozat: $a_0=0 a_1=1a_n= %sa_{n-1}+%sa_{n-2}$'%latexm1[00]latexm1[01] Muj=[krekM1[00]M1[01]k for k in [02*d]] pretty_printmuj Az el z kódok egyikének futási képe a következ

22 Irodalomjegyzék [1] Sanjai Gupta Parousia Rockstroh and Francis Edward Su Splitting elds and periods of Fibonacci sequences modulo primes Math Mag Volume 85 Number 2 April [2] mwilliams/pdf/bonaccipdf [3] Charles W Campbell II The Period of the Fibonacci Sequence Modulo j Math 399 Spring 2007 [4] [5] W A Stein et al Sage Mathematics Software Version 71 The Sage Development Team