A gyors Fourier-transzformáció (FFT)

Átírás

1 A gyors Fourier-transzformáció (FFT) Egy analóg jel spetrumát az esete döntő többségében számítástechniai eszözöel határozzu meg. A jelet mintavételezzü és elvégezzü a mintasorozat diszrét Fouriertranszformációját. A transzformációhoz nagyszámú omplex szorzás és omplex összeadás elvégzésére van szüség. Egy 8 mintából álló sorozat esetén a transzformált iszámítása az alábbi: 7 { [ ] j n /8 X() = F x } = x(n) e π, =,...,7 (5.41) n= Vezessü be a π/8 = K ( =,...,7) jelölést és írju fel az összeget: X() x() e x(1) e x() e x(3) e jk jk1 jk jk3 = x(4) e ++ x(5) e + x(6) e + x(7) e =,...,7 jk4 jk5 jk6 jk7 (5.4) Az összegne nyolc összetevője van. Mindegyi tag tartalmaz egy szorzást. A szorzáso exponenciális tagja mindig omplex, a minta értée pedig valós vagy omplex. (A DSP-ben mindig valós mintáal dolgozun.) A nyolc szorzatot még össze is ell adni, és ezeet a műveleteet el ell végezni a mindegyi értée esetén. Ezzel minden mintához nyolc harmonius összetevőt rendeltün. A fenti műveletsort nevezi 8 pontos diszrét Fouriertranszformációna. Műveletigénye 8 =64 omplex szorzás és 8x7 =56 omplex összeadás. Általánosítva az pontos DFT műveletigénye omplex szorzás és (-1) omplex összeadás. Egy 14 pontos DFT esetén ez b. egymillió omplex szorzást és egymillió omplex összeadást jelent. Egyértelmű övetelmény, hogy ezt a számot valamilyen módon csöenteni ell. Ha figyelembe vesszü, hogy a számításo meglehetős számú belső redundanciát tartalmazna erre van is lehetőségün. jπn/8 j / Például ha = 1 és n =, aor e = e π. Ugyanez a helyzet = és n = 1 estén is. A DFT műveletigényéne csöentésére az első algoritmust 1965-ben dolgoztá i (Cooley és Tuey). A módszer lényege az időbeli decimálás (Decimation In Time, DIT). Az algoritmust gyors Fourier-transzformációna (Fast Fourier Transform) hívjá és röviden csa FFT-ne szoás nevezni. 14 pont esetén az FFT és a DFT műveletigényéne aránya 1:4.8, pontra általánosítva a számítási műveleteben log megtaarítás érhető el. Az pontos DFT az alábbi összefüggéssel számítható: 1 jπn/ X = x e, =,..., 1 1 n= n (5.43) Ha bevezetjü az alábbi jelölést: W j = e π/, (5.44) aor az egyenlőségün a övetezőéppen alaul: 1 n (5.45) n= n X = x W, =,..., 1 1

2 Ezen a ponton érdemes felírni néhány további, W -re vonatozó összefüggést: j / j / W ( j π / π π = e ) = e = e = W/ (5.46) ( + ) j( π/)( /) jπ W = W W = W e = W e = W (5.47) Az eddigieet összegezve: j π/ W = e ( a) W = W ( b) / (+ /) W = W () c (5.48) A fenti egyenlete által épviselt számítási redundanciá felhasználásával az eredeti mintasorozatun ét részre osztható, egyi a páros sorszámú, míg a mási a páratlan sorszámú mintáat tartalmazza. Mindegyi sorozatna ugyanolyan hosszúna ell lennie és páros darabszámú adatot (mintát) ell tartalmaznia. Ha a iindulási mintasorozatun netán páratlan számú mintából állt, i ell egészíteni egy nulla értéű mintával. De mivel a DFT-t szinte mindig n darabszámú mintán végezzü el, a ét övetelmény automatiusan teljesül. A ét részre osztás lehetővé teszi, hogy az X 1 () eredeti pontos DFT-je helyett felírhassu az X 11 () és X 1 () / pontos DFT-et. Ezt a folyamatot azután tovább ismételhetjü mindaddig, amíg / darab pontos DFT-ig nem jutun. A ét pontos DFT- imeneti adatait megfelelően négyes csoportoba ombinálva /4 darab 4 pontos DFT-t apun, de eze eredményét már nem ell számítani (megvanna), és így tovább mindaddig, amíg a végső pontos DFT végeredményét, az X 1 ()-t meg nem apju. Minden egyes lépésben találun egy olyan özös tényezőt, ami a W valamelyi hatványa, így a iszámítása csa egyszer szüséges, ismételt előfordulásaor már nem. Ezzel tehát az (5.45) átírható az alábbi módon: 1 1 n ( n+ 1) n n+ 1 n= n= X1() = x W + x W = Páros sorszámú min tá Páratlan sorszámú min tá / 1 / 1 n n xnw W xn+ 1W n= n= = + =,, 1 (5.49) Felhasználva az (5.48 a) összefüggést (5.49) így alaul: 1 1 n n n n+ 1 n= n= X() = x W + W x W =,, 1, (5.5) ami még így is írható: X = X + W X ( ), = 1,, 1 (5.51) Foglalju össze az eddigieet egy táblázatban 8 pontos DFT esetén:

3

4 Számítsu i a 6. sorban szereplő ifejezése értéét: X = x + W x =,, 4, vagyis =,1 (5.5) Tehát Míg X 1() = x+ x4 () jπ jπ = x+ e x4 = x x4 X 1 = x + W x = x + W x = x + e x = Hasonlóéppen: X = x + x X ( 1) = x x X () 3 = x1+ x5 X3 1 = x1 x5 X = x + x X () 1 = x x amiből azt láthatju, hogy a = és a = 1 esetben iszámítható értée csa egy előjellel térne el egymástól. Gondolatmenetünet alalmazhatju X 1 () ( =, 1,, 3) esetén is: így X = X + W X (5.53) 11 1 X = X + W X = X + X (5.54) jπ X () 1 = X () 1 + W X () 1 = X () 1 + e X () 1 = = X () 1 jx () 1 1 j ( π 8 ) X = X + W X = X 1 + e X = jπ = X + e X = X X 1 1 (5.55) (5.56) Most és ezzel (5.56): X = x + W x = x + W x = x + x = X X = x + W x = x + x = X X = X X (5.57) X ( 3) = X ( 3) + W X ( 3) (5.58) 11 1

5 Most és ezzel (5.58) így írható: 3 j ( π ) 3 X 3 = x + W x X = x + e x = j3π = x + e x = x x = X () X () 3 = x x = X () j () () ( π 4) 3 j3π X 3 = X 1 + e X () 1 = X () 1 + e X () 1 = = X () 1 + jx () 1 1 (5.59) Összefoglalva: X = X + X = X + W X ( a) X = X X = X W X ( b) X () 1 = X () 1 jx () 1 = X () 1 + W X () 1 () c X () 3 = X () 1 + jx () 1 = X () 1 W X () 1 ( d) (5.6) A számítás menetét összefoglalhatju a övetező oldalon látható ún. lepeábrán.

6

7 Az FFT műveleti nyeresége az alábbi táblázatban található: