Idősorok zajszűrése gyors Fourier - transzformációval

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Idősorok zajszűrése gyors Fourier - transzformációval"

Átírás

1 Idősorok zajszűrése gyors Fourier - transzformációval Készítette: Jakab Jenő Dátum:

2 Tartalom Tartalom Bevezető Matematika alapok Alapfeltevések, definíciók A Fourier - együtthatók meghatározása a 0 meghatározása a k és b k meghatározása Általános, tetszőlegesen hosszú T szerint periodikus függvények vizsgálata Fourier - transzformációban és Inverz Fourier - transzformációban rejlő lehetőségek Numerikus megoldás a Duna budapesti vízállás idősorán Az diszkrét idősor optimalizálása az FFT számára Az FFT algoritmus bemutatása Az FFT (és IFFT) alkalmazása a Duna vízállás idősorán Összefoglaló

3 1. Bevezető A vízmérnöki gyakorlatban a modern, digitális adatrögzítő mérőeszközök elterjedésével lehetőségünk van pontosabb, átfogóbb elemzések készítésére az időelőnyök növelése mellett. Ugyanakkor fel kell készülni - a kétségbevonhatatlan előnyök ellenére - az új megoldásokban rejlő hibák, hibaforrások szakszerű kezelésére is. Ennek az összefoglalónak éppen ez a célja: egy lehetséges megoldást szeretnénk szélesebb körben kipróbálni és ajánlani az adatregisztrálók hibájának mérséklésre, szűrésére. Ehhez jó eszköz a Fourier - analízis, pontosabban a Fourier - transzformáció, amely a villamosmérnöki hírközlési, informatikai gyakorlatban elterjedt, rutinszerűen alkalmazott. Konkrét jó példája lehet a Fourier - transzformáció széles körű alkalmazásának a JPEG formátumra kódolt képek, MP3 formátumú zenék, tömörítők, vagy a Photoshop képszerkesztő több funkciója is. 2. Matematika alapok Ebben a vázlatpontban szeretném bemutatni a kollégáknak a későbbi alkalmazáshoz szükséges elméleti alapokat. A fejezet megírásában nagyrészt a Matematika A2 egyetemi segédanyagra (BME, Sándor Csaba) támaszkodtam Alapfeltevések, definíciók Első lépésben vizsgáljuk meg a klasszikus, 2π szerint periodikus függvényeket. Ezekről a periodikus függvényekről feltesszük, hogy előállíthatók elemi 2π szerint periodikus függvények összegeként. Ilyen elemi függvények a szinusz és koszinusz szögfüggvények. Tehát a fenti állításunk (bizonyítás nélkül) a matematika nyelvén így néz ki: f(x) = (a cos(k x) + b sin(k x) ), k ε Z (1. ) ahol: - a k, b k amplitúdók (függőleges y tengely szerint nyújtja zsugorítja, transzformálja az elemi függvényt). - k körfrekvencia, amely ebben az esetben egyenlő a frekvenciával. (vízszintes x tengely szerint transzformálja a függvényt). Esetünkben a k -nak egész számnak kell lenni, mert ha nem lenne egész, akkor már nem lenne 2π szerint periodikus. Tehát így belőle nem állítható elő pontosan akármelyik 2π szerint periodikus f(x) függvény sem. k=0 esetben a sin(0 x)=0, ezért az a 0 tagot kiemelve általában k=1-től szokás felírni az összegképlet alakot. Jogosan felmerülhet (1.) alapján, hogy miért két fajta és miért ezt a két fajta elemi szögfüggvényt használjuk f(x) közelítésére. Bizonyítás nélkül fogadjuk el ebben az esetben, hogy a két elemi függvény független egymástól (geometriailag ez azt jelenti, hogy merőlegesek egymásra 1. ábra, vagy másként értelmezve a függetlenséget, skaláris szorzatuk 0) és a kettejük lineáris kombinációja a polinomokhoz hasonló univerzális összegző képességekkel (univerzális approximátor) rendelkezik. Érdekesség még, hogy a szinusz és koszinusz páratlan, illetve páros függvény (páratlan: sin(-x)=- 3

4 sin(x) => origóra középpontosan tükrös, páros: cos(-x)=cos(x) => y tengelyre tükrös). Magyarán azt a sejthető megállapítást fogalmaztuk meg, hogy tetszőleges periodikus függvények páros és páratlan elemi függvények összegeként előállíthatók. Az előző gondolatot másként megfogalmazva megvizsgálható, hogy adott periodikus függvény milyen mértékben páros és páratlan. Tovább fűzve a gondolatot logikailag előrevetíthető, hogy páros függvények Fourier - együtthatói csak a koszinuszos tagokból (a k ), páratlan függvények pedig csak szinuszosos (b k ) tagokból állnak A Fourier - együtthatók meghatározása Az alcímben megfogalmazott cél közvetlenül következik a 2.1. pontban megfogalmazottakból: ha ismerjük az a k, b k együtthatókat elkészültünk a feladattal! a 0 meghatározása Tegyük fel, hogy a 2π szerint periodikus f(x) Riemann integrálható a [0,2π] intervallumban, tehát: f(x)dx = (a + (a cos(k x) + b sin(k x) ))dx (2. ) Az integrálást elvégezve az alábbi egyenletet kapjuk: f(x)dx = [a x + ( a sin(k x) + b cos(k x) )] k k (3. ) Ha a (3.) -at megvizsgálva láthatjuk, hogy egyetlen nem 0 tagunk marad, mivel a szinuszos és a koszinuszos tagokat saját periódusukon, vagy azok többszörösén integráljuk. Tehát az egyenlet (4.) -re egyszerűsödik: Ebből már a 0 kifejezhető: f(x)dx = [a x] = a 2π (4. ) a = 1 f(x)dx (5. ) 2π a k és b k meghatározása Az a k és b k együtthatók számításához először nézzünk meg egy-két speciális integrált. Az integrálok argumentumaihoz mankóként alkalmazható a trigonometrikus függvények addíciós összefüggései, amelyeket az 1. ábrán grafikusan is nyomon követhetünk. 4

5 1. ábra trigonometrikus függvények addíciós összefüggései Speciális alkalmazott integrálok: k l esetben: cos(k x) cos(l x) dx = 1 cos((k + l)x) + cos((k l)x) dx 2 = 1 2 sin(k + l)x k + l sin(k l)x + k l = 0 (6. ) sin(k x) sin(l x) dx = 1 cos((k l)x) cos(k + l)x dx 2 = 1 2 sin(k l)x k l sin(k + l)x k + l = 0 (7. ) sin(k x) cos(l x) dx = 1 sin((k + l)x) + sin((k l)x) dx 2 = 1 2 [ cos(k + l)x k + l cos((k l)x) ] k l = 0 (8. ) Látható, hogy a l => k-hoz speciális eset. A fenti képletekből nem derül ki, hogy mekkorák k=l esetén a fenti határozott integrálok! 5

6 k=l esetben: cos (k x) dx = sin (k x) dx = sin(k x) cos(k x) dx = 1 + cos (2 k x) dx = cos (2 k x) dx = x + sin(2 k x) 4 k x sin(2 k x) 4 k sin (2 k x) cos(2 k x) dx = 2 4 k = π (9. ) = π (10. ) = 0 (11. ) a k meghatározása: f(x) cos (m x)dx = (a + (a cos(k x) + b sin(k x) )) cos (m x)dx = a cos(m x) dx + ( (a cos(k x) + b sin(k x) )) cos (mx)dx = a π k, m Z (12. ) A (12.) képletnél (6.), (8.), (9.), (11.) felhasználva látható, hogy csak k=m esetnek van 0-tól különböző értéke az integrálnak. Tehát a k kifejezhető végül a következő alakban: a = 1 f(x) cos (k x)dx (13. ) π b k meghatározása: f(x) sin (m x)dx = (a + (a cos(k x) + b sin(k x) )) sin (m x)dx = a sin(m x) dx + ( (a cos(k x) + b sin(k x) )) sin (mx)dx = b π k, m Z (14. ) A (14.) képletnél (7.), (8.), (10.), (11.) felhasználva látható, hogy csak k=m esetnek van 0-tól különböző értéke az integrálnak. Tehát b k kifejezhető végül a következő alakban: b = 1 f(x) sin (k x)dx (15. ) π 6

7 2.3. Általános, tetszőlegesen hosszú T szerint periodikus függvények vizsgálata Ha a 2.1. és 2.2. pontokban felsorolt feltételek igazak, akkor az ott meghatározott állítások következményei kisebb formai módosításokkal tetszőlegesen hosszú T szerint periodikus függvényekre is alkalmazhatóak: Vegyük most a T szerint periodikus g(x) függvényt: g(x) = (a cos 2 π T k x + b sin 2 π T k x), k ε Z (16. ) Vegyük észre, hogy a szinusz és koszinusz függvények argumentumában a fizikai tanulmányokból ismert körfrekvenciát figyelhetjük meg: ahol, ω(k) = 2 π T k = 2 π f k (17. ) - T: periódusidő, de gyakran alkalmazzák formailag a periódusidő reciprokát: a frekvenciát is. 2. ábra Fourier Transzformált képzése g(x) függvényen ω 1 körfrekvenciánál 7

8 3. ábra Fourier Transzformált képzése g(x) függvényen ω 2 körfrekvenciánál Ebben az esetben az elemi függvénykomponensek együtthatói (az amplitúdók) az alábbiak szerint alakulnak: a = 1 f(x)dx (18. ) T a = 2 π f(x) cos (2 k x)dx (19. ) T T b = 2 π f(x) sin (2 k x)dx (20. ) T T A ábrákon grafikusan is megfigyelhetjük, hogyan kell értelmezni a Fourier transzformációt. Az a k együtthatókat a grafikonon jelölt zölddel satírozott előjeles területek összegeiként kapjuk, elosztva a periódusidő kétszeresével. A b k együtthatóknál pedig a pirossal satírozott területekkel kell hasonlóan eljárnunk. 8

9 3. Fourier - transzformációban és Inverz Fourier - transzformációban rejlő lehetőségek A 2. pontban leírtak szerint látható, hogy bizonyos feltételek mellett függvények előállíthatók Fourier sorba fejtéssel is tetszőleges pontossággal. Ilyen diszkrét időpontokban értelmezett függvény lehet akár egy vízállás idősor is. Tehát lehetőségünk van például a vízállás idősorainkat különböző frekvenciájú egységnyi harmonikus függvények különböző arányú összegeiként is értelmezni. Munkám elején élek azzal a feltételezéssel, hogy általánosságban a gyakorlatban előforduló vízmozgások valós változása lassabb, mint a mérőműszerek által belekevert zaj irányváltozása. Tehát a vízállás idősor frekvenciák szerinti un. spektrális felbontásánál (ez lényegében a k (k) és b k (k) függvények) van esély különböző, domináns frekvenciatartományok elkülönítésére, eredetüknek beazonosítására. Az a k (k) és b k (k) függvények meghatározását az irodalomban Fourier transzformációnak hívják. Az integrálások során a k (k) és b k (k) függvények csak a k-tól (a frekvenciától) fognak függeni adott g(x) esetén, x-től (x az idősornál a független változó: az idő) nem. A frekvenciatérben tehát bizonyos frekvenciájú komponensek törlése lehetővé teszi a törölt frekvenciájú komponens törlését az idősorból is az inverz transzformáció után. Az inverz transzformáció az a számítási lépcső, amely során összegalakban a k (k) -t és b k (k) -t felhasználva előállítjuk g(x) -et, esetünkben az idősort. Elméletileg tehát a mérőműszer zajának spektrumát ismerve - kicsiny (cm-en belüli) hibával terhelten - jó esélyünk van idősorainkat elfogadható pontossággal zajmentesíteni. 4. Numerikus megoldás a Duna budapesti vízállás idősorán A vízmérnöki gyakorlatban fontos állapotváltozók (pl.: vízszintek, vízhozamok, stb.) a mai kor méréstechnikájával gyakorlatilag tetszőlegesen sűrű időközönként megmérhetőek. Fontos - hogy céljaink szerint - méréseink információtartalma, számításigénye gazdaságos (optimális) legyen. Ez azt jelenti - hogy kedvezőtlen esetekben - a túl ritka mérési adatok között kénytelenek vagyunk az interpoláció bizonytalanságait felhasználni, valamint azt, hogy a túl sűrű adathalmazon kénytelenek vagyunk plusz erőforrás bevonással különböző elvű ritkításokat végrehajtani. Munkám további szakaszában élek azzal a feltételezéssel, hogy a mérőrendszerek általánosságban optimálisan üzemelnek. Tehát nem a rendszer felülbírálatára törekszem, hanem a rendszerben található adatsorok: idősorok optimális kihasználására. A vízállás idősorokat vizsgálva a Fourier transzformációs zajszűrők gyakorlati megvalósításánál a gyors számítás és az adatszerkezet jellege miatt (diszkrét jellgű) a numerikus megoldók közül választottam. A lehetőségeket figyelembe véve a választott numerikus módszerem a gyors Fourier transzformáció (angol rövidítés: FFT, visszalakítás inverz művelet: IFFT) lett. A módszer kiválasztásánál szempont volt, hogy az Országos Vízügyi Főigazgatóságban (OVF) homogén felbontású idősorok készítésére is van igény egyfajta feldolgozott késztermékként. 9

10 4. ábra Vízállás idősor a Dunán Budapestnél Az elemzett idősorom - amelyen a módszertant ismertetem - a Duna budapesti vízmércéjén mért és a MAHAB-ban tárolt vízállás hidrológiai idősor a : :01 időszakra vonatkozóan. A későbbiekben bevezetésre kerülő relatív idő fogalmát az időintervallum kezdő időpontjához igazítom a rendszer alapegysége pedig az 1 perc lesz Az diszkrét idősor optimalizálása az FFT számára Az FFT algoritmusnál fontos az idősort homogén felbontással megadni. Ez azt jelenti, hogy két szomszédos vízállás érték között dt idő kell, hogy elteljen egységesen. Az FFT számítási algoritmust részletesen a 4.2 fejezetben ismertetem. A kívánatos homogén időbeli felbontás viszont gyakorlati és technikai okokból kifolyólag is gyakran nem áll rendelkezésre. Tehát első lépésben a homogén felbontású idősor előállítását kell megoldani valamilyen (esetünkben lineáris) interpolációs eljárással. A vizsgált Duna vízállás idősor kb. órás időközű feldolgozatlanul. A homogén felbontást 1 perces finomsággal határoztam meg első lépésként. Az így létrejött idősorban viszont az interpolált vízszintek aránya túl nagy a mérésekhez képest és az adatsor mérete is jelentősen megnövekedett. Ez azt jelenti, hogy hígult az információ-sűrűség. A percnél durvább felbontás lehetőségét tehát az interpoláció fajlagos hibája és a számítási igény csökkentése mentén célszerű megvizsgálni. A kellően nagy információ-sűrűséggel rendelkező kívánatos adatstruktúra eléréséhez egy optimalizációs eljárást javasolok, amelynek szempontjai egyidejűleg: - I. A lehető legdurvább időbeli felbontást kell alkalmazni - II. A lehető legtöbb mért adatot kell alkalmazni - III. A lehető legkevesebb interpolálat adatot kell felhasználni. (A II. és III. -ból levezethető, hogy legyen a lehető legnagyobb legyen a mért és interpolált adatok aránya!) 10

11 I-III. vázlatpontokat megfontolva tehát kaphatunk egy két szabadságfokú rendszert, amely változói az idő felbontása és a kezdő időpont (vagy az időrács) fázisa. A második szabadságfok azt jelenti, hogy ha van például homogén 2 perc felbontású mérésünk 0 hasznosul, ha a 2 perces időfelbontás a 2 perces mérések közé esik, de ha egybeesik a mérés a felbontás fázisával, akkor mindet hasznosítani tudjuk. A két szabadságfokú rendszer kimenete pedig legyen a felhasznált mérések aránya az összes méréshez (eredeti adat) képest! Ezt az arányszámot a továbbiakban hatásfoknak hívom. ahol - η: Hatásfok [%] - dt: Felbontás [min] - φ: Fázis [min] η(dt, φ) = N (dt, φ) N é (21. ) - N mért : Megmért vízállások darabszáma az adott időintervallumban [-] - N felhaszn : Az interpolációval homogenizált idősorban a felbontás és a fázis függvényében a felhasznált eredeti mérések darabszáma [-] 5. ábra Hatásfok az időbeli felbontás és a fázis szerint 11

12 6. ábra Hatásfok fázis szerint maximált ábrája az időbeli felbontás szerint Az 5. ábrán önkényesen az perc közötti felbontásokkal vizsgálom meg a hatásfokokat percig terjedő fázisok mellett. Az ábrán jól látható, hogy 1 perces felbontásnál minden megmért adat hasznosul, majd a felbontás csökkenésével a felbontás szerinti hatásfok trendje csökken. A fázis hatásfok viszonya pedig jól mutatja, hogy kb. 60 perces periódusokban mért a regisztráló. A 6. ábrán az 5. ábrán bemutatott függvény egy speciális módosítását láthatjuk, ahol az egyes felbontások függvényében ábrázoljuk a hatásfokot úgy, hogy a fázis szerinti a maximális hatásfokot vesszük mindegyik felbontásnál. Ezek alapján a fent megfogalmazott (I. - III.) optimalizáció szempontjai szerint a 60 perces felbontás kedvezőnek tűnik. Annak érdekében, hogy az I. vázlatpontot megfelelően érvényre tudjuk juttatni egy súlyfüggvény és egy alapérték tényező bevezetését, illetve alkalmazását tartom kívánatosnak. Ez a kedvező időbeli felbontást felülreprezentáló súlyfüggvény első javaslatom szerint legyen a szinusz hullám első negyede: ahol - S: Súly [-] - dt: időbeli felbontás [min] 0.5 π S(dT) = sin ( (dt dt dt dt )) (22. ) - dt max : A választott legnagyobb alkalmazott felbontás, amely konstans [min] - dt min : A választott legkisebb alkalmazott felbontás, amely konstans [min] 12

13 7. ábra Súlyfüggvény az időbeli felbontás függvényében Tehát a kedvező megoldást a 6. ábrán már szemléltetett fázis szerint maximalizált hatásfok függvény súlyfüggvénnyel vett szorzatából és az alapérték tényező összegétől várom az alábbi alak szerint (a kapott függvényt fittségi (fitt, mint kedvező) függvénynek hívom): ahol θ(dt) ( ) = S(dT) η(dt) ( ) ( ) + λ η(dt) = (S(dT) + λ) η(dt) ( ) (23. ) - ϑ: fittség. A függvény csak az időbeli felbontástól függ, olyan módon, hogy egy felbontáshoz a fázis szerint már maximalizált hatásfokot rendeljük. [-] - S: a súly [-] - η: a hatásfok [%] - λ: alapérték tényező, amely konstans. Választott értéke: λ=0.2 Szerepe: egyfajta kezdeti súly biztosítása. A 8. ábrán megszemlélhetjük a fittségi függvényt, amelynek maximuma van a kívánatos 60 perces felbontásnál. Ezek után a 60 perces felbontást kötött változóként kezelve a hatásfok függvényből megállapíthatjuk, hogy mekkora fázisnál érte el a fittségi függvény a maximát (a fittség és a hatásfok függvénynek a fázis szerint ugyanott van a maximuma). 13

14 A számítások menete: maxθ(dt) ( ) dt á (I. ) dt á ηdt á, φ (II. ) max (ηdt á, φ) φ á (III. ) 8. ábra Fittség ábra az Időbeli felbontás szerint és az időbeli felbontás fázisa szerint maximalizálva Az optimalizáció végeredményként a homogén időbeli felbontás 60 percre a kezdeti fázis 1 percre adódott. Ilyen paraméterek mellett a konkrét mérések 58.92% -át tudtam hasznosítani. Összességében a fent javasolt módszerrel egy jó becslés adható a két szabadságfokú rendszer paramétereire. Természetesen az olvasóban felmerülhet az a jogos kérdés, hogy miért pont ezt a formát, súlyfüggvényt és alapérték tényezőt alkalmaztam? Összességében érvként a mérnöki becslést tudom említeni, az eljárás alkalmazhatóságát, a programmodul finomítását a gyakorlat fogja meghatározni. A másik lényeges kérdés az, hogy a homogén időbeli felbontás mennyire jól alkalmazható? Egyfajta felbontás jól jellemzi-e a teljes vizsgált idősort? Ha csak arra gondolunk, hogy árvizes időszakokban a megnő az adatregisztrálás egy időegységben, célszerű lehet a teljes idősort különböző homogén felbontású rész idősorok sorozatásból előállítani és vizsgálni, esetenként a felbontás fázisát a szélső értékekhez igazítva. Ennek a problémának az orvoslására jó kezdő lépés lehet a mérések időközeinek változását megvizsgálni az idő függvényében. 14

15 4.2. Az FFT algoritmus bemutatása Az FFT az alkalmazott homogén felbontású adatsoroknál az alábbi képlet alapján számítható: A(k) = α 2 x N x (j) cos 2 π N (j) sin 2 π N (j 1) (k 1) (j 1) (k 1) (24. ) ahol, - A: az amplitúdó vektor, amelynek első eleme a k, második b k [cm] - N: adatsor hossza, elemszáma [-] - x(j): j -dik mérés (ez lehet a diszkrét vízállás). j=1 N ig változik [cm] - (k 1): Ez a körfrekvencia, amely k szerint változik. 0.5, ha k = 1 - α = { 1, ha k > 1 Érdemes az amplitúdókat is k = 1 N -ig vizsgálni, így pont olyan hullámokra végezhetjük el a transzformációt, amelyek hullámhossza homogén módon sűrűsödve 0 N-1 ig fedi le a vizsgált mintát (az első tagot az átlagból és a 0 -ból összetevődő vektor). A k > N fölötti hullámokat nem érdemes megvizsgálni, mert azokon a frekvenciatartományokon nincs megfelelő mintánk, ha pedig erősen durvítani akarjuk a transzformációt (k=1 M, M<<N) az nagy numerikus hibát okoz. Ha k=1 N, akkor látható, hogy a trigonometrikus együtthatók Trig(j,k) mátrixa a főtengelyre szimmetrikus, tehát így kevesebb számítási művelet kell elvégezni és a fenti forma könnyen le is programozható. A könnyebb megértés miatt nézzük meg a ábrákat, ahol a (24.) -es képletet nézhetjük meg grafikusan. 9. ábra FFT folyamatábra k=0 esetben cos os összetevők és mérések 15

16 10. ábra FFT folyamatábra k=0 esetben sin os összetevők és mérések 11. ábra FFT folyamatábra k=1 esetben cos os összetevők és mérések 12. ábra FFT folyamatábra k=1 esetben sin os összetevők és mérések 16

17 13. ábra FFT folyamatábra k=n esetben cos os összetevők és mérések 14. ábra FFT folyamatábra k=n esetben sin os összetevők és mérések 17

18 4.3. Az FFT (és IFFT) alkalmazása a Duna vízállás idősorán Az FFT eljárás elvégezésével tehát előáll a jelösszetevők körfrekvencia szerinti függvénye a spektrum, amely a 15. ábrán megszemlélhető! Az ábrán kék szín jelöli a koszinuszos, piros a szinuszos függvényeket, az abszolút érték függvény pedig a zöld színű. Az abszolút érték függvényből jól látható, hogy a legnagyobb amplitúdójú jel 680 cm körüli, ellenőrzésként pedig megnézhető a 4. ábra maximális vízállása, amely kb. 580 cm. Ez első ránézésre reális lehet, az eltérés oka pedig a sok különböző jelkomponens összegzett hatása. ahol - A(k) : az amplitúdó nagysága [cm] A(k) = a (k) + b (k) (25. ) 15. ábra A Duna budapesti : :01 mért vízállás idősorának spektruma A spektrum előállítása után a feladat a zavaró frekvenciák, frekvenciatartományok beazonosítása és törlése a spektrumból! A zaj periódusidejére, frekvenciájára az alábbiakat javasolom: T = N k dt = min = min 10h f = 1 T = h (25. ) ahol - T: a periódusidő [h]. k alapján a 10 óránál kisebb periódusidejű hullámokat törlöm a spektrumból! - N: homogén felbontású idősor elemszáma - k cut : az a körfrekvencia változó, amelynél nagyobb értékeket már törlök az adatsorból. k=205 ös érték már a zaj nagyságrendjébe eső körfrekvenciát eredményez véleményem szerint, vagy ha nem is a 18

19 zaj frekvenciája a műszerzajból keletkező hamis frekvenciaként tekintek rá (Hamis frekvenciák akkor keletkezhetnek, ha nincs elég, legalább 2 mérésünk a frekvencia periódusideje alatt). - dt alk : az alkalmazott időfelbontás [min] A 16. ábrán a kis frekvenciájú összetevők láthatóak, az idősor jórészt a k=1 205 terjedő spektrumrészletből épül fel! Szemmel is jól látható, hogy a k>205 tartomány kicsiny arányba járul hozzá az idősor alakulásához. Ebben a frekvenciatartományban 1 cm nél kisebb hullámok keletkeznek, amely esetünkben a 17. ábra alapján a zaj amplitúdójaként is azonosíthatók. Tehát ha töröljük a k > 205 spektrumot és visszaalakítjuk a módosított spektrumot az időtérbe, akkor egy jobb, a valóságot homogénebben jellemző idősort kaphatunk vissza. A spektrumból történő törlésnél viszont óvatosan kell eljárnunk, mert ha töröljük a k > 205 frekvenciasávot rossz eredményt kapunk. Ennek oka nem fizikai, hanem numerikus. A magyarázatához nézzük meg a 13. és 14. ábrákat, ahol látható az ábra elején, hogy ha a hullámhossz közel esik az időbeli felbontáshoz, akkor a diszkrét megoldásnál nem érvényesül a hullám teljes hatása, hanem csak az aktuális diszkrét érték. Ez felfogható úgy, mint egyfajta numerikus lebegés (rezonancia) a fizikából vett analógiával élve. Tehát ez a jelenség mindig az diszkrét alapon számolt spektrum végén jelentkezik az FFT-nél. 16. ábra A Duna budapesti : :01 mért vízállás spektrumának részlete A numerikus lebegéssel befolyásolt tartomány ugyanakkor nem tekinthető valós hibának, a jel előállításában fontos szerepet játszik, mert ugyan hamis frekvenciaként, de a kisebb frekvenciák hatását hordozza magában! Tehát a törlésre ajánlott tartomány: ezek alapján: I(k) = k k k, k = k (26. ) AI(k) = 0 (27. ) 19

20 ahol - I(k) clear : törlésre kijelölt frekvencia változók tartománya - k lebeg : a numerikus lebegés által érintett frekvencia változó - k end : a legnagyobb értékű frekvencia változó. k end =N Ezek után alakítsuk át a módosított spektrumot az idő térbe az inverz transzformációval (IFFT) az alábbiak szerint: A x(j) = abs A (k) cos 2 π N (k) sin 2 π N (j 1) (k 1) (j 1) (k 1) (28. ) A 17. ábrán megszemlélhetjük a mért és a zajszűrt Duna budapesti mért és szűrt vízállás idősorokat. Ezek alapján szemre jó egyezés tapasztalható a két idősor között. 17. ábra A Duna budapesti : :01 mért (piros) és zajszűrt (zöld) vízállásai A 18. és 19. ábrákon a 2013-as év eleji időszakok budapesti mércén mért Duna árhullám csúcsai láthatóak, illetve a 20. ábrán a vizsgált időszak egyik jellemző kisvizes vízállása. Ezek alapján megfigyelhető, hogy a szélsőértékeknél jó cm-belüli hibát okoz a szűrés. A szélsőértékeken kívül vizsgálandóak lehetnek az erőteljes áradó és apadó szakaszai a vízállás idősornak, de ezeken a szakaszokon sem tapasztaltam cm-es hibahatárt túllépő számított vízállás értéket. 20

21 18. ábra Árhullámcsúcs_1 a vízállás idősorban piros a mért, zöld a szűrt 19. ábra Árhullámcsúcs_2 a vízállás idősorban piros a mért, zöld a szűrt 20. ábra Kisvíz a vízállás idősorban piros a mért, zöld a szűrt 21

22 21. ábra Vízállás idősor eleje piros a mért, zöld a szűrt 22. ábra Vízállás idősor vége piros a mért, zöld a szűrt Jelentős, cm-es hibatartományt meghaladó hibát az idősor elején és a végén találhatunk, amelyek a 21. és a 22. ábrákon is szerepelnek. A közelítő módszerből fakadó, az intervallum szélein megfigyelhető hullámosodást a matematikában Runge - jelenségnek hívják, amelynek hatását a zaj visszakeveréssel lehetne csökkenteni. Ha meggondoljuk viszont, hogy a teljes három hónapból a Runge - jelenség által jelentősebben befolyásolt időszak az intervallum elején és végén 2-2 nap, akkor látható, hogy ebben az esetben az idősor kb. 95.5% -án kapunk elfogadhatóan jó közelítést. Érdemes azt is megjegyezni, hogy hosszú idősoroknál a Runge - jelenség által meghatározott szakaszok arányaiban rövidülnek a teljes adatsor hosszához képest, tehát az FFT-t különösen hosszú idősoroknál lehet jó hatásfokkal alkalmazni. 22

23 5. Összefoglaló Munkám eredményeként bizonyítható, hogy a Fourier - transzformáción alapuló FFT-s zajszűrés sikeresen alkalmazható vízállás idősorok műszerhibáinak csökkentésére. Eljárásom sikeres gyakorlati alkalmazásának és főként automatizálásának egyik sarokfeltétele lehet az általam definiált fittségi függvény paramétereinek általános érvényűsége. Az egyszerű alkalmazáshoz tehát elengedhetetlen egy teszt program készítése, amely szélesebb körű használatának tapasztalatai fontosak a paraméterhatárok tisztázásában, illetve az egyes modulok felhasználóbarát kialakításában. A dolgozatban látható grafikonok, eljárások nagyrészt Matlab környezetben valósultak meg, ahol egyrészt a Matlab belső függvényeit, másrészt saját fejlesztésű kódokat alkalmaztam. (Az alkalmazott kódokat szükség esetén az érdeklődők rendelkezésére tudom bocsájtani). Véleményem szerint a bemutatott eljárás teljes körűen megvalósítható önálló programként, illetve az OVF -ben található adatbázisokra épülő programok alkalmazásaként is. Másik fontos fejlesztési irányként az idősorok felbontásának inhomogenizálását tartom az FFT számára, úgy, hogy a teljes inhomogén idősor homogén részidősorok sorozatából épüljön fel. Természetesen minden numerikus eljárásnak a feladathoz, a kitűzött célokhoz, illetve a rendelkezésre álló adatokhoz kell igazodnia, tehát elképzelhetőek egyéb komolyabb numerikus megoldások fejlesztései is. Tudomásom szerint a hazai vízmérnöki gyakorlatban Fourier - transzformáción alapuló zajszűrést a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Vízépítési és Vízgazdálkodási Tanszékén is alkalmaznak. A tanszék ilyen irányú tapasztalatai értékesek lehetnek az OVF -s fejlesztésekben is. A műszerhibák szűrésén kívül a bemutatott eljárás jó eszköze lehet a hidrológiai - hidraulikai analízisnek is. A Balaton vízállás idősorainál tesztelteltem a különböző lengésidejű hullámokhoz rendelt aluláteresztő (egy választott küszöbfrekvenciánál nagyobb komponenst töröl az idősorból) szűrőt, amely segítségével a nagyfrekvenciás hullámzás leválaszthatóvá vált az megmért idősorról, így jobban megvizsgálhatók lettek a tólengések a kis frekvenciájú vízállás komponensei. De a mérnöki feladatok sokrétűségét kiszolgálva az FFT átalakítható felüláteresztő (egy választott küszöbfrekvenciánál kisebb komponenst töröl az idősorból) szűrővé, vagy éppen sávszűrővé (két választott küszöbfrekvenciánál közé eső jeleket hagy meg az idősorból) is. 23

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

A mintavételezéses mérések alapjai

A mintavételezéses mérések alapjai A mintavételezéses mérések alapjai Sok mérési feladat során egy fizikai mennyiség időbeli változását kell meghatároznunk. Ha a folyamat lassan változik, akkor adott időpillanatokban elvégzett méréssel

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Milyen elvi mérési és számítási módszerrel lehet a Thevenin helyettesítő kép elemeit meghatározni?

Milyen elvi mérési és számítási módszerrel lehet a Thevenin helyettesítő kép elemeit meghatározni? 1. mérés Definiálja a korrekciót! Definiálja a mérés eredményét metrológiailag helyes formában! Definiálja a relatív formában megadott mérési hibát! Definiálja a rendszeres hibát! Definiálja a véletlen

Részletesebben

2. Elméleti összefoglaló

2. Elméleti összefoglaló 2. Elméleti összefoglaló 2.1 A D/A konverterek [1] A D/A konverter feladata, hogy a bemenetére érkező egész számmal arányos analóg feszültséget vagy áramot állítson elő a kimenetén. A működéséhez szükséges

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18. Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 28. március 18. A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia Értékelés: A beadás dátuma: 28. március 26. A mérést végezte: 1/7 A mérés leírása:

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN. 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN. 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 Differenciálegyenlet megoldása u(t) diff. egyenlet v(t) a n d n v m dt a dv n

Részletesebben

Feszültségérzékelők a méréstechnikában

Feszültségérzékelők a méréstechnikában 5. Laboratóriumi gyakorlat Feszültségérzékelők a méréstechnikában 1. A gyakorlat célja Az elektronikus mérőműszerekben használatos különböző feszültségdetektoroknak tanulmányozása, átviteli karakterisztika

Részletesebben

Transzformátor rezgés mérés. A BME Villamos Energetika Tanszéken

Transzformátor rezgés mérés. A BME Villamos Energetika Tanszéken Transzformátor rezgés mérés A BME Villamos Energetika Tanszéken A valóság egyszerűsítése, modellezés. A mérés tervszerűen végrehajtott tevékenység, ezért a bonyolult valóságos rendszert először egyszerűsítik.

Részletesebben

Mechatronika alapjai órai jegyzet

Mechatronika alapjai órai jegyzet - 1969-ben alakult ki a szó - Rendszerek és folyamatok, rendszertechnika - Automatika, szabályozás - számítástechnika Cd olvasó: Dia Mechatronika alapjai órai jegyzet Minden mechatronikai rendszer alapstruktúrája

Részletesebben

Mérés 3 - Ellenörzö mérés - 5. Alakítsunk A-t meg D-t oda-vissza (A/D, D/A átlakító)

Mérés 3 - Ellenörzö mérés - 5. Alakítsunk A-t meg D-t oda-vissza (A/D, D/A átlakító) Mérés 3 - Ellenörzö mérés - 5. Alakítsunk A-t meg D-t oda-vissza (A/D, D/A átlakító) 1. A D/A átalakító erısítési hibája és beállása Mérje meg a D/A átalakító erısítési hibáját! A hibát százalékban adja

Részletesebben

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 12. mérés: Infravörös spektroszkópia. 2008. május 6.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 12. mérés: Infravörös spektroszkópia. 2008. május 6. Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 12. mérés: Infravörös spektroszkópia Értékelés: A beadás dátuma: 28. május 13. A mérést végezte: 1/5 A mérés célja A mérés célja az

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása TÓTH.: Rezgésösszetevés (kibővített óravázlat) 30 005.06.09. Harmonikus rezgések összetevése és felbontása Gyakran előfordul hogy egy rezgésre képes rendszerben több közelítőleg harmonikus rezgés egyszerre

Részletesebben

Néhány fontosabb folytonosidejű jel

Néhány fontosabb folytonosidejű jel Jelek és rendszerek MEMO_2 Néhány fontosabb folytonosidejű jel Ugrásfüggvény Bármely választással: Egységugrás vagy Heaviside-féle függvény Ideális kapcsoló. Signum függvény, előjel függvény. MEMO_2 1

Részletesebben

Villamosságtan szigorlati tételek

Villamosságtan szigorlati tételek Villamosságtan szigorlati tételek 1.1. Egyenáramú hálózatok alaptörvényei 1.2. Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása 1.3. Nemlineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása 1.4. Egyenáramú hálózatok

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel

Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel Fürjes Andor Tamás BME Híradástechnikai Tanszék Kép- és Hangtechnikai Laborcsoport, Rezgésakusztika Laboratórium 1 Tartalom A geometriai akusztika

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. november 5. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint, jól követhetően

Részletesebben

Villamos jelek mintavételezése, feldolgozása. LabVIEW 7.1

Villamos jelek mintavételezése, feldolgozása. LabVIEW 7.1 Villamos jelek mintavételezése, feldolgozása (ellenállás mérés LabVIEW támogatással) LabVIEW 7.1 előadás Dr. Iványi Miklósné, egyetemi tanár LabVIEW-7.1 KONF-5_2/1 Ellenállás mérés és adatbeolvasás Rn

Részletesebben

11.3. Az Achilles- ín egy olyan rugónak tekinthető, amelynek rugóállandója 3 10 5 N/m. Mekkora erő szükséges az ín 2 mm- rel történő megnyújtásához?

11.3. Az Achilles- ín egy olyan rugónak tekinthető, amelynek rugóállandója 3 10 5 N/m. Mekkora erő szükséges az ín 2 mm- rel történő megnyújtásához? Fényemisszió 2.45. Az elektromágneses spektrum látható tartománya a 400 és 800 nm- es hullámhosszak között található. Mely energiatartomány (ev- ban) felel meg ennek a hullámhossztartománynak? 2.56. A

Részletesebben

Képrestauráció Képhelyreállítás

Képrestauráció Képhelyreállítás Képrestauráció Képhelyreállítás Képrestauráció - A képrestauráció az a folyamat mellyel a sérült képből eltávolítjuk a degradációt, eredményképpen pedig az eredetihez minél közelebbi képet szeretnénk kapni

Részletesebben

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 + . Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 1 1 Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Jelfeldolgozás 1 Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 2 Bevezetés 5 Kérdések, feladatok 6 Fourier sorok, Fourier transzformáció 7 Jelek

Részletesebben

EGYENÁRAMÚ TÁPEGYSÉGEK

EGYENÁRAMÚ TÁPEGYSÉGEK dátum:... a mérést végezte:... EGYENÁRAMÚ TÁPEGYSÉGEK m é r é s i j e g y z k ö n y v 1/A. Mérje meg az adott hálózati szabályozható (toroid) transzformátor szekunder tekercsének minimálisan és maximálisan

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Képrekonstrukció 3. előadás

Képrekonstrukció 3. előadás Képrekonstrukció 3. előadás Balázs Péter Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Szegedi Tudományegyetem Computed Tomography (CT) Elv: Röntgen-sugarak áthatolása 3D objektum 3D térfogati kép Mérések

Részletesebben

Peltier-elemek vizsgálata

Peltier-elemek vizsgálata Peltier-elemek vizsgálata Mérés helyszíne: Vegyész labor Mérés időpontja: 2012.02.20. 17:00-20:00 Mérés végrehatói: Budai Csaba Sánta Botond I. Seebeck együttható közvetlen kimérése Az adott P-N átmenetre

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek 1. Felületi érdesség használata Felületi érdesség A műszaki rajzokon a geometria méretek tűrése mellett a felületeket is jellemzik. A felületek jellemzésére leginkább a felületi érdességet használják.

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

DIFFERENCIAEGYENLETEK, MINT A MODELLEZÉS ESZKÖZEI AZ ISKOLAI MATEMATIKÁBAN

DIFFERENCIAEGYENLETEK, MINT A MODELLEZÉS ESZKÖZEI AZ ISKOLAI MATEMATIKÁBAN DIFFERENCIAEGYENLETEK, MINT A MODELLEZÉS ESZKÖZEI AZ ISKOLAI MATEMATIKÁBAN KOVÁCS ZOLTÁN 1. Bevezetés A természeti jelenségeket sokszor differenciálegyenletekkel lehet leírni: a vizsgált mennyiség például

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Kutatási beszámoló. 2015. február. Tangens delta mérésére alkalmas mérési összeállítás elkészítése

Kutatási beszámoló. 2015. február. Tangens delta mérésére alkalmas mérési összeállítás elkészítése Kutatási beszámoló 2015. február Gyüre Balázs BME Fizika tanszék Dr. Simon Ferenc csoportja Tangens delta mérésére alkalmas mérési összeállítás elkészítése A TKI-Ferrit Fejlsztő és Gyártó Kft.-nek munkája

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

Vérnyomásmérés, elektrokardiográfia. A testhelyzet, a légzés, a munkavégzés hatása a keringési rendszerre. A mérési adatok elemzése és értékelése

Vérnyomásmérés, elektrokardiográfia. A testhelyzet, a légzés, a munkavégzés hatása a keringési rendszerre. A mérési adatok elemzése és értékelése Vérnyomásmérés, elektrokardiográfia A testhelyzet, a légzés, a munkavégzés hatása a keringési rendszerre. A mérési adatok elemzése és értékelése Pszichológia BA gyakorlat A mérést és kiértékelést végezték:............

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Értékelés Összesen: 100 pont 100% = 100 pont A VIZSGAFELADAT MEGOLDÁSÁRA JAVASOLT %-OS EREDMÉNY: EBBEN A VIZSGARÉSZBEN A VIZSGAFELADAT ARÁNYA 35%.

Értékelés Összesen: 100 pont 100% = 100 pont A VIZSGAFELADAT MEGOLDÁSÁRA JAVASOLT %-OS EREDMÉNY: EBBEN A VIZSGARÉSZBEN A VIZSGAFELADAT ARÁNYA 35%. Az Országos Képzési Jegyzékről és az Országos Képzési Jegyzék módosításának eljárásrendjéről szóló 133/2010. (IV. 22.) Korm. rendelet alapján: Szakképesítés, szakképesítés-elágazás, rész-szakképesítés,

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

11. Orthogonal Frequency Division Multiplexing ( OFDM)

11. Orthogonal Frequency Division Multiplexing ( OFDM) 11. Orthogonal Frequency Division Multiplexing ( OFDM) Az OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing ) az egyik legszélesebb körben alkalmazott eljárás. Ez az eljárás az alapja a leggyakrabban alkalmazott

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 00. május-június MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Vizsgafejlesztő Központ Kedves Kolléga! Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével.

Részletesebben

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN Az Excelben az egyszerű adatok bevitelén kívül számításokat is végezhetünk. Ezeket a cellákba beírt képletek segítségével oldjuk meg. A képlet: olyan egyenlet, amely a munkalapon

Részletesebben

2. Laboratóriumi gyakorlat A TERMISZTOR. 1. A gyakorlat célja. 2. Elméleti bevezető

2. Laboratóriumi gyakorlat A TERMISZTOR. 1. A gyakorlat célja. 2. Elméleti bevezető . Laboratóriumi gyakorlat A EMISZO. A gyakorlat célja A termisztorok működésének bemutatása, valamint főbb paramétereik meghatározása. Az ellenállás-hőmérséklet = f és feszültség-áram U = f ( I ) jelleggörbék

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása Nyomaték (x 0 Nm) O k t a t á si Hivatal A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása./ A mágnes-gyűrűket a feladatban meghatározott sorrendbe és helyre rögzítve az alábbi táblázatban feltüntetett

Részletesebben

Passzív és aktív aluláteresztő szűrők

Passzív és aktív aluláteresztő szűrők 7. Laboratóriumi gyakorlat Passzív és aktív aluláteresztő szűrők. A gyakorlat célja: A Micro-Cap és Filterlab programok segítségével tanulmányozzuk a passzív és aktív aluláteresztő szűrők elépítését, jelátvitelét.

Részletesebben

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció

Részletesebben

Tájékoztató. a Dunán tavaszán várható lefolyási viszonyokról. 1. Az ősz és a tél folyamán a vízgyűjtőre hullott csapadék

Tájékoztató. a Dunán tavaszán várható lefolyási viszonyokról. 1. Az ősz és a tél folyamán a vízgyűjtőre hullott csapadék Országos Vízügyi Főigazgatóság Országos Vízjelző Szolgálat Tájékoztató a Dunán 216. tavaszán várható lefolyási viszonyokról A tájékoztató összeállítása során az alábbi meteorológiai és hidrológiai tényezőket

Részletesebben

11. Egy Y alakú gumikötél egyik ága 20 cm, másik ága 50 cm. A két ág végeit azonos, f = 4 Hz

11. Egy Y alakú gumikötél egyik ága 20 cm, másik ága 50 cm. A két ág végeit azonos, f = 4 Hz Hullámok tesztek 1. Melyik állítás nem igaz a mechanikai hullámok körében? a) Transzverzális hullám esetén a részecskék rezgésének iránya merőleges a hullámterjedés irányára. b) Csak a transzverzális hullám

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Digitális Fourier-analizátorok (DFT - FFT)

Digitális Fourier-analizátorok (DFT - FFT) 6 Digitális Fourier-analizátoro (DFT - FFT) Eze az analizátoro digitális műödésűe és a Fourier-transzformálás elvén alapulna. A digitális Fourier analizátoro a folytonos időfüggvény mintavételezett jeleit

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

5. mérés: Diszkrét Fourier Transzformáció (DFT), Gyors Fourier Transzformáció (FFT), számítógépes jelanalízis

5. mérés: Diszkrét Fourier Transzformáció (DFT), Gyors Fourier Transzformáció (FFT), számítógépes jelanalízis Híradástechnika II. laboratóriumi mérések 5. mérés: Diszkrét Fourier Transzformáció (DFT), Gyors Fourier Transzformáció (FFT), számítógépes jelanalízis Összeállította: Kármán József Általános bevezet Az

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

Posztanalitikai folyamatok az orvosi laboratóriumban, az eredményközlés felelőssége

Posztanalitikai folyamatok az orvosi laboratóriumban, az eredményközlés felelőssége Posztanalitikai folyamatok az orvosi laboratóriumban, az eredményközlés felelőssége Autovalidálási folyamatok Lókiné Farkas Katalin Az autovalidálás elméleti alapjai Az előző eredménnyel való összehasonlítás

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

1. ábra a függvénygenerátorok általános blokkvázlata

1. ábra a függvénygenerátorok általános blokkvázlata A függvénygenerátorok nemszinuszos jelekből állítanak elő kváziszinuszos jelet. Nemszinuszos jel lehet pl. a négyszögjel, a háromszögjel és a fűrészjel is. Ilyen típusú jeleket az úgynevezett relaxációs

Részletesebben

Kompenzációs kör vizsgálata. LabVIEW 7.1 4. előadás

Kompenzációs kör vizsgálata. LabVIEW 7.1 4. előadás Kompenzációs kör vizsgálata LabVIEW 7.1 4. előadás Dr. Iványi Miklósné, egyetemi tanár LabVIEW-7.1 EA-4/1 Mágneses hiszterézis mérése előírt kimeneti jel mellett DAQ Rn Un etalon ellenállás etalon ellenállás

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30

Részletesebben

A Balaton szél keltette vízmozgásainak modellezése

A Balaton szél keltette vízmozgásainak modellezése Numerikus modellezési feladatok a Dunántúlon 2015. február 10. A Balaton szél keltette vízmozgásainak modellezése Torma Péter Vízépítési és Vízgazdálkodási Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Jelgenerálás virtuális eszközökkel. LabVIEW 7.1

Jelgenerálás virtuális eszközökkel. LabVIEW 7.1 Jelgenerálás virtuális eszközökkel (mágneses hiszterézis mérése) LabVIEW 7.1 3. előadás Dr. Iványi Miklósné, egyetemi tanár LabVIEW-7.1 EA-3/1 Folytonos idejű jelek diszkrét idejű mérése A mintavételezési

Részletesebben

Hangtechnika. Médiatechnológus asszisztens

Hangtechnika. Médiatechnológus asszisztens Vázlat 3. Előadás - alapjai Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika Tanszék Ismétlés Vázlat I.rész: Ismétlés II.rész: A digitális Jelfeldolgozás

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Analóg-digitális átalakítás. Rencz Márta/ Ress S. Elektronikus Eszközök Tanszék

Analóg-digitális átalakítás. Rencz Márta/ Ress S. Elektronikus Eszközök Tanszék Analóg-digitális átalakítás Rencz Márta/ Ress S. Elektronikus Eszközök Tanszék Mai témák Mintavételezés A/D átalakítók típusok D/A átalakítás 12/10/2007 2/17 A/D ill. D/A átalakítók A világ analóg, a jelfeldolgozás

Részletesebben

MÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV. A mérés megnevezése: Potenciométerek, huzalellenállások és ellenállás-hőmérők felépítésének és működésének gyakorlati vizsgálata

MÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV. A mérés megnevezése: Potenciométerek, huzalellenállások és ellenállás-hőmérők felépítésének és működésének gyakorlati vizsgálata MÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV A mérés megnevezése: Potenciométerek, huzalellenállások és ellenállás-hőmérők felépítésének és működésének gyakorlati vizsgálata A mérés helye: Irinyi János Szakközépiskola és Kollégium

Részletesebben

Fizika példák a döntőben

Fizika példák a döntőben Fizika példák a döntőben F. 1. Legyen két villamosmegálló közötti távolság 500 m, a villamos gyorsulása pedig 0,5 m/s! A villamos 0 s időtartamig gyorsuljon, majd állandó sebességgel megy, végül szintén

Részletesebben

Jelek és rendszerek Gyakorlat_02. A gyakorlat célja megismerkedni a MATLAB Simulink mőködésével, filozófiájával.

Jelek és rendszerek Gyakorlat_02. A gyakorlat célja megismerkedni a MATLAB Simulink mőködésével, filozófiájával. A gyakorlat célja megismerkedni a MATLAB Simulink mőködésével, filozófiájával. A Szimulink programcsomag rendszerek analóg számítógépes modelljének szimulálására alkalmas grafikus programcsomag. Egy SIMULINK

Részletesebben

Mérés és adatgyűjtés

Mérés és adatgyűjtés Mérés és adatgyűjtés 5. óra - levelező Mingesz Róbert Szegedi Tudományegyetem 2011. március 18. MA lev - 5. óra Verzió: 1.1 Utolsó frissítés: 2011. április 12. 1/20 Tartalom I 1 Demók 2 Digitális multiméterek

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

Kiegészítés a Párbeszédes Informatikai Rendszerek tantárgyhoz

Kiegészítés a Párbeszédes Informatikai Rendszerek tantárgyhoz Kiegészítés a Párbeszédes Informatikai Rendszerek tantárgyhoz Fazekas István 2011 R1 Tartalomjegyzék 1. Hangtani alapok...5 1.1 Periodikus jelek...5 1.1.1 Időben periodikus jelek...5 1.1.2 Térben periodikus

Részletesebben

A lengőfűrészelésről

A lengőfűrészelésről A lengőfűrészelésről Az [ 1 ] tankönyvben ezt írják a lengőfűrészről, működéséről, használatáról: A lengőfűrész árkolásra, csaprések készítésére alkalmazott, 150 00 mm átmérőjű, 3 4 mm vastag, sűrű fogazású

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

2. Rugalmas állandók mérése jegyzőkönyv javított. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma:

2. Rugalmas állandók mérése jegyzőkönyv javított. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma: 2. Rugalmas állandók mérése jegyzőkönyv javított Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: 2008. 09. 17. Leadás dátuma: 2008. 10. 08. 1 1. Mérések ismertetése Az első részben egy téglalap keresztmetszetű

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1.

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. 1 Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. Feladat Egy G gépkocsi állandó v 0 nagyságú sebességgel egyenes úton

Részletesebben

KIFEJEZÉSE: A GAMMA KOEFFICIENS. Csapó Benő Szegedi Tudományegyetem, Neveléstudományi Tanszék MTA-SZTE Képességkutató Csoport

KIFEJEZÉSE: A GAMMA KOEFFICIENS. Csapó Benő Szegedi Tudományegyetem, Neveléstudományi Tanszék MTA-SZTE Képességkutató Csoport MAGYAR PEDAGÓGIA 102. évf. 3. szám 391 410. (2002) A KÉPESSÉGEK FEJLŐDÉSI ÜTEMÉNEK EGYSÉGES KIFEJEZÉSE: A GAMMA KOEFFICIENS Csapó Benő Szegedi Tudományegyetem, Neveléstudományi Tanszék MTA-SZTE Képességkutató

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben