Idősorok zajszűrése gyors Fourier - transzformációval

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Idősorok zajszűrése gyors Fourier - transzformációval"

Átírás

1 Idősorok zajszűrése gyors Fourier - transzformációval Készítette: Jakab Jenő Dátum:

2 Tartalom Tartalom Bevezető Matematika alapok Alapfeltevések, definíciók A Fourier - együtthatók meghatározása a 0 meghatározása a k és b k meghatározása Általános, tetszőlegesen hosszú T szerint periodikus függvények vizsgálata Fourier - transzformációban és Inverz Fourier - transzformációban rejlő lehetőségek Numerikus megoldás a Duna budapesti vízállás idősorán Az diszkrét idősor optimalizálása az FFT számára Az FFT algoritmus bemutatása Az FFT (és IFFT) alkalmazása a Duna vízállás idősorán Összefoglaló

3 1. Bevezető A vízmérnöki gyakorlatban a modern, digitális adatrögzítő mérőeszközök elterjedésével lehetőségünk van pontosabb, átfogóbb elemzések készítésére az időelőnyök növelése mellett. Ugyanakkor fel kell készülni - a kétségbevonhatatlan előnyök ellenére - az új megoldásokban rejlő hibák, hibaforrások szakszerű kezelésére is. Ennek az összefoglalónak éppen ez a célja: egy lehetséges megoldást szeretnénk szélesebb körben kipróbálni és ajánlani az adatregisztrálók hibájának mérséklésre, szűrésére. Ehhez jó eszköz a Fourier - analízis, pontosabban a Fourier - transzformáció, amely a villamosmérnöki hírközlési, informatikai gyakorlatban elterjedt, rutinszerűen alkalmazott. Konkrét jó példája lehet a Fourier - transzformáció széles körű alkalmazásának a JPEG formátumra kódolt képek, MP3 formátumú zenék, tömörítők, vagy a Photoshop képszerkesztő több funkciója is. 2. Matematika alapok Ebben a vázlatpontban szeretném bemutatni a kollégáknak a későbbi alkalmazáshoz szükséges elméleti alapokat. A fejezet megírásában nagyrészt a Matematika A2 egyetemi segédanyagra (BME, Sándor Csaba) támaszkodtam Alapfeltevések, definíciók Első lépésben vizsgáljuk meg a klasszikus, 2π szerint periodikus függvényeket. Ezekről a periodikus függvényekről feltesszük, hogy előállíthatók elemi 2π szerint periodikus függvények összegeként. Ilyen elemi függvények a szinusz és koszinusz szögfüggvények. Tehát a fenti állításunk (bizonyítás nélkül) a matematika nyelvén így néz ki: f(x) = (a cos(k x) + b sin(k x) ), k ε Z (1. ) ahol: - a k, b k amplitúdók (függőleges y tengely szerint nyújtja zsugorítja, transzformálja az elemi függvényt). - k körfrekvencia, amely ebben az esetben egyenlő a frekvenciával. (vízszintes x tengely szerint transzformálja a függvényt). Esetünkben a k -nak egész számnak kell lenni, mert ha nem lenne egész, akkor már nem lenne 2π szerint periodikus. Tehát így belőle nem állítható elő pontosan akármelyik 2π szerint periodikus f(x) függvény sem. k=0 esetben a sin(0 x)=0, ezért az a 0 tagot kiemelve általában k=1-től szokás felírni az összegképlet alakot. Jogosan felmerülhet (1.) alapján, hogy miért két fajta és miért ezt a két fajta elemi szögfüggvényt használjuk f(x) közelítésére. Bizonyítás nélkül fogadjuk el ebben az esetben, hogy a két elemi függvény független egymástól (geometriailag ez azt jelenti, hogy merőlegesek egymásra 1. ábra, vagy másként értelmezve a függetlenséget, skaláris szorzatuk 0) és a kettejük lineáris kombinációja a polinomokhoz hasonló univerzális összegző képességekkel (univerzális approximátor) rendelkezik. Érdekesség még, hogy a szinusz és koszinusz páratlan, illetve páros függvény (páratlan: sin(-x)=- 3

4 sin(x) => origóra középpontosan tükrös, páros: cos(-x)=cos(x) => y tengelyre tükrös). Magyarán azt a sejthető megállapítást fogalmaztuk meg, hogy tetszőleges periodikus függvények páros és páratlan elemi függvények összegeként előállíthatók. Az előző gondolatot másként megfogalmazva megvizsgálható, hogy adott periodikus függvény milyen mértékben páros és páratlan. Tovább fűzve a gondolatot logikailag előrevetíthető, hogy páros függvények Fourier - együtthatói csak a koszinuszos tagokból (a k ), páratlan függvények pedig csak szinuszosos (b k ) tagokból állnak A Fourier - együtthatók meghatározása Az alcímben megfogalmazott cél közvetlenül következik a 2.1. pontban megfogalmazottakból: ha ismerjük az a k, b k együtthatókat elkészültünk a feladattal! a 0 meghatározása Tegyük fel, hogy a 2π szerint periodikus f(x) Riemann integrálható a [0,2π] intervallumban, tehát: f(x)dx = (a + (a cos(k x) + b sin(k x) ))dx (2. ) Az integrálást elvégezve az alábbi egyenletet kapjuk: f(x)dx = [a x + ( a sin(k x) + b cos(k x) )] k k (3. ) Ha a (3.) -at megvizsgálva láthatjuk, hogy egyetlen nem 0 tagunk marad, mivel a szinuszos és a koszinuszos tagokat saját periódusukon, vagy azok többszörösén integráljuk. Tehát az egyenlet (4.) -re egyszerűsödik: Ebből már a 0 kifejezhető: f(x)dx = [a x] = a 2π (4. ) a = 1 f(x)dx (5. ) 2π a k és b k meghatározása Az a k és b k együtthatók számításához először nézzünk meg egy-két speciális integrált. Az integrálok argumentumaihoz mankóként alkalmazható a trigonometrikus függvények addíciós összefüggései, amelyeket az 1. ábrán grafikusan is nyomon követhetünk. 4

5 1. ábra trigonometrikus függvények addíciós összefüggései Speciális alkalmazott integrálok: k l esetben: cos(k x) cos(l x) dx = 1 cos((k + l)x) + cos((k l)x) dx 2 = 1 2 sin(k + l)x k + l sin(k l)x + k l = 0 (6. ) sin(k x) sin(l x) dx = 1 cos((k l)x) cos(k + l)x dx 2 = 1 2 sin(k l)x k l sin(k + l)x k + l = 0 (7. ) sin(k x) cos(l x) dx = 1 sin((k + l)x) + sin((k l)x) dx 2 = 1 2 [ cos(k + l)x k + l cos((k l)x) ] k l = 0 (8. ) Látható, hogy a l => k-hoz speciális eset. A fenti képletekből nem derül ki, hogy mekkorák k=l esetén a fenti határozott integrálok! 5

6 k=l esetben: cos (k x) dx = sin (k x) dx = sin(k x) cos(k x) dx = 1 + cos (2 k x) dx = cos (2 k x) dx = x + sin(2 k x) 4 k x sin(2 k x) 4 k sin (2 k x) cos(2 k x) dx = 2 4 k = π (9. ) = π (10. ) = 0 (11. ) a k meghatározása: f(x) cos (m x)dx = (a + (a cos(k x) + b sin(k x) )) cos (m x)dx = a cos(m x) dx + ( (a cos(k x) + b sin(k x) )) cos (mx)dx = a π k, m Z (12. ) A (12.) képletnél (6.), (8.), (9.), (11.) felhasználva látható, hogy csak k=m esetnek van 0-tól különböző értéke az integrálnak. Tehát a k kifejezhető végül a következő alakban: a = 1 f(x) cos (k x)dx (13. ) π b k meghatározása: f(x) sin (m x)dx = (a + (a cos(k x) + b sin(k x) )) sin (m x)dx = a sin(m x) dx + ( (a cos(k x) + b sin(k x) )) sin (mx)dx = b π k, m Z (14. ) A (14.) képletnél (7.), (8.), (10.), (11.) felhasználva látható, hogy csak k=m esetnek van 0-tól különböző értéke az integrálnak. Tehát b k kifejezhető végül a következő alakban: b = 1 f(x) sin (k x)dx (15. ) π 6

7 2.3. Általános, tetszőlegesen hosszú T szerint periodikus függvények vizsgálata Ha a 2.1. és 2.2. pontokban felsorolt feltételek igazak, akkor az ott meghatározott állítások következményei kisebb formai módosításokkal tetszőlegesen hosszú T szerint periodikus függvényekre is alkalmazhatóak: Vegyük most a T szerint periodikus g(x) függvényt: g(x) = (a cos 2 π T k x + b sin 2 π T k x), k ε Z (16. ) Vegyük észre, hogy a szinusz és koszinusz függvények argumentumában a fizikai tanulmányokból ismert körfrekvenciát figyelhetjük meg: ahol, ω(k) = 2 π T k = 2 π f k (17. ) - T: periódusidő, de gyakran alkalmazzák formailag a periódusidő reciprokát: a frekvenciát is. 2. ábra Fourier Transzformált képzése g(x) függvényen ω 1 körfrekvenciánál 7

8 3. ábra Fourier Transzformált képzése g(x) függvényen ω 2 körfrekvenciánál Ebben az esetben az elemi függvénykomponensek együtthatói (az amplitúdók) az alábbiak szerint alakulnak: a = 1 f(x)dx (18. ) T a = 2 π f(x) cos (2 k x)dx (19. ) T T b = 2 π f(x) sin (2 k x)dx (20. ) T T A ábrákon grafikusan is megfigyelhetjük, hogyan kell értelmezni a Fourier transzformációt. Az a k együtthatókat a grafikonon jelölt zölddel satírozott előjeles területek összegeiként kapjuk, elosztva a periódusidő kétszeresével. A b k együtthatóknál pedig a pirossal satírozott területekkel kell hasonlóan eljárnunk. 8

9 3. Fourier - transzformációban és Inverz Fourier - transzformációban rejlő lehetőségek A 2. pontban leírtak szerint látható, hogy bizonyos feltételek mellett függvények előállíthatók Fourier sorba fejtéssel is tetszőleges pontossággal. Ilyen diszkrét időpontokban értelmezett függvény lehet akár egy vízállás idősor is. Tehát lehetőségünk van például a vízállás idősorainkat különböző frekvenciájú egységnyi harmonikus függvények különböző arányú összegeiként is értelmezni. Munkám elején élek azzal a feltételezéssel, hogy általánosságban a gyakorlatban előforduló vízmozgások valós változása lassabb, mint a mérőműszerek által belekevert zaj irányváltozása. Tehát a vízállás idősor frekvenciák szerinti un. spektrális felbontásánál (ez lényegében a k (k) és b k (k) függvények) van esély különböző, domináns frekvenciatartományok elkülönítésére, eredetüknek beazonosítására. Az a k (k) és b k (k) függvények meghatározását az irodalomban Fourier transzformációnak hívják. Az integrálások során a k (k) és b k (k) függvények csak a k-tól (a frekvenciától) fognak függeni adott g(x) esetén, x-től (x az idősornál a független változó: az idő) nem. A frekvenciatérben tehát bizonyos frekvenciájú komponensek törlése lehetővé teszi a törölt frekvenciájú komponens törlését az idősorból is az inverz transzformáció után. Az inverz transzformáció az a számítási lépcső, amely során összegalakban a k (k) -t és b k (k) -t felhasználva előállítjuk g(x) -et, esetünkben az idősort. Elméletileg tehát a mérőműszer zajának spektrumát ismerve - kicsiny (cm-en belüli) hibával terhelten - jó esélyünk van idősorainkat elfogadható pontossággal zajmentesíteni. 4. Numerikus megoldás a Duna budapesti vízállás idősorán A vízmérnöki gyakorlatban fontos állapotváltozók (pl.: vízszintek, vízhozamok, stb.) a mai kor méréstechnikájával gyakorlatilag tetszőlegesen sűrű időközönként megmérhetőek. Fontos - hogy céljaink szerint - méréseink információtartalma, számításigénye gazdaságos (optimális) legyen. Ez azt jelenti - hogy kedvezőtlen esetekben - a túl ritka mérési adatok között kénytelenek vagyunk az interpoláció bizonytalanságait felhasználni, valamint azt, hogy a túl sűrű adathalmazon kénytelenek vagyunk plusz erőforrás bevonással különböző elvű ritkításokat végrehajtani. Munkám további szakaszában élek azzal a feltételezéssel, hogy a mérőrendszerek általánosságban optimálisan üzemelnek. Tehát nem a rendszer felülbírálatára törekszem, hanem a rendszerben található adatsorok: idősorok optimális kihasználására. A vízállás idősorokat vizsgálva a Fourier transzformációs zajszűrők gyakorlati megvalósításánál a gyors számítás és az adatszerkezet jellege miatt (diszkrét jellgű) a numerikus megoldók közül választottam. A lehetőségeket figyelembe véve a választott numerikus módszerem a gyors Fourier transzformáció (angol rövidítés: FFT, visszalakítás inverz művelet: IFFT) lett. A módszer kiválasztásánál szempont volt, hogy az Országos Vízügyi Főigazgatóságban (OVF) homogén felbontású idősorok készítésére is van igény egyfajta feldolgozott késztermékként. 9

10 4. ábra Vízállás idősor a Dunán Budapestnél Az elemzett idősorom - amelyen a módszertant ismertetem - a Duna budapesti vízmércéjén mért és a MAHAB-ban tárolt vízállás hidrológiai idősor a : :01 időszakra vonatkozóan. A későbbiekben bevezetésre kerülő relatív idő fogalmát az időintervallum kezdő időpontjához igazítom a rendszer alapegysége pedig az 1 perc lesz Az diszkrét idősor optimalizálása az FFT számára Az FFT algoritmusnál fontos az idősort homogén felbontással megadni. Ez azt jelenti, hogy két szomszédos vízállás érték között dt idő kell, hogy elteljen egységesen. Az FFT számítási algoritmust részletesen a 4.2 fejezetben ismertetem. A kívánatos homogén időbeli felbontás viszont gyakorlati és technikai okokból kifolyólag is gyakran nem áll rendelkezésre. Tehát első lépésben a homogén felbontású idősor előállítását kell megoldani valamilyen (esetünkben lineáris) interpolációs eljárással. A vizsgált Duna vízállás idősor kb. órás időközű feldolgozatlanul. A homogén felbontást 1 perces finomsággal határoztam meg első lépésként. Az így létrejött idősorban viszont az interpolált vízszintek aránya túl nagy a mérésekhez képest és az adatsor mérete is jelentősen megnövekedett. Ez azt jelenti, hogy hígult az információ-sűrűség. A percnél durvább felbontás lehetőségét tehát az interpoláció fajlagos hibája és a számítási igény csökkentése mentén célszerű megvizsgálni. A kellően nagy információ-sűrűséggel rendelkező kívánatos adatstruktúra eléréséhez egy optimalizációs eljárást javasolok, amelynek szempontjai egyidejűleg: - I. A lehető legdurvább időbeli felbontást kell alkalmazni - II. A lehető legtöbb mért adatot kell alkalmazni - III. A lehető legkevesebb interpolálat adatot kell felhasználni. (A II. és III. -ból levezethető, hogy legyen a lehető legnagyobb legyen a mért és interpolált adatok aránya!) 10

11 I-III. vázlatpontokat megfontolva tehát kaphatunk egy két szabadságfokú rendszert, amely változói az idő felbontása és a kezdő időpont (vagy az időrács) fázisa. A második szabadságfok azt jelenti, hogy ha van például homogén 2 perc felbontású mérésünk 0 hasznosul, ha a 2 perces időfelbontás a 2 perces mérések közé esik, de ha egybeesik a mérés a felbontás fázisával, akkor mindet hasznosítani tudjuk. A két szabadságfokú rendszer kimenete pedig legyen a felhasznált mérések aránya az összes méréshez (eredeti adat) képest! Ezt az arányszámot a továbbiakban hatásfoknak hívom. ahol - η: Hatásfok [%] - dt: Felbontás [min] - φ: Fázis [min] η(dt, φ) = N (dt, φ) N é (21. ) - N mért : Megmért vízállások darabszáma az adott időintervallumban [-] - N felhaszn : Az interpolációval homogenizált idősorban a felbontás és a fázis függvényében a felhasznált eredeti mérések darabszáma [-] 5. ábra Hatásfok az időbeli felbontás és a fázis szerint 11

12 6. ábra Hatásfok fázis szerint maximált ábrája az időbeli felbontás szerint Az 5. ábrán önkényesen az perc közötti felbontásokkal vizsgálom meg a hatásfokokat percig terjedő fázisok mellett. Az ábrán jól látható, hogy 1 perces felbontásnál minden megmért adat hasznosul, majd a felbontás csökkenésével a felbontás szerinti hatásfok trendje csökken. A fázis hatásfok viszonya pedig jól mutatja, hogy kb. 60 perces periódusokban mért a regisztráló. A 6. ábrán az 5. ábrán bemutatott függvény egy speciális módosítását láthatjuk, ahol az egyes felbontások függvényében ábrázoljuk a hatásfokot úgy, hogy a fázis szerinti a maximális hatásfokot vesszük mindegyik felbontásnál. Ezek alapján a fent megfogalmazott (I. - III.) optimalizáció szempontjai szerint a 60 perces felbontás kedvezőnek tűnik. Annak érdekében, hogy az I. vázlatpontot megfelelően érvényre tudjuk juttatni egy súlyfüggvény és egy alapérték tényező bevezetését, illetve alkalmazását tartom kívánatosnak. Ez a kedvező időbeli felbontást felülreprezentáló súlyfüggvény első javaslatom szerint legyen a szinusz hullám első negyede: ahol - S: Súly [-] - dt: időbeli felbontás [min] 0.5 π S(dT) = sin ( (dt dt dt dt )) (22. ) - dt max : A választott legnagyobb alkalmazott felbontás, amely konstans [min] - dt min : A választott legkisebb alkalmazott felbontás, amely konstans [min] 12

13 7. ábra Súlyfüggvény az időbeli felbontás függvényében Tehát a kedvező megoldást a 6. ábrán már szemléltetett fázis szerint maximalizált hatásfok függvény súlyfüggvénnyel vett szorzatából és az alapérték tényező összegétől várom az alábbi alak szerint (a kapott függvényt fittségi (fitt, mint kedvező) függvénynek hívom): ahol θ(dt) ( ) = S(dT) η(dt) ( ) ( ) + λ η(dt) = (S(dT) + λ) η(dt) ( ) (23. ) - ϑ: fittség. A függvény csak az időbeli felbontástól függ, olyan módon, hogy egy felbontáshoz a fázis szerint már maximalizált hatásfokot rendeljük. [-] - S: a súly [-] - η: a hatásfok [%] - λ: alapérték tényező, amely konstans. Választott értéke: λ=0.2 Szerepe: egyfajta kezdeti súly biztosítása. A 8. ábrán megszemlélhetjük a fittségi függvényt, amelynek maximuma van a kívánatos 60 perces felbontásnál. Ezek után a 60 perces felbontást kötött változóként kezelve a hatásfok függvényből megállapíthatjuk, hogy mekkora fázisnál érte el a fittségi függvény a maximát (a fittség és a hatásfok függvénynek a fázis szerint ugyanott van a maximuma). 13

14 A számítások menete: maxθ(dt) ( ) dt á (I. ) dt á ηdt á, φ (II. ) max (ηdt á, φ) φ á (III. ) 8. ábra Fittség ábra az Időbeli felbontás szerint és az időbeli felbontás fázisa szerint maximalizálva Az optimalizáció végeredményként a homogén időbeli felbontás 60 percre a kezdeti fázis 1 percre adódott. Ilyen paraméterek mellett a konkrét mérések 58.92% -át tudtam hasznosítani. Összességében a fent javasolt módszerrel egy jó becslés adható a két szabadságfokú rendszer paramétereire. Természetesen az olvasóban felmerülhet az a jogos kérdés, hogy miért pont ezt a formát, súlyfüggvényt és alapérték tényezőt alkalmaztam? Összességében érvként a mérnöki becslést tudom említeni, az eljárás alkalmazhatóságát, a programmodul finomítását a gyakorlat fogja meghatározni. A másik lényeges kérdés az, hogy a homogén időbeli felbontás mennyire jól alkalmazható? Egyfajta felbontás jól jellemzi-e a teljes vizsgált idősort? Ha csak arra gondolunk, hogy árvizes időszakokban a megnő az adatregisztrálás egy időegységben, célszerű lehet a teljes idősort különböző homogén felbontású rész idősorok sorozatásból előállítani és vizsgálni, esetenként a felbontás fázisát a szélső értékekhez igazítva. Ennek a problémának az orvoslására jó kezdő lépés lehet a mérések időközeinek változását megvizsgálni az idő függvényében. 14

15 4.2. Az FFT algoritmus bemutatása Az FFT az alkalmazott homogén felbontású adatsoroknál az alábbi képlet alapján számítható: A(k) = α 2 x N x (j) cos 2 π N (j) sin 2 π N (j 1) (k 1) (j 1) (k 1) (24. ) ahol, - A: az amplitúdó vektor, amelynek első eleme a k, második b k [cm] - N: adatsor hossza, elemszáma [-] - x(j): j -dik mérés (ez lehet a diszkrét vízállás). j=1 N ig változik [cm] - (k 1): Ez a körfrekvencia, amely k szerint változik. 0.5, ha k = 1 - α = { 1, ha k > 1 Érdemes az amplitúdókat is k = 1 N -ig vizsgálni, így pont olyan hullámokra végezhetjük el a transzformációt, amelyek hullámhossza homogén módon sűrűsödve 0 N-1 ig fedi le a vizsgált mintát (az első tagot az átlagból és a 0 -ból összetevődő vektor). A k > N fölötti hullámokat nem érdemes megvizsgálni, mert azokon a frekvenciatartományokon nincs megfelelő mintánk, ha pedig erősen durvítani akarjuk a transzformációt (k=1 M, M<<N) az nagy numerikus hibát okoz. Ha k=1 N, akkor látható, hogy a trigonometrikus együtthatók Trig(j,k) mátrixa a főtengelyre szimmetrikus, tehát így kevesebb számítási művelet kell elvégezni és a fenti forma könnyen le is programozható. A könnyebb megértés miatt nézzük meg a ábrákat, ahol a (24.) -es képletet nézhetjük meg grafikusan. 9. ábra FFT folyamatábra k=0 esetben cos os összetevők és mérések 15

16 10. ábra FFT folyamatábra k=0 esetben sin os összetevők és mérések 11. ábra FFT folyamatábra k=1 esetben cos os összetevők és mérések 12. ábra FFT folyamatábra k=1 esetben sin os összetevők és mérések 16

17 13. ábra FFT folyamatábra k=n esetben cos os összetevők és mérések 14. ábra FFT folyamatábra k=n esetben sin os összetevők és mérések 17

18 4.3. Az FFT (és IFFT) alkalmazása a Duna vízállás idősorán Az FFT eljárás elvégezésével tehát előáll a jelösszetevők körfrekvencia szerinti függvénye a spektrum, amely a 15. ábrán megszemlélhető! Az ábrán kék szín jelöli a koszinuszos, piros a szinuszos függvényeket, az abszolút érték függvény pedig a zöld színű. Az abszolút érték függvényből jól látható, hogy a legnagyobb amplitúdójú jel 680 cm körüli, ellenőrzésként pedig megnézhető a 4. ábra maximális vízállása, amely kb. 580 cm. Ez első ránézésre reális lehet, az eltérés oka pedig a sok különböző jelkomponens összegzett hatása. ahol - A(k) : az amplitúdó nagysága [cm] A(k) = a (k) + b (k) (25. ) 15. ábra A Duna budapesti : :01 mért vízállás idősorának spektruma A spektrum előállítása után a feladat a zavaró frekvenciák, frekvenciatartományok beazonosítása és törlése a spektrumból! A zaj periódusidejére, frekvenciájára az alábbiakat javasolom: T = N k dt = min = min 10h f = 1 T = h (25. ) ahol - T: a periódusidő [h]. k alapján a 10 óránál kisebb periódusidejű hullámokat törlöm a spektrumból! - N: homogén felbontású idősor elemszáma - k cut : az a körfrekvencia változó, amelynél nagyobb értékeket már törlök az adatsorból. k=205 ös érték már a zaj nagyságrendjébe eső körfrekvenciát eredményez véleményem szerint, vagy ha nem is a 18

19 zaj frekvenciája a műszerzajból keletkező hamis frekvenciaként tekintek rá (Hamis frekvenciák akkor keletkezhetnek, ha nincs elég, legalább 2 mérésünk a frekvencia periódusideje alatt). - dt alk : az alkalmazott időfelbontás [min] A 16. ábrán a kis frekvenciájú összetevők láthatóak, az idősor jórészt a k=1 205 terjedő spektrumrészletből épül fel! Szemmel is jól látható, hogy a k>205 tartomány kicsiny arányba járul hozzá az idősor alakulásához. Ebben a frekvenciatartományban 1 cm nél kisebb hullámok keletkeznek, amely esetünkben a 17. ábra alapján a zaj amplitúdójaként is azonosíthatók. Tehát ha töröljük a k > 205 spektrumot és visszaalakítjuk a módosított spektrumot az időtérbe, akkor egy jobb, a valóságot homogénebben jellemző idősort kaphatunk vissza. A spektrumból történő törlésnél viszont óvatosan kell eljárnunk, mert ha töröljük a k > 205 frekvenciasávot rossz eredményt kapunk. Ennek oka nem fizikai, hanem numerikus. A magyarázatához nézzük meg a 13. és 14. ábrákat, ahol látható az ábra elején, hogy ha a hullámhossz közel esik az időbeli felbontáshoz, akkor a diszkrét megoldásnál nem érvényesül a hullám teljes hatása, hanem csak az aktuális diszkrét érték. Ez felfogható úgy, mint egyfajta numerikus lebegés (rezonancia) a fizikából vett analógiával élve. Tehát ez a jelenség mindig az diszkrét alapon számolt spektrum végén jelentkezik az FFT-nél. 16. ábra A Duna budapesti : :01 mért vízállás spektrumának részlete A numerikus lebegéssel befolyásolt tartomány ugyanakkor nem tekinthető valós hibának, a jel előállításában fontos szerepet játszik, mert ugyan hamis frekvenciaként, de a kisebb frekvenciák hatását hordozza magában! Tehát a törlésre ajánlott tartomány: ezek alapján: I(k) = k k k, k = k (26. ) AI(k) = 0 (27. ) 19

20 ahol - I(k) clear : törlésre kijelölt frekvencia változók tartománya - k lebeg : a numerikus lebegés által érintett frekvencia változó - k end : a legnagyobb értékű frekvencia változó. k end =N Ezek után alakítsuk át a módosított spektrumot az idő térbe az inverz transzformációval (IFFT) az alábbiak szerint: A x(j) = abs A (k) cos 2 π N (k) sin 2 π N (j 1) (k 1) (j 1) (k 1) (28. ) A 17. ábrán megszemlélhetjük a mért és a zajszűrt Duna budapesti mért és szűrt vízállás idősorokat. Ezek alapján szemre jó egyezés tapasztalható a két idősor között. 17. ábra A Duna budapesti : :01 mért (piros) és zajszűrt (zöld) vízállásai A 18. és 19. ábrákon a 2013-as év eleji időszakok budapesti mércén mért Duna árhullám csúcsai láthatóak, illetve a 20. ábrán a vizsgált időszak egyik jellemző kisvizes vízállása. Ezek alapján megfigyelhető, hogy a szélsőértékeknél jó cm-belüli hibát okoz a szűrés. A szélsőértékeken kívül vizsgálandóak lehetnek az erőteljes áradó és apadó szakaszai a vízállás idősornak, de ezeken a szakaszokon sem tapasztaltam cm-es hibahatárt túllépő számított vízállás értéket. 20

21 18. ábra Árhullámcsúcs_1 a vízállás idősorban piros a mért, zöld a szűrt 19. ábra Árhullámcsúcs_2 a vízállás idősorban piros a mért, zöld a szűrt 20. ábra Kisvíz a vízállás idősorban piros a mért, zöld a szűrt 21

22 21. ábra Vízállás idősor eleje piros a mért, zöld a szűrt 22. ábra Vízállás idősor vége piros a mért, zöld a szűrt Jelentős, cm-es hibatartományt meghaladó hibát az idősor elején és a végén találhatunk, amelyek a 21. és a 22. ábrákon is szerepelnek. A közelítő módszerből fakadó, az intervallum szélein megfigyelhető hullámosodást a matematikában Runge - jelenségnek hívják, amelynek hatását a zaj visszakeveréssel lehetne csökkenteni. Ha meggondoljuk viszont, hogy a teljes három hónapból a Runge - jelenség által jelentősebben befolyásolt időszak az intervallum elején és végén 2-2 nap, akkor látható, hogy ebben az esetben az idősor kb. 95.5% -án kapunk elfogadhatóan jó közelítést. Érdemes azt is megjegyezni, hogy hosszú idősoroknál a Runge - jelenség által meghatározott szakaszok arányaiban rövidülnek a teljes adatsor hosszához képest, tehát az FFT-t különösen hosszú idősoroknál lehet jó hatásfokkal alkalmazni. 22

23 5. Összefoglaló Munkám eredményeként bizonyítható, hogy a Fourier - transzformáción alapuló FFT-s zajszűrés sikeresen alkalmazható vízállás idősorok műszerhibáinak csökkentésére. Eljárásom sikeres gyakorlati alkalmazásának és főként automatizálásának egyik sarokfeltétele lehet az általam definiált fittségi függvény paramétereinek általános érvényűsége. Az egyszerű alkalmazáshoz tehát elengedhetetlen egy teszt program készítése, amely szélesebb körű használatának tapasztalatai fontosak a paraméterhatárok tisztázásában, illetve az egyes modulok felhasználóbarát kialakításában. A dolgozatban látható grafikonok, eljárások nagyrészt Matlab környezetben valósultak meg, ahol egyrészt a Matlab belső függvényeit, másrészt saját fejlesztésű kódokat alkalmaztam. (Az alkalmazott kódokat szükség esetén az érdeklődők rendelkezésére tudom bocsájtani). Véleményem szerint a bemutatott eljárás teljes körűen megvalósítható önálló programként, illetve az OVF -ben található adatbázisokra épülő programok alkalmazásaként is. Másik fontos fejlesztési irányként az idősorok felbontásának inhomogenizálását tartom az FFT számára, úgy, hogy a teljes inhomogén idősor homogén részidősorok sorozatából épüljön fel. Természetesen minden numerikus eljárásnak a feladathoz, a kitűzött célokhoz, illetve a rendelkezésre álló adatokhoz kell igazodnia, tehát elképzelhetőek egyéb komolyabb numerikus megoldások fejlesztései is. Tudomásom szerint a hazai vízmérnöki gyakorlatban Fourier - transzformáción alapuló zajszűrést a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Vízépítési és Vízgazdálkodási Tanszékén is alkalmaznak. A tanszék ilyen irányú tapasztalatai értékesek lehetnek az OVF -s fejlesztésekben is. A műszerhibák szűrésén kívül a bemutatott eljárás jó eszköze lehet a hidrológiai - hidraulikai analízisnek is. A Balaton vízállás idősorainál tesztelteltem a különböző lengésidejű hullámokhoz rendelt aluláteresztő (egy választott küszöbfrekvenciánál nagyobb komponenst töröl az idősorból) szűrőt, amely segítségével a nagyfrekvenciás hullámzás leválaszthatóvá vált az megmért idősorról, így jobban megvizsgálhatók lettek a tólengések a kis frekvenciájú vízállás komponensei. De a mérnöki feladatok sokrétűségét kiszolgálva az FFT átalakítható felüláteresztő (egy választott küszöbfrekvenciánál kisebb komponenst töröl az idősorból) szűrővé, vagy éppen sávszűrővé (két választott küszöbfrekvenciánál közé eső jeleket hagy meg az idősorból) is. 23

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

A mintavételezéses mérések alapjai

A mintavételezéses mérések alapjai A mintavételezéses mérések alapjai Sok mérési feladat során egy fizikai mennyiség időbeli változását kell meghatároznunk. Ha a folyamat lassan változik, akkor adott időpillanatokban elvégzett méréssel

Részletesebben

CSAPADÉK ÉS TALAJVÍZSZINT ÉRTÉKEK SPEKTRÁLIS ELEMZÉSE A MEZŐKERESZTES-I ADATOK ALAPJÁN*

CSAPADÉK ÉS TALAJVÍZSZINT ÉRTÉKEK SPEKTRÁLIS ELEMZÉSE A MEZŐKERESZTES-I ADATOK ALAPJÁN* A Miskolci Egyetem Közleménye A sorozat, Bányászat, 66. kötet, (2004) p. 103-108 CSAPADÉK ÉS TALAJVÍZSZINT ÉRTÉKEK SPEKTRÁLIS ELEMZÉSE A MEZŐKERESZTES-I ADATOK ALAPJÁN* Dr.h.c.mult. Dr. Kovács Ferenc az

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Milyen elvi mérési és számítási módszerrel lehet a Thevenin helyettesítő kép elemeit meghatározni?

Milyen elvi mérési és számítási módszerrel lehet a Thevenin helyettesítő kép elemeit meghatározni? 1. mérés Definiálja a korrekciót! Definiálja a mérés eredményét metrológiailag helyes formában! Definiálja a relatív formában megadott mérési hibát! Definiálja a rendszeres hibát! Definiálja a véletlen

Részletesebben

Jelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék

Jelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék Jelek és rendszerek 1 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék 1 Ajánlott irodalom: FODOR GYÖRGY : JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2006

Részletesebben

2. Elméleti összefoglaló

2. Elméleti összefoglaló 2. Elméleti összefoglaló 2.1 A D/A konverterek [1] A D/A konverter feladata, hogy a bemenetére érkező egész számmal arányos analóg feszültséget vagy áramot állítson elő a kimenetén. A működéséhez szükséges

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Ellenőrző kérdések a Jelanalízis és Jelfeldolgozás témakörökhöz

Ellenőrző kérdések a Jelanalízis és Jelfeldolgozás témakörökhöz Ellenőrző kérdések a Jelanalízis és Jelfeldolgozás témakörökhöz 1. Hogyan lehet osztályozni a jeleket időfüggvényük időtartama szerint? 2. Mi a periodikus jelek definiciója? (szöveg, képlet, 3. Milyen

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18. Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 28. március 18. A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia Értékelés: A beadás dátuma: 28. március 26. A mérést végezte: 1/7 A mérés leírása:

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN. 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN. 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 Differenciálegyenlet megoldása u(t) diff. egyenlet v(t) a n d n v m dt a dv n

Részletesebben

Négyszög - Háromszög Oszcillátor Mérése Mérési Útmutató

Négyszög - Háromszög Oszcillátor Mérése Mérési Útmutató ÓBUDAI EGYETEM Kandó Kálmán Villamosmérnöki Kar Híradástechnika Intézet Négyszög - Háromszög Oszcillátor Mérése Mérési Útmutató A mérést végezte: Neptun kód: A mérés időpontja: A méréshez szükséges eszközök:

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

Mechatronika alapjai órai jegyzet

Mechatronika alapjai órai jegyzet - 1969-ben alakult ki a szó - Rendszerek és folyamatok, rendszertechnika - Automatika, szabályozás - számítástechnika Cd olvasó: Dia Mechatronika alapjai órai jegyzet Minden mechatronikai rendszer alapstruktúrája

Részletesebben

Transzformátor rezgés mérés. A BME Villamos Energetika Tanszéken

Transzformátor rezgés mérés. A BME Villamos Energetika Tanszéken Transzformátor rezgés mérés A BME Villamos Energetika Tanszéken A valóság egyszerűsítése, modellezés. A mérés tervszerűen végrehajtott tevékenység, ezért a bonyolult valóságos rendszert először egyszerűsítik.

Részletesebben

Fehérzajhoz a konstans érték kell - megoldás a digitális szűrő Összegezési súlyok sin x/x szerint (ez akár analóg is lehet!!!)

Fehérzajhoz a konstans érték kell - megoldás a digitális szűrő Összegezési súlyok sin x/x szerint (ez akár analóg is lehet!!!) DSP processzorok: 1 2 3 HP zajgenerátor: 4 Shift regiszter + XOR kapu: 2 n állapot Autókorrelációs függvény: l. pénzdobálás: (sin x/x) 2 burkoló! Fehérzajhoz a konstans érték kell - megoldás a digitális

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Feszültségérzékelők a méréstechnikában

Feszültségérzékelők a méréstechnikában 5. Laboratóriumi gyakorlat Feszültségérzékelők a méréstechnikában 1. A gyakorlat célja Az elektronikus mérőműszerekben használatos különböző feszültségdetektoroknak tanulmányozása, átviteli karakterisztika

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Shift regiszter + XOR kapu: 2 n állapot

Shift regiszter + XOR kapu: 2 n állapot DSP processzorok: 1 2 HP zajgenerátor: 3 Shift regiszter + XOR kapu: 2 n állapot Autókorrelációs függvény: l. pénzdobálás: (sin x/x) 2 burkoló! 4 Fehérzajhoz a konstans érték kell - megoldás a digitális

Részletesebben

Mérés 3 - Ellenörzö mérés - 5. Alakítsunk A-t meg D-t oda-vissza (A/D, D/A átlakító)

Mérés 3 - Ellenörzö mérés - 5. Alakítsunk A-t meg D-t oda-vissza (A/D, D/A átlakító) Mérés 3 - Ellenörzö mérés - 5. Alakítsunk A-t meg D-t oda-vissza (A/D, D/A átlakító) 1. A D/A átalakító erısítési hibája és beállása Mérje meg a D/A átalakító erısítési hibáját! A hibát százalékban adja

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 5.

Matematikai geodéziai számítások 5. Matematikai geodéziai számítások 5 Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 5: Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Lektor: Dr Benedek Judit Ez a modul a TÁMOP

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 12. mérés: Infravörös spektroszkópia. 2008. május 6.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 12. mérés: Infravörös spektroszkópia. 2008. május 6. Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 12. mérés: Infravörös spektroszkópia Értékelés: A beadás dátuma: 28. május 13. A mérést végezte: 1/5 A mérés célja A mérés célja az

Részletesebben

Mechanika I-II. Példatár

Mechanika I-II. Példatár Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását

Részletesebben

MATLAB. 6. gyakorlat. Integrálás folytatás, gyakorlás

MATLAB. 6. gyakorlat. Integrálás folytatás, gyakorlás MATLAB 6. gyakorlat Integrálás folytatás, gyakorlás Menetrend Kis ZH Példák integrálásra Kérdések, gyakorlás pdf Kis ZH Numerikus integrálás (ismétlés) A deriváláshoz hasonlóan lehet vektorértékek és megadott

Részletesebben

Digitális jelfeldolgozás

Digitális jelfeldolgozás Digitális jelfeldolgozás Mintavételezés és jel-rekonstrukció Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék magyar.attila@virt.uni-pannon.hu 2010.

Részletesebben

Analóg elektronika - laboratóriumi gyakorlatok

Analóg elektronika - laboratóriumi gyakorlatok Analóg elektronika - laboratóriumi gyakorlatok. Mûveleti erõsítõk váltakozó-áramú alkalmazásai. Elmélet Az integrált mûveleti erõsítõk váltakozó áramú viselkedését a. fejezetben (jegyzet és prezentáció)

Részletesebben

Az idősorok összetevői Trendszámítás Szezonalitás Prognosztika ZH

Az idősorok összetevői Trendszámítás Szezonalitás Prognosztika ZH Idősorok Idősor Statisztikai szempontból: az egyes időpontokhoz rendelt valószínűségi változók összessége. Speciális sztochasztikus kapcsolat; a magyarázóváltozó az idő Determinisztikus idősorelemzés esetén

Részletesebben

A mérés. A mérés célja a mérendő mennyiség valódi értékének meghatározása. Ez a valóságban azt jelenti, hogy erre kell

A mérés. A mérés célja a mérendő mennyiség valódi értékének meghatározása. Ez a valóságban azt jelenti, hogy erre kell A mérés A mérés célja a mérendő mennyiség valódi értékének meghatározása. Ez a valóságban azt jelenti, hogy erre kell törekedni, minél közelebb kerülni a mérés során a valós mennyiség megismeréséhez. Mérési

Részletesebben

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk

Részletesebben

A hang mint mechanikai hullám

A hang mint mechanikai hullám A hang mint mechanikai hullám I. Célkitűzés Hullámok alapvető jellemzőinek megismerése. A hanghullám fizikai tulajdonságai és a hangérzet közötti összefüggések bemutatása. Fourier-transzformáció alapjainak

Részletesebben

Villamosságtan szigorlati tételek

Villamosságtan szigorlati tételek Villamosságtan szigorlati tételek 1.1. Egyenáramú hálózatok alaptörvényei 1.2. Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása 1.3. Nemlineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása 1.4. Egyenáramú hálózatok

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel

Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel Fürjes Andor Tamás BME Híradástechnikai Tanszék Kép- és Hangtechnikai Laborcsoport, Rezgésakusztika Laboratórium 1 Tartalom A geometriai akusztika

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

Gépi tanulás és Mintafelismerés

Gépi tanulás és Mintafelismerés Gépi tanulás és Mintafelismerés jegyzet Csató Lehel Matematika-Informatika Tanszék BabesBolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007 Aug. 20 2 1. fejezet Bevezet A mesterséges intelligencia azon módszereit,

Részletesebben

Néhány fontosabb folytonosidejű jel

Néhány fontosabb folytonosidejű jel Jelek és rendszerek MEMO_2 Néhány fontosabb folytonosidejű jel Ugrásfüggvény Bármely választással: Egységugrás vagy Heaviside-féle függvény Ideális kapcsoló. Signum függvény, előjel függvény. MEMO_2 1

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása TÓTH.: Rezgésösszetevés (kibővített óravázlat) 30 005.06.09. Harmonikus rezgések összetevése és felbontása Gyakran előfordul hogy egy rezgésre képes rendszerben több közelítőleg harmonikus rezgés egyszerre

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03 Jelek és rendszerek MEMO_03 Belépő jelek Jelek deriváltja MEMO_03 1 Jelek és rendszerek MEMO_03 8.ábra. MEMO_03 2 Jelek és rendszerek MEMO_03 9.ábra. MEMO_03 3 Ha a jelet méréssel kapjuk, akkor a jel következő

Részletesebben

Az R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész

Az R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész Az R forgató mátri [ ] - beli képleteinek levezetése: I rész Az [ ] forrás kötetében a ( 49 ), ( 50 ) képletek nyilván mint közismertek nem lettek levezetve Minthogy az ottani további számítások miatt

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA

ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA Az áramkörök szimulációja révén betekintést nyerünk azok működésébe. Meg tudjuk határozni az áramkörök válaszát különböző gerjesztésekre, különböző üzemmódokra. Végezhetők analóg

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

1. A vállalat. 1.1 Termelés

1. A vállalat. 1.1 Termelés II. RÉSZ 69 1. A vállalat Korábbi fejezetekben már szóba került az, hogy különböző gazdasági szereplők tevékenykednek. Ezek közül az előző részben azt vizsgáltuk meg, hogy egy fogyasztó hogyan hozza meg

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

I. BESZÁLLÍTÓI TELJESÍTMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE

I. BESZÁLLÍTÓI TELJESÍTMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE I. BESZÁLLÍTÓI TELJESÍTMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE Komplex termékek gyártására jellemző, hogy egy-egy termékbe akár több ezer alkatrész is beépül. Ilyenkor az alkatrészek általában sok különböző beszállítótól érkeznek,

Részletesebben

Képrestauráció Képhelyreállítás

Képrestauráció Képhelyreállítás Képrestauráció Képhelyreállítás Képrestauráció - A képrestauráció az a folyamat mellyel a sérült képből eltávolítjuk a degradációt, eredményképpen pedig az eredetihez minél közelebbi képet szeretnénk kapni

Részletesebben

Fázisátalakulások vizsgálata

Fázisátalakulások vizsgálata Klasszikus Fizika Laboratórium VI.mérés Fázisátalakulások vizsgálata Mérést végezte: Vanó Lilla VALTAAT.ELTE Mérés időpontja: 2012.10.18.. 1. Mérés leírása A mérés során egy adott minta viselkedését vizsgáljuk

Részletesebben

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 + . Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Zaj- és rezgés. Törvényszerűségek

Zaj- és rezgés. Törvényszerűségek Zaj- és rezgés Törvényszerűségek A hang valamilyen közegben létrejövő rezgés. A vivőközeg szerint megkülönböztetünk: léghangot (a vivőközeg gáz, leggyakrabban levegő); folyadékhangot (a vivőközeg folyadék,

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. november 5. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint, jól követhetően

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Villamos jelek mintavételezése, feldolgozása. LabVIEW 7.1

Villamos jelek mintavételezése, feldolgozása. LabVIEW 7.1 Villamos jelek mintavételezése, feldolgozása (ellenállás mérés LabVIEW támogatással) LabVIEW 7.1 előadás Dr. Iványi Miklósné, egyetemi tanár LabVIEW-7.1 KONF-5_2/1 Ellenállás mérés és adatbeolvasás Rn

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

A gyakorlat célja a fehér és a színes zaj bemutatása.

A gyakorlat célja a fehér és a színes zaj bemutatása. A gyakorlat célja a fehér és a színes zaj bemutatása. 1.@. FFT begyakorlása n = [:9]; % Harminc minta x = cos(*pi*n/1); % 1 mintát veszünk periodusonként N1 = 64; % Három módon számoljuk az FFT-t N = 18;

Részletesebben

Laboratórium mérés Házi feladat. Készítette: Koszó Norbert (GTPL3A) Második (javított) kiadás

Laboratórium mérés Házi feladat. Készítette: Koszó Norbert (GTPL3A) Második (javított) kiadás Laboratórium 1. 4. mérés Házi feladat Készítette: Koszó Norbert (GTPL3A) Második (javított) kiadás 4. mérés Koszó Norbert (GTPL3A) Feladat 1. Adott egy diszkrét jel mintasorozata. A mintavételi idő t

Részletesebben

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 1 1 Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Jelfeldolgozás 1 Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 2 Bevezetés 5 Kérdések, feladatok 6 Fourier sorok, Fourier transzformáció 7 Jelek

Részletesebben

Képrekonstrukció 3. előadás

Képrekonstrukció 3. előadás Képrekonstrukció 3. előadás Balázs Péter Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Szegedi Tudományegyetem Computed Tomography (CT) Elv: Röntgen-sugarak áthatolása 3D objektum 3D térfogati kép Mérések

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

11.3. Az Achilles- ín egy olyan rugónak tekinthető, amelynek rugóállandója 3 10 5 N/m. Mekkora erő szükséges az ín 2 mm- rel történő megnyújtásához?

11.3. Az Achilles- ín egy olyan rugónak tekinthető, amelynek rugóállandója 3 10 5 N/m. Mekkora erő szükséges az ín 2 mm- rel történő megnyújtásához? Fényemisszió 2.45. Az elektromágneses spektrum látható tartománya a 400 és 800 nm- es hullámhosszak között található. Mely energiatartomány (ev- ban) felel meg ennek a hullámhossztartománynak? 2.56. A

Részletesebben

Értékelés Összesen: 100 pont 100% = 100 pont A VIZSGAFELADAT MEGOLDÁSÁRA JAVASOLT %-OS EREDMÉNY: EBBEN A VIZSGARÉSZBEN A VIZSGAFELADAT ARÁNYA 35%.

Értékelés Összesen: 100 pont 100% = 100 pont A VIZSGAFELADAT MEGOLDÁSÁRA JAVASOLT %-OS EREDMÉNY: EBBEN A VIZSGARÉSZBEN A VIZSGAFELADAT ARÁNYA 35%. Az Országos Képzési Jegyzékről és az Országos Képzési Jegyzék módosításának eljárásrendjéről szóló 133/2010. (IV. 22.) Korm. rendelet alapján: Szakképesítés, szakképesítés-elágazás, rész-szakképesítés,

Részletesebben

Numerikus matematika vizsga

Numerikus matematika vizsga 1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos

Részletesebben

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói. Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság. mérés. mérési elv

A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói. Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság. mérés. mérési elv Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói mérés Műveletek összessége, amelyek célja egy mennyiség értékének meghatározása. mérési

Részletesebben