Idősorok zajszűrése gyors Fourier - transzformációval
|
|
- Albert Oszkár Farkas
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Idősorok zajszűrése gyors Fourier - transzformációval Készítette: Jakab Jenő Dátum:
2 Tartalom Tartalom Bevezető Matematika alapok Alapfeltevések, definíciók A Fourier - együtthatók meghatározása a 0 meghatározása a k és b k meghatározása Általános, tetszőlegesen hosszú T szerint periodikus függvények vizsgálata Fourier - transzformációban és Inverz Fourier - transzformációban rejlő lehetőségek Numerikus megoldás a Duna budapesti vízállás idősorán Az diszkrét idősor optimalizálása az FFT számára Az FFT algoritmus bemutatása Az FFT (és IFFT) alkalmazása a Duna vízállás idősorán Összefoglaló
3 1. Bevezető A vízmérnöki gyakorlatban a modern, digitális adatrögzítő mérőeszközök elterjedésével lehetőségünk van pontosabb, átfogóbb elemzések készítésére az időelőnyök növelése mellett. Ugyanakkor fel kell készülni - a kétségbevonhatatlan előnyök ellenére - az új megoldásokban rejlő hibák, hibaforrások szakszerű kezelésére is. Ennek az összefoglalónak éppen ez a célja: egy lehetséges megoldást szeretnénk szélesebb körben kipróbálni és ajánlani az adatregisztrálók hibájának mérséklésre, szűrésére. Ehhez jó eszköz a Fourier - analízis, pontosabban a Fourier - transzformáció, amely a villamosmérnöki hírközlési, informatikai gyakorlatban elterjedt, rutinszerűen alkalmazott. Konkrét jó példája lehet a Fourier - transzformáció széles körű alkalmazásának a JPEG formátumra kódolt képek, MP3 formátumú zenék, tömörítők, vagy a Photoshop képszerkesztő több funkciója is. 2. Matematika alapok Ebben a vázlatpontban szeretném bemutatni a kollégáknak a későbbi alkalmazáshoz szükséges elméleti alapokat. A fejezet megírásában nagyrészt a Matematika A2 egyetemi segédanyagra (BME, Sándor Csaba) támaszkodtam Alapfeltevések, definíciók Első lépésben vizsgáljuk meg a klasszikus, 2π szerint periodikus függvényeket. Ezekről a periodikus függvényekről feltesszük, hogy előállíthatók elemi 2π szerint periodikus függvények összegeként. Ilyen elemi függvények a szinusz és koszinusz szögfüggvények. Tehát a fenti állításunk (bizonyítás nélkül) a matematika nyelvén így néz ki: f(x) = (a cos(k x) + b sin(k x) ), k ε Z (1. ) ahol: - a k, b k amplitúdók (függőleges y tengely szerint nyújtja zsugorítja, transzformálja az elemi függvényt). - k körfrekvencia, amely ebben az esetben egyenlő a frekvenciával. (vízszintes x tengely szerint transzformálja a függvényt). Esetünkben a k -nak egész számnak kell lenni, mert ha nem lenne egész, akkor már nem lenne 2π szerint periodikus. Tehát így belőle nem állítható elő pontosan akármelyik 2π szerint periodikus f(x) függvény sem. k=0 esetben a sin(0 x)=0, ezért az a 0 tagot kiemelve általában k=1-től szokás felírni az összegképlet alakot. Jogosan felmerülhet (1.) alapján, hogy miért két fajta és miért ezt a két fajta elemi szögfüggvényt használjuk f(x) közelítésére. Bizonyítás nélkül fogadjuk el ebben az esetben, hogy a két elemi függvény független egymástól (geometriailag ez azt jelenti, hogy merőlegesek egymásra 1. ábra, vagy másként értelmezve a függetlenséget, skaláris szorzatuk 0) és a kettejük lineáris kombinációja a polinomokhoz hasonló univerzális összegző képességekkel (univerzális approximátor) rendelkezik. Érdekesség még, hogy a szinusz és koszinusz páratlan, illetve páros függvény (páratlan: sin(-x)=- 3
4 sin(x) => origóra középpontosan tükrös, páros: cos(-x)=cos(x) => y tengelyre tükrös). Magyarán azt a sejthető megállapítást fogalmaztuk meg, hogy tetszőleges periodikus függvények páros és páratlan elemi függvények összegeként előállíthatók. Az előző gondolatot másként megfogalmazva megvizsgálható, hogy adott periodikus függvény milyen mértékben páros és páratlan. Tovább fűzve a gondolatot logikailag előrevetíthető, hogy páros függvények Fourier - együtthatói csak a koszinuszos tagokból (a k ), páratlan függvények pedig csak szinuszosos (b k ) tagokból állnak A Fourier - együtthatók meghatározása Az alcímben megfogalmazott cél közvetlenül következik a 2.1. pontban megfogalmazottakból: ha ismerjük az a k, b k együtthatókat elkészültünk a feladattal! a 0 meghatározása Tegyük fel, hogy a 2π szerint periodikus f(x) Riemann integrálható a [0,2π] intervallumban, tehát: f(x)dx = (a + (a cos(k x) + b sin(k x) ))dx (2. ) Az integrálást elvégezve az alábbi egyenletet kapjuk: f(x)dx = [a x + ( a sin(k x) + b cos(k x) )] k k (3. ) Ha a (3.) -at megvizsgálva láthatjuk, hogy egyetlen nem 0 tagunk marad, mivel a szinuszos és a koszinuszos tagokat saját periódusukon, vagy azok többszörösén integráljuk. Tehát az egyenlet (4.) -re egyszerűsödik: Ebből már a 0 kifejezhető: f(x)dx = [a x] = a 2π (4. ) a = 1 f(x)dx (5. ) 2π a k és b k meghatározása Az a k és b k együtthatók számításához először nézzünk meg egy-két speciális integrált. Az integrálok argumentumaihoz mankóként alkalmazható a trigonometrikus függvények addíciós összefüggései, amelyeket az 1. ábrán grafikusan is nyomon követhetünk. 4
5 1. ábra trigonometrikus függvények addíciós összefüggései Speciális alkalmazott integrálok: k l esetben: cos(k x) cos(l x) dx = 1 cos((k + l)x) + cos((k l)x) dx 2 = 1 2 sin(k + l)x k + l sin(k l)x + k l = 0 (6. ) sin(k x) sin(l x) dx = 1 cos((k l)x) cos(k + l)x dx 2 = 1 2 sin(k l)x k l sin(k + l)x k + l = 0 (7. ) sin(k x) cos(l x) dx = 1 sin((k + l)x) + sin((k l)x) dx 2 = 1 2 [ cos(k + l)x k + l cos((k l)x) ] k l = 0 (8. ) Látható, hogy a l => k-hoz speciális eset. A fenti képletekből nem derül ki, hogy mekkorák k=l esetén a fenti határozott integrálok! 5
6 k=l esetben: cos (k x) dx = sin (k x) dx = sin(k x) cos(k x) dx = 1 + cos (2 k x) dx = cos (2 k x) dx = x + sin(2 k x) 4 k x sin(2 k x) 4 k sin (2 k x) cos(2 k x) dx = 2 4 k = π (9. ) = π (10. ) = 0 (11. ) a k meghatározása: f(x) cos (m x)dx = (a + (a cos(k x) + b sin(k x) )) cos (m x)dx = a cos(m x) dx + ( (a cos(k x) + b sin(k x) )) cos (mx)dx = a π k, m Z (12. ) A (12.) képletnél (6.), (8.), (9.), (11.) felhasználva látható, hogy csak k=m esetnek van 0-tól különböző értéke az integrálnak. Tehát a k kifejezhető végül a következő alakban: a = 1 f(x) cos (k x)dx (13. ) π b k meghatározása: f(x) sin (m x)dx = (a + (a cos(k x) + b sin(k x) )) sin (m x)dx = a sin(m x) dx + ( (a cos(k x) + b sin(k x) )) sin (mx)dx = b π k, m Z (14. ) A (14.) képletnél (7.), (8.), (10.), (11.) felhasználva látható, hogy csak k=m esetnek van 0-tól különböző értéke az integrálnak. Tehát b k kifejezhető végül a következő alakban: b = 1 f(x) sin (k x)dx (15. ) π 6
7 2.3. Általános, tetszőlegesen hosszú T szerint periodikus függvények vizsgálata Ha a 2.1. és 2.2. pontokban felsorolt feltételek igazak, akkor az ott meghatározott állítások következményei kisebb formai módosításokkal tetszőlegesen hosszú T szerint periodikus függvényekre is alkalmazhatóak: Vegyük most a T szerint periodikus g(x) függvényt: g(x) = (a cos 2 π T k x + b sin 2 π T k x), k ε Z (16. ) Vegyük észre, hogy a szinusz és koszinusz függvények argumentumában a fizikai tanulmányokból ismert körfrekvenciát figyelhetjük meg: ahol, ω(k) = 2 π T k = 2 π f k (17. ) - T: periódusidő, de gyakran alkalmazzák formailag a periódusidő reciprokát: a frekvenciát is. 2. ábra Fourier Transzformált képzése g(x) függvényen ω 1 körfrekvenciánál 7
8 3. ábra Fourier Transzformált képzése g(x) függvényen ω 2 körfrekvenciánál Ebben az esetben az elemi függvénykomponensek együtthatói (az amplitúdók) az alábbiak szerint alakulnak: a = 1 f(x)dx (18. ) T a = 2 π f(x) cos (2 k x)dx (19. ) T T b = 2 π f(x) sin (2 k x)dx (20. ) T T A ábrákon grafikusan is megfigyelhetjük, hogyan kell értelmezni a Fourier transzformációt. Az a k együtthatókat a grafikonon jelölt zölddel satírozott előjeles területek összegeiként kapjuk, elosztva a periódusidő kétszeresével. A b k együtthatóknál pedig a pirossal satírozott területekkel kell hasonlóan eljárnunk. 8
9 3. Fourier - transzformációban és Inverz Fourier - transzformációban rejlő lehetőségek A 2. pontban leírtak szerint látható, hogy bizonyos feltételek mellett függvények előállíthatók Fourier sorba fejtéssel is tetszőleges pontossággal. Ilyen diszkrét időpontokban értelmezett függvény lehet akár egy vízállás idősor is. Tehát lehetőségünk van például a vízállás idősorainkat különböző frekvenciájú egységnyi harmonikus függvények különböző arányú összegeiként is értelmezni. Munkám elején élek azzal a feltételezéssel, hogy általánosságban a gyakorlatban előforduló vízmozgások valós változása lassabb, mint a mérőműszerek által belekevert zaj irányváltozása. Tehát a vízállás idősor frekvenciák szerinti un. spektrális felbontásánál (ez lényegében a k (k) és b k (k) függvények) van esély különböző, domináns frekvenciatartományok elkülönítésére, eredetüknek beazonosítására. Az a k (k) és b k (k) függvények meghatározását az irodalomban Fourier transzformációnak hívják. Az integrálások során a k (k) és b k (k) függvények csak a k-tól (a frekvenciától) fognak függeni adott g(x) esetén, x-től (x az idősornál a független változó: az idő) nem. A frekvenciatérben tehát bizonyos frekvenciájú komponensek törlése lehetővé teszi a törölt frekvenciájú komponens törlését az idősorból is az inverz transzformáció után. Az inverz transzformáció az a számítási lépcső, amely során összegalakban a k (k) -t és b k (k) -t felhasználva előállítjuk g(x) -et, esetünkben az idősort. Elméletileg tehát a mérőműszer zajának spektrumát ismerve - kicsiny (cm-en belüli) hibával terhelten - jó esélyünk van idősorainkat elfogadható pontossággal zajmentesíteni. 4. Numerikus megoldás a Duna budapesti vízállás idősorán A vízmérnöki gyakorlatban fontos állapotváltozók (pl.: vízszintek, vízhozamok, stb.) a mai kor méréstechnikájával gyakorlatilag tetszőlegesen sűrű időközönként megmérhetőek. Fontos - hogy céljaink szerint - méréseink információtartalma, számításigénye gazdaságos (optimális) legyen. Ez azt jelenti - hogy kedvezőtlen esetekben - a túl ritka mérési adatok között kénytelenek vagyunk az interpoláció bizonytalanságait felhasználni, valamint azt, hogy a túl sűrű adathalmazon kénytelenek vagyunk plusz erőforrás bevonással különböző elvű ritkításokat végrehajtani. Munkám további szakaszában élek azzal a feltételezéssel, hogy a mérőrendszerek általánosságban optimálisan üzemelnek. Tehát nem a rendszer felülbírálatára törekszem, hanem a rendszerben található adatsorok: idősorok optimális kihasználására. A vízállás idősorokat vizsgálva a Fourier transzformációs zajszűrők gyakorlati megvalósításánál a gyors számítás és az adatszerkezet jellege miatt (diszkrét jellgű) a numerikus megoldók közül választottam. A lehetőségeket figyelembe véve a választott numerikus módszerem a gyors Fourier transzformáció (angol rövidítés: FFT, visszalakítás inverz művelet: IFFT) lett. A módszer kiválasztásánál szempont volt, hogy az Országos Vízügyi Főigazgatóságban (OVF) homogén felbontású idősorok készítésére is van igény egyfajta feldolgozott késztermékként. 9
10 4. ábra Vízállás idősor a Dunán Budapestnél Az elemzett idősorom - amelyen a módszertant ismertetem - a Duna budapesti vízmércéjén mért és a MAHAB-ban tárolt vízállás hidrológiai idősor a : :01 időszakra vonatkozóan. A későbbiekben bevezetésre kerülő relatív idő fogalmát az időintervallum kezdő időpontjához igazítom a rendszer alapegysége pedig az 1 perc lesz Az diszkrét idősor optimalizálása az FFT számára Az FFT algoritmusnál fontos az idősort homogén felbontással megadni. Ez azt jelenti, hogy két szomszédos vízállás érték között dt idő kell, hogy elteljen egységesen. Az FFT számítási algoritmust részletesen a 4.2 fejezetben ismertetem. A kívánatos homogén időbeli felbontás viszont gyakorlati és technikai okokból kifolyólag is gyakran nem áll rendelkezésre. Tehát első lépésben a homogén felbontású idősor előállítását kell megoldani valamilyen (esetünkben lineáris) interpolációs eljárással. A vizsgált Duna vízállás idősor kb. órás időközű feldolgozatlanul. A homogén felbontást 1 perces finomsággal határoztam meg első lépésként. Az így létrejött idősorban viszont az interpolált vízszintek aránya túl nagy a mérésekhez képest és az adatsor mérete is jelentősen megnövekedett. Ez azt jelenti, hogy hígult az információ-sűrűség. A percnél durvább felbontás lehetőségét tehát az interpoláció fajlagos hibája és a számítási igény csökkentése mentén célszerű megvizsgálni. A kellően nagy információ-sűrűséggel rendelkező kívánatos adatstruktúra eléréséhez egy optimalizációs eljárást javasolok, amelynek szempontjai egyidejűleg: - I. A lehető legdurvább időbeli felbontást kell alkalmazni - II. A lehető legtöbb mért adatot kell alkalmazni - III. A lehető legkevesebb interpolálat adatot kell felhasználni. (A II. és III. -ból levezethető, hogy legyen a lehető legnagyobb legyen a mért és interpolált adatok aránya!) 10
11 I-III. vázlatpontokat megfontolva tehát kaphatunk egy két szabadságfokú rendszert, amely változói az idő felbontása és a kezdő időpont (vagy az időrács) fázisa. A második szabadságfok azt jelenti, hogy ha van például homogén 2 perc felbontású mérésünk 0 hasznosul, ha a 2 perces időfelbontás a 2 perces mérések közé esik, de ha egybeesik a mérés a felbontás fázisával, akkor mindet hasznosítani tudjuk. A két szabadságfokú rendszer kimenete pedig legyen a felhasznált mérések aránya az összes méréshez (eredeti adat) képest! Ezt az arányszámot a továbbiakban hatásfoknak hívom. ahol - η: Hatásfok [%] - dt: Felbontás [min] - φ: Fázis [min] η(dt, φ) = N (dt, φ) N é (21. ) - N mért : Megmért vízállások darabszáma az adott időintervallumban [-] - N felhaszn : Az interpolációval homogenizált idősorban a felbontás és a fázis függvényében a felhasznált eredeti mérések darabszáma [-] 5. ábra Hatásfok az időbeli felbontás és a fázis szerint 11
12 6. ábra Hatásfok fázis szerint maximált ábrája az időbeli felbontás szerint Az 5. ábrán önkényesen az perc közötti felbontásokkal vizsgálom meg a hatásfokokat percig terjedő fázisok mellett. Az ábrán jól látható, hogy 1 perces felbontásnál minden megmért adat hasznosul, majd a felbontás csökkenésével a felbontás szerinti hatásfok trendje csökken. A fázis hatásfok viszonya pedig jól mutatja, hogy kb. 60 perces periódusokban mért a regisztráló. A 6. ábrán az 5. ábrán bemutatott függvény egy speciális módosítását láthatjuk, ahol az egyes felbontások függvényében ábrázoljuk a hatásfokot úgy, hogy a fázis szerinti a maximális hatásfokot vesszük mindegyik felbontásnál. Ezek alapján a fent megfogalmazott (I. - III.) optimalizáció szempontjai szerint a 60 perces felbontás kedvezőnek tűnik. Annak érdekében, hogy az I. vázlatpontot megfelelően érvényre tudjuk juttatni egy súlyfüggvény és egy alapérték tényező bevezetését, illetve alkalmazását tartom kívánatosnak. Ez a kedvező időbeli felbontást felülreprezentáló súlyfüggvény első javaslatom szerint legyen a szinusz hullám első negyede: ahol - S: Súly [-] - dt: időbeli felbontás [min] 0.5 π S(dT) = sin ( (dt dt dt dt )) (22. ) - dt max : A választott legnagyobb alkalmazott felbontás, amely konstans [min] - dt min : A választott legkisebb alkalmazott felbontás, amely konstans [min] 12
13 7. ábra Súlyfüggvény az időbeli felbontás függvényében Tehát a kedvező megoldást a 6. ábrán már szemléltetett fázis szerint maximalizált hatásfok függvény súlyfüggvénnyel vett szorzatából és az alapérték tényező összegétől várom az alábbi alak szerint (a kapott függvényt fittségi (fitt, mint kedvező) függvénynek hívom): ahol θ(dt) ( ) = S(dT) η(dt) ( ) ( ) + λ η(dt) = (S(dT) + λ) η(dt) ( ) (23. ) - ϑ: fittség. A függvény csak az időbeli felbontástól függ, olyan módon, hogy egy felbontáshoz a fázis szerint már maximalizált hatásfokot rendeljük. [-] - S: a súly [-] - η: a hatásfok [%] - λ: alapérték tényező, amely konstans. Választott értéke: λ=0.2 Szerepe: egyfajta kezdeti súly biztosítása. A 8. ábrán megszemlélhetjük a fittségi függvényt, amelynek maximuma van a kívánatos 60 perces felbontásnál. Ezek után a 60 perces felbontást kötött változóként kezelve a hatásfok függvényből megállapíthatjuk, hogy mekkora fázisnál érte el a fittségi függvény a maximát (a fittség és a hatásfok függvénynek a fázis szerint ugyanott van a maximuma). 13
14 A számítások menete: maxθ(dt) ( ) dt á (I. ) dt á ηdt á, φ (II. ) max (ηdt á, φ) φ á (III. ) 8. ábra Fittség ábra az Időbeli felbontás szerint és az időbeli felbontás fázisa szerint maximalizálva Az optimalizáció végeredményként a homogén időbeli felbontás 60 percre a kezdeti fázis 1 percre adódott. Ilyen paraméterek mellett a konkrét mérések 58.92% -át tudtam hasznosítani. Összességében a fent javasolt módszerrel egy jó becslés adható a két szabadságfokú rendszer paramétereire. Természetesen az olvasóban felmerülhet az a jogos kérdés, hogy miért pont ezt a formát, súlyfüggvényt és alapérték tényezőt alkalmaztam? Összességében érvként a mérnöki becslést tudom említeni, az eljárás alkalmazhatóságát, a programmodul finomítását a gyakorlat fogja meghatározni. A másik lényeges kérdés az, hogy a homogén időbeli felbontás mennyire jól alkalmazható? Egyfajta felbontás jól jellemzi-e a teljes vizsgált idősort? Ha csak arra gondolunk, hogy árvizes időszakokban a megnő az adatregisztrálás egy időegységben, célszerű lehet a teljes idősort különböző homogén felbontású rész idősorok sorozatásból előállítani és vizsgálni, esetenként a felbontás fázisát a szélső értékekhez igazítva. Ennek a problémának az orvoslására jó kezdő lépés lehet a mérések időközeinek változását megvizsgálni az idő függvényében. 14
15 4.2. Az FFT algoritmus bemutatása Az FFT az alkalmazott homogén felbontású adatsoroknál az alábbi képlet alapján számítható: A(k) = α 2 x N x (j) cos 2 π N (j) sin 2 π N (j 1) (k 1) (j 1) (k 1) (24. ) ahol, - A: az amplitúdó vektor, amelynek első eleme a k, második b k [cm] - N: adatsor hossza, elemszáma [-] - x(j): j -dik mérés (ez lehet a diszkrét vízállás). j=1 N ig változik [cm] - (k 1): Ez a körfrekvencia, amely k szerint változik. 0.5, ha k = 1 - α = { 1, ha k > 1 Érdemes az amplitúdókat is k = 1 N -ig vizsgálni, így pont olyan hullámokra végezhetjük el a transzformációt, amelyek hullámhossza homogén módon sűrűsödve 0 N-1 ig fedi le a vizsgált mintát (az első tagot az átlagból és a 0 -ból összetevődő vektor). A k > N fölötti hullámokat nem érdemes megvizsgálni, mert azokon a frekvenciatartományokon nincs megfelelő mintánk, ha pedig erősen durvítani akarjuk a transzformációt (k=1 M, M<<N) az nagy numerikus hibát okoz. Ha k=1 N, akkor látható, hogy a trigonometrikus együtthatók Trig(j,k) mátrixa a főtengelyre szimmetrikus, tehát így kevesebb számítási művelet kell elvégezni és a fenti forma könnyen le is programozható. A könnyebb megértés miatt nézzük meg a ábrákat, ahol a (24.) -es képletet nézhetjük meg grafikusan. 9. ábra FFT folyamatábra k=0 esetben cos os összetevők és mérések 15
16 10. ábra FFT folyamatábra k=0 esetben sin os összetevők és mérések 11. ábra FFT folyamatábra k=1 esetben cos os összetevők és mérések 12. ábra FFT folyamatábra k=1 esetben sin os összetevők és mérések 16
17 13. ábra FFT folyamatábra k=n esetben cos os összetevők és mérések 14. ábra FFT folyamatábra k=n esetben sin os összetevők és mérések 17
18 4.3. Az FFT (és IFFT) alkalmazása a Duna vízállás idősorán Az FFT eljárás elvégezésével tehát előáll a jelösszetevők körfrekvencia szerinti függvénye a spektrum, amely a 15. ábrán megszemlélhető! Az ábrán kék szín jelöli a koszinuszos, piros a szinuszos függvényeket, az abszolút érték függvény pedig a zöld színű. Az abszolút érték függvényből jól látható, hogy a legnagyobb amplitúdójú jel 680 cm körüli, ellenőrzésként pedig megnézhető a 4. ábra maximális vízállása, amely kb. 580 cm. Ez első ránézésre reális lehet, az eltérés oka pedig a sok különböző jelkomponens összegzett hatása. ahol - A(k) : az amplitúdó nagysága [cm] A(k) = a (k) + b (k) (25. ) 15. ábra A Duna budapesti : :01 mért vízállás idősorának spektruma A spektrum előállítása után a feladat a zavaró frekvenciák, frekvenciatartományok beazonosítása és törlése a spektrumból! A zaj periódusidejére, frekvenciájára az alábbiakat javasolom: T = N k dt = min = min 10h f = 1 T = h (25. ) ahol - T: a periódusidő [h]. k alapján a 10 óránál kisebb periódusidejű hullámokat törlöm a spektrumból! - N: homogén felbontású idősor elemszáma - k cut : az a körfrekvencia változó, amelynél nagyobb értékeket már törlök az adatsorból. k=205 ös érték már a zaj nagyságrendjébe eső körfrekvenciát eredményez véleményem szerint, vagy ha nem is a 18
19 zaj frekvenciája a műszerzajból keletkező hamis frekvenciaként tekintek rá (Hamis frekvenciák akkor keletkezhetnek, ha nincs elég, legalább 2 mérésünk a frekvencia periódusideje alatt). - dt alk : az alkalmazott időfelbontás [min] A 16. ábrán a kis frekvenciájú összetevők láthatóak, az idősor jórészt a k=1 205 terjedő spektrumrészletből épül fel! Szemmel is jól látható, hogy a k>205 tartomány kicsiny arányba járul hozzá az idősor alakulásához. Ebben a frekvenciatartományban 1 cm nél kisebb hullámok keletkeznek, amely esetünkben a 17. ábra alapján a zaj amplitúdójaként is azonosíthatók. Tehát ha töröljük a k > 205 spektrumot és visszaalakítjuk a módosított spektrumot az időtérbe, akkor egy jobb, a valóságot homogénebben jellemző idősort kaphatunk vissza. A spektrumból történő törlésnél viszont óvatosan kell eljárnunk, mert ha töröljük a k > 205 frekvenciasávot rossz eredményt kapunk. Ennek oka nem fizikai, hanem numerikus. A magyarázatához nézzük meg a 13. és 14. ábrákat, ahol látható az ábra elején, hogy ha a hullámhossz közel esik az időbeli felbontáshoz, akkor a diszkrét megoldásnál nem érvényesül a hullám teljes hatása, hanem csak az aktuális diszkrét érték. Ez felfogható úgy, mint egyfajta numerikus lebegés (rezonancia) a fizikából vett analógiával élve. Tehát ez a jelenség mindig az diszkrét alapon számolt spektrum végén jelentkezik az FFT-nél. 16. ábra A Duna budapesti : :01 mért vízállás spektrumának részlete A numerikus lebegéssel befolyásolt tartomány ugyanakkor nem tekinthető valós hibának, a jel előállításában fontos szerepet játszik, mert ugyan hamis frekvenciaként, de a kisebb frekvenciák hatását hordozza magában! Tehát a törlésre ajánlott tartomány: ezek alapján: I(k) = k k k, k = k (26. ) AI(k) = 0 (27. ) 19
20 ahol - I(k) clear : törlésre kijelölt frekvencia változók tartománya - k lebeg : a numerikus lebegés által érintett frekvencia változó - k end : a legnagyobb értékű frekvencia változó. k end =N Ezek után alakítsuk át a módosított spektrumot az idő térbe az inverz transzformációval (IFFT) az alábbiak szerint: A x(j) = abs A (k) cos 2 π N (k) sin 2 π N (j 1) (k 1) (j 1) (k 1) (28. ) A 17. ábrán megszemlélhetjük a mért és a zajszűrt Duna budapesti mért és szűrt vízállás idősorokat. Ezek alapján szemre jó egyezés tapasztalható a két idősor között. 17. ábra A Duna budapesti : :01 mért (piros) és zajszűrt (zöld) vízállásai A 18. és 19. ábrákon a 2013-as év eleji időszakok budapesti mércén mért Duna árhullám csúcsai láthatóak, illetve a 20. ábrán a vizsgált időszak egyik jellemző kisvizes vízállása. Ezek alapján megfigyelhető, hogy a szélsőértékeknél jó cm-belüli hibát okoz a szűrés. A szélsőértékeken kívül vizsgálandóak lehetnek az erőteljes áradó és apadó szakaszai a vízállás idősornak, de ezeken a szakaszokon sem tapasztaltam cm-es hibahatárt túllépő számított vízállás értéket. 20
21 18. ábra Árhullámcsúcs_1 a vízállás idősorban piros a mért, zöld a szűrt 19. ábra Árhullámcsúcs_2 a vízállás idősorban piros a mért, zöld a szűrt 20. ábra Kisvíz a vízállás idősorban piros a mért, zöld a szűrt 21
22 21. ábra Vízállás idősor eleje piros a mért, zöld a szűrt 22. ábra Vízállás idősor vége piros a mért, zöld a szűrt Jelentős, cm-es hibatartományt meghaladó hibát az idősor elején és a végén találhatunk, amelyek a 21. és a 22. ábrákon is szerepelnek. A közelítő módszerből fakadó, az intervallum szélein megfigyelhető hullámosodást a matematikában Runge - jelenségnek hívják, amelynek hatását a zaj visszakeveréssel lehetne csökkenteni. Ha meggondoljuk viszont, hogy a teljes három hónapból a Runge - jelenség által jelentősebben befolyásolt időszak az intervallum elején és végén 2-2 nap, akkor látható, hogy ebben az esetben az idősor kb. 95.5% -án kapunk elfogadhatóan jó közelítést. Érdemes azt is megjegyezni, hogy hosszú idősoroknál a Runge - jelenség által meghatározott szakaszok arányaiban rövidülnek a teljes adatsor hosszához képest, tehát az FFT-t különösen hosszú idősoroknál lehet jó hatásfokkal alkalmazni. 22
23 5. Összefoglaló Munkám eredményeként bizonyítható, hogy a Fourier - transzformáción alapuló FFT-s zajszűrés sikeresen alkalmazható vízállás idősorok műszerhibáinak csökkentésére. Eljárásom sikeres gyakorlati alkalmazásának és főként automatizálásának egyik sarokfeltétele lehet az általam definiált fittségi függvény paramétereinek általános érvényűsége. Az egyszerű alkalmazáshoz tehát elengedhetetlen egy teszt program készítése, amely szélesebb körű használatának tapasztalatai fontosak a paraméterhatárok tisztázásában, illetve az egyes modulok felhasználóbarát kialakításában. A dolgozatban látható grafikonok, eljárások nagyrészt Matlab környezetben valósultak meg, ahol egyrészt a Matlab belső függvényeit, másrészt saját fejlesztésű kódokat alkalmaztam. (Az alkalmazott kódokat szükség esetén az érdeklődők rendelkezésére tudom bocsájtani). Véleményem szerint a bemutatott eljárás teljes körűen megvalósítható önálló programként, illetve az OVF -ben található adatbázisokra épülő programok alkalmazásaként is. Másik fontos fejlesztési irányként az idősorok felbontásának inhomogenizálását tartom az FFT számára, úgy, hogy a teljes inhomogén idősor homogén részidősorok sorozatából épüljön fel. Természetesen minden numerikus eljárásnak a feladathoz, a kitűzött célokhoz, illetve a rendelkezésre álló adatokhoz kell igazodnia, tehát elképzelhetőek egyéb komolyabb numerikus megoldások fejlesztései is. Tudomásom szerint a hazai vízmérnöki gyakorlatban Fourier - transzformáción alapuló zajszűrést a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Vízépítési és Vízgazdálkodási Tanszékén is alkalmaznak. A tanszék ilyen irányú tapasztalatai értékesek lehetnek az OVF -s fejlesztésekben is. A műszerhibák szűrésén kívül a bemutatott eljárás jó eszköze lehet a hidrológiai - hidraulikai analízisnek is. A Balaton vízállás idősorainál tesztelteltem a különböző lengésidejű hullámokhoz rendelt aluláteresztő (egy választott küszöbfrekvenciánál nagyobb komponenst töröl az idősorból) szűrőt, amely segítségével a nagyfrekvenciás hullámzás leválaszthatóvá vált az megmért idősorról, így jobban megvizsgálhatók lettek a tólengések a kis frekvenciájú vízállás komponensei. De a mérnöki feladatok sokrétűségét kiszolgálva az FFT átalakítható felüláteresztő (egy választott küszöbfrekvenciánál kisebb komponenst töröl az idősorból) szűrővé, vagy éppen sávszűrővé (két választott küszöbfrekvenciánál közé eső jeleket hagy meg az idősorból) is. 23
Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés
RészletesebbenNumerikus integrálás
Közelítő és szimbolikus számítások 11. gyakorlat Numerikus integrálás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Határozatlan integrál
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenFourier sorok február 19.
Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható
RészletesebbenWavelet transzformáció
1 Wavelet transzformáció Más felbontás: Walsh, Haar, wavelet alapok! Eddig: amplitúdó vagy frekvencia leírás: Pl. egy rövid, Dirac-delta jellegű impulzus Fourier-transzformált: nagyon sok, kb. ugyanolyan
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
Részletesebben1. témakör. A hírközlés célja, általános modellje A jelek osztályozása Periodikus jelek leírása időtartományban
1. témakör A hírközlés célja, általános modellje A jelek osztályozása Periodikus jelek leírása időtartományban A hírközlés célja, általános modellje Üzenet: Hír: Jel: Zaj: Továbbításra szánt adathalmaz
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenEddigi tanulmányaink alapján már egy sor, a szeizmikában általánosan használt műveletet el tudunk végezni.
Eddigi tanulmányaink alapján már egy sor, a szeizmikában általánosan használt műveletet el tudunk végezni. Kezdjük a sort a menetidőgörbékről, illetve az NMO korrekcióról tanultakkal. A következő ábrán
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenFourier térbeli analízis, inverz probléma. Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea ősz
Fourier térbeli analízis, inverz probléma Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea. 2017 ősz 5. Előadás témái Fourier transzformációk és kapcsolataik: FS, FT, DTFT, DFT, DFS Mintavételezés, interpoláció Folytonos
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
RészletesebbenAbszolútértékes egyenlôtlenségek
Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenCSAPADÉK ÉS TALAJVÍZSZINT ÉRTÉKEK SPEKTRÁLIS ELEMZÉSE A MEZŐKERESZTES-I ADATOK ALAPJÁN*
A Miskolci Egyetem Közleménye A sorozat, Bányászat, 66. kötet, (2004) p. 103-108 CSAPADÉK ÉS TALAJVÍZSZINT ÉRTÉKEK SPEKTRÁLIS ELEMZÉSE A MEZŐKERESZTES-I ADATOK ALAPJÁN* Dr.h.c.mult. Dr. Kovács Ferenc az
RészletesebbenA mintavételezéses mérések alapjai
A mintavételezéses mérések alapjai Sok mérési feladat során egy fizikai mennyiség időbeli változását kell meghatároznunk. Ha a folyamat lassan változik, akkor adott időpillanatokban elvégzett méréssel
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenKalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus
Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)
RészletesebbenMilyen elvi mérési és számítási módszerrel lehet a Thevenin helyettesítő kép elemeit meghatározni?
1. mérés Definiálja a korrekciót! Definiálja a mérés eredményét metrológiailag helyes formában! Definiálja a relatív formában megadott mérési hibát! Definiálja a rendszeres hibát! Definiálja a véletlen
RészletesebbenJelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék
Jelek és rendszerek 1 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék 1 Ajánlott irodalom: FODOR GYÖRGY : JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2006
RészletesebbenModern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18.
Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 28. március 18. A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia Értékelés: A beadás dátuma: 28. március 26. A mérést végezte: 1/7 A mérés leírása:
RészletesebbenGibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén
Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert
RészletesebbenFourier-sorfejtés vizsgálata Négyszögjel sorfejtése, átviteli vizsgálata
Fourier-sorfejtés vizsgálata Négyszögjel sorfejtése, átviteli vizsgálata Reichardt, András 27. szeptember 2. 2 / 5 NDSM Komplex alak U C k = T (T ) ahol ω = 2π T, k módusindex. Időfüggvény előállítása
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenModern Fizika Labor. 5. ESR (Elektronspin rezonancia) Fizika BSc. A mérés dátuma: okt. 25. A mérés száma és címe: Értékelés:
Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 2011. okt. 25. A mérés száma és címe: 5. ESR (Elektronspin rezonancia) Értékelés: A beadás dátuma: 2011. nov. 16. A mérést végezte: Szőke Kálmán Benjamin
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
RészletesebbenA Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten
RészletesebbenEllenőrző kérdések a Jelanalízis és Jelfeldolgozás témakörökhöz
Ellenőrző kérdések a Jelanalízis és Jelfeldolgozás témakörökhöz 1. Hogyan lehet osztályozni a jeleket időfüggvényük időtartama szerint? 2. Mi a periodikus jelek definiciója? (szöveg, képlet, 3. Milyen
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenDiszkréten mintavételezett függvények
Diszkréten mintavételezett függvények A függvény (jel) értéke csak rögzített pontokban ismert, de köztes pontokban is meg akarjuk becsülni időben mintavételezett jel pixelekből álló műholdkép rácson futtatott
RészletesebbenMérési hibák 2006.10.04. 1
Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenAz Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
Részletesebben2. Elméleti összefoglaló
2. Elméleti összefoglaló 2.1 A D/A konverterek [1] A D/A konverter feladata, hogy a bemenetére érkező egész számmal arányos analóg feszültséget vagy áramot állítson elő a kimenetén. A működéséhez szükséges
RészletesebbenFÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való
RészletesebbenRENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét 02.09 Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét 02.16 szemmel 1. Hf kiadás 3 3.
Részletesebben1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba
Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenTranszformátor rezgés mérés. A BME Villamos Energetika Tanszéken
Transzformátor rezgés mérés A BME Villamos Energetika Tanszéken A valóság egyszerűsítése, modellezés. A mérés tervszerűen végrehajtott tevékenység, ezért a bonyolult valóságos rendszert először egyszerűsítik.
Részletesebbenilletve, mivel előjelét a elnyeli, a szinuszból pedig kiemelhető: = " 3. = + " 2 = " 2 % &' + +
DFT 1. oldal A Fourier-sorfejtés szerint minden periodikus jel egyértelműen felírható különböző amplitúdójú és fázisú szinusz és koszinusz jelek összegeként: = + + 1. ahol az együtthatók, szintén a definíció
RészletesebbenX. ANALÓG JELEK ILLESZTÉSE DIGITÁLIS ESZKÖZÖKHÖZ
X. ANALÓG JELEK ILLESZTÉSE DIGITÁLIS ESZKÖZÖKHÖZ Ma az analóg jelek feldolgozása (is) mindinkább digitális eszközökkel és módszerekkel történik. A feldolgozás előtt az analóg jeleket digitalizálni kell.
RészletesebbenNégyszög - Háromszög Oszcillátor Mérése Mérési Útmutató
ÓBUDAI EGYETEM Kandó Kálmán Villamosmérnöki Kar Híradástechnika Intézet Négyszög - Háromszög Oszcillátor Mérése Mérési Útmutató A mérést végezte: Neptun kód: A mérés időpontja: A méréshez szükséges eszközök:
RészletesebbenMATLAB. 5. gyakorlat. Polinomok, deriválás, integrálás
MATLAB 5. gyakorlat Polinomok, deriválás, integrálás Menetrend Kis ZH Polinomok Numerikus deriválás Numerikus integrálás (+ anonim függvények) pdf Kis ZH Polinomok Sok függvény és valós folyamat leírható
RészletesebbenDINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN. 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1
DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 Differenciálegyenlet megoldása u(t) diff. egyenlet v(t) a n d n v m dt a dv n
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenModern fizika laboratórium
Modern fizika laboratórium 11. Az I 2 molekula disszociációs energiája Készítette: Hagymási Imre A mérés dátuma: 2007. október 3. A beadás dátuma: 2007. október xx. 1. Bevezetés Ebben a mérésben egy kétatomos
Részletesebben1. gyakorlat ( ), Bevezető analízis 1., ősz (Besenyei Ádám csoportja)
1. gyakorlat (2016. 09. 12.), Bevezető analízis 1., 2016. ősz A színek jelentése: fekete az előzetes vázlat; piros, ami ehhez képest módosult. 1. Három matematikus bemegy egy kocsmába, és rendel. A nagy
RészletesebbenMechatronika alapjai órai jegyzet
- 1969-ben alakult ki a szó - Rendszerek és folyamatok, rendszertechnika - Automatika, szabályozás - számítástechnika Cd olvasó: Dia Mechatronika alapjai órai jegyzet Minden mechatronikai rendszer alapstruktúrája
Részletesebben86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009
86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek
RészletesebbenMatematikai geodéziai számítások 5.
Matematikai geodéziai számítások 5 Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 5: Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Lektor: Dr Benedek Judit Ez a modul a TÁMOP
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
RészletesebbenMérés és adatgyűjtés
Mérés és adatgyűjtés 4. óra Mingesz Róbert Szegedi Tudományegyetem 2012. február 27. MA - 4. óra Verzió: 2.1 Utolsó frissítés: 2012. március 12. 1/41 Tartalom I 1 Jelek 2 Mintavételezés 3 A/D konverterek
RészletesebbenDigitális szűrők - (BMEVIMIM278) Házi Feladat
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rszerek Tanszék Digitális szűrők - (BMEVIMIM278) FIR-szűrő tervezése ablakozással Házi Feladat Név: Szőke Kálmán Benjamin Neptun:
RészletesebbenSzámítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox
Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox Bevezetés A gyakorlatok célja az irányítási rendszerek korszerű számítógépes vizsgálati és tervezési módszereinek bemutatása, az alkalmazáshoz szükséges
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenFeszültségérzékelők a méréstechnikában
5. Laboratóriumi gyakorlat Feszültségérzékelők a méréstechnikában 1. A gyakorlat célja Az elektronikus mérőműszerekben használatos különböző feszültségdetektoroknak tanulmányozása, átviteli karakterisztika
RészletesebbenMéréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1
Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása
Részletesebbenfüggvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(
FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenAlkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz
Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,
RészletesebbenModern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 12. mérés: Infravörös spektroszkópia. 2008. május 6.
Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 12. mérés: Infravörös spektroszkópia Értékelés: A beadás dátuma: 28. május 13. A mérést végezte: 1/5 A mérés célja A mérés célja az
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenMérés 3 - Ellenörzö mérés - 5. Alakítsunk A-t meg D-t oda-vissza (A/D, D/A átlakító)
Mérés 3 - Ellenörzö mérés - 5. Alakítsunk A-t meg D-t oda-vissza (A/D, D/A átlakító) 1. A D/A átalakító erısítési hibája és beállása Mérje meg a D/A átalakító erısítési hibáját! A hibát százalékban adja
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenNagyságrendek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT február 1.
Nagyságrendek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 018. február 1. Az O, Ω, Θ jelölések Az algoritmusok
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenA hang mint mechanikai hullám
A hang mint mechanikai hullám I. Célkitűzés Hullámok alapvető jellemzőinek megismerése. A hanghullám fizikai tulajdonságai és a hangérzet közötti összefüggések bemutatása. Fourier-transzformáció alapjainak
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenNumerikus matematika
Numerikus matematika Baran Ágnes Gyakorlat Numerikus integrálás Matlab-bal Baran Ágnes Numerikus matematika 8. Gyakorlat 1 / 20 Anoním függvények, function handle Függvényeket definiálhatunk parancssorban
RészletesebbenIpari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenMATLAB. 6. gyakorlat. Integrálás folytatás, gyakorlás
MATLAB 6. gyakorlat Integrálás folytatás, gyakorlás Menetrend Kis ZH Példák integrálásra Kérdések, gyakorlás pdf Kis ZH Numerikus integrálás (ismétlés) A deriváláshoz hasonlóan lehet vektorértékek és megadott
RészletesebbenFourier-sorok Horv ath G abor 1
Fourier-sorok Horváth Gábor 1 Tartalomjegyzék 1 Bevezetés Szakdolgozatom során periodikus függvények egyfajta közelítésével fogunk foglalkozni. Amíg a Taylor-sornál a függvényeket hatványsor alakban állítjuk
RészletesebbenMechanika I-II. Példatár
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását
RészletesebbenAnalóg elektronika - laboratóriumi gyakorlatok
Analóg elektronika - laboratóriumi gyakorlatok. Mûveleti erõsítõk váltakozó-áramú alkalmazásai. Elmélet Az integrált mûveleti erõsítõk váltakozó áramú viselkedését a. fejezetben (jegyzet és prezentáció)
RészletesebbenPontműveletek. Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar február 20.
Pontműveletek Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2012. február 20. Sergyán (OE NIK) Pontműveletek 2012. február 20. 1 / 40 Felhasznált irodalom
RészletesebbenDigitális jelfeldolgozás
Digitális jelfeldolgozás Mintavételezés és jel-rekonstrukció Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék magyar.attila@virt.uni-pannon.hu 2010.
RészletesebbenFehérzajhoz a konstans érték kell - megoldás a digitális szűrő Összegezési súlyok sin x/x szerint (ez akár analóg is lehet!!!)
DSP processzorok: 1 2 3 HP zajgenerátor: 4 Shift regiszter + XOR kapu: 2 n állapot Autókorrelációs függvény: l. pénzdobálás: (sin x/x) 2 burkoló! Fehérzajhoz a konstans érték kell - megoldás a digitális
RészletesebbenGépi tanulás és Mintafelismerés
Gépi tanulás és Mintafelismerés jegyzet Csató Lehel Matematika-Informatika Tanszék BabesBolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007 Aug. 20 2 1. fejezet Bevezet A mesterséges intelligencia azon módszereit,
RészletesebbenHangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata
Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
Részletesebben