TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA

Átírás

1 TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA A MATEMATIKA A TITKOK SZOBÁJÁBAN Természetes számokat fogsz azonosítani különböző kontextusokban: természetes számokat fogsz azonosítani egy diagramban, egy grafikonban vagy egy táblázatban, amelyek egy gyakorlati helyzet adatait tartalmazzák; azonosítani fogsz egy természetes számot, a számjegyei által teljesített feltételek alapján. Műveleteket fogsz végezni természetes számokkal, használva a számtani műveleteket és ezek tulajdonságait: Számtani műveleteket fogsz végezni természetes számokkal. A természetes számokkal végzett műveletekre és az oszthatóságra számítási szabályokat fogsz alkalmazni: bizonyos kijelentések logikai értékének meghatározása érdekében alkalmazni fogod a 2,, 10 n, vagy 9 számokkal való oszthatósági szabályokat (kritériumokat); természetes számok meghatározására alkalmazni fogod a 2,, 10 n, vagy 9 számokkal való oszthatósági szabályokat (kritériumokat); természetes számot fogsz meghatározni, a számjegyei által teljesített feltételek alapján. Összehasonlítás, megközelítés, becslés és természetes számokkal való műveletek egyes tulajdonságait fogod kifejezni matematikai nyelvezetben: kétjegyű természetes számokat, törzstényezők szorzataként fogsz kifejezni. Természetes számokat tartalmazó adott helyzeteket fogsz elemezni, a számítási eredmény becslése vagy igazolása érdekében adott feltételeket teljesítő természetes számokat fogsz meghatározni; a természetes számok oszthatósági szabályait alkalmazni fogod mindennapi helyzetekre. Természetes számokat használva adott helyzetekre matematikai mintát fogsz alkotni, megoldod a kapott feladatot aritmetikai módszerekkel és értelmezed az eredményt: gyakorlati feladatokat fogsz megoldani az osztó és a többszörös fogalmak használatával. 81

2 Figyeld meg és fedezd fel! A Az 1. képen 12 nyuszi látható. A 2. képen a nyuszikról állítjuk, hogy kettesével csoportosítottuk 6 sorba vagy hatosával csoportosítottuk 2 oszlopba. 1) Figyeld meg a. képet és mond meg, hogy hány sorban vannak csoportosítva a nyuszik. És hány oszlopba? 2) Ha 1 nyuszi lenne, akkor csoportosíthatnád őket kettesével? Hát hármasával? ) Hányasával csoportosíthatnád még a 1 nyuszit? Figyeld meg az 1. ábrát. Az első négyzetet összekötöttük a 2-es számmal, mivel a 8 golyó kettesével csoportosítható. 1. ábra 2. ábra. ábra. ábra. ábra 1) Kösd össze a négyzeteket a megfelelő számokkal, a fenti szabály szerint. 2) A második sorba milyen számokat írhatunk volna még, hogy a 12 golyót tartalmazó négyzettel összeköthetőek legyenek? ) A 2. ábrán látható négyzetbe hány golyót kellene még behelyezni, hogy az összeköthető legyen 9-cel? Fontos Egy a természetes szám osztható egy b természetes számmal, ha létezik egy c természetes szám úgy, hogy a = b c. Így írom Így olvasom ab Az a szám osztható a b számmal. Példa: osztható 2-vel, mivel létezik a természetes szám úgy, hogy 8 2 b a A b szám osztja az a számot. Példa: 1. osztja a 1-öt, mivel létezik az természetes szám úgy, hogy 1 a b Az a szám nem osztható a b számmal. Példa: 8. 8 nem osztható -mal, mivel nem létezik c természetes szám úgy, hogy 8 c b a A b szám nem osztja az a számot. Példa: 22. nem osztja a 22-öt, mivel nem létezik c természetes szám úgy, hogy 22 c 82 TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA 1 9

3 V. osztályos tankönyv a többszöröse b-nek Példa: 8 2 a többszöröse b-nek Példa: 1 a b b osztója a-nak 8 a 2 többszöröse b a b osztója a-nak 1 a többszöröse a 1 osztója 2 a 8 osztója Általában, úgy állapítjuk meg, hogy az a szám osztható-e b számmal, hogy elosztjuk az a számot a b számmal. Ha a maradék 0 akkor ab, ellenkező esetben a b. Példa: 1 : 12 = =2 2 == 1 12? IGEN 10 : 6 = 1 6 = 2 =2 10 6? Bármely a természetes szám osztható 1-gyel. Leírás: (vagy 1 a), bármely a természetes szám esetén. Bármely a természetes szám osztható önmagával. Leírás: aa (vagy a a), bármely a természetes szám esetén. Az 1 és az a számok az a szám nem valódi osztói. A többi osztót valódi osztóknak nevezzük. A 0 szám osztható bármely természetes számmal. 0 a (vagy a 0), bármely a természetes szám esetén. Gyakorolj! a 1 NEM Kösd össze nyilakkal, a négyzetben levő számokat azzal a körrel, amelyben az illető szám osztója van. Egy négyzet több körrel is összeköthető! A kijelentések mellé, a négyzetekbe, írd az I betűt, ha a kijelentés igaz és a H betűt, ha a kijelentés hamis: a) 12 2 ; i) 10 2 b) 21 ; j) 2 c) 1 ; d) 1 ; e) 1 ; f) 8 2 ; g) 9 ; h) 19 ; k) l 1; l) l Az alábbi példa szerint, írd le az adott számok összes osztóját! Példa: 1,,, a) 2; b) 19; c) 2; d) 6; e) 2; f) 2; g) 6. Írd le a következő számok valódi osztóit: 1, 2, 29, és. Írd le a és 6 számok osztóit, majd azonosítsd a két szám közös osztóit! Az alábbi példa szerint, írd le az adott számok első öt többszörösét! Példa:, 6, 9, 12, 1 a) ; b) 9; c) 2; d) ; e) 11; f) ; g) 6. Írd le a 6 és 8 számok első hat-hat többszörösét, majd azonosítsd a két szám közös többszöröseit. 8 Osztó. Többszörös. Közös osztók, közös töbször

4 Figyeld meg az alábbi ábrát, majd egészítsd ki a táblázatot. Az első sor mintaként van kitöltve A B C D E F G H Az a kör, amelynek a belsejébe írt számjegyekkel, 2-vel osztható kétjegyű számot képezhetünk. A 2-vel osztható kétjegyű számok, amelyeket képezhetünk. A 2-vel nem osztható kétjegyű számok, amelyeket képezhetünk. A Figyeld meg az fenti ábrát, majd egészítsd ki a táblázatot. Az első sor mintaként van kitöltve. Az a kör, amelynek a belsejébe írt számjegyekkel, -tel osztható kétjegyű számot képezhetünk. Az -tel osztható kétjegyű számok, amelyeket képezhetünk. B 0 Az -tel nem osztható kétjegyű számok, amelyeket képezhetünk. 8 Az 1. feladatban szereplő körök közül melyek azok, amelynek számjegyeivel 10-zel osztható kétjegyű számot képezhetünk? Fontos Ha egy természetes szám utolsó számjegye (az egyesek számjegye) 0, 2,, 6 vagy 8, akkor a szám osztható 2-vel. Ha egy természetes szám osztható 2-vel, akkor utolsó számjegye 0, 2,, 6 vagy 8. A 2-vel osztható természetes számokat páros számoknak nevezzük. A 2-vel nem osztható természetes számokat páratlan számoknak nevezzük. Ha egy természetes szám utolsó számjegye 0 vagy, akkor a szám osztható -vel. Ha egy természetes szám osztható -tel, akkor az utolsó számjegye 0 vagy. TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA

5 Ha egy természetes szám utolsó n darab számjegye 0, akkor a szám osztható V. osztályos tankönyv n 10 számmal, ahol n 1. n Ha egy természetes szám osztható 10 hatvánnyal, akkor az utolsó n darab számjegye egyenlő 0, ahol n 1. Ha n = 1, akkor megkapjuk a 10-zel való oszthatósági szabályt. Gyakorolj! Adottak a következő számok: 60, 8, 902, 0, 8, 8, 6 000,, 6, 61, 2, 916. Sorold fel: a) a 2-vel osztható számok:.. b) az -tel osztható számok:. c) a 10-zel osztható számok:. Ahhoz, hogy konyítsd a Titkok szobájának lakatját, meg kell határozd azokat az x számjegyeket, amelyekre az 1x alakú szám osztható 2-vel. Hány lehetőséget kell kipróbálj ahhoz, hogy kijussál? Melyek ezek a lehetőségek? 6 Melyek azok az x számjegyek, amelyekre az 1x alakú szám osztható -tel? 8 A 0, 2 és számjegyeket használva írd le az összes különböző számjegyű, háromjegyű természetes számot, amelyek: a) oszthatóak 2-vel; b) oszthatóak -tel; c) oszthatóak 10-zel. Az x számjegy mely értékeire lesz az x1x alakú szám a 2 többszöröse? 9 Az x számjegy mely értékeire lesz az x1x alakú szám az többszöröse? Határozd meg az x számjegy azon értékeit, amelyre a x alakú szám osztható 2-vel is, meg -tel is. Adott az abc alakú háromjegyű természetes szám, a + b + c osztható 10-zel és a =. Határozd meg a b és c számjegyek összes lehetséges értékét. Igazold, hogy két egymásutáni természetes szám szorzata mindig osztható 2-vel. n = 2 k. Ezért n (n + 1) = 2 k (2 k + 1) = 2 [k (2 k + 1)], n (n + 1) osztható 2-vel. Ha n páratlan szám, akkor n + 1 páros szám, ezért osztható n + 1 = 2 k, ahonnan n = 2 k 1. Ezért n (n + 1) = (2 k 1) 2 k = 2 [k (2 k 1)], n (n + 1) osztható 2-vel Igazold, hogy nem létezik olyan n természetes szám, amelyre n n 10 a) Igazold, hogy szám osztható -tel. b) Igazold, hogy szám osztható -tel. 2 Igazold, hogy a szám osztható 10 -nel. Mennyi az n természetes szám legnagyobb értéke, amelyre a 2-nél kisebb vagy egyenlő természetes n számok szorzata osztható legyen 10 hatvánnyal? 2-vel való oszthatósági szabály. -tel való oszthatósági szabály. 10 n -nal való oszthatósági szabály.

6 Figyeld meg és fedezzd fel! Mindenik számlapon 2 vagy számjegy van. Az A, B, C, D, E és F számlapokon levő számjegyekkel kétjegyű, különböző számjegyű számokat alkotunk, a G és H számlapokon levő számjegyekkel pedig háromjegyű, különböző számjegyű számokat képezhetünk. Figyeld meg a fenti számlapokat, majd egészítsd ki a táblázatot. Az első sor mintaként van kitöltve. Azon számlapok, amelynek számjegyeivel -mal osztható számokat képezhetünk A -mal osztható számok, amelyeket képezhetünk Az alkotott számok számjegyeinek összege A, + = 9 Az 1. feladatban szereplő számlapokat használva egészítsd ki az alábbi táblázatot. Azon számlapok, amelynek számjegyeivel 9-cel osztható számokat képezhetünk A 9-cel osztható számok, amelyeket képezhetünk Az alkotott számok számjegyeinek összege A, + = 9 Fontos Ha egy természetes szám számjegyeinek összege osztható -mal (vagy 9-cel),akkor a szám is osztható -mal (vagy 9-cel). Ha egy a szám osztható -mal (vagy 9-cel), akkor számjegyeinek összege is osztható -mal (vagy 9-cel). 86 Gyakorolj! Adottak a következő természetes számok: 60, 8, 209, 0, 8, 18, 600,, 6, 261, 2, 91. a) A -mal osztható számok:... b) A 9-cel osztható számok:... TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA

7 Határozd meg az x számjegyet úgy, hogy a számok közül hány osztható 9-cel? V. osztályos tankönyv 2x alakú szám osztható legyen -mal. A meghatározott 6 Írd le az összes xx1 alakú természetes számot, amelyek oszthatóak -mal, de nem oszthatóak 9-cel. A,6,2 és számjegyekkel képezhetünk-e négyjegyű, különböző számjegyű, 9-cel osztható számot? Indokold meg válaszod! Írd le a legkisebb, majd a legnagyobb, -mal osztható természetes számot, amely: a) egyjegyű; b) különböző számjegyű és kétjegyű; c) különböző számjegyű és háromjegyű; d) különböző számjegyű és négyjegyű Igazold, hogy szám osztható 9-cel. Igazold, hogy Igazold, hogy az S abc bca cab szám osztható -mal, az a, b, c számjegyek bármely értékére. szám osztható -mal. A Titkok szobájában Anna és Robi talált egy, a melléket ábrához hasonló, papírlapot. A papírlap hátán a következő útmutatás volt írva: Hány különböző szín található Románia zászlóján? Segíts nekik kinyitni a széfet, a papírlapon található hozzáférési kóddal. Miután Anna és Robi kiderítette a hozzáférési kódot, a széf belsejében találták egy új papírlapot, a következő útmutatással: A szobában több kulcs található, de kiszabadulni csak az egyikkel tudsz. Nem mondjuk meg, hogy hol találod a kulcsokat, de addig nem keresheted meg őket ameddig nem határozod meg a kulcsok számát. A számnak a következő tulajdonságai vannak: osztható -tel; kétjegyű, különböző számjegyű; számjegyeinek összege 6; kisebb 0-nél. Hány kulcs található a szobában? Miután átkutatták a szobát, Anna és Robi megtalálta az összes kulcsot. Abban a pillanatban kinyílt egy titkos fiók, amelyben egy kétkarú mérleg volt és egy újabb papírlap a következő útmutatással: Mindenik kulcs azonos tömegű, csak a szabadulásotok kulcsa nehezebb 1 grammal, mint a többi. A mérleggel viszont legfeljebb három mérés engedélyezett. Miután megtaláltad a megfelelő kulcsot, a szabaduláshoz még egy hozzáférési kódot kell meghatározzatok. A kód a legnagyobb négyjegyű természetes szám, amely osztható -mal, de 9-cel nem. Hogy tudja meghatározni Anna és Robi a megfelelő kulcsot a mérleg segítségével? Melyik az utolsó kód? Indokold! Igazold, hogy három egymásutáni természetes szám szorzata osztható -mal. Adj példát olyan négyjegyű, különböző számjegyű, természetes számra tudva, hogy osztható -mal és számjegyeinek összege 1. Létezik olyan négyjegyű természetes szám, amely osztható -mal és számjegyeinek összege 9? De olyan, amely 9-cel osztható? Ha egy négyjegyű szám számjegyei különbözőek és a szám osztható -mal, mennyivel egyenlő a számjegyek összegének, a lehető legkisebb értéke? Oldd meg ugyanazt a feladatot, ha a szám osztható 9-cel. Hány olyan kétjegyű, különböző számjegyű, természetes szám létezik, amelyek oszthatóak -mal, de 9-cel nem? Hány abba alakú, -mal osztható, 9-cel nem osztható természetes szám létezik? 9 18 Melyik a legnagyobb különböző számjegyű, 9- cel osztható természetes szám? 8 -mal való oszthatósági szabály. 9-cel való oszthatósági szabály A hozzáférési kód az alábbi számok egyike!

8 A mellékelt táblázatba beírtuk az összes természetes számot 1-től 100-ig, hat oszlopba. A második oszlopban áthúztuk az összes számot, a 2 kivételével. Mit veszel észre? Mi a közös a kihúzott számoknál? Hasonlóan jártunk el a -at tartalmazó oszlopban is. Mit veszel észre? Mi a közös a kihúzott számoknál? Az -ös esetében átlóson húztuk át a számokat, jobbról balra, fentről le. Mit veszel észre? Mi a közös a kihúzott számoknál? Az -es esetében átlóson húztuk át a számokat, balról jobbra, fentről le. Mit veszel észre? Mi a közös a kihúzott számoknál? Húzd ki az összes számot, a és 6 számokat tartalmazó oszlopokban, a és 6 számokat is beleértve. Az utolsó oszlopban keresd meg az -tel osztható számokat és járj el az -nél leírtakhoz hasonlóan, kihúzva az többi többszöröseit is. Az első oszlopban keresd meg az többszöröseit és járj el az -nél leírtakhoz hasonlóan, kihúzva az többi többszöröseit is. Hagyd figyelmen kívül az 1-gyet. Válassz ki találomra három számot a nem kihúzottak közül és írd le az osztóikat. Válassz ki találomra három számot a kihúzottak közül és írd le az osztóikat. Miután megoldottad d) és e) pontokat, fogalmazz meg egy következményt az észrevételeidről TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA

9 V. osztályos tankönyv Fontos Prímszámnak (törzsszámnak) nevezzük azt az 1-nél nagyobb természetes számot, amely csak 1-gyel és önmagával osztható. Összetett számnak nevezzük azt a természetes számot, amelynek az 1 és önmagán kívül más osztója is van. A 0 és 1 számok nem prímszámok, nem összetett számok. A 2 természetes szám az egyetlen páros prímszám. A többi prímszám mindenike páratlan. Nem létezik egy legnagyobb prímszám vagy egy legnagyobb összetett szám. Írd le az összes, 0-nél kisebb és 20-nál nagyobb, prímszámot. Írd két prímszám szorzataként a következő számokat: 6, 1, 1, 21,. Írd három prímszám szorzataként a következő számokat: 0, 0, 2, 16. ab 9 Határozd meg az a és b prímszámokat, tudva, hogy. Határozd meg az a és b prímszámokat, tudva, hogy Igazold, hogy nem létezik olyan a és b prímszám, amelyekre a+b 10. Igazold, hogy a szám összetett szám. Adj példát öt egymásutáni összetett számra a+b 19. Tudtad-e, hogy...? A Titkok szobája koncepció számítógépes játékként kezdődött, ahol a feladatok virtuálisak voltak. Japán volt az első ország, amely a Titkok első igazi helyiségét hozta létre. Később a koncepció a világ minden országában elterjedt (Escape room). Határozd meg az az a és b prímszámokat, tudva, hogy. Megoldás: Mivel és 6 páros számok, következik, hogy is páros szám. De nem páros szám, így a páros szám. Mivel a prímszám is és mivel az egyetlen páros prímszám a 2, következik, hogy a = 2. Tehát, innen, így b = Határozd meg az a és b prímszámokat, tudva, hogy a b 2. Határozd meg azt a p rímszámot, amelyre p +, p +, p + 9 és p + 11 is egyidejűleg prímszámok. Határozd meg az a, b és c prímszámokat, tudva, hogy a 10 b+ 1 c 16. Határozd meg az a, b, c és d prímszámokat, tudva, hogy a 8 b+ 0 c+ 2 d. 1 Legyen p az első 100, nem nulla, természetes szám összege és n egy természetes szám, amely 2-nél nagyobb vagy egyenlő, de 100-nál kisebb vagy egyenlő. A p + n szám összetett szám-e? 1 Az előző feladat gondolatmenetét használva, le tudsz írni 999 egymásutáni összetett számot? Figyeld meg a felsorolást és húzd ki a nem oda illő számokat: 1, 1, 1, 61, Figyeld meg a felsorolást és húzd ki a nem oda illő számokat: 91, 1, 19, 8, Számos kulcs van a Titkok szobájának falán. Ezek egyike, a hozzáférési kóddal együtt, megnyitja a kijárati kaput. Az útmutatás szerint, ha a kulcs számát összeadjuk a hozzáférési kódhoz, akkor az összeg 1.0 lesz és a két szám prímszám. Melyik kulcs és milyen kód segít kijutni? Prímszámok. Összetett számok

10 A kijelentések mellé, a négyzetekbe, írd az I betűt, ha a kijelentés igaz és H betűt, ha a kijelentés hamis. a) 2 ; d) ; g) 10 ; j) 1 2 ; b 2 1 ; e) 00 ; h) 0 ; k) 8 ; c) 28 ; f) 12 ; i) 1 ; l) 9 19 f) A négyzetekbe írd az egy többszöröse vagy egy osztója mondatrészeket úgy, hogy igaz kijelentéseket kapj: a) 2 a 12-nek f) 8 a 8-nak b) 0 a 11-nek g) az -nek c) 19 a 19 -nek h) 6 a 6 -nek d) 1 a 2 -nek i) 6 a 18-nak e) 1 a 1-nek j) 2 a 2 2 -nek Írd le a következő számok mindenikének a valódi osztóit: a) 10; b) 1; c) 16; d) 28; e) 0; f) 6. Írd le a következő számok mindenikének az összes osztóját: a) 9; b) 1; c) 1; d) 18; e) 21; f) 2. Szorzatként írd le a következő számok kétjegyű többszöröseit: a) 1; b) 2; c) ; d) ; e) 8; f) 0. Példa: 1 1, 1 2, 1, 1 és 1. Mivel 1 6 = 102, tehát háromjegyű, ezért 1 az utolsó. Adottak a következő számok: 02, 01, 20, 10, 60, 10, 10, 20, 18, 2,, 6, 6, 68, 89. Egészítsd ki a táblázatot. Az első sor mintaként van kitöltve. 2-vel osztható számok -mal osztható számok -tel osztható számok 9-cel osztható számok 10-zel osztható számok A következő számok közül húzd alá a többszöröseit:, 6,,, 9,, 8, 6, 11, 111, xxx, 10, 9 + 0, n és n + 2, tudva, hogy x nullával nem egyenlő számjegy, n pedig egy tetszőleges természetes szám. Megoldott feladat Igazold, hogy az Megoldás: Észrevesszük, hogy =, tehát osztható -mal. Csoportosítjuk:. szám osztható -mal. A második zárójellel kezdődően, mindenik zárójelből kiemelhetjük 2 valamely hatványát, közös tényezőként.: 90 Tehát a szám osztható -mal Igazold, hogy a 1 szám osztható -mal Igazold, hogy a szám osztható 1-tel. TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA

11 10 V. osztályos tankönyv Írd le az alábbi párokban szereplő számok mindenikének az első néhány többszöröseit, az első közös többszörösig: a) és ; b) 6 és 8; c) és ; d) 12 és 6; e) és 11; f) 1 és A kijelentések mellé, a négyzetekbe, írd az I betűt, ha a kijelentés igaz és H betűt, ha a kijelentés hamis: a) 12 2 ; e) 21 ; i) ; b) 261 ; f) 08 2 ; j) 2 ; c) 1 ; g) 9 9 ; k) 1 ; d) 1 ; h) 119 ; l) Írd le az összes a alakú természetes számot, ahol a egy számjegy, úgy, hogy a szám osztható legyen: a) 2-vel; b) -mal; c) -gyel; d) -tel; e) 6-tal; f) -tel Írd le az összes aa alakú természetes számot, ahol a egy nullától különböző számjegy, úgy, hogy a szám az alábbi számok többszöröse legyen: a) 2-nek; b) -nak; c) -nek; d) -nek. Adottak a következő természetes számok: 20, 2, 6, 9 60, 00 és Ezek közül melyek oszthatóak: a) 2-vel; b) -mal; c) -tel; d) 9-cel; e) 10-zel. Írd le az összes x alakú természetes számot, ahol a egy számjegy, úgy, hogy a szám osztható legyen: a) 2-vel; b) -mal; c) -tel; d) 10-zel; e) 9-cel. Írd le a 2 összes háromjegyű, különböző számjegyű, többszöröseit, amelyeket az alábbi számjegyekkel alkothatunk: a), és ; b), 6 és 0. Írd le az összes háromjegyű, különböző számjegyű, többszöröseit, amelyeket az alábbi számjegyekkel alkothatunk: a), és 8; b) 0, és. A 80,, 0, 2, 8 90, 1, 6, 000 és 62 számok közül melyek oszthatóak 2-vel, de -tel nem? Írd le az összes kétjegyű prímszámot, amelyek kisebbek, mint: a) 0; b) 9; c) ; d) 6. Írd a következő számokat prímszámok szorzataként: 26,, 2, 1,, 66, 8, Ha x páros természetes szám, akkor igazold, hogy x 10 is páros természetes szám. 22 Igazold, hogy három egymásutáni természetes szám szorzata osztható -mal Léteznek olyan természetes számok, amelyeknek 8-cal való osztási maradéka 6, és -gyel való osztási maradéka? Dolgozzatok párban. Számítsd ki a lehető legkisebb számú tárgyat, amelyet egy üzemben kell legyártsanak egy nap alatt úgy, hogy ezeket 6, 8 vagy 10 darabos dobozokba csomagolhassák! Az A gyár 8 vezetéknélküli (wireless) hangfalat gyárt egy nap alatt, a B gyár pedig 102, ugyanolyan méretű, vezetéknélküli hangfalat gyárt egy nap alatt. A csomagoláshoz szükséges dobozokat a C gyártól rendelik. Legfeljebb hány hangfalat tartalmazhat egy teli doboz, ahhoz, hogy mindkét gyár ugyanolyan típusú dobozt használhasson a napi gyártás becsomagolásához? Adott a 9-cel osztható abcdef alakú természetes szám. Igazold, hogy ab+cd +ef szám is osztható 9-cel. Határozd meg az a számjegyet tudva, hogy az A 1a2aaaa6aa8a9a szám osztható 9-cel. Határozd meg az a és b számjegyeket, a>b, tudva, hogy a b1a1 alakú szám osztható 9-cel és a bprímszám. Ismétlés 91

12 10p p Hivatalból 1.a. Társítsd a négyzetben levő számokat valamely körben szereplő többszörösével, összekötve őket egy nyíllal p 1.b. Társítsd a körben levő számokat valamely négyzetben szereplő osztójával, összekötve őket egy nyíllal p 2. A négyzetekbe írd az I betűt, ha a kijelentés igaz és H betűt, ha a kijelentés hamis: Adottak a következő számok: 0, 12, 10, 1, 201, 101, 1, 0, 20, 02. Egészítsd ki a táblázatot a követelménynek megfelelően. 2-vel osztható -mal osztható -tel osztható 9-vel osztható 10-zel osztható számok számok számok számok számok 10p 10p. Írd le az összes, 80-nál nagyobb, kétjegyű prímszámot.. Írd a 8-at prímszámok szorzataként. 10p 6. Határozd meg az összes a alakú,2-vel osztható és -mal nem osztható, természetes számokat. p. Igazold, hogy nem létezik aaa alakú prímszám. p 8. Határozd meg az x és y prímszámokat, tudva, hogy x+2y =. 10p 9. Határozd meg egy gyerekcsoport létszámának lehetséges legkisebb értékét úgy, hogy csoportosíthatóak legyenek -es, -ös vagy 6-os létszámú csoportokba. 92 TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA

13 A kijelentések mellé, a négyzetekbe, írd az I betűt, ha a kijelentés igaz és H betűt, ha a kijelentés hamis: a) 2 6 e) 2 i) 196 b) 8 8 f) 6 j) 20 c) 16 g) d) 28 h) 12 1 Egészítsd ki a négyzeteket úgy, hogy igaz kijelentést kapj. a) 1-nek egy valódi osztója a b) nek egy kétjegyű osztója a c) -nek egy, 10-nél kisebb, többszöröse a d) 9-nek egy háromjegyű többszöröse a Írd le a következő számok valódi osztóit: a) 2; b) 9; c) 68. Írd le a következő számok öt többszörösét: a) 8; b) 6; c) A Titkok szobájában a gyerekek a következő útmutatásra leltek: Anna meglátogatta Románia összes olyan térségét, amelyek az szám osztóival vannak jelölve. Robi pedig azon térségeket, amelyek a szám osztóival vannak jelölve. Segíts nekik megoldani a Titkot, válaszolva a kérdésekre. a) Milyen térségeket látogatott meg Anna? Hát Robi? b) Mely térségeket látogatták meg mindketten? Határozd meg a és számok közös többszöröseit. Banat 8 Maramureș 6 Bucovina Moldova Transilvania 9 Oltenia Muntenia 1 2 Írd le a 1 és 12 számok mindenikének az első néhány többszöröseit, az első közös többszörösig Adottak a következő számok: 2,, 28, 0, 0, 128, 1, 21, 20, 11. Egészítsd ki a táblázatot a követelménynek megfelelően: 2-vel osztható számok -mal osztható számok -tel osztható számok 9-vel osztható számok 10-zel osztható számok Az x számjegy mely értékeire lesz a x alakú szám osztható 2-vel? Írd le az összes x2xalakú, 2-vel osztható természetes számokat. Hány -tel osztható xy alakú természetes szám létezik? Írd le az összes 2x alakú, -mal osztható számokat. Írd le az összes 2 x yalakú, 6-tal osztható számokat. Igazold, hogy a három egymásutáni számjegyekkel alkotott szám mindig a szám többszöröse Határozd meg azokat a 2x alakú természetes számokat, amelyek számjegyeinek összege osztható 2-vel. Határozd meg azt a két prímszámot, amelyek összege: a) 9; b) 9; c) 6. Igazold, hogy találomra kiválasztott 6 természetes szám közül mindig van kettő, amelynek különbsége osztható - tel. 9 Gyakorolva haladsz!

14 Matematika Megoldott feladat! Igazold, hogy ha n természetes szám osztja az a és b természetes számokat, akkor n osztja az a+b összeget is. Bizonyítás: Ha n szám osztja az a számot, akkor létezik x természetes szám úgy, hogy. Ha n szám osztja a b számot, akkor létezik x természetes szám úgy, hogy. a+b= n x+n y = n x y, ami igazolja, hogy n osztja az a+b összeget. Így a = n x b= n x Ha osztja az a+2b számot és osztja a 2a+b számot, ahol a és b nullától különböző természetes számok, akkor igazold, hogy osztja a a+b számot is. Tudva, hogy osztja az a+2b számot, igazold, hogy osztja a a+8b számot, ahol a és b természetes számok. Igazold, hogy szám osztható -tel. Adottak az és számok, ahol n természetes szám. a) Vizsgáld meg, hogy ha n = akkor az a és b számok oszthatóak-e egyidejűleg 10-zel? Hát n = esetben? Hát n = 8 esetben? b) Milyen alakú kell legyen az n természetes szám ahhoz, hogy az a és b számok egyidejűleg oszthatóak legyenek 10-zel? n n Milyen alakú kell legyen az n természetes szám ahhoz, hogy a 8 szám osztható legyen -tel? Határozd meg azt a legkisebb n természetes számot úgy, hogy szám osztja a számot a n 2 b n 9 Határozd meg a p prímszámokat, amelyekre p +, p +, p + 11 és p + 1 számok egyidejűleg prímszámok. Határozd meg az x és y prímszámokat, amelyekre x+y = 0. Határozd meg az x és y prímszámokat, amelyekre 6x+9y =. Igazold, hogy nem léteznek olyan a és b prímszámok amelyekre a+b= 201. Adott az n, nullától különböző, természetes szám és legyen x az n számnál kisebb vagy egyenlő, de nem nulla, természetes számok szorzatának rákövetkezője. Adj példát olyan n számra, amelyre az x szám: a) legyen prímszám; b) legyen -tel osztható; c) legyen négyzetszám n Adj példát olyan n, nullától különböző, természetes számra, amelyre az n számnál kisebb vagy egyenlő természetes számok összege legyen: a) páros szám; b) -tel osztható szám; c) -mal osztható, de 9-cel nem osztható, szám; d) prímszám. Írd a következő számokat olyan hatványokként, amelynek alapja is, kitevője is prímszám: 8, 9, 2, 2, 2, 9, 121 és 169. Mennyi azon p szám értéke, amelyre p, p + 1 és p + 16 számok egyidejűleg prímszámok? Válaszodat indokold. 9 Írj egy papírlapra matematikai kijelentéseket, amelyek segítségével egy- vagy kétjegyű számokat hatátozhatok meg, a mellékelt példához hasonlóan. Határozd meg a kódot a számok sorrendjének megadásával. Kérd meg a társad, hogy oldja meg, meghatározva a számokat és ezzel a kódot is. A társad más számokra is gondolhat, így mindig ellenőrizd le a kódot. Fordítsátok meg a szerepeket és fedezzd fel a társad kódját TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA egy,-tel osztható, természetes szám 2 egy,-mal osztható, természetes szám 6 egy prímszám egy, 10-zel osztható, összetett szám 20 A számok ebben a sorrendben: a), b), c), d) CODUL 2620