2. NUMERIKUS INTEGRÁLÁS

Átírás

1 numerikus nlízis ii. 39 B - SPLINEOK DERIVÁLTJÁRA ÉRVÉNYES : B mi x =m Bm,i x B m,ix. t i+m t i t i+m+ t i+. NUMERIKUS INTEGRÁLÁS Htározott integrálok numerikus kiszámítás mtemtik egyik legrégebbi problémáj. Például görbék áltl tározott trtomány területének megtározás. Rádásul évezredekkel zelőtt, ogy z nlízisbeli integrálfoglom XVII., XVIII. százdbn bevezetésre került. Például kör területe: Arcimedes 87 - Kr.e. : <π<3. A numerikus kvdrtúr 7 elnevezés kör négyszögesítésének problémájából jön. Numerikus kubtúr elnevezés kétdimenziós integrálok kiszámításár. Newton I n - dimenziós numerikus integrálás elnevezés n - dimenziós integrálok numerikus kiszámításár. Leibniz G. W H már vn integrálfoglom, nlízis, kkor miért kell numerikus integrálás? MOTIVÁCIÓ: Numerikus integrálási műveletekre szükség vn,. Az integrálndó függvény primitív függvényét nem leet megdni elemi függvények segítségével.. A primitív függvény olyn bonyolult, ogy kvdrtúr formul sznált előnyösebb. 3. Az integrálndó függvényt csk pontokbn ismerjük, például mérések eredményelént. 4. Differenciál-egyenletek, integrál-egyenletek numerikus megoldáskor sok esetben numerikus integrálási módszerekre is szükség vn. Fontos feldtok megoldásábn segített, pl. 6. Keplernek borosordó térfogtánk kiszámításábn FELADAT : Az fxdx = I tározott integrál kiszámítás. Ezt z I N = c k fx k összeggel közelítjük, ol c k állndók.

2 numerikus nlízis ii. 40 Érvényes következő közelítő egyenlőség: fxdx c k fx k =I N KVADRATÚRAFORMULA c k -kkvdrtúrformul súlyi. A ψ N := I I N különbséget kvdrtúrformul ibájánk nevezzük, mi függ c k együtttók válsztásától és z x k csomópontok [, b] intervllumbeli elelyezkedésétől. Tegyük fel, ogy felosztás egyenletes [, b]- n és f kellően sim függvény. Mivel fxdx = i= fxdx, zért elég z [,x i ] részintervllumon közelítő formulát tlálni... KLASSZIKUS KVADRATÚRAFORMULÁK... Tégllpformul Az f görbe ltti területet tégllp területével közelítjük. fxdx f x i := [,x i ]... A tégllpformul ibáj A tégllpformul ibáj z i - edik részintervllumon: ψ i := fxdx f x i = [ fx f ] dx A Tylor - formul lpján = fx =f + f x + f ξ! x.

3 numerikus nlízis ii. 4 Így = ψ i = f ξ! x i x dx, mivel x dx =0. Ezt kiintegrálv: ψ i M i 3 = M i 4 3 ol M i := mx x [xi,x i ] f x...3. Összetett tégllpformul [ fxdx f x + f x f x N ] = f i= A kvdrtúrformul lppontji nem zonosk z intervllumot megtározoó lppontokkl...4. Az összetett tégllpformul ibáj N = b = x n x 0 ψ i= ψ i N M 4 3, ol M := mx x [,b] f x. ψ M b 4 Azz tégllpformul ibáj O..5. Trpézformul Az f görbe ltti területet trpéz területével közelítjük. fxdx f +fx i EGYSZERŰ TRAPÉZFORMULA

4 numerikus nlízis ii. 4 Most z f függvényt z elsőfokú Lgrnge interpolációs polinomml elyettesítettük, L i x - szel...6. A trpézformul ibáj Az i - edik részintervllumon: ψ i := fxdx f +fx i = fxdx L xdx = [fx L x] dx = = M i := f ξ ωxdx =! mx x [,x i ] f x f ξ x x x i dx }{{} 3 6 = ψ i M i 3 6 = M i Összetett trpézformul [ fxdx fx 0+fx +fx fx N + ] fx N = i= fx i +f..8. Összetett trpézformul ibáj N := b ψ N M 3, ol M := mx x [,b] f x ψ M b Teát trpézformul szintén O ngyságrendű, de ez kétszer kkor ib, mint tégllpformulánál.

5 numerikus nlízis ii Simpson - formul Az előző áltlánosításként, most z fx függvényt z [,x i ] intervllumon z f,f,fx i pontokon átmenő prbolávl közelítjük. Ez másodfokú Lgrnge interpolációs polinom, L i x z [,x i ]-n. fxdx L i x, x [,x i ]. Írjuk fel L i x - et explicit lkbn: L i x = [f x x x i f x x x i +f x i x x ] Integrálás után: L i xdx = [ f +4f 6 ] + f x i Így z egyszerű Simpson - formul: fxdx [ f +4f 6 ] + f x i..0. A Simpson - formul ibáj Hrmdfokú Hermite interpolációs polinom lklmzásávl beláttó, ogy Simpson forul ibáj: ψ i = f L dx = f ξ 3! ωxdx... ψ i M 4i ol M 4i := mx x [xi,x i ] f IV x.

6 numerikus nlízis ii Összetett Simpson - formul fxdx 6 [ fx 0 +fx n + fx fx N +4 f x + f x f x N ]... Összetett Simpson - formul ibáj ψ M 4b ol M 4 := mx x [,b] f IV x. Atörtindexek elkerülésére legyen: n =m, f i = fx i, := = =, = b m fxdx 3 [f 0 + f m +f + f f m +4f + f f m ] A képletib most: ψ i M 4i 90 5 = x [,x i ] ψ M 4b 80 4 = x [, b] Definíció : A kvdrtúrformul pontos dott f függvényre, kvdrtúrformulábn elyett = írtó, zz fxdx = c k fx k.

7 numerikus nlízis ii. 45 Megjegyzés :. A trpézformul minden elsőfokú polinomr pontos.. A Simpson - formul minden rmdfokú polinomr pontos... INTERPOLÁCIÓS TÍPUSÚ KVADRATÚRAFORMULÁK Legyenek [, b] - ben z lppontok = x 0 <x <...<x n = b és fx - et interpoláljuk Lgrnge interpolációs polinomml. Ekkor: fx =L n f,x+h n f,x, ol H n f,x ibtg. = fxdx = L n f,xdx + H n f,xdx. H ibintegrál kicsi, elgyv f integrálj elyett L n integrálját számoltjuk. fxdx L n f,xdx. Mivel L n f,xdx = fx k l k x = zért ezt beírv = L n f,xdx = Definíció : Legyen A k := ωx fx k x x k ω x k, ωx fx k x x k ω dx = x k ωx x x k ω x k dx, fx k ωx x x k ω x k dx. } {{ } A k