Az előadás anyagának törzsrésze

Átírás

1 Az elődás nygánk törzsrésze 2. félév 1. Az egyváltozós differenciálszámítás lklmzási 1. Szélsőértékek. Foglmk. Def. Egy R pont környezete olyn J nyílt intervllum, melyre J. Def. Egy f : R R függvénynek lokális minimum vn -bn, h -nk vn olyn J környezete, melyre f() f(x) x J. Hsonlón:... lokális mximum vn... h f() f(x) x J. Ilyenkor z pont neve: lokális minimumhely/mximumhely. Def. Egy f : R R függvénynek globális minimum vn -bn egy H hlmzr nézve, h f() f(x) x H. Hsonlón:... globális mximum vn... h f() f(x) x H. Szélsőérték = minimum vgy mximum (lok./glob. esetben is mondjuk). A szélsőérték szükséges feltétele. Tétel. H f differenciálhtó -bn és ott lokális szélsőértéke vn, kkor f () = 0. Megj.: z f () = 0 feltétel nem elégséges: pl. f(x) := x 3 -nek 0-bn nincs szélsőértéke, bár f (0) = 0. További feltételekkel kiegészítve már elégséges lesz. 2. Monotonitás. Foglmk (ismétlés). Egy f : R R függvény z I intervllumon szigorún növő, h, b I esetén fennáll: < b f() < f(b), szigorún csökkenő, h f() > f(b). Feltétele derivált lpján. Tétel. Legyen f differenciálhtó egy I intervllumon. H f (x) > 0 ( x I) f szigorún növő I-ben. H f (x) < 0 ( x I) f szigorún csökkenő I-ben. Következmény: lokális szélsőérték elégséges feltétele z 1. deriválttl Állítás. Legyen f () = 0. H f előjelet vált -bn (zz előtte és után +, vgy előtte + és után egy környezetében), kkor f-nek lokális szélsőértéke vn -bn. 3. A lokális szélsőérték elégséges feltétele második deriválttl. Tétel. Legyen f kétszer differenciálhtó -bn, és f () = 0. H f () > 0 f-nek lokális minimum vn -bn. H f () < 0 f-nek lokális mximum vn -bn. 1

2 2. Integrálszámítás egy változóbn/1. I. Htároztln integrál (primitív függvény). Alpgondolt: eddig megtnultunk deriválni: f f. Most visszfelé csináljuk: dott függvény minek deriváltj? 1. Alpfoglmk és tuljdonságok. Itt mindvégig legyen I egy intervllum. Def. Legyen f : I R. Azt mondjuk, hogy F primitív függvénye f-nek, h F = f. Azz, h F (x) = f(x) x I. Alptétel ( primitív függvény egyértelműsége dditív konstns erejéig). Legyen I intervllum, f : I R és F egy primitív függvénye f-nek. Ekkor f bármely primitív függvénye előáll F + c lkbn, hol c R állndó. Jelölés: H f : I R, kkor f(x) dx z áltlános primitív függvény, f ún. htároztln integrálj. Azz, h F = f, kkor f(x) dx = F (x) + c (c R). 2. Kiszámítás. (i) Elemi függvényekre: deriválttáblázt "visszfelé". (ii) Műveletek. (f + g) = f + g; kf = k f, h k R. (iii) Két integrálátlkító módszer (néh egyszerűbb lkr hozzák feldtot). Prciális integrálás: f g = fg fg. Helyettesítéses integrálás: f(x) dx = f(g(t)) g (t) dt g(t)=x hol g szigorún monoton, diff.-htó függvény. II. Htározott integrál (Riemnn-integrál). 1. A Riemnn-integrál foglm. f : [, b] R folytonos függvény esetén értelmezzük. Szükséges foglmk: Def. Az I = [, b] intervllum felosztásánk hívunk bármely olyn τ := {x 0, x 1,..., x n } ponthlmzt, melyre n N + és = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b. A hlmz elemeit osztópontoknk hívjuk. Def. H τ dott felosztás, kkor k = 1,..., n esetén x k := x k x k 1. A felosztás finomság: F(τ n ) := mx x k. 2

3 Def. (Drboux-féle lsó és felső közelítő összeg.) H τ dott felosztás, kkor s(f, τ) := n min f x k és S(f, τ) := n mx f x k. k=1 I k k=1 I k Tétel. Bármely f : [, b] R folytonos függvényhez létezik egyetlen I R szám z lábbi tuljdonsággl: h (τ n ) dott felosztások olyn sorozt, melyre lim F(τ n) = 0, kkor n lim s(f, τ n ) = lim S(f, τ n ) = I. Def. f Riemnn-integrálj tételbeli I szám. Jelölés: változó nélkül b f = I, 2. Értelmezés áltlánosbb közelítő összegekkel változóvl b f(x) dx = I. Az I k = [x k 1, x k ] részintervllumokon minimum és mximum helyett bármely függvényérték vehető, dott u k I k pontokbn. Ekkor s(f, τ) és S(f, τ) helyére lép Def. Riemnn-féle közelítő összeg: R(f, τ) := n f(u k ) x k. Tétel. H (τ n ) dott felosztások olyn sorozt, melyre lim F(τ n ) = 0, kkor n lim R(f, τ n ) = b f. k=1 3

4 3. Integrálszámítás egy változóbn/2. I. A htározott integrál kiszámítás. 1. Az integrálszámítás lptétele (Newton-Leibniz-szbály). Tétel. Legyen f : [, b] R folytonos. H F egy primitív függvénye f-nek, kkor b f(x) dx = F (b) F (). Jelölés: [ F ] b := F (b) F (), ezzel: b f(x) dx = [ F ] b. 2. Műveletek, integrálátlkító módszerek Összeg és számszoros: Prciális integrálás: Helyettesítéses integrálás. b (f + g) = b f + b b f g = [ fg ] b b fg g; b kf = k h g szigorún monoton, diff.-htó függvény, = g(c) és b = g(d), kkor b f(x) dx = d c f(g(t)) g (t) dt. II. A htározott integrál jelentése, lklmzási. 1. Görbe ltti terület (pozitív értékű függvény esetén). 2. "Végtelen összegzés". Fizikábn egy összmennyiség megfelelő sűrűség integrálj, pl. tömeg sűrűségé, z össztöltés töltéssűrűségé. 3. Grfikon ívhossz h f folytonos, kkor III. Improprius integrál. b 1 + (f (x) 2 dx. Def. Legyen I = [, b), hol b R vgy b = +. Legyen f : I R folytonos, és F egy primitív függvény. Azt mondjuk, hogy f impropriusn integrálhtó I-ben, h lim F, és ekkor b b f(x) dx := lim b F F (). H z pont nincs I-ben, kkor hsonló definíció: f : (, b] R esetén f : (, b) R esetén b b f(x) dx := F (b) lim F, f(x) dx := lim b F lim F. b f. 4

5 4. Többváltozós differenciálszámítás/1. Többváltozós függvények áltlános lkj: f : R n R m Többdimenziós környezet és belső pont foglm: Def. Egy R n pont környezete egy középpontú, vlmilyen r > 0 sugrú gömb. Az pont egy H R n hlmznk belső pontj (jelölés: inth), h H trtlmzz egy környezetét. (Deriválthoz és szélsőértékhez kell.) I. Prciális derivált 1. Prciális derivált z f : R 2 R esetben A prciális derivált értelmezése. Def. Egy f : R 2 R függvény első változó szerinti prciális deriváltj egy (, b) intd f pontbn: f(x,b) f(,b) 1 f(, b) := lim, x x h ez limesz létezik és véges. Azz, z x f(x, b) függvényt deriváljuk z x = helyen. (Más gykori jelölések: 1 f helyett x f vgy f, zz változóvl indexeljük.) x Geometrii jelentés: z (, b) pontbn felülethez z x irány fölött húzott érintő meredeksége (rjz). Másképp: z f függvény (, b) pontbeli "pillntnyi" változás, h csk x-et mozgtjuk. Hsonlón: második változó szerinti prciális derivált f(,y) f(,b) 2 f(, b) := lim, y b y b h ez létezik és véges. Azz, z y f(, y) függvényt deriváljuk z y = b helyen. (Más gykori jelölések: y f vgy f.) y Geometrii jelentés: mint z előbb, h x helyett y-t írunk. Def. Prciális deriváltfüggvény: h z f : H R függvényre létezik 1 f(u, v) H R 2 hlmz minden (u, v) pontjábn, kkor z (u, v) 1 f(u, v) függvény jelölése 1 f : H R. (Hsonló 2 f-re.) A prciális derivált kiszámítás. A megfelelő változó szerint deriválunk, másik változót konstnsnk tekintjük. 2. Más dimenziók. H f : R n R: fentihez hsonlón megy, z i-edik változó (zz x i ) szerinti i f(x 1,..., x n ) prciális deriválthoz z x i változót mozgtjuk és e szerint deriválunk. (Más jelölések: xi f vgy f x i.) ( ) H f : R n R m : itt x R n esetén f(x) = f 1 (x),..., f m (x). Ekkor z f 1,..., f m ún. koordinátfüggvények számértékűek, így ezeket lehet prciálisn deriválni. 5

6 3. Második prciális derivált. Legyen f : R n R. H vlmelyik i f : R n R prciális deriváltfüggvénynek mgánk is vn j-edik prciális deriváltj egy pontbn, kkor ezt j i f()-vl jelöljük (második prciális derivált) egy H hlmzon, kkor j i f : H R ( " függvény) H i = j, kkor i i f helyett 2 i f szokott jelölés. (Vigyázt, ez ( i f) 2!) II. Derivált (Jcobi-mátrix, grdiens) 1. Értelmezése Def. f C 1 (R n, R m ), h f : R n R m, és i = 1,..., m, j = 1,..., n esetén j f i prciális deriváltfüggvények léteznek és folytonosk R n -en. Def. H f C 1 (R n, R m ), kkor f deriváltj egy R n pontbn z 1 f 1 () 2 f 1 ()... n f 1 () { } f 1 f 2 () 2 f 2 ()... n f 2 () () := j f i () = i=1,...,m. j=1,...,n f m () 2 f m ()... n f m () m n-es mátrix. Neve: f Jcobi-mátrix -bn. Speciálisn, h f számértékű (zz m = 1), kkor sormátrixot kpunk, mit vektornk tekintünk: f () = ( 1 f(), 2 f(),... n f() ), ennek neve f grdiense -bn. Gykrn f () helyett f()-vl jelöljük. 2. Jelentése Közelítés szempontjából érvényes z 1-dimenziós eset nlógiáj: h h 0, kkor f( + h) f() + f ()h =: l(h). Geometrii jelentés z f : R 2 R esetben: z l függvény grfikonj z = ( 1, 2 ) ponthoz trtozó érintősík f() = ( 1 f(), 2 f()) grdiensvektor zt z irányt dj meg, merre legmeredekebb z emelkedés. Ez zt is jelenti, hogy merőleges szintvonlkr. Hsonlón, f() iránybn legmeredekebb lejtés, erre folyik le víz egy lejtőn. 6

7 I. Második derivált Legyen f : R n R. 1. Előzetes foglmk 5. Többváltozós differenciálszámítás/2. H f : R n R differenciálhtó, kkor z f (x) = ( 1 f(x), 2 f(x),..., n f(x)) deriváltkt R n -beli vektoroknk tekintjük, így értelmes z f : R n R n deriváltfügvény. Def. f C 2 (R n, R), h i, j = 1,..., n esetén j i f prciális deriváltfüggvények léteznek és folytonosk R n -en. 2. A második derivált értelmezése Def. H f C 2 (R n, R), kkor f második deriváltj egy R n pontbn z 1f() f()... n 1 f() { } f 1 2 f() 2f() 2... n 2 f() () := j i f() = i=1,...,m. j=1,...,n n f() 2 n f()... nf() 2 n n-es négyzetes mátrix. (Neve: f Hesse-mátrix -bn.) 3. A második derivált szimmetriáj Young-tétel. H f C 2 (R n, R), kkor j i f = i j f ( i, j). II. A többváltozós derivált lklmzási 1. Közelítés Tylor-polinomml (i) Elsőfokú közelítés. Láttuk z első deriváltnál f legjobb lineáris közelítését: h h 0, kkor f( + h) f() + f ()h =: T 1 ( + h). (ii) Másodfokú közelítés. Def. Egy n n-es A mátrix kvdrtikus lkj: Ah h (h R n ). Ennek segítségével: h h 0, kkor f( + h) f() + f ()h + 1 f ()h h =: T 2 2 ( + h), ez f( + h) legjobb másodfokú közelítése. 7

8 2. Szélsőértékszámítás Jó tuljdonság: megfelelő foglmkkl mjdnem minden nlóg z 1D esettel! (Kivéve monotonitást, mi itt értelmetlen.) (i) Foglmk. Def. Egy f : R n R függvénynek lokális minimum vn -bn, h -nk vn olyn G környezete, melyre f() f(x) x G. (ii) Feltételek. Tétel. H egy f C 1 (R n, R) függvénynek lokális szélsőértéke vn -bn, kkor f () = 0 ( nullvektor), zz i f() = 0 ( i = 1,.., n). Tétel. Legyen egy f C 2 (R n, R) függvényre f () = 0. H f () sjátértékei > 0 f-nek lokális minimum vn -bn. H f () sjátértékei < 0 f-nek lokális mximum vn -bn. Megj. Többdimenziós jelenség: h f ()-nk vn + és - sjátértéke is, kkor nincs szélsőérték, hnem ún. nyeregpont: egy iránybn minimum és egy másik iránybn mximum vn. III. Primitív függvény több változóbn (potenciál) Adott függvény minek deriváltj? (Nem mindig vn ilyen függvény.) Def. Egy f : R n R n függvénynek F : R n R primitív függvénye, h F = f. Ez most koordinátákkl zt jelenti, hogy i F = f i ( i = 1,.., n). "Ferde szimmetri". Tétel. Egy f C 1 (R n, R n ) függvénynek pontosn kkor létezik primitív függvénye, h j f i = i f j ( i = 1,.., n). F kiszámítás: z egyes változók szerinti integrálássl (gykorlt). 8

9 I. Többváltozós Riemnn-integrál 1. Riemnn-integrál tégllpon. (i) Értelmezése. Legyen T := [, b] [c, d] tégllp, 6. Többváltozós integrál/1 f : T R folytonos függvény. Hogyn értelmezzük grfikon ltti térfogtot? Az 1D esethez hsonlón építjük fel, most csk Riemnn-féle közelítő összegekkel. Felosztás: T tégllpot most kis tégllpokr osztjuk fel rácshálóvl. Jelölje ezeket T kl (k = 1,..., n, l = 1,..., m), hol T két oldlát n ill. m részre bontottuk. Jelölje ezek oldlhosszát x k és y l, ekkor felosztás finomság legngyobb részintervllum hossz: F(τ) := mx( x k, y l ). Közelítő összeg: válsszunk (u k, v l ) T kl pontokt ( k, l), ekkor R(f, τ) := n m f(u k, v l ) x k y m. Jelölés: ezentúl n k=1 l=1 k=1 l=1 m helyett csk. k,l Az integrál közelítő összegek htárértéke lesz, h felosztást finomítjuk. Azz, f z szám, melyre z lábbi teljesül: h (τ n ) dott felosztások olyn T sorozt, melyre lim F(τ n ) = 0, kkor n lim R(f, τ n ) = Jelölése változókkl: T f(x, y) dx dy. Gykori jelentése (mint 1D-bn): sűrűségfüggvény összegzése. T f. (ii) Kiszámítás. Két egyváltozós integrálll lehet, formálisn egyszerűen 2. Riemnn-integrál más trtományon. T helyett d b c írndó: (i) Téglán: fentiekkel teljesen nlóg, kiszámítás három egyváltozós integrálll. (ii) Más trtományon, pl. körlp, gömb, sokszög. H H R n (n = 2 vgy 3) ilyen trtomány, kkor belefoglljuk egy T H tégllpb/tégltestbe és T -t osztjuk fel. A közelítő összegekben viszont csk zon T kl -ek szerepelnek, melyeknek vn közös részük H-vl. Fontos péld (síkon): H 1 dx dy = A(H) (H területe). 9

10 II. Felületi integrál 1. Sim felületek. Def. Legyen T R 2 tégllp, h C 1 (R 2, R 3 ), és S R 3 olyn hlmz, melyre h bijekció T és S között. Ekkor S-et sim felületnek hívjuk (minden pontjábn vn érintősík). 2. A felszín értelmezése sim felületre. Tekintsük T egy τ felosztását kis T kl tégllpokr, ezek képe S-en egy görbe vonlú rácsháló. E háló elemeit helyettesítsük olyn P kl prlelogrmmákkl, melyek oldli érintővektor irányúk, hosszuk = két görbe oldl ívhossz. Jelölje P kl területét A kl, ekkor felszín közelítő összege: R(S, τ) := k,l A kl. Def. Az S sim felület felszíne z z A(S) szám, melyre z lábbi teljesül: h (τ n ) dott felosztások olyn sorozt, melyre lim n F(τ n ) = 0, kkor lim R(S, τ n ) = A(S). 3. Felületi integrál. Legyen f : S R folytonos függvény. Tekintsük fenti eljárást, és válsszunk y kl pontokt T kl tégllpok képéből. Legyen Def. S R(f, S, τ) := f(y kl ) A kl. k,l f da z szám, melyre z lábbi teljesül: h (τ n ) dott felosztások olyn sorozt, melyre lim F(τ n ) = 0, kkor n lim R(f, S, τ n ) = S f da. Jelentése: sűrűségfüggvény összegzése, pl. felület össztömege/össztöltése. Péld: konstns integrálj. H f 1, kkor Hsonlón, S S 1 da = lim k,l A kl = A(S). c da = c A(S), h c R állndó. 10

11 7. Többváltozós integrál/2; komplex számok I. Vonlintegrál 1. A vonlintegrál értelmezése Legyen ϕ : [, b] R n, melyre ϕ létezik és folytonos [, b]-n, vlmint legyen f : R n R n folytonos függvény. Jelölje Γ ϕ képét. Szokásos feltevés: ϕ injektív, zz görbe nem metszi önmgát. Kivétel: megengedhetjük, hogy ϕ() = ϕ(b), ekkor Γ-t zárt görbének hívjuk. b Def. f vonlintegrálj Γ mentén: f := f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. Γ 2. A vonlintegrál kiszámítás Newton-Leibniz-szbállyl Tétel. H f-nek létezik F : R n R primitív függvénye, kkor f = F (ϕ(b)) F (ϕ()). Γ Gykrn vizsgáljuk zárt görbén vonlintegrált. A fenti tételből ekkor ϕ() = ϕ(b) mitt null lesz z integrál: Áll. H f-nek létezik F : R n R primitív függvénye, kkor zárt görbén f = 0. Igzolhtó ennek megfordítás is: h bármely zárt görbére f = 0, kkor f-nek Γ vn primitív függvénye. Megj.: Láttuk, hogy egy f C 1 (R n, R n ) függvénynek pontosn kkor létezik primitív függvénye, h j f i = i f j ( i, j = 1,.., n). Ez feltétel tehát grntálj Newton-Leibniz-szbály érvényességét; ekvivlens zzl, hogy bármely zárt görbére f = 0. II. Komplex számok. 1. Értelmezésük. Legyen i := 1 egy új, ideális elem. Szemléltetés: síkon R z x tengely, i rá merőleges egységvektor. Def. A komplex számok hlmz C := { + ib :, b R}. (A fenti szemléltetéssel sík vektori, ún. komplex számsík.) 2. Műveletek: + és eredménye is komplex szám, úgy számolunk, mint vlóskkl, és felhsználjuk, hogy i 2 = 1. Γ Γ 11

12 3. Polárkoordináták: mint korábbn z R 2 síkon. H z = + ib 0, kkor! r > 0 és ϕ [0, 2π) : = r cos ϕ, b = r sin ϕ. Ezzel z = r(cos ϕ + i sin ϕ). 4. Komplex elemi fügvények. Cél: h z C, értelmezni e z, sin z, cos z értékét. Szemléletesen nem lehet, de htványsorrl igen, és így szokásos zonosságok is érvényesek lesznek. Def. H z C, e z := z n, cos z := ( 1) n z2n, sin z := ( 1) n z2n+1. n! (2n)! (2n+1)! n=0 Az elemi függvények kpcsolt: Áll. e iz = cos z + i sin z ( z C). Következmények. n=0 1. köv.: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ ( ϕ R). Azz, z egységkörvonl pontji e iϕ lkbn írhtók. H tehát ϕ R, kkor e iϕ = 1 és e iϕ z egységkörvonl ϕ szögű pontj. Néhány spec. eset: e iπ = 1, e 2iπ = e 0 = köv.: e iz = cos z i sin z, cos z = 1 2 (eiz + e iz ), sin z = 1 2i (eiz e iz ). 5. Polárkoordináták exponenciális lkj. A fenti 1. köv. szerint: Következmények: z = re iϕ. A komplex szorzás exponenciális lkj: Spec. eset: zw = rϱ e i(ϕ+θ). n=0 h z = re iϕ és w = ϱe iθ, kkor z 2 = re i2ϕ, és ezt ismételve z n = re inϕ (n N). 12

13 8. Elemi vektorszámítás 1. Bevezetés. Az újbb deriváltfoglmk formálisn = ( 1, 2,..., n ) operátorból szármztthtók. Az "operátor" zt jelenti, hogy függvényhez függvényt rendel: f f. 2. Alpfoglmk. (i) Differenciáloperátorok. Legyen f := (f 1, f 2,..., f n ) : R n R n dott függvény, melyre f C 1 (R n, R n ). f divergenciáj: div f := f := 1 f f n f n. Ekkor div f : R n R számértékű függvény. f rotációj: h n = 3: rot f := f := i j k f 1 f 2 f 3 Ekkor rot f : R 3 R 3 vektorértékű függvény. = 2 f 3 3 f 2 ( 1 f 3 3 f 1 ) 1 f 2 2 f 1 h n = 2: rot f := 1 f 2 2 f 1 (z előbbi 3. koordinát). Ekkor rot f : R 2 R számértékű függvény. (ii) Fluxus értelmezése. Legyen S sim felület. S-et zárt felületnek hívjuk, h teret két (egy belső és egy külső) komponensre osztj. (Pl. gömbfelület.) Egy x S pontbeli külső normálvektor z x-beli érintősíkr merőleges, kifelé muttó egységvektor, jele ν(x). Ez meghtároz egy ν : S R 3 függvényt. Tekintsünk egy f C 1 (R 3, R 3 ) vektormezőt. Az egész S felületen z áthldó erővonlk S-re merőleges összmennyisége Φ f := f ν, mit fluxusnk hívunk. 3. A differenciáloperátorok kpcsolt integrálokkl. (i) Rotáció és vonlintegrál. Legyen f C 1 (R n, R n ). A korábbn látottkból következik: rot f = 0 bármely zárt görbére f = 0. Áltlánosbbn: Stokes-tétel: legyen f C 1 (R 2, R 2 ) vektormező, Γ pozitív irányítású zárt görbe, D pedig Γ belseje. Ekkor rot f = f. D S Γ Γ. 13

14 (ii) Divergenci és felületi integrál. Guss-Osztrogrdszkij-tétel: legyen f C 1 (R 3, R 3 ) vektormező, S zárt sim felület, D pedig S belseje. Ekkor div f = f ν. Megjegyzés: div f = 0 bármely zárt felületen D S S f ν = 0. Fiziki jelentés. A fluxus 0 z S-en ki- és beármló összmennyiség zonos (nygmegmrdás). 14

15 9. Differenciálegyenletek/1. 1. Foglmk, bevezetés. Differenciálegyenlet: ismeretlen függvény és bizonyos deriváltji közti kpcsoltot leíró egyenlet. A differenciálegyenlet közönséges (KDE), h z ismeretlen függvény egyváltozós; prciális (PDE), h z ismeretlen függvény többváltozós. A differenciálegyenlet rendje: legmgsbb szereplő derivált rendje. Szokásos feltevés, hogy y : I R (intervllumon értelmezett, vlós értékű); 2. Differenciálegyenletek eredete, felállítás. Példák: Bktériumok szporodás (biológii modell): y (x) = Ky(x), hol K > 0 szporodási rát. Sóoldt koncentrációjánk változás: y (t) = 0, 6 0, 2 y(t), mi egy elsőrendű KDE. 3. Az y = y KDE megoldás. Ismert, hogy y(x) = e x ilyen függvény. Mi z összes megoldás? Levezetése. Feltevés: y(x) 0 egy I intervllumon. Ekkor y (x) = y(x) y (x) y(x) y(x) = e x+c = e c e x, hol c R tetsz. = 1 integrálv: ln y(x) = x + c, hol c R tetszőleges konstns (elég z egyik oldlon) Itt c 1 := e c megfeleltetéssel: c R tetsz. c 1 > 0 tetsz. y(x) = c 1 e x, hol c 1 > 0 tetsz. y(x) = c 2 e x, hol c 2 = ±c 1 0 tetsz. Végül: itt c 2 = 0 is jó, hisz y(x) 0 is megoldás. A c 2 helyett c is írhtó, így z áltlános megoldás: y(x) = c e x, hol c R tetszőleges konstns. Levezetés "dx" formlizmussl. Fent jobb oldlon 1 dx = x + c volt. Észrevétel: z y-r vontkozó integrál lényege z volt, hogy külső függvényre 1 dy = ln y (itt nem kellett +c). Ugyenezek elvégezhetők "dx" formlizmussl is: y dy dx = y dy = dx integrálv: ln y = x + c, hol c R. y Innen fenti módon kpjuk, hogy y = c e x, hol c R. 15

16 4. Szétválszthtó KDE: y = h(y)g(x), hol h, g dott folytonos függvények. A fenti formlizmus most is jó. 1. lépés. H h-nk c zérushelye, zz h(c) = 0, kkor z y c konstnsfüggvény megoldás, mert y = 0, és h(y) 0 mitt jobb oldl is lépés. Feltesszük, hogy h(y) 0 egy I intervllumon. Ekkor dy dy = h(y)g(x) dx h(y) = g(x)dx dy h(y) = g(x)dx + c, hol c R tetszőleges konstns. Integrálás után egy H(y) = G(x)+c egyenletet kpunk, miből ki kell fejeznünk y-t x függvényeként. Gykori speciális eset: y = h(y). Ez fenti típusú, h g(x) := 1. Péld: bktériumok szporodás: y = Ky. 1. Konstns megoldás: y 0 (h nincs bkt., de ez nem érdekes). 2. Érdemi eset: h y > 0. Ekkor: dy dx = Ky dy y = Kdx integrálv: ln y = Kx + c, hol c R tetsz. (most nem kell ln y, mert y > 0) y = e c e Kx = c 1 e Kx, hol c 1 > 0 tetsz. A K rányossági tényező tehát megoldásbn kitevő szorzój lesz. 16

17 10. Differenciálegyenletek/2. 1. Másodrendű lineáris KDE. Ún. állndó együtthtós homogén egyenletekkel fogllkozunk: (H) y (t) + by (t) + cy(t) = 0, hol, b, c R állndók, 0. (A modellekben t időt jelent.) () Az áltlános megoldás A megoldások szerkezete. Áll. Legyen y 1 és y 2 (H) egyenlet két független megoldás, zz nem egymás konstnsszorosi. Ekkor (H) áltlános megoldás: y = c 1 y 1 + c 2 y 2 (c 1, c 2 R tetszőleges). A megoldások előállítás. Tekintsük z (K) λ 2 + bλ + c = 0 ún. krkterisztikus egyenletet (másodfokú). (i) H (K)-nk két vlós gyöke vn, λ 1 és λ 2, kkor y(t) = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t (ii) H (K)-nk egy vlós gyöke vn, λ, kkor y(t) = c 1 e λt + c 2 te λt (c 1, c 2 R tetsz.) (c 1, c 2 R tetsz.) (iii) H (K)-nk nincs vlós gyöke, kkor két komplex gyök vn: λ 1,2 := α ± iβ. Ekkor vlós értékű megoldások (b) Példák ( rezgések elméletéből) Hrmonikus rezgőmozgás. y(t) = c 1 e αt cos βt + c 2 e αt sin βt (c 1, c 2 R tetsz.). Több modellben (rugó, ing) kitéréssel rányos ellenerő ht, így mozgásegyenlet: my (t) = Dy(t), hol m, D > 0 dott állndók. Átrendezve my (t) + Dy(t) = 0. (i) Az áltlános megoldás. Krkterisztikus egyenlet: (K) mλ 2 + D = 0, D gyökei: λ 1,2 = ±i = ±iω, hol ω := D (ún. frekvenci), m m megoldás: y(t) = c 1 cos ωt + c 2 sin ωt (c 1, c 2 R tetsz.) Megj.: mg z egyenlet is átírhtó frekvenciávl: y (t) + ω 2 y(t) = 0. 17

18 (ii) A megoldás más lkji. Írjuk fel (c 1, c 2 ) R 2 pontokt polárlkbn: c 1 = A cos ϕ 0, c 2 = A sin ϕ 0, hol A 0 és ϕ 0 [0, 2π). Ekkor y(t) = A cos ϕ 0 cos ωt + A sin ϕ 0 sin ωt = A cos(ωt ϕ 0 ) (ddíciós tételből), zz: y(t) = A cos(ωt ϕ 0 ) (A 0, ϕ 0 [0, 2π) tetsz.) Ez tehát egy periodikus rezgés; z A mplitúdó és ϕ 0 fáziseltolódás tetsz. lehet, de z ω frekvenciát z egyenlet meghtározz. További lk: mivel sin- és cos-hullámok egymás időbeli eltoltji, y(t) = A sin(ωt θ 0 ) (A 0, θ 0 [0, 2π) tetsz.) Megj.: ezek z új lkok más egyenletekre is bejönnek, h (K) gyökei komplexek, hisz ekkor y(t) = e αt (c 1 cos βt + c 2 sin βt) = Ae αt cos(βt ϕ 0 ). Csillpított rezgőmozgás. Súrlódás is ht, így mozgásegyenlet: my (t) = Dy(t) sy (t), hol m, D, s > 0 dott állndók. Átrendezzük és osztunk m-mel, legyen s m =: 2k és ω mint fent, ekkor y (t) + 2ky (t) + ω 2 y(t) = 0. Krkterisztikus egyenlet: λ 2 + 2kλ + ω 2 = 0, gyökei: λ 1,2 = k ± k 2 ω 2. Esetek: (i) Kis csillpítás: k < ω. Gyökök: λ 1,2 = k ±i ω 2 k 2 C (α = k és β = ω 2 k 2 ). Ekkor korábbik lpján y(t) = Ae kt cos( ω 2 k 2 t ϕ 0 ). Ez is rezgés, de mplitúdój Ae kt, mi 0-hoz trt ("lecseng"). (ii) k = ω eset. Gyök: λ = k egyszeres, y(t) = c 1 e kt + c 2 te kt. (iii) Ngy csillpítás: k > ω. Gyökök: λ 1,2 = k ± k 2 ω 2 vlósk, így y(t) = c 1 e λ1t + c 2 e λ2t. A (ii)-(iii) esetekben nincs rezgés. 18

19 11. Differenciálegyenletek/3. I. Fáziskép: másodrendű KDE megoldásink ábrázolás Ebben fejezetben x(t) jelöli megoldást és ẋ(t) deriváltját (fiziki trdíció). 1. A fáziskép és fázissík foglm. Cél: ábrázolni KDE összes x(t) megoldását; láthtó legyen x(t) és ẋ(t) kpcsolt. Fázissík: A sík, x-nek és ẋ-nk elnevezett tengelyekkel. Ezen megoldások x(t) értékeit és ẋ(t) deriváltjit tüntetjük fel, zz z (x(t), ẋ(t)) pontokt, hol t változik: egy megoldáshoz így egy görbét rendelünk. Fáziskép: A fentiekben kpott görbék összessége (görbesereg), h z összes megoldást szerepeltetjük. 2. A hrmonikus rezgőmozgás fázisképe. () Péld. H m = 1 és D = 1, kkor z egyenlet: ẍ(t) + x(t) = 0. Ekkor ω = 1, így z áltlános megoldás: ennek deriváltj: (hol A 0, x(t) = A cos(t ϕ 0 ), ẋ(t) = A sin(t ϕ 0 ) ϕ 0 [0, 2π) tetsz.) A fáziskép. Adott megoldásnál hol vnnk z (x(t), ẋ(t)) pontok? Észrevétel: x(t) 2 + ẋ(t) 2 = A 2 = állndó. Így z egyes megoldásokhoz trtozó görbék körvonlk. (b) Az áltlános eset, energimegmrdás. Az egyenlet: mẍ(t) + Dx(t) = 0. Ekkor z egyes megoldásokhoz trtozó görbék most ellipszisek: 1 2 Dx(t) mẋ(t)2 = állndó. Itt második tg mozgási energi; z első tg rugóvl mozgtott test esetén rugóenergi, ing esetén (mikor D = mg ) helyzeti energi. Az összeg l állndóság tehát z energimegmrdást fejezi ki. A fázisképen láthtó görbék energiszintek, vizsgált test mozgás rögzített energiszinten történik. II. Két egyszerűbb prciális differenciálegyenlet (PDE). PDE: többváltozós függvényt keresünk. Gykori eset: z egyik változó z idő (t), többi térbeli helyzet (térváltozó, pl. h csk egy vn: x; lehet több is, x, y stb.) 19

20 1. A rezgő húr egyenlete (egy térváltozós hullámegyenlet). Jelölje t z időt, x egy húr pontjit, és u(x, t) húr kitérését rezgés során z x pontbn és t időpillntbn. H nincs külső erő, levezethető, hogy z u függvény teljesíti z lábbi egyenletet: (R) 2 t u(x, t) = v 2 2 xu(x, t), hol v > 0 állndó. Ennek áltlános megoldás: 2. A hővezetés egyenlete. u(x, t) = f(x vt) + g(x + vt). Jelölje ismét t z időt, x egy rúd pontjit, de most u(x, t) hőmérsékletet z x pontbn és t időpillntbn. H nincs külső hőforrás, levezethető, hogy lklms mértékegységgel (HV) Nevezetes megoldások: t u(x, t) = 2 xu(x, t). u(x, t) = e k2t cos kx és u(x, t) = e k2t sin kx (k R állndó). 20