ELŐADÁS. 1. Az egyváltozós differenciálszámítás alkalmazásai I. Két nevezetes tétel típusú" limesz kiszámí-

Átírás

1 ELŐADÁS 2. félév 1. Az egyváltozós differenciálszámítás lklmzási I. Két nevezetes tétel típusú" limesz kiszámí- 1. A L Hospitl-szbály. (Htárértékszámítási problém: " 0 0 tás.) Legyenek f, g : I R dott differenciálhtó függvények egy I intervllumon. f Legyen I, melyre f() = g() = 0. Ekkor lim g f információból, hiszen lim = lim f = f() g lim g g() lenne, de z értelmetlen. nem számíthtó ki ennyi Tétel. H fentiek mellett még létezik lim f és lim g, és z utóbbi nem 0, kkor lim f g = lim f g. Megj.: z utóbbi már kiszámíthtó: lim f g = lim f lim g, hisz nevező nem 0. Biz. vázlt, feltéve, hogy f és g folytonos -bn. Itt f(x) és g(x) elsőfokú Tylor-polinomjuk, és hib elsőrendben 0-hoz trt. Így f(x) lim = lim f()+f ()(x ) = f () = lim f f x g(x) x g()+g ()(x ) g () lim = lim. g g Megj.: tétel kkor is igz, h =, vgy limesz " típusú". 2. A Lgrnge-féle középértéktétel. (Biz. nélkül) Legyen f differenciálhtó egy I intervllumon,, b I. Ekkor ξ (, b), hogy f(b) f() b = f (ξ). Szemléletesen: vn olyn érintő, mely párhuzmos z, b-hez trtozó szelővel. II. Szélsőértékszámítás és függvényvizsgált 1. Szélsőértékek. Foglmk. Def. Egy R pont környezete olyn J nyílt intervllum, melyre J. Def. Egy f : R R függvénynek lokális minimum vn -bn, h -nk vn olyn J környezete, melyre f() f(x) x J. Hsonlón:... lokális mximum vn... h f() f(x) x J. Ilyenkor z pont neve: lokális minimumhely/mximumhely. Def. Egy f : R R függvénynek globális minimum vn -bn egy H hlmzr nézve, h f() f(x) x H. Hsonlón:... globális mximum vn... h f() f(x) x H. H nem mondunk H hlmzt: "globális minimum"= z összes függvényérték minimum (zz H = R). Szélsőérték = minimum vgy mximum (lok./glob. esetben is mondjuk). 1

2 Mi kpcsolt lokális és globális szélsőérték foglm közt? Minimumr nézzük meg, mximumr hsonló. (i) lokális minimum globális minimum (rjz: több különböző lok. min.) (ii) h belső pontj H-nk: globális minimum H-n lokális minimum. Tehát csk belső pont volt mitt lehet különbség: h nem belső pontj H-nk: globális minimum H-n lokális minimum. (Rjz is: h nem belső pont, kkor nem is lehet körülötte környezet.) Láthtó tehát: h H = [c, d] intervllum, kkor globális minimumhely kétféle lehet: vlmelyik végpont; lokális minimumhely. Ezek keresésével fogunk fogllkozni. h H = R, kkor nem mindig vn globális minimum (rjz). A szélsőérték szükséges feltétele. Tétel. H f differenciálhtó -bn és ott lokális szélsőértéke vn, kkor f () = 0. Biz. Pl. minimumr, ekkor f(x) f() 0 ( x J) egy J környezetben. f(x) f() Ezért különbségi hánydos J-beli értékeire 0 -tól jobbr és 0 x -tól blr, így -bn htárértéke (mi f ()) csk 0 lehet. Szemléletesen (rjz): lokális szélsőértéknél z érintő csk vízszintes lehet. Megj.: z f () = 0 feltétel nem elégséges: pl. f(x) := x 3 -nek 0-bn nincs szélsőértéke, bár f (0) = 0. További feltételekkel kiegészítve már elégséges lesz. 2. Monotonitás. Foglmk (ismétlés). Egy f : R R függvény z I intervllumon szigorún növő, h, b I esetén fennáll: < b f() < f(b), szigorún csökkenő, h f() > f(b). Feltétele derivált lpján. Tétel. Legyen f differenciálhtó egy I intervllumon. H f (x) > 0 ( x I) f szigorún növő I-ben. H f (x) < 0 ( x I) f szigorún csökkenő I-ben. Biz. Pl. növőre. Legyen < b, cél: f() < f(b). A Lgrnge-középértéktétel és z f > 0 feltétel lpján ξ I, hogy f(b) f() b = f (ξ) > 0, így f(b) f() > 0. Megj.: z f (x) > 0 feltétel nem minden I-beli pontbn szükséges, pl. f(x) := x 3 szigorún növő R-en, bár f (0) = 0. (Rjz.) Következmény: lokális szélsőérték elégséges feltétele z 1. deriválttl Állítás. Legyen f () = 0. H f előjelet vált -bn (zz előtte és után +, vgy előtte + és után egy környezetében), kkor f-nek lokális szélsőértéke vn -bn. Biz. Az első esetben f z előtt csökken és után nő, így lok. minimum vn, második esetben f z előtt nő és után csökken, így lok. mximum vn. 2

3 3. Függvényvizsgált z első derivált segítségével. Legyen f : R R differenciálhtó, és f zérushelyei c 1, c 2,..., c n. Az ezek közti intervllumokbn f állndó előjelű, így f szigorún monoton. A c i pontokbn szerint vn vgy nincs lokális szélsőérték, hogy f előjelet vált vgy sem. Ezekből megdhtók f növekedési viszonyi és lokális szélsőértékei. 4. A lokális szélsőérték elégséges feltétele második deriválttl. Tétel. Legyen f kétszer differenciálhtó -bn, és f () = 0. H f () > 0 f-nek lokális minimum vn -bn. H f () < 0 f-nek lokális mximum vn -bn. Péld (biz. helyett): (i) f(x) := x 2 f (0) = 0 és f (0) = 2 > 0 lok. min. (ii) f(x) := x 2 f (0) = 0 és f (0) = 2 < 0 lok. mx. Megj. Ebből feltételből monotonitás vizsgált nélkül megkpjuk szélsőértéket. 3

4 2. Integrálszámítás egy változóbn/1. I. Htároztln integrál (primitív függvény). Alpgondolt: eddig megtnultunk deriválni: f f. Most visszfelé csináljuk: dott függvény minek deriváltj? 1. Alpfoglmk és tuljdonságok. Itt mindvégig legyen I egy intervllum. Def. Legyen f : I R. Azt mondjuk, hogy F primitív függvénye f-nek, h F = f. Azz, h F (x) = f(x) x I. Péld: f(x) := cos x-nek F (x) := sin x primitív függvénye z egész R-en. Problém: dott f-nek csk egy primitív függvénye lehet? Nem: pl. h f 0 konstns, kkor bármely c konstnsr F c jó lesz, hiszen F 0. Más viszont nem lehet, zz: h F (x) = 0 x I, kkor F c állndó. (Ui. h, b I, kkor Lgrnge-középértéktétel lpján ξ I, hogy F (b) F () b = F (ξ) = 0 F (b) F () = 0 F () = F (b).) Alptétel ( primitív függvény egyértelműsége dditív konstns erejéig). Legyen I intervllum, f : I R és F egy primitív függvénye f-nek. Ekkor f bármely primitív függvénye előáll F + c lkbn, hol c R állndó. Biz. Legyen G másik primitív függvény. Biz.-ni kell: G = F + c vlmely c-re, zz G F c. Itt (G F ) = G F = f f = 0, így z előbbi tuljdonságot (G F )-re lklmzv épp zt kpjuk, hogy G F c. Jelölés: H f : I R, kkor f(x) dx z áltlános primitív függvény, f ún. htároztln integrálj. Azz, h F = f, kkor f(x) dx = F (x) + c (c R). Péld: f(x) := cos x primitív függvényei sin x + c lkúk (hol c R állndó). Tehát cos x dx = sin x + c. Megjegyzés: c-től eltekintve htároztln integrálás deriválás fordítottj (visszirányú művelet függvényeken). 2. Kiszámítás. (i) Elemi függvényekre: deriválttáblázt "visszfelé". (ii) Műveletek. Összeg és k-szoros: (f + g) = f + g; kf = k De: áltlábn (f g) f g, és hánydosr sem!! f, h k R. 4

5 (iii) Két integrálátlkító módszer (néh egyszerűbb lkr hozzák feldtot). Prciális integrálás: f g = fg fg. Biz.: Ez kkor igz, h két oldl deriváltj megegyezik. Deriváljunk: z jelek eltűnnek, így f g = (fg) fg, mi igz (átrendezve z (fg) szbály). Helyettesítéses integrálás: f(x) dx = f(g(t)) g (t) dt g(t)=x hol g szigorún monoton, diff.-htó függvény. Biz.: A bl oldl F (x) + c, hol ( F = f. Ez x = g(t) esetén F (g(t)) + c, mi vlóbn jobb oldl, hiszen F (g(t)) + c) = F (g(t)) g (t) = f(g(t)) g (t). II. Htározott integrál (Riemnn-integrál). Motiváló problém: ki tudjuk számítni tégllp területét, és ebből még egyes átdrbolássl kphtó lkztokét is (háromszög, sokszög). Mekkor viszont egyéb lkztoké, pl. x [1, 2] esetén z y = x 2 prbol ltti terület? Alpgondolt: tégllpok uniójávl közelítjük z lkztot, és egyre "finombb" közelítést veszünk. (Rjz.) 1. A Riemnn-integrál foglm. f : [, b] R folytonos függvény esetén értelmezzük. Szükséges foglmk: Def. Az I = [, b] intervllum felosztásánk hívunk bármely olyn τ := {x 0, x 1,..., x n } ponthlmzt, melyre n N + és = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b. A hlmz elemeit osztópontoknk hívjuk. (Rjz.) Def. H τ dott felosztás, kkor k = 1,..., n esetén x k := x k x k 1 (ez k-dik I k részintervllum hossz). A felosztás finomság: F(τ n ) := mx x k (zz legngyobb részintervllum hossz). Def. (Drboux-féle lsó és felső közelítő összeg.) H τ dott felosztás, kkor s(f, τ) := n min f x k és S(f, τ) := n mx f x k. k=1 I k k=1 I k (Rjz: grfikon lá/fölé írt tégllpok uniójánk területe.) Az integrál közelítő összegek lklms htárértéke lesz, h felosztást finomítjuk: Tétel. Bármely f : [, b] R folytonos függvényhez létezik egyetlen I R szám z lábbi tuljdonsággl: h (τ n ) dott felosztások olyn sorozt, melyre lim F(τ n) = 0 (zz felosztásokt minden htáron túl finomítjuk), kkor n lim s(f, τ n ) = lim S(f, τ n ) = I. (Biz. nincs.) Szemléletesen: közelítő összegek lulról és felülről is görbe ltti területhez trtnk. Def. f Riemnn-integrálj tételbeli I szám. Jelölés: változó nélkül b f = I, változóvl b f(x) dx = I. 5

6 2. Értelmezés áltlánosbb közelítő összegekkel Az I k = [x k 1, x k ] részintervllumokon minimum és mximum helyett bármely függvényérték vehető, dott u k I k pontokbn. Ekkor s(f, τ) és S(f, τ) helyére lép Def. Riemnn-féle közelítő összeg: R(f, τ) := n f(u k ) x k. Ezek is z integrálhoz trtnk, h felosztásokt minden htáron túl finomítjuk: Tétel. H (τ n ) dott felosztások olyn sorozt, melyre lim F(τ n ) = 0, kkor n lim R(f, τ n ) = Biz. Mivel mindegyik felosztás minden részintervllumán min f f(u k ) mx f, I k I k így s(f, τ n ) R(f, τ n ) S(f, τ n ). Itt két szélső kifejezés trt z integrálhoz (I-hez), így rendőrelv mitt középső is trt I-hez. Megjegyzés. Az "integrál" szót és b f. k=1 jelet két, látszólg független dologr hsználtuk. Kpcsoltuk (mi könnyebb kiszámítási módszert is d): következő elődás. 6

7 3. Integrálszámítás egy változóbn/2. I. A htározott integrál kiszámítás. 1. Az integrálszámítás lptétele (Newton-Leibniz-szbály). Ez teremt egyben kpcsoltot kétféle (htároztln és htározott) integrál közt. Tétel. Legyen f : [, b] R folytonos. H F egy primitív függvénye f-nek, kkor b f(x) dx = F (b) F (). Biz. Legyen (τ n ) dott felosztássorozt. Ennek = x 0 < x 1 <... < x n 1 < n ( ) ( ) ( x n = b osztópontjir F (x k ) F (x k 1 ) = F (x n ) F (x n 1 ) + F (x n 1 ) ) ( k=1 ) F (x n 2 ) F (x 1 ) F (x 0 ) = F (x n ) F (x 0 ) = F (b) F (). Másrészt, Lgrnge-középértéktételből lklms u k I k pontokr n ( ) F (x k ) F (x k 1 ) = n F (u k )(x k x k 1 ) = n f(u k ) x k = R(f, τ n ). k=1 k=1 Így R(f, τ n ) = F (b) F () konstns sorozt, és k=1 b f = lim R(f, τ n ) = F (b) F (). Jelölés: [ ] b F := F (b) F () (z F megváltozás és b közt). Ezzel: b f(x) dx = [ F ] b. 2. Műveletek, integrálátlkító módszerek b b Összeg és k-szoros: (f + g) = f + k R. (De: áltlábn szorztr és hánydosr nem!) Prciális integrálás: b b f g = [ fg ] b b fg Helyettesítéses integrálás. Módosul z intervllum: g; b kf = k b h g szigorún monoton, diff.-htó függvény, = g(c) és b = g(d), kkor b f(x) dx = d c f(g(t)) g (t) dt. II. A htározott integrál jelentése, lklmzási. 1. Görbe ltti terület (pozitív értékű függvény esetén): lásd motiváló péld. f, h 7

8 2. "Végtelen összegzés". H egy f függvény véges sok értékét súlyozv összegezzük, hol súlyok részintervllumok hosszi, kkor egy n f(u k ) x k Riemnn-összeget kpunk. Itt n f(u k ) x k k=1 összegzését fejezi ki. Ilyen szituációk pl.: b k=1 f(x) dx, így z integrál függvényértékek pontos Fizikábn: egy összmennyiség megfelelő sűrűség integrálj. Pl: tömeg sűrűségé, z össztöltés töltéssűrűségé. A függvény átlg: 1 b b f(x) dx. A Newton-Leibniz-szbály ebben z értelmezésben: z F függvény pontbeli megváltozásink (=z F (x)-eknek) -tól b-ig vló összegzése (=integrálj) kidj z F teljes megváltozását -tól b-ig. 3. Grfikon ívhossz (itt is f : I R, és legyen f folytonos). Rjz: közelítő összegek n b 1 + f (x k ) 2 x k, így z ívhossz 1 + (f (x) 2 dx. k=1 Péld: Egy felfüggesztett kötél lkj (ún. láncgörbe): y = f(x) := 1 ch (kx) + d, k h z y tengelyt vesszük szimmetritengelynek. Itt k, d > 0 állndók, x [ l, l]. Ekkor f (x) = sh (kx), így z ívhossz l l [ 1 ] 1 + sh 2 l (kx) dx = ch(kx) dx = k sh(kx) = 1 k (sh(kl) sh( kl)) = 2 k sh(kl). l III. Improprius integrál. l Alpproblém: h görbe ltti trtomány nem korlátos, lehet-e véges területe? (A végtelen sorok nlógiájár?) Példák: (i) f(x) := 1 x 2, x [1, + ); (ii) f(x) := 1 1 x, x [0, 1). Def. Legyen I = [, b), hol b R vgy b = +. Legyen f : I R folytonos, és F egy primitív függvény. Azt mondjuk, hogy f impropriusn integrálhtó I-ben, h lim x b F (x) és véges, és ekkor b f(x) dx := lim Megj.: jobb oldlt most is [ F ] b -vl jelöljük. Példák: (i) (ii) x 2 dx = [ 1 x 1 dx = 1 x 1 0 ]+ 1 [ 1 ]+ ( = = x 1 l x b x lim x + (1 x) 1 2 dx = [ 2(1 x) f(x) dx = lim x b F (x) F (). 1 ) x 1 = (0 1) = 1. ] 1 0 ( ) = 2 (1 1) (1 0) 2 = 2.

9 Észrevétel: itt véges intervllumon megúsztuk limesszámolást, mert ez mgától helyettesítési érték. Ez tehát ugynz, mint z eredeti N.-L.-szbály. H z pont nincs I-ben, kkor hsonló definíció: f : (, b] R esetén f : (, b) R esetén b b f(x) dx := F (b) lim F, f(x) dx := lim b F lim F. 9

10 4. Többváltozós differenciálszámítás/1. I. Többváltozós függvények értelmezése, szemléltetése Áltlános lk: f : R n R m (zz D f -ben és R f -ben is lehetnek számok helyett vektorok) (Emlékeztető: jel zt jelenti, hogy D f R n, lehet = is.) 1. Fő esetek (mindegyikben n = 2 vgy 3, zz R n sík vgy tér): f : R n R számértékű mennyiséget (pl. hőmérséklet, nyomás) rendelünk egy trtomány pontjihoz f : R n R n vektormező, pl. erőtér (grvitációs, mágneses stb.) f : R R n pl. tömegpont mozgás (mit befut: görbe) 2. Szemléltetés Áltlábn nehéz. H n = 2: f : R 2 R: grfikonjávl (felület) vgy szintvonlkkl. Pl. tengerszint feletti mgsság, mint függvény. f : R 2 R 2 : egyes vektorokkl ( ármvonlk) f : R R 2 : görbével, mit f(t) befut 3. Többdimenziós környezet és belső pont foglm. Def. Egy R n pont környezete egy középpontú, vlmilyen r > 0 sugrú gömb. Az pont egy H R n hlmznk belső pontj (jelölés: inth), h H trtlmzz egy környezetét. (Deriválthoz és szélsőértékhez kell.) II. Prciális derivált Bevezető péld. Gáztörvény: p = c T, hol c állndó. Mekkor p nyomás pillntnyi változás, h V csk T hőmérsékletet változttjuk, de V térfogt állndó? csk V térfogtot változttjuk, de T hőmérséklet állndó? Itt p(t, V ) = c T V kétváltozós függvény. 1. Prciális derivált z f : R 2 R esetben A prciális derivált értelmezése. Def. Egy f : R 2 R függvény első változó szerinti prciális deriváltj egy (, b) intd f pontbn: f(x,b) f(,b) 1 f(, b) := lim, x x h ez limesz létezik és véges. Azz, z x f(x, b) függvényt deriváljuk z x = helyen. (Más gykori jelölések: 1 f helyett x f vgy f, zz változóvl indexeljük.) x 10

11 Hsonlón: második változó szerinti prciális derivált f(,y) f(,b) 2 f(, b) := lim, y b y b h ez létezik és véges. Azz, z y f(, y) függvényt deriváljuk z y = b helyen. (Más gykori jelölések: y f vgy f.) y Def. Prciális deriváltfüggvény: h z f : H R függvényre létezik 1 f(u, v) H R 2 hlmz minden (u, v) pontjábn, kkor z (u, v) 1 f(u, v) függvény jelölése 1 f : H R. (Hsonló 2 f-re.) A prciális derivált kiszámítás. A megfelelő változó szerint deriválunk, másik változót konstnsnk tekintjük. (Rögtön deriváltfüggvényre.) Példák: (i) f(x, y) := x 3 sin y 1 f(x, y) = 3x 2 sin y, 2 f(x, y) = x 3 cos y. (ii) (A bevezető.) p(t, V ) = c T V T p(t, V ) = c V, V p(t, V ) = c T V Más dimenziók. H f : R n R: fentihez hsonlón megy, z i-edik változó (zz x i ) szerinti i f(x 1,..., x n ) prciális deriválthoz z x i változót mozgtjuk és e szerint deriválunk. (Más jelölések: xi f vgy f x i.) ( ) H f : R n R m : itt x R n esetén f(x) = f 1 (x),..., f m (x). Ekkor z f 1,..., f m ún. koordinátfüggvények számértékűek, így ezeket lehet prciálisn deriválni. Péld: f : R 2 R 2, f(x, y) := (xy, x 2 + y 2 ). Itt pl. f 2 (x, y) = x 2 + y 2, és 1 f 2 (x, y) = 2x. 3. Második prciális derivált. Legyen f : R n R. H vlmelyik i f : R n R prciális deriváltfüggvénynek mgánk is vn j-edik prciális deriváltj egy pontbn, kkor ezt j i f()-vl jelöljük (második prciális derivált) egy H hlmzon, kkor j i f : H R ( " függvény) H i = j, kkor i i f helyett 2 i f szokott jelölés. (Vigyázt, ez ( i f) 2!) Péld: f(x, y) := x 3 sin y 1 f(x, y) = 3x 2 sin y 2 1f(x, y) = 1 1 f(x, y) = 6x sin y. III. Derivált (Jcobi-mátrix, grdiens) 1. Értelmezése Először egy fontos foglom (ezentúl ezt hsználjuk): Def. f C 1 (R n, R m ), h f : R n R m, és i = 1,..., m, j = 1,..., n esetén j f i prciális deriváltfüggvények léteznek és folytonosk R n -en. Def. H f C 1 (R n, R m ), kkor f deriváltj egy R n pontbn z 1 f 1 () 2 f 1 ()... n f 1 () { } f 1 f 2 () 2 f 2 ()... n f 2 () () := j f i () = i=1,...,m j=1,...,n f m () 2 f m ()... n f m () 11

12 m n-es mátrix. Neve: f Jcobi-mátrix -bn. Speciálisn, h f számértékű (zz m = 1), kkor sormátrixot kpunk, mit vektornk tekintünk: f () = ( 1 f(), 2 f(),... n f() ), ennek neve f grdiense -bn. Gykrn f () helyett f()-vl jelöljük. 2. Jelentése közelítés szempontjából. Érvényes z 1-dimenziós eset nlógiáj: h h 0, kkor f( + h) f() + f ()h =: l(h). Itt, h R n, f(), f(+h) R m, f ()h mátrix-vektor-szorzás, így l : R n R m inhomogén lineáris függvény, mely f-et közelíti z pont körül. A derivált segítségével dhtó meg tehát most is z f lineáris közelítése. 3. Geometrii jelentés z f : R 2 R esetben: Prciális derivált: 1 f( 1, 2 ) értéke z ( 1, 2 ) pontbn felülethez z x irány fölött húzott érintő meredeksége (rjz). (Másképp: z f függvény ( 1, 2 ) pontbeli "pillntnyi" változás, h csk x-et mozgtjuk.) 1 f( 1, 2 ) értéke: ugynez y iránybn. Derivált (grdiens): z f () áltl meghtározoztt l lineáris közelítő függvény grfikonj z = ( 1, 2 ) ponthoz trtozó érintősík ennek z érintősíknk z x, y koordináták irányú meredekségei 1 f() és 2 f(). Ismeretes, hogy z ezekből képzett vektor (zz most f() = ( 1 f(), 2 f()) grdiensvektor) zt z irányt dj meg, merre legmeredekebb z emelkedés. Ez zt is jelenti, hogy merőleges szintvonlkr. Hsonlón, f() iránybn legmeredekebb lejtés, erre folyik le víz egy lejtőn. 12

13 I. Második derivált 5. Többváltozós differenciálszámítás/2. Bevezetés. Egy dimenzióbn könnyen tudtuk értelmezni egy függvény második deriváltját. Ez hsznos volt szélsőértékszámításbn, ill. korábbn függvény pontosbb közelítésében: f( + h) f() + f ()h + f () h 2 (2.-fokú Tylor-polinom). 2 Most többváltozós esetben értelmezzük, de csk számértékű függvényre. Legyen tehát f : R n R. 1. Előzetes foglmk H f : R n R differenciálhtó, kkor z f (x) = ( 1 f(x), 2 f(x),..., n f(x)) deriváltkt R n -beli vektoroknk tekintjük, így értelmes z f : R n R n deriváltfügvény. (Fontos: f tehát már nem számértékű!) A 2. derivált z f első deriváltj lesz. Felírásához kellenek második prciális deriváltk, mikkel előbb bevezetünk korábbivl nlóg jelölést: Def. f C 2 (R n, R), h i, j = 1,..., n esetén j i f prciális deriváltfüggvények léteznek és folytonosk R n -en. 2. A második derivált értelmezése Def. H f C 2 (R n, R), kkor f második deriváltj egy R n pontbn z 1f() f()... n 1 f() { } f 1 2 f() 2f() 2... n 2 f() () := j i f() = i=1,...,n. j=1,...,n n f() 2 n f()... nf() 2 n n-es négyzetes mátrix. (Neve: f Hesse-mátrix -bn.) Megj.: Erre vlóbn fennáll definíciókból, hogy f () := (f ) (). 3. A második derivált szimmetriáj Számít-e prc. deriválások sorrendje? Péld. H f(x, y) := x 3 sin y: 1 f(x, y) = 3x 2 sin y, 2 1 f(x, y) = 3x 2 cos y; 2 f(x, y) = x 3 cos y, 1 2 f(x, y) = 3x 2 cos y. Young-tétel. H f C 2 (R n, R), kkor j i f = i j f ( i, j). (Biz. nincs.) Azz, z f () mátrix főátlór szimmetrikus elemei megegyeznek. II. A többváltozós derivált lklmzási 1. Közelítés Tylor-polinomml (i) Elsőfokú közelítés. Láttuk z első deriváltnál f legjobb lineáris közelítését: h h 0, kkor 13

14 f( + h) f() + f ()h. (Ezek most vektorok.) Az 1D esethez hsonlón: jobb oldli kifejezés neve elsőfokú Tylor-polinom, jelölése T 1 ( + h). (ii) Másodfokú közelítés. Mi lesz h 2 helyett? Def. Egy n n-es A mátrix kvdrtikus lkj: Ah h (h R n ). (Értelmes: z Ah és h R n -beli vektorok sklárszorzt.) Ennek segítségével: h h 0, kkor f( + h) f() + f ()h + 1 f ()h h. 2 Az 1D esethez hsonlón: jobb oldli kifejezés neve másodfokú Tylor-polinom, jelölése T 2 ( + h). Ez f( + h) legjobb másodfokú közelítése. 2. Szélsőértékszámítás Jó tuljdonság: megfelelő foglmkkl mjdnem minden nlóg z 1D esettel! (Kivéve monotonitást, mi itt értelmetlen.) (i) Foglmk. A derivált előtt értelmeztük többdimenziós környezeteket (egy R n pont környezete egy középpontú G gömb). Ezzel szélsőérték foglm ugynz, pl.: Def. Egy f : R n R függvénynek lokális minimum vn -bn, h -nk vn olyn G környezete, melyre f() f(x) x G. Megj. Szemléltetés térképen: lok. mx.= hegycsúcs, lok. min.= gödör (dolin) lj. (ii) Feltételek. Tétel. H egy f C 1 (R n, R) függvénynek lokális szélsőértéke vn -bn, kkor f () = 0 ( nullvektor), zz i f() = 0 ( i = 1,.., n). Megj. Szemléltetés: z érintősík vízszintes. A második deriváltk előjele helyett sjátértékeik előjele kell: Tétel. Legyen egy f C 2 (R n, R) függvényre f () = 0. H f () sjátértékei > 0 f-nek lokális minimum vn -bn. H f () sjátértékei < 0 f-nek lokális mximum vn -bn. Megj. Többdimenziós jelenség: h f ()-nk vn + és - sjátértéke is, kkor nincs szélsőérték, hnem ún. nyeregpont: egy iránybn minimum és egy másik iránybn mximum vn. III. Primitív függvény több változóbn (potenciál) Mint 1D-bn: problém: dott függvény minek deriváltj? Az lesz primitív függvény; most csk számértékűt keresünk. Gykori neve: potenciál Nem úgy, mint 1D-bn: nem mindig vn ilyen függvény! Két megszorítás is vn: 14

15 Dimenziók: láttuk, hogy egy R n R függvény deriváltfüggvénye R n -be képez. Így csk f : R n R n függvénynek lehet számértékű primitív függvénye. Def. Egy f : R n R n függvénynek F : R n R primitív függvénye, h F = f. Ez most koordinátákkl zt jelenti, hogy i F = f i ( i = 1,.., n). "Ferde szimmetri". H F C 2 (R n, R), kkor Young-tétel szerint j i F = i j F ( i, j), így f sem lehet kármilyen. Éspedig, def. lpján i F = f i és j F = f j, miket behelyettesítve: j f i = i f j. Igzolhtó, hogy ez elégséges is. Mivel itt f : R n R n C 1 -beli, következőt kpjuk: Tétel. Egy f C 1 (R n, R n ) függvénynek pontosn kkor létezik primitív függvénye, h j f i = i f j ( i, j = 1,.., n). F kiszámítás: z egyes változók szerinti integrálássl (gykorlt). Péld. f : R 2 R 2, f(x, y) := (2x, 2y). Ennek F : R 2 R, F (x, y) := x 2 + y ( ) 2 primitív függvénye, hiszen F (x, y) = 1 F (x, y), 2 F (x, y) = (2x, 2y) = f(x, y). Láthtó feltétel teljesülése is: 1 f 2 (x, y) = x (2y) = 0, 2 f 1 (x, y) = y (2x) = 0. 15

16 I. Többváltozós Riemnn-integrál 1. Riemnn-integrál tégllpon. (i) Értelmezése. Legyen T := [, b] [c, d] tégllp, 6. Többváltozós integrál/1 f : T R folytonos függvény. Hogyn értelmezzük grfikon ltti térfogtot? Az 1D esethez hsonlón építjük fel, most csk Riemnn-féle közelítő összegekkel. Felosztás: T tégllpot most kis tégllpokr osztjuk fel rácshálóvl. Jelölje ezeket T kl (k = 1,..., n, l = 1,..., m), hol T két oldlát n ill. m részre bontottuk. Jelölje ezek oldlhosszát x k és y l, ekkor felosztás finomság legngyobb részintervllum hossz: F(τ) := mx( x k, y l ). Közelítő összeg: válsszunk (u k, v l ) T kl pontokt ( k, l), ekkor R(f, τ) := n m f(u k, v l ) x k y m. Jelölés: ezentúl n k=1 l=1 k=1 l=1 m helyett csk. k,l Az integrál közelítő összegek htárértéke lesz, h felosztást finomítjuk. Azz, f z szám, melyre z lábbi teljesül: h (τ n ) dott felosztások olyn T sorozt, melyre lim F(τ n ) = 0, kkor n lim R(f, τ n ) = Jelölése változókkl: T f(x, y) dx dy. Rjzon: kis oszlopok térfogtink összegével közelítjük, és ezt finomítjuk. Gykori jelentése (mint 1D-bn): sűrűségfüggvény összegzése. T f. (ii) Kiszámítás. Két egyváltozós integrálll lehet, formálisn egyszerűen helyett Tétel. f(x, y) dx dy = T c d b d b T c f(x, y) dx dy, hol z utóbbi jelentése: írndó: először kiszámítjuk belső tekintve); b f(x, y) dx integrált x szerint (y-t konstnsnk z eredmény y függvénye, ezt integráljuk y szerint c-től d-ig. 16

17 Megj: fordított sorrendben is lehet (x és y szerepcseréjével). 2. Riemnn-integrál más trtományon. (i) Téglán: h T := [, b] [c, d] [e, f] tégltest, kkor fentiekkel teljesen nlóg módon járunk el. Kiszámítás: három egyváltozós integrálll. (ii) Más trtományon (pl. körlp, gömb, sokszög): h H R n (n = 2 vgy 3) ilyen trtomány, kkor belefoglljuk egy T H tégllpb/tégltestbe és T -t osztjuk fel. A közelítő összegekben viszont csk zon T kl -ek szerepelnek, melyeknek vn közös részük H-vl. Fontos péld: konstns integrálj. Tekintsük fenti trtományok vlmelyikét pl. síkon, zz ekkor H R 2. Mennyi 1 dx dy? Írjuk fel közelítő összeget dott T kl kis tégllpok esetén! Ekkor mindig f(u k, v l ) = 1; egyszerűség kedvéért jelölje T kl := x k y m T kl területét. Ebből R(f, τ) = k,l H f(u k, v l ) T kl = k,l T kl zon kis tégllpok területösszege, melyeknek vn közös részük H-vl. A felosztás finomításávl ez trt H területéhez (biz. nincs, csk szemlélet). Azz: 1 dx dy = A(H) (H területe). H (Rjz: H fölötti konstns 1 grfikon ltti térfogt V = A(H) 1.) II. Felületi integrál 1. Sim felületek. Def. Legyen T R 2 tégllp, h C 1 (R 2, R 3 ), és S R 3 olyn hlmz, melyre h bijekció T és S között. Ekkor S-et sim felületnek hívjuk (minden pontjábn vn érintősík). 2. A felszín értelmezése sim felületre. Tekintsük T egy τ felosztását kis T kl tégllpokr, ezek képe S-en egy görbe vonlú rácsháló. E háló elemeit helyettesítsük olyn P kl prlelogrmmákkl, melyek oldli érintővektor irányúk, hosszuk = két görbe oldl ívhossz. Jelölje P kl területét A kl, ekkor felszín közelítő összege: R(S, τ) := k,l A kl. Def. Az S sim felület felszíne z z A(S) szám, melyre z lábbi teljesül: h (τ n ) dott felosztások olyn sorozt, melyre lim n F(τ n ) = 0, kkor lim R(S, τ n ) = A(S). 17

18 3. Felületi integrál. Legyen f : S R folytonos függvény. Tekintsük fenti eljárást, és válsszunk y kl pontokt T kl tégllpok képéből. Legyen Def. S R(f, S, τ) := f(y kl ) A kl. k,l f da z szám, melyre z lábbi teljesül: h (τ n ) dott felosztások olyn sorozt, melyre lim F(τ n ) = 0, kkor n lim R(f, S, τ n ) = S f da. Jelentése: sűrűségfüggvény összegzése, pl. felület össztömege/össztöltése. Példák. (i) Konstns integrálj. Hsonlón, S S H f 1, kkor 1 da = lim k,l A kl = A(S). c da = c A(S), h c R állndó. (ii) Gömbfelszín. Tekintsük felszínt értelmező eljárást egy R sugrú gömbre. Ekkor görbe vonlú rácsháló "hosszúsági és szélességi körökből" áll. Ezen láthtó, hogy két görbe oldl ívhossz: R θ k és R cos θ k φ l. Így A kl ezek szorzt, és A kl = R 2π π/2 2 cos θ k θ k φ l R 2 cos θ dθ dφ = 4R 2 π. k,l k,l 0 π/2 18

19 I. Vonlintegrál 7. Többváltozós integrál/2; komplex számok 1. Motiváló péld: erő munkáj egy tömegpont mozgtás során. H z f állndó erő és megtett út egyirányúk és egyenes vonlúk, kkor W = fs, hol s z út hossz. Mekkor munk áltlábn: h z út nem egyenes vonlú, és z erő nem egyirányú z úttl? Jelölések: φ : [, b] Rn (n = 2 v. 3) tömegpont pályáját leíró függvény, zz h t befutj z [, b] időintervllumot, kkor közben φ(t) befutj megfelelő görbét. f(φ(t)) R n z erővektor φ(t) pontbn. A munk közelítő kiszámítás. Osszuk fel z [, b] időintervllumot kis részekre = t 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = b osztópontokkl. A [t k 1, t k ] időintervllumbn megtett s k út: tömegpont sebességvektorát közelítőleg z állndó φ (t k ) vektornk vehetjük, így s k φ (t k ) t k, hol t k := t k t k 1. Az ezltt elvégzett W k munk: z erővektort közelítőleg z állndó f(φ(t k )) vektornk vehetjük, ennek munkáj z elmozdulássl vló sklárszorzt, mivel csk párhuzmos komponens számít: W k f(φ(t k )) s k = f(φ(t k )) φ (t k ) t k A teljes munk közelítőleg ezek összege: W n f(φ(t k )) φ (t k ) t k. Észrevétel: kpott összeg t f(φ(t)) φ (t) függvényhez trtozó Riemnnféle közelítő összeg. Így egyre sűrűbb osztópontokkl újból kiszámítv, z összegek htárértéke e függvény integrálj (feltéve f és φ folytonosságát). Innen vesszük definíciót: 2. A vonlintegrál értelmezése Legyen φ : [, b] R n, melyre φ létezik és folytonos [, b]-n, vlmint legyen f : R n R n folytonos függvény. Jelölje Γ φ képét (zz φ(t) pontok összességét, h t [, b]). Szokásos feltevés: φ injektív, zz görbe nem metszi önmgát. Kivétel: megengedhetjük, hogy φ() = φ(b), ekkor Γ-t zárt görbének hívjuk. b Def. f vonlintegrálj Γ mentén: f := f(φ(t)) φ (t) dt. Létezik zonbn egy jóvl egy- Megj.: A definíció egyben kiszámítási képlet is. szerűbb módszer is: Γ k=1 19

20 3. A vonlintegrál kiszámítás Newton-Leibniz-szbállyl Tétel. H f-nek létezik F : R n R primitív függvénye, kkor f = F (φ(b)) F (φ()). Γ Biz.: Visszvezethető z 1-dim. Newton-Leibniz-szbályr. Mivel F = f, így t F (φ(t)) egyváltozós függvény primitív függvénye z integrndusnk: ( F (φ(t))) = F (φ(t)) φ (t) = f(φ(t)) φ (t), [ ] b így z utóbbi integrálj -tól b-ig F (φ(t)) = F (φ(b)) F (φ()). Gykrn vizsgáljuk zárt görbén vonlintegrált. A fenti tételből ekkor φ() = φ(b) mitt null lesz z integrál: Áll. H f-nek létezik F : R n R primitív függvénye, kkor zárt görbén f = 0. (Fiziki jelentés: potenciálos erőtér konzervtív, zz bármely zárt görbén végzett munkáj 0. Ez épp z energimegmrdás.) Igzolhtó ennek megfordítás is: h bármely zárt görbére f = 0, kkor f-nek Γ vn primitív függvénye. Megj.: Láttuk, hogy egy f C 1 (R n, R n ) függvénynek pontosn kkor létezik primitív függvénye, h j f i = i f j ( i, j = 1,.., n). Ez feltétel tehát grntálj Newton-Leibniz-szbály érvényességét; ekvivlens zzl, hogy bármely zárt görbére f = 0. II. Komplex számok. 1. Értelmezésük. Kiinduló problém: negtív számnk nincs vlós négyzetgyöke. Alpgondolt: h nincs, vezessük be. Legyen i := 1 egy új, ideális elem, és próbáljunk meg úgy számolni vele, mint vlóskkl. Szemléltetés: síkon R z x tengely, i rá merőleges egységvektor. Def. A komplex számok hlmz C := { + ib :, b R}. (A fenti szemléltetéssel sík vektori, ún. komplex számsík.) 2. Műveletek: + és eredménye is komplex szám, úgy számolunk, mint vlóskkl, és felhsználjuk, hogy i 2 = 1. ( + ib) + (c + id) = ( + c) + i(b + d), ( + ib) (c + id) = c + ibc + id + i 2 bd = (c bd) + i(bc + d). Γ Γ 20

21 A műveletek szemléltetése: összeg és vlós számszoros esetén ugynz, mint síkbeli vektorokr. Komplex számok szorzt esetén: később. További foglom: h z = + ib, kkor z := ib, neve z konjugáltj. 3. Polárkoordináták: mint korábbn z R 2 síkon. H z = + ib 0, kkor! r > 0 és φ [0, 2π) : = r cos φ, b = r sin φ. Ezzel z = r(cos φ + i sin φ). Jelölések: z := r, rg z := φ. Ekkor z = 2 + b Komplex elemi fügvények. Cél: h z C, értelmezni e z, sin z, cos z értékét. Szemléletesen nem lehet, de htványsorrl igen, és így szokásos zonosságok is érvényesek lesznek. Def. H z C, e z := z n, cos z := ( 1) n z2n, sin z := ( 1) n z2n+1. n! (2n)! (2n+1)! n=0 Az elemi függvények kpcsolt: n=0 Áll. e iz = cos z + i sin z ( z C). Biz. e iz = (iz) n = (iz) 2k + (iz) 2k+1 = n! (2k)! (2k+1)! n=0 k=0 = ( 1) k z2k + i ( 1) k z2k+1 (2k)! k=0 Következmények. k=0 (2k+1)! k=0 k=0 = cos z + i sin z. i 2k z 2k (2k)! + k=0 n=0 i 2k+1 z 2k+1 (2k+1)! = 1. köv.: e iφ = cos φ + i sin φ ( φ R). Azz, z egységkörvonl pontji e iφ lkbn írhtók. H tehát φ R, kkor e iφ = 1 és e iφ z egységkörvonl φ szögű pontj. Néhány spec. eset: e iπ = 1, e 2iπ = e 0 = köv.: e iz = cos z i sin z, cos z = 1 2 (eiz + e iz ), sin z = 1 2i (eiz e iz ). Biz. Az elsőhöz: z helyett ( z)-t írunk és felhsználjuk, hogy sin( z) = sin z. Ebből és z eredeti állításból másik kettő nyilvánvlón következik. 5. Polárkoordináták exponenciális lkj. A fenti 1. köv. szerint: Következmények: z = re iφ. A komplex szorzás exponenciális lkj: zw = rϱ e i(φ+θ). h z = re iφ és w = ϱe iθ, kkor (Ugynis zw = rϱ e iφ e iθ = rϱ e i(φ+θ).) A hosszk tehát szorzódnk, szögek összedódnk. (Ez geometrii jelentés.) Spec. eset: z 2 = re i2φ, és ezt ismételve z n = re inφ (n N), mi htványok exponenciális lkj. 21

22 8. Elemi vektorszámítás 1. Bevezetés. Számértékű függvény (f : R n R) deriváltját prciális deriváltkból képzett f := ( 1 f, 2 f,..., n f) vektorrl értelmeztük. Most vektorértékű függvények deriváltjiról lesz szó, mégpedig f : R n R n esetben. Fiziki motiváció: egy ilyen függvény vektormezőt jelent (erőtér, ármlás). E vektormezők fontos fiziki tuljdonsági (örvényesség, forrásosság) megrgdhtók lklms deriváltfoglmkkl és ezek tuljdonságivl. Az újbb deriváltfoglmk formálisn = ( 1, 2,..., n ) operátorból szármztthtók. Az "operátor" zt jelenti, hogy függvényhez függvényt rendel: f f. 2. Alpfoglmk. (i) Differenciáloperátorok. Legyen f := (f 1, f 2,..., f n ) : R n R n dott függvény, melyre f C 1 (R n, R n ). f divergenciáj: div f := f := 1 f f n f n. Ekkor div f : R n R számértékű függvény. f rotációj: h n = 3: rot f := f := i j k f 1 f 2 f 3 Ekkor rot f : R 3 R 3 vektorértékű függvény. = 2 f 3 3 f 2 ( 1 f 3 3 f 1 ) 1 f 2 2 f 1 h n = 2: rot f := 1 f 2 2 f 1 (z előbbi 3. koordinát). (ii) Fluxus értelmezése. Ekkor rot f : R 2 R számértékű függvény. Megjegyzések: 1. rot f koordinátái pontosn kkor nullák (ill. ő mg null), h f-nek vn primitív függvénye. 2. div f-ben z dott változóvl zonos, rot f-ben z ttól különböző koordinátákt deriváljuk prciálisn. Legyen S sim felület. S-et zárt felületnek hívjuk, h teret két (egy belső és egy külső) komponensre osztj. (Pl. gömbfelület.) Egy x S pontbeli külső normálvektor z x-beli érintősíkr merőleges, kifelé muttó egységvektor, jele ν(x). Ez meghtároz egy ν : S R 3 függvényt. Tekintsünk egy f C 1 (R 3, R 3 ) vektormezőt. Számos modellben z x S ponton áthldó f(x) erővonl S-re merőleges, zz ν(x)-szel párhuzmos komponense érvényesül, melynek hossz f(x) ν(x). Az egész S felületen így z áthldó erővonlk S-re merőleges összmennyisége Φ f := f ν, 22 S.

23 mit fluxusnk hívunk. Péld: legyen S z egységömb felülete, és vektormező f(x 1, x 2, x 3 ) := (x 1, x 2, x 3 ), h x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3. Ekkor S pontjibn ν(x) megegyezik f(x)-szel, így f(x) ν(x) = x 2 1 +x 2 2 +x 2 3 = 1, ebből Φ f = 1 = A(S) = 4π. S Most kpcsoltot teremtünk fluxus és divergenci között, ill. rotáció és vonlintegrálok között. 3. A differenciáloperátorok kpcsolt integrálokkl. (i) Rotáció és vonlintegrál. Legyen f C 1 (R n, R n ). Korábbn láttuk: rot f = 0 j f i = i f j ( i j) f-nek vn primitív függvénye. Az utóbbiról láttuk: ekvivlens zzl, hogy bármely zárt görbére f = 0. Γ Következmény: rot f = 0 bármely zárt görbére f = 0. Mi helyzet áltlánosbbn, h rot f nem 0? Γ Síkon nézzük. Stokes-tétel: legyen f C 1 (R 2, R 2 ) vektormező, Γ pozitív irányítású zárt görbe, D pedig Γ belseje. Ekkor rot f = f. D Megjegyzés. Anlógi z 1-dim. Newton-Leibniz-szbállyl: egy deriválts kifejezés trtományon vett integrálj kifejezhető függvény htáron vett értékeivel. Fiziki jelentés. Erőterekben. Egy erőteret konzervtívnk hívunk, h bármely zárt görbén végzett munkáj 0, zz f = 0. Γ A fentiek szerint ez ekvivlens zzl, h z erőtérnek vn potenciálj (primitív függvénye), ill. zzl, h rotációmentes (zz rot f = 0). Ármlásokbn. H z f vektormezőármlást ír le, örvénymentesnek hívjuk kkor, h bármely zárt görbén f = 0. (Egy örvény ugynis olyn zárt görbe, melyen z erőtér egyirányú görbe érintőjével, így vonlintegrálbn pozitív függvényt integrálunk és ez nem lehetne 0.) Ez ekvivlens zzl, h rot f = 0, így z utóbbit is örvénymentességnek hívjuk, múgy pedig rot f értékét örvényességnek. (ii) Divergenci és felületi integrál. Mi Stokes-tétel megfelelője, h rot f helyett div f szerepel? Észrevétel: R 2 -ben div f = (f 1, f 2 ), míg rot f = ( f 2, f 1 ). Itt ( f 2, f 1 ) vektor merőleges z (f 1, f 2 ) vektorr. Így Stokes-tételben Γ görbén is merőleges, zz normálvektor irányú komponens kell szerepeljen, mi f ν. Ez 3 dimenzióbn is igz: Γ Γ 23

24 Guss-Osztrogrdszkij-tétel: legyen f C 1 (R 3, R 3 ) vektormező, S zárt sim felület, D pedig S belseje. Ekkor div f = f ν. Megjegyzések: D 1. Mint Stokes-tételnél, nlógi z 1-dim. Newton-Leibniz-szbállyl. 2. Az S-en vett integrál éppen Φ f fluxus. 3. H div f = 0 (divergencimentes mező), kkor zárt felületen fluxus 0. Ez visszfelé is igzolhtó, így: div f = 0 bármely zárt felületen f ν = 0. Fiziki jelentés. A fluxus 0 z S-en ki- és beármló összmennyiség zonos. Ennek jelentése ármlásokbn: nygmegmrdás. A div f = 0 feltételt ezért összenyomhttlnságnk is hívjuk. erőterekben: S belsejében nincs forrás/nyelő. A div f = 0 feltételt ezért forrás- ill. nyelőmentességnk hívjuk. S S 4. Példák. Tekintsünk három f : R 2 R 2 vektormezőt: f(x, y) := rot f : örvény: div f : forrás: (x, y) 0 nincs 2 vn (z origó) ( y, x) 2 vn (körvonlk) 0 nincs (1, 1) 0 nincs 0 nincs 24

25 9. Differenciálegyenletek/1. 1. Foglmk, bevezetés. Differenciálegyenlet: ismeretlen függvény és bizonyos deriváltji közti kpcsoltot leíró egyenlet. A differenciálegyenlet közönséges (KDE), h z ismeretlen függvény egyváltozós; prciális (PDE), h z ismeretlen függvény többváltozós. A differenciálegyenlet rendje: legmgsbb szereplő derivált rendje. Mostntól (mjdnem végig) csk KDE-kkel fogllkozunk. Cél: KDE megoldás. Példák. y (x) = x y(x) elsőrendű KDE (rövid írásmód: y = x y) y (x) = y (x) + y(x) másodrendű KDE (rövid írásmód: y = y + y) Szokásos feltevések: y : I R (intervllumon értelmezett, vlós értékű); y r-szer differenciálhtó, és z y (r) derivált folytonos (hol r KDE rendje, pl. z előbb 1 vgy 2). 2. Differenciálegyenletek eredete, felállítás. A fiziki és egyéb modellek ngy részében DE-t állítnk fel. Itt két egyszerű példát nézünk meg. Bktériumok szporodás (biológii modell). A modell feltevései: ngy egyedszám mitt y folytonos függvénnyel írhtó le; nincs korlátozás, így szporult egyenesen rányos z egyedszámml. h x jelöli z időt, kkor KDE: y (x) = Ky(x), hol K > 0 szporodási rát. (Röviden: y = Ky.) Sóoldt koncentrációjánk változás. Feldt: egy trtálybn 10 l víz vn. Percenként 2 l 30%-os sóoldt folyik bele, és szintén 2 l oldt folyik ki. Hogyn lkul só mennyisége z idő függvényében? A KDE felállítás. Legyen y(t) só mennyisége t időpontbn (percben mérjük). H eltelik még egy kis h idő, kkor sómennyiség változás egyrészt y(t + h) y(t), másrészt be- és kilépő sómennyiség különbsége. Itt bejövő sómennyiség 0,6 l/perc, így h idő ltt: 0,6h kimenő sómennyiség: percenként kifolyik teljes oldt 2/10=0,2-e, így só 0,2-e is, így h idő ltt 0,2h rányú része, mi t időpontbeli y(t) sómennyiségre nézve: 0, 2 h y(t). (Ez kis h-r jó közelítés, mi itt elég.) 25

26 Ezekből: y(t + h) y(t) = 0, 6h 0, 2 h y(t) = h (0, 6 0, 2 y(t)). H h-vl osztunk, mjd h 0, kkor bl oldl limesze éppen y (t). Így y (t) = 0, 6 0, 2 y(t), mi egy elsőrendű KDE. 3. Az y = y KDE megoldás. Ismert, hogy y(x) = e x ilyen függvény. Egy másik: y(x) 0. Mi z összes megoldás? Levezetése. Feltevés: y(x) 0 egy I intervllumon. Ekkor y (x) = y(x) y (x) y(x) y(x) = e x+c = e c e x, hol c R tetsz. = 1 integrálv: ln y(x) = x + c, hol c R tetszőleges konstns (elég z egyik oldlon) Itt c 1 := e c megfeleltetéssel: c R tetsz. c 1 > 0 tetsz. y(x) = c 1 e x, hol c 1 > 0 tetsz. y(x) = c 2 e x, hol c 2 = ±c 1 0 tetsz. Végül: itt c 2 = 0 is jó, hisz y(x) 0 is megoldás. A c 2 helyett c is írhtó, így z áltlános megoldás: y(x) = c e x, hol c R tetszőleges konstns. Levezetés "dx" formlizmussl. Fent jobb oldlon 1 dx = x + c volt. Észrevétel: z y-r vontkozó integrál lényege z volt, hogy külső függvényre 1 dy = ln y (itt nem kellett +c). Ugyenezek elvégezhetők "dx" formlizmussl y is: dy dx = y dy = dx integrálv: ln y = x + c, hol c R. y Innen fenti módon kpjuk, hogy y = c e x, hol c R. 4. Szétválszthtó KDE: y = h(y)g(x), hol h, g dott folytonos függvények. A fenti formlizmus most is jó. 1. lépés. H h-nk c zérushelye, zz h(c) = 0, kkor z y c konstnsfüggvény megoldás, mert y = 0, és h(y) 0 mitt jobb oldl is lépés. Feltesszük, hogy h(y) 0 egy I intervllumon. Ekkor dy dy = h(y)g(x) dx h(y) = g(x)dx dy h(y) = g(x)dx + c, hol c R tetszőleges konstns. Integrálás után egy H(y) = G(x)+c egyenletet kpunk, miből ki kell fejeznünk y-t x függvényeként. 26

27 Gykori speciális eset: y = h(y). Ez fenti típusú, h g(x) := 1. Példák. A bktériumok szporodás: y = Ky. 1. Konstns megoldás: y 0 (h nincs bkt., de ez nem érdekes). 2. Érdemi eset: h y > 0. Ekkor: dy dx = Ky dy y = Kdx integrálv: ln y = Kx + c, hol c R tetsz. (most nem kell ln y, mert y > 0) y = e c e Kx = c 1 e Kx, hol c 1 > 0 tetsz. A K rányossági tényező tehát megoldásbn kitevő szorzój lesz. A sóoldt koncentrációj: y = 0, 6 0, 2 y, zz y = 0, 2 (3 y). 1. Konstns megoldás: y 3. (A ki- és bejövő só kiegyenlíti egymást.) 2. Feltesszük, hogy y 3 egy időintervllumon. Ekkor: dy dt = 0, 2 (3 y) dy 3 y = 0, 2 dt ln 3 y = 0, 2 t + c, hol c R tetsz. 3 y = e c e 0,2 t = c 1 e 0,2 t, hol c 1 > 0 tetsz. 3 y = c 2 e 0,2 t, vgyis y = 3 c 2 e 0,2 t, hol c 2 0 tetsz. A képlet c 2 = 0-r is jó (y 3). A c 2 helyett c is írhtó, így: y = 3 c e 0,2 t, hol c R tetsz. Megj.: H c > 0, kkor sómennyiség nő, h c < 0, kkor csökken (ez kezdeti értéktől függ). Pl. h t = 0 kezdőpontbn nincs só, zz y(0) = 0, kkor képletből 0 = 3 c e 0,2 0 = 3 c, zz c = 3. Ekkor y = 3 3 e 0,2 t = 3 (1 e 0,2 t ). Mennyi só lesz ekkor pl. 5 perc múlv? y(5) = 3 (1 e 1 ) 1,89 l. 27

28 10. Differenciálegyenletek/2. 1. Másodrendű lineáris KDE. Ún. állndó együtthtós homogén egyenletekkel fogllkozunk: (H) y (t) + by (t) + cy(t) = 0, hol, b, c R állndók, 0. (A modellekben t időt jelent.) () Az áltlános megoldás A megoldások szerkezete. Emlék z elsőrendű KDE-kről: z áltlános megoldásbn egy tetszőleges c konstns szerepel. A másodrendűeknél kettő vn: Áll. Legyen y 1 és y 2 (H) egyenlet két független megoldás, zz nem egymás konstnsszorosi. Ekkor (H) áltlános megoldás: y(t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) (c 1, c 2 R tetszőleges). Megj.: (i) Ez z előállítás z y 1 és y 2 ún. lineáris kombinációj. (ii) Behelyettesítéssel látszik, hogy h y 1 -re és y 2 -re igz (H), kkor y-r is, ui. y + by + cy = c 1 (y 1 + by 1 + cy 1 ) + c 2 (y 2 + by 2 + cy 2 ) = 0. Köv.: z áltlános megoldáshoz elég két független megoldást tlálnunk. A megoldások előállítás. Alpötlet: keressük két független megoldást y(t) = e λt lkbn! Ekkor y (t) = λe λt és y (t) = λ 2 e λt, miket (H)-b helyettesítve: λ 2 e λt + bλe λt + ce λt = 0, zz (λ 2 + bλ + c)e λt = 0 hiszen e λt > 0. (K) λ 2 + bλ + c = 0, Ez z ún. krkterisztikus egyenlet (másodfokú). (i) H (K)-nk két vlós gyöke vn, λ 1 és λ 2 y 1 (t) = e λ 1t és y 2 (t) = e λ 2t, így y(t) = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t (ii) H (K)-nk egy vlós gyöke vn, λ (c 1, c 2 R tetsz.) y 1 (t) = e λt csk egy megoldás. Ekkor igzolhtó, hogy y 2 (t) = te λt is megoldás, így y(t) = c 1 e λt + c 2 te λt (c 1, c 2 R tetsz.) (iii) H (K)-nk nincs vlós gyöke ( diszkrimináns D < 0), kkor tudjuk, hogy két komplex gyök vn, melyek egymás komplex konjugáltji: λ 1,2 := α ± iβ. Ekkor e λ 1t és e λ 2t komplex értékűek. Az összes komplex értékű megoldás y(t) = z 1 e (α+iβ)t + z 2 e (α iβ)t 28 (z 1, z 2 C tetsz.)

29 Mik lesznek vlós értékű megoldások? (Ezeket keressük.) Itt e (α±iβ)t = e αt e ±iβt = e αt (cos βt ± i sin βt), így y(t) = z 1 e αt cos βt + iz 1 e αt sin βt + z 2 e αt cos βt iz 2 e αt sin βt = (z 1 + z 2 )e αt cos βt + (iz 1 iz 2 )e αt sin βt. H tehát z együtthtók spec. vlósk (c 1, c 2 R), kkor y(t) is vlós: (b) Példák ( rezgések elméletéből) Hrmonikus rezgőmozgás. y(t) = c 1 e αt cos βt + c 2 e αt sin βt (c 1, c 2 R tetsz.). Több modellben (rugó, ing) kitéréssel rányos ellenerő ht, így mozgásegyenlet: my (t) = Dy(t), hol m, D > 0 dott állndók. Átrendezve my (t) + Dy(t) = 0. (i) Az áltlános megoldás. Krkterisztikus egyenlet: (K) mλ 2 + D = 0, D gyökei: λ 1,2 = ±i = ±iω, hol ω := D (ún. frekvenci), m m megoldás: y(t) = c 1 cos ωt + c 2 sin ωt (c 1, c 2 R tetsz.) Megj.: mg z egyenlet is átírhtó frekvenciávl: y (t) + ω 2 y(t) = 0. (ii) A megoldás más lkji. Írjuk fel (c 1, c 2 ) R 2 pontokt polárlkbn: c 1 = A cos φ 0, c 2 = A sin φ 0, hol A 0 és φ 0 [0, 2π). Ekkor y(t) = A cos φ 0 cos ωt + A sin φ 0 sin ωt = A cos(ωt φ 0 ) (ddíciós tételből), zz: y(t) = A cos(ωt φ 0 ) (A 0, φ 0 [0, 2π) tetsz.) Ez tehát egy periodikus rezgés; z A mplitúdó és φ 0 fáziseltolódás tetsz. lehet, de z ω frekvenciát z egyenlet meghtározz. További lk: mivel sin- és cos-hullámok egymás időbeli eltoltji, y(t) = A sin(ωt θ 0 ) (A 0, θ 0 [0, 2π) tetsz.) Megj.: ezek z új lkok más egyenletekre is bejönnek, h (K) gyökei komplexek, hisz ekkor y(t) = e αt (c 1 cos βt + c 2 sin βt) = Ae αt cos(βt φ 0 ). Csillpított rezgőmozgás. Súrlódás is ht, így mozgásegyenlet: my (t) = Dy(t) sy (t), hol m, D, s > 0 dott állndók. 29

30 Átrendezzük és osztunk m-mel, legyen s =: 2k és ω mint fent, ekkor m y (t) + 2ky (t) + ω 2 y(t) = 0. Krkterisztikus egyenlet: λ 2 + 2kλ + ω 2 = 0, gyökei: λ 1,2 = k ± k 2 ω 2. Esetek: (i) Kis csillpítás: k < ω. Gyökök: λ 1,2 = k ±i ω 2 k 2 C (α = k és β = ω 2 k 2 ). Ekkor korábbik lpján y(t) = Ae kt cos( ω 2 k 2 t φ 0 ). Ez is rezgés, de mplitúdój Ae kt, mi 0-hoz trt ("lecseng"). (ii) k = ω eset. Gyök: λ = k egyszeres, y(t) = c 1 e kt + c 2 te kt. (iii) Ngy csillpítás: k > ω. Gyökök: λ 1,2 = k ± k 2 ω 2 vlósk, így y(t) = c 1 e λ1t + c 2 e λ2t. A (ii)-(iii) esetekben nincs rezgés. 2. Elsőrendű lineáris KDE-rendszer. (i) A feldt. Legyenek, b, c, d R dott állndók. Olyn x = x(t), y = y(t) függvényeket keresünk, melyekre { ( ) ( ) ( ) ( ) x = x + by x b x x y = cx + dy. Azz: = =: A. y c d y y (ii) Megoldás. Abbn z esetben, mikor z A mátrixnk vnnk λ 1 λ 2 vlós sjátértékei. Áll. Legyenek u R 2 és v R 2 λ 1 -hez ill. λ 2 -höz trtozó sjátvektorok. Ekkor ( ) x(t) = c 1 e λ1t u + c 2 e λ2t v (c 1, c 2 R tetsz.) y(t) Biz. Itt Au = λ 1 u és Av = λ 1 v, miből ( ) x (t) = c y 1 e λ1t λ 1 u + c 2 e λ2t λ 2 v = c 1 e λ1t Au + c 2 e λ2t Av = (t) = A (c 1 e λ 1t u + c 2 e λ 2t v) = A ( x(t) y(t) ). 30

31 11. Differenciálegyenletek/3. I. Fáziskép: másodrendű KDE megoldásink ábrázolás Ebben fejezetben x(t) jelöli megoldást és ẋ(t) deriváltját (fiziki trdíció). 1. A fáziskép és fázissík foglm. Cél: ábrázolni KDE összes x(t) megoldását; láthtó legyen x(t) és ẋ(t) kpcsolt. Fázissík: A sík, x-nek és ẋ-nk elnevezett tengelyekkel. Ezen megoldások x(t) értékeit és ẋ(t) deriváltjit tüntetjük fel, zz z (x(t), ẋ(t)) pontokt, hol t változik: egy megoldáshoz így egy görbét rendelünk. Fáziskép: A fentiekben kpott görbék összessége (görbesereg), h z összes megoldást szerepeltetjük. 2. A hrmonikus rezgőmozgás fázisképe. () Péld. H m = 1 és D = 1, kkor z egyenlet: ẍ(t) + x(t) = 0. Ekkor ω = 1, így z áltlános megoldás: ennek deriváltj: (hol A 0, A fáziskép. Észrevétel: x(t) = A cos(t φ 0 ), ẋ(t) = A sin(t φ 0 ) φ 0 [0, 2π) tetsz.) Adott megoldásnál hol vnnk z (x(t), ẋ(t)) pontok? x(t) 2 + ẋ(t) 2 = A 2 = állndó. Így z egyes megoldásokhoz trtozó görbék körvonlk. Rögzített A > 0 esetén, t növelésével z (x(t), ẋ(t))=(a cos(t φ 0 ), A sin(t φ 0 )) pontok z A sugrú körvonlon futnk pozitív irányítássl. (Rjz.) Értelmezése, mikor z egyenlet egy ing kis kitéréseit írj le. A t = 0 időponthoz trtozó (A, 0) pontbn kitérés x(0) = A, sebesség ẋ(0) = 0. Itt z ing szélső helyzetben vn (pl. itt engedjük el). Ezután görbén hldv z x(t) kitérés csökken, z ẋ(t) sebesség nő. Az ing befelé lendül, közben gyorsul. Az ẋ sebesség kkor legngyobb, mikor z x kitérés 0, zz z ing épp áthld függőleges helyzetén. Ezután görbén továbbhldv z x(t) kitérés egyre ngyobb negtív szám, z ẋ(t) sebesség csökken. Az ing felfelé lendül, közben lssul. Amikor z x kitérés eléri A szélső helyzetet, kkor z ẋ sebesség null, zz z ing egy pillntr megáll, és ezután visszfelé kezd lendülni. Stb., mindez periodikusn ismétlődik. 31

32 (b) Az áltlános eset, energimegmrdás. Az egyenlet: Láttuk, hogy ω := Ennek deriváltj: (hol A 0, D m mẍ(t) + Dx(t) = 0. mellett z áltlános megoldás: x(t) = A cos(ωt φ 0 ). ẋ(t) = ωa sin(ωt φ 0 ) φ 0 [0, 2π) tetsz.) Ekkor ) 2 x(t) 2 + = A 2 = állndó, ( ẋ(t) ω így z egyes megoldásokhoz trtozó görbék most ellipszisek. Mit jelent fenti állndó kifejezés? Itt ( ẋ(t) ω ) 2 = m D ẋ(t)2, így D-vel szorozv, mjd 2-vel osztv: 1 2 Dx(t) mẋ(t)2 = állndó. Itt második tg mozgási energi; z első tg rugóvl mozgtott test esetén rugóenergi, ing esetén (mikor D = mg ) helyzeti energi. Az összeg l állndóság tehát z energimegmrdást fejezi ki. A fázisképen láthtó görbék energiszintek, vizsgált test mozgás rögzített energiszinten történik. II. Két egyszerűbb prciális differenciálegyenlet (PDE). PDE: többváltozós függvényt keresünk. Gykori eset: z egyik változó z idő (t), többi térbeli helyzet (térváltozó, pl. h csk egy vn: x; lehet több is, x, y stb.) 1. A rezgő húr egyenlete (egy térváltozós hullámegyenlet). Jelölje t z időt, x egy húr pontjit, és u(x, t) húr kitérését rezgés során z x pontbn és t időpillntbn. H nincs külső erő, levezethető, hogy z u függvény teljesíti z lábbi egyenletet: hol v > 0 állndó. (R) 2 t u(x, t) = v 2 2 xu(x, t), röviden: 2 t u = v 2 2 xu, Áltlános megoldás. Legyen f : R R tetszőleges kétszer differenciálhtó függvény. Megmuttjuk, hogy h u(x, t) = f(x vt), kkor u megoldás (R)-nek. (Pl. u(x, t) = sin(x vt), u(x, t) = e x vt Ugynis x u(x, t) = f (x vt), 2 xu(x, t) = f (x vt), ill. t u(x, t) = v f (x vt), 2 t u(x, t) = ( v) 2 f (x vt), tehát 2 t u(x, t) = v 2 2 xu(x, t). 32 stb.)

33 Hsonlón kijön: h g : R R tetszőleges kétszer differenciálhtó függvény, kkor u(x, t) = g(x + vt) is megoldás (R)-nek. Végül, ezek összege is megoldás. Igzolhtó (biz. nincs), hogy ez z összes lehetőség, vgyis z áltlános megoldás: Kezdeti érték, utzó hullámok. u(x, t) = f(x vt) + g(x + vt). Mi jelentése pl. fenti első megoldástípusnk, zz, h u(x, t) = f(x vt)? H t = 0 (kezdőpillnt): u(x, 0) = f(x). H t > 0: u(x, t) = f(x vt), vgyis z f(x) grfikonját vt-vel rrébb toljuk. Az idő múltávl tehát egy dott jel utzik jobbr v sebességel. Pl.: z u(x, t) = sin(x vt) megoldás esetén kezdeti u(x, 0) = sin x hullám utzik jobbr v sebességel. (A második típus esetén kezdeti jel blr utzik, z áltlános megoldás pedig ilyen utzó jelek szuperpozíciój.) 2. A hővezetés egyenlete. Jelölje ismét t z időt, x egy rúd pontjit, de most u(x, t) hőmérsékletet z x pontbn és t időpillntbn. H nincs külső hőforrás, levezethető, hogy lklms mértékegységgel (HV) t u(x, t) = 2 xu(x, t), röviden: t u = 2 xu. Keressük megoldást exponenciális lkbn! (Mint múltkor másodrendű KDEnél.) Ez most: u(x, t) = e bt+x. Behelyettesítve: t u = b e bt+x, 2 xu = 2 e bt+x, így (HV) b = 2. Vlós esetén: b = 2 0, u(x, t) = e 2 t+x, hol R állndó. Képzetes esetén: = ik (k R), ekkor b = 2 = k 2 0, u(x, t) = e k2 t+ikx. Keressük meg ebből vlós megoldásokt! Itt e k2 t+ikx = e k2t e ikx = e k2t (cos kx + i sin kx) = e k2t cos kx + i e k2t sin kx. Könnyen láthtó, hogy itt vlós és képzetes rész külön-külön is megoldás (HV)-nek (pl. h behelyettesítjük őket (HV)-be). Így kpott megoldások: u(x, t) = e k2t cos kx és u(x, t) = e k2t sin kx (k R állndó). További megoldások: ezek lineáris kombinációi. Pl. nevezetes eset, h k egész és sinusos kifejezéseket kombináljuk: (S) u(x, t) = n b k e k2t sin kx k=1 is megoldás (HV)-nek. Tekintsünk egy π hosszú rudt: legyen x [0, π]. Észrevétel: 0 időpontbn u(x, 0) = n b k sin kx. k=1 Megfordítv: h kezdeti függvény ilyen lkú, kkor megoldást (S) dj. Itt z összeg végtelen is lehet (ún. Fourier-sor, k index -ig megy), ilyen lkbn pedig áltlános kezdeti függvény is felírhtó, így áltlános esetre is jó z (S) megoldási képlet. H t, kkor x-re u(x, t) 0 ( rúd kihűl). 33