Koczog András Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig

Átírás

1 Totál alap példák érettségire - megoldás Számelmélet, algebra Osztható-e a 80 a következő számokkal? a) - j) -vel; -mal; -el; -tel; 6-tal; 8-cal; 9-cel; 0-el; -vel; -tel? I I I I I I N I I I (oszthatósági szabályok szerint) Add meg a 6-nak és a 8-nak a) a legnagyobb közös osztóját! (6; 8) = b) a legkisebb közös többszörösét! [6; 8] = = = LNKO (6; 8) = = LKKT [6; 8] = = Írd fel a következő számokat római számjegyekkel! a) - d) 0 89 XX IV C II D XX III MM DCCC XC III Válts át a számrendszerek között - írd fel a a) 97-et -es számrendszerbe! 97: = 8 m: 8: = m: 0 : = m: 0 : = 6 m: 0 6: = m: 0 : = m: : = 0 m: 97 = 0000 b) 000 kettes számrendszerbeli számot tízes számrendszerbe! = = 8

2 c) 0 hármas számrendszerbeli számot -ös számrendszerbe! (először a köztes 0-es számrendszerbe váltunk, majd az -ösbe) = 0 = : = m: : = 0 m: = 0 = 0 = Add meg a következő számok normálalakját! a) - d) , , , 0 8, ,0 0 7 Váltsd át az adott mértékeket! a) - b) 9,8 m = 98 cm 000 mm = 0 dm c) - d) dm = 00 cm mm = 780 m e) - f), cm = 0 mm dm = m g) - h) dkg = 0 g 000 g = kg i) - j) 7 l = 700 cl ml = 8 00 dl a) 6, liter,8%-os zsírtartalmú tej mennyi zsírt tartalmaz? Tehát mennyi a 6,-nek a,%-a %-a: 6,: 00 = 0,06,8%-a: 0,06,8 = 0,8 Tehát 0,8 liter zsírt tartalmaz. b) Egy pulóver árát 0%-al csökkentették, így most 00 Ft-ba kerül. Mennyi volt eredetileg? Tehát 00 0 = 80% -al egyenő az 00, tehát az % = 00: 80 = 6, Eredetileg pedig 00% = 6, 00 = 6 Ft c) Hány %-al lépem túl a sebességhatárt, ha 90 helyett 0-el hajtok? Itt a 90 = 00%, tehát % = 0,9. 0: 0,9 =, így %-al lépem túl a 00%-ot (90 km/h-t) Alakítsd át teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a) - c) x + x + 6 x x + 0 x + x x + x + 6 = (x + ) + (x + ) = x + x + x x + 0 = (x,) +,7 (x,) = x x + 6, x + x = (x + 6x) x + 6x = (x + ) 9 [(x + ) 9] = (x + ) 8 = (x + )

3 Végezd el a következő műveleteket! a) - d) : = 0+ = 6 = 7 0 = 7 = = = : = 8 6 = 8 = = + = 8 = Add meg a következő kifejezések értékét! a) + (8 ( 6) ) 9 = + (8 ( ) ) 9 = + ( ) 9 = + ( 8) = 8 9 = b) : ( + ) = : (8+) = : = = = = Egyenletek Oldd meg a következő elsőfokú egyenleteket! 8 a) x + 8 = x / + x 7x = / : 7 x = 7 b) x+ = 0x 6 / 6 (x + ) = (0x 6) 6x + = 0x / + 6x = x / : x = = 7 c) (x )( + x)(x + ) = 0 egy szorzat akkor lesz 0, ha valamely tényezője 0 x = 0 x = x = + x = 0 x = x + = 0 x = x = Oldd meg a következő másodfokú egyenleteket! Megoldóképlet: x ; = b± b ac a) x + x 8 = 0 x ; = ± ( 8) = ± +68 = ±9,6 x =,6 x =,66 a b) x + 6x + = 0 x ; = 6± 6 ( ) ( ) = 6± 6+ 6 = 6±6,96 6 x = 0,6 x =,6

4 Hatvány, gyök, log, exp Add meg a következő hatványok értékét! a) - e) ( ) ( ) ( ) ( 8 ) ( ) ( ) = = 9 6 ( ) = ( ) = 6 = ( ) = = = 9 ( 8 ) = ( ) = 8 ( ) 8 = = = 6 () ( )6 = 6 = 6 = ( 8 ) = = Bontsd fel a zárójeleket! a) - d) (x + y) ( b + ) (8 z) (h p) (x + y) = 9x + x y + y = 9x + 0xy + y ( b + ) = 9 b + 0 b + (8 z) = 6 8z + 9z (h p) = h hp + 6 p Egyszerűsítsd a következő kifejezéseket! a) ( x6 y ) ( xy ) b) x (x ) x 7 ( x6 y ) ( xy ) = 8 x7 y 6 = 8x7 y 6 x (x ) x 7 = x x = x, = x 7 x 7 x, 7 = x 8, = x 7 y 6 Gyöktelenítsd a nevezőket! a) - d) a a+ = 7 = 7 = = = = = 6 = 7 = ( 7) ( ) ( 7) = ( 7) = a = a a = ( a ) ( a ) a+ a+ a ( a) = a a 6 a+ = a 0 a+ =.. () a 6 a 6

5 Végezd el a következő műveleteket! a) + b) = = ( +)+ (6 ) = = ( ) = = = = = Add meg a logaritmusok értékeit! a) - e) log 7 log 6 log 6 log 6 log 8 = = 6 = = 6 =, mert 6 = 6 Oldd meg a következő log és exp egyenleteket! a) lg(x 6) + lg(x ) = lg kikötés: x 6 > 0 x > 6 x > 0 x > 7 lg[(x 6)(x )] = lg 000 mert = lg 000 lg(x x x + 8) = lg 0 log. fgv. szig. mon. x 6x + 8 = 0 x 6x = 0 x =, kikötés miatt elelentmondás x =, b) x + x x = 69 x x x / x + 0 x x = 09 / x a a + 0a a = 09 a + 9a 09 = 0 a =,76 x =,76 ellentmondás, az minden hatványa pozitív a = 0,97 x = 0,97 x = 0,97 lg x = lg 0,97 x lg = lg 0,97 x = lg 0,97 lg =,88 Halmazok Add meg A B, A B, A \ B és A halmazokat a H alaphalmazon! A = {egyjegyű páratlan számok} = {; ; ; 7; 9} B = {egyjegyű prímek} = {; ; ; 7} H = {0 nél kisebb pozitív egészek} = {; ; ; 8; 9} A B = {; ; ; ; 7; 9} A B = {; ; 7} A \ B = {; 9} A = {; ; 6; 8}

6 Egy 0 fős osztályban mindenki sportol, vagy focizhatnak vagy kosarazhatnak. Tudjuk, hogy -en fociznak és 6-an kosaraznak. Hányan űzik mindkét sportot egyszerre? 0-an sportolnak, focista és 6 kosaras van ebből + 6 = 8 8-al több, mint a 0, így 8-an játszák egyszerre a két játékot. Logika Töltsd ki az igazságtáblát! ( igaz; 0 hamis) A B A B A B A B A B A (A B) (A B) Tagadd a következő mondatokat! a) Minden gyerek szereti a fagyit. Van olyan gyerek, aki nem szereti a fagyit. b) Van olyan autó, aminek csak kereke van. Semelyik autónak nincs kereke. (Minden autónak nem kereke van.) Függvények Ábrázold a következő függvényeket! a) f(x): y = x + b) f(x): y = (x + ) ezt jellemezd is! c) f(x): y = x + d) f(x): y = x + e) f(x): y = x Sorban a függvények képei: y = (x + ) (parabola) jellemzése: ÉT: ÉK: x ϵ R y ϵ R zh: (x + ) = 0 x + x + = 0 x + x + = 0 x ; = ± 6 monotonitás: szélsőérték: = ± szig.mon.cs a ] ; ] -on szig.mon.nő a [ ; [ -on max nincs min hely: x = min érték: y = x = x = 6

7 Gráfok Adj meg egy olyan pontú gráfot, melynek fokszámai: ; ; ; ;. pl.: Sorozatok Add meg a következő számtani sorozat hiányzó elemeit! a = 8 d =, a 7 S a n = a + (n ) d a 7 = 8 + (7 ), = S n = n (a + (n ) d) S = ( 8 + ( ),) =, Add meg a következő mértani sorozat hiányzó elemeit! a = q =, a S 9 a n = a q n a =, = 8, S n = a (q n ) q S 9 = (,9 ), = 8, Kombinatorika db különböző könyvet hányféleképpen tehetünk sorba?! = db ezrest, db ötszázast, illetve - húszezrest, tízezrest, ötezrest és kétezrest hányféleképpen tehetünk sorba?!!! = Egy fős osztályból hányféleképpen választhatunk ki véletlenszerűen embert? ( ) = 0 76 Valszám Egy szabályos 6 oldalú dobókockával dobálunk. a) Mekkora eséllyel dobok -est? p ( es) = 6 b) Egymás után kétszer dobva mekkora eséllyel dobok db -öst? p (db ös) = 6 6 = 6 7

8 Egy lapos magyar kártyapakliból húzok kártyákat. a) Mekkora eséllyel húzhatom ki a piros ászt? p (piros ász) = b) Mekkora eséllyel nem lesz a húzásom zöld? p (zöld) = 8 p (nem zöld) = 8 = Stat 00. január első 0 napján végig havazott, a következő mennyiségű hó hullott: cm; cm; cm; cm; cm; cm; cm; cm; 6 cm; cm a) Mekkora az adatsorunk átlaga, módusza, mediánja, terjedelme és szórása? átlag: medián: módusz: =, adatok sorban: ; ; ; ; ; ; ; ; ; 6 terjedelem: 6 = (középső érték) (leggyakoribb érték) szórás: (, ) + (, ) + (, ) + (, ) + (, ) + (, 6) 0 =, b) Ábrázold az adatokat oszlopdiagramon, illetve kördiagramon! mm 6 db összesen 0 adat van, tehát adatonként a kördiagramon 60 0 = 6 mm db 6 = 6 mm db 6 = 7 mm db 6 = 6 mm db 6 = mm db 6 = 6 6mm db 6 = 6 8

9 Síkgeo Egy háromszög szögeinek aránya : : 6. Mekkorák a háromszög szögei? A Δ szögeinek összege 80, így az arányokat átírva: x + x + 6x = x = 80 x = x = 8 x = 60 6x = 7 Egy négyszög oldalai a =,; b =,8; c =, és d =, cm hosszúak. Kicsinytett képén d =, cm. Mekkora a kicsinyített kép többi oldala? Az új négyszög a régiből lett kicsinyítve, így hasonlóak, tehát oldalaik aránya megegyezik. Az eredeti, cm, cm lett, azaz, -al szoroztunk. A többi oldalt is beszorozva ezzel: a =,, = 0,8 cm, b =,8, =, cm, c =,, =,6 cm, Mekkora szöget zár be egymással az óra kis- és nagymutatója 0: 0 -kor?, Mint az ábrán is látszik: 0 + = 0 -ot zár be Egy derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 0, a mellette lévő befogó 0 cm. Mekkora az átfogó? Szögfüggvényt használunk: cos = szöggel szomszédos befogó átfogó cos 0 = 0 átfogó átfogó = 0 =, cm cos 0 Egy egyenlő szárú háromszög oldalai 0, 0 és 7 cm hosszúak. Mekkora a területe? Az egyenlő szárú Δ felbontható derékszögű Δ-re, melyből így Pitagoras-tétellel számolható a magasság:, + m = 0 m = 00, = 87,7 m = 9, cm T Δ = a m a = 7 9, =,9 cm Egy háromszög egyik szöge 0, a mellette lévő oldalak pedig 6 és 8 dm hosszúak. Mekkora a területe? Cos-tétellel oldható meg: c = a + b ab cos de egyszerűbb, ha Trigonometrikus területképletet alkalmazzuk: T Δ = a b sin 6 8 sin 0 = =, dm 9

10 Egy kör átmérője m. a) Mekkora a kör területe és kerülete? T o = r = = 9 m K o = r = = 6 m b) Ebből a körből egy 0 -os középponti szögű körcikket vágunk ki. Mekkora a területe? T cikk = r = 60 0 = 0,7 m 60 ív = r = 0 = 0, m K cikk = ív + r = 0, + 6 m Egy négyzet átlója 7 cm, mekkora a kerülete és a területe? Pitagoras-tétellel egyszerűen számolhatóak az oldalak, majd abból a terület a + a = 7 a = 9 a =, T = a =, cm Egy trapéz oldalai sorban,, 6 és cm hosszúak. Mekkora a területe? Mivel az oldalak sorban vannak megadva, két megoldás létezik: A párhuzamos oldalak vagy a és 6 cm hosszúságúak, vagy a és cm-esek. T trapéz = (a+c) m Tehát csak az m -et kel lkiszámolnunk és alkalmazható is a képlet Pitagoras-tételek felírása a két derékszögű Δ-re: I. x + m = m = 9 x II. ( x) + m = 6 ( x) + m = 6 T trapéz = (a+c) m II. ( x) + [9 x ] = 6 x + x + 9 x = 6 0 x = 6 6 = x x = I. m = 9 x m = 9 ( ) m = 9 69 ellentmondás nincs ilyen trapéz Másik trapézzal számolva: I. x + m = m = x II. ( x) + m = ( x) + m = 6 II. ( x) + [ x ] = 6 9 6x + x + x = 6 6x = 6 8 = 6x x = I. m = x = = 6 = (6+) m = (ügye a nincs értelmezve) = 8 cm Mekkora az cm oldalhosszúságú szabályos háromszög beírható körének területe? Szabályos Δ-re, illetve beírható körre is van Δ T-képlet, elég azokat alkalmazni: T szabályos Δ = a = = 0,8 cm r = beírható kör sugara; s = K = = 7, T Δ = r s 0,8 = r 7, r =, cm T o = r =, =, cm 0

11 Térgeo Vegyünk egy ; és 6 cm élhosszúságú téglatestet? a) Mekkora a lapátlója és testátlója? A téglatest lapátlói páronként egyezőek, illetve a testátlója egyforma hosszú. Az ábráról leolvasva Pitagoras-tétellel mindegyik számolható. e = b + c = + 6 = + 6 = 6 e = 7,8 cm f = a + b = + = 6 + = f = 6, cm g = a + c = + 6 = = g = 7, cm h = a + e = + 6 = 77 8, cm b) Mekkora a felszíne és térfogata? V téglatest = a b c = 6 = 0 cm A téglatest = ab + ac + bc = = = 8 cm Egy háromszög alapú hasáb magassága 0 m, alapjának oldalai ; és m hosszúak. Mekkora a felszíne és térfogata? V hasáb = T alap m A hasáb = T alap + T oldallapok Az alap Δ területét sokféleképpen kiszámíthatjuk. (pl. Héron képlet, alap T-képletek, cos-tétel segítségével, stb.) T alap = 6 m Az oldallapok ügye mind téglalapok: T téglalap = a b T.téglalap = = m T.téglalap = = 0 m T.téglalap = = m T oldallapok = T.téglalap + T.téglalap + T.téglalap = = 7 m A hasáb = T alap + T oldallapok = = m V hasáb = T alap m = 6 0 = 60 m Mekkora a magassága és felszíne annak a hengernek, melynek térfogata 86 m, alapsugara pedig m? T alap(kör) = r = = m V henger = T alap M 86 = M M = m A henger = T alap + palást A palást ügye egy (feltekert) téglalap, melynek egyik oldala a henger magassága (M), másik az alapkör kerülete. K alapkör = r = 0 palást = M K alapkör = 0 =,6 m A henger = T alap + palást = +,6 = 0,7 m

12 Egy négyzet alapú gúla magassága 6 dm, alapterülete 6 dm. Mekkora a felszíne és térfogata? Az alapterületből (négyzetből) kiszámítható az oldalak hossza T alap = a = 6 a = dm V gúla = T alap M = 6 6 = dm A négyzetes gúla = T alap + T ABPΔ T ABPΔ kiszámításához szükséges m a m a -t Pitagoras-tétellel számolhatjuk TFPΔ ből m a = ( a ) + M = ( ) + 6 m a = 6, dm T ABPΔ = a m a =,6 dm A négyzetes gúla = T alap + T ABPΔ = 6 +,6 = 66, dm = 6, Egy kúp alapsugara 0 mm, magassága az alapkerületének a negyede. Mekkora a felszíne és térfogata? r = 0 mm K alap = r = 7 mm m = K = 7 = 88, mm a = r + m a = r + m =, mm V kúp = T alap m = r m = 8, mm A kúp = T alap + palást = r + ar = 9 96 mm Egy 60 cm átmérőjű labdába hány dl levegő fér? d = 60 cm R = 0 cm V gömb = R = 0 = cm 0 dm = 0 l = 00 dl a) Mekkora a 79 m térfogatú kockába írható gömb sugara? V kocka = a 79 = a a = 9 m Be- és köréírható testeknél érdemes síkba vetíteni r = a = 9 =, m b) Mekkora a köréírható gömbjének felszíne? Itt ismét érdemes levetíteni a síkra Látszik, hogy a kör (gömb) átmérője a négyzet átlója, tehát a sugara a négyzet átlójának a fele. Pitagosas-tétellel számolva: (R) = a + a R = a R = a A gömb = R = 6, =,7 m = 9 = 0, R = 6, m Trigo Add meg x értékét! a) sin x = b) cos x = x = 0 + k x = 0 + l x = 0 + k x = 0 + l k; l Z

13 Oldd meg az egyenleteket! a) cos x = sin x ( sin x) = sin x (cos x + sin x = cos x = sin x) sin x a ( a ) = a a + a = 0 megoldóképlettel megoldani a = a = a második megoldás nem jó, hisz a sin és cos csak a [ ; ]-on van értelmezve a = = sin x előző feladatban ezt a példát már megoldottuk x = 0 + k x = 0 + l k; l Z b) sin (x ) = (x ) a 6 6 sin a = sin a = előző feladatban ezt a példát már megoldottuk a = 0 + k a = 0 + l a = (x ) 0 = (x ) = x 0 x = x = 60 + k a = (x ) 0 = (x ) = x 0 x = x = 80 + l k; l Z Az szög kiszámítása nélkül add meg a kért szögfüggvényeket, ha tudjuk, hogy sin = 0,6! cos tg ctg Azonosságokat használjuk fel: cos x + sin x = cos x + 0,6 = cos x = 0,6 = 0,6 cos x = 0,8 sin x = 0,6 cos x tg x = = = 0,7 0,8 cos x ctg x = ( ) = = =, sin x tg x 0,7 Egy derékszögű Δ-ben az egyik hegyesszög 0, a vele szemben lévő befogó 6 cm. Mekkora a kerülete? Megkeressük a megfelelő szögfüggvényt sin 0 = szemközti befogó átfogó = 6 átfogó átfogó = 7,8 cm Másik befogó Pitagoras-tétellel: 7,8 6 = befogó másik befogó =,8 = cm (Számolhattunk volna itt is szögfüggvénnyel: cos 0 = Adottak az oldalak K = ,8 = 8,8 cm szomszédos befogó átfogó = szomszédos befogó 7,8 ) Adott két egybevágó négyzet, az egyik csúcsai ABCD, a másiké CDEF (CD él közös). EF oldal felezőpontja az M pont. Adott még p = BA és q = AD vektorok; ezek segítségével fejezd ki AM vektort! AM = q p a q vektor duplája a q vektor a p vektor fele a p vektor a p vektor ellentettje pedig a p vektor

14 Korgeo Egy egyenes irányvektora i(; ). a) Add meg az egyenes egyik normálvektorát! Tudjuk, hogy az irányvektor és a normálvektor egymásra merőleges, így csak el kell forgatnunk a vektort 90 -al (koordináták felcserélése, majd az első ellentettje) i(; ) n( ; ) b) Az egyenes y tengelyt + -ben metszi. Add meg az egyenletét! Az irányvektor megadja az egyenes meredekségét, így csak fel kell írnunk az egyenletét y = m x + b ( m: meredekség; b: y tengely metszete ) y = x + i(; ) meredeksége: a) Add meg a A( ; ) és B(; ) pontokon átmenő egyenes egyenletét! (A függvénytáblában szerepel képlet a két ponton átmenő egyenesre.) Most leolvasható az ábráról a meredekség is és az y tengelymetszet is y = m x + b m = = b = y = x + b) Add meg az egyenes zérushelyét! Ez is leolvasható egyértelműen: x = c) Add meg AB szakasz hosszát! Ha nem látszana, akkor az egyenes egyenletét egyenlővé téve 0-val és megoldva az egyenletet, a megoldás megadja a zérushelyet: x + = 0 x = (A függvénytáblában szerepel képlet két pont távolságára.) Észrevehető az ábrán egy derékszögű Δ, abból Pitagoras-tétellel számolható a távolság: + = AB 0 = AB AB = 7, Adott egyenes, melyek meghatároznak egy Δ -et. f(x): y = x + g(x): y = x h(x): y = x a) Add meg a Δ csúcsainak koordinátáit! Az ábráról csak az A(; ) olvasható le egyértelműen A másik két csúcsnál az egyenesek metszéspontja segítségével számoljuk ki a koordinátákat, egyenletrendszerként kezeljük az egyenleteiket. B g és h metszéspontja I. y = x II. y = x y = y x = x x = B ( ; 7 ) C g és f metszéspontja I. y = x II. y = x + y = x = = 7 C ( 8 ; ) y = y x = x + x = 8 y = x = ( 8 ) =

15 b) Add meg a Δ legkisebb szögének nagyságát! A legkisebb szög mindig a legkisebb oldallal szemközti szög kiszámoljuk az oldalakat, majd cos-tétellel a legkisebbel szemközti szöget. Az oldalakat vagy képlettel, vagy a c) példában látott módon Pitagoras-tételekkel számoljuk A három oldal így: ; ;,7 cos-tételt felírva a kisebbik oldalra megkapjuk a szöget c = a + b ab cos = +,7,7 cos =,6 (A szögei így:,6 ;,6 ; 90,88 Az f(x) és g(x) egyenesek meredekségei egymás negatív reciprokai, így a két egyenes egymásra merőleges, azaz a háromszögünk valójában derékszögű.) Egy kör átmérője az AB szakasz. A( ; ) és B(; ). A kör középpontja az AB szakasz felezőpontja (O) Felezőpont számítása: a koordináták számtani közepe. O ( + ; + ) = O ( ; ) A kör sugara az AB távolság fele (mint korábban is számoltunk ilyet) AB = 7,8 r =,9 a) Add meg a kör egyenletét! Képlet szerint: (x u) + (y v) = r (x + ) + (y ) =,9 b) Hol metszi a kört az y = x + egyenes? Metszéspontszámítás: az egyenleteiket egyenletrendszerként kezeljük és kiszámítjuk I. (x + ) + (y ) =,9 II. y = x + I. (x + ) + ([ x + ] ) =,9 x + x + + ( x) =, x + x x + x =, x + x + =, x + x,96 = 0 x =, x =, y = x + = 0, y = x + =,0 M (,; 0,) M (,;,0) c) Rajta van a körön a P(; 0) pont? Egy pont rajta van a körön, ha a P(x 0 ; y 0 ) pont x 0 és y 0 koordinátáit beírva x és y helyére, az egyenlet azonosságot ad (azaz nincs ellentmondás). (x + ) + (y ) =,9 egyenletbe írva a P(; 0) pont ( + ) + (0 ) =,9 6,, éppen, de nincs rajta Amennyiben hibát találtál, kérlek írj az info@matematikam.hu címre, köszönöm! Sok sikert az érettségihez!