3. GEODÉZIAI VONATKOZTATÁSI RENDSZEREK MEGHA- TÁROZÁSA. 31. A vonatkoztatási ellipszoid

Átírás

1 3. GEODÉZIAI VONATKOZTATÁSI RENDSZEREK MEGHA- TÁROZÁSA 31. A voatkoztatási ellipszoid Felsőgeodéziai mukákba a meghatározott földfelszíi, vagy felszíközeli (többyire az I. redű alaphálózati) potok helyzetét általáos haszálatra ellipszoidi felületi koordiátákkal [16.1] adjuk meg. Kiszámításukhoz célszerűe választott méretű, alakú, elhelyezésű és tájékozású forgási ellipszoidot, ú. voatkoztatási (referecia) ellipszoidot vezetük be (amire a koordiátákat voatkoztatjuk). Az ellipszoid méretét és alakját elvileg szabado választhaták meg, de gyakorlati célszerűségi okokból őket úgy határozzuk meg, hogy a voatkoztatási ellipszoiduk a Föld (elméleti) alakját jól megközelítse. Ezt a feltételt azért szabjuk magukak, hogy - egyrészt a fizikai valóság leképezése az ellipszoidra miél kisebb torzulásokkal járjo, - másrészt az ellipszoid feletti magasságok viszoylag kis értékek legyeek és így, egyszerű lieáris összefüggésekkel legyeek számíthatók. Magát a forgási ellipszoid alakot, pedig az idokolja, hogy a mellett, hogy méretéek és alakjáak megfelelő megválasztásával a Föld alakjához ige közel áll, viszoylag egyszerűe kezelhető matematikai felület, amelye a felületi koordiáták kiszámítása em túlzotta ehézkes. A voatkoztatási ellipszoid meghatározásakor keressük a forgási ellipszoid a és e paraméteréek azt az értékpárját, amellyel az alakzat a megszabott feltételüket lehető legjobba kielégíti. Ha ezt a feladatot pusztá geometriai (szög és távolság jellegű) mérési eredméyekre támaszkodva oldjuk meg, akkor beszélük a voatkoztatási ellipszoid meghatározásáak geometriai vagy csillagászati-geodéziai (idege szóval asztrogeodéziai) módszereiről. Ezek között klasszikus eljárás a fokmérés módszere, melyek elvét már az ókor egyes természettudósai is alkalmazták.

2 3. A voatkoztatási ellipszoid meghatározása geometriai módszerekkel 31. A fokmérés és alkalmazásáak eredméyei 31.1 A fokmérés elve Ha valamely görbe felülete megmérjük a felületre merőleges sík által kimetszett rövid felületi ívdarab hosszúságát és meghatározzuk az ívdarab két végpotjához tartozó görbületi sugarak által bezárt középpoti szöget, akkor ezekből az adatokból az ív, a sugár és a középpoti szög összefüggésével kiszámítható a felületi ívdarabak és egyidejűleg a felületek az ívdarab iráyába eső görbületi sugara. Ez a fokmérés alapelve. A fokmérés elvét az ókorba a gömb alakúak képzelt Föld R sugaráak meghatározására haszálták. Ehhez elegedő volt egyetle s ívdarab és a hozzátartozó ϕ középpoti szög megmérése, amiből a gömb sugarát ki tudták számítai. (A mérést gyakorlati okból meridiába, vagy közvetle közelébe végezték.) A XVII. századtól, amikor Newto és Huyges felismerései alapjá a Föld (elméleti) alakját forgási ellipszoidak tekitették [1.], a feladat a forgási ellipszoid a és b tegelyhosszáak, vagy a és e paraméteréek meghatározása volt. Ekkor feltételezték, hogy a yugalomba képzelt tegerfelszíek ugyaazo forgási ellipszoid egyes felületdarabjai, a helyi függőleges iráyok ellipszoidi felületi ormálisokkal azoosak (így a csillagészleléssel meghatározott földrajzi koordiátákat ellipszoidi földrajzi koordiátákak tartották), a tegerszitre átszámított ívhosszak ellipszoidi felületi ívhosszakat eredméyezek. Mivel akkoriba a pólusmozgás fogalmát még em ismerték, a XIX. század végéig az előbbiekhez hozzájárult még az a hallgatólagos feltételezés is, hogy a földtestek a forgástegelye elfoglalt helyzete az időbe változatla, és a csillagészleléssel meghatározott földrajzi szélesség értékeket a forgástegelyre voatkoztatták. A fokmérés módszere az ellipszoid méretéek és alakjáak meghatározására is alkalmazható, de mivel ez esetbe két paramétert kell meghatározi, a fokméréshez tartozó méréseket legalább két helye kell elvégezi. Mivel a felületi ormálisok (görbületi sugarak) által bezárt középpoti szöget legköyebbe (és így legrégebb óta) az ív két végpotjáak földrajzi szélesség külöbségekét tudták meghatározi, ezért kezdetbe csakem kizárólag meridiá iráyú fokmérést végeztek. Külöböző földrajzi szélességű helyeke (az ellipszoid méretéhez viszoyítva elemi hosszúságú) két meridiá ívdarabot tűztek ki, melyek megmérték az s m1 és s m hosszúságát, továbbá végpotjaik ϕ 1 és ϕ 1, valamit ϕ és ϕ földrajzi szélességét. Ha az ívdarabok végpotjaiak ϕ 1 = ϕ 1 ϕ 1,ill. ϕ = ϕ ϕ szélességkülöbségét elosztjuk a megfelelő s m1,ill. s m ívhosszal, akkor kiszámíthatjuk az ellipszoidak az

3 egyes, elemi hosszúságúak tekitett ívdarabokhoz tartozó M 1 illetve M közepes meridiá iráyú görbületi sugarát. Ez viszot az ellipszoid geometriájából ismert M = M(a, e, ϕ) kapcsolatba va az ellipszoid paramétereivel és a földrajzi helyzettel. Így a két ívdarabhoz az M ~ ~ 1 és az M ismert számértékkel és az ívhosszak ~ϕ 1, ill. ~ϕ ismert közepes szélességével kétismeretlees egyeletredszert írhatuk fel, amelyből az a és az e két ismeretle kiszámítható. Az ívhosszakak a meghatározására Sellius 1615-be bevezette a háromszögelés módszerét, amit azóta is kiterjedte alkalmazuk a geodéziai gyakorlatba. A földrajzi hosszúságkülöbségek méréséek fejlődésével lehetővé vált a paralelkör iráyú fokmérés is. Ez esetbe azoos paralelkörö fekvő két pot között kell megméri az s p (paralelkör) ívdarab hosszát, továbbá szükséges a végpotok λ ellipszoidi földrajzi hosszúságkülöbségéek és ϕ ellipszoidi földrajzi szélességéek ismerete. A paralelkör sugarát egyrészt a mérési eredméyekből az s p / λ háyadoskét, másrészt az ellipszoid geometriájából ismert N cosϕ összefüggéssel fejezhetjük ki, ahol az N harátgörbületi sugár az N = N(a, e,ϕ) kapcsolatba áll az ellipszoid paramétereivel és a földrajzi helyzettel. A gyakorlati megoldáshoz ismét két ívdarabot kell megméri ϕ 1 és ϕ külöböző földrajzi szélessége. Az így felírható két egyeletből az a és e két ismeretle számítható. Végül a fokmérés elve harmadik változatba, általáos iráyú (vagy ferde ívű) fokméréskét is haszosítható. Ez esetbe a P 1 és a P tetszőleges helyzetű végpotok közötti s 1, ívhosszat, a végpotok ϕ 1 és ϕ ellipszoidi földrajzi szélességét, λ 1, ellipszoidi földrajzi hosszúságkülöbségét, valamit az ív két végéritőjéek a helyi meridiá iráyával bezárt α 1, és α,1 ellipszoidi azimútját kell meghatározi. Ily módo ismertté válik a PP 1 P ellipszoidi pólusháromszögek 6 adata. Mivel eek geometriai meghatározásához 3 adat és az ellipszoid megadásához további adat, összese tehát 5 adat szükséges, ezért még fölös mérésük is va. Így a mérési eredméyekből megfelelő geometriai összefüggésekkel az ellipszoid keresett két meghatározó adata kiszámítható. A gyakorlatba az elkerülhetetle mérési hibák hatásáak csökketése érdekébe általába a szükségesél több meyiség mérésével határozzuk meg a keresett ismeretleeket, ha az elérhető szélső potosságra törekszük. A fokmérés esetébe is, a gyakorlatba lehetőleg hosszabb ívdarabokat mértek, amelyeket közbeső potokkal több szakaszra osztottak. Így a keresett ismeretleek meghatározása szempotjából ú. fölös méréseik is voltak. Ilyekor az ismeretleek legmegbízhatóbb értékét valamilye égyzetösszeg miimumfeltétel bevezetésével a legkisebb égyzetek módszeréek alkalmazásával számították ki. Feladat: - Mutassuk be vázlato a meridiá, a paralelkör és az általáos iráyú fokmérés elvét.

4 31.. Nevezetes fokmérések A evezetesebb meridiá-fokmérések: 1. Az agol-fracia-spayol ív Saxavordtól (+60 50') Laghouatig (+33 48') 7 ' amplitúdóval kb km hosszba. Eek a fokmérések külöös evezetessége a Földközi-tegert Spayolország és Észak-Afrika között áthidaló éháy háromszög, amelybe km hosszú oldalak fordulak elő, s így a háromszögek szögeiek megmérése aak idejé - a XIX. század utolsó évtizedeibe - redkívüli ehézségeket okozott. Érdekességkét megemlítjük, hogy eek a meridiáívek Dukerque és Barceloa közötti középső szakasza azoos a méterfokmérés ívével, amelyek között végrehajtott mérése alapjá vezette le Méchai és Dalambre a méter hosszát.. A Struve-Taer-féle orosz-skadiáv ív a Fekete-tegertől az Északi-Jegestegerig (+45 0' és ' között) 5 0' amplitúdóval 800 km hosszba. 3. Az afrikai ív a 30 -os meridiá meté a Fokvárostól Kairóig 61 amplitúdóval (6750 km), amelyek középső kb. 18 hosszúságú ívét csak 1953-ba mérték meg. 4. Az idiai főív a 73 -os meridiá meté 1 amplitúdóval. 5. Az idiai. ív a 75 -os meridiá meté 19 amplitúdóval. 6. A 98 meti meridiáív az USA-ba, illetőleg Mexikóba, amelyek kész szakasza egy 3 -os és egy 6 -os ív. 7. A kelet-európai ív az Északi-Jeges-tegertől Kairóig, amely csatlakozik az afrikai ívhez. Nagy része, amely átszeli Norvégiát, Fiországot, Oroszországot, Ukraját, a második világháborúig elkészült. A Földközi-teger áthidalását Krétá át azoba csak későbbe oldották meg a SHORAN mérési techika (radar) eszközeivel. A evezetesebb paralelkör meti fokmérések: 1. A fracia közép paralelív csakem 15 amplitúdóval a 31 -os paralelkör meté egész az Adriai-tegerig.. A párizsi paralelív Bresttől Mücheig. 3. Az 5 -os paralelív~ 69 amplitúdóval, Írországtól az Urálig. 4. Az észak-afrikai ív. 5. Az idiai paralelívek a 13, 18 és 4 -os paralelkör meté. 6. Négy amerikai paralelív (3, 39, 4, és 46 meté) 60 amplitúdóval. 7. Az amerikai ferde ív a keleti part meté 3,5 amplitúdóval A fokmérések eredméyei A evezetesebb fokmérések eredméyei közül számszerűe a már említett ú. méterfokmérés ( ) ellipszoidjáak jellemzőit mutatjuk be (itt és egyéb helyeke is a umerikus excetricitás helyett a szemléletesebb f geometriai lapultság értéket adjuk meg):

5 a = ,7 m, f = 1/334,9. Eek, és más fokmérésekek az eredméyei is arra a gyakorlati tapasztalatra vezettek, hogy a kettőél több ívdarab mérési eredméyeiek együttes feldolgozásakor a maradék elletmodások általába léyegese agyobbra adódtak, mit amit a mérések szórása (középhibája) alapjá vári lehetett. A későbbi időkbe, amikor már több fokmérés eredméyei is redelkezésre állottak, megkísérelték ezeket együttes kiegyelítéssel feldolgozi. Erre első példa Walbeck ellipszoidja (1819), mely 6 fokmérés együttes feidolgozásával jött létre. Eek jellemzői: a = m, f = 1/30,78. Bessel, koráak legjobb 10 fokméréséből vezette le ellipszoidjáak jellemzőit ( ): a = ,15 m, f = 1/99,158. (Ez volt hosszú ideig a magyarországi felmérések voatkoztatási ellipszoidja [44.].) A több fokmérés eredméyéek együttes feldolgozása arra a sajátos tapasztalatra vezetett, hogy a maradék elletmodások ahelyett, hogy a mérési eredméyek számáak övelésével csökketek vola, még ikább övekedtek, és em véletle eloszlást mutattak. Ez a tapasztalat arra a felismerésre vezetett, hogy a helyi függőlegesek em ellipszoidi ormális iráyok. Akkor pedig a helyi függőleges iráyokra merőleges felület em ellipszoid, haem valamilye más felület. Így jutott el Gauss a szitfelületek és a Föld elméleti alakja új fogalmához, amit később geoidak eveztek el (Listig 1878). Földrajzi szélesség meghatározásaik közvetle mérési eredméyei az álláspot helyi függőlegeséek, tehát szitfelületi ormálisáak iráyát határozzák meg a térbe. Így a maradék elletmodások, a mérési hibák mellett, a helyi függőleges iráyok és az ellipszoidi ormálisok iráykülöbségét, vagyis a szitfelületek, (a geoid) és az ellipszoid egymástól eltérő görbületi viszoyait tükrözik. Így mai ismereteik szerit a fokmérések eredméyekét egyes (meridiá, paralelkör, vagy általáos iráyú) ívek meté a szitfelületek (a geoid) alakjához simuló ellipszoid méretét és alakját, azaz helyi simuló ellipszoidokat kapuk. Mivel a geoid görbületi viszoyai meglehetőse változatosak, ezért a simuló ellipszoidok is külöböző méretűek és alakúak, attól függőe, hogy hol végezték a méréseket. A külöböző helyeke simuló ellipszoidok geometriai középpotja sem esett egybe, sem egymással, sem a Föld tömegközéppotjával. Ily módo fokméréssel gyakorlatilag em lehet ú. földi (geocetrikus) elhelyezésű ellipszoidot meghatározi. A geoid fogalmáak bevezetésével az ellipszoid meg is szűt mit a Föld elméleti alakja, de megmaradt egyrészt a geodéziai helymeghatározás voatkoztatási felületekét, másrészt a földalak egyik szabályos megközelítőjekét. Átvitt értelembe ezért ma is haszáljuk pl. a FöId egyelítői tegelyhossza és a Föld lapultsága fogalmakat, amelyeke a Földet (a geoidot) helyettesítő (közelítő) valamelyik ellip-

6 szoid, szabatos értelembe az ú. közepes földi ellipszoid [343.3] megfelelő jellemzőjét értjük. (Eek meghatározása azoba csak fizikai módszerek bevoásával lehetséges, amivel későbbe foguk foglalkozi [34.]). Feladatok: - Hogya határozzák meg a földrajzi koordiáták a helyi függőleges, illetve az ellipszoidi ormális térbeli helyzetét? - Mely esetbe kapák ulla maradék elletmodás redszert? 3. A függővoal-elhajlás fogalma és alapösszefüggései A helyese felállított teodolit állótegelye a helyi függőleges (a helyi szitfelületi ormális) iráyába mutat. Mit a fokmérések tapasztalatai alapjá bebizoyosodott, a helyi függőleges iráyok, amelyekek térbeli helyzetét a földrajzi helymeghatározás méréseik eredméyei mutatják, az álláspoto átmeő ellipszoidi ormális iráyal éháy (esetleg éháyszor 10) másodpercyi szöget zárak be. Eek a szögek ξ meridiá iráyú vetülete a fokmérésekkel kapcsolatba már említett maradék elletmodás [31.]. Hasoló maradék elletmodásokra jutuk a paralelkör iráyú fokmérés számítása sorá is (ha fölös számú méréseik vaak). Ezek pedig a helyi függőleges iráy és az ellipszoidi ormális közötti szög meridiára merőleges vetületét adják, amit η-val jelölük. A két összetevőből előállítható Θ = (ξ +η ) ½ (3.1) szög tehát a helyi függőleges és az álláspoto átmeő ellipszoidi ormális iráykülöbsége, amit függővoal-elhajlásak evezük. (A függővoal-elhajlásak ettől kissé eltérő, más értelmezésével is foguk még találkozi [533.3.].) Attól függőe, hogy a függővoal-elhajlást valamely P földfelszíi potba, vagy eek P' geoidi megfelelőjébe értelmezzük, megkülöböztetük földfelszíi (Helmertféle), illetve geoidi (Pizetti-féle) függővoal-elhajlásokat. Másik megkülöböztetés szerit relatív függővoal-elhajlásról beszélük, ha a voatkoztatási ellipszoid geometriai középpotja általáos helyzetű és abszolút (geocetrikus) függővoal-elhajlást moduk, ha az ellipszoid középpotja a Föld tömegközéppotjával azoos. (Ezt a helyzetet csak fizikai módszerek alkalmazáséval lehet eléri.) A függővoal-elhajlás szögét, potosabba eek összetevőit a helyi függőleges, illetve az ellipszoidi ormális térbeli helyzetét meghatározó földrajzi koordiátákból és/vagy a szitfelületi és ellipszoidi azimút értékekből számíthatjuk. (Emlékeztetük arra, hogy mid a szitfelületi, mid az ellipszoidi földrajzi koordiátákat a földi térbeli derékszögű koordiáta-redszer (valamelyik megvalósulása, CIO-BIH, vagy ITRS) Z tegelyére, és XZ síkjára voatkoztatjuk [16.].) Ezekből ξ = Φ ϕ, (3.) η = (Λ λ) cosϕ, (3.3) η = (A α) ctgϕ. (3.4)

7 A (3.3) és (3.4) egybevetéséből redezés utá az azimútokra voatkozó Laplace-egyeletre jutuk A α = (Λ λ) siϕ, (3. 5) amely valamely iráy szitfelületi és ellipszoidi azimútja közötti külöbséget mutatja. Eek fotos szerepe va a geodéziai alaphálózatok számításakor. A függővoal-elhajlások alapvetőe abból származak, hogy a Föld tömegeloszlásáak szabálytalaságai miatt a szitfelületek változatosabb alakú felületek, mit a szabályos forgási ellipszoid alak. Feladatok: - Szerkesszük vázlatot a függővoal-elhajlás földfelszíi és geoidi értelmezéséek bemutatására! - Bizoyítsuk a függővoal-elhajlás összetevőkre felírt (3.) és (3.3) összefüggés helyességét egységsugarú gömb segítségével. - Állapítsuk meg, hogy mely esetbe lesz valamely iráy szitfelületi és ellipszoidi azimútja azoos agyságú. - Mi a geometriai értelme a (ξ = 0, η 0); a (ξ 0, η= 0) és a (ξ = 0, η = 0) értékpárokak? - Mi a geometriai tartalma a ullaértékű függővoal-elhajlásak? 33. A felületek módszere és alkalmazásáak eredméyei Az emberi társadalom fejlődése sorá a XVIII.-XIX. századba a gazdaságilag gyorsabba fejlődő földrészeke megkezdődött az országok területét beborító (emzeti) geodéziai alaphálózatok kialakítása. Ezeke belül éháyszor 10 km-es átlagos távolságokra alappotokat létesíteek, és megmérik a szomszédos potok közötti s i,k távolságokat valamit a potokból kialakított geometriai alakzatok (általába háromszögek) β h,i,k belső szögeit. A mérési eredméyeket a tegerszit magasságába számítják át, és a hálózatba felírható geometriai feltételek figyelembevételével kiegyelítik. A hálózat belső szögeiek és oldalhosszaiak mérésé kívül, több (Iehetőleg egyeletes területi elosztásba) kijelölt P i (i = 1,,... ) poto (a csillagászati-geodéziai potokba) megmérik a Φ i és Λ i szitfelületi földrajzi koordiátákat és a potból kiiduló valamelyik oldal A i,k szitfelületi azimútját. Ezeket a mérési eredméyeket a szitfelületek között vetítővoalkét a függővoalat haszálva a földfelszíi potok geoidi megfelelőjébe számítják át. A felsorolt mérési eredméyek szükségesek és elégségesek ahhoz, hogy belőlük a szóba lévő hálózat területé a geoid eze felületdarabjához simuló E(a, e ) forgási ellipszoidak a jellemzőit számszerűe meghatározzuk. Az erre a célra szolgáló számítási eljárás a felületek módszere, vagy más éve a csillagászati-geodéziai függővoal-elhajlás kiegyelítés. Eek a fejlődés külöböző fokát képviselő két változatát külöböztetjük meg.

8 33.1. A Helmert (Hayford)-féle (traszlatív) függővoal-elhajlás kiegyelítés Ez az eljárás léyegébe a fokmérés továbbfejlesztése (általáosítása) úgy, hogy em csupá egyes meridiá, ill. paralelkör ívdarabokhoz, haem a geoid egyes felületdarabjaihoz számítuk simuló ellipszoidot. A két felület simulásáak geometriai feltételekét a két felület ormálisai által bezárt szögek (azaz a függővoal-elhajlások) égyzetösszegéek miimumát választjuk. (Ez vezet ugyais a legegyszerűbb matematikai összefüggésekre a mérési eredméyekkel kapcsolatba, és ugyaakkor geometriai tartalmába megegyezik azzal a feltétellel, mitha a két felület merőleges távolságaiak ulla összegét, vagy égyzetösszegéek miimumát írák elő.) A geoidi ormálisok térbeli helyzetét egyes hálózati potokba a földfelszíe mért és a geoidra átszámított Φ i és Λ i szitfelületi földrajzi koordiáták segítségével adjuk meg. Az ellipszoidi felületi ormálisok helyzetét ugyaeze potok ellipszoidi földrajzi koordiátái mutatják. Ez utóbbiak kiszámításához fel kell vei az (a) és (e ) előzetes értékekkel jellemzett ellipszoidot előzetes voatkoztatási felület céljára. Fel kell vei továbbá a hálózat egyik csillagászati-geodéziai potjáak (ϕ 1 ), (λ 1 ) előzetes ellipszoidi koordiátáit és végül az ebből kiiduló egyik oldal (amelyre szitfelületi azimútot mértek) (α 1 ) előzetes ellipszoidi azimútját. Eze felvett 5 kiiduló adat és a hálózatba végzett szög- és távolságmérések kiegyelített eredméyeiek függvéyébe számíthatók a hálózat valameyi csillagászati geodéziai potjáak (ϕ i ) és (λ i ) előzetes ellipszoidi koordiátái. Ezek adják meg az előzetese felvett ellipszoidak a hálózati potoko átmeő felületi ormálisai térbeli helyzetét. E mellett a hálózati potok előzetes ellipszoidi koordiátáiból számítható az egyes hálózati oldalak (α i,k ) előzetes ellipszoidi azimútja is, amely szité a felületi ormálishoz kapcsolódó geometriai meyiség. Az egymáshoz illesztedő két felület, a geoid és az ellipszoid felületi ormálisai által bezárt szögeket, a (geoidi) függővoal-elhajlásokat a geoidi potok szitfelületi és ellipszoidi földrajzi koordiátáiak összevetéséből (illetve az η összetevőt még az azimútok alapjá is) lehet számítai a (3.), (3.3) és (3.4) összefüggéssel. Nyilvávaló, hogy a függővoal-elhajlások (a felületi ormálisok által bezárt szögek) ily módo kiszámított értéksorozata még em fogja a simulás feltételekét választott égyzetösszeg-miimum feltételt kielégítei. Ahhoz, hogy ezt elérhessük, a felvett 5 kiiduló meyiségek dϕ 1, dλ 1, dα 1, da és de kis változásait kell megegedük, és keressük eze kis változásokak (közöttük az ellipszoidi jellemzők változásáak) azt az értéksorát, amellyel az előzetes értékredszert megváltoztatva a yert ellipszoidi koordiátákkal számított függővoal-elhajlások égyzetösszege már a legkisebb. Mivel a feladat megoldását égyzetösszeg-miimum kereséshez kötöttük, előyöse alkalmazható itt is a legkisebb égyzetek módszeréek a kiegyelítő számításokból megismert formayelve. (Jóllehet, itt tudjuk, hogy a függővoal-elhajlások em tekithetők valószíűségi változóak, mert agyo is szabályos területi eloszlást mutatak. Így tulajdoképpe em helyes kiegyelítésről beszéli, de a gyakorlatba ez a számítási eljárás mégis függővoal-elhajlás kiegyelítés éve vált ismertté.) A közvetítő egyeleteket a függővoal-elhajlás már említett (3.), (3.3) és (3.4) összefüggései szolgáltatják, azzal a külöbséggel, hogy a ϕ i, λ i és α i,k végle-

9 ges ellipszoidi földrajzi koordiátákat és ellipszoidi azimútokat a (ϕ i ), (λ i ), (α i,k ) előzetes ellipszoidi koordiáták és azimútok és ezek egyelőre ismeretle dϕ i, dλ i, dα i,k változásaiak összegekét írjuk be. Kis átalakítással és a dϕ i, dλ i, dα i,k változásokat az 5 kiiduló meyiség szeriti parciális differeciálok összegéből alkotott teljes differeciállal helyettesítve, kapjuk a javítási egyeleteket a alakba. Ebbe v = A x + l (33.1) (max 3,1) (max 3,5) (5,1) (max. 3,1) ξi ηi v = (33.) cosϕ i µ i ctgϕi a kiegyelítő számítás formayelvé a javítások vektora, ahol az η i /cosϕ i -ket a földrajzi hosszúságból és az η i /ctgϕ i -ket az azimútokból számítjuk. A javítási egyeletek száma legfeljebb 3, ahol a hálózatba mért csillagászati-geodéziai potok száma (és midegyikük Laplace-pot, azaz midegyikükö mértek szitfelületi szélességet, hosszúságot és azimútot is). A tisztatagok l vektoráak elemeit a mért szitfelületi és a számított előzetes ellipszoidi földrajzi koordiáták, valamit azimútok külöbsége adja. Az A együtthatómátrix elemeit a ϕ, λ ellipszoidi földrajzi szélesség és hosszúság, valamit az α ellipszoidi azimút kiszámítására szolgáló függvéyekek az 5 kiiduló meyiség szeriti parciális első differeciálháyadosai adják az i.-ik mérési eredméy helyé, egatív előjellel. (Itt jegyezzük meg, hogy ebbe a számítási eljárásba sem a szitfelületi földrajzi koordiátákhoz és azimútokhoz, sem pedig a hálózati szög- és távolságmérésekhez em redelük változást, azaz ezeket gyakorlatilag hibátlaak tekitjük.) Az ismeretleek dϕ 1 dλ 1 x = dα 1 (33.3) da de vektora az 5 kiiduló adat kis változásait tartalmazza, melyekkel a kiiduló adatok előzetese felvett értékét meg kell változtati ahhoz, hogy az ellipszoid a mérési helyeke a geoidhoz a legjobba simuljo. Az ismeretle vektor elemeit a (33.1) szeriti, legfeljebb 3 számú javítási egyeletből a ( ξ +η ) = mi. (331.4)

10 feltétel mellett az x = (A*A) -1 A*l (331.5) alakból számíthatjuk, ha a javítási egyeletek száma agyobb 5-él. Az ismeretle vektor elemeiek kiszámítása utá végeredméykét kapjuk egyrészt aak az ellipszoidak az a = (a) + da és e = (e )+de (33.6) jellemzőit, amelyek a felületi ormálisai úgy illeszkedek a mérési helyeke a geoidi ormálisok közé, hogy az általuk bezárt maradék szögek (a függővoal-elhajlások) égyzetösszege miimumot adjo, azaz a két felület egymáshoz legjobba simuljo. A végeredméyek másik csoportja a hálózat P 1 kiválasztott potjáak a (33.6) adatokkal jellemzett simuló méretű és alakú ellipszoidra voatkozó ϕ 1 = (ϕ 1 ) + dϕ 1 és λ 1 = (λ 1 ) + dλ 1 (33.7) végleges ellipszoidi koordiátáit, valamit az ebből a potból kiiduló kiválasztott hálózati oldal végleges ellipszoidi azimútját adja. α 1 = (α 1 ) + dα 1 (33.8) Ez utóbbi eredméyek a kapott (33.6) méretű és alakú ellipszoidak a geoidhoz viszoyított simuló elhelyezését és tájékozását [4.] adják meg. Ez a számítási eljárás hallgatólagosa feltételezi azt, hogy a hálózat kiválasztott P 1 potjába a geoid és az ellipszoid egymáshoz viszoyított merőleges távolsága N 1 0, és mivel ehhez változást sem redel (dn 1 0), a simuló elhelyezés utá is az marad. Geometriailag ez azt a kötöttséget jeleti, hogy a (33.6) méretű és alakú ellipszoidot a simuló helyzet elérése érdekébe csak a felület iráyába (két dimezióba) mozgathatjuk (tolhatjuk el) úgy, hogy mide helyzetébe a P 1 pot geoidi megfelelőjé átmeje. Ezért ezt a megoldást két dimeziós függővoal-elhajlás kiegyelítések is evezik. Erre utal a címbe szereplő traszlatív jelző is (traszláció = eltolás) A Veig Meiesz-féle (projektív) függővoal-elhajlás kiegyelítés Az előbbi megoldásál tökéletesebb simuló helyzetet érhetük el, ha eggyel több szabadságfokot megegedve, az ellipszoidak a geoidhoz viszoyított három dimeziós mozgatását tesszük lehetővé. A harmadik iráy ez esetbe az ellipszoid felületére merőleges. Ilye iráyú mozgatás azzal érhető el matematikailag, hogy a kezdetbe felvett előzetes (N 1 ) geoid-ellipszoid távolságak (ami ulla is lehet) simuló helyzet elérése érdekébe dn 1 változását egedjük meg, és ezt is felvesszük a kiszámítadó ismeretleek közé. Ily módo az ismeretleek x vektora a (33.3)-hoz viszoyítva, bővül a dn 1 hatodik sorral. Mivel a geoid-ellipszoid távolságok változása az ellipszoidi földrajzi koordiáták és az azimút értékét (és velük együtt a függővoal-elhajlás összetevőket) is befolyásolja, ezért az A együttható mátrix is bővül az ellipszoidi szélesség, hosszúság és azimút függvéyek N szeriti parciális differeciálháyadosaiból álló hatodik oszloppal. Végeredméykét itt is megkapjuk a simuló ellipszoid méretét és alakját, továbbá a simuló helyzetbe az ellipszoidak és a geoidak egymáshoz viszoyított elhelyezé-

11 sét megadó ϕ 1, λ 1 és N 1 = (N 1 ) + dn 1 értékhármast, valamit az ellipszoid tájékozását jellemző kiiduló azimútot A felületek módszeréek eredméyei A felületek módszerét eredméyese alkalmazta Hayford ( ) az Észak- Amerikai Egyesült Államok területé létesített csillagászati-geodéziai hálózat eredméyeiek alapjá simuló ellipszoid meghatározására. Szádéka az volt, hogy ellipszoidja az egész Föld alakját jól képviselje. Így, eek érdekébe a mérés útjá levezetett függővoal-elhajlásokat izosztatikus javítással látta el. (Az izosztázia elvével a Geofizika tatárgyba ismerkedtek meg.) Ez azt jeleti, hogy a mérési potokra kiszámította a látható és az izosztázia modellje alapjá őket kiegyelítő tömegek által okozott függővoal-elhajlás értékeket, és ez utóbbiakat a mért értékekből levota. Feltételezése szerit az így megmaradó (izosztatikusa javított) függővoal-elhajlások már metesek a helyi hatásoktól, és az egész Föld tömegeloszlását tükrözik. Így, az ezekkel számított simuló ellipszoid általáosa jól haszálható lesz. Eredméykét a = m, f = 1/97 fél agytegely hosszúságot és lapultságot kapott, A velük jellemzett ellipszoidot a Nemzetközi Geodéziai Szövetség (IAG) 194-be Nemzetközi ellipszoid" éve elfogadta, és a tagországokak haszálatra ajálotta. Számos ország még ma is voatkoztatási ellipszoidkét haszálja. Mai ismereteik szerit azoba Hayford feltételezése az izosztatikus javítás hatását illetőe em váltotta be a hozzá fűzött reméyt, mert mid a méret, mid a lapultság kissé agyak sikerült. Ugyacsak a felületek módszeréek alkalmazásával vezette le Kraszovszkij (194) ellipszoidjáak jellemzőit az akkori Szovjetuió, Európa és az Észak-Amerikai Egyesült Államok csillagászati-geodéziai hálózatára támaszkodva. Eredméykét a = m, f = 1/98,3 ellipszoidi jellemzőket kapott. Ezt az ellipszoidot vezették be a Szovjetuió és a. világháború utái ú. európai szocialista országok (közöttük Magyarország) közös emzetközi voatkoztatási felületkét. Mai ismereteik szerit eek fél agytegelye még midig mitegy 100 m-rel hosszabb lett, míg a lapultsága már gyakorlatilag megegyezik a más módszerekkel meghatározott későbbi lapultság értékekkel. Végeredméybe a felületek módszere is helyi simuló ellipszoidokat szolgáltat, amelyek a simulás feltételét a meghatározásukhoz haszált csillagászati-geodéziai hálózat területé elégítik ki. A fokméréshez viszoyítva mégis fejlettebb módszer, mert az ellipszoid simítását a geoidhoz em csak ívdarabok, haem felületdarabok meté végezzük el. (Külöleges esetkét azoba magába foglalja a fokmérést is, amikor a felületdarab voaldarabbá szűkül össze.) Az egész Föld geoidjához simuló ellipszoid méretét és alakját azoba így sem lehet meghatározi, hisze a földfelszíek csak alig több mit ¼ része szárazföld, ahol a szükséges méréseket elvileg el tudjuk végezi. (Amit a tapasztalat mutatja, eze még a függővoal-elhajlások izosztatikus javítása sem segít kellő mértékbe.)

12 Az egész geoidhoz simuló ellipszoid jellemzőit tehát az eddig megismert geometriai módszerek egyikével sem lehet meghatározi. Mivel a gyakorlat számára erre mégis szükség va, kifejlődtek a fizikai geodézia módszerei is, amelyek segítségével ez a feladat is megoldhatóvá vált. A tisztá geometriai és a fizikai módszerek között átmeetet képez az a megoldás, amely mesterséges holdak észleléseit felhaszálva, geometriai úto határozza meg az egész geoidhoz simuló ellipszoid méretét és alakját. Feladatok: - Hasolítsuk össze a fokmérések és a felületek módszeréek eljárását. Mibe hasolóak, és mibe külöbözek egymástól? - Írjuk fel a felületek módszeréek számításába szereplő A együttható mátrix elemeit midkét féle megoldás esetére. - Miért em lehet az egész Földhöz egyetle simuló ellipszoidot számítai a felületek módszerével? 34. Az ellipszoid-méretek meghatározása a szatellitageodézia geometriai módszerével A mesterséges holdak geodéziai észlelésével az utóbbi évtizedekbe valameyi földrészre kiterjedő, összefüggő világhálózatok létesültek. Ezek lehetőséget adak a geoidhoz egész földi viszoylatba jól simuló, a geoidot jól megközelítő ellipszoid a, e jellemzőiek geometriai meghatározására. Ismert a világhálózat potjaiak szatellitageodéziai módszerrel meghatározott r helyvektora, amiből valamilye (tetszőleges) előzetes E[(a), (e )] ellipszoid felvételével számíthatók a pot (ϕ), (λ), (h) előzetes ellipszoidi koordiátái. Ha a szatellitageodéziai világhálózat számú potjáak szitezéssel meghatározzuk a geoid (tegerszit) feletti H i magasságát is (i = 1,, ), akkor a kétféle magassági mérőszám külöbségekét számíthatjuk az egyes potokba a geoid és a felvett ellipszoid (N i ) függőleges távolságát. Ebbe a külöbségbe H i a természetbe mért, valóságos méret, míg (h i ) a választott ellipszoid paramétereitől függő (képzeletbeli) érték. Keressük az ellipszoidi jellemzőkek azt a da, de megváltozását, amelyet a felvett (a), és (e ) előzetes értékhez hozzáadva, olya E[(a) + (da), (e ) + de ] méretű és alakú ellipszoidot kapuk, amely a N i = 0, vagy a N i = miimum feltétellel a legjobba simul a geoidhoz. Bizoyítható, hogy midkét feltétel ugyaarra az eredméyre vezet, de válasszuk az utóbbit, mert akkor a legkisebb égyzetek módszerét alkalmazhatjuk. A szitezéssel is meghatározott magasságú szatellitageodéziai világhálózati potok midegyikére felírható az h N i = (h i ) H i + a i h da + de e i (34.1) alakú javítási egyelet. Az számú egyeletből álló egyeletredszert a választott miimum-feltétellel megoldva, kapjuk az ismeretleek x vektoráak da, de elemeit.

13 Végeredméykét a szitezett világhálózati potokba a geoidhoz simuló ellipszoid jellemzői a = (a) + da és e = (e ) + de. * Mivel a geoid a földi ehézségi erőtér poteciáljáak szitfelülete, a geoidhoz simuló ellipszoid jellemzőiek meghatározására további olya módszereik is vaak, amelyek a feladat megoldásakor a ehézségi erőtérrel kapcsolatos fizikai meyiségek mért értékeire is támaszkodak. A felsőgeodéziáak a fizikai meyiségek mérési eredméyeiek feldolgozásával (haszosításával) foglalkozó részét fizikai geodéziáak evezzük. 33. A fizikai geodézia matematikai és fizikai alapjai A törtéelmi fejlődés sorá mit láttuk korábba a geodéziáak a geometriai (szög és távolság) jellegű eredméyeket szolgáltató mérési műveletei alakultak ki. Ezek azoba a voatkoztatási ellipszoid meghatározásába csak korlátozott lehetőségeket tudak biztosítai. Segítségükkel csak helyi simuló ellipszoidok határozhatók meg a geoidhoz. Az egész Föld elméleti alakját közelítő, geocetrikus elhelyezésű voatkoztatási felület alakjáak és méretéek meghatározásához a ehézségi erőtérre voatkozó fizikai jellegű mérések eredméyei segíteek hozzá. Az alkalmazható módszerek tárgyalása előtt célszerű feleleveítei, kiegészítei és összefoglali az ehhez szükséges matematikai és fizikai alapokat. Mivel a fizikai geodézia módszerei a ehézségi erőtér mérésé és matematikai leírásá alapulak, első sorba az ehhez szükséges külöleges matematikai ismereteket foglaljuk össze a geodéziai haszosításhoz szükséges mélységig A gömbfüggvéyek geodéziai alkalmazása A földi ehézségi erőtér W = W(r) = W(x,y,z) poteciálfüggvéyét a (141.5) alakba állítottuk elő. Ebbe a forgási cetrifugális erőtér V F poteciálját kifejező tag kiszámítása a hely és a forgási szögsebesség ismeretébe em okoz ehézséget. Ha azoba a V vozási poteciált kifejező tagot számszerűe is meg akarjuk határozi, akkor a bee előirt itegrálás végrehajtása áthidalhatatla ehézségekbe ütközik (em ismerjük sem a Föld belső tömegeloszlását, sem a Föld fizikai alakját, ami egyébkét sem matematikai felület). Ezért a V tömegvozási poteciál leírására alkalmasabb függvéyalakot keresük, amelyből ez téylegese kiszámítható lesz. Vizsgálatukat korlátozzuk a vozó földtömege kívüli térre.

14 A V poteciálfüggvéyről tudjuk, hogy gradies vektora (defiíció szerit) éppe a vozó erőhatást adja. A tömegvozási erőtérről pedig tudjuk, hogy a forrásmetes külső térbe divergeciája ulla értékű. Ezzel a megfotolással jutottuk a V V V div grad V = V = + + x y z Laplace-egyeletre, ahol = + + x y z = 0 (331.1) (331.) a Laplace-féle differeciáloperátor [131.]. Ha a V vozási poteciálfüggvéy alakját ismeretleek tekitjük, akkor a (331.1) Laplace-egyelet a másodredű, lieáris, álladó együtthatójú elliptikus differeciálegyeletek osztályába tartozó meghatározó egyelet V-re, melyek megoldásakét számíthatjuk ki a V poteciálfüggvéyt. Ehhez a számításhoz célszerűségi okokból az r,ϑ,λ térbeli poláris, azaz más szóval gömbi koordiátákra térük át, és a poteciálfüggvéyt is a gömbi koordiáták V = V(r) = V(r,ϑ,λ) függvéyekét, azaz gömbfüggvéy alakba keressük A felületi és a térbeli gömbfüggvéyek A célszerűségi okokból bevezetett r,ϑ, λ gömbi (térbeli poláris) koordiátákba átírva a (331.1) Laplace-egyeletet, a V 1 V = V V V V r + r + + ctgϑ + = 0 (3311.1) r r ϑ ϑ si ϑ ϑ alakú parciális másodredű differeciálegyeletre jutuk. Eek megoldásakét keressük tehát a V = V(r) = V(r,ϑ, λ,) poteciálfüggvéyt. A változók szétválasztásáak módszere szerit írjuk fel a keresett V függvéyt a V(r,ϑ, λ) = f(r) Y(ϑ, λ) (3311.) alakba és helyettesítsük ezt a (3311.1)-be. Ezzel a (3311.1) parciális differeciálegyelet megoldását közöséges differeciálegyeletek megoldására vezetjük viszsza. Így f(r)-re Euler típusú differeciálegyeletet kapuk, amelyek egymástól lieárisa függetle két megoldása Ezekkel pedig a keresett poteciálfüggvéy a f 1 (r) = r és f (r) = r -(+l). (3311.3) V 1 (r,ϑ,λ) = r Y (ϑ,λ) és (3311.4) V (r,ϑ,λ) = Y ( ϑ λ), + 1 alakba írható, ahol = 0, 1,... em egatív egész számok. r

15 A ϑ,λ gömbi koordiáták egyelőre ismeretle alakú Y függvéyét felületi gömbfüggvéyek (vagy gömbfelületi függvéyek) evezik, míg a V függvéy (3311.4) alakjáak jobb oldalá álló függvéyalakokat térbeli gömbfüggvéyek modják. Mivel lieáris differeciálegyelet partikuláris megoldásaiak összege is megoldás, írhatjuk általáosságba, hogy = =0 Y ( ϑ,λ) V r és V = = 0 Y r ( ϑ, λ) + 1 (3311.5) A (3311.1) Laplace-egyelet megoldása tehát első alakba a (3311.5) szeriti két térbeli gömbfüggvéy sor. Közülük a külső térre a jobboldali alak voatkozik, így a továbbiakba csak ezt fogjuk haszáli. Keressük a továbbiakba az Y felületi gömbfüggvéyek alakját. A (3311.1) Laplace-egyeletek, mit másodredű differeciálegyeletek a további megoldása sorá az Y(ϑ,λ) = g (ϑ) h(λ) (3311.6) újabb helyettesítéssel és a változók szétválasztásával további két közöséges differeciálegyeletre jutuk. Ezek egyikéek megoldásait alakba kapjuk. h 1 (λ) = cos mλ és h (λ) = si mλ (3311.7) A másik közöséges differeciálegyelet Legedre típusú egyelet, amelyek megoldásai a g(ϑ) = P,m (cos ϑ) = P,m (t) (3311.8) -ed fokú, m-ed redű Legedre-függvéyek, amelyeket általába a ahol P,m (t) = 1 (1 t ) m/ + m d (t 1), (3311.9) + m! dt = 0,1,,...; m = 0,1,,... képletből számíthatjuk. Itt a rövidség kedvéért alkalmaztuk a cosϑ = t jelölést. (Emlékeztetük arra, hogy 0! = 1.) A (3311.7) és a (3311.8) megoldást a (3311.6)-ba helyettesítve az -ed fokú felületi gömbfüggvéyekre az Y (ϑ,λ) = P,m (cos ϑ) cos mλ és ( ) Y (ϑ,λ = P,m (cos ϑ) si mλ alakokat kapjuk. Általáos megoldáskét ezek összes lieáris kombiációjáak összege

16 Y(ϑ,λ) = m= 0 ahol c,m és s,m tetszőleges álladók. [c,m P,m (cosϑ) cos mλ + s,m P,m (cosϑ) si mλ], ( ) Behelyettesítve az -ed fokú felületi gömbfüggvéyek ( ) általáos alakját a (3311.5)-be, kapjuk a V poteciálfüggvéyt térbeli gömbfüggvéysor alakba a (3311.1) Laplace-egyelet általáos megoldásakét a külső térre: V(r,ϑ,λ) = =0 1 r +1 m= 0 [c,m P,m (cosϑ) cos mλ + s,m P,m (cosϑ) si mλ]. (3311.1) Tetszőleges testek, így a Föld tömegéek is a vozási poteciálfüggvéye felírható a (3311.1) térbeli gömbfüggvéysor (térbeli Fourier-, vagy Laplace-Fourier-sor) alakjába a c,m és s,m együtthatók megfelelő megválasztásával. Mielőtt azoba erre rátérék, rövide összefoglaljuk még az ebbe szereplő felületi gömbfüggvéyek fotosabb tulajdoságait. A ( ) szerit értelmezett felületi gömbfüggvéyekbe szereplő -ed fokú és m- ed redű Legedre függvéyeket a (3311.9) képletből számíthatjuk. Két csoportjukat külöböztetjük meg. A Legedre-poliomok, az m = 0 redű Legedre-függvéyek, amelyek (ismét a rövidség kedvéért a cosϑ = t jelöléssel) a P (t) = Rodrigues-képlettel állíthatók elő. 1 d! dt (t 1) ( ) A szemléletesség kedvéért helyettesítsük a ϑ gömbi pólustávolságot a geodéziába haszálatosabb ψ = 90 ϑ gömbi szélességgel; ekkor cosϑ helyett siψ-t kell íruk, és a továbbiakba eek a P (siψ) Legedre-poliomjaiak a tulajdoságait foglaljuk össze. Ezek és mivel m = 0 esetbe cos mλ = 1 és si mλ = 0 a velük alkotott ( ) alakú felületi gömbfüggvéyek siψ-ek -ed fokú poliomjai. Eek megfelelőe a π/ ψ +π/ tartomáyba darab valódi ullahelyük (előjelváltásuk) va. A függvéyértékek 1 P Y +1 értékhatárok közé esek, és mivel a λ szögtől függetleek, az egységgömb felszíé csak a geocetrikus szélességtől függő eloszlást mutatak. A ullahelyek + és előjelű övekre (zóákra) osztják az egységgömb felszíét. Ie származik a zoális gömbfüggvéyek elevezésűk. A páros fokú zoális gömbfüggvéyek siψ-ek csak a páros, a páratla fokszámúak csak a páratla hatváyaiból álló poliomok, így eek megfelelőe páros ill. páratla függvéyek, amelyek a ψ = 0 gömbi egyelítőre szimmetriás, illetve aszimmetriás eloszlást mutatak. A hozzáredelt (asszociált) Legedre-függvéyek képezik a (3311.9) Legedrefüggvéyek másik csoportját, ha m 0 értéktű. Ezek vagy a (3311.9) általáos képletből, vagy a P (t) -ed fokú Legedre-poliomhoz a P,m (t) = (1 t ) m/ d dt m m P (t 1) ( )

17 összefüggéssel, a Legedre-poliom m-ed redű differeciálásával számíthatók. Ezek ( m)-ed fokú poliomok, amelyekek ugyaeyi valós ullahelyük (előjelváltásuk) va a 1 t +1 azaz a π/ ψ + π/ tartomáyba. A velük alkotott ( ) alakú felületi gömbfüggvéyek a λ szöget is tartalmazzák. Eek megfelelőe további m darab ullahelyük is va a 0 λ π tartomáyba. Ezek a felületi gömbfüggvéyek tehát a ullahelyekek megfelelő ψ = álladó és λ = álladó voalakkal határolt + és előjelű függvéyértékekkel jellemzett gömbi égyszögekre (tesszerákra) osztják az egységgömb felületét. Ie származik a tesszerális gömbfüggvéyek elevezésűk. Külöleges eset, ha = m, amikoris a hozzáredelt Legedre-függvéyekek és így a velük alkotott felületi gömbfüggvéyekek ics ullahelyük a π/ ψ +π/ tartomáyba. Ez esetbe csak a 0 λ π tartomáyba kapott m számú ullahelyet adó λ = álladó voalak osztják + és előjelű függvéyértékekkel jellemzett gömbi kétszögekre (szektorokra) az egységgömb felszíét. Ezért ezeket a felületi gömbfüggvéyeket szektoriális gömbfüggvéyekek evezik. A gömbfüggvéyek szemléletes ábrázolása található a következő címe: Feladatok: - Számítsuk ki siψ -ed fokú Legedre-poliomját és -ed fokú, m-ed redű hozzáredelt Legedrefüggvéyét az első éháy értékre. - Írjuk fel ezekkel a megfelelő felületi gömbfüggvéyeket. Ábrázoljuk a zoális, a tesszerális és a szektoriális gömbfüggvéyek előjel szeriti eloszlását 3 esetre. - Ábrázoljuk a P (siψ) és a P 3 (siψ) zoális gömbfüggvéy értékek eloszlását az egységgömbö A földi tömegvozás poteciálfüggvéye gömbfüggvéy alakba A gömbi koordiátákba felírt (3311.1) Laplace-egyeletek, mit parciális másodredű differeciálegyeletek általáos megoldásakét a (3311.5), illetve a felületi gömbfüggvéyek részletesebb kifejtésével a (3311.1) alakú térbeli gömbfüggvéysort kaptuk. Ez tehát tartalmazza midazo V(r,ϑ,λ) függvéyalakokat, amelyek a Laplace-egyeletet kielégítik. Egyes kokrét függvéyalakokra az egyelőre tetszőleges c,m és s,m együtthatók megfelelő megválasztásával juthatuk. A geodéziai szemléletesség kedvéért haszáljuk ismét a ψ = 90 ϑ gömbi koordiátát (eek megfelelőe cosϑ helyett siψ-t kell íruk) és vezessük be a C,m = c, m m és S m = kma s, (331.1) kma jelölést, valamit emeljük ki a felületi gömbfüggvéyek közös P,m (siψ) téyezőjét. Ily módo a (3311.1) a V = =0 általáos alakba írható. kma +1 r m= 0 [C,m cos mλ + S m si mλ] P,m (siψ) (331.)

18 Mivel a tömegvozás poteciálfüggvéye a forrásmetes külső térbe (1. feltétel!) kielégíti a Laplace-egyeletet, ez az általáos alak a tömegvozás poteciálfüggvéyét is tartalmazza. Tetszőleges test, így a földtömeg vozási poteciálfüggvéyére akkor jutuk, ha a (331.) általáos alakba szereplő együtthatókat a következők szerit értelmezzük: illetve m = 0 esetbe ( m )! 1 C,m = ( + m)! Ma Föld ( m )! 1 S m = ( + m)! Ma C = 1 Ma Föld Föld r M P,m (siψ M ) cos mλ M dm, r M P,m (siψ M ) si mλ M dm, (331.3a) (331.3b) r M P (siψ M ) dm, (331.4) ahol (r M, ψ M, λ M ) a Föld tetszőleges dm = r M cosψ M dr M dψ M dλ M tömegeleméek a gömbi koordiátái, ϑ = ϑ(r M, ψ M, λ M ) most a sűrűség, M a Föld össztömege és a a Földet képviselő ellipszoid egyelítői félátmérője. A gömbfüggvéysor alakjába felírt tömegvozási poteciálfüggvéy együtthatóiak kiszámítására szolgáló (331.3) és (331.4) összefüggéseket megézve, első tekitetre úgy tűik, hogy ezek részükre számszerűe éppe ayira em haszálhatók, mit a poteciálfüggvéy (13.3) alakja. Ugyais itt is szükséges lee a Föld sűrűségeloszlásáak és alakjáak ismerete az itegrálok kiszámításához. Mielőtt azoba ebbe a kérdésbe véglegese állást foglalák, ézzük meg a gömbfüggvéysor szóba lévő értelmezés szeriti együtthatóiak fizikai tartalmát legalább az első éháy érték esetére. Számítsuk ki a (331.3) és (331.4)-be előírt itegrálokba szereplő térbeli gömbfüggvéyeket = 0, 1, esetre és a szemléletesség érdekébe most helyettesítsük vissza ezekbe a tömegelem (x M, y M, z M ) derékszögű koordiátáit. Figyelembe vesszük, hogy a Föld össztömege, Föld dm = M (331.5) 1 M Föld x M dm = x 0, 1 M Föld y M dm = y 0, 1 M Föld a Föld tömegközéppotjáak koordiátái, Föld Föld z M dm = z 0 (331.6) ( y M + z ) dm = I M xx = A, ( z + x ) dm = I YY = B (331.7) M M

19 Föld ( x M + y M ) dm = I zz = C a Földek az x, az y és a z tegelyre voatkozó tehetetleségi (iercia) yomatékai, melyeket a geodéziába szokásos módo redre az A, a B és a C betűvel jelölük, továbbá, hogy Föld Föld x M y M dm = I xy = D, Föld y M z M dm = I yz, (331.8) x M z M dm = I yz a Földek az (x,y), az (y,z) és az (x,z) tegelypárra voatkozó cetrifugális másodredű yomatékai. A koordiáta-redszerüket úgy vesszük fel, hogy kezdőpotja (origója) a Föld tömegközéppotjával (. feltétel!), z tegelye pedig a Földek azzal a tehetetleségi főiráyával (főtegelyével) egybeessék, amelyre számított tehetetleségi yomatéka a legagyobb (3. feltétel!). Ekkor a Föld tömegközéppotjáak koordiátái és a z tegellyel (mit tehetetleségi főiráyal) kapcsolatos cetrifugális másodredű yomatékai ulla értékűek. Midezek figyelembe vételével kapjuk az együtthatók első éháy értékére, hogy továbbá C 00 = 1, C 1,0 = C 1,1 = C,1 = S 1,1 = S,1 = 0, (331.9) C,0 = 1 A + B C, (331.10) Ma 1 C, = 4Ma ( B A ) és S 1, = Ma D. (331.11) Látható, hogy a másodfokú tagok ullától külöböző együtthatói a Föld másodredű (tehetetleségi és cetrifugális) yomatékait tartalmazzák, amelyek a Föld össztömegéek külső mechaikai hatásait tükrözik. Hasoló a helyzet a többi együtthatókkal is. Itt jegyezzük meg, hogy a másodfokú, ulladredű együttható a sarki lapultsággal aráyos, míg a másodfokú másodredű együttható az egyelítői lapultságra jellemző. Szokásos jelölési mód (főkét a szatellitageodéziába) a J,m = C,m..és..K,m = S,m. (331.1) Ezzel a ullától külöböző másodredű együtthatók: A + B C J =, (331.13) Ma

20 A B J, = 4Ma D és K, =. (331.14) Ma Szokásos végül a ulladredű tagok együtthatóira a J és az m > 0 redű tagok együtthatóira a C,m és S,m jelölést együttese alkalmazi. A ulla értékű tagok elhagyásával, valamit az m = 0 (ulladredű) és az m > 0 redű tagok külö csoportosításával kapjuk végeredméybe a Föld vozási poteciálfüggvéyét gömbfüggvéysor alakjába: km V = r 1 a r J P a ψ. = m= r ( si ) + ( C, m cos mλ + S, m simλ) P, m ( siψ ) = 1 Szokásos még ugyaezt a gömbfüggvéysort a V = km r 1 a r J P a r (331.15) ( siψ ) + ( C, m cos mλ + S, m simλ ) P, m ( siψ ) = = m= 1 ormalizált alakba is felíri, ahol J = J C, m és = +1 S, m a ormalizált gömbfüggvéy együtthatók, továbbá P (si ψ) = + 1 P (siψ) és P, m (si ψ) = a ormalizált Legedre-függvéyek. ( + m)! ( + 1)( m)! C S, m, m (331.16) (331.17) ( + 1)( m)! P,m (siψ) (331.18) ( + m)! A földi ehézségi erőtér poteciálfüggvéyét pedig úgy kapjuk, ha a tömegvozási poteciálhoz hozzáadjuk a forgásból származó (cetrifugális) erőtér poteciálját: W = W(r,ψ, λ) = V( r,ψ, λ) + 1 ω r cos ψ. ( ) Eek gradiese pedig megadja a ehézségi térerősség vektorát. W g = gradw = W r r ψ 1 W r cosψ λ (331. 0) A (331.15) vagy (331.16) tömegvozási poteciálfüggvéy első tagja potszerű, vagy gömbszimmetriás tömegeloszlású, gömb alakú M földtömeg közpotos (cetrális) eloszlású vozási poteciálját fejezi ki. A ulladredű tagok sora a Föld vozási poteciáljáak forgásszimmetriás eloszlású eltéréseit mutatják az előbbiekhez viszo-

21 yítva, míg az 1 m -ed redű (m 0) tagok a földi tömegvozásak a hosszúságtól is függő (általáos eloszlású) eltéréseit fejezik ki a gömb- és forgásszimmetriás eloszlástól. A poteciálfüggvéy gömbfüggvéysor alakja egyrészt azért előyős a számukra, mert ezzel jól szétválaszthatók a poteciál gömbszimmetriás, forgási szimmetriás és általáos eloszlású részei. De eél is fotosabb másik előy az, amit egyes gömbfüggvéy együtthatók kiszámításakor láttuk, evezetese az, hogy ezek az egész Föld külső mechaikai hatásait tükrözik, és így ezek az ilye hatásokat tartalmazó mérések eredméyeiből, a Föld belső tömegeloszlásáak (sűrűségeloszlásáak) ismerete élkül is számszerűe meghatározhatók. Eek módszerével később foguk megismerkedi. Feladatok: - Gyűjtsük össze a vozási poteciálfüggvéy (331.15) alakjáak érvéyességi feltételeit! - Írjuk fel forgásszimmetriás erőtér vozási poteciálfüggvéyét gömbfüggvéysor alakjába. - Írjuk fel a ehézségi térerősség gömbfüggvéysorát a g W r közelítéssel. - Bizoyítsuk, hogy az = 0, 1. és. fokú gömbfüggvéy együtthatók valóba a (331.9), (331.10) és (331.11) értéket veszik fel. 33. A szitszferoidok A szitszferoidok alapösszefüggései A ehézségi erőtér poteciálfüggvéyét tetszőleges álladókkal egyelővé téve, kaptuk az erőtér poteciáljáak W = W(r) = álladó egyelettel leírható szitfelületeit. A W poteciálfüggvéybe a vozási poteciál (331.15) gömbfüggvéysorát írva a függvéy potos értékére és a szitfelületek valódi alakjára akkor jutuk, ha az összegezést = tagszámig végezzük el. Ha azoba a poteciálfüggvéy gömbfüggvéysora tagjaiak összegezését valamely = k <, véges számál abbahagyjuk (azaz a további, > k-ad fokú tagokat ulla értékűek tekitjük, vagy elhayagoljuk), akkor a poteciálfüggvéy potos értéke (a valódi poteciál) helyett eek k. fokú közelítését kapjuk. Az így yert k. fokú közelítő poteciálfüggvéyt a ormál poteciál függvéyéek evezzük, és megkülöböztetésül U k = U k (r) - rel jelöljük. A ormálpoteciál függvéyét külöböző álladókkal egyelővé téve a ormálpoteciál szitfelületeiek, vagy más éve a k. fokú szitszferoidokak az egyeletére jutuk. U k = U k (r) = álladó

22 (A szitszferoidok elevezés gyűjtőfogalom, amelybe beleértedő a szitszferoidok serege, ugyais végtele sok k értékkel végtele sokféle fokú ormál poteciálfüggvéy írható fel, és ezek midegyike végtele sokféle álladóval egyelővé tehető.) A szitszferoidok poteciál- (vagy muka-) felületek, és ilye értelembe valamely k. fokú szitszferoidok alkalmasak arra, hogy a valódi szitfelületek közelítő felületekét tekitsük őket. A Föld elméleti alakjáak, a geoidak a közelítőjét ormálszferoidak vagy földi szferoidak evezzük. A ormálpoteciál függvéyéhez is tartozik valamilye erőtér, amely erőtérek a poteciálját írja le. Ezt a képzeletbeli erőteret evezzük ormál ehézségi erőtérek. Ez aál közelebb áll a Föld valóságos ehézségi érőteréhez, miél kevesebb tagot hagytuk el a végtele gömbfüggvéysorból. A ormál ehézségi térerősség γ vektorát a ormálpoteciál gradiesekét értelmezzük. γ = grad U k A későbbi gyakorlati felhaszálás érdekébe általába arra törekszük, hogy a ormálpoteciál eloszlása, és ezzel a szitszferoidok alakja, lehetőleg egyszerű összefüggésekkel legye leírható, ezért eleve elhagyjuk a gömbfüggvéysorak a λ hoszszúságtól is függő, m > 0 redű (tesszerális) tagjait és a megmaradó forgásszimmetriás eloszlású, m = 0 redű zoális tagok közül is csak a páros fokszámú tagokra korlátozóduk, amelyek ψ-ek páros függvéyei. Az így megmaradó gömbfüggvéysor által leírt ormál poteciálfüggvéy és eek szitfelületei (a szitszferoidok) forgási és egyelítői szimmetriát mutatak. A gyakorlatba eek a gömbfüggvéysorak is csak az első egy éháy tagjára korlátozóduk. A legegyszerűbb eset a k = 0 értékhez tartozó közpotos (cetrális) erőtér lee, de ez még túl durva közelítés a földi szitfelületek alakjára, ezért a gyakorlatba elfogadott legegyszerűbb esetbe k = -ig összegezzük a sor tagjait. Így jutuk a Clairaut által levezetett, és róla elevezett Clairaut-féle szitszferoidra. Eek U = km r a ( siψ ) J P r + 1 ω r cos ψ = álladó (331.1) 1 egyeletébe az U ormálpoteciál függvéyek a 0. és a. fokú gömbfüggvéy tagja szerepel. Jó közelítéssel, eek r szeriti parciális differeciálháyadosa abszolút értékekét kapjuk meg az U poteciálfüggvéyhez tartozó elképzelt, ormál ehézségi erőtér térerősségét, ugyacsak gömbfüggvéysor alakjába U r km r a r γ = 3 J P ( siψ ) 1 ω r cos ψ. (331. ) Ha ψ= 0 és r = a, illetve ψ = 90 és r = b = a(1-f) helyettesítéssel kifejezzük a (331.1)-ből az U ormálpoteciál és a (331.)-ből a γ e és γ p ormál ehézségi térerősség értékét a Föld elméleti alakját (a geoidot) helyettesítő ormálszferoid felszíé az egyelítő és a sarkoko, akkor 4 összefüggésre jutuk, amelybe a ormál ehézségi erőteret meghatározó összese 8 meyiség