Modern Fizika Labor. 13. Molekulamodellezés. Fizika BSc. A mérés dátuma: nov. 08. A mérés száma és címe: Értékelés:

Átírás

1 Moder Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: ov. 08. A mérés száma és címe: 13. Molekulamodellezés Értékelés: A beadás dátuma: dec. 09. A mérést végezte: Szőke Kálmá Bejami Kalas György Bejámi

2 1. Bevezetés 1.1. A mérés célja A Mérés sorá külöböző megvalósuló molekulák paramétereit vizsgáltuk és számoltuk ki. Ezek a paraméterek a spi, az eergia, az adott molekula lehetséges rezgési módusai, és a kötésszögek voltak. Boyolultabb molekulák eseté a Schrödiger egyelet potos megoldása em lehetséges, ezért umerikus közelítéseket tuduk csak alkalmazi A mérési leírás A méréshez számítógépet haszáltuk, ami a Sparta Molecular Modellig program ált redelkezésükre a fizikia meyiségek kiszámításához. Ez külöböző közelítő módszerekkel és eljárásokkal képes a molekuláka fizikia meyiségeit kiszámoli. Ezeket a közelítéseket mi választhattuk ki a programba. Ezzel a számítási, potossági és gyorsasági igéyüket tudtuk szabályozi. Egy adott molekula szimulációjáál a feladatuk az, hogy meg kell határozuk a magok helyét, és az atomokkal kialakult kötéseket. Majd a programmal elvégeztük a geometriai optimálást, és így megkaptuk a kiszámolt optimális molekula geometriát. A program számításai sorá a hullámfüggvéy meghatározásához Hartree-Fock közelítést haszáltuk, hogy a fermiook eseté érvéyes Pauli elv az eredméyekbe bee legye. Vaak olya bázisok amelyekbe a számolás köyebbe elvégezhető, így a programba midig a feladathoz éppe szükséges bázist választottuk ki Hamilto operátor sajátértékei A kvatummechaikába az operátorok sajátfüggvéyei egyértékűek, folytoosak, és égyzetese itegrálhatóak. Az ilye függvéyek regulárisak. Ilye feltételek mellett a sajátérték egyeletre olya megoldásokat kapuk, amikhez fizikai jeletést tuduk tulajdoítai. Az öadjugált hermitikus operátorokak külöös szerepe va a kvatummechaikába. A kvatumredszerek leírásába kitütetett szerepet játszik a Hamiltooperátor, mely az adott redszer eergiájához tartozó öadjugált operátor. Legye Ĥ a Hamilto-operátor ami hermitikus operátor, eek eergia-sajátértéke legye E. Így a sajártérték-egyelete a következő. ĤΨ = EΨ 1

3 Mivel a Ĥ operátor hermitikus, ezért a érvéyes: ( ) Ψ, ĤΨ ( ) ( ) Ψ, ĤΨ = ΨĤ, Ψ A sajátérték-egyeletből pedig a következő adódik így: skalár szorzatra az alábbi azoosság (Ψ, EΨ) = (ΨE, Ψ) E (Ψ, Ψ) = E (Ψ, Ψ) E = E Ezzel a levezetéssel azt igazoljuk hogy a hermitikus operátorok sajátértékei midig valós számok. Vagyis így a Hamilto-operátor eergia-sajátértékei midig valósak Operátorok és mátrixok Egy  operátorról midet megtuduk, ha megismerjük egy tetszőleges Ψ állapotra gyakorolt hatását. A Ψ(t) = c (t) és c m (t) = m Ψ(t) formulák segítségével fejtsük ki egy ( = 1, 2, 3...) ortoormált bázis szerit mid a kiiduló Ψ -t, mid az ebből az  operátor hatására létrejött Â Ψ vektort. Ez a művelet úgy is leírható, hogy az  operátor elé is, mögé is beírjuk a = Î formula szeriti egységoperátort: Â Ψ = m b m m = m m b m = m m m Â Ψ = = m m m Â Ψ = m m A m c ahol bevezettük az  operátor m  = A m mátrixelemét. A leolvasható végeredméy: b m = A m c vagyis a Hilbert-térbeli báziso Â Ψ ket-ábrázoló c együttható-vektorból az Â Ψ - t ábrázoló b m együttható-vektort az A m mátrix-al való szorzással kaphatjuk meg. Jegyezzük meg, hogy egy öadjugált (hermitikus) operátor mátrixelemei redelkezek az A m = A m 2

4 szimmetriatulajdosággal. Egy másféle felépítésbe ezt a tulajdoságot is tekithetjük az öadjugáltság defiíciójáak. Ezek alapjá tehát írjuk át az időtől függő Schrödiger-egyeletet mátrixalakba: t Ψ = i Ĥ Ψ(t) = i Ĥ c (t) amit balról skalár szorozva m bra-vektorral, kapjuk a keresett mátrixos Schrödigeregyeletet: ċ m = i H m c Ekkor felírhatjuk már az adjugált időfüggő Schrödiger-egyeletet is: ċ m = i H m c = i c H m ami egy kevésbé elegás bizoyítása, a gyakorlatba sokszor haszált t Ψ = i Ψ Ĥ összefüggések Schrödiger-egyelet mátrix-reprezetációja, MatLab-ba A jegyzőköyvük eze részébe azt szereték megmutati milye módo lehet a kvatummechaika alapvető jeletőségű időfüggetle, egyrészecske Schrödiger-egyeletét közelítve megoldai umerikusa MatLab, Octave vagy más tudomáyos programcsomag segítségével. Vegyük a következő egydimeziós Descartes koordiátákba megadott egyrészecske Schrödiger-egyeletet. ĤΨ(x) = EΨ(x) 2 Ψ(x) + V(x)Ψ(x) = EΨ(x) 2m Egydimezióba a laplace operátor csak szimplá egy x változó szeriti kétszeres differeciál operátor. = 2 x 2 3

5 Ahhoz hogy umerikusa tudjuk kezeli a Schrödiger-egyeletet a feladatuk az az, hogy egy mátrix-sajátértékegyeletté alakítsuk át. Ehhez a közelítéshez a Ψ(x) hullámfüggvéyt és a V(x) poteciált egy [a, b] itervallumo ismerük kell, és egy tetszőleges felbotásba, vagyis lépésközbe ki kell értékelük ezeket a függvéyeket. Másik fotos lépés, amit teük kell az az, hogy a függvéyek kiértékeléséél haszált lépésközzel meg kell határozuk a differeciál operátor diszkretizált mátrixos alakját. A Ψ(x) második deriváltja h lépésközzel az i-edik potba a következő. ( ) 2 Ψ(x) x 2 x=x i = 1 h ( ) 2 Ψ(x) x 2 ( Ψ(xi+1 ) Ψ(x i ) h Ψ(x ) i) Ψ(x i+1 ) h x=x i = 1 h 2 (Ψ(x i+1) + Ψ(x i 1 ) 2Ψ(x i )) A második deriválás operátora úgy hat a Ψ(x) függvéyre, mit ahogya a Ψ = [Ψ(x 1 ); Ψ(x 2 )... Ψ(x )] oszlopvektorra hat a következő mátrix = h Ezzel az eredméyel a Schrödiger-egyeletet meg tudjuk adi olya mátrixos sajátértékegyeletkét, amit már egy tudomáyos programcsomaggal megoldhatuk umerikusa az E sajátértékre V (x 1 ) V (x 2 ) V (x V = 3 ) V (x 4 ) V (x ) 4

6 A Schrödiger-egyelet mátrix-sajátértékegyelete: 2m 2 Ψ(x 1 ) Ψ(x 2 ) Ψ(x 3 ). Ψ(x ) + V Ψ(x 1 ) Ψ(x 2 ) Ψ(x 3 ). Ψ(x ) = E Ψ(x 1 ) Ψ(x 2 ) Ψ(x 3 ). Ψ(x ) 2. Mérési eredméyek 2.1. Kétatomos molekula A kétatomos molekulák eredméyeit táblázatba foglaltuk össze (H 2, O 2, HCl). A molekulák optimális kötéshosszát és alapállapoti eergiáját sziglett és triplett spiállapotba számoltuk ki. Molekula r [Å] r [m] E 0 [Au] E 0 [J] H O HCl táblázat. Mért értékek sziglett állapotba Molekula r [Å] r [m] E 0 [Au] E 0 [J] H O HCl táblázat. Mért értékek triplett állapotba A táblázatba sorba lefelé ő a molekulákat alkotó atomok redszáma, és az elektroegativitásuk is. Az eredméyek azt mutatják hogy a kötés alapállapoti eergiája mélyül a táblázatba lefelé haladva, a kötések hossza viszot ő a sziglett és a triplett spiállapotba. Megfigyelhetjük azt is, hogy a triplett spiállapotokak a kötéshossza midegyik molekuláál hosszabb, mit a sziglett spiállapoté. Az eergiákat vizsgálva viszot azt vehetjük észre, hogy az O 2 triplett állapota va mélyebbe a szigletthez képest, ezt a többi molekulál pot fordítva látjuk. A triplett állapotba az O-ek két 5

7 párosítatla, azoos spiű elektroja va, így az alapállapotú O 2 paramágeses ayag. A másik három molekula alapállapotba diamágeses, mert csak párosított spiű elektrojaik vaak. Továbbá az eredméyekbe még azt kapjuk meg, hogy a triplett állapotú H 2 -ek olya agy a kötéstávolsága, hogy a program a kiszámolást em tudta elvégezi Víz molekula Első feladatuk az volt hogy határozzuk meg a vizmolekula (H 2 O) optimális geometriáját Hartree-Fock közelítés G báziso. A két egyszeres kovales O H kötések azoos hosszúak, r = [Å] = [m]-ek számoltuk, a két H között bezért szög 106, 22 lett. A molekula 3 kiszámolt rezgési módusa, az alapállapoti eergiája (E 0 ) és a dipólmometuma (p) a táblázatba látható. i f [1/cm] f [GHz] típus A A B1 E [Au] [J] p 2.20 [Debye] [C m] 3. táblázat. Víz molekula mért értékei 1. ábra. Víz molekula A vizmolekula elektrosűrűségé a pirosabbik vége találhatók ikább az elektrook, ott va a agyobb elektroegativitású O-atom, ez vozza a H-atomokkal kialakított kötést. Ezért lesz az O-es fele részlegese egatív, a másik fele részlegese pozitív. 6

8 2. ábra. Vízmolekula elektrosűrűségére vetített poteciális eergia 2.3. Bezol molekula A bezol (C 6 H 6 ) a legegyszerűbb aromás széhidrogé. A 6 széatomból álló gyűrűhöz, 3 delokalizált-kötés tartozik, ezekhez 6 db H-atom kapcsolódik. A feladat a bezolgyűrű alapállapoti eergiájáak kiszámolása, az optimális geometria, és a rezgési módusok meghatározása volt Hartree-Fock közelítésbe, G báziso. A geometriai számolt értékek a következők ábrá szemléltetjük. A teljese szimmetrikus rezgési módus, vagyis a,,lélegző jellegű módus az f = 1078 [1/cm] = [Ghz]-es volt. E 0 = [Au] = [J] 3. ábra. Bezol molekula 7

9 4. a bra. Geometriai adatok 5. a bra. Bezol molekula elektrosu ru se ge re vetı tett potecia lis eergia (homo) 8

10 6. ábra. Bezol molekula elektrosűrűségére vetített poteciális eergia (lumo 5+) 2.4. Buckmister-fulleré molekula A Buckmister-fulleré egy focilabda alakú gömböt alkotó molekula, ami 60 C-atomból épűl fel. 20 hatszög, és 12 ötszög alakú oldallapból épül fel úgy, hogy bármely hatszöghöz felváltva 3 ötszög és 3 másik hatszög csatlakozik. A feladatuk az volt, hogy szemiempirikus AM1 módszerrel határozzuk meg az optimális geometriáját, és a képződéshőjét (Q). A hatszöget és az ötszöget összekapcsoló élek oldalhossza [Å] = [m] agyságú lett. A több hatszögek kapcsolataiál számolt élekre pedig [Å] = [m]-t számoltuk a programmal. A hatszög szögeire , az ötszögére pedig lett az eredméy. Q = [ ] kj mol 7. ábra. Buckmister-fulleré molekula 9

11 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés A mérés célja A mérési leírás Hamilto operátor sajátértékei Operátorok és mátrixok Schrödiger-egyelet mátrix-reprezetációja, MatLab-ba Mérési eredméyek Kétatomos molekula Víz molekula Bezol molekula Buckmister-fulleré molekula Hivatkozások [1] Moder fizikai laboratórium, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 1995 [2] Kvatummechaika, Typotex Kiadó, Budapest, 2007 [3] Jegyzet [4] Liear Differetial Operators dory/vectorsp/diffoperatorsp pdf [5] Schrödiger-egyelet megoldása, MatLab-ba vargag/educatio/targyak/targyak/ feleveshazik/schroediger.pdf [6] Sparta Molecular Modellig User s Guide 10