J-INTEGRÁL SZÁMÍTÁSA NAGY ALAKVÁLTOZÁS ESETÉN. Horváthné Dr. Varga Ágnes egyetemi docens

Átírás

1 J-INTEGRÁL SZÁMÍTÁSA NAGY ALAKVÁLTOZÁS ESETÉN Horváthé Dr. Varga Áges egyetemi doces Miskolci Egyetem Mechaikai Taszék H-3515 Miskolc, Egyetemváros Az előadás célja a J-itegrál meghatározása agy alakváltozás feltételezésével kétdimeziós esetbe a végeselem módszer segítségével mid rugalmas, mid pedig rugalmas-képlékey ayagmodellre. Az előadás éháy egyszerű példa bemutatásával illusztrálja a J-itegrál alkalmazhatóságát agy alakváltozások feltételezése eseté. 1. Bevezetés A szerkezeti elemekbe jelelévő repedések ayaghibák, kostrukciós kialakítás vagy üzemeltetés következtébe jöhetek létre, jellemzésük a törésmechaika elméleti és kísérleti módszereiek segítségével végezhető el. Az elméleti módszerek aalítikus vagy umerikus (VEM, PEM) módszerek lehetek. A kotiuummechaika elmélete makrorepedések eseté alkalmazható. A repedések valamilye törésmechaikai mérőszám segítségével jellemezhetőek, melyek a következők lehetek: Feszültségitezitási téyező (K), Alakváltozási eergia felszabadulási mérték (G), Repedéscsúcs szétyílás (COD, δ), J-itegrál (J), Alakváltozási eergiasűrűség (S). E mérőszámok közül apjaikba ige elterjedt a J-itegrál meghatározása valamilye módszer segítségével. A szakirodalomba számos cikk található, amely a J-itegrál végeselem-módszerrel törtéő kiszámításával foglalkozik rugalmas ayagú testekél kis alakváltozás feltételezése mellett. Kevesebb publikáció foglalkozik J-itegrállal rugalmasképlékey ayagú testek eseté. A valóságos viszoyok potosabba írhatók le, ha agy alakváltozásokat tételezük fel a repedéscsúcs köryezetébe. Lau ás társai [1], [] a J- itegrál becslésére mutatták be módszerüket agy plasztikus deformáció feltételezése eseté. May és Kobayashi [3] általáosított síkfeszültségi állapotba stabil repedésterjedést és a J- itegrált vizsgálták a Moire módszer segítségével. Boothma és társai [4] kifejlesztettek egy J- ad Q-becslésére alkalmas sémát homogé lemezekre. Jackiewicz [5] egy hibrid modellt alkalmazott, melyél a végeselem- és kísérleti módszerek kombiációját haszálta. Bouchard és társai [6] egy lokális végeselem-módszert mutattak be, melyet a kovecioális J-itegrál meghatározással vetettek össze. Saczuk és mukatársai [7] egy em rugalmas ayagi viselkedésű kotiuum-modellt és a J-itegrál egyfajta általáosítását prezetálták. Azoba a szakirodalomba em található olya publikáció, amely a J-itegrál umerikus meghatározásával foglalkozik agy alakváltozás feltételezésével. Ezért az előadás célja egy kétdimeziós J-itegrál kifejlesztése agy alakváltozásra rugalmas, illetve rugalmasképlékey ayagmodell feltételezésével. A J-itegrál értékeiek kiszámítására a végeselemmódszert alkalmazza, mely az utóbbi évtizedekbe hatékoy eszközek bizoyult a méröki problémák umerikus megoldásáál. 1

2 . A J-itegrál meghatározása Az 1. ábra egy olya itegrálutat szemlélte, amely körülveszi a repedéscsúcsot és az alsó repedésfelülettől a felső repedésfelület felé halad. Rice [8] és Cherepaov [9] egymástól függetleül, közel azoos időbe bizoyították, hogy a következő itegrál úttól függetle meyiség: σ y ds x Γ σ 1. ábra: Itegrálási út a J 1 -itegrál kiszámításához ( ) J = U T u x ds. (1) 1 1 i i 1 Γ Ebbe a kifejezésbe U az alakváltozási eergiasűrűség, T i a terhelésvektor (feszültségvektor) a görbe külső i ormálisával meghatározott felülete, u i az elmozdulásvektor, ds az elemi ívhossz a Γ görbe meté. A repedéscsúcsot tartalmazó zárt görbé J 1 =. Kowles és Sterberg [1] továbbfejlesztették ezt a kifejezést, és egy síkbeli vektor egyik kompoeséek tekitették: ( ) J = U T u x ds. () k k i i k Γ Ez az itegrál is úttól függetle, feltéve, hogy a görbe a két repedésfelületet ériti. Rugalmasképlékey ayagmodell alkalmazása eseté az alakváltozási eergiasűrűséget a következőképpe defiiáljuk:

3 U = U + U. (3) e p U e meghatározása az alábbi: ahol ( ij) e ( ) 1 U e= σi j ε i j, (4) e ε jelöli az alakváltozás rugalmas részét, a képlékey rész pedig a következő összefüggés segítségével számítható ki: U p εp d p. (5) = σ ε Ebbe a kifejezésbe σ az effektív feszültség, ε p pedig az effektív alakváltozás. A. ábra egy kotiuum mozgását szemlélteti az (xyz) voatkoztatási koordiátaredszerbe. e r z z ( V ) P ( x, y, z ) Pˆ r r u = u ( V ) ( x, y z) P, Pˆ r r r r Pillaatyi kofiguráció x e r x Kezdeti kofiguráció y e r y. ábra: A kotiuum mozgása az (xyz) voatkoztatási koordiáta-redszerbe Tételezzük fel, hogy a () egyelet agy alakváltozás eseté érvéyes a pillaatyi kofigurációba. Mivel a kezdeti kofiguráció ismert, az itegraduszba szereplő kifejezést a kezdeti kofigurációba értelmezett meyiségekkel kell kifejezi. Ezért a továbbiakba az E Gree-Lagrage-féle alakváltozási, és a T II. Piola-Kirchhoff-féle feszültségi tezorokat kell alkalmazi. Igazolható, hogy rugalmas ayagmodell alkalmazásakor az U alakváltozási eergiasűrűség helyett a következő kifejezés írható: 3

4 1 Az elemi ívhossz az alábbi kifejezéssel adható meg: U = E T. (6) r r ds= ds λ = ds 1+ e E e, s, (7) ahol ds az elemi ívhossz a kezdeti kofigurációba, λ s a voalelemaráy (stretch), pedig az éritő egységvektor. A terhelésvektor (feszültségvektor) az alábbi összefüggés segítségével írható fel: r 1 r 1 r t = F T = F T λ A δ E + I r 1 r ( ) A (8) egyeletbe szereplő meyiségek a következők: T - a II. Piola Kirchhoff-féle feszültségi tezor, E - a Gree-Lagrage-féle alakváltozási tezor, F - az alakváltozási gradies tezor, I - egységtezor, r - a külső ormális a kezdeti kofigurációba, δ= Det F - a Jacobi determiás. e r. (8) Mivel r u = u r, az elmozdulásvektor szükséges deriváltjai az alábbi formulákkal adhatók meg: r u x y x y x x x x x y x x x y x r u ux r uy r ux x ux y r uy x uy y r = e + e = + e + + e y y y y y y x y x y y Az r = r + u r összefüggés felhaszálásával (9) és (1) átalakíthatóak: u x r uy r ux ux r uy uy r = ex + ey = + e x + + e y x y x y, (9).(1) r u 1 u y ux ux u y r 1 u y uy uy u y r = 1+ e 1, x + + e y x δ y x y x δ y x y x r u 1 u ux ux u x x r 1 u u x y uy u x r = 1+ e 1. x + + e y y δ x y x y δ x y x y (11) (1) 4

5 Hasoló átalakításokkal: y uy uy y dy= dx + dy = dy + dx + dy x y x y, (13) x ux ux x dx= dx + dy = dx + dx + dy x y x y. (14) Az előző kifejezések felhaszálásával felírható a J-itegrál két kompoese: uy u r y r u Jx = U d y + d x + d y t d s λ x ( Γ) x y s, (15) ux u r x r u Jy = U dx + dx + dy t ds λ y ( Γ) x y s. (16) Rugalmas-képlékey ayagmodell alkalmazásáál az alakváltozási eergiasűrűség agy alakváltozás eseté is: e U = U + U pl, (17) melybe U e a (6) egyelet szeriti, míg A (18) egyeletbe T és pl U pl a következő: (18) E az effektív feszültség, illetve az effektív plasztikus alakváltozás a kezdeti kofigurációba. Ferde repedésekél két koordiáta-redszert kell alkalmazi a kezdeti kofigurációba a 3. ábra szerit. y Y x E pl pl pl U = T d E. a β X 3. ábra: Koordiáta-redszerek a kezdeti kofigurációba 5

6 A megoldás előállítása az (X Y ) koordiáta-redszerbe törtéik, és megfelelőe át kell traszformáli az (x y ) koordiáta-redszerbe. A végeselem-módszer alkalmazásáál a (15) és (16) egyeleteket umerikusa kell kiszámítai. 3. Speciális elemek alkalmazhatósága Egydimeziós esetbe a sziguláris, izoparametrikus leképezés az egyes lépések részletezése élkül a következő összefüggések segítségével valósítható meg [11] a 4. ábra alapjá: l 1 3 k α 1 l α l α k l α - l α -1 l l sziguláris pot x 1 3 k k -1+ (-) -1+ (-1) 1 ξ 4. ábra: Az elem koordiátáiak leképezése l m x = ( 1 +ξ), m m x ξ= 1+. l (19) () Az x iráyú fajlagos yúlás agy alakváltozás eseté a következő kifejezéssel írható fel: Izoparametrikus elem eseté az u x elmozdulás koordiáta megadására az alábbi összefüggés szolgál: ux = b + b1ξ+ b ξ + K + b ξ, () melyek ξ szeriti deriváltja E xx du = + dx dx x 1 dux. (1) u ξ x ( 1 = b + b ξ+ 3 b ξ + K + b ξ ). 1 3 (3) () felhaszálásával ez a kifejezés a következő alakot ölti: 6

7 1 1 1 ( 1) m m m u x x x x = b1 + b 1 3b 3 1 b K +. ξ l l l () figyelembevételével (1) átalakítható: dux dξ dux dξ E xx = +. d ξ (5) dxx d ξ dxx (4) behelyettesítése a (5) egyeletbe az együtthatók összevoása utá- a következő kifejezést eredméyezi: 1 m m 3 m xx 1 m m 3 m ( ) ( ) ( ) E = A x + A x + A x + K + m ( ) ( ) ( m ) ( ) ( m ) m m m ( ) ( ) ( m ) m x 3 1, A x + A x + A x + K + + A (4) (6) ahol ( K ) A1 = C b1 b + 3 b3 ± b, C A = b 6b3 + 1b4 ± ( 1 ) b, 1 m K l M ( 1 ) C A = b ( 1) m l, A( + 1) = C [ b1 + 4b + K+ b 4b1b + 6b1b3 K± ( ) ± b b ± K ± 1 b b ], 1 1 C A( + ) = [b 1 1b 6b1b3 + 18b b3 4b 18b m 3 K ± l ( ) ( 1) ( )( ) ± 1 b b 1 b ], M ( ) C A( 3 1) = 1 l 1 m ( ) ( b ), C = 1 1 m. m l 7

8 A (6) kifejezés alapjá az alakváltozás az ( 1) x = ξ= helye szigulárissá válik. Az alakváltozási szigularitás típusát az első tag határozza meg. 1. példa 4. Numerikus példák mm-es közpoti repedést tartalmazó lemez, melyek szélessége 1 mm, hosszúsága mm, vastagsága 1 mm. Terhelése: p = 1 MPa, merőleges a repedésre. Szimmetria okok miatt a egyed lemezre készült végeselem háló, mely sziguláris és átmeeti elemeket tartalmazott. Az első számításokál az ayagmodell lieárisa rugalmas volt, az ayagjellemzők: ν =,3; E = MPa. Elméletileg J y = erre a problémára. Az 5. ábra a végeselem felosztást szemlélteti. 1 MPa ábra: Végeselem felosztás A 6. ábra a számítási eredméyeket ábrázolja rugalmas ayagmodellre a égy itegrálási út eseté, melyek az elemek Gauss potjai vezettek keresztül. A második számításál az ayagmodell lieárisa rugalmas lieárisa keméyedő volt H =,5 E és σ F = 1 MPa ayagjellemzőkkel. A terhelés teherlépésekét működött, a következő övekméyértékekkel:,1 p = 1 MPa;,9 p = 9 MPa;,3 p = 3 MPa. 8

9 J-itegrál Jered, J átlag [N/mm],5,,15,1,5 Jered (kis alakv.) Játlag (kis alakv.) Jered (agy alakv.) Játlag (agy alakv.), itegrálási utak 6. ábra: Számítási eredméyek rugalmas ayagmodellre A 7. ábra lieárisa rugalmas-lieárisa keméyedő ayag eseté mutatja a számított J- itegrál értékeket kis, illetve agy alakváltozásál. J-itegrál Jered, Játlag [N/mm] 4,, 16, 1, 8, 4,, Jered (1. töv., kis alakv.) Játlag (1. töv., kis alakv.) Jered (1. töv., agy alakv.) Játlag (1. töv., agy alakv.) Jered (. töv., kis alakv.) Játlag (. töv., kis alakv.) Jered (. töv., agy alakv.) Játlag (. töv., agy alakv.) Jered (3. töv., kis alakv.) Játlag (3. töv., kis alakv.) Jered (3. töv., agy alakv.) Játlag (3. töv., agy alakv.) itegrálutak 7. ábra: J-itegrál értékek lieárisa rugalmas-lieárisa keméyedő ayagál A 8. ábra a képlékey tartomáyokat szemlélteti a 3. teherövekméyél, míg a 9. ábra a Huber-Mises-Hecky elmélete szerit számított redukált feszültségek alakulását mutatja, ugyacsak a 3. teherövekméyél. 9

10 Kis alakváltozás Nagy alakváltozás 8. ábra: Képlékey tartomáyok a 3. teherövekméyél 9. ábra: Redukált feszültségek a 3. teherövekméyél 1

11 . Példa 45 o -ba elhelyezkedő, mm-es közpoti repedést tartalmazó lemez, melyek szélessége 1 mm, hosszúsága mm, vastagsága 1 mm. A terhelés p = 1 MPa. A végeselem háló sziguláris elemeket tartalmazott. Az első számításokál az ayagmodell lieárisa rugalmas volt, az ayagjellemzők: ν =,3 és E = 11 MPa. Rugalmas ayag eseté kis alakváltozásra ismert az aalítikus megoldás, mely szerit a J-itegrál két kompoeséek agysága azoos, csak előjelbe külöbözek egymástól: J x =,74439 N/mm és J y = -,74439 N/mm. A 1. ábra az alkalmazott végeselem felosztást, míg a 11. ábra a számított J-itegrál értékeket szemlélteti rugalmas ayag eseté a két választott itegrálási út meté. 1 MPa 1 1. ábra: Végeselem felosztás 11

12 J-itegrál (kis alakváltozás, rugalmas) J [N/mm] 1,5 1,,5, -,5-1, -1,5 1 itegrálási utak Jx Jy Jered Játlag J-itegrál (agy alakváltozás, rugalmas) J [N/mm] 1,5 1,,5, -,5-1, -1,5 1 itegrálási utak Jx Jy Jered Játlag 11. ábra: Számított J-itegrál értékek A redukált feszültségek alakulását mutatja a repedéscsúcsok köryezetébe rugalmas ayagmodell eseté a 1. ábra. A második számításál az ayagmodell rugalmas-képlékey volt, a folyáshatár pedig σ F = 417 MPa. Az ayag liearizált szakítódiagramját szemlélteti a 13. ábra. A terhelés teherlépésekét működött, a teherlépcsők értéke a következő volt: 1, p = 1 MPa;,5 p = 5 MPa; 1, p = 1 MPa; 1, p = 1 MPa. Az eredő J-itegrál értékek alakulása látható a 14. ábrá. A képlékey tartomáyokat szemlélteti a repdéscsúcsok köryezetébe a 15. ábra a 4. teherövekméyél. A Huber-Mises-Hecky-féle redukált feszültségeket láthatjuk a 16. ábrá ugyacsak a 4. teherövekméyél. 1

13 Kis alakváltozás Nagy alakváltozás 1. ábra: Redukált feszültségek rugalmas esetbe σ ,,11,6,5,73,99 ε 13. ábra: A liearizált szakítódiagram 13

14 Jered értékek Jered (1.töv, kis alakv.) Jered [N/mm] 1, 1, 8, 6, 4,,, 1 itegrálási utak Jered (.töv, kis alakv.) Jered (3.töv, kis alakv.) Jered (4.töv, kis alakv.) Jered (1.töv, agy alakv.) Jered (.töv, agy alakv.) Jered (3.töv, agy alakv.) Jered (4.töv, agy alakv.) 14. ábra: Eredő J-itegrál értékek alakulása Kis alakváltozás Nagy alakváltozás 15. ábra: Képlékey tartomáyok a 4. teherövekméyél 14

15 Kis alakváltozás Nagy alakváltozás 16. ábra: Redukált feszültségek a 4. teherövekméyél 5. Következtetések Az előző fejezetek alapjá látható, hogy a J-itegrál agy alakváltozások eseté is alkalmas a repedések jellemzésére mid rugalmas, mid pedig rugalmas-képlékey ayagok eseté. A bemutatott példák azt tükrözik, hogy a J-itegrál értékei agy alakváltozásokál agyobbak, mit kis alakváltozások eseté. Ez a biztoság iráyába törtéő változást jelet. A számítási eredméyek azt igazolják, hogy a speciális, izoparametrikus elemek agy 15

16 alakváltozások esetébe is alkalmazhatóak. Kis alakváltozásokál a J-itegrál úttól függetle meyiség. Ugyaez elmodható agy alakváltozások esetébe is. 6. Irodalomjegyzék [1] Lau, C.L., Lee, M.M.K. ad Luxmoore, A.R.: Methodologies for predictig J-itegrals uder large plastic deformatio-i. Further developmets for tesio loadig, Eg. Frac. Mech. Vol.49, No. 3. pp , [] Lau, C.L., Lee, M.M.K. ad Luxmoore, A.R.: Methodologies for predictig J-itegrals uder large plastic deformatio-ii. Sigle edge otch specimes i pure bedig, Eg. Frac. Mech. Vol.49, No. 3. pp , [3] May, G.B. ad Kobayashi, A.S.: Plae stress stable crack growth ad J-itegral/HRR field, It. J. Solids Structures Vol.3, No. 6/7, pp , [4] Boothma, D.P., Lee, M.M.K., Luxmoore, A.R.: The effects of weld mismatch o J- itegrals ad Q-values for semi-elliptical surface flaws, Eg. Frac. Mech. Vol.64, pp , [5] Jaczkiewicz, J.: Numerical aspects of o-local modellig of the damage evolutio i elastic-plastic materials, Comp. Mat. Sciece, Vol.19, No pp ,. [6] Bouchard, P.J., Goldthorpe, M.R., Prottey, P.: J-itegral ad local damage fracture aalyses for a pump casig cotaiig large weld repairs, It. J. Pressure Vessels, Vol.78, pp , 1. [7] Saczuk, J., Stumpf, H., Vallee, C.: A cotiuum model accoutig for defect ad mass desities i solids with ielastic material behaviour, It. J. of Solids ad Structures, Vol. 38, No. 5. pp , 1. [8] Rice, J. R.: A path idepedet itegral ad the approximate aalysis of strai cocetratio by otches ad cracks, J. App. Mech., Vol. 34, pp , [9] Cherepaov, G. P.: Cracks i solids, Prikl. Mat. Mekh., Vol. 5, pp , [1] Kowles, J. K.; Sterberg, E.: O a class of coservatio laws i liearized ad fiite elastostatics, Arch. Rat. Mech. Aal., Vol. 44, pp , 197. [11] Horváth, Á.: Higher-order sigular isoparametric elemets for crack problems, Comm. i Num. Meth. Eg., Vol. 1, pp. 73-8,