A hőátszármaztatás kétdimenziós matematikai modelljének és a változó peremfeltételeknek kitett épületszerkezetek hőátbocsátási modelljének kidolgozása

Átírás

1 OTKA yilvátartási szám: T ÉVI SZAKMAI ZÁRÓJELENTÉS Témavezető: Dr. Vajda József, főiskolai taár Pécsi Tudomáyegyete Pollack Mihály Műszaki Kar A hőátszármaztatás kétdimeziós matematikai modelljéek és a változó peremfeltételekek kitett épületszerkezetek hőátbocsátási modelljéek kidolgozása A feladat leírása A hőátszármaztatási feladat megoldásáak fő célja, hogy megállapítsuk az ayag belsejébe kialakuló hőmérsékletmezőt, vagyis azt, hogya változik az adott ayag belsejébe a hőmérséklet a hely függvéyébe. Tételezzük fel homogé közeget, ahol a hőmérséklet eloszlást derékszögű koordiáta redszerbe akarjuk meghatározi, vagyis tekitsük a T(x,y,z) függvéyt. Tekitük egy kis elemi dxdydz térfogatelemet. A hőáramsűrűség vektora felbotható merőleges összetevőkre. Legyeek ezek q x,q y,q z. Az elleoldali hőáramsűrűség: q x qxdx qx dx x q y q y dy q y dy (1) y q z q q dz zdz z z Az eergiamegmaradás törvéye szerit a kimeő és bejövő hőáramsűrűségek előjeles összege 0, ha feltételezzük, hogy ics belső hőforrás, és stacioer esetet vizsgáluk. q q q q q q 0 () x y z xdx ydy A () egyeletbe (1)-et behelyettesítve kapjuk, hogy zdz q x x q y dx y q z dy z dz 0 (3) A Fourier törvéy szerit : q x T dydz, x q y T dxdz, y q z T dxdy (4) z 1

2 W ahol a hővezetési téyező. []= mk Tehát (3) egyelet a következő alakúvá válik: T x T y T z 0 (5) Eze másodredű differeciálegyelet megoldása szolgáltatja a keresett hőmérséklet eloszlást. A megoldáshoz a peremfeltételek ismerete szükséges. A peremfeltételek fajtái Háromféle peremfeltétel adható meg egydimeziós esetre, az x=0 felületre: 1; Elsőfajú peremfeltétel: A felület hőmérséklete álladó T(0)=T 0 ; Másodfajú peremfeltétel: a; A felületre érkező hőáramsűrűség álladó T x x0 q'' 0 ahol q a felületegységre eső hőáramsűrűség b; Adiabatikus vagy szigetelt felület: T x x0 0 3; Harmadfajú peremfeltétel: A felület meté áramlás alakul ki: T x x0 ( T T fal ) ahol a kovekciós hőátadási téyező [ ] W m K A hőátszármaztatási feladat megoldása egydimeziós esetre, sík fal eseté Tekitsük egy d szélességű, hővezetési téyezőjű falat. Legye a külső hőmérséklet T k, a külső kovekciós hőátadási téyező k, a belső hőmérséklet T b, a belső tér hőátadási téyezője b. Adjuk meg a a falba a külső és belső falhőmérsékleteket, illetve a falba a felületre merőleges iráyba a hőmérséklet eloszlását. (1 ábra). 1. ábra Hőmérséklet-eloszlás a sík falba

3 A megoldadó differeciálegyelet: T x 0 egy közöséges, másodredű differeciálegyelet. Eek megoldása, ha a külső fal hőmérséklete T kf, a belső fal hőmérséklete T bf : T ( x) ( T T ) bf A külső és belső falhőmérsékletek meghatározása a következő egyeletredszer megoldásával törtéik: kf x d T ( TkfTk ) hk TbfTk k k d hk TbTkf ( TbTbf ) hb k k d hb (MEGJEGYZÉS: A MAPLE számítógép-algebrai redszerből átvett egyeletekbe szereplő jelölések jeletése a következő: Tkf külső falsík felületi hőmérséklete, Tk külső léghőmérséklet, Tbf belső falsík felületi hőmérséklete, Tb belső léghőmérséklet, hk és hb a külső és belső kovektív hőátadási téyező, k a hővezetési téyező, d a falvastagság.) Kétdimeziós, stacioárius hővezetés A következőkbe feltételezzük, hogy a hőáramlás gradiese csak egy iráyú. A kétdimeziós eset külööse élekél jeletős, ahol görbült izotermák és hőáramvoalak alakulak ki (. ábra). kf 3

4 . ábra Kétdimeziós hővezetés A feladat ebbe az esetbe a T x T y 0 (6) Laplace típusú másodredű parciális differeciálegyelet megoldása, ami a T(x,y) függvéy meghatározását jeleti. I. Aalitikus megoldás Ez csak agyo speciális alakzatokál és speciális peremfeltételek eseté alkalmazható. A megoldás függvéysorok segítségével adható meg. Példa: Laplace típusú differeciálegyelet megoldása a, b oldalú téglalap tartomáyra. A téglalap 3 oldalá legye a hőmérséklet T1, a egyedik oldalo T. (3. ábra) Legye u= TT1 TT1 Az elsőfajú peremfeltételek ekkor: 0<x<a, 0<y<b u(x,0)=f1(x)=0, u(x,b)=f(x)=1, u(0,y)=g1(y)=0, u(a,y)=g(y) =0 3. ábra Példa téglalap tartomáyra A keresett u(x,y) függvéyt szeparációs módszerrel illetve Fourier sorfejtés segítségével határozhatjuk meg. A feladat megoldása a MAPLE számítógép-algebrai redszer segítségével a következők szerit törtét: 4

5 pde := u ( x, y) u ( x, y) 0 x y Itt lehetőség va a parciális differeciálegyelet megoldásáak struktúráját meghatározi: struc := ( u ( x, y )f( x ) g( y )) &where d {, } dx f( x ) _c f( x) d g( y) _c 1 dy 1 g( y) ( _c x ) 1 _C3 si ( _c 1 y ) _C megold := u ( x, y ) _C3 si ( _c 1 y ) _C1 e ( _c x ) 1 _C4 cos ( _c 1 y ) _C _C4 cos ( _c 1 y ) _C1 e ( _c x) 1 e ( _c x) 1 e A következő feladat a peremfeltételekek megfelelő megoldások meghatározása: A partikuláris megoldást téglalap alakú tartomáyra keressük, ahol a peremfeltételek: f1( x) := 0 f( x) := 1 g1( y) := 0 g( y) := 0 a := 10 b := 10 A hosszúságok cm-be értedők. A megadott peremfeltételekek megfelelő partikuláris megoldást a Fourier sorfejtés segítségével keressük. A Fourier sor első tíz tagja: 4 B 1 := sih( ) 4 B 7 := 7 1 sih( 7 ) 4 B := 0 B 3 := 3 4 B 8 := 0 B 9 := 9 1 sih( 3 ) 1 sih( 9 ) Most írjuk fel a Fourier összeget, a sor első 10 tagjára: 4 B 4 := 0 B 5 := 5 B 10 := 0 1 sih( 5 ) B 6 := 0 4 sih y si x u 10 sih 3 y 10 4 si 3 x 10 sih y 10 4 si x 10 := sih( ) 3 sih( 3 ) 5 sih( 5 ) sih 7 y 4 si 7 x 10 sih 9 y si 9 x 10 7 sih( 7 ) 9 sih( 9 ) Ábrázoljuk a kapott kétváltozós függvéyt, az adott téglalap tartomáyba (4. ábra) 5

6 4. ábra A Laplace egyelet megoldása téglalap tartomáyra II. A Laplace egyelet megoldása a véges differeciák módszerével Az aalitikus megoldással elletétbe, ahol a közeg tetszőleges potjába meghatározható a hőmérséklet, a umerikus megoldások eseté a hőmérséklet értékek csak diszkrét potokba adhatók meg. Az első lépés eze potok megválasztása. A 5. ábráak megfelelőe ez úgy törtéik, hogy a testet egyelő kis részekre osztjuk, mely részek középpotját tekitjük referecia potokak. Ezeket csomópotokak, összességüket csomópoti hálózatak evezzük. A csomópotok megjelölése redezett számpárral törtéik, a két dimezióak megfelelőe. (F. P. Icropera, D. P. DeWitt: Fudematals of Heat Trasfer, Joh Wiley & Sos, 1981.) 5. ábra Csomópoti háló Az x iráyú változást az y iráyút az értéke mutatja. 6

7 T x T Tm 1, T Tm 1, T 1 x x 1 x m, m, (8) Egy csomópot hőmérséklete az adott tartomáy átlaghőmérsékletét reprezetálja. A feti összefüggés segítségével mide potra felírható a hővezetési egyelet. T T / x T / x m 1/, x x m1/, (9) A hőmérséklet gradieseit ebbe az egyeletbe beírva: T Tm 1, Tm 1, x x illetve T 1 T y T T 1 y T (10) Olya hálózatot haszálva, ahol helyettesítve kapjuk, hogy x = y az előző egyeleteket a Laplace egyeletbe T T T T T 0 (11) m, 1 m, 1 m 1, m 1, 4 m, Tehát az egzakt differeciálegyeletet közelítő lieáris egyeletredszerrel helyettesíthetjük. Ez az egyelet mide belső potra alkalmazható, ami a köryező potoktól egyelő távolságra va. A (11) egyelet helyességéről a belső potokra felírt eergia egyesúlyi egyelettel is meggyőződhetük. Tételezzük fel, hogy csak hővezetéssel törtéik eergia átadás az egyes potok között. Az koordiátájú pot 4 szomszédos elemétől kapott összes eergia: 4 i1 q 0 (1) i( ) ahol qi ( ) az i-edik pot által átadott eergiát jeleti. Ez azt jeleti, hogy a ki és beáramló összes eergia előjeles összege 0. Tételezzük fel, hogy az eergia x és y iráyba egyees voalba terjed. Ekkor a Fourier törvéy egyszerű formába alkalmazható: q ( m1, ) ( ) ) Tm 1, T ( y (13) x ahol feltételezzük, hogy a közeg egységyi vastagságú. Hasolóa Tm 1, T q( m1, ) ( ) ( y) (14) x 7

8 T 1 T q( 1) ( ) ( x) y (15) T 1 T q( 1) ( ) ( x) y (16) A (13)-(16) egyeleteket összeadva a (11) egyeletet kapjuk. Ha a közeg belsejébe eergiaforrás va, mely eergiaforrás által termelt eergia q( xy), eek hatására a (11) egyelet : q( xy) T 1 T 1 Tm 1, Tm 1, 4Tm, 0 (17) A (17)-es egyeletet mide belső elemre fel kell íri. Ezeket az egyeletek az előző formába em lehet felíri, ha szigetelt felületi potról, vagy olya felületi potról va szó, ami kovekcióak va kitéve. Ekkor ismét az eergia egyesúlyi egyeleteket kell felíri. Tekitsük egy belső sarokpotot, amely a közeg belsejéből hővezetések, a külső térből pedig kovekcióak va kitéve, ahol a külső tér hőmérséklete T k. A hővezetési egyeletek: q q q ( m1, ) ( ) ) ( m1, ) ( ) ) ( 1) ( ) ) q Tm 1, T ( y (18) x y Tm 1, T ( (19) x T 1 T ( x (0) y x T 1 T ) ( (1) y ( 1) ( ) 6. ábra Belső sarokpot, oldalsó pot és külső sarokpot 8

9 Az (m-1,) illetve az (+1) potokból származó hővezetés aráyos y és x értékekkel, y míg (m+1,) és (-1) potokból származó hővezetés a távolságok felével, és x értékekkel. A koordiátájú sarokpotba a kovekciós áramok is a félszélességekkel aráyosak: q x y k ( )( Tkülső T ) k ( )( Tkülső T ) () külső ( ) A (18)-()-es egyeletek összegéek 0-ak kell leie, feltéve, hogy ics eergiaforrás a testbe. k x k x ( Tm, T 1 ) ( Tm 1, T 1) Tk (3 ) T 1 0 ahol feltételeztük, hogy x = y. Hasoló meggodolásokkal vezethető le, hogy egy, a test oldalá lévő potra: k x k x ( T 1 Tm 1, T 1) Tk ( ) T 0 (3) Egy külső sarokpotra pedig: k x k x ( Tm 1 Tm 1, ) Tk (1 ) T, 0 (4) Meteorológiai adatok Az épületszerkezetek hőveszteségéek számításához az alapul szolgáló matematikai modell, és az épületszerkezeti, valamit hőátadási jellemzők mellett szükség va hosszú időtartamot felölelő és megalapozott meteorológiai adatokra is. Eek érdekébe az as évekbe Major György és mukatársai által végzett meteorológiai mérések alapjá az épületek változó peremfeltételek melletti hőveszteségéek meghatározásához a következő adatbázisokat gyűjtöttük, illetve állítottuk össze: - a apféytartam Magyarország külöböző területei havi botásba és a apféytartam évi összegei, - a vízszites felületet érő globálsugárzás api összegeiek gyakorisági eloszlása, továbbá az izoplétás ábrák a globál, a diffúz és a direkt sugárzás átlagára, miimumára és maximumára voatkozóa havi botásba, - a külöböző tájolású függőleges felületekre jutó globálsugárzás api átlaga és szórása havi botásba, továbbá a kapcsolódó izoplétás ábrák, - a szélsőséges sugárzási értékeket adó időjárási helyzetek adatbázisa havi botásba, 9

10 - adatbázis a hőveszteség-számítás szempotjából relevás meteorológiai jellemzők, úgymit a apsugárzás, a hőmérséklet és a szél komplex jellemzésére havi botásba, 0 1,9 m/s,,0 3,9 m/s, 4,0 7,9 m/s, 8,0 15,9 m/s szélsebességek, mit vezérparaméterek mellett. Az erre voatkozó kutatásaik szerit az egyre jobb hőszigeteléssel és agyméretű, déli tájolású üvegfelületekkel ellátott épületek (ezek jellemzőe ú.. alacsoy eergiafelhaszálású épületek, illetve passzívházak) mértékadó hővesztesége már em határozható meg a korábba, illetve jeleleg is alkalmazott eljárás szerit, amikor is midössze a külső hőmérséklet szélsőséges értékét vesszük alapul, Magyarország eseté -11, -13, vagy -15 ºC t. Az ilye épületek hőveszteségéek számítását két külöböző esetre kell elvégezi, az első esetbe szélsőséges külső hőmérséklet és a hozzátartozó jeletős apsugárzási itezitás feltételezésével, a második esetbe pedig mérsékelte hideg időjárás és a hozzátartozó kisebb apsugárzási itezitás feltételezésével. A kétféle számítás eredméye közül a agyobbat kell csúcs-hőveszteségek tekitei. A redelkezésükre álló meteorológiai adatok és azok összefüggéseiek taulmáyozása sorá megállapítottuk, hogy Magyarország voatkozásába az első eset a jauári időjárásra, a második eset pedig a ovemberi időjárásra jellemző. Ugyais hazák éghajlati körülméyei között jauár a leghidegebb hóap, amikor a gyakra derült időbe a szélsőséges külső hőmérséklethez jeletős sugárzás itezitás társul, ovemberbe pedig a téli hóapok közül a legagyobb a párayomás értéke (Budapeste pl. 706,6 Pa), ami azt jeleti, hogy a ovemberbe uralkodó mérsékelt hideghez a fedett égbolt miatt alacsoy sugárzás-itezitás társul. Az előbbi két hóapra a külső hőmérséklet és a szélsebesség voatkozásába Budapest területére a következő értékek jellemzők: a külső hőmérsékletek abszolút miimumaiak 50 évi átlaga (ºC) a szélsebességek középértékeiek 10 évi átlaga (m/s) ovember jauár - 3,7-10,7 1,6 1,8 November, illetve jauár hóapokra az előbbi két időjárási paraméterhez redelt apféytartam és globálsugárzás adatokat, valamit a sugárzás-itezitás értékeit a következő két táblázatba tütetjük fel: November ( közti mérési adatok) Szélsebesség 0,0 1,9 m/s, külső hőmérséklet: -5,0 - -0,1 ºC óraközök apféytartam (óra) globálsugárzás (J/cm ) sug.-itezitás (W/m ) 5,5 50,0 100,0 133,3 141,7 141,7 116,7 77,8 33,3 8,3 10

11 Jauár ( közti mérési adatok) Szélsebesség 0,0 1,9 m/s, külső hőmérséklet: -15, ,1 ºC óraközök apféytartam (óra) globálsugárzás (J/cm ) sug.-itezitás (W/m ),8 44,4 17,8 13,9 58,3 58,3 191,7 119,4 50,0.8 A apsugárzásak kitett falszerkezetekre voatkozó, későbbiekbe ismertetett számításokál a sugárzás-itezitást 0 és 300 W/m közti értékekre vettük fel (lásd 11. ábra), amely tartomáy lefedi az előbbi két táblázatba közölt sugárzás-itezitás értékeket, amelyek előfordulása ovemberbe és jauárba tipikusak modható. Kétdimeziós hőátszármaztatási feladatok megoldása külöböző esetekbe A következő potokba a kétdimeziós hőátszármaztatás számítására voatkozó egyszerű alapesetet, és a gyakorlat számára érdekes további eseteket (egy- és kétrétegű falszerkezet, a apsugárzás hatásáak figyelembe vételével és aélkül) mutatuk be, amelyek közül a. potba a számított eredméyek validitását mérésekkel is elleőriztük. 1. A kétdimeziós hőátszármaztatás alapesete hővezetéssel és egyoldali kovekcióval Tekitsük egy 1x1 m -es égyzet alapú téglát, melyek 3 oldalát 500 K-e tartjuk, a egyedik oldal szabado éritkezik a 300 K-es külső térrel. Legye =10 W/m K. Legye dx=dy=0,5 =1W/mK. Határozzuk meg az osztáspotokba a hőmérsékleteket! Szimmetria-okok miatt 8 potba kell a hőmérsékleteket meghatározi. (7 ábra) 7. ábra Négyzet alakú test potjai 11

12 Az 1, 3 és 5 belső potokra felírva a (11) egyeletet: e1 := 4 T1TT e3 := T14 T3T4T55000 e5 := T34 T5T6T75000 A,4 és 6 potok szimmetria voalo fekszeek, ezekre az előbb tárgyalt egyeletek: 7 és 8 potok külső felületi potok, ezekre: e := T14 TT45000 e4 := T T34 T4T60 e6 := T4 T54 T6T80 e7 := T59 T7T80000 e8 := T6 T79 T Így a keresett hőmérséklet-értékek Kelvibe kifejezve: T1 := T := T3 := T4 := T5 := T6 := T7 := T8 := Képezzük a test potjaihoz tartozó hőmérsékleti mátrixot: >A:=matrix(4,3,[T1,T,T1,T3,T4,T3,T5,T6,T5,T7,T8,T7]); A := Kétdimeziós hőátszármaztatás egyrétegű fal eseté apsugárzás élkül Tekitsük egy sarokelemet, melyek külső oldala 1,54 falvastagsága 0,4 m. Adottak a külső és belső hőmérsékletek, a hőátadási téyezők, a hővezetési téyező. Adjuk meg a hőmérséklet eloszlást a külső és belső falsík meté, illetve a falo belül két rétegbe. 1

13 8. ábra A sarokelem csomópotjai A számításokat a következő adatokkal végeztük: A külső hőmérséklet 80,4 K, a belső hőmérséklet 90,5K. W W A külső hőátadási téyező k = 4, a belső hőátadási téyező b = 8, a m K m K W hővezetési téyező = 0,056, a falvastagság d=0,4 m a csomópotok távolsága mk d=0,14 m. A Tkf külső falhőmérséklet és Tbf belső falhőmérséklet meghatározása egydimeziós esetre: egy := { Tkf Tbf , Tkf Tbf } Tbf := Tkf := Felhaszálva a (11), (), (3), (4) egyeleteket, felírtuk a felületi és a belső potok hőmérsékletéek meghatározására szolgáló egyeletredszert. Az egyeletredszer megoldásakét kapott hőmérséklet értékek o C-ba: T1 := T := T3 := T4 := T5 := T6 := T7 := T8 := T9 := T10 := T11 := T1 := T13 := T14 := T15 := T16 := T17 := T18 := T19 := T0 := T1 := T := T3 := T4 := T5 := T6 := T7 := T8 := T9 := T30 := T31 := T3 := (5) 13

14 T33 := T34 := T35 := T36 := T37 := T38 := A kapott hőmérséklet-eloszlást a 9a ábra szemlélteti. 8. ábra A sarokelem csomópotjai 9. ábra A számított hőmérséklet-eloszlás értékek a; = álladó, b; = korrigált A belső falsík hőmérséklet értékeit az 1.a. táblázat mutatja. Ha figyelembe vesszük, hogy a sarokelemhez közel a hőátadási téyező csökke, a módosított egyeletredszert megoldva, a sarokpot közelébe a hőmérséklet értékek csökkeek. A kapott számeredméyekből egyértelműe látszik, hogy a sarokpotba, és azok közelébe alacsoyabb felületi hőmérséklet értékek adódak (lásd 9 a. és 9 b. ábra). Ez a jeleség egyébkét yilvávalóa és jól megfigyelhető a gyakorlatba, amikor is a falsíkok találkozásáál a vízgőz-harmatpotál alacsoyabb felületi hőmérsékletek eseté a levegő vízgőz-tartalma ezeke a helyeke lekodezálódik, és eek következtébe a falfelülete peészgombák telepedhetek meg. Hőmérsékletek alapesetbe Hőmérsékletek korrigált esetbe T1 := T1 := T := T := T3 := T3 := T4 := T4 := T5 := T5 := T6 := T6 := T7 := T7 := T8 := T8 := a. táblázat A belső falsík számított hőmérsékletei, ha a belső hőátadási téyező értéke álladó illetve korrigált 14

15 (Alapesetbe 8,0 W/m K, korrigált esetbe pedig a falsíkok találkozásáál 0 W/m K, attól egy falvastagságyi távolságra 8,0 W/m K kovektív hőátadási téyezőt vettük fel, a két utóbbi között pedig lieáris iterpolációt alkalmaztuk.) Az eddigi gyakorlati tapasztalatok és az eziráyú elméleti kutatások szerit a belső falfelületre a szabváy által előírt 8,0 W/m K hőátadási téyező túl magas. E. Mayerek a stuttgarti Frauhofer Istitut-ba végzett kutatásai azt eredméyezték, hogy az emberi testfelület meté zárt térbe kiadódó saját kovekció értéke,9 W/m K. Ezekkel az eredméyekkel gyakorlatilag megegyezőe jutott H. Bach a Grashoff-Nusselt féle hatváyfüggvéy elméleti levezetésével arra a következtetésre, hogy a saját kovekció értéke em haladhatja meg a 3,0 W/m K értéket. Eek megfelelőe módosított adatokkal újabb számításokat végeztük, amelyekél a falsarokba a hőátadási téyezőt 0 W/m K-re, a saroktól 4 cm távolságra 3 W/m K-re, a kettő között pedig lieáris iterpolációval vettük fel. A módosított számítások eredméyeit az 1 b. táblázatba foglaltuk össze. Hőmérsékletek alapesetbe Hőmérsékletek módosított esetbe T1 := T1 := T := T := T3 := T3 := T4 := T4 := T5 := T5 := T6 := T6 := T7 := T7 := T8 := T8 := b. táblázat A belső falsík számított hőmérsékletei, ha a belső hőátadási téyező értéke álladó illetve módosított (Alapesetbe 3,0 W/m K, módosított esetbe pedig a falsíkok találkozásáál 0 W/m K, attól egy falvastagságyi távolságra 3,0 W/m K kovektív hőátadási téyezőt vettük fel, a két utóbbi között pedig lieáris iterpolációt alkalmaztuk.) A számított eredméyek validitásáak vizsgálatára 4 cm vastag, kétoldalo vakolt téglafalazato felületi hőmérséklet-méréseket végeztük. A mérés körülméyeit, és eredméyeit az alábbiakba rögzítjük. A mérés időpotja 003. II A mérésél felhaszált mérőműszer: TESTO 84- típusú ifrahőmérő időjárás: fedett égbolt, gyege apsugárzás felhőtakaró keresztül k,levegő = 41,0 %, t k,levegő = 7,4 C, b,levegő = 44, %, t b,levegő = 17,5 C t k1,fal = 3, C t k,fal =,9 C t k3,fal = 3,4 C 15

16 A mérési potok a padlószittől számított 1,0 m magasságba az a 10. ábráak megfelelőe kerültek felvételre: 10. ábra Mérési potok Az egyes mérési potokba mért felületi hőmérsékletek értékeit a. táblázat tartalmazza. m.p t b,fal 10, 13,6 14,5 15, 15,5 15,8 15, 15,8 ( C) m.p t b,fal ( C) 10, 14,1 14,8 15, 15, 15, 15,8 15,8. táblázat A mért belsőoldali felületi hőmérsékletek A számított és a mért értékek összehasolítása azt mutatja, hogy a fal külső oldalá mért felületi hőmérsékletek (t k1,fal, t k, fal, t k3, fal ) éháy 0 C-szal kisebbek a számított értékektől (vesd össze a 8. ábra hálózati csomópotjaira számolt értékekkel). Eek oka a külsőoldali hőátadási téyező értékéek bizoytalaságába, és a falfelület és az égbolt között kialakuló sugárzásos hőcserébe keresedő. A belső falfelülete mért értékek viszot jó egyezést mutatak a kisebb hőátadási téyezővel elvégzett számításokkal, illetve eze belül azokkal, amelyekél a falsarokba a hőátadási téyezőt 0 W/m K-re, a saroktól 4 cm távolságra 3 W/m K-re, a kettő között pedig lieáris iterpolációval vettük fel (lásd az 1.b. táblázat második oszlopát). Ebbe az esetbe a sarokpoti hőmérsékletek eltérése 1, 0 C, amely külöbség a 8., illetve a 15. pot iráyába haladva 0,3 0 C-ra csökke. Úgy a számítások, mit a mérések közös jellemzője, hogy a sarokpottól távolodva egyre kisebb lesz az azoos távolságokra voatkozó hőmérséklet- 16

17 övekedés, eltekitve attól az aomáliától, amely az 5., 6. és 7. mérési potokba figyelhető meg, és amely yilvá a mért falszerkezet miőségi, kivitelezési eltérésével, hiáyosságával függ össze. Megállapítható továbbá, hogy ebbe a kokrét esetbe a falsaroktól számított kétszeres falvastagságyi távolságo túl a belsőoldali felületi hőmérséklet már alig változik, tehát eze a tartomáyo túl az egydimeziós hővezetésre alapozott számítás elegedő potosságú eredméyt yújt. Összefoglaláskét megállapítható, hogy a felállított és megoldott matematikai modell a módosított belsőoldali hőátadási téyezőkkel a mért adatokkal jól egyező eredméyeket szolgáltat. A hőátadási téyezőkbe rejlő bizoytalaság mideesetre további alapkutatások végzését idokolja eze a területe. Fetieke túlmeőe a 003. évbe megvásárolt Eergieberater 5.08 című szoftver felhaszálásával összehasolító számításokat végeztük egy családi házra voatkozóa, aak traszmissziós hővesztesége, a hőhidak által okozott hővesztesége, és az éves fűtési hőigéye tekitetébe, két külöböző variáció felvételével. Az 1. variáció eseté a szokásos építészeti kialakítást, a. variáció esetébe pedig gyakorlatilag hőhídmetes kialakítást vettük figyelembe. Az összehasolító számítások végeredméyeit a 3. táblázatba tütetjük fel. 1. variáció. variáció éves traszmissziós 14345, ,8 hőveszteség kwh-ba a hőhidak által okozott éves 3301,58 0,87 hőveszteség kwh-ba összese (kwh-ba) , ,7 éves fűtési hőigéy kwh-ba táblázat A példakét vett családi ház éves traszmissziós hővesztesége és a hőhidak által okozott hőveszteség a szokásos építészeti kialakításál és gyakorlatilag hőhídmetes kialakítás eseté A számított eredméyek összehasolításából jól látható, hogy az épület fűtési hőigéyéek alakulásába a hőhidak ige jeletős szerepet játszaak. Úgy az előbbi táblázat 3., mit 4. soráak eredméyei mitegy 3 %-os eltérést mutatak, vagyis a hagyomáyos kialakítású épületek hőfelhaszálása eyivel agyobb az ideális, hőhídmetes épület hőfelhaszálásáál. A hőhidakak a hőfelhaszáláso belüli kiemelkedő szerepe ismételte aláhúzza jele kutatási muka jeletőségét, amelyek gyakorlati haszakét éppe eze hőhidak által okozott hőveszteség lesz potosa számítható a kétdimeziós matematikai modell alapjá. 3. Kétdimeziós hőátszármaztatás egyrétegű fal eseté apsugárzással A kitűzött kutatási feladathoz kapcsolódóa szükségesek tartottuk a falszerkezetek belső és külső oldalá kialakuló hőátadási téyezők agyságáak felülvizsgálatát is. Az ezzel kapcsolatos eredméyeiket az Oldebourg Verlag által kiadott Gesudheitsigeieur című folyóirat 17. évfolyama 006/1. számába Ei Beitrag zur Bestimmug der iere ud aeussere Waermeübergagskoeffiziete vo Aussewaede cím alatt publikáltuk ( oldal) Eze kutatás sorá midkét oldali hőátadási téyezőt egy kovektív és egy sugárzási tag összegekét állítottuk elő. A belső oldali hőátadási téyező értéke függ a helyiségbe alkalmazott fűtésmódtól is (radiátoros fűtés, falfűtés, vagy padlófűtés), és számértéke a legjellemzőbb elredezések eseté 6,99 és 7,1 W/(m K)-re adódott ki, amelyek átlagértékét haszáltuk fel a további, a kétdimeziós hővezetéssel kapcsolatos 17

18 számításaikál. A külső oldali hőátadási téyező értéke pedig az eek meghatározására kidolgozott matematikai modell alapjá 14,06 W/(m K) értékűre adódott ki. Megállapítható, hogy a hőátadási téyezők értékei midkét esetbe kisebbek a szokásosa alkalmazott értékekél ( b = 8 W/(m K), és ( k = 5 W/(m K)). A apsugárzásak kitett falszerkezet eseté ha a külső fal a külső hősugárzásból q W/ m -t elyel, akkor a falhőmérsékletek meghatározásához ezt is figyelembe kell vei. A külső hősugárzás csökketi a külső kovekció okozta hőveszteséget, ezért ezt egy egatív hr hőátadási téyezővel vesszük figyelembe. Így a (5) egyeletredszer a következő alakúvá válik: k ( TbfTkf ) k ( TbfTkf ) egy := { ( TkfTk ) ( hkhr ), ( TbTbf ) hb, d d qhr ( TkfTk ) } (5*) Megvizsgáltuk, hogya változak a falhőmérsékletek egydimeziós esetre, külöböző hősugárzás eseté: q Tbf Tkf táblázat Belső és külső falhőmérsékletek külöböző hősugárzás eseté. A külöböző elyelt hőáramokhoz tartozó hőmérséklet-eloszlást a módosított külső és belső falhőmérsékletekkel is megoldottuk. A kapott hőmérséklet-eloszlásokat a 11. ábra szemlélteti. Együtt ábrázolva az 1 m -re jutó 0, 100, 00, és 300 W elyelt hőáramokhoz tartozó hőmérséklet-eloszlást, megfigyelhető, hogy a külső és belső falhőmérsékletek közötti külöbség csökkeésével a sarkokba megfigyelt hőmérséklet csökkeés is kisebb lesz. 18

19 Piros q=300 W/ m Naracssárga q=50 W/ m Sárga q=00 W/ m Zöld q=150 W/ m Kék q=100 W/ m Lila q= 50 W/ m Mageta q= 0 W/ m 11. ábra Hőmérséklet-eloszlás külöböző külső besugárzás esté A kapott eredméyek egyértelműe mutatják, hogy a sugárzás-itezitás övekedésével csökke a hőmérséklet-eloszlás egyelőtlesége úgy a belső, mit a külső falsíko is. A legkisebb hőmérsékletű külső sarokpot voatkozásába megállapítható, hogy alacsoy sugárzás-itezitás (0-100 W/m ) eseté 50 W/m itezitás-övekedés midössze 1- Celsius fok hőmérséklet-övekedést eredméyez. Nagyobb sugárzás-itezitás ( W/m ) eseté 50 W/m itezitás-övekedés 5-10 Celsius fok hőmérséklet-övekedést eredméyez. 4. Kétdimeziós hőátszármaztatás kétrétegű fal eseté apsugárzás élkül A továbbiakba egy kétrétegű fal hővezetéséek kétdimeziós esetbe való meghatározásával foglalkoztuk, amelyél az egyes potokba kialakuló hőmérséklet-értékeket szité a véges differeciák módszeréek alkalmazásával határoztuk meg. A kutatás sorá meghatároztuk a belső és külső falsíko továbbá a falszerkezete ( 30 cm téglafal + 10 cm hőszigetelés) belül, a falsíktól mért 3 külöböző mélységbe kialakuló hőmérsékleteket, mégpedig a belső sarokpottól számított 10 cm-es lépésekét, egésze 0,8 m távolságig. Az eredméyeket grafikusa is ábrázoltuk. Az így kapott axoometrikus ábrák ige szemléletes képet adak a falsarkok közelébe kialakuló hőmérsékletértékekről. (1. ábra) A számításokat 4 külöböző esetre (0,30 és 0,40 m téglavastagság, midkét esetbe 0,1 m hőszigeteléssel és aélkül) végeztük el. Mivel a hőérzeti voatkozások miatt a belső falsíko kialakuló hőmérsékletekek kitütetett szerepe va, ezért ezek számított értékeit a 4 esetre voatkozóa itt külö össze is foglaltuk (lásd 5. táblázat) 19

20 1. ábra Hőmérsékletek a külső és belső falsíko 10 cm es hőszigeteléssel és hőszigetelés élkül Hőszigetelés élkül Hőszigeteléssel Saroktól mért téglavastagság: téglavastagság: távolság (m) (m) (cm): 0,30 0,40 0,30 0,40 0 4, ,0771 6,4716 6, , , , , ,975 17, , , , , ,959 18, ,666 19, , , , , , , , , , , , , , , , ,61 19,9958 0, táblázat A belső falsík hőmérséklete Celsius fokba a belső sarokpottól mért távolság függvéyébe külöböző esetekbe A számítások eredméyeiből az alábbi következtetések vohatók le: 1. A sarokpot és a saroktól távoli zavartala falfelület közti hőmérsékletkülöbség a legkisebb a külső falsíko, és a legagyobb értékű hőszigetelés élküli esetbe a belső falsíko, illetve hőszigeteléssel kialakított falszerkezet eseté a legagyobb hőmérsékletkülöbség a hőszigetelés alatti téglarétegbe alakul ki. 0

21 . A belső falsíkoko számított hőmérsékletkülöbség értékek hőszigetelés élküli esetbe agyobbak, mit hőszigetelt falszerkezetek eseté. 3. Hőszigetelés élküli esetbe a sarokpottól mért két téglavastagságyi távolságba a belső falsík hőmérséklete a zavartala falfelület hőmérsékletétől már csak a egyedik értékes jegybe tér el, hőszigetelt falszerkezet eseté ugyaekkora távolságba az eltérés jeletősebb. 4. Érdekes jeleség, hogy 40 cm-es téglafal eseté a belső falsíko kialakuló hőmérsékletek a sarokpothoz közeli tartomáyba agyobbak szigetelés élküli falszerkezet eseté, mit szigetelt falszerkezetél. Eek oka yilvávalóa a falszerkezet síkjába, és az arra merőlegese kialakuló hővezetés eltérő aráyába keresedő. 5. Az elvégzett kutatás eredméyei külööse felhívják a figyelmet arra, hogy az épületszerkezeti károsodások (páralecsapódás) és a hőérzeti paaszok elkerülése érdekébe a az épületszerkezetek merőleges találkozási éleiek tartomáyába a falszerkezete belüli és külööse a belső falsíko kialakuló hőmérsékletek számításáak agyobb figyelmet kell szetelük, amelyek matematikai alapját a hővezetés ismertetett kétdimeziós számításmódja teremti meg. 5. Kétdimeziós hőátszármaztatás kétrétegű fal eseté apsugárzással A kutatás befejező fázisába azt az esetet vizsgáltuk, amikor külső hősugárzás mellett a falo 10-cm-es hőszigetelőréteg va. Saroktól mért távolság Hőszigetelés és hősugárzás élkül: Hőszigeteléssel Hőszigeteléssel és Hőzigeteléssel és q=100 W/m q=300 W/m hőáramsűrűséggel hőáramsűrűséggel 0 4,308 6, , , , , , , ,81 17, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,9568 0,7997 0, táblázat Belső falhőmérsékletek hőszigeteléssel és apsugárzással, illetve azok élkül Összefoglaló megjegyzések a hőátszármaztatás kétdimeziós matematikai modelljéek a MAPLE számítógép-algebrai redszerrel törtéő számításához A hőátszarmaztatásak a MAPLE számítógép-algebrai redszerhez közvetleül alkalmazható általáos kétdimeziós matematikai modelljét a (5*) egyeletredszer adja. Az egyeletredszerbe q (W/ m ) a külső falsíkot érő apsugárzás itezitását fejezi ki. Ez a 1

22 hősugárzás csökketi a külső kovekció okozta hőveszteséget, és azt egy egatív hr hőátadási téyezővel vesszük figyelembe. A MAPLE számítógép-algebrai redszer lehetővé teszi a többrétegű falszerkezetek kezelését, amelyél a program idítása sorá egyszer kell megadi a geometriai és hőtechikai jellemzőket (d 1, d, d 3, 1,, 3, stb.). Lehetőség va az építési gyakorlat igéyeiek megfelelőe akár 5 rétegű falszerkezetek kezelésére is. Ezt a számítógép kapacitása em korlátozza, azoba ilyekor a felíradó egyeletek száma a sokszorosára ő. A passzívházak tisztá légfűtéssel törtéő ellátásáak peremfeltétele A kutatás mukatervéek 4. potjához kapcsolódóa az úgyevezett passzívházak tisztá légfűtéssel törtéő ellátása peremfeltételeiek megadásához a következőképpe jutottuk el: A higiéiailag szükséges friss levegő meyisége lakóépületek eseté a lakás haszos alapterületéek 1 m -ére voatkoztatva: 1 m 3 /(h m ). A szellőző levegő a porpörkölődés veszélye miatt max. 50 C-ra melegíthető fel, így a szellőző levegő hőmérséklete és a helyiséghőmérséklet közti külöbség max. 30 C-ra adódik ki. Eze adatok felhaszálásával a maximális, fajlagos (1 m haszos alapterületre voatkoztatott fűtőteljesítméy: Q V c t 1 m 3 /(h m ) 0,33 Wh/K m 3 30 K = 10 W/m Vagyis a passzívházak (radiátoros fűtés élküli) tisztá légfűtéssel való ellátásáak az a feltétele, hogy az épület fajlagos hővesztesége e haladja meg a 10 W/m -t. A továbbiakba a darmstadti Passivhaus Istitut által kifejlesztett PHPP (Passivhaus Projektierugspaket) számítógépes programcsomag felhaszálásával egy mitaépület voatkozásába megvizsgáltuk azt, hogy egy max. 10 W/m fajlagos hőveszteséggel redelkező épület eseté teljesül-e a passzívházakra előírt követelméy, amely szerit az épület 1 m -éek éves fajlagos fűtési eergiaigéye em haladhatja meg a 15 kwh/(m év) értéket. A számítás sorá a következő alapadatokat vettük fel: Klímatikus adatok: Németország stadard klímája Külső falak összese: 178,5 m, k = 0,138 W/m K, Ablakok.: 43,5 m, k = 0,781 W/m K, Tetőfödém: 79,1 m, k = 0,108 W/m K, Picefödém: 76,7 m, k = 0,131 W/m K, Légcsereszám: 0,31 1/h, eff = 80 % hatásfokú hővisszayerő hőcserélővel, Az épület eergetikai voatkoztatási alapterülete: 156,0 m Feti adatokkal az épület fajlagos hővesztesége az eergetikai voatkoztatási alapterület 1 m - ére voatkoztatva 9,9 W/ m -re adódott ki. A számított éves hőeergia meyiségek pedig a következők. A traszmissziós hőveszteség: A szellőzési hővreszteség: Az összes hőveszteség: A szoláris yereség: A belső hőyereség: 37, kwh/(m év), 4,1 kwh/(m év), 41,3 kwh/(m év), 19, kwh/(m év), 11,3 kwh/(m év),

23 Előbbiekből fűtésre haszosítható = 93 % hőhaszosítási hatásfok figyelembevételével: A maradék fűtési hőigéy: 8,5 kwh/(m év), 1,8 kwh/(m év). A számított eredméyek alapjá belátható, hogy a passzívházak maradék fűtési hőigéyére előírt határérték (max. 15 kwh/(m év)) betartásáak feltétele, hogy az épület fajlagos hővesztesége kisebb legye, mit 10 W/ m. 3