Számítógépi geometria. Kovács Zoltán

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Számítógépi geometria. Kovács Zoltán"

Átírás

1 Számítógépi geometria Kovács Zoltá

2 Lektorálta: Dr. Verhóczki László (ELTE) A taayagfejlesztés az Európai Uió támogatásával és az Európai Szociális Alap társfiaszírozásával a TÁMOP /1/A számú Kelet-Magyarországi Iformatika Taayag Tárház projekt keretébe valósult meg..

3 Tartalomjegyzék Előszó 4 1. fejezet. Geometriai traszformációk Matematikai alapok: R szokásos euklideszi struktúrája Affi traszformációk Projektív traszformációk fejezet. Vetítések A térből a képeryőre Szemléletes kép készítése Ferde axoometria és cetrális axoometria fejezet. Szabad formájú görbék modellezése Parametrizált görbék A keverési elv Szplájok Lagrage-iterpoláció Harmadfokú Hermite-görbék Bézier-görbék B-szpláj görbék NURBS-görbék fejezet. Felületek tervezése A felület fogalma Példák felületekre Tezorszorzat-felületek 111 Ábrák jegyzéke 121 Irodalomjegyzék 124 3

4 ELŐSZÓ 4 Előszó A Debrecei Egyeteme és a Nyíregyházi Főiskolá tíz éve tartok (időközbe változó evekkel) Számítógépi geometria kurzusokat előbb alkalmazott matematikus, majd a Bologa-redszerű képzésbe programtervező iformatikus és matematikus hallgatókak. A kurzusok ayaga öltött testet ebbe a jegyzetbe. Mideekelőtt magyarázattal tartozom a címet illetőe. Ha potosa ki akarám fejtei a címet, akkor ikább a Számítógépi grafika matematikai alapjai vagy Ábrázoló geometria számítógéppel evet kellee választai, hagsúlyozva, hogy itt em számítógépi grafikáról va szó. Potos határvoalat meghúzi persze ehéz lee a két terület között, így egyszerűe úgy fogalmazok, hogy raszterizáció ie és túl. Nagyo vázlatosa botsuk fel lépésekre az ötlettől a megvalósításig folyamatot, modjuk egy térbe elképzelt jeleetből hogya lesz moitoro megjeleő (raszterizált) kép. A moitort most diszkrét képpotok hálót alkotó redszeréek tekitjük, a kép leegyszerűsítve ayit jelet, hogy mide képpotról megmodjuk, hogy milye szíű. 1. ötlet (terv, rajzvázlat, leírás) 2. a matematikai modell megalkotása 3. a modell traszformációja a térbe 4. vetítés a képeryő síkjára 5. a kép traszformációja 6. raszterizáció 7. raszteres algoritmusok 8. raszterizált kép. A jegyzet tárgya a feti folyamat 2-5. lépése, amely csak matematikai eljárásokat igéyel. A raszterizáció folyamá leszek a matematikai objektumokból képpotok, amelyekre esetleg még külöböző eljárásokat, ú. raszteres algoritmusokat alkalmazhatuk. (Ilyeek lehetek pl. a fototechikába gyökerező eljárások, mit az elmosás, kotraszt yújtás, stb.) 1 Az ayag összeállításába igyekeztem mértéktartóak maradi, az egy féléves bevezető kurzus tematikáját így a jegyzet alig haladja meg. Természetese a további taulmáyok alatt szite midegyik ayagrész tovább gyarapítható, illetve számos, itt em tárgyalt fotos témakör elsajátítására yílik lehetőség. Az elméleti kurzushoz tartozó gyakorlatoko programozási feladatok is szerepelek. Bár az itt leírtak a számítógépi grafika általáos alapjaihoz tartozak, a jegyzet szemléletéhez a vektoros grafika illik jobba. Így a gyakorlatoko a programozás PostScript yelve törtéik. Remélhetőleg 1 Bizoyos problémákat lehet matematikailag és raszterese is kezeli. Például egy kovex poliéder lapjaiak láthatósága (azaz egy adott lap látszik-e a képe vagy sem) jól kezelhető matematikailag is, ugyaakkor a láthatóság általáos problémáját ikább raszteres algoritmusokkal lehet egyszerűbbe kezeli.

5 ELŐSZÓ 5 a jegyzet rövidese kiegészülhet PostScript gyakorlatokkal is. Bízom bee, hogy az ayag és a bee közölt pszeudokódok yelvtől függetleül is jól haszálhatók. (Ezt bizoyítja, hogy a kiírt feladatokra a legkülöbözőbb programyelveke kapok megoldásokat hallgatóimtól, például Nokia mobiltelefora írt programokat is kaptam már.) További érv a PostScript yelv mellett, hogy a programozásba kevésbé járatos matematikus hallgatók is jól boldogulak vele, továbbá az ablakozás problémakörét ki lehet kerüli. A pszeudokódokál a programrészek összetartozását behúzással jelölöm, tehát ed utasításokat em haszálok. A jegyzet sikeres feldolgozása megköveteli a bevezető lieáris algebra kurzus, valamit a differeciálszámítás biztos ismeretét. A klasszikus euklideszi vektorterekre, valamit az elemi görbe- és felületelméletre voatkozó alapismereteket a szükséges miimumra korlátozva az 1.1. szakaszba összefoglaltam. Részletesebb matematikai összefoglalót talál az olvasó pl. a [2] jegyzetbe. Mide szakasz végé egy rövid összefoglaló segíti felidézi az ayagrészbe tault legfotosabb elemeket. A jegyzet ábráit PostScript yelve készítettem, kivéve a szerző és Kozma László: Differeciálgeometria c. jegyzetébe is haszált ábrákat, amelyekhez a K3DSurf programot haszáltam. Nyíregyháza, április Kovács Zoltá

6 1. FEJEZET Geometriai traszformációk 1.1. Matematikai alapok: R szokásos euklideszi struktúrája R elemeit általába lati kis- és agybetűkkel jelöljük, tehát x R, vagy P R, míg ezek kompoeseit idexelve, tehát pl. x = (x 1,x 2 ) R 2. R elemeit potak és vektorak is lehet evezi, szövegköryezettől függőe. Ha potra godoluk, akkor haszáluk agybetűket, míg ha vektorra, akkor kisbetűket. (0,...,0) R eve lehet origó (ekkor potra godoluk és az O jelölést haszáljuk), vagy zérusvektor (ekkor vektorra godoluk és 0-val jelöljük). R m jelöli az m típusú valós mátrixok halmazát. R -et gyakra beazoosítjuk R 1 -el, azaz a potokat (vagy vektorokat) oszlopmátrixkét is felfoghatjuk Defiíció. Az x = (x 1,...,x ) R és y = (y 1,...,y ) R redezett szám--esek összege míg ha α R, akkor α és x szorzata x + y = (x 1 + y 1,...,x + y ); α x = (α x 1,...,α x ). Az összeadás tehát egy R R R biér művelet. A skalárral való szorzás egy R R R leképezés. (Eek jelét gyakra el is hagyjuk.) ( 1) x yilvá az x additív iverze, ezért jogos helyette x-et íri Tétel. R a feti összeadás műveletre Abel csoport, továbbá (R,+) vektortér R fölött, azaz x,y R, α,β R: (1) α(x + y) = αx + αy, (2) (α + β)x = αx + βx, (3) (αβ)x = α(βx), (4) 1 x = x Defiíció. Az x,y R vektorok skaláris szorzatá (vagy belső szorzatá) az x,y = x 1 y x y számot értjük. A skaláris szorzás tehát egy R R R leképezés Tétel. R euklideszi vektortér a feti skaláris szorzattal, azaz x,y,z R, α R: 6

7 1.1. MATEMATIKAI ALAPOK: R N SZOKÁSOS EUKLIDESZI STRUKTÚRÁJA 7 (1) x,y + z = x,y + x,z, x + y,z = x,z + y,z, (2) x,αy = α x,y = αx,y, (3) x,y = y,x, (4) x,x 0; x,x = 0 x = Defiíció. x R -re x = x,x az x vektor hossza vagy ormája. Tehát a orma egy : R R leképezés, amelyet ormafüggvéyek is evezük. Kompoesekkel kiírva, x = x x Tétel (Cauchy Schwarz-egyelőtleség). x,y R : x,y 2 x 2 y 2. Egyelőség akkor és csakis akkor teljesül, ha x,y aráyosak, azaz α R: x = αy vagy y = αx Következméy. A Cauchy Schwarz-egyelőtleség közvetle következméye, hogy ha x és y egyike sem ullvektor, akkor 1 x,y x y 1, és az x és y vektorok szögére teljesül, hogy (1.1) cosα = x,y x y, α [0,π]. Speciálisa, két vektor akkor és csakis akkor merőleges, ha skaláris szorzatuk zéró Tétel. x,y R, α R: (1) x 0, (2) x = 0 x = 0, (3) αx = α x, (4) x+y x + y, továbbá egyelőség akkor és csakis akkor teljesül, ha x, y aráyosak, emegatív faktorral (Mikowski egyelőtleség). A számítógépi grafikába gyakra va szükségük egy em zéró vektor iráyába mutató egységyi hosszúságú vektorra (rövide egységvektorra) Következméy. Az x 0 vektor iráyába mutató egységvektor 1 x x Defiíció. Ha P,Q R, akkor d(p,q) = P Q a P és Q potok távolsága. A távolság tehát egy d : R R R leképezés, amelyet távolságfüggvéyek is evezük. Kompoesekkel kiírva: d(p,q) = (P 1 Q 1 ) (P Q ) Tétel. P,Q,R R :

8 1.1. MATEMATIKAI ALAPOK: R N SZOKÁSOS EUKLIDESZI STRUKTÚRÁJA 8 (1) d(p,q) 0, (2) d(p,q) = 0 P = Q, (3) d(p,q) = d(q,p), (4) d(p, Q) + d(q, R) d(p, R) (háromszög-egyelőtleség), azaz (R,d) egy metrikus tér. Az eddigiekbe elmodottakat általáos (véges) dimezióba fogalmaztuk meg, de természetese a számítógépi grafikai alkalmazásokál a dimezió agyo gyakra (de em kizárólagosa) 2 vagy 3. A következő szakaszba viszot a dimezió 3, azaz a háromdimeziós euklideszi térbe dolgozuk. Az R 3 tér szokásos bázisa e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1) Defiíció. Az x = (x 1,x 2,x 3 ) és y = (y 1,y 2,y 3 ) vektorok vektoriális szorzata x y = x 2 x 3 y 2 y 3 e 1 x 1 x 3 y 1 y 3 e 2 + x 1 x 2 y 1 y 2 e Tétel (a vektoriális szorzás algebrai tulajdoságai.). A vektoriális szorzás egy R 3 R 3 R 3 ferdé szimmetrikus, bilieáris leképezés, azaz teljesül (1) x y = y x, (2) (x + y) z = x z + y z, (3) x (y + z) = x y + x z, (4) (αx) y = α(x y) = x (αy). A vektoriális szorzást további, geometriai tulajdoságai teszik kitütetett jeletőségűvé a számítógépi grafikába Tétel (a vektoriális szorzás geometriai tulajdoságai). (1) x y = 0 akkor és csakis akkor, ha (x,y) lieárisa függő vektorredszer, (2) x y x, x y y, azaz a vektoriális szorzat merőleges a téyezőire, (3) ha x és y lieárisa függetleek, akkor (x,y,x y) jobb-redszert alkotak, azaz úgy következek egymás utá, mit a jobb kéz hüvelykujja, mutató ujja és középső ujja, (4) x y = x y si (x,y), azaz a vektoriális szorzat hossza megegyezik a téyezők által kifeszített paralelogramma területével. Alkalmazások Példa (iráyított háromszöglemez ormálisa). Sok grafikai problémáál (láthatósági, megvilágítási problémák) szükség va arra, hogy egy sokszöglemezt iráyítással adjuk meg. Iráyított sokszöglemezről akkor beszélük, ha kitütetjük a sokszöglemez síkjáak egyik oldalát, azaz a sík egyik egység-ormálisát (a síkra merőleges egységvektort). A kitütetett oldalt evezzük külső oldalak, a másik oldalt belső oldalak. Ha egy háromszöglemezt a csúcsok redezett megadásával határozuk meg, akkor

9 1.1. MATEMATIKAI ALAPOK: R N SZOKÁSOS EUKLIDESZI STRUKTÚRÁJA 9 (megállapodás szerit) a külső oldal ormálisát a jobbkéz-szabály alapjá kapjuk, azaz, ha a jobb kezük ökölbe szorított ujjai a csúcsok sorredjéek megfelelő forgásiráyt jelölik ki, akkor a megfeszített hüvelykujj mutatja a kifelé mutató ormális iráyát. Legyeek tehát az iráyított háromszöglemez csúcsai (V 0,V 1,V 2 ), ekkor a kifelé mutató ormális (V 1 V 0 ) (V 2 V 0 ). Egy kovex poliéder lapjait megállapodás szerit úgy iráyítjuk, hogy a kitütetett ormálisok a poliéderből kifelé mutatak. y V 0 V 2 x V 1 z 1.1. ábra. Háromszöglemez kifelé mutató ormálisa A skaláris szorzat két grafikai alkalmazását mutatjuk be. A grafikai alkalmazások alapja, hogy a skaláris szorzattal két vektor szögéek kosziuszát az (1.1) alapjá ki tudjuk számítai: Példa (iráyított sokszöglemez láthatósága). A kamera a sokszöglemez külső oldalát látja, ha a sokszög egy csúcsából a kamerához mutató vektor és a kitütetett felületi ormális hegyesszöget zár be, azaz skaláris szorzatuk pozitív; míg a belső oldalt, ha a skaláris szorzat egatív. Zéró skaláris szorzat eseté a lap profilból látszik, azaz a kamera egy szakaszt lát. (Ld ábra.) Kovex poliéder eseté csak azok a lapok látszaak, amelyekek a kamera a külső oldalát látja Példa (Lambert-féle kosziuszszabály). A féyforrással megvilágított diffúz felület megvilágításáak itezitása kifejezhető a felületi ormális

10 1.1. MATEMATIKAI ALAPOK: R N SZOKÁSOS EUKLIDESZI STRUKTÚRÁJA 10 kamera cos α = ábra. Iráyított sokszöglemez láthatósága. A kamera az ábrá látható lap belső oldalát látja. és a féyforrás iráya közötti α szög kosziuszával. Egy egyszerű modell szerit (1.2) g = 1 + cosα 2 [0,1] a szürkeáryalat itezitása (ld ábra) ábra. Lambert-féle kosziuszszabály. A modell megvilágításáál a szürkeáryalat itezitását az (1.2) reláció alapjá számoltuk emcsak a megvilágított, haem a em megvilágított lapokra is.

11 1.2. AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK 11 ÖSSZEFOGLALÓ skaláris szorzás: x = (x 1,x 2,...,x ), y = (y 1,y 2,...,y ), x,y = i=1 x i y i. vektoriális szorzás: x = (x 1,x 2,x 3 ), y = (y 1,y 2,y 3 ), x y = x 2 x 3 y 2 y 3 e 1 x 1 x 3 y 1 y 3 e 2 + x 1 x 2 y 1 y 2 e 3. merőlegesség: x y x,y = 0, x y x, x y y. háromszöglemez iráyítása: a (V 0,V 1,V 2 ) iráyított háromszöglemez kifelé mutató ormálisa (V 1 V 0 ) (V 2 V 0 ) Affi traszformációk A síkba a potok és redezett számpárok között kölcsööse egyértelmű megfeleltetés va egy Descartes-féle koordiáta-redszer rögzítése utá. A térbeli potok a redezett számhármasokkal hozhatók kölcsööse egyértelmű kapcsolatba. A geometriai traszformációk (legalábbis az általuk vizsgált traszformációk többsége) a emelfajuló (azaz em zéró determiású) égyzetes mátrixokkal hozhatók kapcsolatba. Ebbe a fejezetbe csak egyeestartó traszformációkkal foglalkozuk, azaz a tér vagy sík olya bijektív leképezéseivel, melyekél tetszőleges egyees képe egyees. Az egyeestartó traszformációkat algebrai megközelítésbe affi traszformációkak evezik (ld. alább az defiíció). Először éháy geometriai fogalom szokásos algebrai modelljét adjuk meg. Legyeek P,Q R külöböző potok! - A P, Q potok egyeese: {tq + (1 t)p t R}, - a P, Q potokat összekötő szakasz: [P,Q] = {tq + (1 t)p t [0,1]}, - osztóviszoy: ha X = tq + (1 t)p és X P, X Q, akkor (PQX) = t 1 t, az X pot osztóviszoya a (P,Q) alappotokra. (Például a szakasz felezőpotjáak osztóviszoya a szakasz végpotjaira, mit alappotokra ézve 1, azaz a felezőpot a szakaszt 1 : 1 aráyba osztja.) A továbbiakba GL() jelöli az -típusú, em zéró determiású valós mátrixok csoportját, míg I jelöli a csoport egységelemét, azaz az típusú egységmátrixot Defiíció. Legye A GL(), b R. Az F : R R, X F(X) = AX + b, X R

12 1.2. AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK 12 x y y 1.4. ábra. Affi traszformáció x leképezést affi traszformációak evezzük. Az A emelfajuló mátrix az affi traszformáció lieáris része. Ha A = I, akkor a traszformáció speciálisa b vektorú eltolás: F(X) = X + b Tétel (az affi traszformáció tulajdoságai). Mide affi traszformáció (1) egyeestartó, (2) osztóviszoytartó (pl. felezőpot képe felezőpot), (3) párhuzamosságtartó (pl. paralelogramma képe paralelogramma). Az defiícióba az egyeestartó traszformációt algebrailag egy mátrixszal (A) és egy vektorral (b) reprezetáltuk. Sok szempotból kéyelmes lehet, ha az affi traszformációt egyetle mátrixszal reprezetáljuk. Ez a mátrix ( ) A b (1.3) aff(a, b) = GL( + 1), 0 1 tehát a bal felső -es részmátrix A, az utolsó sorba darab ulla áll és egy egyes. Az utolsó sor szeriti kifejtési tétel mutatja, hogy ez a mátrix is emelfajuló. Az előbbi mátrixot az F(X) = AX + b affi traszformáció homogé reprezetációjáak evezzük. Köyű láti, hogy az (1.3)-típusú mátrixok csoportot alkotak a mátrixok szorzására ézve, ezt a csoportot affi csoportak evezzük és Aff()- el jelöljük. Tehát az affi csoport: {( ) A b Aff() = A GL(),b R }. 0 1 Arra a kérdésre, hogy miért lehet haszos az affi traszformáció homogé reprezetációja, az alábbi két tétel ad választ: a traszformáció végrehajtása és a traszformációk szorzása (egymás utá való végrehajtása) mátrixszorzással számítható.

13 1.2. AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK Tétel. Legye A GL(), b R, továbbá F(X) jel. = X = AX +b affi traszformáció. Ekkor ( ) ( ) X A b X = )( Tétel. Legye az F 1 affi traszformáció homogé reprezetása aff(a 1,b 1 ), az F 2 affi traszformáció homogé reprezetása aff(a 2,b 2 ). Ekkor az F 2 F 1 szorzat traszformáció homogé reprezetása a két homogé reprezetás szorzata, azaz ( A2 b ) ( ) A1 b Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a traszformációszorzás em kommutatív. A traszformációk szorzását jobbról balra olvassuk, tehát az F 2 F 1 traszformációál először F 1 -et, majd F 2 -t hajtjuk végre. A homogé reprezetások szorzatába a téyezők sorredjére ugyaez voatkozik, jobbról áll az elsőkét végrehajtott traszformáció mátrixa Példa (eltolás síkba). A síkbeli (a,b) vektorú eltolás: x y = 1 0 a 0 1 b x y Részletese kiírva: x = x + a y = y + b Példa (eltolás térbe). A térbeli (a,b,c) vektorú eltolás: x a x y z = b y c z A speciális affi traszformációk közül az eltolások utá az egybevágósági traszformációkat tárgyaljuk. Geometriailag az egybevágósági traszformáció, vagy görög eredetű szóval izometria, távolságtartó bijektív leképezést jelet. Egyszerű geometriai eszközökkel köyű beláti, hogy mide izometria egyeestartó, azaz affi traszformáció. A kérdés, hogy az egybevágóságokat hogya lehet jellemezi a lieáris részükkel. A válasz az, hogy az egybevágóság lieáris része ú. ortogoális mátrix (1.25. tétel) Defiíció. Egy égyzetes mátrixot ortogoális mátrixak evezük, ha sorai egymásra merőleges egységvektorok, illetve ezzel ekvivales módo, ha az oszlopai egymásra merőleges egységvektorok.

14 1.2. AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK 14 A defiíció szerit köyű láti, hogy az ortogoális mátrixokat az jellemzi, hogy az iverzük megegyezik a traszpoáltjukkal. Az típusú ortogoális mátrixok GL()-be részcsoportot alkotak, ezt a csoportot ortogoális csoportak evezzük és O()-el jelöljük: O() = {A GL() A 1 = A t }. Az ortogoális mátrix determiása midig ±1. Két dimezióba agyo köyű megadi az összes ortogoális mátrixot: {( ) } cosα ±siα O(2) = α R, siα cosα ahol a második oszlopba az előjelek úgy értedők, hogy ha az egyik előjel + akkor a másik. Speciálisa az O(2) csoport {( ) } cosα siα SO(2) = α R siα cosα részhalmaza kommutatív csoport. (Eek a csoportak a geometriai jeletését rögtö megvizsgáljuk.) A csoport elemeire bevezetjük a ( ) cosα siα rot(α) = siα cosα jelölést. A fordított előjel-kombiációjú mátrixok halmaza em csoport (em zárt a szorzásra), ettől függetleül elemeiek fotos geometriai jeletése va, így külö jelölést is bevezetük rá: ref(α) = ( cos(2α) si(2α) si(2α) cos(2α) Tétel. F : R R akkor és csakis akkor egybevágósági traszformáció, ha létezik olya A O() ortogoális mátrix és b R vektor, hogy ). F : R R, X F(X) = Ax + b. Megjegyezzük, hogy a sík egybevágósági traszformációja csak elforgatás vagy eltolás vagy csúsztatva tükrözés lehet. Utóbbi olya eltolás és tegelyes tükrözés szorzata, ahol az eltolás iráya megegyezik a tegely iráyával. Speciális esetkét csúsztatva tükrözések között találjuk a tegelyes tükrözéseket is Tétel. Az origó körüli α szögű elforgatásál a P = (x,y) pot képe az a P = (x,y ) pot, melyre ( ) ( )( x cosα siα x y =. siα cosα y) A tétel alapjá megállapíthatjuk, hogy az SO(2) csoport elemei a sík origó körüli elforgatásai Tétel. A C pot körüli α szögű elforgatásál a P pot képe az a P pot, melyre P = rot(α)(p C) +C.

15 1.2. AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK 15 y y x 1.5. ábra. Elforgatás az origó körül x A tételbe leírt összefüggést tol-forgat-tol vagy TFT szabályak is modjuk, mert valójába a traszformációt három traszformáció szorzatakét adtuk meg: P tol (P C) forgat rot(α)(p C) tol rot(α)(p C) +C y x t x y 1.6. ábra. Tegelyes tükrözés origó áthaladó egyeesre Tétel. Az origó áthaladó, α iráyszögű egyeesre voatkozó tükrözésél a P = (x,y) pot képe az a P = (x,y ) pot, melyre P = ref(α)p, azaz ( ) ( ) x cos(2α) si(2α) x y =. si(2α) cos(2α))( y Tétel. Az M poto áthaladó, α iráyszögű egyeesre voatkozó tükrözésél a P pot képe az a P pot, melyre P = ref(α)(p M) + M. A tételbe leírt összefüggés a tol-tükröz-tol vagy TTT szabály. P tol (P M) tükröz ref(α)(p M) tol ref(α)(p M) + M A tér egybevágósági traszformációi leírásához az tétel szerit az O(3) csoportot kell ismerük.

16 1.2. AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK Tétel. O(3) mide eleme origó áthaladó egyees körüli elforgatás vagy origó áthaladó egyees körüli elforgatás és síkra voatkozó tükrözés szorzata, ahol a tükörsík merőleges a forgástegelyre és áthalad az origó (rövide forgatva tükrözés). Ha a forgástegely iráyvektora v és v = 1 valamit az elforgatás szöge α, akkor O(3) megfelelő eleme R v (α): R 3 R 3, P R v (α)p = P, (1.4) P = cosα P (cosα 1) v,p v + siα (v P), ahol a felső előjelet a forgatásál, az alsó előjelet a forgatva tükrözésél kell alkalmazi. A tétel speciális esetekét kapjuk a koordiátategelyek körüli elforgatásokat Következméy. A σ koordiátategely körüli α szögű elforgatás a tér egy P potjához a tér P = R σ (α) P potját redeli hozzá, ahol σ = x,y,z és R x (α) = cosα siα, 0 siα cosα cosα 0 siα R y (α) = 0 1 0, siα 0 cosα cosα siα 0 R z (α) = siα cosα A feti mátrixokat az (1.4) összefüggésbe való direkt behelyettesítéssel kaptuk és a forgatás iráya a jobbkéz-szabály szerit értedő: ha a jobb kéz hüvelykujja mutat a v vektor iráyába, akkor a jobb kéz ökölbe szorított ujjai jelölik ki a forgásiráyt. Az y körüli forgatás mátrixába az előjelek émileg máskét vaak, mit a másik két mátrixba, ezért szokás az y tegely körüli elforgatás iráyát a balkéz-szabály szerit vei, így mátrixa cosα 0 siα R y(α) = siα 0 cosα Ha a térbe olya tegely körül forgatuk el, mely em megy át az origó, akkor a tol-forgat-tol szabályt alkalmazhatjuk: P = R v (α)(p M) + M, ahol v a tegely iráyvektora, M a tegely egy potja, α a forgatás szöge Defiíció. Egy F : R R, P F(P) = P bijektív leképezést hasolósági traszformációak evezük, ha va olya k > 0 valós szám, hogy P,Q R : d(p,q ) = k d(p,q).

17 1.2. AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK 17 csukló végberedezés szegmes 1.7. ábra. Két dimeziós robotkar rotációs csuklókkal k-t a hasolóság aráyáak evezzük. Mide egybevágósági traszformáció példát jelet hasolóságra, mert k = 1 eseté a defiiáló tulajdoság teljesül. Egybevágóságtól külöböző hasolóságra is köyű példát adi. Legye diag(α 1,...,α ) olya típusú diagoális mátrix, melyek a főátlója (α 1,...,α ) Tétel. Legye adott egy k 0 valós szám. Ekkor F : R R, P F(P) = diag(k,...,k)p k aráyú hasolóság, melyet k aráyú skálázásak evezük. A skálázások jeletőségét az adja, hogy mide hasolóság egybevágóság és skálázás szorzatakét adható meg. Így a hasolóságok aalitikus leírásával már késze is vagyuk Tétel. A sík egy hasolósági traszformációjáak homogé reprezetása egy a c m c ±a mátrix, ahol a 2 + c 2 adja a hasolóság aráyát. Alkalmazás A számítógépi grafikába komplex alakzatok (pl. élőléyek) modellezésébe gyakra alkalmazott módszer, hogy az alakzat csotvázából idulak ki. A csotváz em más, mit a robottechikából is ismert csuklós szerkezet, vagy robotkar (1.7. ábra). A robotkar részei: - csuklók (rotációs, prizmatikus), - szegmesek, - végberedezés (ed effector). A prizmatikus csukló a szegmesek hosszát változtatja. A továbbiakba csak rotációs csuklókat tartalmazó robotkarral foglalkozuk, amely csak egy rögzített síkba tud mozogi. Az ilye robotkart a szegmesek hossza és a csatlakozó szegmesek szöge meghatározza (1.8. ábra). Rögzített hosszúságú szegmesek eseté a csatlakozó szegmesek szögéek sorozata az állapotvektor. Határozzuk meg a csuklók helyzetét az állapotvektor ismeretébe!

18 1.2. AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK 18 a 2 θ 2 a 1 θ ábra. Robotkar megadása a szegmesek hosszával és a csatlakozó szegmesek szögével ALGORITMUS (Két dimeziós robotkar leírása az állapotvektorral). A csuklókat a J i R 2, (i = 1,...,) koordiáta párokkal adjuk meg, J = E a végberedezés. Az első csukló legye rögzített ROBOT(θ 1,...,θ 1 ) Iput: θ 1,...,θ Output: J 1,...,J for k = 2 to do for i = k to do J i rot(j k 1,θ k 1 )J i retur (J 1,...,J ) Az algoritmusba alkalmazott rot(j k 1,θ k 1 ) forgatásokat midig a TFT-szabály szerit kell számítai, hisze az elforgatás középpotja J k 1, általába em az origó. ÖSSZEFOGLALÓ affi traszformáció: geometriailag egyeestartó bijektív leképezés. Algebrailag F : R R, X F(X) = AX + b, ahol A GL() az F lieáris része, b R. egybevágósági traszformáció: geometriailag távolságtartó bijektív leképezés. Algebrailag olya affi traszformáció, melyek lieáris része ortogoális mátrix. Az ortogoális mátrix olya égyzetes mátrix, melyek iverze megegyezik ( a traszpoáltjával. ) cosα siα origó körüli forgatás mátrixa (síkba): (α a forgatás szöge). siα cosα origó ( áthaladó egyeesre ) voatkozó tükrözés mátrixa (síkba): cos2α si2α (α a tegely iráyszöge). si2α cos2α origó áthaladó tegely körüli elforgatás: ha a forgástegely iráyvektora v és v = 1 valamit az elforgatás szöge α, akkor P = cosα P (cosα 1) v,p v + siα (v P).

19 1.3. PROJEKTÍV TRANSZFORMÁCIÓK Projektív traszformációk Defiíció. A P = ( x 1,..., x ) R pot homogé koordiátái alatt olya (x 1,...,x,x +1 ) R +1 vektort értük, amelyre x i = x i /x +1, i = 1,...,. Egy pot homogé koordiátáihoz legegyszerűbbe úgy jutuk, ha a pot kompoeseit kiegészítjük egy egyessel. (Ha megfigyeljük az tételt, akkor ott is homogé koordiátákat alkalmaztuk.) A defiíció alapjá azoal látszik, hogy a pot homogé koordiátái em egyértelműek, az egymással aráyos vektorok ugyaaak a potak a homogé koordiátáit adják. Jelölje [x 1,...,x,x +1 ] az (x 1,...,x,x +1 ) emzéró vektorral aráyos emzéró vektorok halmazát (azaz a zéró aráyossági téyezőt kizártuk). Magát a potot pedig beazoosítjuk a homogé koordiátái halmazával. Például a síkba P = (x,y) = [x 1,x 2,x 3 ], ahol x = x 1 /x 3, y = x 2 /x 3, vagy a térbe P = (x,y,z) = [x 1,x 2,x 3,x 4 ], ahol x = x 1 /x 4, y = x 2 /x 4, z = x 3 /x 4. Homogé koordiáták alkalmazásával egy fotos traszformáció típushoz juthatuk, melyek léyege, hogy a pot homogé koordiátáit szorozzuk egy emelfajuló mátrixszal (ezt tettük az affi traszformáció homogé reprezetációjáál is, de most a mátrixuk em feltétleül affi traszformációt reprezetál), az eredméy vektor utolsó koordiátájával a többi koordiátát elosztva kapjuk a képpotot. Problémát jelethet, hogy az utolsó koordiáta esetleg 0 lesz, így az osztás em végezhető el. Hogy az eljárás ebbe az esetbe is értelmes maradjo a traszformáció értelmezési tartomáyáak és képteréek az ú. projektív teret (síkot) választjuk Defiíció. A P = {[x] x R +1 \{0}} halmazt -dimeziós projektív térek, speciálisa = 2 eseté projektív síkak, míg a halmaz elemeit potokak evezzük. Ha az X = [x] potra x +1 0, akkor X-et közöséges potak, míg ha x +1 = 0, akkor végtele távoli potak evezzük. A közöséges potokat korábba már beazoosítottuk R potjaival. Ezért a projektív teret (síkot) úgy is tekithetjük, mit a szokásos euklideszi tér (sík) kiegészítését a végtele távoli potokkal. Ezek utá precíze is megfogalmazhatjuk az előzőekbe már vázolt projektív traszformáció fogalmát Defiíció. Legye A GL( + 1), a P P, [x] [Ax], (x R +1 \ {0}) leképezést az -dimeziós projektív tér projektív traszformációjáak evezzük. Megjegyezzük, hogy egy emelfajuló égyzetes mátrix és aak egy em zéró skalárral való szorzata ugyaazt a projektív traszformációt adják meg.

20 1.3. PROJEKTÍV TRANSZFORMÁCIÓK ábra. Projektív traszformáció: alakzat és képe A projektív síkba a defiíciót részletese kiírva a következő leképezést kapjuk x 1 = p 11 x 1 + p 12 x 2 + p 13 x 3 x 2 = p 21 x 1 + p 22 x 2 + p 23 x 3 x 3 = p 31 x 1 + p 32 x 2 + p 33 x 3, ahol P = (p i j ) GL(3). Ha mid a kiidulási pot, mid a képpot közöséges, akkor x = p 11x + p 12 y + p 13 p 31 x + p 32 y + p 33, y = p 21x + p 22 y + p 23 p 31 x + p 32 y + p 33. A evezők akkor válak zérussá, amikor a képpot végtele távoli pot lesz. A p 31 x + p 32 y + p 33 = 0 egyelet egy egyees egyelete. Ezt az egyeest evezzük a traszformáció eltűési egyeeséek. Ha egy pot az eltűési egyeese va, akkor a képét em tudjuk a síkba (képeryő) ábrázoli Tétel (a projektív traszformációk tulajdoságai). Mide projektív traszformációra teljesülek az alábbiak: 1. Legye (A,B,C) közöséges pothármas úgy, hogy az (A,B,C ) projektív képeik is közöségesek. (A, B,C) akkor és csakis akkor kollieárisak, ha (A,B,C ) kollieárisak. 2. Legye (A, B,C, D) közöséges kollieáris potégyes úgy, hogy az (A,B,C,D ) projektív képeik is közöségesek. Ekkor az osztóviszoyokkal feáll (ABC) (ABD) = (A B C ) (A B D ). A második tulajdoságot úgy is szokás fogalmazi, hogy a projektív traszformáció kettősviszoytartó. Alkalmazás A következőekbe egy olya algoritmust ismertetük, mely a számítógépi grafika sok területé fotos. Négyszög alatt égy olya potot értük, melyek között ics három egy egyeesre illeszkedő Tétel (projektív traszformációk meghatározása síkba). Négyszög és képe a projektív traszformációt egyértelműe meghatározza.

21 1.3. PROJEKTÍV TRANSZFORMÁCIÓK 21 BIZONYÍTÁS. A égy eredeti pot legye {[x i,y i,z i ] i = 1,...,4}, a égy képpot pedig {[X i,y i,z i ] i = 1,...,4}. Olya M GL(3) mátrixot keresük, melyre M(x i,y i,z i ) t = ξ i (X i,y i,z i ) t, i = 1,2,3,4. (Ne felejtsük el, hogy aráyos számhármasok ugyaazt a potot jeletik, ezért került a jobb oldalra egy-egy aráyossági téyező.) M megkeresését két lépésre osztjuk, ezek a lépések matematikailag teljese egyeértékűek. Először olya P GL(3) mátrixot keresük, melyre ahol P: E i [x i,y i,z i ], i = 1,2,3,4. E 1 = [1,0,0], E 2 = [0,1,0], E 3 = [0,0,1], E 4 = [1,1,1]. Majd olya Q GL(3) mátrixot, melyre Q: E i [X i,y i,z i ], i = 1,2,3,4. A keresett mátrix M = QP 1. Q és P megkeresése matematikailag ugyaaz a probléma, a módszert csak P-re mutatjuk be. P = (p i j ) GL(3)-ra teljesül, hogy valamely k 1, k 2, k 3, k 4 kostasokra p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 p 31 p 32 p = k 1x 1 k 2 x 2 k 3 x 3 k 4 x 4 k 1 y 1 k 2 y 2 k 3 y 3 k 4 y 4. k 1 z 1 k 2 z 2 k 3 z 3 k 4 z 4 A feti egyeletredszerbe = 13 ismeretle va (a P mátrix elemei, továbbá k 1, k 2, k 3, k 4 ), ugyaakkor a mátrixelemek összehasolításával 12 egyeletet kapuk. Egy ismeretlet tehát szabado választhatuk (potosabba szabado paraméterezhetük), legye ez k 4, mely értékét 1-ek választjuk. Így az egyeletredszer: p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 p 31 p 32 p = k 1x 1 k 2 x 2 k 3 x 3 x 4 k 1 y 1 k 2 y 2 k 3 y 3 y 4. k 1 z 1 k 2 z 2 k 3 z 3 z 4 A bal oldalo a szorzást elvégezve: p 11 p 12 p 13 p 11 + p 12 + p 13 p 21 p 22 p 23 p 21 + p 22 + p 23 = k 1x 1 k 2 x 2 k 3 x 3 x 4 k 1 y 1 k 2 y 2 k 3 y 3 y 4. p 31 p 32 p 33 p 31 + p 32 + p 33 k 1 z 1 k 2 z 2 k 3 z 3 z 4 A jobb oldali és a bal oldali mátrixelemek összehasolításával az alábbi lieáris egyeletredszert kapjuk a k 1, k 2, k 3 ismeretleekre: k 1 x 1 + k 2 x 2 + k 3 x 3 = x 4 k 1 y 1 + k 2 y 2 + k 3 y 3 = y 4 k 1 z 1 + k 2 z 2 + k 3 z 3 = z 4.

22 1.3. PROJEKTÍV TRANSZFORMÁCIÓK 22 Ie kapjuk a k 1,k 2,k 3 számokat, majd a P mátrixot: k 1 k 2 = x 1 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 x 4 y 4, P = k 1x 1 k 2 x 2 k 3 x 3 k 1 y 1 k 2 y 2 k 3 y 3. z 1 z 2 z 3 z 4 k 1 z 1 k 2 z 2 k 3 z 3 k ALGORITMUS (a projektív traszformáció mátrixáak kiszámítása). A bizoyításba leírt eljárást foglaltuk össze az alábbiakba: PROJECTIVETRANSFORMATION Iput: [x i,y i,z i ], [X i,y i,z i ] (i = 1,...,4) Output: M 1: k 1 k 2 = x 1 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 x 4 y 4 k 3 z 1 z 2 z 3 z 4 2: P = k 1x 1 k 2 x 2 k 3 x 3 k 1 y 1 k 2 y 2 k 3 y 3 k 1 z 1 k 2 z 2 k 3 z 3 3: K 1 K 2 = X 1 1 X 2 X 3 Y 1 Y 2 Y 3 X 4 Y 4 K 3 Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 4: Q = K 1X 1 K 2 X 2 K 3 X 3 K 1 Y 1 K 2 Y 2 K 3 Y 3 K 1 Z 1 K 2 Z 2 K 3 Z 3 5: retur M = QP 1 ÖSSZEFOGLALÓ projektív tér: P = {[x] x R +1 \ {0}}. projektív traszformáció: P P, [x] [Ax] (x R +1 \ {0}), A GL( + 1). projektív traszformáció tulajdoságai: - egyeestartó, - kettősviszoytartó, - a síko égyszög és képe egyértelműe meghatározza.

23 2. FEJEZET Vetítések 2.1. A térből a képeryőre A számítógépi grafika egyik alapfeladata a térbeli potok megjeleítése a képeryő. Vetítés alatt azt értjük, hogy a térbeli pot koordiátáihoz hozzáredeljük a eki megfeleltetett képeryőpot koordiátáit. Ha a térbe is és a képeryő síkjá is Descartes-féle koordiátákat haszáluk, akkor a vetítés egy R 3 R 2 leképezés. A tér síkra törtéő R 3 R 2 leképezésére agyo sokféle klasszikus ábrázoló geometriai módszer ismert, jele jegyzet keretei között a lieáris és a törtlieáris leképezésekkel foglalkozuk. A lieáris leképezések mátrixszorzáskét hatak, míg a törtlieáris leképezések a projektív tér leképezései Defiíció. Egy R 3 R 2, P AP, (A R 2 3, raga = 2), leképezést axoometriáak vagy ferde axoometriáak, míg egy P 3 P 2,[x] [Ax], (x R 4 \ {0}, A R 3 4, raga = 3) leképezést cetrális axoometriáak evezük. A továbbiakba a képsíkot rögzítjük, ez a képeryő síkja, azaz a z = 0 egyeletű xy sík lesz. A fejezet további részébe három egyszerű példát aduk projekcióra. A szemléltető ábráko a 2.1. ábrá látható csokolt kocka külöböző vetületeit láthatjuk majd Ortogoális vetítés. Egyszerű lieáris leképezés a térből a képeryő síkjára a harmadik koordiáta levágása, azaz az R 3 R 2, (x,y,z) (x,y) leképezés. Mátrixszorzással x ( ) y x y = z z ( x y). Ez a leképezés geometriailag merőleges vetítés a képeryőre, melyet a továbbiakba ( ) szokásos merőleges vetítések is moduk. Mátrixát, azaz az mátrixot Π val jelöljük. 23

24 2.1. A TÉRBŐL A KÉPERNYŐRE 24 y x z 2.1. ábra. A fejezetbe haszált modell. A kocka oldalai a koordiátategelyekkel párhuzamosak, a csokolt csúccsal szemközti csúcs az origóba va. y 2.2. ábra. A modell merőleges vetülete a képeryőre x Párhuzamos vetítés. Vetítsük a teret a v = (v 1,v 2,v 3 ) (v 3 0) vektorral párhuzamosa az xy síkra. A tárgypot P = (x,y,z). A P + tv egyees azo potját keressük, amelyek harmadik koordiátája zérus. A képpot (vetületi pot) keresett paraméterére z + tv 3 = 0 teljesül, ahoa t = v z 3. Ezt a paraméterértéket visszahelyettesítve az egyees P + tv előállításába (2.1) x = x z v 1 v 3, y = y z v 2 v 3 adódik. A vetítés mátrixa tehát ( 1 0 v 1 ) A = v 2. v 3

25 2.1. A TÉRBŐL A KÉPERNYŐRE 25 y x z 2.3. ábra. Párhuzamos vetítés v 1 = v 2 = 0 eseté speciálisa ortogoális vetítést kapuk Cetrális vetítés. A vetítéstől megkövetelhetjük, hogy az emberi látásra adjo valamilye modellt. A legegyszerűbb modell a lyukkamera, elterjedt lati kifejezéssel camera obscura). Fizikai megvalósítása egy mide oldalról féytől védett doboz, melybe a féy egy apró lyuko keresztül hatol be. A kép a lyukkamerá belül a lyukkal elletétes oldalo válik láthatóvá (ld ábra). T K 2.4. ábra. A lyukkamera (camera obscura) képalkotása Fizikai szempotból a lyukkamera képe a tárgy távolságától függetleül éles (agy a mélységélessége), ugyaakkor féyszegéy a lyuk kicsiy átmérője miatt. A lyuk övelése viszot a képet elmosódottá teszi, eek korrigálására va szükség a féyképezőgépekbe lecsére. A 2.4. ábra szeriti elredezésbe a kép fordított állású a tárgyhoz képest. A matematikai

26 2.1. A TÉRBŐL A KÉPERNYŐRE 26 modell megalkotásakor azoba em jelet godot a 2.5. ábra szeriti elredezés, amelybe a kép egyees állású. képsík: z = 0 z T K C 2.5. ábra. A képsík és a cetrum geometriai elhelyezése. A képsík az xy sík, a vetítés C cetruma a z tegely 1/r potja. Írjuk le a lyukkamera működését algebrailag! A lyukkamera által megvalósított leképezés matematikai szempotból cetrális vetítés. Legye r 0, a cetrum C = (0,0, 1/r), a képsík az xy sík, azaz a z = 0 sík. A tárgypot P = (x, y, z). A CP egyees azo potját keressük, amelyek harmadik koordiátája zérus. Az egyees paraméteres előállítása X = tp + (1 t)c (t R) így a képpot (vetületi pot) keresett paraméterére ( tz + (1 t) 1 ) = 0 r teljesül, ahoa t = 1 zr + 1. Ezt a paraméterértéket visszahelyettesítve az egyees X = tp + (1 t)c előállításába x = x zr + 1, (2.2) y = y zr + 1 adódik. Most térjük át homogé koordiátákra! A bal oldalo elvégezve az x = x 1 /x 3 és y = x 2 /x 3, valamit a jobb oldalo az x = x 1/x 4, y = x 2 /x 4, z = x 3 /x 4 helyettesítéseket, x 1 = x 1, x 2 = x 2, x 3 = rx 3 + x 4

27 2.1. A TÉRBŐL A KÉPERNYŐRE 27 adódik, amely eredméyt mátrixszorzással felírhatjuk a következő alakba: (2.3) x 1 x 2 = x x 2 x 0 0 r 1 3. A továbbiakba legye Π r = r 1 x 3 x 4 y 2.6. ábra. A modell cetrális vetülete. A cetrum a z tegelye va és harmadik koordiátája ez esetbe pozitív. A em látható éleket vékoyabb voallal rajzoltuk. x A (2.3)-be, illetve ekvivales módo (2.2)-be megadott leképezés tört lieáris leképezés. A képeryő síkjára törtéő merőleges vetítés megkapható a cetrális vetítés határesetekét, r 0 eseté (azaz a cetrum a végtelehez tart ) a (2.2) összefüggés potosa a harmadik koordiáta levágását jeleti Példa (hamis perspektíva). A hamis perspektíva a két dimeziós kép olya traszformálása, mely a térbeliség érzetét kelti: ld ábra. Képtraszformációval lehet megvalósítai, például úgy, hogy a cetrális vetítés képletéhez aalóg formulákat alkalmazuk. A cetrális vetítésél x = x 1 + zr, y = y 1 + zr, a hamis perspektíváál x x = 1 + f (x,y), y y = 1 + f (x,y) ahol f egy alkalmasa választott függvéy. Például f (x,y) = 1 2 exp( ax2 by 2 ) eseté a függvéy az origó köryékét agyítja.

28 2.2. SZEMLÉLETES KÉP KÉSZÍTÉSE ábra. Hamis perspektíva: példa Vasarely stílusába. A piros pöttyök az eredeti képe egybevágó körök voltak. ÖSSZEFOGLALÓ ferde axoometria: R 3 R 2 (, P ) AP, (A R 2 3, raga = 2) merőleges vetítés: A = Π 0 = ( 1 0 v 1 ) párhuzamos vetítés: A = v 2, (v 1,v 2,v 3 ) a vetítés iráya. v 3 cetrális axoometria: P 3 P 2,[x] [Ax], (A R 3 4, raga = 3). cetrális vetítés: A = Π r = , (0,0, 1/r) a cetrum. 0 0 r Szemléletes kép készítése Ortogoális axoometria. Az ábrázoló geometria sokrétű feladatköréből most a szemléletes képalkotást emeljük ki. A szemléletes kép készítés problémájáak léyege az, hogy a modellről köye előállítható kép a modell valamely egyszerű vetülete, amely em biztos, hogy szemléletes. A 2.2. ábrá látható kép a fejezetbe szereplő modellről egy egyszerű vetület, amelyet azoba egyáltalá em érzük szemléletesek. Két egyszerű stratégiával juthatuk el a szemléletes képhez. Képzeljük el, hogy egy kisméretű tárgyat kell alaposa szemügyre veük, például egy autómodellt: kezükbe vesszük és körbeforgatjuk. Ha az eredeti autót

29 2.2. SZEMLÉLETES KÉP KÉSZÍTÉSE 29 taulmáyozzuk, akkor viszot körbejárjuk. Az első stratégia a szemléletes képhez a modell traszformációjával jut el, a második stratégia a ézőpotot változtatja. Ebbe a taayagba az első stratégiát alkalmazzuk. A modell traszformációjakét izometriákat illetve (az előzőektől csak skálázásba külöböző) hasolóságokat egedük meg Defiíció. A tér egy hasolósági traszformációjáak és egy síkra törtéő merőleges vetítések a szorzatát ortogoális axoometriáak evezzük. A továbbiakba feltételezzük, hogy a hasolóságak az origó fixpotja, továbbá a merőleges vetítés az xy koordiátasíkra törtéő merőleges vetítés, így az axoometria lieáris leképezés lesz. Az eltolások ortogoális axoometriáál a szemléletességhez em járulak hozzá, így a tárgyalásba az általáosság em sérül Példa. (Ld. a 2.8. ábrát!) Forgassuk el a modellt az y tegely körül φ szöggel a balkéz-szabály szerit, majd az x tegely körül ψ szöggel a jobbkéz-szabály szerit, ezutá vetítsük merőlegese az xy síkra. Az így kapott axoometria mátrixa: ( ) V = Π 0 R x (ψ) R cosφ 0 siφ y(φ) =. siψ siφ cosψ siψ cosφ y z x 2.8. ábra. Ortogoális axoometria: merőleges vetítés a képeryőre a modell ortogoális traszformációja utá A példába megadott ortogoális axoometria a függőleges iráyt em borítja föl. Ha a két forgatást fordított sorredbe hajtaák végre, már em lee így. Az ortogoális axoometria megadása a 2.4. példába a φ és ψ szögek megadását jeletette. Jóllehet ez agyo egyszerű, mégis sok esetbe ituitívabb lehet, ha R 3 kaoikus bázisáak a képét adjuk meg, azaz az ortogoális axoometria mátrixáak oszlopait. A három képvektor (három

30 2.2. SZEMLÉLETES KÉP KÉSZÍTÉSE 30 oszlop) azoba em vehető föl tetszőlegese, a következőekbe ezt a problémát vizsgáljuk Tétel (Gauss-tétel). V R 2 3 akkor és csakis akkor ortogoális axoometria mátrixa, ha sorai egymásra merőleges, azoos hosszúságú vektorok. BIZONYÍTÁS. Az egyszerűség kedvéért olya ortogoális axoometriára bizoyítjuk az állítást, ahol ortogoális traszformáció és merőleges vetítés szorzatáról va szó, tehát a hasolóság aráya 1. A tétel algebrai átfogalmazása ekkor a következő: legye V R 2 3. V akkor és csakis akkor áll elő V = Π 0 U alakba, ahol U R 3 3 ortogoális mátrix, Π 0 pedig az xy koordiátasíkra törtéő merőleges vetítés, ha V V t = I 2. U legye ortogoális mátrix: U U t = I 3. Legye először V = Π 0 U. Ekkor V V t = Π 0 U U t Π t 0 = Π 0 Π t 0 = I 2. Megfordítva, ha V V t = I 2 teljesül, akkor ez azt jeleti, hogy V sorai egymásra merőleges egységvektorok. Egészítsük ki a sorvektorokat R 3 ortoormált bázisává. A kiegészített mátrix legye U. Mivel U sorai egymásra merőleges egységvektorok, ezért oszlopai is azok, és V = Π 0 U yilvávalóa teljesül Következméy. Az (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ), (x 3,y 3 ) vektorok akkor és csakis akkor alkotják R 3 kaoikus bázisáak ortogoális axoometrikus képét, ha x1 2 + x2 2 + x3 2 = y y y 2 (2.4) 3, x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = 0 teljesül. Összefoglalva, az ortogoális axoometria ( ) x1 x V = 2 x 3 y 1 y 2 y 3 mátrixát úgy is meg lehet adi, hogy az oszlopok közül fölveszük tetszőlegese kettőt, pl. az (x 1,y 1 ) és (x 2,y 2 ) oszlopokat, és a harmadik oszlopot kiszámítjuk a (2.4) egyeletredszer alapjá. (Általába két megoldás is lesz.) A számítást elvégezhetjük komplex aritmetikával is. Az R 2 halmazt a szokásos módo azoosítjuk C-vel: (x,y) x + iy, továbbá legye α = x 1 + iy 1, β = x 2 + iy 2, γ = x 3 + iy 3. (2.4) ekvivales az alábbi egyelettel: (2.5) α 2 + β 2 + γ 2 = 0. (2.5)-be elvégezve a égyzetre emelést: (x x x 2 3 y 2 1 y 2 2 y 2 3) + 2i(x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ) = 0 adódik. A bal oldalo álló komplex szám akkor és csakis akkor 0, ha a valós és képzetes része egyarát zérus, ami éppe a megadott állítás, így γ = α 2 β 2 (ahol a gyökvoás kétértékű).

31 2.3. FERDE AXONOMETRIA ÉS CENTRÁLIS AXONOMETRIA Hasolóság és cetrális projekció szorzata. A potba megadott egyszerű cetrális projekció eseté (tehát a cetrum a z koordiátategelye va és az xy síkra vetítük) szemléletes képhez a modell traszformációjával juthatuk. Alkalmazhatjuk a modell x vagy y tegely körüli forgatását, tetszőleges eltolást, skálázást illetve ezek kompozícióját. Pl. homogé koordiáták alkalmazásával: V = Π r T (l,m,) R x (ψ) R y(φ) = cosφ 0 siφ l = siψ siφ cosψ siψ cosφ m r cosψ siφ r siψ r cosψ cosφ 1 + r. Az előbbi mátrix oszlopaiak a geometriai jeletése egyszerű. Jelölje a mátrix oszlopait redre a 1,a 2,a 3,a 4. Nyilvá teljesül a 1 = V 0 0, a 2 = V 1 0, a 3 = V 0 1, a 4 = V 0 0, azaz az első három oszlop a megfelelő tegely végtele távoli potjáak a képe, míg a egyedik oszlop az origó képe. Aszerit, hogy a 1, a 2, a 3 között háy közöséges pot va, beszélük 1, 2 vagy 3 iráypotos perspektíváról. A gyakorlati ábrázolási feladatokba sokszor célszerű, ha az y tegely végtele távoli potjáak a képe végtele távoli marad, amelyek feltétele a V mátrix haszálata eseté ψ = 0, azaz x körül em forgatuk. (Így a függőleges egyeesek em leszek összetartóak.) Az y-körüli elforgatás és valamilye eltolás általába szép szemléletes képet ad két iráypotos perspektívába. A 2.1. ábra ezzel a módszerrel készült; ld. még a ábrákat. ÖSSZEFOGLALÓ szemléletes kép készítése modelltraszformációval: elforgatás a koordiátategelyek körül (merőleges vetítés alkalmazásakor); cetrális vetítés eseté emellett még eltolások is. ortogoális axoometria: a tér egy hasolósági traszformációjáak és egy síkra törtéő merőleges vetítések a szorzata. Gauss-tétel: V R 2 3 akkor és csakis akkor ortogoális axoometria mátrixa, ha sorai egymásra merőleges, azoos hosszúságú vektorok Ferde axoometria és cetrális axoometria A ferde axoometriát a 2.1. defiícióba vezettük be. A ferde axoometria A mátrixáak a 1, a 2, a 3 oszlopait a tér kaoikus bázisvektoraiak képei alkotják. Az ortogoális axoometriától eltérőe (ahol csak két képvektort

32 2.3. FERDE AXONOMETRIA ÉS CENTRÁLIS AXONOMETRIA 32 y z U x U z x 2.9. ábra. Két iráypotos perspektíva a modell elforgatásával. A vetítés cetruma a z tegelye va, a modellt az y tegely körül forgattuk. Az ábrá U x és U z jelöli az x és z tegely végtele távoli potjáak képét. y U x U z x z ábra. Két iráypotos perspektíva a modell elforgatásával és eltolásával. A vetítés cetruma a z tegelye va, a modellt az y tegely körül forgattuk, majd ugyaeze tegely iráyába eltoltuk.

33 2.3. FERDE AXONOMETRIA ÉS CENTRÁLIS AXONOMETRIA 33 y z x ábra. Három iráypotos perspektíva. A modelltraszformáció sorá az x tegely körül is forgattuk. vehettük föl tetszőlegese), mid a három képvektort fölvehetjük tetszőlegese egyetle megkötés, hogy a fölvett vektorredszer ragja 2 legye. A mátrix megadására külöböző gyakorlati módszerek vaak, ezek közül megaduk éháy fotosabbat. Az ábrák alapjá az axoometria mátrixáak fölírása legye az olvasó feladata! 2.7. Példa (Stadard izometrikus projekció, ábra). A ferde axoometriát akkor evezzük izometrikusak, ha a mátrixáak oszlopai azoos hosszúságúak: a 1 = a 2 = a 3. A stadard izometrikus projekció eseté a bázisvektorok képeiek szöge 120. a 2 30 x a 3 a ábra. Stadard izometrikus axoometria 2.8. Példa (45 -izometrikus, vagy katoa perspektíva).

34 2.3. FERDE AXONOMETRIA ÉS CENTRÁLIS AXONOMETRIA 34 a 2 45 x a 3 a ábra. 45 -izometrikus axoometria 2.9. Példa (42 /7 -dimetrikus projekció). A dimetrikus axoometriáál két bázisvektor képéek hossza azoas, a harmadiké pedig ettől az értéktől eltérő. Eél a ferde axoometriáál a 1 = a 2 = 2 a 3. a 2 a a 1 x ábra. 42 /7 -dimetrikus axoometria Példa (cabiet-dimetrikus, vagy kíai perspektíva). A ábrá az α szög értéke leggyakrabba 45 vagy 30. a 2 a 3 α a 1 x ábra. Cabiet-dimetrikus axoometria

35 2.3. FERDE AXONOMETRIA ÉS CENTRÁLIS AXONOMETRIA 35 A továbbiakba azt vizsgáljuk meg, hogy a ferde axoometriáak va-e valamilye geometriai jeletése Tétel (Az axoometria alaptétele I). Mide axoometrikus leképezés előáll egy R 3 R 2 párhuzamos vetítés és egy R 2 R 2 lieáris izomorfizmus szorzatakét, azaz az axoometrikus kép affi kapcsolatba va az alakzat egy párhuzamos vetületével. BIZONYÍTÁS. Legye P = ( ) a11 a 12 a 13, ragp = 2. a 21 a 22 a 23 Az általáosság megszorítása élkül föltehetjük, hogy az első két oszlop lieárisa függetle, azaz ( ) a11 a (2.6) deta 0, A = 12. a 21 a 22 P egydimeziós magterét geerálja a v = (v 1,v 2,v 3 ) 0 vektor: kerp = L(v), a v által geerált egy dimeziós altér. Azt állítjuk, hogy P az xy síkra v-vel párhuzamos vetítés és az A-val törtéő bal szorzás (mit lieáris izomorfizmus) szorzata. Megjegyezzük, hogy v 3 = 0 azt jeleteé, hogy az xy sík em zéró vektora A magterébe lee, így ez elletmodaa (2.6)-ak. Jelölje V a v iráyú párhuzamos vetítés mátrixát! A V = Azoba v kerp: tehát P = A V. ( ) a11 a 12 a 21 a 22 ( 1 0 v 1 ) ( v a11 3 a 12 a 1 v v 2 = 3 a v v 3 a 21 a 22 a 1 v 21 v 3 a 2 22 v 3 a 11 v 1 + a 12 v 2 + a 13 v 3 = 0 = a 11 v 1 v 3 a 12 v 2 v 3 = a 13 a 21 v 1 + a 22 v 2 + a 23 v 3 = 0 = a 21 v 1 v 3 a 22 v 2 v 3 = a 23, Tétel (Az axoometria alaptétele II). Mide axoometrikus leképezés előáll egy R 3 S merőleges vetítés és egy S R 2 lieáris izomorfizmus szorzatakét, ahol S a tér egy alkalmas két dimeziós altere. BIZONYÍTÁS. Az előző tétel bizoyításáak jelöléseivel. S legye P magteréek ortogoális komplemetere, azaz az L(v) egyeesre merőleges, origóra illeszkedő sík Tétel (Pohlke). Mide axoometria egy párhuzamos vetítés és egy hasolóság szorzata, azaz egy alakzat axoometrikus képe hasoló az alakzat valamely síkra voatkozó párhuzamos vetületéhez. BIZONYÍTÁS. A bizoyításhoz egy elemi segédtételre va szükségük, evezetese mide ellipszis alapú hegerek va körmetszete. Az alaptétel első változatáak bizoyításakor már bevezetett jelöléseket haszáljuk, ).

36 2.3. FERDE AXONOMETRIA ÉS CENTRÁLIS AXONOMETRIA 36 tehát az axoometria A V alakba írható föl, ahol V párhuzamos vetítés, A pedig lieáris izomorfizmus. Vegyük föl az xy síkba egy tetszőleges, origó középpotú k kört. Legye A 1 (k) = ˆk. S legye olya origóra illeszkedő sík, hogy ebbe fölvett alkalmas, origó középpotú k kör v-vel párhuzamos vetülete éppe ˆk legye. Az xy síkra törtéő, v-vel párhuzamos vetítést, azaz V -t, botsuk föl az S síkra törtéő v-vel párhuzamos V 1 vetítés és az S sík xy síkra törtéő, szité v-vel párhuzamos V 2 vetítés szorzatára: V = V 2 V 1. Ezt azért tehetjük meg, mert S em lehet v-vel párhuzamos. Most P = A V 2 V 1. Az A V 2 lieáris izomorfizmus azoba a k körhöz a k kört redeli, azaz ez a leképezés hasolóság az S és R 2 síkok között, ami a bizoyítadó állítást jeleti. A bizoyítást az alábbi diagrammo követhetjük: R 3 V 1 S V 2 R 2 A R 2. A cetrális axoometriát a 2.1. defiícióba vezettük be. A cetrális projekció példa cetrális axoometriára. Mivel [A (tx)] = [ta x] = [A x], (t 0), ezért A és ta ugyaazt a cetrális axoometriát adja meg. Legye A = (a 1,a 2,a 3,a 4 ), ahol a i az A mátrix i-edik oszlopát jelöli. [a 1 ] = U x, [a 2 ] = U y, [a 3 ] = U z redre az x, y, z tegelyek végtele távoli potjáak a képe, [a 4 ] = O pedig az origó képe. A tegelyek egységpotjaiak képe redre: [a 1 + a 4 ] = E x, [a 2 + a 4 ] = E y, [a 3 + a 4 ] = E z. Az (O,U x,u y,u z,e x,e y,e z ) pothetes a cetrális axoometria bázisalakzata. Megjegyezzük, hogy (O,U x,u y,u z ) még em határozza meg a cetrális axoometriát, hisze a potok külöböző reprezetásai általába em adak egymáshoz aráyos mátrixokat: (α 1 a 1,α 2 a 2,α 3 a 3,α 4 a 4 ) α(a 1,a 2,a 3,a 4 ). A következő, geometriai jellegű elemzéshez, a speciális esetek elkerülése végett, tegyük föl, hogy a bázisalakzat potjai külöböző potok. Az (E x,e y,e z ) és (U x,u y,u z ) háromszögpár egy Désargues-féle háromszögpár, azaz csúcsaira ( = oldalaira) ézve perspektív háromszögpár. (A potok között lehetek végtele távoli potok is.) Tétel (a bázisalakzat fölvételéek szabadsága). Tetszőleges Désargues-féle háromszögpár a perspektivitás cetrumával egy cetrális axoometria bázisalakzatát adja meg. BIZONYÍTÁS. Legye A = ([a 1 ],[a 2 ],[a 3 ]), B = ([b 1 ],[b 2 ],[b 3 ]) a két perspektivikus háromszög, a perspektivitás cetruma [a 4 ]. (a i,b i,a 4 R 3,i = 1,2,3.) Az összes olya cetrális axoometria mátrixa, melyél az origó képe [a 4 ] és az egyes tegelyek végtele távoli potjáak képe pedig A, megadható valamely em zéró α 1,α 2,α 3 skalárokkal a következő

37 2.3. FERDE AXONOMETRIA ÉS CENTRÁLIS AXONOMETRIA 37 alakba: (α 1 a 1,α 2 a 2,α 3 a 3,a 4 ). (A egyedik oszlop aráyossági téyezőjével lehet osztai.) A kérdés az, hogy vaak-e olya α 1,α 2,α 3 em zéró skalárok, hogy [α i a i + a 4 ] = [b i ]. Mivel (A,B) Désargues-féle háromszögpár, ezért rag(a i,b i,a 4 ) = 2. Legye i = 1, i = 2,3-ra aalóg módo. A zérusvektort lieárisa kombiálva: ta 1 + rb 1 + sa 4 = 0, valamely em triviális (t,r,s) együtthatóredszerre. Sőt, a geometriai föltevés szerit (a bázisalakzat potjai külöbözőek) azt is tudjuk, hogy s 0, ellekező esetbe ugyais (a 1,b 1 ) lieárisa függő redszer, azaz [a 1 ] = [b 1 ] lee. Tehát t s a 1 + a 4 = r s b 1, azaz α 1 = t/s mellett [α 1 a 1 + a 4 ] = [b 1 ]. A továbbiakba a cetrális axoometria geometriai jeletésével foglalkozuk Tétel (a cetrális axoometria főtétele). Mide cetrális axoometria egy cetrális projekció és egy projektív traszformáció szorzata, azaz a cetrális axoometrikus kép projektív az alakzat valamely cetrális vetületéhez. BIZONYÍTÁS. A bizoyítás aalóg a 2.11 tétel bizoyításához. A cetrális axoometriára Pohlke tételét em lehet direkt módo általáosítai, em igaz az, hogy tetszőleges cetrális axoometria cetrális vetítés és hasolóság szorzata Tétel (Szabó Stachel Vogel). Legye (O,U x,u y,u z,e x,e y,e z ) egy cetrális axoometria bázisalakzata, továbbá a bázisalakzat egyetle potja se legye végtele távoli pot. (2.16. ábra) A bázisalakzat által meghatározott cetrális axoometria akkor és csakis akkor cetrális projekció és hasolóság szorzata, ha feáll ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 OEx OEy OEz : : = tgα : tgβ : tgγ, E x U x E y U y E z U z ahol α = U y U x U z, β = U z U y U x, γ = U y U z U x.

38 2.3. FERDE AXONOMETRIA ÉS CENTRÁLIS AXONOMETRIA 38 y U z U x E y z E z U y E x x ábra. A cetrális axoometria bázisalakzata ÖSSZEFOGLALÓ a ferde axoometria geometriai jeletése; Pohlke-tétel: mide axoometria egy párhuzamos vetítés és egy hasolóság szorzata, azaz egy alakzat axoometrikus képe hasoló az alakzat valamely síkra voatkozó párhuzamos vetületéhez. a cetrális axoometria ituitív megadása: Désarguesháromszögpárral. Egy cetrális axoometriáak általába ics Pohlke tételéhez aalóg geometriai jeletése.

39 3. FEJEZET Szabad formájú görbék modellezése 3.1. Parametrizált görbék Ha egy ayagi pot mozgását a síkba vagy a térbe le akarjuk íri, akkor legegyszerűbb, ha origó rögzítése utá megadjuk helyzetvektorát az idő függvéyébe. Ebből a helyzetvektor-idő függvéyből a mozgás kiematikai jellemzőit már meg lehet adi, az első deriváltja (ha létezik) a sebesség, a második deriváltja a gyorsulás. Parametrizált görbe alatt egy ilye helyzetvektor-idő függvéyt értük. A mozgó pot pályája egy pothalmaz a síkba vagy a térbe ezt egyszerűe görbéek evezzük Defiíció. Egy c: [a,b] R differeciálható leképezést parametrizált görbéek evezük. A parametrizált görbe reguláris, ha t (a, b)-re c (t) 0 (regularitási feltétel). = 2 eseté síkgörbéről, = 3 eseté térgörbéről beszélük Példa (egyeletes körmozgás). Egy pot álladó ω > 0 szögsebességgel mozog egy a > 0 sugarú, origó középpotú körö. Határozzuk meg a helyzetvektor-idő leképezést! A t = 0 időpotba a pot koordiátái (a,0). A pot iráyszöge t időpotba ϕ = ωt, így koordiátái (acos(ωt),asi(ωt)). Tehát a görbe paraméteres előállítása: c: [0, ) R 2, t c(t) = (a cos(ωt),a si(ωt)). A regularitási feltétel yilvá teljesül: c (t) = ( aω si(ωt),aω cos(ωt)), c (t) = aω 0. A c (t) = aω összefüggés, mely a kerületi sebesség és a szögsebesség közti kapcsolatot adja meg, a középiskolai fizikából ismerős lehet. A paraméteres előállításból azoal következik, hogy a mozgásra x 2 + y 2 = a 2 teljesül, ami a kör egyelete (x = acos(ωt), y = asi(ωt)). Az a sugár a mozgás geometriai jellemzője, ω a mozgás fizikai jellemzője Példa (hegeres csavarvoal). Egy a sugarú egyees forgásheger tegelye a z tegely. Kiválasztjuk egy alkotóját, az alkotó egy pot (a hegerhez képest) b > 0 sebességgel egyeletes mozgást végez, miközbe a hegert a z tegely körül ω szögsebességgel forgatjuk. Határozzuk meg a helyzetvektor-idő függvéyt. A t = 0 időpotba a pot koordiátái (a,0,0). 39

40 3.1. PARAMETRIZÁLT GÖRBÉK 40 y z 3.1. ábra. Hegeres csavarvoal x A mozgás vetülete az xy síkra egyeletes körmozgás, a z tegelyre pedig egyeesvoalú egyeletes mozgás. Így a paraméteres előállítás: c: [0, ) R 3, t c(t) = (acos(ωt),asi(ωt),b t) (a,b > 0). c (t) = a 2 ω 2 + b 2 0, azaz a regularitási feltétel teljesül. Ezt a görbét hegeres csavarvoalak evezzük (3.1. ábra) ALGORITMUS (görbék poligoális approximációja). A c: [a,b] R ( = 2 vagy 3) folytoos parametrizált görbe ábrázolásához osszuk fel a paraméter itervallumot egyelő részekre, azaz jelöljük ki a t i = a + b a i, i = 0,...,N N paraméterértékeket valamely N természetes szám rögzítése utá. A görbét a [c(a),c(t 1 ] [c(t 1 ),c(t 2 )]... [c(t N 1,c(t N )] poligoal modellezzük DRAWCURVE Iput: N move to c(a) for i = 1 to N do lie to c(a + b a N i) Speciális esetbe kapjuk a folytoos függvéy grafikoját, ekkor c(t) = (t, f (t)), ahol f : [a,b] R a szóba forgó függvéy Megjegyzés. A paramétertartomáy felosztására em midig az egyeletes (uiformális) felosztást érdemes haszáli. A agyobb görbületű részeke a beosztást gyakra célravezető sűrítei (adaptív mitavételezés.)

41 3.2. A KEVERÉSI ELV 41 Aak megállapítására, hogy kell-e a beosztást fiomítai egy adott [u, v] itervallumba, több kritériumot is lehet haszáli. Ezek közül felsoroluk éháyat. Legye m (u, v), - a c(u)c(m)c(v) háromszög területe kisebb, mit egy rögzített hibahatár - c(u)c(m)c(v) π - c(m) egy rögzített hibahatárál közelebb esik a [c(u), c(v)] szakaszhoz. - c(u) c(m) + c(m) c(v) c(u) c(v). Az m érték kiválasztására a módszer agyo érzékey. A legegyszerűbb, ha m = (u + v)/2. ÖSSZEFOGLALÓ parametrizált görbe: c: [a,b] R differeciálható leképezés. parametrizált görbe rajza: poligoális approximáció uiformális vagy adaptív mitavételezéssel A keverési elv A számítógéppel támogatott tervezésbe, rajzolásba fotos szerepe va a parametrizált görbékek. A görbemodellezés általuk vizsgált alapfeladata, hogy egy szabad formájú görbe (pl. szabad kézzel megrajzolt görbe) parametrizált modelljét adjuk meg. A szabad formájú görbét em biztos, hogy potosa tudjuk paraméterezi, a cél az, hogy a modell valamilye értelembe közelítse az eredeti görbét. Erre az egyik általáos módszer a súlyozásos (vagy más szóval keveréses) módszer. Ez abból áll, hogy rögzítük bizoyos potokat az úgyevezett kotrollpotokat majd ezeket poliomiális súlyfüggvéyekkel (a szakirodalomba elterjedt agol termiológia bledig fuctio, azaz keverő függvéy) súlyozzuk (keverjük) Defiíció. A p 0,...,p R N (N = 2 vagy 3) kotrollpotokhoz és W 0 (u),...,w (u), (u I R) a súlyfüggvéyekhez tartozó modellgörbe (3.1) p(u) = W i(u)p i W i(u), u I. Tehát mide u paraméterértékre p(u) megegyezik a kotrollpotok W 0 (u),...,w (u) súlyokkal vett súlyozott közepével. N = 2-re síkgörbét, N = 3-ra térgörbét kapuk Defiíció. Ha mide u I paraméterértékre W i(u) = 1, akkor azt modjuk, hogy a súlyfüggvéyek egységbotást alkotak. Ha a súlyfüggvéyek egységbotást alkotak, akkor a modell paraméteres előállítása is egyszerűsödik: (3.2) p(u) = W i (u)p i, ( W i (u) = 1,u I ),

42 3.2. A KEVERÉSI ELV 42 továbbá a modellre egy fotos tulajdoság, az affi ivariacia teljesül: a modellgörbe affi képe megegyezik a kotrollpotok affi képéhez tartozó modellgörbével, ugyaazo keverő függvéyekkel Tétel (Affi ivariacia). Legye F : R N R N, affi traszformáció, parametrizált görbe, ahol teljesül. Ekkor BIZONYÍTÁS. x F(x) = Ax + b, A GL(N), b R N p(u) = F(p(u)) = F(p(u)) = A = = W i (u)p i, u I W i (u) = 1, u I W i (u)f(p i ), u I. W i (u)p i + b = W i (u)ap i + W i (u)(ap i + b) = W i (u)b = W i (u)f(p i ). Ha a súlyfüggvéyek az egységbotás tulajdosága mellett ráadásul em egatívak, akkor újabb fotos geometriai tulajdoság, a kovex burokba maradás is teljesül. Emlékeztetőül, egy pothalmazt kovexek evezük, ha bármely két potjával együtt a két pot összekötő szakaszát is tartalmazza, azaz a K R N halmaz kovex, ha p,q K, t [0,1] : tq + (1 t)p K. Egy pothalmaz kovex burka alatt azt a legszűkebb kovex halmazt értjük, amely az adott halmazt tartalmazza. Egyszerűe belátható, hogy egy halmaz kovex burkát megkaphatjuk a halmazt tartalmazó összes kovex halmaz metszetekét. Kevésbé yilvávaló, hogy egy pothalmaz kovex burka megkapható a potjaiból képezett összes kovex lieáris kombiáció uiójakét. (A k α ip i lieáris kombiáció kovex, ha k α i = 1 és α i 0.) Megjegyezzük még, hogy véges sok pot kovex burka esetleg elfajuló kovex sokszöglemez (síkba) vagy kovex poliédertest (térbe). Mivel egységbotó és emegatív súlyfüggvéyek mellett (3.2) kovex lieáris kombiáció, ezért p(u) a kotrollpotok kovex burkába va.

43 3.9. Tétel (kovex burokba maradás). Ha parametrizált görbe, ahol p(u) = 3.3. SZPLÁJNOK 43 W i (u)p i, u I W i (u) = 1, és W i (u) 0, u I teljesül, akkor p(u) a p 0,...,p kotrollpotok kovex burkába va. Ha a modellgörbe a kotrollpotokat tartalmazza, akkor azt iterpolációs görbéek evezzük. Az approximációs görbe em feltétleül tartalmazza a kotrollpotokat, de azokhoz (valamilye értelembe) közel halad. Iterpolációra a gyakorlatba sokszor előfordul az ú. iterpolációs alapfeladat. Adottak a p 0,p 1,...,p R N potok, valamit az u 0 u 1 u paraméterértékek. Olya p: [u 0,u ] R N legalább C r osztályú parametrizált görbét keresük, hogy i {0,...,} : p(u i ) = p i. ÖSSZEFOGLALÓ modellgörbe: p(u) = W i(u)p i W i(u). egységbotás: W i(u) = 1. affi ivariacia: ha a súlyfüggvéyek egységbotást alkotak, akkor a modellgörbe affi képe megegyezik a kotrollpotok affi képéhez tartozó modellgörbével ugyaazo keveréssel. kovex burokba maradás: ha a súlyfüggvéyek emegatívak és egységbotást alkotak, akkor a modellgörbét a kotrollpotok kovex burka tartalmazza. iterpoláló görbe: p(u i ) = p i valamely adott (u 0,u 1,...,u ) paraméterredszerre Szplájok Defiíció. Az u 0 u 1 u paraméterértékekhez, az ú. csomópotokhoz tartozó C r osztályú szpláj alatt olya p: [u 0,u ] R N legalább C r osztályú parametrizált görbét értük, melyre a p i : [0,1] R N, p i (t) = p((u i+1 u i ) t + u i ) (i {0,..., 1}) parametrizált görbék sima (azaz C ) görbeívek. A p i (t) = p(u), (u = (u i+1 u i ) t + u i ) görbepotak t a lokális, míg u a globális paramétere. [u 0,u 1,...,u ] a szpláj csomópotvektora. Ekvidisztás csomópotvektorról akkor beszélük, ha az egymást követő csomópotok távolsága ugyaaz.

44 3.3. SZPLÁJNOK 44 A szpláj tehát szakaszokét sima parametrizált görbe, és a görbeszakaszok csatlakozási potjába legalább r-szeri differeciálhatóságot íruk elő. 1 Vizsgáljuk meg a C 1 osztályú differeciálhatóság feltételét. Globális paraméterrel ( ) u ui p(u) = p i, u [u i,u i+1 ]; u i+1 u i így az összetett függvéy differeciálási szabálya szerit ( ) u p (u) = p ui 1 i. u i+1 u i u i+1 u i Az u i csomópotál balról a p i 1 (t), jobbról a p i (t) görbeszakasz deriváltjait kell képezi: ( ) u ui 1 1 lim u u i 0 p (u) = lim u u i 0 p i 1 = p 1 u i u i 1 u i u i 1(1) i 1 u i u i 1 ( ) u ui 1 lim u u i +0 p (u) = lim u u i +0 p i = p 1 u i+1 u i u i+1 u i(0), i u i+1 u i így a C 1 osztályú csatlakozás szükséges és elégséges feltétele, hogy (3.3) u i p i 1(1) = u i 1 p i(0) ahol u k = u k+1 u k. Megjegyezzük, hogy előfordulhat az, hogy a szpláj ugya C 1 osztályú, de mégsem reguláris, mert valamelyik csomópotba a sebességvektor zéróvektor: ekkor a görbéek ebbe a csomópotba fordulópotja va. Ekvidisztás csomópotvektor pl. a (0,1,...,) R +1. Ekkor továbbá p: [0,] R N, p i : [0,1] R N, p i (t) = p(t + i) (i {0,..., 1}). Ekvidisztás csomópotvektor eseté a C 1 osztályú differeciálhatóság feltétele is egyszerűsödik. Lokális paraméterekkel: p i 1(1) = p i(0). Az előzőekhez hasolóa kaphatjuk meg a szpláj C 2 osztályú differeciálhatóságáak feltételét. A már megkapott u i p i 1(1) = u i 1 p i(0) (ld. (3.3)) feltétel mellett teljesülie kell még a (3.4) ( u i ) 2 p i 1(1) = ( u i 1 ) 2 p i (0) 1 A gyakorlatba külööse fotos a C 2 osztályú csatlakozás, mert reguláris görbék C 2 osztályú csatlakozása görbületfolytoos szplájt ad. A görbület a sebességből és a gyorsulásból kifejezhető: κ = p p p 3.

45 3.3. SZPLÁJNOK 45 feltételek is. A magasabb redű szpálokra aalóg módo folytathatjuk a töréspotokba kirótt feltétel megadását: ( u i ) r p (r) i 1 (1) = ( u i 1) r p (r) i (0) Példa (töröttvoal). A legegyszerűbb (em triviális) szpláj a töröttvoal, amely az iterpolációs alapfeladatak C 0 osztályú megoldása. Jelölje p 0,...p az N-dimeziós kotrollpotokat és legye p: [0,] R N, (1 u)p 0 + up 1, ha 0 u 1, (2 u)p 1 + (u 1)p 2, ha 1 u 2,... p(u) = (k + 1 u)p k + (u k)p k+1, ha k u k + 1,... ( u)p 1 + (u + 1)p, ha 1 u. Eszerit p 0 súlyfüggvéye F 0 : [0,] R, F 0 (u) = p k (1 k 1) súlyfüggvéye { 1 u, ha u [0,1], 0 egyébkét. u k + 1, ha u [k 1,k], F k : [0,] R, F k (u) = k + 1 u, ha u [k,k + 1] 0 egyébkét, végül p súlyfüggvéye { u + 1, ha u [ 1,], F : [0,] R, F (u) = 0 egyébkét. Megállapíthatjuk, hogy a súlyfüggvéyek em egatívak és egységbotást alkotak, tehát teljesül a kovex burokba maradás és az affi ivariacia tulajdosága. Mivel p(i) = p i (i = 0,1,...,), ezért ez egy iterpolációs görbe. A szpláj görbeszakaszai a kotrollpotokba töréssel, azaz em differeciálhatóa csatlakozak: a szpláj C 0 osztályú. (A csatlakozási potoko kívül természetese a szpláj C osztályú, azaz sima.) Ez a szpláj lokálisa változtatható, egy kotrollpot legfeljebb két görbeszakaszra va hatással, a többi görbeszakaszt a kiválasztott kotrollpot változtatása em ériti.

46 3.4. LAGRANGE-INTERPOLÁCIÓ 46 ÖSSZEFOGLALÓ C r -osztályú parametrizált szpláj: p: [u 0,u ] R N szakaszokét sima, az u i csomópotokba r-szer differeciálható görbe. a szpláj r-szer differeciálható az u i töréspotba: ha ( u i ) s p (s) i 1 (1) = ( u i 1) s p (s) i (0) (s = 1,...,r) ahol p i (t) = p((u i+1 u i ) t + u i ) Lagrage-iterpoláció A Lagrage-iterpolációs poliom olya legfeljebb -ed fokú poliom, mely grafikoja áthalad az (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ),...,(x,y ) R 2 párokét külöböző redezett számpároko Defiíció. Az (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ),...,(x,y ) R 2 potokhoz tartozó Lagrage-iterpolációs poliom (3.5) p(u) = A (3.5) képletbe szereplő j=0 y j j i (3.6) L j, (u;x 0,x 1,...,x ) = u x i x j x i. u x i x j x i j i poliomokat az (x 0,x 1,...,x ) alappotokhoz tartozó Lagrage-bázisfüggvéyekek evezzük ALGORITMUS. A (3.5) poliom atomi eleme az u x i x j x i tört. Eek kiszámítását úgy végezzük el, hogy x i = x j eseté értéke 1 legye: 3.13.a. LAGRANGE(a, b, u) if a = b the retur 1 else retur u a b a A Lagrage-iterpolációs poliom kiszámításáál az abszcissza értékek az x vektorba, a hozzájuk tartozó megfelelő ordiáta értékek az y vektorba vaak. A poliomot u R-be számítjuk ki. A defiícióból közvetleül következik, hogy { 1 ha i = j, (3.7) L j, (x i ;x 0,x 1,...,x ) = δ i j = 0 ha i j;

47 3.4. LAGRANGE-INTERPOLÁCIÓ LAGRANGEINTERPOLATION Iput: x,y,u Output: A Lagrage-iterpolációs poliom értéke u-ba legth(x) 1 sum 0 for j = 0 to do prod 1 for i = 0 to do prod prod LAGRANGE(x i,x j,u) sum sum + y j prod retur sum továbbá ugyaazo alappotokhoz tartozó Lagrage bázisfüggvéyek egységbotást alkotak: L j, (u;x 0,x 1,...,x ) = 1. j=0 Ugyais az egységbotás tulajdosága az alappotokba (3.7) miatt teljesül, azoba em kostas legfeljebb -ed fokú poliom + 1-szer ugyaazt az értéket em veheti föl. A (3.5) képlet még síkba sem alkalmas közvetleül az iterpolációs feladat megoldására, mert az eredméy mide esetbe poliom grafikoját adja, azaz a megoldás a kotrollpotok sorredjét em veszi figyelembe (ld. 3.2 ábra). p 2 p 1 p 3 p 0 p ábra. A Lagrage-iterpolációs poliom a kotrollpotok sorredjét em veszi figyelembe. Ugyaeze kotrollpotokhoz tartozó iterpolációs görbe p 0 -tól idula és p 4 -be végződe, vö ábra. A módszer a Lagrage-iterpolációs poliomok egységbotó tulajdosága miatt alkalmas a (3.2) általáos görbemodellezési elv alkalmazására, azaz görbék iterpolációjára. Ehhez ki kell jelölük egy u 0 < u 1 <... < u,

48 3.4. LAGRANGE-INTERPOLÁCIÓ 48 u k R paraméterredszert. Az szereték, ha az iterpolációs görbe az u i potba a p i kotrollpotot adá Defiíció. A p i R N (i = 0,...,, N = 2,3) kotrollpotokhoz és (u 0,u 1,...,u ) R +1 paraméterredszerhez tartozó Lagrageiterpolációs görbe alatt a (3.8) p(u) = L j, (u;u 0,u 1,...,u )p j j=0 parametrizált görbét értjük. (A paramétertartomáy a valós számok tetszőleges, a paraméterredszert tartalmazó itervalluma lehet.) Az u i paraméterértékeket csomópotokak is evezzük. (3.7) miatt p(u i ) = p i (i = 0,...), azaz az iterpolációs feladat C osztályú megoldását kapjuk. Az iterpolációs görbe függ a csomópotok választásától, amely ökéyes. Lehetséges, hogy az u k paraméterértékek egyelő távolságra vaak egymástól, azaz u k u k 1 = álladó (ekvidisztás paraméterezés). Az is kézefekvő választás, hogy a paraméterértékek távolsága vegye figyelembe a kotrollpotok távolságát azaz legye u 0 R tetszőleges, továbbá u 1 = u 0 + d(p 0,p 1 ), u 2 = u 1 + d(p 1,p 2 ),. u = u 1 + d(p 1,p ). Az ilye paraméterezést rövide aráyos paraméterezések evezzük. (Ld ábra!) p 2 p 1 p 3 p 0 p ábra. Lagrage-iterpoláció ekvidisztás paraméterredszerrel (piros görbe) és aráyos paraméterezéssel (kék görbe). A Lagrage-iterpolációs módszer előye, hogy az iterpolációs feladatra C osztályú megoldást ad, hátráya, hogy a kotrollpotok számáak övelésével a fokszám ő, ugyaakkor ekvidisztás csomópot vektorra az iterpolációs görbe hibája a fokszám övelésével egyre agyobb lehet, mit azt a következő példa mutatja.

49 3.4. LAGRANGE-INTERPOLÁCIÓ 49 y x 3.4. ábra. A Ruge-függvéy (kékkel) és iterpolációja 15-öd fokú Lagrage-iterpolációs poliommal, mely ekvidisztás csomópotokhoz tartozik y x 3.5. ábra. A Ruge-függvéy (kékkel) és iterpolációja 15-öd fokú Lagrage-iterpolációs poliommal, mely Csebisev-féle csomópotokhoz tartozik Példa (Ruge-jeleség, ld és 3.5. ábra!). Legye f (x) = x 2 (x [ 1, 1]), az úgyevezett Ruge-függvéy. Vegyük fel ekvidisztás csomópot vektort a [ 1, 1] itervallumba. Az iterpolációs poliom hibája (külööse a 1, 1 közelébe) a csomópotok számáak övelésével

50 3.5. HARMADFOKÚ HERMITE-GÖRBÉK 50 egyre agyobb: ekvidisztás csomópotok általába alkalmatlaok magasabb fokszámú poliomiális iterpolációra. Ha a Ruge-függvéy iterpolációját az u i = cos ( 2i 1 2 π), i = 1,2,..., csomópotokra (az ú. Csebisevcsomópotokra) végezzük el, akkor egésze más eredméyt kapuk. ÖSSZEFOGLALÓ Lagrage-bázisfüggvéyek: adott az (u 0,u 1,...,u ) csomópot vektor. u u i L j, (u;u 0,u 1,...,u ) =. u j u i j i Lagrage-iterpolációs görbe: : adott az (u 0,u 1,...,u ) csomópot vektor és az p 0,p 1,...,p kotrollpotok. p(u) = L j, (u;u 0,u 1,...,u )p j. j= Harmadfokú Hermite-görbék Defiíció. Parametrizált harmadfokú görbeíve, rövide harmadfokú görbé egy p: [0,1] R N, u p(u) = u 3 a + u 2 b + uc + d parametrizált görbét értük. a,b,c,d R N a görbe algebrai együtthatói Tétel. A p harmadfokú görbeívet egyértelműe meghatározzák a görbe geometriai együtthatói, azaz p(0),p(1),p (0),p (1). BIZONYÍTÁS. p (u) = 3u 2 a + 2ub + c. A geometriai együtthatók egyszerűe kifejezhetők az algebrai együtthatókkal: p(0) = d, p(1) = a + b + c + d, p (0) = c, p (1) = 3a + 2b + c. Ie az algebrai együtthatókat kifejezve: Tehát a = 2p(0) 2p(1) + p (0) + p (1), b = 3p(0) + 3p(1) 2p (0) p (1), c = p (0), d = p(0). p(u) = (2u 3 3u 2 + 1)p(0) + ( 2u 3 + 3u 2 )p(1)+ + (u 3 2u 2 + u)p (0) + (u 3 u 2 )p (1).

51 3.18. Defiíció HARMADFOKÚ HERMITE-GÖRBÉK 51 F 3 0 (u) = 2u3 3u 2 + 1, F 3 1 (u) = 2u3 + 3u 2, F 3 2 (u) = u3 2u 2 + u, F 3 3 (u) = u3 u 2 az ú. harmadfokú Hermite-poliomok. Azaz egy harmadfokú görbe a geometriai együtthatókkal az alábbiak szerit fejezhető ki: p(u) = F 3 0 (u) p(0) + F3 1 (u) p(1) + F3 2 (u) p (0) + F 3 3 (u) p (1). v 0 p 0 p 1 v ábra. Harmadfokú görbeív a geometriai együtthatókkal p 0 p ábra. A harmadfokú görbeív függése a végpotjaiba adott sebességvektorok iráyától Három pot iterpolációja harmadfokú görbeívvel a síkba. Keressük olya harmadfokú görbeívet, melyek adottak végpotjai, a végpotokba az éritő egyeesek, valamit a görbe egy belső potja. Jelölje a végpotokat p 0 és p 1 ; a belső potot pedig p b. Az éritő egységvektorok legyeek t 0 és t 1. A problémába három ismeretle va: a v 0, v 1 pályasebességek a kezdő és végpotba valamit a belső pot t paramétere. Ezeket az ismeretleeket úgy keressük, hogy p b = F 3 0 (t)p 0 + F 3 1 (t)p 1 + F 3 2 (t)v 0t 0 + F 3 3 (t)v 1t 1 teljesüljö. Fölhaszálva, hogy F0 3(t) + F3 1 (t) = 1, azt kapjuk, hogy (3.9) p b p 0 = F 3 1 (t)(p 1 p 0 ) + F 3 2 (t)v 0t 0 + F 3 3 (t)v 1t 1.

52 3.5. HARMADFOKÚ HERMITE-GÖRBÉK 52 p 0 p ábra. A harmadfokú görbeív függése a végpotjaiba adott sebességvektorok agyságától p b p 0 p ábra. Három pot iterpolációja harmadfokú görbeívvel Tekitsük (3.9)-t, mit az F 3 1 (t), F3 2 (t)v 0, F 3 3 (t)v 1 ismeretleekre fölírt lieáris egyeletredszert, ahol az egyeleteket a koordiáták adják. Síkba a (3.9) lieáris egyeletredszer csak két egyeletből áll. A t paramétert tetszőlegese megválaszthatjuk. Legye pl. t = 0, 5: azaz p b p 0 F 3 1 (0,5)(p 1 p 0 ) = F 3 2 (0,5)v 0t 0 + F 3 3 (0,5)v 1t 1, p b p (p 1 p 0 ) = 1 8 v 0t v 1t 1. Ha a két éritő egységvektor lieárisa függetle, akkor az egyeletredszer v 0 -ra és v 1 -re egyértelműe megoldható. A bal oldalt l-lel jelölve, és a megoldásokat Cramer-szabály segítségével kifejezve: v 0 = 8 l,t 1 t 0,t 1, v 1 = 8 t 0,l t 0,t Az iterpolációs alapfeladat C 1 osztályú megoldása harmadfokú Hermite-ívekkel. A p 0,p 1,...,p kotrollpotok mellett adjuk meg

53 3.5. HARMADFOKÚ HERMITE-GÖRBÉK 53 tetszőlegese a v 0,v 1,...,v sebességvektorokat. A csomópot vektor legye (0,1,...,). A p i (u) görbeszakasz legye a (p i,p i+1,v i,v i+1 ) geometriai együtthatókhoz tartozó harmadfokú Hermite-görbe, azaz p i (u) = F 3 0 (u)p i + F 3 1 (u)p i+1 + F 3 2 (u)v i + F 3 3 (u)v i+1, u [0,1]. Mivel p i (1) = v i = p i+1 (0) ezért a p 1 (u), u [0,1] p 2 (u 1), u [1,2]... p(u) = p i (u i), u [i,i + 1]... p 1 (u + 1), u [ 1,] szpláj az iterpolációs alapfeladat C 1 osztályú megoldását adja. A gyakorlatba előfordul, hogy csak a kotrollpotokat ismerjük, a sebességvektorokat em. A sebességvektorokat ilyekor valamilye recept alapjá adjuk meg. Például legye (3.10) v i = 1 2 (p i+1 p i 1 ). A receptet jól motiválja, ha a pillaatyi sebesség fizikai fogalmára godoluk: a p i 1, p i+1 közötti ívet a mozgó pot (ekvidisztás csomópotvektor mellett) 2 egység idő alatt teszi meg. Az elmozdulásvektor és a megtett idő háyadosa adja a pillaatyi sebesség közelítését p i -be. (3.10) yilvávalóa em alkalmazható az i = 0 és i = idexekre. i = 0-ra lehet például v 0 = 1 2 (p 2 p 0 ), ahol p 2 a p 2 kotrollpot tükörképe a p 0 és p 1 potok összekötő egyeesére, míg v = 1 2 (p p 2), ahol p 2 a p 2 kotrollpot tükörképe a p 1 és p összekötő egyeesére (ld ábra) Az iterpolációs alapfeladat C 2 osztályú megoldása harmadfokú Hermite-ívekkel. Ismét a (0,1,...,) csomópot vektorral dolgozuk. Ha a p szpláj legalább C 2 osztályú, az azt jeleti, hogy: (3.11) p i(1) = p i+1(0), p i (1) = p i+1(0), (i = 0,..., 2). A p görbe sebességvektorát adjuk meg tetszőlegese a rögzített kotrollpotokba a v 0,v 1,...,v vektorokkal, azaz i {1,..., 1} : és p (i) = p i 1(1) = p i(0) = v i ; p (0) = p 0(0) = v 0, p () = p 1(1) = v.

54 3.5. HARMADFOKÚ HERMITE-GÖRBÉK 54 p 1 p 2 p 0 p 4 p ábra. Görbeillesztés Hermite-eljárással: C 1 -osztályú iterpolációs görbe A második deriváltakra voatkozó (3.11) feltételt haszálva: F 3 0 (1)p i 1 + F 3 1 (1)p i + F 3 2 (1)v i 1 + F 3 3 (1)v i = = F 3 0 (0)p i + F 3 1 (0)p i+1 + F 3 2 (0)v i + F 3 3 (0)v i+1. A deriváltakat kiszámítva, behelyettesítve a 0 és 1 értékeket, valamit redezve: v i 1 + 4v i + v i+1 = 3(p i+1 p i 1 ) (i = 1,..., 1). Ez koordiátákét 1 egyelet v 0,...,v koordiátáira, azaz a v 0 és v vektorokat szabado megválasztva koordiátákét egy ( 1) ( 1) típusú lieáris egyeletredszert kapuk: 4v 1 + v 2 = 3(p 2 p 0 ) v 0, v 1 + 4v 2 + v 3 = 3(p 3 p 1 ),. v i 1 + 4v i + v i+1 = 3(p i+1 p i 1 ),. v 2 + 4v 1 = 3(p p 2 ) v. Az előbbi lieáris egyeletredszer alapmátrixa: (3.12) M 1 =

55 3.5. HARMADFOKÚ HERMITE-GÖRBÉK 55 Belátjuk, hogy detm 1 0, tehát v 0 és v tetszőleges megválasztása eseté az egyeletredszer a (v 1,...,v 1 ) vektorokra egyértelműe megoldható, így a görbeillesztési feladatak egyértelműe va megoldása. (v 0 és v megválasztására a C 1 osztályú megoldásál elmodottakat lehet alkalmazi.) Határozzuk meg a (3.12) mátrix determiását. (Belátva ezzel, hogy a determiás téylegese em zéró.) A detm = determiást az utolsó sor szerit kifejtve: = Tekitsük a valós sorozatok vektorterét. Ebbe a vektortérbe kétdimeziós altér az a = 4a 1 a 2 rekurzióak eleget tévő sorozatok tere, melyet jelöljö L. Olya λ számot keresük, melyre (λ,λ 2,...,λ,...) eleme L-ek. A rekurziót leíró feltétel λ-ra a λ 2 4λ + 1 = 0 feltételt adja, ahoa λ 1 = és λ 2 = 2 3. Tehát a Λ 1 = (λ 1,λ 2 1,...,λ 1,...), Λ 2 = (λ 2,λ 2 2,...,λ 2,...) sorozatok L bázisát adják. Határozzuk meg a ( 1, 2,...,,...) sorozat (α,β) koordiátáit a (Λ 1,Λ 2 ) bázisra voatkozóa: ahoa Tehát = α(2 + 3) + β(2 3) = 4, α(2 + 3) 2 + β(2 3) 2 = 15, α = ( ) 3 (2 + 3) 3 1 3, β = ( 1 3 ) 1 3 (2 3). 2 0, mert az első tag egytől agyobb, a második tag pedig egytől kisebb Megjegyzés. Zárt göbe eseté p 0 = p. Ha azt is előírjuk, hogy v 0 = v, továbbá a teljes görbe legalább C 2 osztályú legye, akkor az előzőekhez hasoló módo: v i 1 + 4v i + v i+1 = 3(p i+1 p i 1 ), (i = 1,...,, v +1 = v 1 ), koordiátákét egyelettel és ismeretleel. Az alapmátrix determiása em zéró, azaz zárt görbe eseté a kotrollpotok a görbét egyértelműe meghatározzák a görbe legalább kétszeri folytoos differeciálhatóságát megkövetelve.

56 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 56 ÖSSZEFOGLALÓ harmadfokú görbeív: az a, b, c, d algebrai együtthatókkal p(u) = u 3 a + u 2 b + uc + d, u [0,1]. a görbe geometriai együtthatói: - p(0) (kezdőpot), - p(1) (végpot), - p (0) (kezdősebesség), - p (1) (végsebesség). harmadfokú Hermite-görbe: a görbe paraméteres előállítása a geometriai együtthatókkal: p(u) = F 3 0 (u) p(0) + F3 1 (u)p(1) + F3 2 (u)p (0) + F 3 3 (u)p (1), ahol Fi 3 (u) (i = 0,1,2,3) a harmadfokú Hermite-poliomok. az iterpolációs feladat megoldása: a kotrollpotokba tetszőlegese megadva a sebességvektorokat, két kotrollpot között harmadfokú Hermite-görbét alkalmazva, az iterpolációs alapfeladat C 1 osztályú megoldását kapjuk Bézier-görbék A Berstei-poliomok. Ebbe a szakaszba egy egységbotást alkotó emegatív poliomredszert aduk meg Defiíció. Legye emegatív egész, i tetszőleges egész. A ( ) B i (u) = u i (1 u) i i poliomot Berstei-poliomak evezzük, ahol ( ) {! = i!( i)! 0 i, i 0 egyébkét. A defiícióból közvetleül leolvasható, hogy a Berstei-poliomok emegatívak a [0, 1] itervallumo, pozitívak a (0, 1) itervallumo. Teljesül továbbá az alábbi szimmetria tulajdoság: B i (u) = B i(1 u) Tétel. A Berstei-poliomok kielégítik az alábbi rekurziót: (B1) B 0 0 (u) = 1, B i (u) = (1 u)b 1 i (u) + ub 1 i 1 (u), továbbá B i (u) = 0, i / {0,...,}.

57 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 57 BIZONYÍTÁS. Az első és az utolsó formula yilvávaló. A második állítás bizoyításához felhaszáljuk a biomiális együtthatókra feálló rekurzív formulát: ( ) = i ( 1 i ) + ( ) 1. i 1 Tehát ( ) B i (u) = u i (1 u) i i ( ) ( ) 1 1 = u i (1 u) i + u i (1 u) i i i 1 ( ) ( ) 1 1 = (1 u) u i (1 u) 1 i +u u i 1 (1 u) i. i i 1 } {{ } } {{ } B 1 i (u) B 1 i 1 (u) Tétel. A Berstei-poliomok egységbotást alkotak, azaz (B2) i=1 B i (u) = 1. BIZONYÍTÁS. Alkalmazzuk a biomiális tételt: 1 = [u + (1 u)] = ( ) u i (1 u) i = i B i (u) Tétel. A Berstei-poliomok deriváltja: (B3) d du B i (u) = [ B 1 i 1 (u) B 1 i (u) ] ábra. Ötödfokú Berstei-poliomok grafikoja a [0,1] itervallumo

58 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 58 BIZONYÍTÁS. A szorzatfüggvéy deriválási szabálya szerit: d du B i (u) = d ( ) u i (1 u) i = du i = i! i!( i)! ui 1 (1 u) i ( i)! i!( i)!) ui (1 u) i 1 = ( 1)! = (i 1)!( i)! ui 1 (1 u) i ( 1)! i!( i 1)! ui (1 u) i 1 = = [ B 1 i 1 (u) B 1 i (u) ] Következméy. i 0, eseté a B i poliomak u = i -él lokális maximuma va ábra. A Berstei-poliomok csúcsosodó tulajdosága a lokális maximum körül: B 1, ( = ) grafikoja A későbbiek sorá majd felhaszáljuk az alábbi összefüggést Tétel. B k (u t) = i=k B i (u) Bi k (t). ÖSSZEFOGLALÓ Berstei poliomok: tulajdoságai - B i (u) = ( i) u i (1 u) i 0, ha u [0,1], - egységbotás: B i (u) = 1, - B 0 (0) = 1, B (1) = 1; 0, 1-be mide más poliom értéke 0, - deriváltja d du B i (u) = [ B 1 i 1 (u) B 1 i (u) ].

59 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK Bézier-görbék. A Berstei-poliomokkal a keverési elv szerit (ld szakasz) lehet modellgörbét kostruáli Defiíció. A (p 0,p 1,...,p ) kotrollpotokhoz tartozó Bézier-görbe alatt a (3.13) p: [0,1] R N, p(u) = görbét értjük. A B i (u)p i [p 0,p 1 ] [p 1,p 2 ]... [p 1,p ] töröttvoalat a görbe kotrollpoligojáak evezzük, míg a görbe fokszáma. p 1 p 3 p 0 p ábra. Harmadfokú Bézier-görbe és a kotrollpoligoja Tétel. Mide Bézier-görbe redelkezik az alábbi tulajdoságokkal: (1) Affi ivariacia: ha F : R N R N affi leképezés, akkor F(p(u)) = B i (u)f(p i ); (2) Kovex burokba maradás: mide u paraméterértékre teljesül, hogy p(u) cov{p 1,...,p } (3) Végpot iterpoláció: p(0) = p 0, p(1) = p. (4) Szimmetria: B i (u)p i = B i (1 u)p i. Az első és második tulajdoság mide emegatív, egységbotást alkotó súlyfüggvéy redszerre teljesül. A harmadik és egyedik tulajdoság pedig a Berstei-poliomok defiíciójából rögtö leolvasható Példa. = 2. Belátjuk, hogy három em kollieáris kotrollpot által meghatározott Bézier-görbe egy parabolaív. Vegyük tehát a másodfokú Bézier-görbét: p(u) = (1 u) 2 p 0 + 2u(1 u)p 1 + u 2 p 2.

60 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 60 Helyezzük el egy Descartes koordiáta-redszert a következőképpe: legye p 1 = 0, az y tegely iráyvektora pedig p 0 + p 2. p 0 koordiátái legyeek ( a,b), p 2 = (a,c). Ekkor, p(u) koordiáta-függvéyeit x(u)-val és y(u)-val jelölve: x(u) = a(1 u) 2 + au 2 = a(2u 1) y(u) = b(1 u) 2 + cu 2 = u 2 (c + b) 2ub + b. Az első egyeletből u = x+a 2a, amit a második egyeletbe beírva: ( ) x + a 2 y = (c + b) x + a 2a a b + b, ami egy parabola egyelete Példa. A p 0, p 1, p 2, p 3 kotrollpotokhoz tartozó harmadfokú Béziergörbe geometriai együtthatói: p(0) = p 0, p(1) = p 1, p (0) = 3(p 1 p 0 ), p (1) = 3(p 3 p 2 ). A harmadfokú Bézier-görbék és a korábbiakba tárgyalt szité harmadfokú Hermite-görbék között ics külöbség, az előállításhoz haszált poliombázis más. Bézier-görbe: ÖSSZEFOGLALÓ p: [0,1] R N, p(u) = B i (u)p i Bézier-görbe deriváltja. Határozzuk meg a p(u) = B i (u)p i Bézier-görbe deriváltját (sebesség vektormezőjét)! Felhaszálva a Berstei-poliomok deriváltjára kapott (B3) összefüggést: p (u) = A zérus tagokat elhagyva: p (u) = B 1 i=1 [ B 1 i 1 (u) B 1 i (u) ] p i. 1 i 1 (u)p i Az első tagba az idexet traszformálva: p 1 (u) = B 1 i 1 (u)p i+1 B 1 i (u)p i. B 1 i (u)p i,

61 tehát 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 61 p 1 (u) = B 1 i (u)(p i+1 p i ). Bevezetve a p i = p i+1 p i jelölést: (3.14) p 1 (u) = B 1 1 i (u) p i = B 1 i (u)( p i ). A végeredméyről leolvasható, hogy a derivált maga is Bézier-görbe: Tétel. A p 0,p 1,...,p kotrollpotokhoz tartozó Bézier-görbe deriváltja em más, mit az p 0, p 1,..., p 1 kotrollpotokhoz tartozó Bézier-görbe. Alkalmazzuk a (3.14) összefüggést speciálisa a végpotokra! A Berstei poliomokat a 0, 1 paraméterekél kiértékelve: (3.15) p (0) = (p 1 p 0 ), p (1) = (p p 1 ). A feti értékek a kezdőpottal és a végpottal együtt a görbe geometriai együtthatóit adják Következméy. A p 0,p 1,...,p kotrollpotokhoz tartozó Béziergörbe geometriai együtthatói p 0, p, (p 1 p 0 ), (p p 1 ). A Bézier-görbék magasabb redű deriváltjait a 3.30 tétel alapjá köyű meghatározi, hisze magát a tételt kell szukcesszíve alkalmazi. (3.16) A végpotokba: (3.17) illetve (3.18) p 2 (u) = ( 1) B 2 i (u)[ p i+1 p i ] = 2 = ( 1) B 2 i (u)[ p i+1 p i ] = } {{ } jel.: 2 p i 2 = ( 1) B 2 i (u) 2 p i p (0) = ( 1) 2 p 0 = ( 1)( p 1 p 0 ) = = ( 1)(p 2 p 1 p 1 + p 0 ) = = ( 1)(p 2 2p 1 + p 0 ), p (1) = ( 1) 2 p 2 = ( 1)( p 1 p 2 ) = = ( 1)(p p 1 p 1 + p 2 ) = = ( 1)(p 2p 1 + p 2 ). Tovább folytatva kiszámíthatjuk a magasabb redű deriváltakat.

62 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK Defiíció. Legyeek p 0,...,p adott kotrollpotok, 0 p i = p i, r p i = r 1 p i+1 r 1 p i (i = 0,..., r; r = 1,...,). A r p i (r = 0,...,, i = 0,..., r) vektorokat az adott kotrollpot sorozat r-differeciáiak evezzük Tétel. Bézier-görbe r-edik deriváltja olya Bézier-görbe, melyek kotrollpotjai az eredeti görbe kotrollpotjaival kifejezve:! ( r)! r p i, (i = 0,..., r). Azaz: p (r) (u) =! r ( r)! B r i (u) r p i (u [0,1]). ÖSSZEFOGLALÓ Bézier-görbe deriváltja: - Bézier-görbe deriváltja Bézier-görbe, - p (0) = (p 1 p 0 ), - p (1) = (p p 1 ), - p (0) = ( 1)(p 2 2p 1 + p 0 ), - p (1) = ( 1)(p 2p 1 + p 2 ) Pot a Bézier-görbé: a de Casteljau-algoritmus. Ebbe a szakaszba a Bézier-görbékek egy geometriailag motivált, ituitív származtatását adjuk meg, amely Paul de Casteljau evéhez fűződik (1959). A Bézier-görbék elméletét eze geometriai származtatás alapjá is le lehet íri. Az algoritmus em más, mit egy rekurzió. Az első geerációba a kotrollpotok vaak. Az új geerációt a régiből úgy kapjuk, hogy a régi geeráció potjai által meghatározott töröttvoal szakaszait u : (1 u) aráyba felosztjuk, ld ábra. A de Casteljau-algoritmus alapjá a Bézier-görbe potjai kiszámíthatók aélkül, hogy a Berstei-poliomokba behelyettesíteék Tétel. Legyeek adva a p 0,...,p kotrollpotok, az általuk meghatározott Bézier-görbe p(u), u [0, 1] rögzített paraméterérték. Legye továbbá p 0 0 = p 0,...,p 0 = p és (3.19) p j i Ekkor = (1 u)p j 1 i (3.20) p j j i = B j k (u)p i+k, k=0 speciálisa p 0 = p(u). + up j 1 i+1, i = 0,..., j; j = 1,...,.

63 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 63 p 3 p 1 2 p 2 p 2 1 p 3 0 p 1 1 p 0 p 1 p 1 0 p ábra. A de Casteljau-algoritmus BIZONYÍTÁS. A (3.20) relációt j szeriti teljes idukcióval látjuk be. j = 0-ra p 0 i = p i defiíció szerit igaz. Tegyük fel, hogy az állítás a j-edik geerációs potokra igaz. Belátjuk a ( j + 1)-edik geerációs potokra. Alkalmazzuk a ( j + 1)-edik geerációs potok defiícióját, majd az idukciós feltevést: p j+1 i = (1 u)p j i + up j i+1 = = (1 u) j s=0 B j s(u)p i+s + u j s=0 B j s(u)p i+s+1 = a második szummációba idextraszformációval folytatva = (1 u) j s=0 B j s(u)p i+s + u j+1 s=1 B j s 1 (u)p i+s = külöválasztva az első összeg első és a második összeg utolsó tagját Mivel = (1 u)b j 0 (u)p i + (1 u) + u hasolóa j s=1 j s=1 B j s(u)p i+s + B j s 1 (u)p i+s + ub j j (u)p i+ j+1. (1 u)b j 0 (u) = (1 u)u0 (1 u) j = u 0 (1 u) j+1 = B j+1 0 (u), ub j j (u) = uu j (1 u) 0 = u j+1 (1 u) 0 = B j+1 j+1 (u),

64 így az átalakítást tovább folytatva p j+1 i = B j+1 0 (u)p i + j s= BÉZIER-GÖRBÉK 64 [(1 u)b j s(u) + ub j s 1 (u) ] p i+s + B j+1 j+1 (u)p i+ j+1 = a Berstei-poliomok rekurzív tulajdoságát alkalmazva = B j+1 0 (u)p i + j s=1 Bs j+1 (u)p i+s + B j+1 j+1 j+1 (u)p i+ j+1 = s=0 B j+1 s (u)p i+s. A tételbe szereplő p j i potokat a u paraméterértékhez tartozó de Casteljau potokak evezzük Példa. Keressük meg a (5,2), (4,1), (3,2), ( 1,1) kotrollpotokhoz tartozó Bézier-görbe u = 0, 5 paraméterértékhez tartozó potját a de Casteljau algoritmus alapjá! A megoldáshoz érdemes az alábbi egyszerű sémát haszáli. Az oszlopokba az algoritmus egymást követő lépéseibe szereplő de Casteljaupotok találhatók. Az utolsó oszlop egyetle eleme a keresett pot. (5, 2) ( 9 2, 3 2 ) (4, 1) ( 16 4, 6 4 ) ( 7 2, 3 2 ) ( 25 8, 12 8 ) (3, 2) ( 9 4, 6 4 ) ( 2 2, 3 2 ) ( 1, 1) ALGORITMUS. A POINTONTHECURVE(u) algoritmus a de Casteljau-algoritmus alapjá kiszámítja a görbepotot. A számítás sorá a régi geeráció potjait em őrizzük meg (kivéve a ulladik geerációt, vagyis a kotrollpotokat), haem lecseréljük az új geerációval ALGORITMUS. A számítás rekurzióval is programozható (ld. a DECASTELJAU(i, j) pszeudokódot). Ez a rekurzió egyszerű és elegás, de a görbepot kiszámításához a DECASTELJAU függvéy meghívásaiak száma egy -ed fokú görbéél 2 1, azaz a kotrollpotok számáak övekedésével expoeciálisa övekszik, tehát magasabb fokszámú görbék eseté em célszerű alkalmazi. (A példa megoldásába a szakasz osztást hatszor végeztük el, a rekurzióhoz viszot 15-ször kell elvégezi.

65 3.36. POINTONTHECURVE(u) Iput: u [0,1] Output: p(u) for i = 0 to do q i p i % Az eredeti kotrollpotokat megőrizzük. for j = 1 to do for i = 0 to j do q i (1 u) q i + u q i+1 retur q BÉZIER-GÖRBÉK 65 Eek oka, hogy ugyaazt a de Casteljau-potot a rekurzív módszer eseté többször is ki kell számoli.) DECASTELJAU(i, j) Iput: 0 j, 0 i j Output: p j i if j = 0 the retur p i else retur (1 u) DECASTELJAU(i, j 1)+u DECASTELJAU(i+1, j 1) Egy pot a Bézier-görbé a görbét két részgörbére osztja. A következő tételbe belátjuk, hogy eze görbék maguk is Bézier-görbék, ráadásul kotrollpotjaik a de Casteljau-algoritmussal köye származtathatók Tétel (Bézier-görbe felosztása). Legye p: [0,1] R N a p 0,...,p kotrollpotokhoz tartozó Bézier-görbe, t [0,1] rögzített. Legye p : [0,1] R N, p (u) = p(ut), p + : [0,1] R N, p + (u) = p(t + u(1 t)). Ekkor p (u) és p + (u) szité -edfokú Bézier-görbék, továbbá p kotrollpotjai az eredeti görbe t paraméterértékhez tartozó de Casteljaupotjaival kifejezve: míg p + kotrollpotjai: p 0 = p 0 0,p1 0,...,p(t) = p 0 ; p(t) = p 0,p 1 1,...,p 1 1,p = p 0.

66 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 66 p 1 p 2 p 0 p ábra. Harmadfokú Bézier-görbe rajzolása a de Casteljau-algoritmus alapjá. A felező algoritmust ötször hajtottuk végre. BIZONYÍTÁS. A bizoyítást a p görbére végezzük el. A (3.20) relációt és a tételt haszálva: B i (u)p i 0 = B i (u) = = i k k=0p i k=0 B i k (t)p k = B i (u) B i k (t) = i B k (u t)p k = p(u t). k=0 i k=0 B i (u) B i k (t)p k = i k B k=0p i (u) B i k (t) = i=k A de Casteljau-algoritmus alapjá számítógéppel agyo hatékoya lehet Bézier görbét rajzoli. t = 1/2 értékre az algoritmus sorá csak 2-vel kell osztai, ami a kettes számredszerbe agyo egyszerű. Kiszámítjuk és kirajzoljuk az t = 1/2-hez tartozó görbepotot. Nevezzük ezt a görbe felezőpotjáak. Ez a pot a görbét az előző tétel szerit két Bézier-görbére osztja, amelyek kotrollpotjait ismerjük, az algoritmus végrehajtása sorá kiszámítottuk. Meghatározzuk és kirajzoljuk midkét görbe felezőpotját és az eljárást tovább folytatjuk a keletkezett égy Bézier görbére, és így tovább, midaddig, amíg az egymást követő potok a praktikus igéyekek megfelelő közelségbe leszek és a poligoális approximáció elvégezhető. (Ld ábra.) ALGORITMUS. A következő algoritmus egy rekurzív eljárás a Béziergörbe rajzolására, amely a felezést haszálja. Az algoritmus adaptív mitavételezése alapul, azaz ahol a Bézier-görbe agyobb görbületű, ott több potot rajzoluk meg. A léyeg, hogy ha a felezést elég sokszor elvégeztük, azaz a kotrollpoligo elég egyees, akkor a Bézier-görbe helyett a kezdő- és végpotot összekötő szakaszt rajzoljuk meg. Fotos kérdés, hogy milye módo állapítjuk meg azt, hogy a kotrollpoligo elég egyees. Egyszerű módszer, ha a kotrollpoligo hosszát összehasolítjuk a kezdő és végpot távolságával. Ha a külöbség egy hibahatár alatt marad, akkor a kotrollpoligoról kijelethetjük, hogy elég egyees, és a Bézier-görbét approximálhatjuk a kezdő- és végpotját összekötő szakasszal.

67 3.39. BEZIER(p 0,p 1,...,p ) Iput: p 0,p 1,...,p Output: Bézier-görbe poligoális approximációja 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 67 if A kotrollpoligo elég egyees the retur p 0 p szakasz else retur BEZIER(p 0 0,p1 0,...,p 0 ), BEZIER(p 0,p 1 1,...,p 0 ) % A de Casteljau potokat u = 1/2 paraméterértékhez számoljuk ábra. Bézier-görbe rajzolása szelektív mitavételezéssel ( = 9). Az ábrá a poligoális approximációhoz haszált potokat is berajzoltuk. ÖSSZEFOGLALÓ de Casteljau-algoritmus: Kotrollpotok: p 0 0 = p 0,...,p 0 = p, az u paraméterhez tartozó de Casteljau-potok: j 1 = (1 u)pi Ekkor p(u) = p 0. p j i + up j 1 i+1, i = 0,..., j; j = 1,...,.

68 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK Bézier-görbe fokszám emelése. Egy boyolultabb szabad formájú görbe Bézier-típusú modellezéséhez két fő stratégia vezethet. Az egyik, hogy több kotrollpot veszük föl, és ezáltal alakítjuk a görbét, a másik, hogy több, alacsoy fokszámú görbét illesztük egymáshoz megfelelő feltételekkel. (És persze ezeket lehet kombiáli.) A több kotrollpot fölvételéek az ára a magasabb fokszám, egyik előye viszot az egész görbe akárháyszori differeciálhatósága. (Eek következméye a görbület folytoos változása.) A magasabb fokszámot is megegedő modellezés egyik fotos techikája, hogy a valahogya már kialakított -edfokú félkész görbét előállítjuk + 2 kotrollpottal is (azaz a fokszámot eggyel megöveljük) és a több kotrollpottal a görbét fiomabba alakítjuk tovább. Legye tehát p a p 0,p 1,...,p kotrollpotokhoz tartozó Bézier-görbe. Keressük a q 0,q 1,...,q +1 kotrollpotokat, hogy az ezekhez tartozó Bézier-görbe szité p. Nyilvá p 0 = q 0 és p = q +1. Tehát azaz B i (u)p i = ( ) u i (1 u) i p i = i B +1 i (u)q i, ( + 1 i ) u i (1 u) +1 i q i. Szorozzuk meg a bal oldalt u + (1 u)-val: ( ) [u i+1 (1 u) i + u i (1 u) +1 i] +1( + 1 p i = i i u i (1 u) +1 i együtthatóját összehasolítva midkét oldalo: ( ) ( ) ( ) + 1 p i 1 + p i = q i, i = 1,...,. i 1 i i ) u i (1 u) +1 i q i. A biomiális együtthatók defiícióját beírva és a lehetséges egyszerűsítéseket elvégezve adódik a következő állítás Tétel. Legye p : [0,1] R N a p 0,...,p kotrollpotokhoz tartozó Bézier-görbe, továbbá q 0 = p 0, q +1 = p és q i = i ( + 1 p i i ) p i (1 i ). + 1 Ekkor a q 0,...,q +1 kotrollpotokhoz tartozó Bézier-görbe szité p Kvadratikus, C 1 osztályú Bézier-szpláj. A p 0,p 1,p 2 kotrollpotokhoz tartozó kvadratikus Bézier-görbe legye p 0 (t), a p 2,p 3,p 4 kotrollpotokhoz tartozó kvadratikus Bézier-görbe pedig p 2 (t), t [0,1] a

69 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 69 p 1 p 0 p 2 p ábra. Bézier-görbe fokszám emelése: ugyaazo görbét előállítottuk harmad-, egyed-, ötöd- és hatodfokú Bézier-görbekét is görbék lokális paramétere. A csatlakozási pot p 2. A két görbe egyesítéséből adódó szplájt jelölje p(u), melyek csomópot vektora (u 0,u 1,u 2 ): ( p u u0 0 u p(u) = 1 u 0 ), u [u 0,u 1 ], ( p u u1 2 u 2 u 1 ), u [u 1,u 2 ]. Emlékeztetük arra (ld. (3.3)), hogy p 0 (t) C 1 osztályba csatlakozik p 2 (t)-höz, ha u 1 p 0 (1) = u 0p 2 (0) teljesül. A Bézier-görbe deriváltjára voatkozó összefüggés szerit eek szükséges és elégséges feltétele, hogy (3.21) u 1 (p 2 p 1 ) = u 0 (p 3 p 2 ) teljesüljö. Átredezve: u 1 (3.22) p 2 = p 1 + u 0 p 3 u 0 + u 1 u 0 + u 1 adódik. Geometriailag a kapott képletből a p 1,p 2,p 3 kotrollpotok kolliearitása is következik, mert p 2 a p 1 és p 3 kotrollpotok kovex lieáris kombiációja. Speciálisa ekvidisztás csomópotok (azaz u 1 = u 0 ) mellett (3.23) p 2 = 1 2 p p 3, azaz p 2 a [p 1,p 3 ] szakasz felezőpotja. A (3.22) feltételt átfogalmazhatjuk úgy, hogy p 2 a [p 1,p 3 ] szakaszt u 0 u 1 aráyba osztja: (3.24) (p 1 p 3 p 2 ) = u 0 u 1. Megfordítva, ha két csatlakozó kvadratikus Bézier-görbére p 1,p 2,p 3 kollieárisak, azaz p 2 p 1, p 3 p 2 egyiráyú vektorok, akkor a csomópot vektort meg lehet úgy határozi, hogy a szpláj C 1 osztályú legye,

70 ugyais u 0 < u 1 szabad választása mellett az 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 70 (u 2 u 1 ) p 2 p 1 = (u 1 u 0 ) p 3 p 2 egyeletből u 2 egyértelműe meghatározható úgy, hogy (3.21) teljesüljö: u 2 = (u 1 u 0 ) p 3 p 2 p 2 p 1 + u 1. Godolatmeetüket alkalmazhatjuk több csatlakozó kvadratikus Bézier-görbére: a C 1 osztályú kvadratikus Bézier-szpláj differeciálhatóa csatlakozó másodfokú Bézier-görbékből, azaz parametrizált parabolaívekből áll. Eek megadásához először kijelöljük a kotrollpotokat, a csatlakozási potok élkül az általuk meghatározott poligot evezik a szpláj de Boor-poligojáak: p 0,p 1, p 2,...,p 2i 1, p 2i,p 2i+1,...,p 2L 1,p 2L (a kalap a kotrollpot hiáyára utal), és megadjuk a csomópotvektort: u 0 < u 1 < < u L. A hiáyzó kotrollpotokat (3.22) alapjá kiszámítjuk: p 2i = u i p 2i 1 + u i 1 p 2i+1 (i = 1,...,L 1). u i 1 + u i u i 1 + u i A gyakorlati tervezésbe a de Boor-poligo megadása általába köyű (jellemző módo egérrel jelöljük ki a kotrollpotokat, majd voszolással módosíthatjuk), de kevésbé ituitív a csomópot vektor meghatározása. Választhatuk ekvidisztás csomópotokat, pl. u i = i (i = 0,...,L), de a gyakorlati tapasztalat az, hogy kedvező, ha a csomópot vektor valamilye módo tükrözi a de Boor-poligo geometriáját. Ilye pl. a Lagrageiterpolációál már megismert aráyos paraméterezés. Az egyszerűbb megadás végett jelöljük át a kotrollpotokat: q 1 = p 0, q k = p 2k+1, k = 0,...,L 1, q L = p 2L, a csomópotokat pedig a következőképpe adjuk meg: u 0 = 0, u 1 = q 1 q 1 (Vigyázat: q 0 -t em haszáljuk!) u k = u k 1 + q k q k 1, k = 2,...,L ALGORITMUS. A következő algoritmus a do Boor-poligot a teljes Bézier-poligoá kovertálja a csomópotok ismeretébe. Egy gyakorlati példát aduk, amikor jól alkalmazható a szabadformájú görbék modellezésbe a C 1 osztályú kvadratikus Bézier-szpláj módszer. Legyeek adva iterpoláló potok a görbé: (p 0,p 2,...,p 2L ) és a görbe

71 3.41. DEBOORTOBEZIER(q 1,q 0,...,q L ) Iput: [q 1,q 0,...,q L ] Output: [p 0,p 1,...,p 2L ] P [q 1,q 0 ] for i = 1 to L 1 do P augmet(p,[ P augmet(p,[q L ]) retur P u i 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 71 u i 1 + u i q i 1 + u i 1 u i 1 + u i q i,q i ]) éritő egyeesei ezekbe a potokba. Az éritők metszéspotjaiak meghatározásával megkapjuk a hiáyzó kotrollpotokat, azaz a teljes Bézierpoligot. Ezek utá a p 0 (t),p 2 (t),...,p 2L 2 (t) kvadratikus Bézier-görbék lokális paraméterrel rajzolhatók: így készült a ábra. Ha a szpláj meté egy megmukáló eszközt vezérlük vagy egy robotot mozgatuk, akkor szempot lehet a sebesség folytoos változása. Ehhez szükség va a szpláj C 1 osztályú globális paraméterezésére: (3.21) alapjá a kollieáris kotrollpotok osztóviszoyából a csomópot vektor meghatározható. (A szplájak va olya paraméterezése, amely C 1 osztályú görbét ad, de ha csak rajzoli akarjuk a szplájt, akkor erre em feltétleül va szükség.) A kvadratikus Bézier-szpláj tulajdoságai: - affi ivariacia - kovex burokba maradás - végpot iterpoláció - lokális változtathatóság. A kovex burokba maradás szigorúbb formába is teljesül, mit a Béziergörbékél: a Bézier-szpláj a (p 2i 1,p 2i,p 2i+1 ) háromszöglemezek uiójába helyezkedik el. Megemlítjük még a kvadratikus Bézier-szpláj még egy tulajdoságát: a kvadratikus Bézier-szpláj parabolaívekből áll, amelyek síkgörbék. Ugyaakkor a kotrollpoligo lehet térbeli is, így a kvadratikus Bézier-szpláj szakaszokét síkgörbékből álló C 1 osztályú térgörbe. Ez a tulajdoság rámutat a kvadratikus Bézier-szplájok hátráyára: a simúlósík em folytoosa változik, a csatlakozási potokál ugrások lehetek a simulósík állásába.

72 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK ábra. Az ábrá látható kvadratikus Bézier-szpláj úgy készült, hogy felvettem a modellezedő szabadformájú görbé éháy kotrollpotot (telt piros) és ezekbe (hozzávetőleges) éritőt húztam a görbéhez. Az éritők metszéspotjai adták a szpláj hiáyzó kotrollpotjait. ÖSSZEFOGLALÓ kvadratikus, C 1 osztályú Bézier-szpláj: A kvadratikus, C 1 osztályú Bézier-szplájt a p 0,p 1, p 2,...,p 2i 1, p 2i,p 2i+1,...,p 2L 1,p 2L de Boor poligoal és az u 0 < u 1 < < u L csomópot vektorral adjuk meg. A hiáyzó kotrollpotok a [p 2i 1,p 2i+1 ] szakasz u i 1 : u i aráyú felosztásával számíthatók: u i p 2i = p 2i 1 + u i 1 p 2i+1 (i = 1,...,L 1). u i 1 + u i u i 1 + u i

73 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK Kubikus C 2 osztályú Bézier-szpláj. A p 0,p 1,p 2,p 3 kotrollpotokhoz tartozó kubikus Bézier-görbe legye p 0 (t), a p 3,p 4,p 5,p 6 kotrollpotokhoz tartozó kubikus Bézier-görbe pedig p 1 (t), t [0,1] a görbék lokális paramétere. A csatlakozási pot p 3. A két görbe egyesítéséből adódó szplájt jelölje p(u), melyek csomópot vektora (u 0,u 1,u 2 ): ( p u u0 0 u p(u) = 1 u 0 ), u [u 0,u 1 ], ( p u u1 1 u 2 u 1 ), u [u 1,u 2 ]. p 0 (t) C 2 osztályba csatlakozik p 1 (t)-hez, ha u 1 p 0 (1) = u 0p 1 (0) és ( u 1 ) 2 p 0 (1) = ( u 0) 2 p 1 (0) teljesül (ld. (3.3) és (3.4)). Az első feltételt már vizsgáltuk, ez ekvivales a (3.25) u 1 (p 3 p 2 ) = u 0 (p 4 p 3 ) relációval, azaz (3.26) p 3 = u 1 u 0 + u 1 p 2 + u 0 u 0 + u 1 p 4. A második feltételre rátérve, alkalmazzuk a (3.17) és (3.18) összefüggéseket: (3.27) ( u 1 ) 2 (p 3 2p 2 + p 1 ) = ( u 0 ) 2 (p 5 2p 4 + p 3 ). Ha a p 1,p 2,p 3 kotrollpotokhoz tartozó kvadratikus Bézier-görbe és a p 3,p 4,p 5 kotrollpotokhoz tartozó kvadratikus Bézier-görbe C 2 osztályú csatlakozását vizsgálák, akkor ugyaezeket a feltételeket kapák, így a két Bézier-görbe egyetle Bézier-görbét ad (melyet p 3 a két eredeti Béziergörbére oszt fel, ld Tétel), azaz létezik olya q pot, hogy (3.28) u 1 p 1 + u 0 q = p 2, u 0 + u 1 u 0 + u 1 u 1 q + u 0 p 5 = p 4. u 0 + u 1 u 0 + u 1 A (3.26) és (3.28) képlet alapjá a szpláj megadásába a p 2,p 3,p 4 kotrollpotokat kiváltja a q segédpot és a csomópot vektor: (3.28) alapjá kiszámítjuk p 2 -t és p 4 -et, majd (3.26) alapjá p 3 -t. (Ld ábra!) Most csatlakozzo több kubikus Bézier-görbe is C 2 osztályba: p 0,p 1,p 2,p } {{ } 3,...,p 3(k 1),p 3k 2,p 3k 1,p 3k,...,p 3(L 1),p 3L 2,p 3L 1,p 3L. } {{ } } {{ } p 0 (t) p k 1 (t) p L 1 (t) A görbék egybe C 1 osztályba is csatlakozak, ezért a p 3k csatlakozási potál (1 k L 1) (3.29) p 3k = u k p 3k 1 + u k 1 p 3k+1. u k 1 + u k u k 1 + u k

74 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 74 p 2 u 0 : u 1 q p 3 u 0 : u 1 u 0 : u 1 p 4 p 5 p 1 p 0 p ábra. C 2 osztályú kubikus Bézier-szpláj Továbbá létezik olya q k segédpot (ld. (3.28)), hogy u k p 3k 2 + u k 1 q k = p 3k 1, u k 1 + u k u k 1 + u (3.30) k u k q k + u k 1 p 3k+2 = p 3k+1. u k 1 + u k u k 1 + u k Az első egyeletbe az idexet traszformálva: u k+1 u k p 3k+1 + q k+1 = p 3k+2, u k + u k+1 u k + u (3.31) k+1 u k q k + u k 1 p 3k+2 = p 3k+1. u k 1 + u k u k 1 + u k (3.31) (koordiátákét) egy ihomogé lieáris egyeletredszer, amelyből p 3k+1 és p 3k+2 kifejezhető. Az eredméy: u k + u k+1 u k 1 p 3k+1 = q k + q k+1, u k 1 + u k + u k+1 u k 1 + u k + u (3.32) k+1 u k+1 u k 1 + u k p 3k+2 = q k + q k+1. u k 1 + u k + u k+1 u k 1 + u k + u k+1 A p 0,p 1 = q 0,q 1,q 2,...,q L 1,p 3L 1 = q L,p 3L kotrollpotok és az (u 0,u 1,...,u L ) csomópot vektor tehát megadják a szplájt. A (3.29) és a (3.32) egyeleteket még ki kell egészítei (3.30) alapjá (k = 1-et az első, és k = L 1-t a második egyeletbe beírva) u 1 p 2 = q 0 + u 0 q 1, u 0 + u 1 u 0 + u 1 (3.33) p 3L 2 = u L 1 u L 2 q L 1 + q L. u L 2 + u L 1 u L 2 + u L 1

75 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 75 A fetiekbe megadott kostrukció az ú. Böhm-szerkesztés ALGORITMUS. A következő algoritmus a do Boor-poligot a teljes Bézier-poligoá kovertálja a csomópotok ismeretébe, azaz elvégzi a Böhm-szerkesztést. A számolt kotrollpotok kiszámítási módja az algoritmusba em szerepel, azokat az idexekek megfelelőe kell az előző képletekből alkalmazi DEBOORTOBEZIER(q 1,q 0,...,q L+1 ) Iput: [q 1,q 0,...,q L+1 ] a de Boor poligo Output: [p 0,p 1,...,p 3L ] a Bézier poligo P [q 0 ] Q [p 2 ] R [ ] for k = 1 to L 2 do P augmet(p,[p 3k+1 ]) P augmet(p,[p 3L 2 ]) for k = 1 to L 2 do Q augmet(q,[p 3k+2 ]) for k = 1 to L 1 do R augmet(r,[p 3k ]) % Q[k 1]-ből és P[k]-ból kombiálva S [q 1,q 0 ] for k = 0 to L 2 do S augmet(s,[q[k],r[k],p[k + 1]]) S augmet(s,[q L,q L+1 ]) retur S A csomópotok megválasztása lehet ekvidisztás: u i = i, i = 0,...,L, de a gyakorlatba bevált az aráyosa felvett csomópot vektor: u 0 = 0, u 1 = q 1 q 1, u i = u i 1 + q i q i 1, i = 2,...,L 1, u L = u L 1 + q L+1 q L 1. A kétféle csomópot vektor összehasolításához ld. a ábrát.

76 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK ábra. Kubikus, C 2 osztályú Bézier-szpláj. Fekete voal: a de Boorpoligo, piros voal: a szpláj ekvidisztás csomópotokkal, kék voal: a szpláj aráyosa felvett csomópotokkal. Ekvidisztás csomópotok eseté a Böhm-szerkesztés jeletőse egyszerűsödik, és csak felezőpot illetve harmadolópot számítására redukálódik. (ld ábra!) p 2 = 1 2 p q 1, p 3k+1 = 2 3 q k q k+1, p 3k+2 = 1 3 q k q k+1, p 3k = 1 2 p 3k p 3k+1, p 3L 2 = 1 2 q L p 3L 1. q 2 q 1 p 1 p 8 p 0 p ábra. A Böhm-szerkesztés ekvidisztás csomópotokkal

77 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 77 ÖSSZEFOGLALÓ Kubikus, C 2 osztályú Bézier-szpláj: Kubikus, C 2 osztályú Bézier-szplájt a p 0,p 1 = q 0,q 1,q 2,...,q L 1,p 3L 1 = q L,p 3L de Boor-poligoal és a (u 0,u 1,...,u L ) csomópot vektorral aduk meg. A hiáyzó kotrollpotokat az alábbi, ú. Böhmszerkesztéssel kapjuk meg: u 1 p 2 = q 0 + u 0 q 1, u 0 + u 1 u 0 + u 1 u k + u k+1 u k 1 p 3k+1 = q k + q k+1, u k 1 + u k + u k+1 u k 1 + u k + u k+1 u k+1 u k 1 + u k p 3k+2 = q k + q k+1, u k 1 + u k + u k+1 u k 1 + u k + u k+1 u k p 3k = p 3k 1 + u k 1 p 3k+1, u k 1 + u k u k 1 + u k u L 1 u L 2 p 3L 2 = q L 1 + q L. u L 2 + u L 1 u L 2 + u L Racioális Bézier görbék Példa. Határozzuk meg egy térbeli Bézier-görbe cetrális vetületét! A vetítés cetruma legye a z tegely 1/r potja, a képsík az xy sík. Jelölje a görbe kompoesfüggvéyeit p x, p y, p z, azaz p(u) = (p x (u), p y (u), p z (u)); a p i = (p ix, p iy, p iz ) kotrollpot cetrális vetületét jelölje p i, tehát p i = ( ) pix rp iz + 1, p iy, rp iz + 1 a görbe cetrális vetülete pedig p (u) = ( ) px (u) rp z (u) + 1, p y (u). rp z (u) + 1

78 A vetület kompoesfüggvéyeit tovább alakítva: p x(u) = p x(u) rp z (u) + 1 = B i (u)p ix r B i (u)p iz + 1 = a evezőbe az egyes helyett B i (u)-t írva = 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 78 B i (u)p ix B i (u)(rp iz + 1) = B i (u)(rp iz + 1) p ix rp iz +1 B i (u)(rp iz + 1) bevezetve az r i = rp iz + 1 jelölést = B i (u) r ip ix B i (u) r. i Hasolóa átalakítva p y(u)-t, így p y(u) = B i (u) r ip iy B i (u) r, i (3.34) p i(u) = B i (u) r ip i B i (u) r. i (3.34) em a p i kotrollpotokhoz tartozó Bézier-görbe, de a (3.2) általáos görbemodellezési elvet kielégíti: p i(u) = B i (u) r ip i B i (u) r i = ahol a p i kotrollpothoz tartozó súlyfüggvéy B i (u) r i j=0 B j (u) r j és a súlyfüggvéyek egységbotást alkotak: B i (u) r i j=0 B j (u) r j B i (u) r i j=0 B j (u) r p i, j = 1. A (3.34) görbetípust általáosa megfogalmazva egy új görbeosztályt kapuk Defiíció. A ((p 0,r 0 ),(p 1,r 1 ),...,(p,r )), p i R N, r i R súlyozott potredszerhez tartozó racioális Bézier-görbe alatt a (3.35) p: [0,1] R N, u p(u) = parametrizált görbét értjük. B i (u)r i p i (N = 2,3) B j(u)r j j=0

79 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 79 Egy kotrollpot súlyáak övelésével a görbe az adott kotrollpothoz húz, ld ábra! p 1 p 2 p 0 p ábra. Az ábrá harmadfokú racioális Bézier-görbék láthatók. A görbe viselkedését figyelhetjük meg p 1 súlyáak változásával. (Kék: r 1 = 0,2, zöld: r 1 = 1, piros: r 1 = 1,8. A többi kotrollpot súlya 1.) A (3.35) kifejezésbe p i súlya u [0,1]-be így a súlyok összege B i (u)r i j=0 B j(u)r j, B i (u)r i j=0 B j(u)r j = 1. A súlyfüggvéyek egységbotása miatt a (3.35) racioális Bézier-görbére teljesül az affi ivariacia, ha az r i súlyok midegyike emegatív, akkor a kovex burokba maradás tulajdosága is, emellett ha az első és utolsó súly em zéró, a végpot iterpoláció is. Ha egatív súlyok is szerepelek, akkor a kovex burokba maradás már em feltétleül teljesül (3.23 ábra) Megjegyzés (Racioális Bézier-görbe, mit Bézier-görbe a projektív térbe). Legyeek p 0,p 1,...,p R 3 a kotrollpotok, (r 0,r 1,...,r ) a súlyok. p i kompoeseit jelölje (p ix, p iy, p iz ), így p r i = [p ix r i, p iy r i, p iz r i,r i ]

80 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 80 p 1 p 2 p 0 p ábra. Harmadfokú racioális Bézier-görbe egatív súllyal. Az ábrá harmadfokú racioális Bézier görbe látható, r 1 = 0,5, megfigyelhetjük, hogy a kovex burokba maradás tulajdosága em teljesül. p i homogé koordiátáit adja. Írjuk föl a projektív tér p r 0,pr 1,...,pr kotrollpot redszeréhez tartozó Bézier-görbét: p r (u) = = [ B i (u)p r i = B i (u)p ix r i, B i (u)p iy r i, B i (u)p iz r i, B i (u)r i ]. Áttérve Descartes-kompoesekre: ( p(u) = B i (u)p ixr i B i (u)r, B i (u)p iyr i i B i (u)r, B i (u)p ) izr i i B i (u)r i = B i (u)r ip i B i (u)r, i azaz a kotrollpotokhoz és a súlypotokhoz tartozó racioális Bézier görbe. Egy Bézier-görbe em projektív ivariás: a (em elfajuló) másodfokú Bézier görbeívek parabolaívek, de parabolaív projektív képe lehet más affi típusú másodredű görbe is, pl. hiperbolaív vagy ellipszisív. Utóbbi görbeívek azoba bizoyosa em Bézier-görbék. Most vizsgáljuk meg a racioális Bézier-görbék projektív képét! Tétel. Egy síkbeli racioális Bézier-görbe projektív ivariás: a ((p 0,r 0 ),(p 1,r 1 ),...(p,r )) súlyozott kotrollpot redszerhez tartozó racioális Bézier-görbe projektív képe a ( (p 0,r 0 ),(p 1,r 1 ),...(p,r ) ) súlyozott kotrollpot-redszerhez tartozó racioális Bézier-görbe, ahol p i a p i projektív képe, továbbá r i =

81 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 81 r i (a 31 p ix + a 32 p iy + a 33 ), ahol (a i j ) GL(3) a projektív traszformációt reprezetáló mátrix. BIZONYÍTÁS. Dolgozzuk tehát síkba (N = 2), a 3.44 defiíció jelölései mellett legye p(u) = (p x (u), p y (u)), p i = (p ix, p iy ). Homogé koordiátákkal p(u) = [ B i (u)r i p ix, B i (u)r i p iy, B i (u)r i ]. A projektív traszformációt reprezetálja a (a i j ) GL(3) mátrix. A görbe projektív képe (a továbbiakba mide összegzés 0-tól -ig fut): p x(u) = a 11 B i (u)r ip ix + a 12 B i (u)r ip iy + a 13 r i B i (u) a 31 B i (u)r ip ix + a 32 B i (u)r ip iy + a 33 r i B i (u), p y(u) = a 21 B i (u)r ip ix + a 22 B i (u)r ip iy + a 23 r i B i (u) a 31 B i (u)r ip ix + a 32 B i (u)r ip iy + a 33 r i B i (u). Átalakításokkal: p x(u) = B i (u)r i(a 11 p ix + a 12 p iy + a 13 ) B i (u)r i(a 31 p ix + a 32 p iy + a 33 ) = r i { }} { B i (u) r i (a 31 p ix + a 32 p iy + a 33 ) a 11p ix + a 12 p iy + a 13 a 31 p ix + a 32 p iy + a 33 = B i (u)r. i(a 31 p ix + a 32 p iy + a 33 ) } {{ } r i Mivel a p i kotrollpot projektív képe ( p a11 p ix + a 12 p iy + a 13 i =, a ) 21p ix + a 22 p iy + a 23, a 31 p ix + a 32 p iy + a 33 a 31 p ix + a 32 p iy + a 33 így Hasolóa, azaz p x(u) = B i (u)r i p ix B. i (u)r i p y(u) = B i (u)r i p iy B, i (u)r i p (u) = B i (u)r i p i B i (u)r i Példa (A kör, mit racioális Bézier görbe). Az egységkör szokásos r: [0,2π] R 2, t r(t) = (cost,sit)

82 3.6. BÉZIER-GÖRBÉK 82 paraméterezése helyett egy másik paraméterezésre térük át. Az új paraméter u = tg(t/2) (0 t π/2). Egyszerű trigoometrikus átalakítással: így 1 + u 2 = 1 + tg 2 t 2 = cos2 (t/2) cos 2 (t/2) + si2 (t/2) cos 2 (t/2) = 1 cos 2 (t/2), 1 u 2 = 1 tg 2 t 2 = cos2 (t/2) cos 2 (t/2) si2 (t/2) cos 2 (t/2) = cost cos 2 (t/2), cost = 1 u2 1 + u 2. Mivel t [0,π/2] eseté sit 0, illetve u = tg(t/2) 0, ( ) 1 u 2 2 4u sit = u 2 = 2 (1 + u 2 ) 2 = 2u 1 + u 2. Így a yílt egyedkörív paraméterezésére azt kaptuk, hogy [0,1] u ( 1 u 2 ) 1 + u 2, 2u 1 + u 2. Legye p 0 = (1,0), p 1 = (1,1), p 2 = (0,1), r 0 = 0, r 1 = 1, r 2 = 2. A ((p 0,r 0 ),(p 1,r 1 ),(p 2,r 2 )) súlyozott kotrollpot-redszerhez tartozó racioális Bézier görbe potosa ezt a paraméterezést adja: ) ) ) p(u) = = = ( ( ( B (u) + B (u) + 2B (u) 1 B 2 0 (u) + B2 1 (u) + 2B2 2 (u) = ( ) ( ( ) (1 u) u(1 u) + 2u 0 1) (1 u) 2 + 2u(1 u) + 2u 2 = (1 u)2 1 + u 2 ( ( ( ) 1 2u(1 u) 1 + 0) 1 + u 1) 2 + 2u u 2 = 1 = ( 1 u 2 ) t 1 + u 2, 2u 1 + u 2.

83 3.7. B-SZPLÁJN GÖRBÉK 83 ÖSSZEFOGLALÓ racioális Bézier-görbe: A ((p 0,r 0 ),(p 1,r 1 ),...,(p,r )), p i R N, r i R súlyozott potredszerhez tartozó racioális Bézier-görbe p: [0,1] R N, u p(u) = B i (u)r i p i (N = 2,3). B j(u)r j j=0 - Racioális Bézier-görbe cetrális vetülete, projektív képe racioális Bézier-görbe. - Racioális Bézier-görbekét mide kúpszelet előállítható B-szpláj görbék A (racioális) Bézier görbékek számos előye mellett megemlíthetük éháy hátráyát: (1) A Berstei-poliomok a (0, 1) itervallumo em zéró értéket veszek föl, ezért az egyes kotrollpotok változtatása az egész görbét ériti. (2) Új kotrollpot bevezetése fokszám övekedésével jár. Ezzel szembe a B-szpláj görbék esetébe a fokszám a kotrollpotok számától függetle, valamit a görbe az egyes kotrollpotokkal bizoyos értelembe lokálisa változtatható. A B-szpláj görbe alapkocepciója az eddigiekhez hasoló, a kotrollpotokat súlyfüggvéyekkel, az ú. B-szpláj függvéyekkel súlyozzuk A kvadratikus uiformális B-szpláj Példa. Legyeek adva a p 0,p 1,p 2 potok. Határozzuk meg a p 0 + p 1,p 1, p 1 + p kotrollpotokhoz tartozó Bézier-görbét: p(u) = (1 u) 2 p 0 + p 1 2 (1 u)2 = 2 + 2u(1 u)p 1 + u 2 p 1 + p 2 2 p 0 + 2u2 + 2u + 1 p 1 + u2 2 2 p 2, u [0,1]. A kapott másodfokú görbeív ugya em megy át p 0,p 2 kotrollpotoko, de egy agyo köye illeszthető görbetípust ad. Emellett teljesül a kovex burokba maradás tulajdosága, ugyais a (1 u) 2 2, 2u2 + 2u + 1, u2 2 2, u [0,1] =

84 3.7. B-SZPLÁJN GÖRBÉK 84 p 1 p 0 p ábra. Kvadratikus B-szpláj görbeív 1 u ábra. Kvadratikus uiformális B-szpláj függvéyek. súlyfüggvéyek (az ú. kvadratikus uiformális B-szpláj függvéyek) em egatívak és egységbotást alkotak. Az előbbi görbeív kifejezése mátrix alakba: p(u) = 1 ( u 2 u 1 ) p 0 p 1, u [0,1], vagy a téyezőket rövidítve: ahol p(u) = UM 2 S P, p 2 U = ( u 2 u 1 ) ; P = ( ) t p 0 p 1 p 2 ; MS 2 = Defiíció. A p 0,...,p kotrollpotokhoz tartozó kvadratikus uiformális B-szpláj (rövide kvadratikus UBS): ahol p i (u) = p: [0, 1] R N, p(u) = p i (u i + 1), u [i 1,i], (1 u)2 2 p i 1 + 2u2 + 2u p i + u2 2 p i+1 (i = 1,..., 1, u [0,1]);

85 3.7. B-SZPLÁJN GÖRBÉK 85 illetve mátrix alakba: p i (u) = 1 ( u 2 u 1 ) p i 1 p i (i = 1,..., 1, u [0,1]) p i+1 p 1 p 3 p 0 p ábra. Kvadratikus UBS. 1 u ábra. A kotrollpotok súlyfüggvéyei az előző ábrába. Piros: p 0 súlyfüggvéye, zöld: p 1, kék: p 2, szilva: p Tétel. (A defiíció jelöléseivel.) A p i és p i+1 görbeívek egymáshoz C 1 osztályba csatlakozak. BIZONYÍTÁS. Egyszerű behelyettesítéssel: p i (1) = p i+1 (0) = 1 2 (p i + p i+1 ). Az i-edik B-szpláj görbeív deriváltja: Tehát p i(u) = (u 1)p i 1 + (1 2u)p i + up i+1. p i(1) = p i+1(0) = p i+1 p i. A kvadratikus uiformális B-szplájra teljesül a lokális változtathatóság tulajdosága: mide kotrollpot legfeljebb három görbeív előállításába játszik szerepet, emellett mide görbeívet potosa három kotrollpot befolyásol.

86 3.7. B-SZPLÁJN GÖRBÉK Példa (zárt görbe). A görbetípussal agyo köyű C 1 osztályú zárt görbét előállítai: A p 0,...,p,p 0,p 1 kotrollpotok által meghatározott kvadratikus UBS zárt lesz, hisze a görbe kezdő és végpotja egyarát p 0 + p 1. 2 A zárt görbe esetébe mide kotrollpot potosa három görbeív előállításába szerepel. p 1 p 0 p 2 p 3 p 5 p ábra. Zárt kvadratikus UBS A kubikus uiformális B-szpláj. A kubikus (uiformális) B-szpláj kocepciója éppe olya egyszerű, mit a kvadratikus (uiformális) B-szplájé. Legyeek adva a p 0,p 1,p 2,p 3,p 4 kotrollpotok. A p 0,p 1,p 2,p 3 kotrollpotok lieáris kombiációival úgy állítjuk elő a q 0,q 1,q 2,q 3 kotrollpotokat, hogy az utóbbiakhoz tartozó kubikus Béziergörbe jól csatlakozzo a p 1,p 2,p 3,p 4 kotrollpotokból aalóg módo kapott r 0,r 1,r 2,r 3 kotrollpotokhoz tartozó kubikus Bézier-görbéhez. Ha q 0 = p 0 + 4p 1 + p 2 6 és,q 1 = 2p 1 + p 2 3,q 2 = p 1 + 2p 2 3,q 3 = p 1 + 4p 2 + p 3 ; 6 r 0 = p 1 + 4p 2 + p 3,r 1 = 2p 2 + p 3,r 2 = p 2 + 2p 3,r 3 = p 2 + 4p 3 + p 4, akkor a két Bézier-görbe C 2 osztályba csatlakozik. Ez köye elleőrizhető a Bézier-görbe deriváltjára voatkozó összefüggésből: továbbá q (1) = 3(q 3 q 2 ) = p 3 p 1 2 = 3(r 1 r 0 ) = r (0), q (1) = 6(q 3 2q 2 + q 1 ) = p 1 2p 2 + p 3 = = 6(r 2 2r 1 + r 0 ) = r (0). A keresett súlyfüggvéyeket tehát úgy kapjuk, ha felírjuk a q 0,q 1,q 2,q 3 kotrollpotokhoz tartozó Bézier-görbét, majd leolvassuk p 0,p 1,p 2,p 3 függvéy-együtthatóit.

87 3.7. B-SZPLÁJN GÖRBÉK Defiíció. A p 0,...,p kotrollpotokhoz tartozó kubikus (uiformális) B-szpláj: ahol p: [0, 2] R N, p(u) = p i (u i + 1), u [i 1,i], p i (u) = u3 + 3u 2 3u u3 + 3u 2 + 3u + 1 p i 1 + 3u3 6u p i illetve mátrix alakba: p i (u) = 1 ( u 3 u 2 u 1 ) p i+1 + u3 6 p i+2, (i = 1,..., 2, u [0,1]); p i 1 p i p i+1 p i+2 (i = 1,..., 2, u [0,1]). u ábra. Kubikus (uiformális) B-szpláj függvéyek. A kubikus (uiformális) B-szpláj görbeívek első és második deriváltjából köyű megállapítai, hogy a p i (u) és p i+1 (u) görbeívek C 2 osztályba csatlakozak. A zárt görbe előállítása is aalóg a kvadratikus esethez: az első három kotrollpotot a kotrollpotok sorozatába meg kell ismételi (a felsorolás végé) A B-szpláj függvéyek. A példába a töröttvoalat, mit ekvidisztás csomópotvektorhoz tartozó szplájt értelmeztük. Térjük vissza ehhez a agyo egyszerű példához! Példa (töröttvoal újraolvasva). Most adjuk meg általáos csomópotvektort: (u 0,u 1,...,u ). A töröttvoal paraméterezése így p: [u 0,u ] R N ( ) u ui p(u) = pi = u u i p i+1 + u i+1 u p i, ha u [u i,u i+1 ], u i+1 u i u i+1 u i u i+1 u i ahol p i (t) = tp i+1 + (1 t)p i.

88 3.7. B-SZPLÁJN GÖRBÉK 88 p 1 p 3 p 0 p 2 p ábra. Ugyaazo kotrollpoligohoz tartozó kvadratikus (pirossal) és kubikus (kékkel) B-szpláj p i (1 i 1, azaz a két határpottól eltekitve) súlyfüggvéye u u i 1 u i u i 1 ha u [u i 1,u i ), u N i (u) = i+1 u u i+1 u i ha u [u i,u i+1 ], 0 egyébkét. Bevezetve a csomópotvektortól függő { 1 ha u [u i,u i+1 ), N i,1 : R R, N i,1 (u) = 0 egyébkét függvéyeket, a súlyfüggvéyt így is felírhatjuk: (3.36) N i (u) = u u i 1 u i u i 1 N i 1,1 (u) + u i+1 u u i+1 u i N i,1 (u). p 0 a töröttvoal egyetle szakaszát befolyásolja, súlyfüggvéye { u1 u N 0 (u) = u 1 u 0 ha u [u 0,u 1 ), 0 egyébkét, hasolóa p -re, de az itervallumot jobbról is zárva: { u u 1 u N (u) = u 1 ha u [u 1,u ], 0 egyébkét. A két határpotra is alkalmazhatjuk a (3.36) képletet, ha az első csomópotot és utolsó csomópotot megismételjük, és megállapoduk abba, hogy a ullával való osztás eredméye 0. Tehát az új csomópotvektor képzése (u 0,u 0,u 1,...,u,u ) (u 0,u 1,...,u ), így az új csomópotvektorba az elemek idexe 0-tól (+2)-ig fut, azaz az elemeket az egyszerűség kedvéért szité u-val jelölve: (u 0,u 1,u 2,...,u +1,u +2 )

89 3.7. B-SZPLÁJN GÖRBÉK 89 lesz az új csomópotvektor. (3.36) jobb oldalá az idex 1-gyel ő és már a határpotokba is helyes súlyfüggvéyt ad: N i (u) = u u i N i,1 (u) + u i+2 u N i+1,1 (u), u i+1 u i u i+2 u i+1 természetese az N i,1 függvéyeket újra kiszámolva a megváltozott csomópothoz. Egy kicsit átírva a súlyfüggvéy megadását, ha k jelöli az elejé és végé azoos kotrollpotok számát (azaz k = 2, ami éppe a görbe fokszáma +1), akkor a súlyfüggvéyek (3.37) N i (u) = u u i N i,k 1 (u) + u i+k u N i+1,k 1 (u), u i+k 1 u i u i+k u i+1 azaz a görbe p(u) = N i(u)p i. Az előző példával motiválva vezetjük be a következő defiíciót Defiíció. Legyeek adva az 0, K 0 egész számok és az u = (u 0,u 1,...,u +K ) R +K+1, csomópotvektor, ahol u 0 u 1... u +K. Legye 0 i + K 1-re { 1 ha u [u i,u i+1 ) és u i < u i+1, N i,1 : R R, N i,1 (u) = 0 egyébkét. Ha k > 1, akkor az u csomópotvektorhoz tartozó i-edik, k-ad redű B- szpláj függvéy N i,k (u) = u u i N i,k 1 (u) + u i+k u N i+1,k 1 (u), (3.38) u i+k 1 u i u i+k u i+1 (u R,k = 2,...,K), ahol ha a evezőbe 0 lép fel, akkor az osztás eredméyét 0-ak értelmezzük. Ha a csomópotok sorozatába egy csomópot egymás utá m-szer lép föl, akkor azt modjuk, hogy a csomópot multiplicitása m Példa. = 2, K = 3, u = (0,0,0,1,1,1), azaz u 0 = u 1 = u 2 = 0, u 3 = u 4 = u 5 = 1. Az u i < u i+1 feltétel csak i = 2-re teljesül, így az egyetle em zéró elsőredű (ullad fokú) bázisfüggvéy { 1 ha u [0,1), N 2,1 (u) = 0 egyébkét. A továbbiakba azokat a tagokat em írjuk ki, ahol a (3.38) összeg midkét tagjába 0-val való osztás va. { N 1,2 (u) = u 3 u 1 u ha u [0,1), N 2,1 (u) = (1 u)n 2,1 (u) = u 3 u 2 0 egyébkét.

90 3.7. B-SZPLÁJN GÖRBÉK =4, K=3, u=[0,0,0,1,2,3,3,3] ábra. Példák kvadratikus B-szpláj függvéyekre N 2,2 (u) = u u 2 u 3 u 2 N 2,1 (u) = un 2,1 (u) = { u ha u [0,1), 0 egyébkét. { N 0,3 (u) = u 3 u (1 u) 2 ha u [0,1), N 1,2 (u) = (1 u)n 1,2 (u) = u 3 u 1 0 egyébkét. N 1,3 (u) = u u 1 u 3 u 1 N 1,2 (u) + u 4 u u 4 u 2 N 2,2 (u) = = un 1,2 (u) + (1 u)n 2,2 (u) = N 2,3 (u) = u u 2 u 4 u 2 N 2,2 (u) = un 2,2 (u) = { 2u(1 u) ha u [0,1), 0 egyébkét. { u 2 ha u [0,1), 0 egyébkét. A megadott csomópotvektorhoz tartozó harmadredű (másodfokú) bázisfüggvéyek a [0, 1) itervallumo megegyezek a másodfokú Bersteipoliomokkal. A ábráko éháy további példát látuk. Az x tegelye a háromszögek a csomópotokat mutatják. A középső ábrá megfigyelhetjük, hogy egy csomópot multiplicitásáak övelése a differeciálhatóság redjét csökketi. A legalsó esetbe a bázisfüggvéyek az [u 2,u 5 ) itervallumo kívül 0 értéket veszek föl Tétel. Az N i,k (u) B-szpláj bázisfüggvéyekre teljesülek a következő tulajdoságok: - em egatívak: N i,k (u) 0, u R - az [u k 1,u +1 ) itervallumo egységbotást alkotak: N i,k(u) = 1, ha u [u k 1,u +1 )

91 3.7. B-SZPLÁJN GÖRBÉK =4, K=3, u=[0,0,0,1,1,3,3,3] ábra. Példák kvadratikus B-szpláj függvéyekre 1 2 =4, K=3, u=[0,1,2,3,4,5,6,7] ábra. Példák kvadratikus B-szpláj függvéyekre - kompakt tartóval redelkezek 2 : supp(n i,k ) = [u i,u i+k ] - differeciálhatóak: az N i,k (u) függvéy C osztályú a csomópotoko kívül, egy m-szeres multiplicitású csomópotba C k 1 m osztályú. BIZONYÍTÁS. Teljes idukcióval a bizoyítás egyszerű, de hosszadalmas, ezért mellőzzük ALGORITMUS (A B-szpláj függvéyek kiszámítása). A B-szpláj függvéyek kiszámításakor abból az egyszerű észrevételből iduluk ki, hogy egy adott paraméterértékél csak egyetle elsőredű bázisfüggvéy em zéró, ebből az összes olya bázisfüggvéy kiszámítható, amely tartójába az adott paraméterérték bee va. Így számítottuk ki a B-szpláj 2 Egy függvéy tartója azo potok halmazáak lezártja, ahol a függvéy értéke em zérus, az f függvéy tartóját supp( f )-el jelöljük.

92 függvéyeket a példába: 3.7. B-SZPLÁJN GÖRBÉK 92 N 2,1 N 1,2 N 0,3 N 1,3 N 2,2 N 2,3 Az oszlopok első és utolsó elemeiél (3.38) egyik tagja zéró (az első elem a DNY-i, az utolsó elem az ÉNY-i szomszédból számolható) BSPLINEATU Iput:,K,u = (u 0,u 1,...,u +K ),u [u K 1,u +1 ) Output: N = (N 0,K (u),n 1,K (u),...,n,k (u)) N (0,0,...,0) % N iicializálása % Megállapítjuk, hogy u melyik részitervallumba va: for i = K 1 to do if u i u ad u < u i+1 the k i N[k] 1 for m = 1 to K 1 do N[k m] u k+1 u u k+1 u k m+1 N[k m + 1] for j = k m + 1 to k 1 do N[ j] = u u j u j+m u j N[ j] + N[k] u u k u k+m u k N[k] retur N u j+m+1 u u j+m+1 u j+1 N[ j + 1] A emegativitás és az egységbotás miatt a B-szpláj függvéyekkel az affi ivariacia és a kovex burokba maradás tulajdoságát teljesítő modellgörbét lehet képezi a keverési elvek megfelelőe Defiíció. A p 0,p 1,...,p kotrollpotokhoz és az u = (u 0,u 1,...,u +K ) csomópotvektorhoz tartozó K-adredű B-szpláj alatt a p: [u K 1,u +1 ] R D, p(u) = N i,k (u)p i, (D = 2,3)

93 3.7. B-SZPLÁJN GÖRBÉK ábra. B-szpláj görbék parametrizált görbét értjük. A B-szpláj kotrollpotjait de Boorpotokak, a kotrollpoligot de Boor-poligoak is evezzük Defiíció. Az u csomópotvektor kötött, ha feáll u 0 = u 1 =... = u K 1 és u +1 = u +2 =... = u +K. A ábrá a ábrák B-szpláj függvéyeihez tartozó B- szpláj görbék vaak ugyaazo kotrollpotok eseté. A piros görbe: a ábrá látható függvéyredszerhez, a zöld görbe a ábrához, míg a szaggatott kék görbe a ábrához tartozik.

94 3.7. B-SZPLÁJN GÖRBÉK 94 ÖSSZEFOGLALÓ B-szpláj függvéyek: Az u = (u 0,u 1,...,u +K ) R +K+1 csomópotvektorhoz tartozó B-szpláj függvéyek: { 1 ha u [u i,u i+1 ) és u i < u i+1 N i,1 : R R, N i,1 (u) = 0 egyébkét. N i,k (u) = u u i N i,k 1 (u) + u i+k u N i+1,k 1 (u), u i+k 1 u i u i+k u i+1 B-szpláj: p: [u K 1,u +1 ] R N, p(u) = ahol p 0,p 1,...,p a kotrollpotok sorozata. (u R,k = 2,...,K). N i,k (u)p i, Pot a B-szpláj görbé: a de Boor-algoritmus Példa (csomópot beszúrása). Egy B-szpláj csomópotjaihoz adjuk hozzá egy új csomópotot úgy, hogy a görbe alakja e változzo! Az új csomópot akár meglévő is lehet, ekkor a csomópot multiplicitását öveljük. A csomópotok száma (a korábbi jelölésekkel) + K + 1, így a csomópotok számáak övelése maga utá voja vagy a kotrollpotok számáak, vagy a fokszámak a övelését. A fokszám övelése (rögzített kotrollpotok mellett) a görbe alakjáak változását is magával voja, így csak az új kotrollpotok meghatározásával kell foglalkozi. Legyeek p 0,p 1,...,p a görbe kotrollpotjai, u = (u 0,u 1,...,u +K ) a görbe csomópotvektora, t [u k,u k+1 ). Keressük meg, hogy ez az itervallum mely bázisfüggvéyek tartójába va bee. Az egyetle ilye elsőredű bázisfüggvéy N k,1, a másodredűek N k 1,2,N k,2,..., a K-adredűek N k K+1,...,N k,k. Így a p k K+1,...,p k kotrollpotokat kell újraszámoli. (Mivel a görbe az [u K 1,u +1 ) itervallumo va értelmezve, így k K + 1 0, az idexek em fogyhatak el idő előtt.) Az új kotrollpotok meghatározását ahhoz teljese hasolóa kell végezük, mit ahogya azt a Bézier-görbe fokszám emeléséél tettük (ld ). p k K+1 és p k változatlaul maradak, új kotrollpotok: p k K+1,q k K+2,...,q k,p k ahol (3.39) q i = (1 a i )p i 1 + a i p i a i = t u i, k K + 2 i k. u i+k 1 u i

95 3.8. NURBS-GÖRBÉK 95 Speciálisa, ha t = u k, azaz egy meglévő csomópot multiplicitását öveljük, akkor q k = p k 1. Ha u k multiplicitása eredetileg m, akkor az utolsó m új kotrollpot egyezik meg a régiekkel: q k = p k 1, q k 1 = p k 2,...,q k m+1 = p k m. Most tekitsük azt az esetet, amikor egy csomópot multiplicitását egymást követő beszúrásokkal a fokszámig, azaz K 1-ig öveltük. Az utolsó lépésbe már csak egyetle új kotrollpotot geeráltuk, miközbe a görbe alakja sosem változott. Ha azoba egy csomópot multiplicitása K 1, akkor a görbe áthalad a kotrollpoto, azaz az utolsóak geerált kotrollpot a görbé va. Ez az eljárás alkalmas a B-szpláj görbe potjaiak geerálására aélkül, hogy a B-szpláj bázisfüggvéyeket külö meghatározák Tétel. Ha a csomópot beszúrás szukcesszív alkalmazásával egy csomópot fokszáma megegyezik a görbe fokszámával, akkor az utolsóak geerált kotrollpot a görbé va ALGORITMUS (B-szpláj görbe rajzolása). A tétel alapjá, a (3.39) egyeletet figyelembe véve a görbepotot az alábbi algoritmus alapjá számíthatjuk ki. csomópot beszúrása: Ha ÖSSZEFOGLALÓ (u 0,...,u k t < u k+1,...,u +K ) (u 0,...,u k < u k+1,...,u +K ), akkor ahol (p k K+1,q k K+2,...,q k,p k ) (p k K+1,...,p k ), q i = (1 a i )p i 1 + a i p i a i = t u i, k K + 2 i k. u i+k 1 u i Ha beszúrásokkal egy csomópot multiplicitását K 1-re öveljük, akkor az utolsóak geerált q a görbé va NURBS-görbék A megjegyzésbe a racioális Bézier-görbéről egy lehetséges bevezetési módját vázoltuk. Hasoló módo térhetük át B-szpláj görbéről racioális B-szpláj görbére, így eljutuk a görbemodellezés talá legépszerűbb görbetípusához a NURBS görbékhez (az elevezés az agolból származik: NoUiform Ratioal B-Splie). A továbbiakba egyszerűe racioális B-szpláj görbékről beszélük.

96 3.62. POINTONBSPLINE Iput: u [u K 1,u +1 ) Output: p(u) 3.8. NURBS-GÖRBÉK 96 % Megállapítjuk, hogy u melyik részitervallumba va: for i = K 1 to do if u i u ad u < u i+1 the k i if u u k the h K 1 % Eyiszer végezzük el a beszúrást. m 0 % A multiplicitás beállítása 0-ak. if u = u k the % Megállapítjuk u k multiplicitását: for i = 0 to K 1 do m 1 if u k i = u k the m m + 1 h K 1 m % Eyiszer végezzük el a beszúrást. for i = k K + 1 to k m do p i,0 p i for j = 1 to h do for i = k K j to k m do a (u u i )/(u i+k j u i ) p i, j (1 a) p i 1, j 1 + a p i, j 1 retur p k m,k 1 m Legyeek p 0,p 1,...,p R 3 a kotrollpotok, u 0,u 1,...,u a csomópotok, r 0,r 1,...,r a súlyok. p i kompoeseit jelölje (p ix, p iy, p iz ), így p r i = [p ix r i, p iy r i, p iz r i,r i ] p i homogé koordiátáit adja. Írjuk föl a projektív tér p r 0,pr 1,...,pr kotrollpotjaihoz és az u 0,u 1,...,u csomópotokhoz tartozó K-adredű B- szplájt: p r (u) = = [ N i,k (u)p r i = N i,k (u)p ix r i, N i,k (u)p iy r i, N i,k (u)p iz r i, N i,k (u)r i ]. Áttérve derékszögű koordiátákra: ( p(u) = N i,k (u)p ix r i N, N i,k(u)p iy r i i,k(u)r i N, N ) i,k(u)p iz r i i,k(u)r i N i,k(u)r i = N i,k(u)r i p i N i,k(u)r i.

97 3.8. NURBS-GÖRBÉK 97 p5 =7, K=4, u=[0,0,0,0,1,2,3,4,5,5,5,5] r=[1,1,1,1,1,1,1,1,1] r=[1,1,1,1,1,2,1,1,1] r=[1,1,1,1,1,0.5,1,1,1] ábra. Racioális B-szpláj görbék: a p 5 kotrollpot súlyáak változtatásával alakítottuk a görbét. Természetese hasolóa dolgozhattuk vola síkba is Defiíció. A p 0,p 1,...,p kotrollpotokhoz, u 0,u 1,...,u +K csomópotokhoz, r 0,r 1,...,r súlyokhoz tartozó K-adredű racioális B- szpláj görbe alatt a p: [u K 1,u +1 ] R D, (3.40) p(u) = N i,k(u)r i p i N i,k(u)r i parametrizált görbét értjük. A p i kotrollpot súlyfüggvéye (az ú. racioális B-szpláj bázisfüggvéy) (3.41) R i,k (u) = N i,k(u)r i j=0 N j,k(u)r j, így a görbét a keverési elvek megfelelőe felírva: p(u) = R i,k (u)p i. (3.41)-ből leolvasható, hogy a p i kotrollpot súlyáak övelése vagy csökketése R i,k értékét öveli vagy csökketi mide (em zéró) paraméterérték mellett: r i övelésével a görbe p i -hez húz, míg csökketésével p i -től tart, ráadásul a változtatás lokálisa hat. Ld. a ábra. A defiíció és a B-szpláj bázisfüggvéyek megfelelő tulajdoságai alapjá egyszerűe levezethetők az alábbiak.

98 3.8. NURBS-GÖRBÉK Tétel (a racioális B-szpláj függvéyek tulajdoságai). Nemegatív súlyok eseté a racioális B-szpláj függvéyekre teljesülek az alábbi tulajdoságok. emegativitás: u [u K 1,u +1 ]-re R i,k (u) 0 egységbotás: u [u K 1,u +1 ]-re R i,k(u) = 1 lokális tartó: suppr i,k = [u i,u i+k ] differeciálhatóság: m-szeres multiplicitású csomópotba R i,k (k m)-szer differeciálható, a csomópot multiplicitásáak övelése a bázisfüggvéy differeciálhatóságáak redjét csökketi specializáció: ha mide kotrollpot súlya azoos, akkor a racioális B-szpláj függvéyek megegyezek a B-szpláj függvéyekkel: N i,k = R i,k Tétel (a NURBS görbék tulajdoságai). Nemegatív súlyok eseté a racioális B-szpláj görbékre teljesülek az alábbiak: végpot iterpoláció: kötött csomópotvektorra végpot iterpoláló, azaz ha u 0 = u 1 =... = u K 1, u +1 = u +2 =...u +K, akkor p(u K 1 ) = p 0, p(u +1 ) = p projektív ivariás: NURBS görbe projektív képe, cetrális vetülete NURBS görbe kovex burokba maradás: teljesül a kovex burokba maradás tulajdosága differeciálhatóság: m-szeres multiplicitású csomópotba a görbe (k m)-szer differeciálható, a csomópotoko kívül C lokálisa változtatható: p i változtatása a görbét csak az [u i,u i+k ) itervallumo befolyásolhatja. specializáció: azoos súlyok eseté a NURBS görbe megegyezik egy B-szpláj görbével, ha ráadásul = K és a csomópot vektor (0,...,0,1,...,1), akkor a görbe Bézier-görbe. } {{ } } {{ } K K

99 3.8. NURBS-GÖRBÉK ALGORITMUS (Racioális B-szpláj görbe rajzolása). A fejezet bevezetőjébe vázolt származtatás szerit a racioális B-szpláj görbe em más, mit egy B-szpláj a projektív síko/térbe, ezért a algoritmust miimálisa megváltoztatva kapjuk a görbepot meghatározásáak algoritmusát. (A pszeudokód síkgörbére voatkozik, az utolsó sor változtatásával kapjuk a térgörbékre.) POINTONNURBS Iput: (r 0,r 1,...,r ) Output: p(u) % Áttérük homogé koordiátákra: for i = 0 to do p i (r i p i,r i ) % Kiszámítjuk a görbepotot a projektív síko POINTONBSPLINE % Áttérük Descartes-koordiátákra retur (p K m,k 1 m [1]/p K m,k 1 m [3],p K m,k 1 m [2]/p K m,k 1 m [3]) ÖSSZEFOGLALÓ racioális B-szpláj görbe: - kotrollpotok: p 0,p 1,...,p, - csomópotok: u 0,u 1,...,u +K, súlyok: r 0,r 1,...,r a racioális B-szpláj görbe: p: [u K 1,u +1 ] R D, p(u) = N i,k(u)r i p i N i,k(u)r i.

100 4. FEJEZET Felületek tervezése 4.1. A felület fogalma A hétközapi szóhaszálatba agyo sok geometriai objektumra modjuk azt, hogy felület. Ebbe a fejezetbe a felületek lehetséges matematikai modelljeiről lesz szó. Példakét tekitsük először a gömböt. Mit pothalmaz, a gömb a tér egy rögzített O potjától adott r > 0 távolságra elhelyezkedő potok halmaza: F = { P R 3 P O = r }. Ha O = (x 0,y 0,z 0 ), akkor az előbbi pothalmazt úgy adhatjuk meg, mit az (4.1) F : R 3 R, F(x,y,z) = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 r 2 függvéy zérushelyeiek halmaza a térbe ábra. Ismerős felület: gömb Sok, geometriailag köye defiiálható felület potjai előállíthatók (4.1)-hez hasolóa egy háromváltozós függvéy zérushelyeiek halmazakét. Egy egyees körhegert geometriailag egy rögzített egyeestől rögzített r > 0 távolságra elhelyezkedő potok halmazakét defiiálhatuk. Ha a tegely a z tegely, akkor egy egyees körheger egyelete (4.2) x 2 + y 2 r 2 = 0. Tehát most F(x,y,z) = x 2 + y 2 r

101 4.1. A FELÜLET FOGALMA ábra. Ismerős felület: heger A következő példák az egyees körkúp, amelyet geometriailag megkaphatuk úgy, hogy egy egyeest megforgatuk egy őt metsző egyees körül. Legye a forgástegely a z tegely, a forgatott egyees pedig az xz sík x = a z egyeese. Ekkor a kúp egyelete (4.3) x 2 + y 2 a 2 z 2 = ábra. Ismerős felület: kúp A (4.1) (4.3) egyeletek F(x,y,z) = 0 alakúak, ahol F : R 3 R differeciálható függvéy. A kúpak va egy speciális potja, a csúcspot. Hogya ismerhető föl a kúp csúcspotja az egyeletéből? A számítógépi grafikába fotos jeletősége va, hogy a felület potjaiba (legalábbis majdem mide potjába) tudjuk képezi a felület ormálisát, vagyis a felületre merőleges vektort. A felületi ormálist a felület egy P potjába

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

1. Az ábrázoló geometria analitikus módszerei

1. Az ábrázoló geometria analitikus módszerei 1. Az ábrázoló geometria analitikus módszerei Az ábrázoló geometria sokrétű feladatköréből egyetlenegyet emelünk ki: szemléletes 1 kép készítése a síkon (képernyőn) valamely térbeli modellről. A tér síkra

Részletesebben

1. Sajátérték és sajátvektor

1. Sajátérték és sajátvektor 1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Számítógépes geometria

Számítógépes geometria 2011 sz A grakus szállítószalag terv a geometriai (matematikai) modell megalkotása modelltranszformáció (3D 3D) vetítés (3D 2D) képtranszformáció (2D 2D)... raszterizáció A grakus szállítószalag: koncepció

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Számítógépi geometria Kovács, Zoltán

Számítógépi geometria Kovács, Zoltán Számítógépi geometria Kovács, Zoltán Számítógépi geometria Kovács, Zoltán Nyíregyházi Főiskola Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Kivonat Nemzeti Fejlesztési Ügynökség http://ujszechenyiterv.gov.hu/

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k. 8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Transzformációk síkon, térben

Transzformációk síkon, térben Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Algebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest

Algebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest Magas szitű matematikai tehetséggodozás Algebrai egyelőtleségek verseyeke Dr Kiss Géza, Budapest Néháy helyettesítési módszer és a Cauchy-Schwarz-egyelőtleség speciális esetéek alkalmazása bizoyítási feladatokba

Részletesebben

Lineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1

Lineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1 Lieáris kódok Defiíció. Legye SF q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. K lieáris kód, ha K az S k-dimeziós altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor.

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk: Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

Matematika B4 I. gyakorlat

Matematika B4 I. gyakorlat Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

Feladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)

Feladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B) Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek

Részletesebben

Emlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854): " ' #$ * $ ( ' $* " ' #µ

Emlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854):  ' #$ * $ ( ' $*  ' #µ Emlékeztető: az -dimeziós sokaság görbültségét kifejező meyiség a Riema-tezor (Riema, 1854: ' ( ' $ ' #µ $ µ# ahol a ú. koexiós koefficiesek (vagy Christoffel-szimbólumok a metrikus tezor g # x $ kompoeseiből

Részletesebben

Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok

Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) Z(G), mert az egységelem yilvá felcserélhet mide G-beli elemmel. Továbbá Z(G) zárt a szorzásra, mert ha a, b Z(G), akkor tetsz leges g G-re (ab)g

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Bevezetés az algebrába komplex számok

Bevezetés az algebrába komplex számok Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.

Részletesebben

I. Koordinátarendszerek a síkban és a térben, mátrixok

I. Koordinátarendszerek a síkban és a térben, mátrixok Koordiátaredszerek mátrixok 0 I Koordiátaredszerek a síkba és a térbe mátrixok Koordiátaredszerek A korábbi taulmáyaitok sorá megismerkedhettetek a sík aalitikus geometriájáak éháy alapfogalmával (koordiátaredszerek

Részletesebben

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!! 4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819. 3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik. Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a x + b y c 5. Az egyeletredszer megoldása a Z halmazo (3. rész) a x + b y c A hivatkozások köyítése

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

17. Lineáris algebra

17. Lineáris algebra 1. oldal 17. Lieáris algebra 17.1 Vektorterek Defiíció: egy K test fölötti V vektortér egy olya struktúra, melybe V kommutatív csoport és az ú. skalárral szorzás, KVV, disztributív a K-beli összeadásra

Részletesebben

Kétváltozós függvények

Kétváltozós függvények Kétváltozós függvéek Tartalomjegzék Többváltozós függvéek... Kétváltozós függvéek... Nevezetes felületek... 3 Forgásfelületek... 3 Kétváltozós függvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós függvéek... 6

Részletesebben

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február 11

Részletesebben

Geometria II. Vázlat Kovács Zoltán előadásaihoz. 2014. január 26.

Geometria II. Vázlat Kovács Zoltán előadásaihoz. 2014. január 26. Geometria II Vázlat Kovács Zoltán előadásaihoz 2014. január 26. 2 Tartalomjegyzék 1. Geometria R 2 -ben 7 1.1. R 2 euklideszi struktúrája..................... 8 1.2. Tükrözés hipersíkra........................

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

Hiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai

Hiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai közzétéve a szerző egedélyével) Öfüggő szekuder-változó csoport keresése: egy bevezető példa Ez a módszer az állapothalmazo értelmezett partíció-párok elméleté alapul. E helye em lehet céluk az elmélet

Részletesebben

1. A komplex számok ábrázolása

1. A komplex számok ábrázolása 1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Tartalom. Nevezetes affin transzformációk. Valasek Gábor 2016/2017. tavaszi félév

Tartalom. Nevezetes affin transzformációk. Valasek Gábor 2016/2017. tavaszi félév Tartalom Motiváció Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi félév Transzformációk Transzformációk általában Nevezetes affin

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8. . feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben