1. Az ábrázoló geometria analitikus módszerei

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Az ábrázoló geometria analitikus módszerei"

Átírás

1 1. Az ábrázoló geometria analitikus módszerei Az ábrázoló geometria sokrétű feladatköréből egyetlenegyet emelünk ki: szemléletes 1 kép készítése a síkon (képernyőn) valamely térbeli modellről. A tér síkra történő R 3 R 2 leképezésére nagyon sokféle klasszikus ábrázoló geometriai módszer ismert, jelen előadás keretei között csak a lineáris és a törtlineáris leképezésekkel foglalkozunk, amelyeket itt összefoglaló névvel egyszerűen csak vetítéseknek (projekcióknak) nevezünk. A lineáris leképezések mátrixszorzásként hatnak: R 3 R 2,x Ax, A M 2 3, ranga = 2, míg a törtlineáris leképezések a projektív tér P 3 P 2,[x] [Ax], x R 4, A M 3 4, ranga = 3 leképezései. (Ezeket a transzformációkat homogén koordinátákról Descartes koordinátákra átírva törtlineáris transzformációkat kapunk.) A szemléletes kép készítés problémájának lényege az, hogy a modellről könnyen előállítható kép a modell valamely egyszerű vetülete, amely egyáltalán nem szemléletes. Az 1. ábrán látható kép a fejezetben szereplő modellről egy egyszerű vetület, amelyet egyáltalán nem érzünk szemléletesnek. (Lásd a további képeket ugyanerről a modellről a későbbiekben.) y 1. ábra. A modell egyszerű vetülete. Két egyszerű stratégiával juthatunk el a szemléletes képhez. Képzeljük el, hogy egy kisméretű tárgyat kell alaposan szemügyre vennünk, például egy autómodellt: kezünkbe vesszük és körbeforgatjuk. Ha az eredeti autót tanulmányozzuk, akkor viszont körbejárjuk. Az első stratégia a szemléletes képhez a modell transzformációjával jut el, a második stratégia a nézőpontot változtatja. Ebben az előadásban főként az első stratégiát alkalmazzuk. A modell transzformációjaként izometriákat illetve (az előzőektől csak skálázásban különböző) hasonlóságokat engedjük meg. 1 A szemléletes szót itt nem kívánom különösebben elemezni. Csak egy példa: A kockáról szemléletes a kép, ha három lapját látom, nem szemléletes, ha egyet vagy kettőt. 1

2 1.1. Informális bevezetés Írjunk le analitikusan egy síkra történő centrális vetítést a térben! Az S képsík az egyszerűség kedvéért illeszkedjen az origóra, normálvektora legyen n, egyenlete tehát n,x = 0. A vetítés centruma legyen c / S, legyen továbbá a c-re illeszkedő, S-el párhuzamos sík S. A P: R 3 \ S S centrális vetítés a p R 3 \ S ponthoz hozzárendeli azt a p pontot, amelyre p S és (p, p,c) kollineárisak. A feltétel szerint: (1.1) p = c +t(p c) valamely t-re, továbbá Ez utóbbi egyenletből t meghatározható: (1.1)-be behelyettesítve: (1.2) p = n,c +t(p c) = 0. t = n,c n, p c. n, p c n,c p n, p n,c. A fenti összefüggés törtlineáris transzformáció. Koordinátákkal kiírva, legyen p = (x,y,z), p = (,y,z ), n = (n 1,n 2,n 3 ), c = (c 1,c 2,c 3 ) továbbá n,c = q R. A kapott (1.2) összefüggés: = n 1xc 1 + n 2 yc 1 + n 3 zc 1 qx n 1 x + n 2 y + n 3 z q y = n 1xc 2 + n 2 yc 2 + n 3 zc 2 qy n 1 x + n 2 y + n 3 z q z = n 1xc 3 + n 2 yc 3 + n 3 zc 3 qz. n 1 x + n 2 y + n 3 z q Homogén koordinátákkal fölírva: 1 n 1 c 1 q n 2 c 1 n 3 c 1 0 x 1 x 2 x 3 = n 1 c 2 n 2 c 2 q n 3 c 2 0 x 2 n 1 c 3 n 2 c 3 n 3 c 3 q 0 x 3. x 4 n 1 n 2 n 3 q x 4 Írjunk most (1.1)-ben c helyére λc-t, ahol λ R: p = λ n, p c λ n,c p n, p λ n,c 2 = n, p c n,c p n/λ, p n,c.

3 Ha λ-val végtelenhez tartunk, akkor n, p (1.3) lim λ p = p n,c c, ami c irányú párhuzamos vetítésnek felel meg, s már lineáris transzformációt ad euklideszi térben is. Az előzőekből kitűnik, hogy a párhuzamos vetítés minden gond nélkül tárgyalható az euklideszi térben is, míg a centrális vetítés kényelmesebb színtere a projektív tér. A részletes tárgyalást a legegyszerűbb vetítéssel, a koordinátasíkra történő merőleges vetítéssel kezdjük Ortogonális axonometria A párhuzamos vetítés speciális esete, ha a vetítés iránya és a vetítés síkja egymásra merőlegesek. Az xy síkra történő merőleges vetítés (melyet standard merőleges vetítésnek is nevezünk): melynek mátrixa R 3 R 2, (x,y,z) t (x,y) t, P = ( Ez az egyszerű vetítés szemléletes kép készítésére általában nem alkalmas, (ld. pl. az 1. ábrát), ehhez a modell transzformációjára lehet szükség Definíció. A tér egy hasonlósági transzformációjának és egy síkra történő merőleges vetítésnek a szorzatát ortogonális axonometriának nevezzük. A továbbiakban feltételezzük, hogy a hasonlóságnak az origó fixpontja, továbbá a merőleges vetítés a standard merőleges vetítés, így az axonometria lineáris leképezés lesz. Példa. (Ld. a 2. ábrát!) Forgassuk el a modellt az y tengely körül φ szöggel, majd az x tengely körül ψ szöggel, ezután vetítsük merőlegesen az xy síkra. Az így kapott axonometria mátrixa: ( ) cosφ 0 sinφ V = P R x (ψ) R y (φ) =, sinψ sinφ cosψ sinψ cosφ azaz az axonometria R 3 = M 3 1 x V x. ). 3

4 y z 2. ábra. Ortogonális axonometria: merőleges vetítés a koordinátasíkra a modell ortogonális transzformációjával. Az előző példával lényegében minden axonometriát leírtunk, mert a modellre alkalmazott z tengely körüli elforgatást illetve origó középpontú centrális hasonlóságot elérhetjük a kép hasonlósági transzformációjával is. Az axonometria megadása tehát lényegében a φ és ψ szögek megadását jelenti. Jóllehet ez nagyon egyszerű, mégis sok esetben intuitívabb lehet, ha R 3 kanonikus bázisának a képét adjuk meg, amely persze rögtön megadja az axonometria kanonikus bázispárra vonatkozó V mátrixát. A három képvektor azonban nem vehető föl tetszőlegesen, a következőekben erre adunk feltételt Tétel (Gauss-tétel). Legyen V M 2 3. V akkor és csakis akkor áll elő V = P U alakban, ahol U M 3 3 ortogonális mátrix, P pedig a standard merőleges vetítés, ha V V t = I 2. Bizonyítás. U legyen ortogonális mátrix: U U t = I 3. Legyen először V = P U. Ekkor V V t = P U U t P t = P P t = I 2. Megfordítva, ha V V t = I 2 teljesül, akkor ez azt jelenti, hogy V sorai egymásra merőleges egységvektorok. Egészítsük ki a sorvektorokat R 3 ortonormált bázisává. A kiegészített mátrix legyen U. Mivel U sorai egymásra merőleges egységvektorok, ezért oszlopai is azok, és V = P U nyilvánvalóan teljesül Következmény. Az (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ), (x 3,y 3 ) vektorok akkor és csakis akkor alkotják R 3 egy ortonormált bázisának standard merőleges vetületét, ha (x 1,x 2,x 3 ) és (y 1,y 2,y 3 ) egymásra merőleges egységvektorok, azaz (1.4) x x x 2 3 = 1 y y y 2 3 = 1 x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = 0. 4

5 Bizonyítás. Alkalmazzuk a Gauss-tételt: ( ) x x1 x 2 x 1 y 1 3 x y 1 y 2 y 2 y 2 = 3 x 3 y 3 ami a három megadott egyenlettel ekvivalens. ( ) 1 0, 0 1 Az R 2 halmazt a szokásos módon azonosítjuk C-vel: (x,y) x + iy, így a standard projeció: P: (x 1,x 2,x 3 ) x 1 + ix 2. Gauss tételét átfogalmazhatjuk: 1.4. Tétel (Gauss-tétel, komplex írásmód). (α,β,γ) C 3 akkor és csakis akkor R 3 egy ortonormált bázisának - standard merőleges vetülete, ha (1.5) α 2 + β 2 + γ 2 = 0 és α 2 + β 2 + γ 2 = 2. - ortogonális axonometriával nyert képe, ha (1.6) α 2 + β 2 + γ 2 = 0 teljesül nem triviálisan. Bizonyítás. Legyen α = x 1 + iy 1, β = x 2 + iy 2, γ = x 3 + iy 3. Az (1.5) relációknak képzetes és valós részét véve: x x x 2 3 = y y y 2 3, x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = 0, x y x y x y 2 3 = 2 adódik, ami (1.4)-el ekvivalens. Ugyanakkor előbbi első két egyenlet azt fejezi ki, hogy (x 1,x 2,x 3 ) és (y 1,y 2,y 3 ) azonos hosszúságú egymásra merőleges vektorok, ami a második állítást jelenti. Összefoglalva, ortogonális axonometria ( ) x1 x V = 2 x 3 y 1 y 2 y 3 mátrixát úgy kell megadni, hogy a sorvektorok azonos (de nem zérus) hosszúságú egymásra merőleges vektorok legyenek (ez nem intuitív megadás); vagy ezzel 5

6 y z 3. ábra. Párhuzamos vetítés. A modellt nem transzformáltuk. ekvivalens módon úgy, hogy az oszlopok közül fölveszünk tetszőlegesen kettőt, pl. az (x 1,y 1 ) és (x 2,y 2 ) oszlopokat, és a harmadik oszlopot kiszámítjuk úgy, hogy (x 1 + iy 1 ) 2 + (x 2 + iy 2 ) 2 + (x 3 + iy 3 ) 2 = 0 teljesüljön. Ez utóbbi egyenletnek az x 3 + iy 3 komplex számra két megoldása is van. A harmadik oszlop kiszámítása nagyon egyszerű számítógéppel, ha komplex aritmetikával dolgozunk: γ = α 2 β 2, a korábbi jelöléssel. Megjegyezzük, hogy ez utóbbi formula alapján γ-t nagyon könnyű körzőzel-vonalzóval is megszerkezteni α-ból és β-ból Axonometria Vetítsük a teret a v = (v 1,v 2, ) ( 0) vektorral párhuzamosan az xy síkra. A vetítés mátrixa a kanonikus bázispárra vonatkozóan az (1.3)-ba történő behelyettesítéssel kapható meg: 1 0 v v Ha az xy síkot az (x,y,0) (x,y) lineáris izomorfizmussal beazonosítjuk R 2 -el, akkor a vetítés mátrixa: ( ) 1 0 v 1 V = v 2. Ez az egyszerű leképezés már önmagában is szemléletes képet ad, (legalábbis abban az értelemben ahogyan azt az 1. oldal lábjegyzetében írtuk), bár a képet torznak érezzük ld. 3. ábra. A modell transzformációját itt is alkalmazhatjuk. (4. ábra.) Az y tengely körüli φ szögű, majd az x tengely körüli ψ szögű elforgatás 6

7 y z 4. ábra. Párhuzamos vetítés. A modellt elforgattuk az y tengely körül. után végrehajtva az előző párhuzamos vetítést, a következő mátrixot kapjuk: V R x (ψ) R y (φ) = cosφ+v 1 cosψ sinφ ( sinψ+v 2 cosψ)sinφ v 1 sinψ cosψ+v 2 sinψ sinφ+v 1 cosψ cosφ (sinψ+v 2 cosψ)cosφ. A vetítés intuitív megadása itt is azt jelenti, hogy a tér kanonikus bázisának a képét adjuk meg. A továbbiakban belátjuk, hogy az ortogonális axonometriától eltérően (ahol csak két képvektort vehettünk föl tetszőlegesen), mind a három képvektort fölvehetjük tetszőlegesen egyetlen megkötés, hogy a fölvett vektorrendszer rangja 2 legyen Definíció. Egy P: R 3 R 2 szürjektív lineáris (azaz kettő rangú) leképezést axonometrikus leképezésnek vagy axonometriának nevezünk. A továbbiakban az előbbi leképezés R 3 ill. R 2 kanonikus bázisaira vonatkozó mátrixát is P-vel jelöljük, így az axonometria: P: R 3 R 2, R 3 x Px, P M 2 3, rangp = Tétel (Az axonometria alaptétele I). Minden axonometrikus leképezés előáll egy R 3 R 2 párhuzamos vetítés és egy R 2 R 2 lineáris izomorfizmus szorzataként, azaz az axonometrikus kép affin kapcsolatban van az alakzat egy párhuzamos vetületével. Bizonyítás. Legyen ( ) a11 a P = 12 a 13, rangp = 2. a 21 a 22 a 23 7

8 Az általánosság megszorítása nélkül föltehetjük, hogy az első két oszlop lineárisan független, azaz ( ) a11 a (1.7) deta 0, A = 12. a 21 a 22 P egy dimenziós magterét generálja a v = (v 1,v 2, ) 0 vektor: kerp = L(v). Azt állítjuk, hogy P az xy síkra v-vel párhuzamos vetítés és az A-val történő balszorzás (mint lineáris izomorfizmus) szorzata. Megjegyezzük, hogy = 0 azt jelentené, hogy az xy sík nem zéró vektora A magterében lenne, így ez ellentmondana (1.7)-nek. ( a11 a A V = 12 a 21 a 22 Azonban v kerp: tehát P = A V. ) ( ) 1 0 v v 2 = ( ) v a11 a 12 a 1 v 11 3 a v a 21 a 22 a 1 v 21 a a 11 v 1 + a 12 v 2 + a 13 = 0 = a 11 v 1 a 12 v 2 = a 13 a 21 v 1 + a 22 v 2 + a 23 = 0 = a 21 v 1 a 22 v 2 = a 23, 1.7. Tétel (Az axonometria alaptétele II). Minden axonometrikus leképezés előáll egy R 3 S merőleges vetítés és egy S R 2 lineáris izomorfizmus szorzataként, ahol S a tér egy alkalmas két dimenziós altere. Bizonyítás. Az előző tétel bizonyításának jelöléseivel. S legyen P magterének ortogonális komplementere, azaz az L(v) egyenesre merőleges, origóra illeszkedő sík Tétel (Pohlke). Minden axonometria egy párhuzamos vetítés és egy hasonlóság szorzata, azaz egy alakzat axonometrikus képe hasonló az alakzat valamely síkra vonatkozó párhuzamos vetületéhez. Bizonyítás. A bizonyításhoz egy elemi segédtételre van szükségünk: Minden ellipszis alapú hengernek van körmetszete. Az alaptétel első változatának bizonyításakor már bevezetett jelöléseket használjuk, tehát az axonometria A V alakban írható föl, ahol V párhuzamos vetítés, A pedig lineáris izomorfizmus. Vegyünk föl az xy síkban egy tetszőleges, origó középpontú k kört. Legyen A 1 (k) = ˆk. S legyen olyan origóra illeszkedő sík, hogy ebben fölvett alkalmas, origó középpontú k kör v-vel párhuzamos vetülete éppen ˆk legyen. (Ilyen sík 8

9 létezését a lemma garantálja.) Az xy síkra történő, v-vel párhuzamos vetítést, azaz V -t, bontsuk föl az S síkra történő v-vel párhuzamos V 1 vetítés és az S sík xy síkra történő, szintén v-vel párhuzamos V 2 vetítés szorzatára: V = V 2 V 1. Ezt azért tehetjük meg, mert S nem lehet v-vel párhuzamos. Most P = A V 2 V 1. Az A V 2 lineáris izomorfizmus azonban a k körhöz a k kört rendeli, azaz ez a leképezés hasonlóság, ami a bizonyítandó állítást jelenti. A bizonyítást az alábbi diagrammon követhetjük: R 3 V 1 S ( k ) V 2 R 2 A ( ˆk) R 2 ( k). A Pohlke-tétel szerint egy tetszőleges 2 rangú síkbeli B vektorhármas valamely térbeli ortonormált bázis axonometrikus képe. A gyakorlati alkalmazásokban sok speciális axonometriát használnak. Gyakran B vektorait azonos hosszúságúnak vesszük föl, ilyenkor izometrikus axonometriáról beszélünk Centrális pojekció és centrál-axonometria 1.9. Definíció. Legyen S a projektív tér egy rögzített síkja, C egy síkra nem illeszkedő pont. A C centrumú S síkra történő (centrális) vetítésen azt a leképezést értjük, amely a tér egy tetszőleges, C-től különböző X pontjához hozzárendeli a CX egyenes és az S sík metszéspontját Tétel. Legyen c R 4, az S sík egyenlete n,x = 0, ahol n R 4. Az S síkra történő, C = [c] centrumú vetítés X = [x]-hez X = [ ]-t rendeli, ahol: R 4 \ {c} x = (c n t n t c I 4 ) x. A c n t n t c I 4 mátrixot a vetítés mátrixának mondjuk. Bizonyítás. Először azt ellenőrizzük, hogy X = [ ] valóban a CX egyenesen van: x = c }{{} n t x n }{{} t c x = αc + βx L(c,x), α β tehát rang(x,,c) = 2. Másodjára azt ellenőrizzük, hogy X az S síkon van: n,x = n t (cṅ t x n t c x) = (n t c)(n t x) (n t c)(n t x) = 0. A vetítés V mátrixa, a mátrixelemeket kiírva: n 1 c 1 + q n 2 c 1 n 3 c 1 0 n 1 c 2 n 2 c 2 + q n 3 c 2 0 n 1 c 3 n 2 c 3 n 3 c 3 + q 0, n 1 n 2 n 3 q 9

10 y 5. ábra. 1 iránypontos perspektíva. A vetítés centruma a z tengelyen van, a modellt nem transzformáltuk. ahol n = (n 1,n 2,n 3,1), c = (c 1,c 2,c 3,c 4 ), q = n t c. Ábrázolásra (a képernyő síkján történő rajzolásra) valamely koordinátasíkra történő projekciót lehet kényelmesen alkalmazni. Ennek legegyszerűbb esete, amikor a vetítés centrumát azon a tengelyen vesszük föl, amely a képsíkra merőleges. Ezt a vetítést egy iránypontos perspektívának nevezzük. Példa. Határozzuk meg a centrális vetítés mátrixát, ha a z = 0 síkra vetítünk a (0,0, 1/r), (r > 0) középpontból. Legyen n = (0,0,r) ekkor q = 1, tehát a vetítés mátrixa: r 1 A harmadik sort elhagyva kapjuk a P 3 P 2 vetítés mátrixát: V z (r) = r 1 Descartes koordinátákra áttérve: ( ) x (x,y,z) rz + 1, y, z 1 rz + 1 r. Az 5. ábrán találjuk a modellünk ábráját az előbbi vetítésnél. Szemléletes képhez a modell transzformációjával juthatunk. Az előbbi vetítésnél (amikor a z tengely egy pontjából vetítettünk az xy síkra) alkalmazhatjuk a modell x vagy y tengely körüli forgatását, tetszőleges eltolást illetve ezek kompo- 10

11 y z U x U z 6. ábra. 2 iránypontos perspektíva a modell elforgatásával. A vetítés centruma a z tengelyen van, a modellt az y tengely körül forgattuk. zícióját: R 4 x V z (r) T (l,m,n) R x (ψ) R y (φ) x = = cosφ 0 sinφ l sinψ sinφ cosψ sinψ cosφ m r cosψ sinφ r sinψ r cosψ cosφ 1 + rn x Az előbbi mátrix oszlopainak a geometriai jelentése egyszerű. Jelölje a mátrix oszlopait rendre a 1,a 2,a 3,a 4. x helyére speciálisan a koordinátatengelyek végtelen távoli illetve egységpontjait írva kapjuk, hogy [a 1 ] = U x, [a 2 ] = U y, [a 3 ] = U z a koordinátatengelyek végtelen távoli pontjainak a képe, [a 4 ] = O az origó képe, míg [a 1 + a 4 ] = E x, [a 2 + a 4 ] = E y, [a 3 + a 4 ] = E z a tengelyek egységpontjainak a képe. (U x,u y,u z ) illetve (E x,e y,e z ) Désargues-féle háromszögpárt alkotnak, a megfelelő csúcsokat összekötő egyenesek metszéspontja O. Az (O,U x,u y,u z,e x,e y,e z ) ponthetest a centrális projekció bázisalakzatának nevezzük. Aszerint, hogy U x,u y,u z közül hány végtelen távoli pont van, szokás egy, két vagy három iránypontos perspektíváról beszélni. A centrális projekció intuitív megadása azt jelenti, hogy a bázisalakzat fölvételével adjuk meg a centrális projekciót. Ez azonban korántsem történhet tetszőlegesen. A továbbiakban ezt a problémát elemezzük Definíció. Legyen A M 3 4 három rangú mátrix, melynek egyetlen oszlopa sem zéró vektor. A P 3 P 2, [x] [Ax] leképezést A mátrixú centrálaxonometriának nevezzük. A centrális projekció példa centrál-axonometriára. 11

12 y U x U z z 7. ábra. 2 iránypontos perspektíva a modell elforgatásával és eltolásával. A vetítés centruma a z tengelyen van, a modellt az y tengely körül forgattuk, majd ugyanezen tengely irányában eltoltuk. y U x U z z U y 8. ábra. 3 iránypontos perspektíva a modell elforgatásával. A vetítés centruma a z tengelyen van, a modellt az y, majd az x tengely körül forgattuk. 12

13 Mivel [A (tx)] = [ta x] = [A x], (t R), ezért a definíció független a pont reprezentánsának választásától. Továbbá A és ta ugyanazt a leképezést adja meg. Legyen A = (a 1,a 2,a 3,a 4 ), ahol a i az A mátrix i-edik oszlopát jelöli. Ahogyan azt az előbb a centrális projekció esetében is beláttuk, [a 1 ] = U x, [a 2 ] = U y, [a 3 ] = U z rendre az x, y, z tengelyek végtelen távoli pontjának a képe, [a 4 ] = O pedig az origó képe. A tengelyek egységpontjainak képe rendre: [a 1 + a 4 ] = E x, [a 2 + a 4 ] = E y, [a 3 + a 4 ] = E z. Az (O,U x,u y,u z,e x,e y,e z ) ponthetest a centrál-axonometria bázisalakzata. Megjegyezzük, hogy (O,U x,u y,u z ) még nem határozza meg a centrál-axonometriát, hiszen a pontok különböző számnégyes-reprezentánsai általában nem adnak egymáshoz arányos mátrixokat: (α 1 a 1,α 2 a 2,α 3 a 3,α 4 a 4 ) α(a 1,a 2,a 3,a 4 ). A következő, geometriai jellegű elemzéshez, a speciális esetek elkerülése végett, tegyük föl, hogy a bázisalakzat pontjai különböző pontok. Az (E x,e y,e z ) és (U x,u y,u z ) háromszögpár Désargues-féle háromszögpár, azaz csúcsaira ( = oldalaira) nézve perspektív háromszögpár. (A pontok között lehetnek végtelen távoli pontok is.) Tétel (A bázisalakzat fölvételének szabadsága). Tetszőleges Désarguesféle háromszögpár a perspektivitás centrumával egy centrál-axonometria bázisalakzatát adja meg. Bizonyítás. Legyen A = ([a 1 ],[a 2 ],[a 3 ]), B = ([b 1 ],[b 2 ],[b 3 ]) a két perspektivikus háromszög, a perspektivitás centruma [a 4 ]. (a i,b i,a 4 R 3,i = 1,2,3.) Az összes olyan centrál-axonometria mátrixa, melynél az origó képe [a 4 ] és az egyes tengelyek végtelen távoli pontjának képe pedig A, megadható valamely nem zéró α 1,α 2,α 3 skalárokkal a következő alakban: (α 1 a 1,α 2 a 2,α 3 a 3,a 4 ). (A negyedik oszlop arányossági tényezőjével lehet osztani.) A kérdés az, hogy vannak-e olyan α 1,α 2,α 3 nem zéró skalárok, hogy [α i a i + a 4 ] = [b i ]. Mivel (A,B) Désargues-féle háromszögpár, ezért rang(a i,b i,a 4 ) = 2. Legyen i = 1, i = 2,3-ra analóg. A zérusvektort lineárisan kombinálva: ta 1 + rb 1 + sa 4 = 0, valamely nem triviális (t, r, s) együtthatórendszerre. Sőt, a geometriai föltevés szerint (a bázisalakzat pontjai különbözőek) azt is tudjuk, hogy s 0, ellenkező esetben ugyanis (a 1,b 1 ) lineárisan függő rendszer, azaz [a 1 ] = [b 1 ] lenne. Tehát t s a 1 + a 4 = r s b 1, 13

14 azaz α 1 = t/s mellett [α 1 a 1 + a 4 ] = [b 1 ] Tétel (A centrál-axonometria főtétele). Minden centrál-axonometria egy centrális projekció és egy projektív transzformáció szorzata, azaz a centrálaxonometrikus kép projektív az alakzat valamely centrális vetületéhez. Bizonyítás. A bizonyítás analóg az 1.6. tétel bizonyításához. A centrál-axonometriára Pohlke tételét nem lehet általánosítani, nem igaz az, hogy tetszőleges centrál-axonometria centrális vetítés és hasonlóság szorzata: Tétel (Szabó Stachel Vogel). Legyen (O,U x,u y,u z,e x,e y,e z ) egy centrál-axonometria bázisalakzata, továbbá a bázisalakzat egyetlen pontja se legyen végtelen távoli pont. (9). A bázisalakzat által meghatározott centrálaxonometria akkor és csakis akkor centrális projekció és hasonlóság szorzata, ha ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 OEx OEy OEz : : = tgα : tgβ : tgγ, ahol E x U x E y U y E z U z α = U y U x U z, β = U z U y U x, γ = U y U z U x. U x y U z E y z E z U y E x 9. ábra. Bizonyítás. 14

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

Transzformációk síkon, térben

Transzformációk síkon, térben Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

Számítógépi geometria Kovács, Zoltán

Számítógépi geometria Kovács, Zoltán Számítógépi geometria Kovács, Zoltán Számítógépi geometria Kovács, Zoltán Nyíregyházi Főiskola Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Kivonat Nemzeti Fejlesztési Ügynökség http://ujszechenyiterv.gov.hu/

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Számítógépes geometria

Számítógépes geometria 2011 sz A grakus szállítószalag terv a geometriai (matematikai) modell megalkotása modelltranszformáció (3D 3D) vetítés (3D 2D) képtranszformáció (2D 2D)... raszterizáció A grakus szállítószalag: koncepció

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Hajder Levente 2017/2018. II. félév

Hajder Levente 2017/2018. II. félév Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

1. A Hilbert féle axiómarendszer

1. A Hilbert féle axiómarendszer {Euklideszi geometria} 1. A Hilbert féle axiómarendszer Az axiómarendszer alapfogalmai: pont, egyenes, sík, illeszkedés (pont egyenesre, pont síkra, egyenes síkra), közte van reláció, egybevágóság (szögeké,

Részletesebben

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma. Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.

Részletesebben

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2. Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Haladó lineáris algebra

Haladó lineáris algebra B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc

Részletesebben

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

Részletesebben

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0 Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.

Részletesebben

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és

Részletesebben

1. feladatsor Komplex számok

1. feladatsor Komplex számok . feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János

Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents

Részletesebben

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n} Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05

Részletesebben

Tartalom. Nevezetes affin transzformációk. Valasek Gábor 2016/2017. tavaszi félév

Tartalom. Nevezetes affin transzformációk. Valasek Gábor 2016/2017. tavaszi félév Tartalom Motiváció Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi félév Transzformációk Transzformációk általában Nevezetes affin

Részletesebben

1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere

1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,

Részletesebben

1. Szabadvektorok és analitikus geometria

1. Szabadvektorok és analitikus geometria 1. Szabadvektorok és analitikus geometria Ebben a fejezetben megismerkedünk a szabadvektorok fogalmával, amely a középiskolai vektorfogalom pontosítása. Előzetes ismeretként feltételezzük az euklideszi

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2

2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2 1. feladatsor (Kúpszeletekre vonatkozó feladatok) Ha egy feladatban síkbeli koordinátákat alkalmazunk, akkor azok egy derékszög koordinátarendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és ortonormált alapvektorai

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Valasek Gábor Informatikai Kar. 2016/2017. tavaszi félév

Valasek Gábor Informatikai Kar. 2016/2017. tavaszi félév Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi félév Tartalom 1 Motiváció 2 Transzformációk Transzformációk általában 3 Nevezetes

Részletesebben

Robotika. Kinematika. Magyar Attila

Robotika. Kinematika. Magyar Attila Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok 2019-09-10 MGFEA Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I. Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 1

Bevezetés az algebrába 1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Kiegészítések Kurusa Árpád és Szemők Árpád A számítógépes ábrázoló geometria alapjai c. könyvéhez

Kiegészítések Kurusa Árpád és Szemők Árpád A számítógépes ábrázoló geometria alapjai c. könyvéhez Kiegészítések Kurusa Árpád és Szemők Árpád A számítógépes ábrázoló geometria alapjai c. könyvéhez Nagy Gábor P. 2005. szeptember 5. Tartalomjegyzék 1. Vetítések 1 1.1. Vetítések a közönséges síkon és térben.............

Részletesebben

Síkgörbék. 1. Készítsünk elfogadható ábrát a G: t frac(1/t) leképezés gráfjáról. (frac a törtrész függvény, ez a Maple függvénynév is.

Síkgörbék. 1. Készítsünk elfogadható ábrát a G: t frac(1/t) leképezés gráfjáról. (frac a törtrész függvény, ez a Maple függvénynév is. Síkgörbék 1. Készítsünk elfogadható ábrát a G: t frac(1/t) leképezés gráfjáról. (frac a törtrész függvény, ez a Maple függvénynév is.) 2. (n szirmú virág.) Legyen r(t) = sin(nt), (0 t 2π). Ábrázoljuk polár

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Így a Bálint számára kedvező esetek száma +, hiszen duplán számoltuk azokat az eseteket, amikor a számok sem 2-vel, sem 5-tel nem oszthatók.

Így a Bálint számára kedvező esetek száma +, hiszen duplán számoltuk azokat az eseteket, amikor a számok sem 2-vel, sem 5-tel nem oszthatók. Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2006 2007-es tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0 Tantárgy neve Lineáris algebra I Tantárgy kódja MTB1004 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3k Összóraszám elm+gyak 2+0 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel tantárgyi kód MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kurdics

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

JEGYZET Geometria 2., tanárszak

JEGYZET Geometria 2., tanárszak JEGYZET Geometria 2., tanárszak Hálás köszönet a segítségért Marosi Pollának, Kiss Györgynek, Lakos Gyulának, Tóth Árpádnak, Wintsche Gergőnek. Felhasznált fogalmak Felhasználjuk a valós vektortér és mátrix

Részletesebben

Geometria II. Vázlat Kovács Zoltán előadásaihoz október 21.

Geometria II. Vázlat Kovács Zoltán előadásaihoz október 21. Geometria II Vázlat Kovács Zoltán előadásaihoz 2016. október 21. 2 Tartalomjegyzék 1. Geometria R n -ben 5 1.1. R n euklideszi struktúrája..................... 6 1.2. Az osztóviszony és a párhuzamos szelők

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2

Bevezetés az algebrába 2 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Lineáris leképezések H607 2018-02-05, 07, 09 Wettl

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése. Bevezetés

Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése. Bevezetés 1 Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése Bevezetés Több korábbi dolgozatunkban is foglalkoztunk hasonló dolgokkal, vagyis az axonometri - kus ábrázolás alapfeladatának

Részletesebben

1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük:

1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük: . Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. A következıkben áttekintjük a fontosabb leképezési eljárásokat és azok alapvetı tulajdonságait.

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. A következıkben áttekintjük a fontosabb leképezési eljárásokat és azok alapvetı tulajdonságait. ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA Az ábrázoló geometria célja a térbeli alakzatok meghatározása alakra, nagyságra és helyzetre nézve síkban való ábrázolás által és ezen ábrázolás alapján a térbeli alakzatra vonatkozó

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!

1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat! . Mátrixok. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: [ ] [ ] π a A = ; B = 8 7, 5 x. 7, 5 ln y. Legyen 4 A = 4 ; B = 5 5 Számítsuk ki az A + B, A B, A, B mátrixokat!. Oldjuk

Részletesebben

EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA

EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA Írta: Hajdu Endre A számítógépemhez tartozó két hangfal egy-egy négyzet keresztmetszetű hasáb hely - szűke miatt az ablakpárkányon van elhelyezve (. ábra).. ábra Hogy az

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből

Részletesebben

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15 Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

1. Bázistranszformáció

1. Bázistranszformáció 1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n

Részletesebben

További adalékok a merőleges axonometriához

További adalékok a merőleges axonometriához 1 További adalékok a merőleges axonometriához Egy szép összefoglaló munkát [ 1 ] találtunk az interneten, melynek előző dolgoza - tunkhoz csatlakozó részeit itt dolgozzuk fel. Előző dolgozatunk címe: Kiegészítés

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.

Részletesebben

1. Transzformációk mátrixa

1. Transzformációk mátrixa 1 Transzformáiók mátrixa Lineáris transzformáiók Definíió T test Az A : T n T n függvény lineáris transzformáió, ha tetszőleges v,w T n vektorra és λ skalárra teljesül, hogy A(v + w) A(v) + A(w) és A(λv)

Részletesebben

pontokat kapjuk. Tekintsük például az x tengelyt. Ezen ismerjük az O, E

pontokat kapjuk. Tekintsük például az x tengelyt. Ezen ismerjük az O, E Az axonometria előadások és gyakorlatok vázlata Bevezetés Az axonometrikus ábrázolás feladata, hogy a térbeli alakzatok szemléletes képét gyorsan és egyszerűen állítsuk elő. Egy alakzat szemléletes képe

Részletesebben