Egyenletek és egyenletrendszerek megoldása a Z n halmazon Az a x = b egyenlet megoldása a Z n halmazon

Átírás

1 Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! Egyeletek és egyeletreszerek megolása a Z halmazo Az a x = b egyelet megolása a Z halmazo Az utóbbi iőbe mit a XII. osztályos alteratív taköyvekbe, mit az érettségivagy felvételi vizsgáko egyre gyakrabba találkozuk olya felaatokkal, amelyek lieáris egyeletek vagy egyeletreszerekek a Z halmazo törtéő megolását kérik, a megoláshoz szükséges elméleti háttérről agyo keveset olvashatuk. Éppe ezért, az elkövetkező cikksorozatot amolya hiáypótlókét írjuk, és főleg azt szereték eléri, hogy a taulók sokkal átfogóbb képet, és megalapozott elméleti és gyakorlati alapot alkothassaak erről a témáról, mit amilyet alkothatak úgy, ha csupá a pélákat és felaatokat olják meg a taköyvekből, pélatárakból. Miamellett, hogy a kiválasztott témakör kezetbe agyo egyszerűek tűhet mégis kihagsúlyozuk éháy olya olgot, amiek a tuatosítása és megértése sikeresebb és ereméyesebb tauláshoz vezet. Már a kisosztályokba, többé vagy kevésbé álcázotta miutala előforulak az mx+=p úgyevezett elsőfokú egyismeretlees (rövie lieáris) egyeletek. A kisosztályokba a megolásukat eleite yitott moatok, maj a mérlegelv segítségével kezik törtéi, aztá lassa-lassa már a jártaság és készség szitjé ayira előybe kerülek az automatizmusok, hogy az egyelet megolására már ilye megfogalmazásokat haszálak, mit pélául: átvisszük a másik olalra, vagy mikét olalt elosztjuk, stb. És így ezek a megevezések meghoosoak a mieapi taulásba, e közbe elvész a tartalma, hogy vajo eze megevezések alatt mit is kell értei? Eek következtébe a XII. osztályos taulók gyakra eheze tuják kezeli ezt a válsághelyzetet akkor, amikor a Z halmazo egyeleteket és egyeletreszereket kell megoljaak, ugyais a Z halmazo csak az összeaás és a szorzási művelet értelmezett, és mit értsük az előző iézőjeles megfogalmazások alatt? Eek tisztázása végett pillatsuk vissza arra az iőszakra, amikor az egyeletek megolását taították, és vizsgáljuk meg a mx+q=p egyelet megolási lépéseit az R-e. (1) Az mx+q=p egyelet eseté mikét olalhoz hozzáajuk a q szám elletettjét, és így aóik, hogy mx=p+(-q) vagyis mx=p-q, amire azt mojuk, hogy átvittük a másik olalra (2) Ezutá az mx=p-q egyelet mikét olalát beszorozzuk a q szám iverzével, és így aóik, hogy x= (p-q) 1 m = p q, amire azt mojuk, hogy átosztottuk m-el vagy m másvalami ehhez hasoló megfogalmazást. Ameyibe miutala szemelőtt tartjuk az előbb kihagsúlyozottakat, úgy az egyeletekek és egyelet reszerekek a Z halmazo törtéő megolása sem fog ehézséget jeletei, oha mit láti fogjuk ez a témakör messziről sem olya egyszerű mit amilyeek tűik. A cikksorozatak ebbe a részébe az a x = b egyeletek a Z halmazo törtéő megolásával foglalkozuk és erre alapozva a következő részbe az a x + b y = c egyeletek a Z halmazo törtéő megolását taulmáyozzuk, amire szükségük va a harmaik a1 x + b1 y = c1 részbe tárgyalásra kerülő elsőfokú kétismeretlees egyeletreszer a2 x + b2 y = c2 megolásáak taulmáyozásakor is.

2 Mieek előtt foglaljuk össze a legszükségesebb, fotosabb fogalmakat, ereméyeket amiket haszáli foguk. (1) Aott N * eseté legye R ={,1,2,,-1} a természetes számokak, az aott természetes számmal való osztási maraékaiak halmazát. Értelmezhetők a, : R R R műveletek: a) Bármely x, y R eseté x y= az (x+y) számak az -el való osztási maraéka. Pélául: 3,4 R 5 eseté =5 ezért 3 4=2 mert 3+4=7=1 5+2 b) Bármely x, y R eseté x y= az (x y) számak az -el való osztási maraéka. Pélául: 3,4 R 5 eseté =5 ezért 3 4=2 mert 3 4=12=2 5+2 (2) Az összes olya egész számok halmazát, amelyekek az -el való osztási maraéka az r szám,jelölje r. Az így kapott halmaz eve: az r maraékosztály moulo. Pélául: a 2 maraékosztály moulo 5 halmaz a következő: 2 ={ -12, -7, -2, 2, 7, 12, } (3) Aott pozitív egész szám eseté jelölje Z az összes maraékosztály moulo halmazt, vagyis Z ={, 1, 2,, 1}. Pélául: Z 5 ={, 1, 2, 3, 4 } eseté 3 ={ -13, -8, 8, 13, 18, } Értelmezhetők a +, : Z Z Z műveletek: a) Bármely x, y Z eseté x + y = x + y móo értelmezett (vagyis a ereméy az x+y összegek az számmal való osztási maraékáak az osztálya). Pélául: 6, 4 Z 8 eseté = 1 = 2 hisze 1=1 8+2 b) Bármely x, y Z eseté x y = x y móo értelmezett (vagyis a ereméy az x y szorzatak az számmal való osztási maraékáak az osztálya). Az x y szorzatot gyakra x y móo jelölik, a továbbiakba ezt a jelölést haszáljuk. Pélául: 6, 4 Z 8 eseté 6 4 = 24 = hisze 24=3 8+ A gyakorlatba kokrét Z eseté szokás úgyevezett összeaási és szorzási művelettáblázatot készítei, ellebe az iőigéyessége miatt, jártasság szitjé ezt már mellőzzük, és ikább a fogalmak és műveletek értelmezését haszáljuk. A továbbiakba aott pozitív egész szám eseté, a ( Z, +, ) kétműveletes struktúráak éháy fotosabb tulajoságát említjük meg, ezek bizoyítása megtalálható a legtöbb XII. osztályos taköybe és felaatgyűjteméybe (v.ö. [1], [3], [4], [5]). (1) Általába a ( Z, +, ) struktúra egységelemes kommutatív gyűrű, amit moulo maraékosztályok gyűrűjéek evezük (2) A ( Z, +, ) struktúra akkor és csakis akkor zérusosztó metes gyűrű, ha = prímszám (Emlékeztetük: x, y Z zérusosztók a Z -be, ha x, y e x y =. A feti pélákba pl. 6, 4 Z 8 zérusosztók, hisze 6 4 = ) (3) A ( Z, +, ) struktúra akkor és csakis akkor kommutatív test, ha = prímszám (4) Ha a Z, akkor a következő két állítás egyeértékű: a) Az a elem ivertálható (a szorzásra ézve) a Z -be b) (a,)=1 vagyis az a és számok relatív prímek

3 Következméy: Ha p pozitív prímszám, akkor a ( Z, +, ) kommutatív test mie eleme ivertálható, tehát em létezek zérusosztók. A továbbiakba rátérük az m x + q = p egyeletek a Z halmazo törtéő megolására. Mivel a Z -be mie q számak va elletettje (a továbbiakba a elletettjét jelölje - a ), ezért az egyelet mikét olalához hozzáava a q szám elletettjét, a - q számot, az m x = p q egyeletet kapjuk, ami a x = b alakú, és a továbbiakba csak az ilye típusú egyelet megolásával foglalkozuk. Az előbbiekbe bemutatott (4)-es tulajoság yomós érv arra, hogy az a x = b egyelet megolása eseté megkülöböztessük az (a,)=1 és (a,) 1. vegyük tehát sorra. I.eset: (a,)=1 Ekkor az a Z szám ivertálható (még úgy is moják, hogy szimmetrizálható a szorzásra ézve) vagyis va iverze a p Z -be, a továbbiakba jelöljük ezt a -el. Az a x = b egyelet mikét olalát megszorozva az a számak az a iverzével, a szorzási művelet értelmezése ' alapjá kapjuk, hogy x = b a. Ez az egyeletek az egyetle megolása. (vagyis ebbe az esetbe úgy mova kifejezhettük az x változót). Pélául: Oljuk meg a Z5 halmazo a 2 x = 3 egyeletet. Mivel (2,5)=1 ezért 2 ivertálható a Z5 halmazo és 2 = 3, ugyais 2 3 = 6 = 1. Így az egyelet mikét olalát beszorozva a 3 számmal, x = 3 3 = 9 = 4 egyetle megolást kapjuk. Mielőtt rátérük a másoik eset elemzésére vegyük észre, hogy az a x=b egyeletek az R-e potosa 1 megolása (zérushelye) va, és az a x = b egyeletek is potosa 1 megolása va, mie olya pozitív egész számra, amelyre (a,)=1. Mit láti fogjuk, a következő esetbe ez már em érvéyes, és ekkor merül fel a megolhatóság feltétele valamit a megolások számáak a meghatározása. II. eset : ( a, ) = 1 1) Ha feltételezzük, hogy em osztja a b szaba tagot és mégis léteze x= X Z amelyre a x = b, akkor a X=b+k lee (k N * ) tehát a X-k =b és mivel a, és ezért (a X-k )=b vagyis b ami elletmoás lee. Tehát ( a, ) = 1 és em osztja b esetbe, az a x = b egyeletek ics megolása a Z halmazo. Pélául: Oljuk meg a Z6 halmazo a 2 x = 3 egyeletet. Látható, hogy a=2, b=3, =6 és (a,)=2 ami em osztja a b=3 számot, vagyis az egyeletek ics megolása a Z6 halmazo. Gyakorlatba ezt még röviebbe is megmutathatjuk: a 2 x = 3 egyelet mikét olalát beszorozzuk 3 -mal és kapjuk, hogy = 3 ami elletmoás,

4 vagyis ics megolás. Ezt em csak ebbe a sajátos esetbe tehetjük meg, haem mie ( a, ) = 1 esetbe beszorzuk k= -vel, és elletmoásra jutuk. 2) Vizsgáljuk most azt az esetet amikor igaz, hogy b. Az ( a, ) = 1és b feltételek alapjá a= a 1, = 1 és b= b 1, ahol (a 1, 1 )=1 (*) Az (a,)= alapjá u,v Z úgy, hogy u a+v = ahoa u a b 1 +v b 1 = b 1 =b így a ( ub1 ) + ( vb1 ) = b a ( ub1 ) b Z -be = ami éppe azt jeleti, hogy x = ub 1 egy megolása az a x = b egyeletek. A továbbiakba megézzük, hogya kapható meg az egyelet összes megolása! Legye x= X Z megolása az a x = b egyeletek. Ezért ax = b ahoa, a X=b+k lee (k N * ), és a (*) feltételek mellett a1x b1 = k1 vagyis a1 X b1 = k1 (i) De mivel (a 1, 1 )=1, ezért u,v Z úgy, hogy a 1 u+ 1 v=1 (ii) Az (i) és (ii) alapjá kapjuk, hogy a1( X ub1 ) = 1 ( vb + k) és mivel (a 1, 1 )=1 ezért a 1 ( X ub1 ) b vagyis X ub1 = m1 (m Z) ahoa X = ub1 + m1 vagyis x = x + m 1 (***) Észrevehető, hogy ha m= akkor m1 = =, vagyis a (***) összefüggés külöböző m megolást származtat. És mivel = 1 továbbá =(a,), ezért 1 = így m1 = m =. m Tehát x = x + ahol x = ub 1 egy partikuláris megolás és m {, 1, 2,, 1}. Gyakorlatba, em túl agy eseté a megolások megkeresésére alkalmas az úgyevezett értéktábla mószere is, ellebe - mit láti fogjuk a kapott ereméy alapjá is köyűszerrel megkaphatók az x értékek, és azok potos számát is előre lehet tui. Pélául: Oljuk meg a Z12 halmazo a 3 x = 6egyeletet. 1. Megolás: elkészítjük a következő értéktáblázatot x x A táblázatból kiolvasható, hogy az egyelet megolásai x { 2, 6, 1 } 2. Megolás: alkalmazzuk az előbbiekbe megállapított ereméyeket. Esetükbe a=3, b=6, =12, =(a,)=3 és 3 6=b. Mivel =3 ezért az egyeletükek 3 m megolása lesz. A megolások: x = x + ahol x a 3 x = 6 egyeletek egy partikuláris megolása esetükbe azoba köye látható, hogy x =2 egy megolás, és mivel m 12m = = 4m, ezért a megolások x= m m + = + ahol m {,1,2}, így x { 2, 6, 1 }. Megjegyzés:Ha a 3 x = 6 egyelet mikét olalát megszorozzuk 4 -el, akkor a = azoossághoz jutuk, és így hajlamosak leék azt hii, hogy mie x Z 12 megolás lee, ellebe a bizoyítottak alapjá mivel (a, )= (3, 12)= 3 és 3 6 ezért az egyeletek

5 potosa 3 megolása va. A helyzete azért em kell csoálkozuk, mert a 4 -el való beszorzással mivel (12, 4) 1 iege gyököket hoztuk be! A továbbiakba foglaljuk össze az a x = b egyelet megolására voatkozó ereméyeiek: 1. Tétel: Az a x = b egyeletek a Z halmazo való megolásairól ezt mohatjuk: ' 1) Ha (a,)=1 egyetle megolás va, ez x = b a, ahol a az a iverze (a szorzásra ézve) 2) Ha ( a, ) = 1és b hamis az egyeletek ics megolása 3) Ha ( a, ) = 1és b igaz az egyeletek számú külöböző megolása va: m x = x + ahol =(a,) és m {, 1, 2,, 1}, x peig az egyeletek egy sajátos megolása. Következméy: Legye pozitív természetes szám és k= (, e) 1 Ekkor az e z = egyeletek a Z halmazo k számú megolása va, és ezeket így kapjuk m meg: z = ahol k= (e,) és m {, 1, 2,, k 1} k Természetese ez a következméy az 1.Tétel-ek egy sajátos esete, ellebe a következő részbe agyo sokszor fogjuk haszáli, így erre foguk hivatkozi. Megjegyzések: 1) Az a x+b y=c (a, b, c Z) iofatikus egyelet egész megolásait keresve, az előző 1.Tétel fotos megállapításokhoz vezet. Ha az egyeletbe mikét olalo rátérük a moulo c maraékosztályra, akkor az a x = b egyelet megolásához jutuk, amiről éppe az 1.Tételbe olvashatuk. 2) Az =p=prím sajátos esetbe, az a x = 1 egyeletek a Z p -be mie a egész szám eseté az 1.Tétel értelmébe potosa 1 megolása va, vagyis mie x ivertálható, ami azt jeleti, hogy ( Z, +, ) test struktúra. p 3) Köye észrevehető, hogy ha x= X az a x = b egyelet megolása a Z halmazo, akkor ax = b vagyis ax=b+k (k N) ax-b= k ami kogrueciával felírva az ax b(mo ) kogruecia-egyeletet jeleti. Tehát az egész témakört a kogrueciákkal is bemutathattuk vola, ellebe ekkor értelmezéseket, tulajoságokat, ereméyeket mi át kellett vola íruk a kogruecia yelvezetére, így ikább az oszthatóság yelvezetéél maratuk. Az eigiekbe bizoyítottak alapjá, a következő részbe az a x + b y = c egyeletek a Z halmazo való megolását vizsgáljuk, ami rákövetkező részbe, az egyeletreszerek megolásáál is szükséges lesz. Az 1.Tétel elmélyítése céljából taulságosak látjuk a következő felaatot: Oljuk meg Z8 -ba és tárgyaljuk az a x = b egyeletet és a megolásaiak a számát! (v.ö. [3]) Az 1.Tétel alapjá járuk el, és a következő eseteket kell megkülöböztetük: 1) Ha a=, akkor csak a b= esetbe va megolás, és ez x Z 8. 2) Ha a, akkor több esetet külöböztetük meg: a)ha a {1,3,5,7} akkor (a, )= (a, 8)=1, ezért az egyeletek miegyik

6 ' esetbe potosa 1-1 megolása va, és ez képletese: x = b a, ahol a az a számak a szorzásra voatkozó szimmetrikusa (iverze). b) Ha a {2, 6} akkor (a, )= (a, 8)= 2 1 alapjá, ameyibe b em osztható 2-vel, vagyis b {1,3,5,7}, úgy az egyeletek ics megolása, ellebe ha b {,2,4,6} akkor az egyeletek miegyikesetbe potosa 2-2 megolása va, és ez képletese: 8m = + = + 4 ahol x x x m x az egyelet egy sajátos megolása, és m {, 1 }. 2 c) Ha a=4, akkor (a, )= (4, 8)= 4 1 alapjá, ameyibe b em osztható 4-el, vagyis b {1,2,3,5,6,7}, úgy az egyeletek ics megolása, ellebe ha b {,4} akkor az egyeletek miegyikesetbe potosa 4-4 megolása va, és ez képletese: 8m = + = + 2 ahol x x x m 4 x az egyelet egy sajátos megolása, és m {, 1, 2, 3 }. Szakiroalom: [1] C. Nita, T. Spircu: Probleme e structuri algebrice, Eitura Techica, Bucuresti 1974., olalak. [2] Floreti Smaraache: Iteger algorithms to solve liear eguatios as systems, E. Scietifique, Casablaca, (Ugyaez megjelet a Gamma XXIX-XXX, X. évfolyam, 1987 Októbet 1-2 számába is). [3] Arás Szilár és szerzőtársai: Megolások a XII. osztályos taköyv felaataihoz, Státus Kiaó, Csíkszerea, 25, 188. ; olalak. [4] Farkas Miklós: Algebra, taköyv a XII. osztályok számára M1, Erélyi Taköyvtaács. [5] Io D. Io és szerzőtársai: Matematika: Taköyv a XII. osztály számára M1, Ábel Kiaó (a Sigma kiaóál megjelet taköyv forítása).