Vektorok által generált altér, lineáris összefüggőség, függetlenség, generátorrendszer, bázis, dimenzió

Átírás

1 Vektorok által geerált altér lieáris összefüggőség függetleség geerátorredszer ázis dimezió Ee a része általáosítjuk a téreli ektorokra már megismert haszos fogalmakat. A legfotosa hogy ármely ektortére le tudjuk iri meg tudjuk adi a ektorokat alamilye módo. Ez a mód a koordiátázás lesz. Láti fogjuk azoa hogy em mide ektorredszer (koordiátaredszer) alkalmas erre ugyais aak olyaok amelyekre oatkozóa em lee egyértelmű a koordiátázás ezek yilá haszaeheteteleek. Tehát először meg kell fogalmazuk milye tulajdoságúak kell leie azokak a ektorokak amelyekkel a töit le szereték íri. Emiatt a szükség a íme említett fogalmakra. Az itt említett prolémákat először példáko illusztráljuk. Béresé Noák Áges

2 Defiíió: A ahol L k K k ektorok lieáris komiáiója k K k T. Azt modjuk hogy a ektor a amelyekkel L k k K T K k lieáris komiáiója ha k (T az a test amely fölötti ektortérről a szó.) Béresé Noák Áges

3 Béresé Noák Áges Példa: e e e. e e e A ektor tehát az e e e ektorok lieáris komiáiója. Ez az előállítás itt egyértelmű ez azoa más alapektorok esetée ise midig így. Ezt a redszert szokás i j k redszerek agy kaoikus ázisak is eezi. Az e fejezete elmodottakat dimezióa már ettük ismétlésképpe ézzük meg a téreli felotási tételt.

4 Tétel (Vektorok felotása tére-olt): Ha adott a tére három em egysíkú párokét em párhuzamos ektor a akkor ármely d téreli ektorhoz a olya αβγ R amelyekre igaz hogy dαaβγ. Ez a felotás egyértelmű. Biz.: d talppotjá T- át az S síkkal S síkot rajzoluk. em párhuzamos a-al és -el tehát a d égpotjáa -el húzott egyees D- e döfi S -t. S T D d'. D-ől T-e mutató ektor legye d. d a S a d' dd (αaβ) γ hisze d egy síka a a-al és -el így az előző tétel miatt felírható azok lieáris komiáiójakét. Béresé Noák Áges

5 Béresé Noák Áges Példa: Már láttuk hogy pl. a x -es mátrixok a szokásos mátrix összeadásra és alós számmal aló szorzásra éze ektorteret alkotak a aló számok teste felett. Igy e tére a ektorok a x -es mátrixok. Tekitsük itt az alái ektorokat : 8 Írjuk fel a ektort a ektorok lieáris komiáiójakét! Megoldás: ) ( 8.

6 Béresé Noák Áges Példa: Lieáris egyeletredszer értelmezhető (oszlop)ektorok lieáris komiáiójakét: x x x Ax. A megoldás: x ami azt jeleti hogy A oszlop A oszlop A oszlop A ) ( ) ( ) ( Az egyeletredszert em mátrix-szorzáskét értelmeztük haem a mátrix oszlopektoraiak lieáris komiáiójakét. Tehát a ektor az együtthatómátrix oszlopektoraiak lieáris komiáiója. Ez egye azt is mutatja ha a megoldás akkor a ektor előáll az oszlopektorok lieáris komiáiójakét ha ise megoldás em létezik ilye lieáris komiáió sem.

7 Béresé Noák Áges Példa: Irjuk fel a ektort a köetkező ektorok lieáris komiáiójakét! 4. Megoldás: az alái lieáris egyeletredszert kell megoldai: A. R t t t t. ( ) ( ) R t t t t A ektor égtele sokféleképpe állítható elő a megadott ektorok lieáris komiáiójakét.

8 Béresé Noák Áges Példa: Állítsuk elő a 6 4 ektort a köetkező ektorok lieáris komiáiójakét: 5 4. Megoldás: A Eek a lieáris egyeletredszerek ise megoldása em állítható elő a ektorok lieáris komiáiójakét.

9 Defiíió: A K k ektorok által geerált altér eze ektorok összes lieáris komiáiója: K k { L kk K k R} E defiíió helyes ugyais alamely ektorok halmaza akkor és sak akkor altér ha ármely halmazeli ektor számszorosa is halmazeli és ármely két halmazeli ektor összege is halmazeli. Ez a defiíióól köye adódik (hf.) Béresé Noák Áges

10 Béresé Noák Áges Példa: Vizsgáljuk meg a köetkező ektorok (kaoikus ázis) által geerált alteret! e e e. Megoldás: R R e e e e e e Az eredméy em meglepő hisze a téreli felotási tételől is adódik.

11 Béresé Noák Áges Példa:. Igaz-e hogy R? Megoldás: Ha ige akkor mide R a létezek olya alós számok hogy a.

12 Béresé Noák Áges agyis: a. A megoldás (egyértelmű a paraméterekkel midegyik együttható kifejezhető): 4 a a a. 4 a a a. Tehát mide R -eli ektor felírható a ektorok lieáris komiáiójakét tehát az egész tér előáll. (a lieáris komiáió itt is egyértelmű összhaga a téreli felotási tétellel)

13 Geerátorredszer: ektorok olya redszere amelyek lieáris komiáiójakét a ektortér mide eleme előáll. Példa: R-a mide párokét em párhuzamos em egysíkú ektor geerátorredszert alkot. Ezt illusztrálják a feti példák is. Feladat: Adja meg a x -es mátrixok egy geerátorredszerét! Béresé Noák Áges

14 Példa: g g g Igazoljuk hogy a ektorok az R egy geerátorredszerét alkotják! Megoldás: Azt kell izoyítai hogy ármely lieáris komiáiójakét. a ektor felírható a g g g ektorok a α α α a ( a ) a a agyis a ( a ) ( a ) tehát α ( a ) α α ( a ) α tetszőleges. Béresé Noák Áges

15 Legye α ekkor például az α α α g g g Legye α α α g g g ektor a köetkezőképpe írható fel: sokféleképpe írható fel ármely R - g g g eli ektor a lieáris komiáiójakét. Béresé Noák Áges

16 Béresé Noák Áges Példa: Igazoljuk hogy az ektorok R egy geerátorredszerét alkotják! Megoldás: a α α előzőhöz hasolóa: Példa: i j redszerre mit modhatuk? És i j k ra? ( ) ( ) a a α α a α α α α Ez esete a felírás egyértelmű! (Függetleek a ektorok.)

17 Koklúzió: izoyos geerátorredszer elemeiek lieáris komiáiója egyértelműe állítja elő a tér ektorait izoyosak pedig em. Eek kritériuma az ú. lieáris függetleség. A lieáris függetleség lieáris összefüggőség fogalmak a ektorok egymással aló kapsolatát fejezik ki. A függetleség azt iztosítja hogy a függetle ektorok közül egyik sem fejezhető ki a töi lieáris komiáiójáal míg az összefüggő ektorok közül legalá egyik kifejezhető a töi lieáris komiáiójáal. Defiíió: (Lieáris összefüggés (LÖF): K ektorok lieárisa összefüggők ha a i i i lieáris komiáióa i i. (agyis K i i K úgy hogy egyik tag az i-dik em ulla. ) Béresé Noák Áges

18 Példa: LÖF síka:. eset. a / tegyük fel hogy / a a Síka két ektor akkor és sak akkor összefüggő ha párhuzamosak. (Ekkor egymás lieáris komiáiójakét előállíthatók) Béresé Noák Áges

19 . eset Most legye a em párhuzamos -el és a lieárisa összefüggő: a a a Csak úgy lehet lieárisa összefüggő ha ui ha például lee a -a miatt a és lieárisa összefüggő lee agyis párhuzamos. kifejezhető a -al és -el! Síka tehát ha ektor összefüggő akkor legalá az egyik kifejezhető a töi lieáris komiáiójakét. Tétel (síkeli felotási tétel más megfogalmazása): Síka ármely három ektor lieárisa összefüggő. Béresé Noák Áges

20 Példa: LÖF TÉRBEN a.) a a i.) a TFF. Hogy a em párhuzamos akkor * a * Ekkor a ektorok egysíkúak és egyik kifejezhető a másikkal. Tfh. agy ugyaaz modható el..) lee akkor ármely d ektorra: a 4d a téreli felotási tételt kaptuk Béresé Noák Áges

21 Defiíió:: Lieáris függetleség (FGTLEN)... lieárisa függetle ha i i sak úgy lehetségesha i i Tétel: Ha LÖF tetszőleges ektort hozzáée toára is LÖF marad. Biz.: i i LÖF olt i úgy hogy i i i Ezt esszük hozzá i LÖFdef.-ek eleget tesz i i miatt ha α -t álasztjuk hisze i -al LÖF teljesül Béresé Noák Áges

22 Kérdés: Háy ektort szaad hozzáei hogy még LÖF maradjo? Tétel: Ha... FGTLEN tetszőleges ektort elhagya FGTLEN marad. Biz.: Előzőre isszaezetjük tfh. a FGTLEN redszeről már elhagytuk egy ektort és az így kapott redszer LÖF. Az előző tétel szerit ha ehhez a LÖF redszerhez hozzáeszük egy ektort a redszer LÖF marad. Tehát akkor az eredeti is LÖF lee ami elletmodás. Béresé Noák Áges

23 Tétel:... A.CS.A LÖF ha i hogy i a.) Ha LÖF akkor i k k i k k i i i hogy i - i i i i k k i.) Ha α K K Ugyais: i k k i k k i K αi i αi i k k (legalá egy ektor a töiel kifejezhető) k k i k / i k LÖF. α K α α K α ( ) α K α i i i i i α i Béresé Noák Áges

24 Tétel: K függetleek és -et hozzáée lieárisa összefüggők leszek akkor kifejezhető: αi i i. K Függetle olt Ezt ettük hozzá. i mert most lieárisa összefüggő. Ha i lee akkor (agyis i i i i i i és i i ami azt jeleteé hogy K lieárisa összefüggő lee elletmodás! ) akkor Béresé Noák Áges

25 Tehát. k k α k k k k Tétel: A α i i i függetle redszer. előállítás akkor és sak akkor egyértelmű ha K lieárisa Bizoyítás: ( isszafelé ) Tegyük fel hogy Idirekt módo: ( β ) i egyértelmű. K függetle redszer. Ekkor egyértelmű előállítása. α β i i i i α i i i miel i i i függetle ( β ) α i i i -re: α β α β i i i i Béresé Noák Áges

26 i Bizoyítás: ( oda ) Ha a felírás egyértelmű akkor Idirekt módo: Tegyük fel hogy i α k k i De akkor: k k αk k -a k k k i K függetle. i α ami elletmod egyértelmű felírásáak. K lieárisa összefüggő előzőek szerit: k k -t íra egy másik külööző felírását kapák Béresé Noák Áges

27 Példa: Három dimezióa tegyük fel hogy egyik ektor a másik kettő lieáris komiáiója: β β Ekkor: α ( α α α β) ( α β ) Két külööző lieáris komiáió létezik Béresé Noák Áges

28 Ism.: Defiíió: Lieáris függetleség... lieárisa függetle ha i i sak úgy lehetségesha Függetleség síka: a és i i i agyis ha Pl.: akkor a lieáris komiáió sosem lehet NULLA! (paralelogramma szaály az átló sosem ulla hosszúságú ha az oldalak em azok!) a Függetleség tére: a a a em egysíkúak a a parallelepipedo em elfajuló Béresé Noák Áges

29 Béresé Noák Áges Példa: összefüggő-e a alái ektorredszer:? Megoldás: Mikét állítható elő a? Csak triiális megoldás létezik ezért függetleek.

30 Defiíió: A lieárisa függetle ektorokól álló geerátorredszert ázisak eezzük. A ázisak tehát két fotos tulajdosága a: - a ázisektorok lieárisa függetleek - mide ektor előáll a ázisektorok lieáris komiáiójakét Béresé Noák Áges

31 Béresé Noák Áges Példa: Bizoyítsuk e hogy az ektorok az R egy ázisát alkotják. Megoldás: Első tul.: függetleség Csak triiális megoldása a tehát függetle redszer. ( A paralelepipedo térfogata sak akkor ha a ektorokat -szor esszük.) Második tul.: Mide ektor előállítható a ázisektorok lieáris komiáiójakét (hf).

32 Megjegyzés: A megoldásól kitűik hogyha det(a) ahol A a ektorokat mit oszlopokat tartalmazza akkor a triiálistól külööző megoldás agyis akkor összefüggő a ektorredszer. Az előzőekől láttuk hogy egy ektorredszer akkor és sak akkor FGTLEN ha ármely más ektor EGYÉRTELMŰEN írható fel az elemek lieáris komiáiójakét. Ezért a ektortér ektorait a ázisok segítségéel reprezetálhatjuk (máskülöe az előállítás em lee egyértelmű) Defiíió: Ha a i ektorok ázist alkotak akkor a α k k lieáris komiáióa a k α k alós számokat a ektor i ázisra oatkoztatott koordiátáiak eezzük. Ameyie megállapoduk a ektorok felírási sorredjée akkor a ektor egy redezett szám -esel reprezetálható. Béresé Noák Áges

33 Tétel: Bármely ektortére a ázisok elemszáma egyelő. Bizoyítás: A kiserélési tétel szerit ármely függetle ektorredszer elemei kiserélhetők egy adott geerátorredszer elemeiel úgy hogy függetle redszert kapuk. A ázis függetle ektorokól álló geerátorredszer. Miel a ázis geerátorredszer is: FGETLEN legye Bázis elemszáma a GEN.rsz. legye Bázis elemszáma Ekkor FGETLEN legye Bázis elemszáma GEN. rsz. Legye Bázis elemszáma Ekkor. Ez sak úgy lehetséges ha. Béresé Noák Áges

34 KICSERÉLÉSI TÉTEL: Az f f függetle ektorokól álló redszer ármely f i ektorához a g g j geerátorredszeről található olya g k ektor amellyel f i t kiseréle a f f i- g k f i f redszer is függetle Bizoyítás: f f FGETLEN akkor f i -hez a olya g k amire kiseréle f i -t FGETLEN marad: Ugyais ha pl. f -hez em lee egyik g i sem jó akkor mide egyes g i -re: g f f LÖF g : f f -el kifejezhető: g f f LÖF g : f f -el kifejezhető: g j f f LÖF g e : f f -el kifejezhető: g f α k k k g f α k k k g j α f k jk k Béresé Noák Áges

35 agyis a g i -k helyée f f -k lieáris komiáióját írhatjuk. Miel g i -kel ektor kifejezhető így f is: f β g β j g j de a g i -k ki aak fejeze f k -kal ezért f is ki a fejeze a töi f k -al tehát az f k ektorok összefüggők leéek. Ez elletmodás. Köetkezméy: f f i- g k f i f g g j j agyis a geerátorredszer elemszám midig agyo agy egyelő mit a függetle ektorokól álló redszer elemeiek száma. Miel a ázis geerátorredszer is: FGETLEN legye Bázis elemszáma a GEN.rsz. legye Bázis elemszáma Ekkor FGETLEN legye Bázis elemszáma GEN. rsz. Legye Bázis elemszáma Ekkor. Ez sak úgy lehetséges ha. Béresé Noák Áges

36 Köetkezméyek: - N dimeziós tére ármely d FGETLEN ektor ázis. - N dimeziós tére ármely d ektor LÖF. Defiíió: A ektortér dimeziójá ázisáak elemszámát értjük. (A defiíió helyes hisze mide ázisak ugyaayi eleme a az előző tétel szerit.) Feladatok: A fete szereplő példáka tö ektorredszer található. Válasszuk ki közülük a geerátorredszereket ázisokat adjuk meg a geerált tér dimezióját. Típusfeladatok: - adott ektorok geerátorredszert alkotak-e? - adott ektorok ázist alkotak-e? - adott ektorok függetleek-e? - adott ektorokkal másik adott ektor kifejezhető-e? - adott ektorak mik a koordiátái egy ázisra oatkozóa? - adott ektort töféleképpe kifejezi löf geerátorredszer elemeiel Béresé Noák Áges

37 Összefoglalás E fejezete láttuk hogy mide ektortér felfogható izoyos ektorok geerátumakét. E ektorok összessége a geerátorredszer. Ez azt jeleti hogy a tér mide ektora előállítható a geerátorredszer elemeiek lieáris komiáiójáal. Ha a geerátorredszer ektorai lieárisa függetleek akkor mide más ektor egyértelműe áll elő ezek lieáris komiáiójakét. Ezért az ilye függetle ektorokól álló geerátorredszereket megkülööztetésül ázisak eezzük. A ázisektorok lieáris komiáiójakét előállított ektorok koordiátái a lieáris komiáióa szereplő skalárok. A koordiáta tehát midig alamely előre rögzített ázisra oatkozik. A ázisok elemszáma egyelő ez a szám a ektortér dimeziója. Béresé Noák Áges