Nem puskás tételek 1/28. Permutáció, mint bijektív függvény: f: H H. S X : X-ben az összes permutáció S n : {1,2,, n} összes permutációjának halmaza
|
|
- Gizella Szőke
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Permutáció, mit bijektív függvéy: f: H H Jelölések: S X, S. 1 S X : X-be az összes permutáció S : {1,,, } összes permutációjáak halmaza Ciklusfelbotás, egyértelműség. T: Mide permutáció S -be előáll diszjukt ciklusok szorzatakét. Ez egyértelmű a ciklusok sorredjétől és a cikluso belüli ciklikus sorredtől eltekitve. B: Az ijektivitás miatt midig ugyaazokat a ciklusokat kapom. Iverzió. D: elem iverzióba va, ha sorredjük megváltozott az eredetihez képest. Permutáció paritása. D: Egy permutáció páros, ha az iverziók száma páros. Egy permutáció páratla, ha az iverziók száma páratla. P: (1,,4) = páros: 4 db iverzió (i, i + 1) páratla: iverziók száma 1. (i, j) páratla, mert i és j ugyaazokkal lesz iverzióba, plusz egymással T: Ha Π előáll db csere szorzatakét, akkor Π paritása B: Ha egy permutációt megszorzok egy cserével, akkor a paritása megváltozik. Π = (_, _), (_, _), (_, _) ptla, ps, ptla P: hosszú ciklus előáll 1 db csere szorzatakét 1 paritása = ciklus paritása Tehát páros hosszú ciklus páratla permutáció ps ptla ps ps ptla ptla ptla ps Kettes ciklus: csere vagy traszpozíció. T: Mide permutáció előáll kettes ciklusok = cserék = traszpozíciók szorzatakét. B: Elejétől kezdve töltöm fel a helyes elemekkel. Traszpozíció paritása. Mide csere előjele 1 mide traszpozíció paritása páratla. Permutáció paritása értelmes, leolvasható a ciklusszerkezetből. T: Mide permutáció előáll kettes ciklusok = cserék = traszpozíciók szorzatakét. Permutáció redje, red leolvasása a ciklusszerkezetből. D: Egy Π permutációak a redje o(π) a legkisebb olya szám, aháyadikra emelve idetitást kapuk. o(π) = Π-ek külöböző hatváya va Π k = Π l k l () Π t = id t P: o(a 1, a,, a ) = o(π) = diszjukt ciklusok hosszáak legkisebb közös többszöröse [összes prím a legmagasabb hatváyo] A cserék geerálják S -et. S = (1, i) mert: (i, j) = (1, i)(1, j)(1, i) S = (i, i + 1) mert: (1, i) = (i, i 1)(i 1, i ) (,1)(,3)(3,4) (i 1, i) 1/8
2 Determiás. det A = A = ( 1) sg Π a 1Π1 a Π a Π Π S Boyolult defiíció. T: Ha mátrix csak az első sorba külöbözik, akkor a determiások összege megegyezik aak a mátrixak a determiásával, ahol az első sor az összeg, a többi marad. B: ( a ) + (b + b ) = (a ) ( 1) sigπ a 1Π1 c Π c Π + ( 1) sigπ b 1Π1 c Π c Π = = ( 1) sigπ (a 1Π1 + b 1Π1 ) c Π c Π Sorműveletek hatása a determiásra. 1 T: Ha egy mátrixak va egy csupa sora, akkor det A =. B: téyezőbe sorból szerepel elem T: Ha sort megcserélek, ( 1)-szeresére változik a determiás. B: ( 1) sig(i,j) Π a 1Π1 a Π a iπi a jπj a Π ugyaazok a téyezők, más előjellel 3 T: Ha egy mátrixak va két azoos sora, akkor det A =. B1: ( 1) sigπ a 1Π1 a Π a iπi a jπj a Π σ = (i, j) Π sig σ = 1 sig Π ( 1) sigσ a 1Π1 a Π a iπj a jπi a Π Ellekező előjelűek kiesek B: Ha a két sort kicserélem, a determiás ( 1)-szeresére változik. A mátrix ugyaaz maradt det ugyaaz marad det A = det A = 4 T: Ha az i. sort λ-val szorzom, a determiás λ-szorosára változik. B: téyező λ-val szorzódik. 5 T: Ha egy sorhoz hozzáadom egy másik sor λ-szorosát, a determiás értéke em változik. i i B: ( ) = ( ) + ( ) = det A + j + λi j λi a 11 a 11 vmi P: a = a = a ii vmi a 33 a 33 Kifejtési tétel. T: det A = ( 1) i+j a ij A ij i,j=1 ahol A ij : ( 1) ( 1)-es mátrix, melyből az i. sort és a j. oszlopot elhagyom. Tridiagoális Fiboacci-determiás kiszámolása D = D 1 = 1 Kifejtési tétel első sor szerit: D = D = 1 D 1 1 ( 1) D /8
3 Vektortér defiíciója, példák pl.: halmazok Z fölött: az összeadás a szimmetrikus differecia, stb. Nem példák is. Legye adott V em üres halmaz, egy T test. V vektortér T felett, ha: Létezik egy + művelet, amelyre: u, v: u + v V (összeadásra zárt) 3 u + v = v + u (u + v) + z = u + (v + z) : v + = + v = v v v : v + v = v + v = (kommutatív) (asszociatív) (létezik ullelem) (létezik az elletett) Létezik egy művelet, amelyre: λ T, v V: λv V (szorzásra is zárt) (λ + μ)v = λv + μv λ(u + v) = λu + λv (λμ)v = λ(μv) 1v = v (disztributív) (disztributív) (asszociatív) (Létezik egységelem) P: sík vektorai, szokásos +,R, szokásos P: sík vektorai, szokásos +, Q, szokásos P: f: R R, potokéti összeadás: (f + g)(x) = f(x) + g(x) és (λ f)(x) = λ f(x) NemP: em folytoos függvéyek: em zárt az +-ra P: R, +, R, P: oszlopvektorok, koordiátákéti +, λ P: V = {H H S} ( db), szimmetrikus differecia: A + B = (A\B) (B\A) A ha λ = 1 T = Z, λ A = { ha λ = kommutatív, asszociatív, =, mide halmazak ömaga az elletettje Altér, altér elleőrzése D: W V: W V: W altér, ha vektortér ugyaazokra a műveletekre P: Sík Tér, folyt. fv fv. P: Origó átmeő egyees vektorai T: W V zárt a műveletekre,, v v-hez B: egyelőséget tartó axiómák automatikusa teljesülek, mert: = v = ( + ) v = v + v = + = v + v = v + v + v = v + = v v, mert: v = v = ( 1) v v + ( 1)v = (1 1)v = v = v egyértelmű, mert tfh: = v + v = v + v. Ekkor: v + v + v = v + v + v v + = v + v = v Akárháy altér metszete altér. T: Alterek metszete altér. B: Kell: W i zárt +, λ-ra Ha v, u W i v, u W i i-re v + u W i i-re v + u W i Ha v W i v W i i-re λ v W i i-re λ v W i 3/8
4 Geerált altér: S = S W W D: Legye S V. S : az S által geerált altér a legszűkebb olya altér, ami tartalmazza S-t. 3 A defiíció értelmes. S = S W W S S W W S altér, mert alterek metszete. A legszűkebb ilye, mert saját maga is részt vesz a metszetbe. Geerált altér leírása lieáris kombiációkkal. S = { λ i a i a i S} i=1 B: { i=1 λ i a i a i S} S, mert ha a i S λ i a i S λ i a i S S { i=1 λ i a i a i S}, mert elég: { i=1 λ i a i a i S} altér. +-ra zárt: λ i a i + μ i a i = (λ i + μ i ) a i μ-re zárt: μ λ i a i = (μ λ i ) a i Függetleség, összefüggőség véges és végtele vektorredszerekre. D: a 1, a,, a vektorok lieárisa függetleek, ha λ i a i = λ i =. ElleP: a = λb a + ( λ)b =. D: Végtele sok vektor lieáris függetleségé azt értjük, hogy közülük bármely véges sok lieárisa függetle. D: a 1, a,, a vektorok lieárisa összefüggők, ha em függetlelek. Függetle redszer része függetle. T: Függetle halmaz része függetle. S függetle és S S S függetle. B: Idirekt. Tfh. S függetle és S összefüggő. Ekkor a i S, hogy λ i a i =, ahol em λ i =. S-be még vaak vektorok: b i. λ i a i + b j =, ahol em λ i = S összefüggő. Összefüggőhöz hozzáveszük, összefüggő marad. T: Ha S összefüggő és S S S összefüggő S összefüggő va olya vektor, amely kifejezhető a többivel. S ftl, b em függ S-től, akkor S {b} is ftl. D: a i S V. b függ S-től, ha b = λ i a i v S T: a 1, a,, a vektorok lieárisa függetleek, ha egyik a i sem függ a többitől. B: Ha a 1 = λ i a i = a 1 + λ i a i összefüggőek Ha összefüggők = 1 λ i a i i: λ i λ i a i = λ 1 a λ i 1 a i 1 + λ i+1 a i λ a a i = λ 1 a λ λ i 1 a i λ i 1 + λ i+1 a i λ i λ a i λ a i kifejezhető összefüggőek i D: S geerátorredszer V-be, ha S = V. T: Ha g 1, g,, g k véges geerátorredszer V-be, és f 1, f,, f függetleek V-be, akkor k. B: A kicserélési tételt alkalmazva: cseréljük ki az összes f i -t!. Ekkor a függetleség miatt em lehet köztük egyelő. k. 4/8
5 Kicserélési tétel. T: Ha g 1, g,, g k véges geerátorredszer V-be, és f 1, f,, f függetleek V-be, akkor f i -hez g j, hogy f 1, f,, f i 1, g j, f i+1,, f függetle. 4 B: Idirekt. Tfh. i j-re f 1, f,, f i 1, g j, f i+1,, f összefüggő. = λ 1 f 1 + λ f + + λ i 1 f i 1 + μ g j + λ i+1 f i+1, + λ f, ahol μ vagy λ i. μ, mert: f i -k függetleek, és ha μ =, akkor λ i = i-re. g j = λ 1 f μ 1 + λ f μ + + λ i 1 f μ i 1 + λ i+1 f μ i+1, + λ f μ j-re g j f 1, f,, f i 1, f i+1,, f j re g j = V f 1, f,, f i 1, f i+1,, f f i f 1, f,, f i 1, f i+1,, f f i = λ 1 f 1 + λ f + + λ i 1 f i 1 + μ g j + λ i+1 f i+1, + λ f f i -k összefüggők Bázis, dimezió létezése. D: Bázis = függetle geerátorredszer D: dim V = bázis elemszáma T: v 1,, v bázis V-be V vektora egyértelműe előáll ezek lieáris kombiációjakét. B: : Tfh. v, ami kétféleképpe is előáll. λ i v i = μ i v i (λ i μ i ) v i = Mivel v i -k függetleek λ i μ i = λ i = μ i Mide maximális függetle redszer bázis, T: Ha S = {u 1, u } maximális függetle redszer, akkor bázis. B: Kell: geerátorredszer. Biz. idirekt. Tfh. S V v V\ S. u 1, u, v öf. = λ 1 u λ u + μ v, ahol μ vagy λ i. μ, mert: u i -k függetleek, és ha μ =, akkor λ i = i-re. v = λ 1 μ u 1 + λ μ u + + λ μ u v S Mide miimális geerátorredszer bázis, T: Ha S = {u 1, u } miimális geerátorredszer, akkor bázis. B: Kell: függetle. Biz. idirekt. Tfh. S = {u 1, u } öf. = λ 1 u λ u, ahol λ i. u i = λ 1 λ i u λ i 1 λ i Mide függetle redszer kiegészíthető bázissá, u i 1 + λ i+1 u λ i+1 + λ u i λ u i élkül is ge. redszer i T: Mide függetle redszer kiegészíthető bázissá. B: Tfh. u 1, u maximális függetle redszer. Ha em, akkor hozzávehetek még éháy vektort, és még midig függetle lesz. Stb (Legfeljebb a dimeziószámig.) Mide geerátorredszerből kiválasztható bázis, T: Ha u 1, u geerátorredszer, akkor el lehet hagyi éháy vektort úgy, hogy bázist kapjak. B: Tfh. u 1, u miimáilis geerátorredszer. Ha em, akkor elhagyhatok éháy vektort. Stb Mide bázis ugyaakkora. T: Két külöböző bázis elemszáma egyelő. Ha l 1, l k és h 1, h is bázis, akkor k =. B: Az előző állítás miatt k és k k =. 4 P: Sík: bármely em párhuzamos vektor P: T -be db vektor. P: R -be ( 1 ), ( 1 ) bázis. R -be ( 1 1 ), ( ) is bázis 1 5/8
6 Lieáris leképezés, D: φ: V 1 V függvéy, ahol: 5 φ(u + v) = φ(u) + φ(v) u, v V 1 -re λ φ(v) = φ(λ v) v V 1 -re D: Lieáris traszformáció: V 1 = V P: V 1 = V = R, φ = (u + v) = u + v és λ v = λ v P: R R, α szögű origó körüli elforgatás P: Legfeljebb -ed fokú poliomok P: Nyírás: ( a b ) ( a b + λ a ) +, λ tartó: ( μa μb ) ( μa μb + μ λ a ) = μ ( a b + λ a ) Magtér, képtér (ezek alterek), D: Ker φ = {v V 1 és φ(v) = } Im φ = {φ(v) v V 1 } P: deriválás Ker φ = {c} és Im φ = {T [x] } T: φ() = B: φ( ) = φ() φ() = T: Ker φ V 1 B: bee va T: Im φ V +-ra zárt: u, v Kerφ φ(u + v) = φ(u) + φ(v) = + = u + v Kerφ λ-ra zárt: φ(λ v) = λ φ(v) = λ = λ φ(v) Kerφ B: bee va +-ra zárt: u, v Imφ u 1, v 1 V 1 : φ(u 1 ) = u, φ(v 1 ) = v φ(u 1 + v 1 ) = φ(u 1 ) + φ(v 1 ) = u + v Imφ λ-ra zárt: u Imφ u 1 V 1 : φ(u 1 ) = u φ(λ u 1 ) = λ φ(u 1 ) = λ u Imφ Dimezió tétel, T: dim Kerφ + dim Imφ = dim V 1 B: dimv 1 = és dim Kerφ = s és b 1,, b s = Kerφ és b 1,, b = V 1. Kell: φ(b s+1 ),, φ(b ) bázisa Im φ-ek. Geerátorredszer: φ(u) Imφ. Ekkor u = λ i b i 1. φ(u) = φ ( λ i b i ) = λ i φ(b i ) = λ i φ(b i ) 1 Függetleek: 1 s+1 = λ i φ(b i ) = φ ( λ i b i ) u = λ i b i Kerφ u = λ i b i λ i = s+1 s+1 s+1 s 1 6/8
7 Előírhatósági tétel, T: Legye v 1,, v bázis V 1 -be és u 1,, u bázis V -be.! φ: V 1 V lieáris leképezés, amire φ(v i ) = u i. B: Egyértelműség: Tfh. φ és γ is ilye. Ekkor: u i = φ(v i ) = γ(v i ). v = λ i v i V 1. Ekkor φ(v) = φ( λ i v i ) = λ i φ(v i ) = λ i γ(v i ) = γ( λ i v i ) = γ(v) Létezés: +-tartó, mert: φ(u + v) = φ( λ i v i + μ i v i ) = φ( (λ i + μ i ) v i ) = ((λ i + μ i ) φ(v i )) φ(u) + φ(v) = λ i φ(v i ) + μ i φ(v i ) = ((λ i + μ i ) φ(v i )) λ-tartó, mert: φ(λ v) = φ(λ λ i v i ) = φ( λ λ i v i ) = λ λ i φ(v i ) λ φ(v) = λ λ i φ(v i ) = λ λ i φ(v i ) Összefüggő redszer képe összefüggő, függetle ősképe függetle. 7/8
8 Vektortér izomorfizmus, az iverz is lieáris leképezés, D: A φ Hom (V 1, V ) izomorfizmus, ha kölcsööse egyértelmű. V 1 V izomorf vektorterek, ha va közöttük izomorfizmus. 6 P: Iverz is lieáris leképezés B: +-tartó, mert:! u 1 : φ(u 1 ) = v 1 és u : φ(u ) = v φ(u 1 + u ) = φ(u 1 ) + φ(u ) φ(φ 1 (v 1 ) + φ 1 (v )) = v 1 + v /φ 1 φ 1 (v 1 ) + φ 1 (v ) = φ 1 (v 1 + v ) λ-tartó, mert: φ(u) = v φ(λ u) = λ φ(u) φ(λ φ 1 (v)) = λ v λ φ 1 (v) = φ 1 (λ v) P: dim V = V T Egyforma dimeziós vektorterek izomorfak. dim V 1 = dim V V 1 V B: bijekció Műveletek leképezésekkel: skalárral való szorzás, összeadás, kompozíció (szorzás ics). (λ φ)(v) = λ φ(v) (φ + γ)(v) = φ(v) + γ(v) φ γ csak akkor létezik, ha φ: V 1 V és γ: V V 3. Asszociatív: (φ γ)(v) = φ(γ(v)) Hom(V1, V) vektortér, dimeziója m. T: Hom(V 1, V ) vektortér. B: (φ + γ)(v) = φ(v) + γ(v) = γ(v) + φ(v) = (γ + φ)(v) ((φ + γ) + σ)(v) = (φ + γ)(v) + σ(v) = φ(v) + γ(v) + σ(v) = φ(v) + (γ + σ)(v) = (φ + (γ + σ))(v) = traszformáció elletett: φ ((λ + μ) φ)(v) = (λ φ + μ φ)(v) = (λ φ)(v) + (μ φ)(v) = λ φ(v) + μ φ(v) (λ (φ + γ))(v) = λ (φ(v) + γ(v)) = λ φ(v) + λ γ(v) = (λ φ + λ γ)(v) ((λ μ) φ)(v) = (λ μ) φ(v) = λ (μ φ(v)) = (λ (μ φ)) (v) 1 = id M: Dimeziója: m Hom(V) gyűrű is. T: Hom(V) gyűrű. B: Kell: (φ (γ 1 + γ ))(v) = ((φ γ 1 ) + (φ γ ))(v) φ((γ 1 + γ )(v)) = φ(γ 1 (v) + γ (v)) = φ γ 1 (v) + φ γ (v) = (φ γ 1 )(v) + (φ γ )(v) = ((φ γ 1 ) + (φ γ ))(v) Vektor koordiátája, 1 1 λ 1 λ M: Bázis: e 1 =, e =,, e =. v = λ i e i koordiáták. ( ) ( ) ( 1 ) ( λ ) 1 a 11 a 1 v 1 a 1 1 a v M: Ha φ =, φ =,, akkor φ ( ) ( a 1 ) ( ) ( a ) ( v ) a 11 a 1 = ( ) ( a 1 a v 1 v ) 8/8
9 Leképezés mátrixa. 6 Rögzített bázisál kölcsööse egyértelmű megfeleltetés a mátrixokkal. Példák: deriválás (több test fölött), tükrözés 3 bázisba, forgatás bázisba, stb. P: Deriválás P: Tükrözés az x tegelyre 3 bázisba: Bázis: ( 1 ), ( ) Mátrix: (1 1 1 ) Bázis: 45 -os vektorok. Mátrix: ( 1 1 ) Bázis: ( 1 1 ), 6 -os vektor Mátrix: (1 1 ) P: Forgatás 6 -kal bázisba: Bázis: ( 1 ), ( α si α ) Mátrix: (cos 1 si α cos α ) Bázis: ( 1 ), α szögű vektor. Mátrix: ( ) 9/8
10 Sajátérték, sajátvektor, diagoalizálhatóság, karakterisztikus poliom. D: Ha {v Av = λv}, akkor v sajátvektor, λ sajátérték. 7 M: Sajátértékkeresés: a 11 x = ( 1) k(x) a x k(x) karakterisztikus poliom, gyökei a sajátértékek. M: α 1, α, hogy α x + + α 1 x + α I-ak gyöke A. B: I, A, A,, A,, A lieárisa öf., mert dim T =, de + 1 db mátrix. α A + + α 1 A + α I = M: Sajátaltér: A λ-hoz tartozó sajátvektorok +. Poliom behelyettesítés mátrixba (vagy ikább fordítva). f(x) = g(x)h(x)-ből em következik f(a) = g(a)h(a), csak ha g és h együtthatói (lehetek mátrixok is) felcserélhetőek A-val. M: f(x) = g(x)h(x) f(a) = g(a)h(a) csak akkor, ha g és h együtthatói felcserélhetők A-val. Miimálpoliom, m f f(a) =. D: Miimálpoliom: m a (x): a legkisebb fokú, 1 főegyütthatós poliom, amelyek gyöke a mátrix. T: f(a) = m(x) f(x) B: f(x) = m(x) q(x) + r(x) f(a) = m(a) q(a) + r(a) = + r(a) r(a) = r(x) = A miimálpoliom osztja a karakterisztikus poliomot (em biz). T: Cayley-Hamilto-tétel: m A (x) k A (x) Mátrixok hasolósága, diagoalizálhatóság fogalma. D: Hasoló mátrixok: A~B x 1 Ax = B D: Lieáris traszformáció diagoalizálható, ha va szép bázis. A diagoalizálható, ha va olya bázis, amibe A-t felírva diagoális alakú. M: Va szép bázis, ha va sajátértékekből álló bázis. T: A diagoalizálható m A (x) gyöke egyszeres. T: A diagoalizálható dim(v λi ) = dim V T: Ha A sajátértéke külöböző, akkor A diagoalizálható. T: Ha A-ak külöböző sajátértéke, akkor A diagoalizálható. Ivertálhatóság: φ A 6 e 1 A 1 (det A ) dim Imφ = dim Kerφ = γ φ γ = γ γ φ = r(a) = Ax =! mo. B A B = B B A = em s.é. 1/8
11 Áttérés egyik bázisból a másikba. M: Áttérés egyik bázisból a másikba: C v f = v e C 1 v e = v f C 1 AC = B??? 7 Példa diagoalizálható és em diagoalizálható mátrixokra. P: A = ( 1 1 ) k A(x) = x 1 gyöke s.v. szép bázis em diagoalizálható P: A = ( 1 1 ) k A(x) = x x 3 x 1 = 1, 3 gyöke egyszeres diagoalizálható 11/8
12 Traszformáció ragja, 8 Mátrix ragja, sor-, oszlop- és determiás rag megegyezik (magyarázat, de teljes biz. később). D: Rag = dim a 1, a,, a, azaz a maximális függetle oszlopok száma D: Sorrag = a maximális függetle sorok száma T: Sorműveletek em változtatják meg a sorragot. B: Nem változik a geerált altér, mert a vektorok egymással kifejezhetők. P: λ s i = s i s i = 1 λ s i s i + λ s j = s i s i = s i λ s j D: Determiásrag = maximális r, ahol r r-es em aldet, és (r + 1) (r + 1)-es aldet =. T: detrag = sorrag = oszloprag B: Sorműveletek em változtatják a sorragot mo. k = KerA KerA em változik. dim KerA em változik dim ImA em változik. dim ImA = oszloprag oszloprag sem változik. Átalakítás: vmi 1 r s = lieárisa függetle sorok = vezéregyesek száma = lieárisa függetle oszlopok = r o. r det = k, és det B és az első k sor függetle. k + 1-dik sor függ az első k-tól, mert: Kifejtési-tétel: a 1j A 1j + + a (k+1)j A (k+1)j = Összeg és szorzat ragja. =a 1j A 1j + + a (k+1)j det B = det B li. öf. r s = k Mag és kép kapcsolata a homogé lieáris egyeletredszerek megoldásával és megoldhatóságával. M: Ker A = Ax = megoldásai Im A = {b Ax = b} megoldható Rag és megoldhatóság. Jobbiverz, baliverz, kétoldali iverz. D: Jobbiverz: AB = I k Baliverz: BA = I T: Ha baliverz, akkor Ax = b-ek! mo.-ja. B: Ax = b BAx = Bb Ix = Bb x = Bb M: Ha > k jobbiverz Ha < k baliverz??? 1/8
13 M: Ha baliverz és jobbiverz is, akkor B b = B j. M: B: { B b (A B j ) = B b I = B b (B b A) B j = I B j = B j B b = B j A 11 A 1 + ( A 1 ) A a 11 a 1 det A ( ) ( ) a 1 a det A A 11 A 1 Ha A 1, akkor A 1 = 1 ( A det A 1 ) A 7 Létezés raggal, pl.: A-ak potosa akkor létezik jobbiverze, ha r(a) = sorok száma. M: A T k jobbiverz A oszlopai = T k r(a) = k baliverz A sorai = T r(a) = kétoldali iverz r(a) = k det A Négyzetes mátrix iverzéek kiszámolása determiásokkal φ A e 1 A 1 (det A ) dim Imφ = dim Kerφ = γ φ γ = γ γ φ = r(a) = Ax =! mo. B A B = B B A = em s.é. 13/8
14 Diagoalizálhatóság átfogalmazása sajátbázissal, sajátalterek dimezióival. D: Lieáris traszformáció diagoalizálható, ha va szép bázis. A diagoalizálható, ha va olya bázis, amibe A-t felírva diagoális alakú. 9 M: Va szép bázis, ha va sajátértékekből álló bázis. T: A diagoalizálható m A (x) gyöke egyszeres. T: A diagoalizálható dim(v λi ) = dim V A miimálpoliom gyökei pot a sajátértékek. T: A miimálpoliomak mide sajátérték gyöke. B: x = x A x = λ x A x = A(λ x) = λ (A x) = λ λ x = λ x A 3 x = λ 3 x Stb. (a A + a 1 A a I)x = (a λ + a 1 λ a )x p(a) x = p(λ) x m A (A) x = m A (λ) x x = m A (λ) x = m A (λ) x Mivel x m A (λ) = Hasoló mátrixok karakterisztikus poliomja megegyezik. T: Hasoló mátrixok k A -ja megegyezik. B: B λi = x 1 Ax λi = x 1 Ax λx 1 Ix = x 1 (A λi)x = x 1 A λi x = = A λi x 1 x = A λi x 1 x = A λi a b M: ( c d ) ~ (λ 1 ) λ a b ( c d ) ~ (λ λ ) A skalár mátrixok csak ömagukhoz hasolók. M: Ha A~B, akkor det A = det B és tr A = tr B. A mátrix yoma a sajátértékek összege, a determiás a szorzatuk. D: A yoma: tr A = a ii = λ i det A = a ii B: k A (x) = ( x) a ii ( x) det A Külöböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok függetleek. T: A külöböző sajátértékhez tartozó sajátvektorok lieárisa függetleek. B: Teljes idukció: 1-re: 1 db vektor függetle Tfh k-ra igaz k + 1-re: α i v i = és = A( α i v i ) = α i A v i = α i λ i ( α i v i ) λ 1 ( α i λ i ) = + α (λ λ 1 )v + + α (λ λ 1 )v = Mivel k 1-re függetleek voltak α i = függetleek 14/8
15 Kétszer-kettes mátrixok hasolóságáak elemzése. Jorda féle ormálalak (csak kimodva) segítségével T: ( λ λ 1 λ 1 1 λ λ λ 3 ) alakba mide mátrix felírható. 9 15/8
16 Csoport fogalma, példák. D: CsoporT: G halmaz és művelet 1 Asszociatív: (ab)c = a(bc) EgységeleM: e: ea = ae = a Iverz: a a : aa = a a = 1 P: D diédercsoport: szabályos -szög szimmetriái, művelet: kompozíció P: S szimmetrikus csoport: elem összes permutációi M: Ha kommutatív, akkor Abel-csoport. P: (R +, ) D: Csoport redje: csoport elemszáma: G. Sok példa elképzelhető, mit permutációk egy csoportja. Csoporthatás defiíciója, sok példa, ijektív és em ijektív is. D: G csoport hat Ω halmazo, ha g G és x Ω esté értelmezve va a g x Ω elem úgy, hogy g (h x) = (gh) x és 1 x = x. Permutációcsoportok. Sok példa. Ijektív pl. 3-,4-,6-szög a csúcsoko, oldalako. Ami em ilye, pl.: a hatszög szimmetriái az átlóko, mert ez em bijektív. e, g 1 egyértelmű. 16/8
17 Részcsoport, részcsoportok metszete részcsoport. D: RészcsoporT: H G: Egy H G részcsoport, ha H is csoport ugyaarra a műveletre ézve. P: Triviális részcsoport: G G, {e} G 1 P: (Z, ) (Z, ), f i D 3 T: H G részcsoport h, g H hg H és h 1 H B: asszociativitás, hh 1 H T: Részcsoportok metszete is részcsoport: H i G H i G B: Ha h, g H i h, g H i i-re hg H i i-re hg H i Ha h H i h H i i-re h 1 H i i-re h 1 H i A részcsoportbeli egységelem és iverz ugyaaz, mit a csoportba. T:! e: e H = e G B: e H és e G is egységelem e H e G = e H és e H e G = e G e H = e G T:! g 1 : g 1 = g B: Tfh. g g 1 = g g = e g 1 g g 1 = g 1 g g e g 1 = e g g 1 = g Geerált részcsoport, eek létezése D: Legye K G. K : K által geerált részcsoport a K-t tartalmazó legszűkebb részcsoport. 17/8
18 A hatváyozás tulajdoságai, g k defiíciója, tulajdoságok kiterjesztése egatív számokra. M: g g k = g +k, (g ) k = g k D: g = (g ) 1 = (g 1 ) M: g g k = g g g 1 g 1 = g k, (g ) k = g k 11 Red, red tulajdoságai, ciklikus csoport. D:g redje: o(g) = k, ha a k = e és a i e < i < k-ra T: Ekvivalesek: o(g) = k g = e k g i = g j k i j g-ek potosa k külöböző hatváya va. B: 1 : g = e g = g k q g r = (g k ) q g r = e q g r = g r = e és r < k r = k k = qk g = (g k ) q = e q = e 1, 3: g i = g j g i j = e k i j 3 4: Kell: 1, g, g,, g k 1 külöböző. Tfh. g i = g j k i j i j = i = j Ciklikus csoport részcsoportja ciklikus. D: C : Ciklikus csoport: egy elem által geerált csoport M: Izomorfjai erejéig 1 db m-edredű ciklikus csoport va. B: g i g j = g i+j mod m és g m = 1 G Z m, +, azaz g i i. P: -dik egységgyökök a szorzásra, szabályos -szög forgatásai T: H < G. G ciklikus H ciklikus B: G = g H = {g a 1,, g a k}. a i = a 1 q + r g a i = (g a 1) q a r g a i (g a 1) q = a r H Mivel r < a 1 és a 1 < a i i-re, ezért r = a 1 a i. Jobb- és baloldali mellékosztályok. D: Legye H G részcsoport. g G. A Hg szorzat H g szeriti jobboldali mellékosztálya. Legye H G részcsoport. g G. A gh szorzat H g szeriti baloldali mellékosztálya. T: Hg H = B: Tfh a Hg. Ekkor a H: a = a g g = a 1 a. a H a 1 H a 1 a H g H T: Hg = H B: Ha g H H = Hg. Külöbe h 1 g = h g h 1 gg 1 = h gg 1 h 1 = h T: Két külöböző jobboldali mellékosztály vagy egybeesik, vagy diszjuktak. B: Hg 1 = Hg Hg 1 g 1 = H g 1 g 1 H g Hg 1 a H: g = ag 1 a = g g 1 1 Ha = H Hg g 1 1 = H Hg 1 = Hg 18/8
19 Lagrage-tétel. T: Lagrage-tétel: Ha G véges és H G H G B: G: H : H mellékosztályaiak száma. G = Hg G = Hg = Hg = G: H H 11 spec eset: Euler-Fermat tétel. T: g = o(g) Köv.: o(g) G g G = e speciális eset: Euler-Fermat-tétel: Z redukált maradékosztályai -ra: φ() = rmo. a φ() Csoportizomorfizmus. T: Cayley-tétel: Mide csoportak va permutációreprezetációja. Mide csoport izomorf egy permutációcsoporttal. B: φ: G S G g ( g 1 g g 1 g g g ) és k G Ez permutáció, mert: elem szerepel alul: g i g = k g i = kg 1 elem potosa egyszer szerepel: g i g = g j g g i = g j Művelettartó, mert: φ(gh) = ( g i (gh) ) = ( (g i g)h ) = φ(g)φ(h) S 3 D 3 és S 4 T, de pl. D 4 S 4 g i D: G 1 G : G 1 és G izomorf φ: G 1 G bijektív leképezés, hogy φ(g 1 g ) = φ(g 1 )φ(g ) Pl.: S 3 D 3 Pl.: K: kocka szimmetriái: H S 6, hogy K H és H S 8, hogy K H g i Mide m-elemű ciklikus csoport izomorf (Z m, +)-szal. Cayley-táblázat, aak éháy tulajdosága T: Cayley-tábla: Z 4 : M: Sudokus : mide sorba és mide oszlopba mide elem potosa egyszer szerepel B: Egy sor tartalmazza a csoport összes elemét. y = g(g 1 y) = gx alakba. 19/8
20 Absztrakt számolás D -be, elemek előállítása. 1 Pálya, stabilizátor, D: α Ω stabilizátora azo elemek halmaza, amelyekre {g G αg = α} P: Ω = {1,,6}, 3 stabilizátora: st G (3) = {tf, id} T: A stabilizátor csoport. B: Részcsoport, mert ha αg = α és αh = α, akkor: αgh = αh = α α = αg 1 D: α pályája: ahova α mehet: orb G (α) = G(α) = {αg g G} P: Ω = {1,,5}, G(1) = {1,}, G(3) = {3,4,5} T: A pálya ekvivaleciareláció: D: ~ reláció: α~β g: αg = β B: α~α, mert α id = α α~β β~α, mert αg = β α = βg 1 α~βés β~γ α~γ, mert αg = β, βh = αgh = γ Orbit-stabilzátor-lemma. T: Orbit-stabilizátor lemma: G = st G (α) G(α) G(α) = G: G(α) B: Bijekció: G(α) és a baloldali mellékosztályok között β {g G αg = β} Alkalmazások pl.: égyzet és a kocka szimmetriáiak száma. Négyzet szimmetriái: orb (1) = 4, st 1 = 8 db szimmetria Kocka szimmetriái: orb (1) = 8, st(1) = orb st(1) () st 1, = 3 orb st(1,) (4) st 1,,4 = 3 = 6 48 db szimmetria Ciklikus csoport részcsoportjai. /8
21 Homomorfizmus, mag, kép. D: Legyeek G 1, G csoportok. A φ: G 1 G leképezést homomorfizmusak evezzük, ha a, b G 1 -re φ(ab) = φ(a)φ(b). P: G 1 = G, φ = id P: (C, +) (R, +), φ: C R, a + bi a D: Homomorfizmus magja: Ker φ = {g G 1 φ(g) = 1 G } 13 D: Homomorfizmus képe: Im φ = {g G h G 1 : φ(h) = g} A mag mellékosztályai megfelelek a kép elemeiek. T: A mag mellékosztályai megfelelek a kép elemeiek: B: Kerφx mellékosztály mide eleme ugyaabba a g elembe képződik le, mert: h Kerφ, x G 1 : φ(x) = g, g Imφ: φ(xh) = φ(x)φ(h) = g φ(y) = g: φ(yx 1 ) = φ(y)φ(x 1 ) = gg 1 = 1 G yx 1 = k Ker φ y = kx G 1 Kerφ A mag jobb- és baloldali mellékosztályai megegyezek. T: Ker φ jobb és baloldali mellékosztályai megegyezek. N = Ker φ ormálosztó hn = Nh h G re h 1 Nh = N h G-re h 1 gh N h, g-re B: Ker φ G 1, mert ha g 1, g Kerφ φ(g 1 g ) = φ(g 1 )φ(g ) = I G és φ(g 1 1 ) Kerφ. h G 1 φ(h 1 gh) = φ(h 1 )φ(g)φ(h) = φ(h 1 )I G φ(h) = I G G 1 = Im Ker. T: G = Imφ Kerφ Sok-sok példa, pl.: Z-ből a maradékosztályokba, determiás, logaritmus, e x. P: Z + mod m maradékosztályok Kerφ = {u Z + m u}, Imφ =teljes maradékredszer P: GL (k) {k {}}, A det A det(ab) = det(a) det(b) Kerφ = SL (k): 1 determiású mátrixok, Imφ = k P: S Z, A előjele Kerφ = A : alteráló csoport: ps. permutációk, Imφ = {±1} P: D Z + ha f : φ(x) = { 1 ha t + Kerφ = f, Imφ = Z P: A B B, φ: (a, b) b Kerφ = {(a, e)}, Imφ = B P: { R+, R, +, φ(a) log a R, + R + a bijekció,, φ(a) e P: Kocka S 8 : csúcsok: Kerφ = id Kocka S 6 : lapok: Kerφ = id Kocka S 4 : testátlók: Kerφ = id, középpotos tükrözés, Imφ = S 4 Kocka S 3 : szembe lévő lapátlók: Imφ = S 3 1 1/8
22 Homomorfizmusok D -ből és S -ből Z -be, példák csoporthatásra. 13 Kocka szimmetriáiból S 8,6,4,3 -ba. Direkt szorzat, elemred a direkt szorzatba. D: A és B csoport. A B = {(a, b) a A, b B} csoport. (a 1, b 1 )(a, b ) = (a 1 a, b 1 b ), (e, e) egységelem, (a, b)(a 1, b 1 ) = (e, e) iverz T: Mide végese geerált Abel-csoport előáll prímhatváy redű ciklikus csoportok direkt összegekét és sorredtől eltekitve egyértelmű. P: C 6 = C C 3 : C = {a 3, e} és C 3 = {a, a 4, e} a = a 4 a 3, a = a e, a 3 = ea 3, a 4 = a 4 e, a 5 = a 3 a P: C 1 = C 4 C 5, C C C 5, C 4 C 5 C 5, C C C 5 C 5 4 féle 1 elemű Abel-csoport létezik. /8
23 Ivertálható traszformációk és ivertálható mátrixok jellemzése. 14 Relációk jellemzése, fogalmak. D: A halmaz. H A M: A halmaz bármely elemére eldöthető, hogy relációba állak vagy sem. P: KisebB: {(a, b) a < b} A P: Függvéy: {(x, x )} A P: R(a, b) c: ac = b P: R(a, b) 7 a b D: MűveleT: A A P: +: (3,7) 1 D: R reflexív R(a, a) R teljes R(a, b) vagy R(b, a) R szimmetrikus R(a, b) R(b, a) R atiszimmetrikus R(a, b) em R(b, a) R trazitív R(a, b) és R(b, c) R(a, c) R trichotóm R(a, b) vagy R(b, a) vagy a = b P: <: atiszimmetrikus, trichotóm, trazitív P: =: reflexív, szimmetrikus, trazitív P: : reflexív, trazitív D: Ekvivaleciareláció: A = A i (diszjuktak) a~b i: (a, b) A i M: a és b ugyaabba a részhalmazba esik. M: reflexív: R(a, a) trazitív: R(b 1, a) és R(a, b ) R(b 1, b ) szimmetrikus: R(a, b) R(b, a) P: 7 a b: reflexív, szimmetrikus, trazitív Sor-, oszlop- és determiásrag egyelősége, két bizoyítás. Cayley-tétel 3/8
24 Traszpozícióval való szorzás változtatja az iverziók számáak paritását. Puskás tételek T: Traszpozícióval való szorzás változtatja az iverziók számáak paritását. B: ( a i a j 1 i j 1 i j a j a ) ( i Π 1 Π i Π ) = ( j Π Π 1 Π j Π ) i Π Iverziók számáak változása: i, j elemek i, j közötti elemek: Ha i-vel iverzióba volt, j-vel em, akkor ez éppe megfordul. Ha midegyikkel iverzióba volt, egyikkel sem lesz. Ha egyikkel sem volt iverzióba, midegyikkel lesz. Tologatós játék: két kiskocka em cserélhető fel. Tologatós játék: Két kiskocka em cserélhető fel. B: Egy lépés = egy csere Két kiskocka cseréje = (1,) páratla De ha a lyuk visszaér k-szor fel és k-szor le, l-szer jobbra, l-szer balra Rubik-kocka: egy élkocka em fordítható meg. Két élkocka em cserélhető fel. Páros-város (bizoyítása deteriással is és raggal is). Páros-város, kocsmábajárási mátrix: B1: ember kocsma Polgármester: kocsmába páros sok ember járjo párba állak kocsma Polgármester: kocsmába páratla sok ember járjo polgármester is járjo midehova Polgármester: k i = páros és k i k j = páratla: k 1 k t e kocsmábajárási mátrix: 1 1 e 1 A T A: mod e 1 e k t k e 1 1 e 1 k 1 ( k 1 k k 1 k t ) k 1 Kell: A T A = ( ) det A T A =. 1 Tfh. t > kip=tolom -kal égyzetesre A T A = B T B, de det(a T A) = 1 és det(b T B) = det B T det B = B: Raggal??? 11 szám 3-ál kisebb prímosztókkal. 11 szám 3-ál kisebb prímosztókkal. Va köztük éháy, amelyek szorzata égyzetszám. α 1 B: 1 db prím: c i ( ) kitevők mod. α 1 Max 1 lehet függetle ez a 11 darab li. öf. λ i a i =. Szorozzuk össze azokat, amelyekre λ j, azaz λ j = 1. Ezekre λ j a j = a j =. Tehát c j = égyzetszám. 4/8
25 Sortüdérek-oszloptüdérek Puskás tételek 1 1 Összekevert sakktábla: ( 1) Egy sortüdér vagy oszloptüdér változtatása: ( ) vagy ( 1 ) alakút ad hozzá 1 16 darab, amiből 15 függetle ( )-ból előáll az eredeti elég a ( )-t előállítai A visszaállítható A s i, o i dim V = darab sakktábla állítható vissza dim(m 8 8 (Z)) = 64 -es tüdérek (potos jellemzés). Négyzetes tüdérek: 49 db tüdér 49 dimeziós alteret geerálak, azaz dim Im i = 49 Egy égyzetes tüdér mátrixa pl.: ( 1 1) Mide sorba és oszlopba páros sok 1-es va. 1 1 A -ból olya szíezések állak elő, amelybe mide sorba és oszlopba páros sok 1-es va 16 db feltétel, amiből 15 függetle dim Ker i = 15 Nics több feltétel, mert = 64, azaz dim Ker i + dim Im i = dim i A visszaállítható mide sorba és oszlopba páros sok 1-es va Az előző kettő együtt sem elég. Determiások szorzástétele. A mátrix műveletek és a traszformációk közti műveletek kapcsolata: kompozíció párja a mátrixszorzás. T: A mátrix műveletek és a traszformációk közti műveletek kapcsolata: kompozíció párja a mátrixszorzás. Sor- oszlop- és determiás rag megegyezik ( bizoyítás). Cramer-szabály. T: Cramer-szabály: Legye A T és det A. Ax = b-ek! mo. a 11 b 1 a 1 x i = A i, ahol A A i = ( ) a 1 b a B: A 1 A 11 A 1 b 1 b 1 A 11 b A 1 + x = A 1 b = 1 ( A det A 1 ) ( ) = 1 ( ) det A A b ±b 1 A 1 ± b A + x i = b 1 ( 1)i+1 A 1i +b ( 1) i+ A i + det A = A i a kifejtési tétel (i. sor) szerit A 5/8
26 Mide poliomak va olya többszöröse, amelybe mide kitevő prímszám. Puskás tételek T: Mide poliomak va olya többszöröse, amelybe mide kitevő prímszám. (α x + + α 1 x + α ) g(x) = a 1 x p 1 + a +1 x p +1 x p 1 = q 1 (x) f(x) + r 1 (x) B: {, ahol deg r i < vagy r i =. x p +1 = q +1 (x) f(x) + r +1 (x) Ekkor f(x) x p i r i (x) és r i -k lieárisa öf. a 1 r 1 + a +1 r +1 = : em a i = { a 1r 1 + a +1 r +1 a 1 x p 1 + a +1 x p +1 f(x) a 1(r 1 x p 1) + + a +1 (r +1 x p +1) f(x) a 1 x p 1 + a +1 x p +1 A Fiboacci-számok képlete mátrix diagoalizálással. Fiboacci-számok képlete mátrix diagoalizálással ( f i ) f ( i+1 ( 1 1 ) ( ) (f i+1 ) ( 1, 1 ) ( 1 ) f i+ 1 1 ) (1 1 ) ( ) (1 ) ( ) ( f ) f +1 ( ) = x 1 Dx D = ( λ 1 ) D λ = ( λ 1 λ) ( ) = (x 1 Dx) = x 1 Dxx 1 Dx x 1 Dx = x 1 D x ( 1 x 1 ) sajátértékei: x = x x 1 λ 1 = 1± 5 Sajátvektorok: ( ) (x 1 x ) = 1+ 5 ( x x ) ( ) ( x x ) = ( ) sv: ( ) λ 1 -hez ( 1 1 5) λ -hez D = ( ) ( ) = ( ( ) = ( ( f f +1 ) = ( ) ( 1 ) f = ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) + 5 ((1 ) ( 1 5 ) )??? Kettős leszámlálás módszere. pl: Osztók számáak átlagértéke log. Kettős leszámlálás módszere: pl: Osztók számáak átlagértéke log. d(j) = [ i ] ~ i d(j) = i = 1 ~ log i 6/8
27 Bursidelemma, Puskás tételek T: Burside-lemma: 1 fix(g) = pályák száma. fix(g) = {α αg = α} G B: Vegyük (α, g) párokat. Ha g rögzített, akkor (g, α) párok száma g fixpotjai Ha α rögzített, akkor (g, α) párok száma α stabilizátoráak elemszáma: G α α Ω G α = g G fix(g) G α α Ω G orb G (α) G α G α α Ω = 1 G G g G fix(g) = pálya = pálya 1 = pályák száma G 1 fix(g) = pályák száma G eek alkalmazása leszámlálásra: tetraéder lapjaiak szíezése 3 szíel, Elforgatás erejéig háy külöböző módo lehet kiszíezi 3 szíel egy tetraédert? (,3,4) 4 = 8 db 3 = 9 szíezés (1,) ( 4 ) = 6 db 33 = 7 szíezés (1,,3,4) 4! 4 = 6 db 3 szíezés (1,)(3,4) 3 db 3 = 9 szíezés id 1 db 3 4 szíezés = 15 4 karkötő 4-4 piros és kék golyóból. Karkötő 4 kék és 4 piros gyögyből t 1 4 db ( 4 ) fixpot t 4 db ( 4 ) fixpot f, f 3, f 5, f 7 4 db gyögy ugyaolya szíű lee f, f 6 db fixpot f 4 1 db ( 4 ) fixpot id 1 db ( 8 4 ) fixpot ( 8 4 ) = 8 16 Tetszőleges sokszíű karkötők darabszáma. 7/8
28 Prímoldalú sokszög szíezése: 1. Fermat-tétel.. Cauchy-tétel. Puskás tételek Prímoldalú sokszög szíezése: Fermat-tétel bizoyítása p oldalú sokszöget szíek szíezük id helybehagy p darabot f i helybehagy darabot ( f i ugyaayit hagy helybe, mert ugyaayi az orbitja, az összes csúcs) A em egy szíűek p-es csoportokba oszthatók. (p darab elforgatás) p darabot p csoportba osztok p p Prímoldalú sokszög szíezése: Cauchy-tétel bizoyítása p G. p oldalú sokszöget szíezük g G csoportelemekkel. Összese g p darab szíezés Csak azokat veszem, ahol g 1 g g p = 1 g 1 g g p = 1 g p g 1 g g p 1 g p g p 1 = g p g p 1 g p g 1 g g p 1 = 1 elforgatottjára is igaz g p egyértelmű g 1 g g p 1 -ből G p 1 ilye szíezés va Forgatás szerit csoportba redezem a szíezéseket: p-es csoportok (forgatással p külöbözőt kapok) 1-es csoportok (g p = 1)( ugyaolya szíű): pl.: (1,1,,1) G p 1 = p sok + 1 (1 + más) p G p 1 és p p sok p 1 + más más Cauchy-tétel: Ha p G, akkor G-be va p-edredű elem.??? Példa alakzatra, amelyek végtele sok szimmetria tegelye va, és em középpotosa szimmetrikus. t 1, t = t 1 vagy f k t 1??? A traszformációk kompozíciója megfelel a mátrixszorzásak. Ebből: mátrixszorzás jó defiíciója, asszociativitás. A determiás, mit térfogat (mérték), azaz a determiás kostas szorzó erejéig az egyetle emelfajuló alteráló multilieáris forma. T: A determiás, mit térfogat (mérték), azaz a determiás kostas szorzó erejéig az egyetle emelfajuló alteráló multilieáris forma. B: V(g 1,, g ): Π Π V(e 1,, e ) = 1 V(a 1,, λa i,, a ) = λv(a 1,, a ) V(a 1,, a i, +b i, a ) = V(a 1,, a i,, a ) + V(a 1,, b i,, a ) V(a 1,, a i,, a i, a ) = V(a 1,, a i, λ i a i ) = = λ V(a 1,, a i,, a i, a ) = V(a 1,, a i,, λ a i, a ) V(a 1,, a i,, a j, a ) = A V(a 1,, a i,, a j + λ a i, a ) = A V(a 1,, a i,,) = V(a 1,, a i,, λ ) = λ V(a 1,, a i,,) V(a 1,, a i,,) = V(a 1,, a i, +b i,, a i, +b i,, a ) = V(a 1,, a i,, a i + b i,, a ) + V(a 1,, b i,, a i + b i,, a ) = = V(a 1,, a i,, a i,, a ) + V(a 1,, a i,, b i,, a ) + V(a 1,, b i,, a i,, a ) + V(a 1,, b i,, b i,, a ) = = V(a 1,, a i,, b i,, a ) + V(a 1,, b i,, a i,, a ) V(a 1,, a i,, b i,, a ) = 1 V(a 1,, b i,, a i,, a ) V(a 1,, a ) = V( λ i1 e i, λ i e i,, λ i e i ) = V(λ 11 e 1, λ i e i,, λ i e i ) + + V(λ 1 e, λ i e i,, λ i e i ) = db tag = V(λ Π(1)1 e Π(1),, λ Π() e Π() ) = λ Π(1)1 λ Π() V(e Π(1),, e Π() ) = λ Π(1)1 λ Π() ( 1) sgπ = det A 8/8
1. Sajátérték és sajátvektor
1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b
Részletesebben1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebbeni=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i
Az informatikus lineáris algebra dolgozat C részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok az állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat C részében kérdezhetünk. Azok érnek 6 pontot,
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
Részletesebben1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Részletesebben1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenMTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak
MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 1. Csoportelméleti alapfogalmak 1.1. Feladat. Csoportot alkotnak-e az alábbi halmazok a megadott műveletre nézve? (1) (Z 2 ; ), (2) (Z 2 ; +), (3) (R \ { 1}; ),
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenCsoportok II március 7-8.
Csoportok II 2014 március 7-8. 1. Mellékosztályok 2. Lagrange tétele 3. Kompatibilis osztályozás, kongruenciareláció 4. Normálosztó, faktorcsoport 5. Konjugálás 6. Homomorfizmus, homomorfiatétel 7. Permutációcsoportok
Részletesebben1. Mellékosztály, Lagrange tétele
1. Mellékosztály, Lagrange tétele 1.1. Definíció. Legyen (G, ) csoport, H G részcsoport és g G tetszőleges elem. Ekkor a {gh h H} halmazt a H részcsoport g elem szerinti baloldali mellékosztályának nevezzük
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)
Részletesebben8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.
8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) Z(G), mert az egységelem yilvá felcserélhet mide G-beli elemmel. Továbbá Z(G) zárt a szorzásra, mert ha a, b Z(G), akkor tetsz leges g G-re (ab)g
RészletesebbenA gyakorlati jegy
. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenLineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenVizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat
8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,
Részletesebben17. Lineáris algebra
1. oldal 17. Lieáris algebra 17.1 Vektorterek Defiíció: egy K test fölötti V vektortér egy olya struktúra, melybe V kommutatív csoport és az ú. skalárral szorzás, KVV, disztributív a K-beli összeadásra
RészletesebbenLineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1
Lieáris kódok Defiíció. Legye SF q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. K lieáris kód, ha K az S k-dimeziós altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor.
RészletesebbenLineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák
Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................
RészletesebbenCsoporthatások. 1 Alapfogalmak 1 ALAPFOGALMAK. G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül
1 ALAPFOGALMAK Csoporthatások 1 Alapfogalmak G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül és µ(g, µ(h, x)) = µ(gh, x) µ(1 G, x) = x minden g, h G és x X esetén. Multiplikatív
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
Részletesebben1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
RészletesebbenGy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
RészletesebbenValasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenMat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév
Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév 1. Hány megoldása lehet az alábbi lineáris egyenletrendszereknek a valós számok körében, ha a -ok tetszőleges (nem feltétlenül egyenlő) számokat jelölnek? 0
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Amx = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x, A R m x m: sorok szám : oszlopok
RészletesebbenMM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )
MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend
RészletesebbenMatematika A2 tételek
Matematika A2 tételek. Tétel Csoport: Defiíció: Legye A olya halamaz, amelye értelmezve va egy * művelet. Akkor modjuk, hogy A csoportot akkor a * műveletre ézve, ha Gyűrű: - a * művelet asszociatív -
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
Részletesebben3. Feloldható csoportok
3. Feloldható csoportok 3.1. Kommutátor-részcsoport Egy csoport két eleme, a és b felcserélhető, ha ab = ba, vagy átrendezve az egyenlőséget, a 1 b 1 ab = 1. Ezt az [a,b] = a 1 b 1 ab elemet az a és b
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenBevezetés az algebrába komplex számok
Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Am = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x m: sorok szám : oszlopok szám
RészletesebbenMetrikus terek. továbbra is.
Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenMatematika A2a LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA
LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA 20160515 Tartalomjegyzék 1 Algebrai struktúrák 5 2 Lineáris tér (vektortér) 13 21 A vektortér fogalma 14 22 Vektorok lineáris függetlensége és függősége 18 23 Generátorrendszer,
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenEgy kis csoportos elmélet
Egy kis csoportos elmélet Molnár Attila 1. Röviden és tömören és keveset... 1. Definíció (Csoport). Egy G halmaz csoport, ha értelmezett rajta egy művelet, melyre teljesül, hogy Asszociatív: Van neutrális
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 2. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 2. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) (1 2)(2 3)(3 4)(4 5) = (1 2 3 4 5). b) Az állítás például k szerinti indukcióval könnyen belátható, az igazságtartalma közvetlenül is ellen rizhet
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenCsoportelmélet ( ) ϕ ψ adatokra ( ) ( ) ( ) ( )
Csoportelmélet ( A csoportaxiómák nem tartalmaznak ellentmondást mert az { } csoportot alkot. Fizika felépítése: fizikai valóság fizikai modellek matematikai modellek (átjárhatók reprezentációk (áttranszformálhatók
RészletesebbenDISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes
1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 4. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 4. feladatsor, megoldásvázlatok 0. Ha G egy véges csoport, akkor nyilván csak véges sok részcsoportja van. Legyen most G végtelen. Ha van végtelen rend g G elem, akkor g (Z, +), aminek
Részletesebben1. Az euklideszi terek geometriája
1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenAlgebra és számelmélet blokk III.
Algebra és számelmélet blokk III. 2008/2009 tavasz Károlyi Gyula órái alapján Molnár Attila 2. óra 2009. március 10. 1. Generált, normális és karakterisztikus részcsoportok 1.1. Definíció (Generált részcsoport).
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenIntegrálás sokaságokon
Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,
RészletesebbenMBN412G: ALKALMAZOTT ALGEBRA GYAKORLAT ÁPRILIS 26.
MBN412G: ALKALMAZOTT ALGEBRA GYAKORLAT 2015. ÁPRILIS 26. 1. Lineáris algebra, csoportok definíciója 1.1. Feladat. (Közösen megbeszéltük) Adjunk meg olyan ϕ lineáris transzformációját a síknak, amelyre
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
Részletesebben1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
RészletesebbenMBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenWaldhauser Tamás december 1.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba
Részletesebbenés n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n
Részletesebben1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?
1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenKitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK
Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Lineáris leképezések H607 2018-02-05, 07, 09 Wettl
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenLineáris kódok. sorvektor. W q az n dimenziós s altere. 3. tétel. t tel. Legyen K [n,k,d] kód k d (k 1). Ekkor d(k)=w(k)
Defiíci ció. Legye S=F q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. r. K lieáris kód, k ha K az S k-dimeziós s altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor. W
RészletesebbenMM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( ) 1. Ismétlés február 8.február Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük)
MM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2007.05.11) 1. Ismétlés február 8.február 15. 1.1. Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük) (1) Egy csoport rendelkezhet egynél több egységelemmel. (2) Bármely két háromelem
RészletesebbenPl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.?
Dr. Vicze Szilvia A kombiatorika a véges halmazokkal foglalkozik. A véges halmazokkal kapcsolatba számos olya probléma vethető fel, amely függetle a halmazok elemeitől. Pl.: háyféleképpe lehet egy elemű
Részletesebben1. Egész együtthatós polinomok
1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenA2 Vektorfüggvények minimumkérdések szóbelire 2015
A2 Vektorfüggvéyek miimumkérdések szóbelire 215 Lieáris algebra I. 1. Csoport, gyűrű, test félcsoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak (pl. természetes számok eseté az összeadás)
Részletesebben