2. függelék. Mátrixszámítási praktikum-ii. Lineáris algebrai eljárások
|
|
- Kinga Székelyné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 függelék /9 oldal Eötvös Lórád udomáyegyetem ermészettudomáyi Kar Budapest Kemometria tafolyam, Szepesváry Pál függelék Mátrixszámítási praktikum-ii Lieáris algerai eljárások
2 függelék /9 oldal Bevezető megjegyzés A sokváltozós statisztikai módszereket ma a lieáris algerára és a mátrixszámításra támaszkodva ésszerű tárgyali Ez a megállapítás egyarát érvéyes a feltáró, alakfelismerő statisztika körée tartozó eljárásokra, és azokra is, amelyek a jeleségeket leíró jó fizikai és kémiai modelleket keresik, megítélik, azok paramétereit ecslik Nyomatékosa ajálatos tehát, hogy a módszereket alkalmazók a mátrixszámítás és a lieáris algera alapjait ismerjék Szerecsére midkét területről alkalmas köyvek íródtak Ezek közül sok más mellett, mit viszoylag köye hozzáférhető források megemlíthetők a következők: Rózsa P: Lieáris algera és alkalmazásai aköyvkiadó, Budapest, 99 Scharitzky V: Mátrixszámítás (Bolyai köyvek) Műszaki Köyvkiadó, Budapest 00 Kor, GA és Kor, M: Matematikai kéziköyv műszakiakak Műszaki Köyvkiadó, Budapest, 975 Horvai G (szerk): Sokváltozós adatelemzés (kemometria), Nemzeti taköyvkiadó, Budapest, 00 Fag Kai-ai és Zhag Yai-ig: Geeralized Multivariate Aalysis Spriger Verlag, Berli, 990 Az itt következő praktikum az ELE K- elhagzó Sokváltozós statisztikai módszerek és Kemometria előadásokhoz emlékeztetőkét készült, példákat mutat e és izoyos, idevágó MALAB és egyes EXCEL programozási ismereteket is ad Az ayag, jellegéél fogva em helyettesíti sem az említett taköyveket, sem a MALAB programozási kéziköyveket Nem foglalkozik például eviteli és kiviteli utasításokkal és programok közötti adatcserével A közölt ismeretek elmélyithetők a papiralapú vagy letölthető programozási kéziköyvekkel, és természetese a voatkozó szakirodalommal
3 függelék 3/9 oldal artalom Szám--esek lieáris tere Vektorok tulajdoságai Vektorok hossza Vektorok által ezárt szög 3 Ortogoális vektorok 4 Vektorok lieáris függetlesége 5 A mátrix ragja 3 Lieáris terek ázisai 3 Fogalmak, jelölések 3 Ortogoális és ortoormált ázisok 33 Ferdeszögű koordiátaredszerek 4 Bázistraszformációk 4 Vektor koordiátái új ázisa 4 Lieáris traszformáció mátrixa új ázisa 43 Hasolósági és ortogoális traszformáció 5 Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai 6 Mátrixok sziguláris-érték felotása 7 Lieáris egyeletredszerek megoldása 7 Meghatározott egyeletredszerek megoldása 7 úlhatározott egyeletredszerek megoldása 73 Alulhatározott egyeletredszerek megoldása 8 Kvadratikus alakok
4 függelék 4/9 oldal Szám--esek lieáris tere Ha dara számot megállapodott módo módo elredezük, redezett szám--esekhez jutuk, amelyeket a,, c etűkkel jelölhetük Gyakorlatuka egy vizsgált ojektum dara, adott sorrede felsorolt tulajdoságáak számértékei, egy mita eleméek számokkal jellemzett tulajdoságai alkotak szám--est Ha a szám--esekre érvéyesek izoyos matematikai tulajdoságok, akkor a szám-esek egy -dimeziós lieáris teret, eze elül -dimeziós vektorteret alkotak Ha a lieáris tére a fetieke túlmeõe értelmezett a skaláris szorzás is, a tér eukleidészi tér A továiaka a szám--eseket, azaz a lieáris tér elemeit rövide vektorokak evezzük Vektorok tulajdoságai Vektorok hossza A vektor hossza elemei égyzetösszegéek égyzetgyöke, azaz a vektor ömagával vett skaláris szorzatáak égyzetgyöke: l a a a i i () Az egységyi hosszú vektorok közül azokat, amelyekek elemei egyetle egyes kivételével zérus értékűek egységvektorokak evezik MALAB >>a >> lsqrt(a'*a) 0488 Figyelem! MALAB-a a >> legth(a) 3 em a hosszat, haem a vektor elemeiek számát adja meg Vektorok által ezárt szög a és, origóól iduló vektorok által ezárt szög: a α arccos () ( a a)( )
5 függelék 5/9 oldal MALAB >>a >> >> alfa80*(acos(a'*/sqrt((a'*a)*('*))))/pi Ortogoális vektorok Az egymással derékszöget ezáró, merõleges vagy ortogoális vektorok skaláris szorzata zérus Az egységyi hosszú párokét ortogoális vektorok ortoormált vektorredszert alkotak 4 Vektorok lieáris függetlesége p dara méretű a j vektor lieárisa függetle, ha egyikük sem állítható elõ a töi lieáris komiációjakét (súlyozott összegekét), tehát a p j a a a p 0 a a + a + + a j j p p p a a a p 0 lieáris komiáció csak a triviális p 0 (3) esete áll fe Belátható, hogy méretű vektorok közül legfelje dara lehet lieárisa függetle Síka a harmadik vektor már szükségképpe komiációja két függetleek, tére a egyedik három függetleek st 5 A mátrix ragja Az I x J méretű A mátrix ρ(a) vagy rag(a) ragja a lieárisa függetle sor- vagy oszlopvektoraiak maximális száma Miutá I méretű vagy J méretű vektorok közül legfelje I ill J dara lehet lieárisa függetle, A mátrix ragja em lehet agyo, mit kiseik mérete: 0 rag(a) mi( I, J) (4) Lieárisa összefüggõ vektorokat tartalmazó égyzetes, I x I méretű mátrixok sziguláris mátrixok, determiásuk zérus A mátrix ragja meghatározható olymódo, hogy megállapítják, A mely aldetermiása már em sziguláris Eek a legagyo, már emsziguláris aldetermiásak redje adja meg A ragját Célszerű azoa az A mátrix emzérus sziguláris értékeit (l ott) leszámoli, ami ugyacsak a ragot adja meg
6 függelék 6/9 oldal MALAB >>X >> rak(x) 3 >> svd(x) Lieáris terek ázisai 3 Fogalmak, jelölések -dimeziós lieáris terek v vektorai közül ármely dara, lieárisa függetle vektor kiválasztható a tér, -el jelölt ázisvektorakét A tér összes töi v vektora elõállítható a ázisvektorok lieáris komiációjával ermészetes ázist képviselek az e, e,, e egységvektorok, amelyek ázisáa: L L L j j j v v v v v v e v (3) Ez a vektor más ázisa, más ázisvektorok komiációjakét is megadható: j j j c c c c v v v (3) ahol most c, c,,c elemek v B ázisra voatkozó koordiátái ömöree B c v,,, (33)
7 függelék 7/9 oldal ahol B a ázisvektorok mátrixa, c pedig c, c,,c elemek vektora 3 Ortogoális és ortoormált ázisok Bázisak választott vektorok lehetek egymásra merõlegesek, avagy ferdeszögűek Merőleges ázisvektorok eseté ortogoális ázisról eszélük Ha a ázisul választott vektorok ezefelül egységyi hosszúak is, ortoormált ázisról va szó Az ortoormált ázisvektorok skaláris szorzatára feál, hogy i j,, ij 0 ha i j δ, (34) ha i j más szóval, az ortogoális ázisvektor szorzása traszpoáltjával egységmátrixot ad L L 0L0 B B L 0 0 L L E L L L L L 0 0L (35) MALAB B ortoormált mátrix >> B >> B'*B Ferdeszögű koordiátaredszerek Vektorok akkor képezhetek ázist, ha lieárisa függetleek Sem a merőlegesség, sem az egyelő hossz ics megkövetelve Eől következik, hogy ármely -ed redű, em sziguláris mátrix felfogható ázisvektorok mátrixáak A
8 függelék 8/9 oldal B 0 mátrix három oszlopa redre 45, 547 és 35 fokos szöget zár e egymással, em 0 0 is egyelő hosszúak, lieáris komiációjuk mégis tetszőleges számú vektort hozhat létre 4 Bázistraszformációk Számos esete célszerű, hogy egy éppe haszált ázisról áttérjük valamely más ázisra Nevezzük az eredeti ázist régi ázisak és jelöljük B-vel, azt amelyikre áttérük új - ak és jelöljük G-vel G új g j ázisvektorai a i régi ázisvektorok lieáris traszformációi: g t + t + + t j j j ji I j,,, I (4) t ij súlyokat mátrixa foglalva a traformáció G B (4) alaka írható fel, ahol I x I méretű emsziguláris traszformáló mátrix 4 Vektor koordiátái új ázisa Egy adott v vektorak B régi ázisa v régi és G új ázisa v új koordiátái vaak: v Bv régi Gv új (43) (43) összefüggésől v új koordiátákat kifejezve v új G B v régi (44) összefüggés adódik (4) átalakításával - G B, így új és régi áziseli koordiáták között a v új v régi illetve v régi v új (45) összefüggés áll fe 4 Lieáris traszformáció mátrixa új ázisa Egy v vektorak legye w Av (46) lieáris képe v és w valamely régi ázisa érvéyes koordiátái és egy mátrixú ázistraszformációval elõállított új ázisa érvéyes koordiátái között (45) összefüggés szerit v régi v új (47), w régi w új (48)
9 függelék 9/9 oldal áll fe A feti vektorokat a (46) lieáris traszformáció egyeletée helyettesítve: w új A v új (49) adódik, ahoa látható, hogy az új ázisa a lieáris traszformáció: w új A v új (40) alakú, azaz az A új traszformáló mátrix: A új A (4) 43 Hasolósági és ortogoális traszformáció Egy A mátrix olya traszformációját, amelye azt egyik oldalról egy emsziguláris mátrix iverze, a másik oldalról a szóaforgó emsziguláris mátrix szorozza: hasolósági traszformációak evezik A új és A mátrixok hasolóak A hasoló mátrixok ragja, yoma, determiása és sajátértékei megegyezek Ha a emsziguláris mátrix ortogoális, feáll, hogy Ilye mátrix eseté a hasolósági traszformáció: ~ A A (4) alakú ortogoális traszformáció 5 Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai I x I méretű (égyzetes) mátrixok sajátos hasolósági traszformációja az A V Λ V (5) sajátérték-sajátvektor traszformáció, ahol V I x I méretű emsziguláris mátrix, amelyek v i lieárisa függetle oszlopai A mátrix sajátvektorai, Λ pedig átlós (diagoális) mátrix, amelyek λ, λ,,λ I elemei A sajátértékei Meg kell jegyezi, hogy em mide A mátrix traszformálható (5) módo, em izoyos ugyais, hogy mide A mátrixak vaak egymástól külöözõ valós sajátértékei, következésképpe lieárisa függetle sajátvektorai Az I dara lieárisa függetle sajátvektorral író lieáris traszformációkat diagoalizálhatóakak evezik (5) összefüggésõl, átredezés utá látható, hogy V és Λ teljesítik az
10 függelék 0/9 oldal AU VΛ 0 (5) követelméyt Ez a megkötés defiiálja egyékét a sajátértékeket és a sajátvektorokat (5) összefüggést az, egyes v i sajátvektorokra felírva feáll az: Av i λ i v i (A λi)v 0 i,,,i (53) egyelõség Ezt az egyelõséget kielégíti v i vektorok ármely k-szorosa is A következõke az v i iráya mutató egységyi hosszúra ormált vektorokat evezzük sajátvektorokak Ha A speciálisa valós szimmetrikus, akkor sajátvektorai emcsak lieárisa függetleek, haem ortogoálisak is Normálva ortoormált ázist képezhetek Ezért (5) mellett érvéyes az A V Λ V (54) összefüggés is, amely felírható olymódo is, hogy lássék, az A mátrix megadható az v i sajátvektorok diádikus szorzataiak λ i sajátértékkel súlyozott összegekét: A VΛV λ v v + λ v v + + λ I v I v I (55) Az (55) összefüggést A spektrálfelotásáak is evezik, a λ I értékek összessége A spektruma, V pedig a modálmátrix A sajátvektorok iráyait fõtegelyekek is evezik
11 függelék /9 oldal MALAB >> A ( A szimmetrikus) >> rak(a) 5 ( A em sziguláris) >> det(a) -7046(A determiása ezuttal egatív) >> [V,L]eig(A) V ( V em szimmetrikus, ortoormált Lalá) L ( Sajátértékek valósak, eltérőek) >> V'*V (V ortoormált mátrix) >> V*L*V'
12 függelék /9 oldal 6 Mátrixok sziguláris-érték felotása Sajátérték-sajátvektor felotás csak I x I méretű égyzetes mátrix esetée lehetséges Az I x J méretű (téglalap) mátrixok eseté is létezik azoa egy, a sajátérték-sajátvektor traszformációra emlékeztetõ felotás, a D U S I,J V I,I I,J J,J sziguláris-érték felotás Itt U I x I méretű mátrix ortoormált mátrix, S I x J méretű mátrix, amely diagoális elredezése D-ek s i sziguláris értékeit tartalmazza A sziguláris értékek száma megegyezik D mátrix ρ(d) ragjával, azok S-ek elsõ (ρ(d) dara) soráa helyezkedek el S továi részée zérusok vaak V J x J méretű ortoormált mátrix MALAB (6) >> Droud(uifrd(-5,5,5,3)) >> [U,S,V]svd(D) U S V >> U'*U >> V'*V >> U*S*V' A sziguláris-érték felotás gazdaságosaa is elvégezhető Az S mátrix 0 részét és az ezzel szorzott u mátrix oszlopokat elhagyva a sziguláris értékfelotás így is felírható: D U S I,J V I, J J,J J, J (6)
13 függelék 3/9 oldal MALAB >> Droud(uifrd(-5,5,5,3)) >> [U,S,V]svd(D) U S V >> U'*U >> V'*V >> U*S*V' Négyzetes mátrix eseté is végrehajtható a sziguláris-érték felotás A felotás sorá általáos esete más sajátvektorok adódak, mit a sajátérték-sajátvektor felotásál, és a sziguláris értékek sem egyezek meg a sajátértékekkel Speciálisa szimmetrikus mátrixál a saját- és a sziguláris értékek, továá a v sajátvektorok megegyezek A (6) összefüggés felírható olymódo is, hogy lássék, D mátrix megadható u i és v j sajátvektorok diádikus szorzataiak s i sziguláris értékekkel súlyozott összegekét: D USV s u v + s u v ++s ρu ρ v ρ (63) Az összefüggésõl látható, hogy a sziguláris értékek megmutatják, milye mértéke vesz részt egy-egy sajátvektorpár D mátrix felépítésée
14 függelék 4/9 oldal MALAB A Nem szimmetrikus mátrix >> [Veig,L]eig(G) Sajátérték számítás Veig i i L i i >> [U,S,Vsvd]svd(A) Sziguláris-érték számítás S Vsvd G 5-3 G szimmetrikus! >> [Veig,L]eig(G) Sajátérték számítás Veig L >> [U,S,Vsvd]svd(G) Sziguáris-érték számítás S (Előjelektől eltekitve) L Vsvd (Iráyítástól elt egyezik Veig-gel)
15 függelék 5/9 oldal Megjegyzés: B álló téglalap mátrix (I > J) sziguláris értékei égyzetei a B B mátrix sajátértékeiek C fekvő téglalap mátrix (I < J) sziguláris értékei égyzetei a CC mátrix sajátértékeiek B és B B mátrixokak v sajátvektorai, illetve C és CC -mátrixokak u sajátvektorai megegyezek: I > J: B U S V ; B B V S ( U U) S V V S S V I,J I,I I,J J,J J,I I,J J,J J,I I,I I,I I,J J,J J,J J,I I,J J,J V L V J,J J,J I < J: (64) C U S V ; C C U S( V V) S U U S S U I,J I,I I,J J,J J,I I,J I,I I, J J,J J,J J,I I,I I,I I,J J,I I,I U L U I,I I,I II J,J A B mátrix sziguláris értékei (S mátrix s i átlós elemei) a B B mátrix sajátértékeiek (L mátrix l, l,,l I elemeiek) valós, emegatív égyzetgyökei: s l i,,,i (65) i i A kemometriai gyakorlata a B mátrixot gyakra a D adatmátrix képviseli, amelye d j vektorok valamely d tulajdoság adott mitáa megfigyelt értékeit tartalmazzák Cetrált d j vektorok eseté a J x J méretű D D mátrix a d változók kovariacia mátrixáak tekithetõ, stadardizálás eseté azok korreláció mátrixáak 7 Lieáris egyeletek megoldása 7 Meghatározott lieáris egyeletek megoldása Az I ismeretlees A x y (7) I,I I, I, lieáris egyeletredszer, amelyek együtthatómátrixa az I x I méretű, I ragú (emsziguláris) A, jo oldali vektora az I x méretű y, ismeretleeit pedig az I x méretű x tartalmazza, egyértelműe megoldható: x A y (7) módo, ahol A az A égyzetes mátrix iverze
16 függelék 6/9 oldal 7 úlhatározott lieáris egyeletek megoldása Az olya I egyeletõl álló J ismeretlees A x y I > J (73) I,J J, I, lieáris egyeletredszer, amelyél az egyeletek I száma agyo, mit az ismeretleek J száma, azaz A együtthatómátrixa I x J méretű álló téglalapmátrix, amelyek ragja J, y jo oldali vektora I x méretű, ismeretleeit pedig az J x méretű x tartalmazza, túlhatározott egyeletredszer Ha az egyeletredszert felépítõ egyeletek potosak, azaz em elletmodóak, A mátrix ármely J sora a hozzátartozó J dara y i elemmel olya meghatározott egyeletredszert ad, amely (7) elõírással megoldható Ha az egyeletredszer hiákkal terhelt, elletmodásokat tartalmazó egyeletekõl áll, a megoldáshoz A általáosított iverze haszálható Az A + módo jelölt általáos (Moore-Perose) iverz: A + (A A) A (74) Így a (73) egyelet megoldása: x A + (A A) A y (75) megoldás a végtele sok lehetséges megoldás közül azt adja, amely a legkise égyzetek elvét alkalmazva miimálja a számított és a megadott i elemek eltéréségyzet-összegét A túlhatározott egyeletredszer egy megoldását adja az x (A WA) A Wy (76) összefüggés is, ahol W egy I x I méretű súlymátrix, amely az egyes egyeleteket valamely értelmes szempot szerit kitüteti vagy jeletékteleíti (74) és (75) összefüggések a legkise égyzetek módszerét alkalmazó lieáris regressziós paraméterecslés egyeletei A (75) egyelete fellépõ súlyok például az elemek potosságát tükrözhetik 73 Alulhatározott lieáris egyeletek megoldása Az olya I egyeletõl álló J ismeretlees Ax y (77)
17 függelék 7/9 oldal lieáris egyeletredszer, amelyél az egyeletek I száma kise, mit az ismeretleek J száma, azaz A együtthatómátrixa I x J méretű fekvõ téglalapmátrix, amelyek ragja I, y jo oldali vektora I x méretű, ismeretleeit pedig az J x méretű x tartalmazza, alulhatározott egyeletredszer Alulhatározott lieáris egyeletredszerek végtele sok megoldása va Speciális megoldásokhoz lehet juti, ha az egyeletek mellé továi feltételeket is megaduk Megtehető, hogy az egyeletek számát meghaladó (J I) dara szaad ismeretleek ökéyes értéket aduk Az immár meghatározottá vált egyelettel kapott, kötött ismeretleek értékei a szaadok függvéyei leszek Megkötés lehet az is, hogy a (66) egyeletet kielégítõ x vektor hossza (hosszáak égyzete) J x j j x (78) legye miimális Ezt a megoldást az x A (AA ) y (79) összefüggés adja MALAB >> A y >> xmia'*iv(a*a')*y >> hossz xmi'*xmi 898 >> A*xmi
18 függelék 8/9 oldal 8 Kvadratikus alakok Az x Ax (8) skalár értékű összefüggést, ahol x I x méretű tetszőleges vektor, A pedig I x I méretű valós szimmetrikus mátrix, kvadratikus alakak evezik Ha a kvadratikus alak ármely x-re pozitív, akkor az A mátrix pozitív defiit, ha értéke zérus is lehet: x Ax 0, (8) akkor pozitív szemidefiit Egy pozitiv defiit mátrix determiása és mide sajátértéke pozitív A k x Ax kvadratikus alakokhoz jellegzetes mértai alakzatok redelhetõk A (8) összefüggés -három dimezióra - skaláris írásmóda felírva: a x a x + a x + a x x + a x x + a a x x k (83) alakú Ha A mátrix pozitív defiit, akkor ez az összefüggés egy középpoti ellipszoid-, határesete egy göm egyelete, amelyek fõtegelyei / l,/ l, / l3 hosszúságúak, ahol l i értékek A mátrix sajátértékei Ha A diagoális mátrix, az ellipszoid fötegelyei párhuzamosak a koordiáta tegelyekkel, ha az átlós elemek meg is egyezek, a főtegelyek egyelő hosszúak (göm) Vegyes idexű a ij elemek megléte eseté a külööző tegelyhosszú ellipszoid általáos helyzetű, a koordiátategelyekhez képest elfordult PÉLDA Foglalkozzuk az a A a a a szimmetrikus, pozitiv defiit mátrixszal Legyeek: a 3; a 07 6; a, det A aa + a 306 Képezzük az x Ax det A () kvadratikus formát Kokréta: a a x x () a a x [ x] det A ()-ól következőe az ellipszis egyelete:
19 függelék 9/9 oldal a x + a xx + a x det A 0 (3) Ie: B ± B 4AC x (4) A ahol A a B a C a x 4 x det A 3x x 306 Az (5) összefüggés valós x értékeket ad, ha feáll, hogy: B 4 4AC 4a x 4a x ( a a a ) x + a det A) 4det A( a x ) 0 a + 4a det A (6)-ől következik: x Rajzoljuk meg (4) egyeletől az ellipszist: (5) (6) 5 05 x x Az ellipszis x iráya a -től + a -ig,( - -től + -ig), x iráya a 33-től + a 33-ig ( 3-től + 3-ig) terjed ki erülete aráyos az A mátrix determiásával, miél kise a az átlós elemekhez képest, aál agyo az ellipszis területe, és egye aál kevésé fordul el a koordiáta tegelyekhez képest
1. Sajátérték és sajátvektor
1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b
Részletesebben8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.
8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenLineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1
Lieáris kódok Defiíció. Legye SF q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. K lieáris kód, ha K az S k-dimeziós altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor.
RészletesebbenVektorok által generált altér, lineáris összefüggőség, függetlenség, generátorrendszer, bázis, dimenzió
Vektorok által geerált altér lieáris összefüggőség függetleség geerátorredszer ázis dimezió Ee a része általáosítjuk a téreli ektorokra már megismert haszos fogalmakat. A legfotosa hogy ármely ektortére
RészletesebbenA2 Vektorfüggvények minimumkérdések szóbelire 2015
A2 Vektorfüggvéyek miimumkérdések szóbelire 215 Lieáris algebra I. 1. Csoport, gyűrű, test félcsoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak (pl. természetes számok eseté az összeadás)
RészletesebbenA paramétereket kísérletileg meghatározott yi értékekre támaszkodva becsülik. Ha n darab kisérletet (megfigyelést, mérést) végeznek, n darab
öbbváltozós regresszók Paraméterbecslés-. A paraméterbecslés.. A probléma megfogalmazása A paramétereket kísérletleg meghatározott y értékekre támaszkodva becsülk. Ha darab ksérletet (megfgyelést, mérést
RészletesebbenHanka László. Fejezetek a matematikából
Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet
RészletesebbenPCA LDA MDS, LLE, CCA. Adatbányászat. Dimenziócsökkentő eljárások. Szegedi Tudományegyetem. Adatbányászat
Dimeziócsökkető eljárások Szegedi Tudomáyegyetem Dimeziócsökketés szerepe Az adatpotok reprezetálására haszált dimeziók számáak csökketésével spórolhatuk Tödimeziós adatpotok vizualizálása (pl. 2 vagy
RészletesebbenPCA LDA MDS, LLE, CCA. Adatbányászat. Dimenziócsökkentő eljárások. Szegedi Tudományegyetem. Adatbányászat
Dimeziócsökkető eljárások Szegedi Tudomáyegyetem Dimeziócsökketés szerepe Az adatpotok reprezetálására haszált dimeziók számáak csökketésével spórolhatuk Tödimeziós adatpotok vizualizálása (pl. 2 vagy
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenA. függelék Laplace-transzformáció és alkalmazásai
A. függelék Laplace-traszformáció és alkalmazásai Tételezzük fel hogy az f(t),t [, ) egy olya függvéy, amely az alábbi tulajdoságokkal redelkezik: f(t) dt
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenLineáris kódok. sorvektor. W q az n dimenziós s altere. 3. tétel. t tel. Legyen K [n,k,d] kód k d (k 1). Ekkor d(k)=w(k)
Defiíci ció. Legye S=F q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. r. K lieáris kód, k ha K az S k-dimeziós s altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor. W
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Am = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x m: sorok szám : oszlopok szám
Részletesebben= λ valós megoldása van.
Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Amx = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x, A R m x m: sorok szám : oszlopok
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Részletesebben17. Lineáris algebra
1. oldal 17. Lieáris algebra 17.1 Vektorterek Defiíció: egy K test fölötti V vektortér egy olya struktúra, melybe V kommutatív csoport és az ú. skalárral szorzás, KVV, disztributív a K-beli összeadásra
RészletesebbenLINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ
16..8. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ (MÁTRIX) SAJÁTÉRTÉKE, SAJÁTVEKTORA BSc. Maemaika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ Egy A: R R függvéy lieáris raszformációak evezük, ha eljesülek az alábbi
RészletesebbenMatematika A2 tételek
Matematika A2 tételek. Tétel Csoport: Defiíció: Legye A olya halamaz, amelye értelmezve va egy * művelet. Akkor modjuk, hogy A csoportot akkor a * műveletre ézve, ha Gyűrű: - a * művelet asszociatív -
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenVektorok, mátrixok. n m dimenziós mátrix: egy n sorból és m oszlopból álló számtáblázat. az i-edik sor j-edik. , ahol b i
Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz Vektorok, mátriok m dimeziós mátri: egy soról és m oszlopól álló számtálázt. m m m Jelölés: A A, hol i z i-edik sor -edik m eleme. dimeziós
Részletesebben3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)
3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenMátrixok. Bevezetés és példák 1/12. Mátrix aritmetikai bevezetés
Mátrixok. Bevezetés és példák / Mátrix ritmetiki bevezetés Trtlom. Bevezetés Mátrixelemek és jelölések 3. Mátrixok fjtái: 4. Elemi műveletek mátrixokkl 4. Egyelőség 4. Trszpoálás 4.3 Szorzás 4.3. Szorzás
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenValasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
RészletesebbenMátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a x + b y c 5. Az egyeletredszer megoldása a Z halmazo (3. rész) a x + b y c A hivatkozások köyítése
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
Részletesebben10 Norma. Vektornorma. = x T x, ha x R n, (10.1)
0 Norma A mátrixok bizoyos tulajdoságaiak például sorozataik kovergeciájáak vizsgálatába haszosak az olya meyiségek, melyek a köztük lévő külöbségeket a távolságra emlékeztető módo mérik Ehhez az abszolút
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenMAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA
1 MAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA Tuzso Zoltá Akár a régebbi, akár az alteratív XI. osztályos algebra taköyveket lapozva, akár példatárakba vagy matematikai verseyeke gyakra találkozuk egyél magasabb
Részletesebben1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
Részletesebben194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma
94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
RészletesebbenIntegrálás sokaságokon
Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenLineáris programozás
Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
Részletesebben9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában
9. tétel: Elsı- és másodfoú egyelıtlesége, pozitív számo evezetes özepei, és eze felhaszálása szélsıérté-feladato megoldásáa Egyelıtleség: Két relációsjellel összeapcsolt ifejezés vagy függvéy. Az egyelıtleséget
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenI. Koordinátarendszerek a síkban és a térben, mátrixok
Koordiátaredszerek mátrixok 0 I Koordiátaredszerek a síkba és a térbe mátrixok Koordiátaredszerek A korábbi taulmáyaitok sorá megismerkedhettetek a sík aalitikus geometriájáak éháy alapfogalmával (koordiátaredszerek
RészletesebbenO ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )
1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)
Részletesebben1. Az euklideszi terek geometriája
1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
RészletesebbenKutatói pályára felkészítı modul
Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI
RészletesebbenMatematikai statisztika
Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenProblémás regressziók
Universitas Eotvos Nominata 74 203-4 - II Problémás regressziók A közönséges (OLS) és a súlyozott (WLS) legkisebb négyzetes lineáris regresszió egy p- változós lineáris egyenletrendszer megoldása. Az egyenletrendszer
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek. Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Lieáris egyeletredszerek Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetei doces Li. egyeletredszerek /2 Lieáris egyeletredszerek áltláos lkj Áltláos (részletes) lk: egyelet iseretle:,, Jelölések: 2 2 2,, 2 2 2,,
RészletesebbenI. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
RészletesebbenSzámítógépi geometria. Kovács Zoltán
Számítógépi geometria Kovács Zoltá Lektorálta: Dr. Verhóczki László (ELTE) A taayagfejlesztés az Európai Uió támogatásával és az Európai Szociális Alap társfiaszírozásával a TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0046
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
RészletesebbenEmlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854): " ' #$ * $ ( ' $* " ' #µ
Emlékeztető: az -dimeziós sokaság görbültségét kifejező meyiség a Riema-tezor (Riema, 1854: ' ( ' $ ' #µ $ µ# ahol a ú. koexiós koefficiesek (vagy Christoffel-szimbólumok a metrikus tezor g # x $ kompoeseiből
RészletesebbenIrodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0
Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Részletesebbeni=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i
Az informatikus lineáris algebra dolgozat C részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok az állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat C részében kérdezhetünk. Azok érnek 6 pontot,
RészletesebbenN - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Brósch Zoltá (Debrecei Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimáziuma) N - edik gyökvoás DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyökvoás) Egy em egatív x valós szám égyzetgyöké azt a em egatív valós számot értjük, amelyek égyzete
RészletesebbenAz átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)
Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa
RészletesebbenINJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
Részletesebben2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
RészletesebbenMatematika szigorlat (A1-A2-A3)
Matematika szigorlat (A1-A2-A3) szóbeli kérdések kidolgozás ikkel, 2014-2016 Felhaszált források: 1. Szilágyi Brigitta előadásai készült saját jegyzet 2. Obádovics J. Gyula, Szarka Zoltá Felsőbb matematika
Részletesebben1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február 11
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
RészletesebbenA statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.
Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenKoordinátageometria összefoglalás. d x x y y
Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
Részletesebben