Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok"

Átírás

1 Numerius soro, Taylor-soro, Fourier-soro Kidolgozott feladato.példa: Vizsgálju meg a átalaításoal apju, hogy 5 umerius sor overgeciáját. Azoos ; 4 4 A sor tehát szétbotható ét mértai sor összegére. Az első egy olya mértai sor, melye vóciese, q = 5 >, tehát ez a sor diverges, összege végtele. Sorredbe a másodi egy olya 4 mértai sor, melye a vócies, q = ], [, tehát ez a sor overges. Összege ; véges érté. Ebből a ét eredméyből övetezi, hogy a vizsgált sor diverges és összege 5.Példa: Némileg általáosabb példaét vizsgálju meg a q umerius sor overgeciáját. Elsőét felírju az -edi részletösszeget, majd egy egyszerű ötlettel a problémát visszavezetjü mértai sor vizsgálatára. 4 S q q q q 4 q... q q ; Szorozzu meg ezt az összeget q-val 4 5 qs q q q q 4 q... q q ; majd épezzü a feti ét összeg ülöbségét. Eor összevoáso utá azt apju, hogy

2 S qs q q q q q q q q q q 4 q q q q... q q ; Itt az első tag egy mértai sorozat, melye összege azoal felírható. q q q q q S q q q q q ; q q q q Ebből már adódi az -edi részletösszeg zárt alaba S q q q q q q Ee határértée szolgáltatja a sor összegét. A másodi és harmadi tört számlálójába egy-egy mértai sorozat áll. Ha feltesszü, hogy < q < aor eze overgese és ullához tartaa. Ez még aor is igaz, ha alalmazu egy szorzót, ugyais a L'Hospital szabály szerit lim q 0 lim lim lim q 0; q, q q q l q Ebből övetezi, hogy a vizsgált sor összege l q q q q S q lim S lim ; q q q q Egyszerű alalmazásét adódi, hogy például ; 4.Példa: Vizsgálju meg a umerius sor overgeciáját. A parciális törtere 4 4 botás módszerét alalmazzu. Elsőét a evezőt szorzattá botju ; Ee ismeretébe a sorozat általáos tagját megadó racioális törtet már összeggé alaíthatju. Köye elleőrizhető, hogy a felbotás a övetező Ebből már zárt alaba előállítható az -edi részletösszeg

3 S Ee határértée szolgáltatja a sor összegét lim S lim S umerius 4.Példa: Vizsgálju meg overgecia szempotjából a sort. Mideféle átalaítás élül máris meghatározhatju a sor -edi részletösszegét. Ha elegedőe so tagot veszü figyelembe az összeg meghatározásához, aor öye látható, hogy az -edi részletösszeg az alábbi S A sor összege az alábbi határértéel egyezi meg lim lim S S lim lim lim lim 0 ; 5.Példa: Vizsgálju meg overgecia szempotjából a umerius sort. Sorozato eseté eredméyes eljárás a evező gyöteleítése. Alalmazzu itt is a módszert

4 Ee segítségével öye meghatározhatju a sor -edi részletösszegét Tehát a sor összege S ; S ; S lim S lim azaz a sor diverges. 6.Példa: Vizsgálju meg overgecia szempotjából a Alalmazzu az alábbi becslést pozitív tagú umerius sort A felső becslésből övetezi, hogy a vizsgált sora a 9 0 mértai sor majorása. Mivel a vócies q,, ezért ez a mértai sor overges, tehát a apott sor egy overges majorás, ami azt jeleti, hogy a példába itűzött umerius sor overges. 7.Példa: Vizsgálju meg overgecia szempotjából a pozitív tagú umerius sort. Mivel a sorozat általáos tagja egy elsőfoú és egy másodfoú poliom háyadosa, jellegébe 4

5 típusú. A harmoius sorról pedig tudju, hogy diverges, ezért az a sejtésü, hogy a sor diverges. Az összehasolító ritérium alalmazása sorá így alulról ell becsüljü egy diverges sorral. Alulról tudju becsüli tehát a sort léyegébe a harmoius sorral. Éppe most idéztü ee divergeciáját. Ez azt jeleti, hogy a umerius sor diverges miorás, tehát a vizsgált sor valóba diverges, ahogya sejtettü. 8. Példa: Vizsgálju meg overgecia szempotjából a pozitív tagú 4 umerius sort. Az általáos tagot vizsgálva az látható, hogy a számláló és evező foszáma megegyezi, ee határértée a végtelebe egy pozitív ostas, amiből azt sejtjü, hogy a sor diverges. Elsőét alalmazzu a miorás ritériumot, azaz becsüljü alulról egy diverges sorral Mivel a 4 yilvá diverges sor, ami azt jeleti, hogy egyúttal diverges miorás, adódi, hogy a vizsgált sor valóba diverges. Más módszerrel is igazolhatju a divergeciát. Hivatozhatu a szüséges feltételre is, amihez a sorozat határértéét ell iszámítau. lim lim amiből övetezi, hogy a sor em lehet overges. 9.Példa: Vizsgálju meg overgecia szempotjából a pozitív tagú umerius sort. A biomiális együttható ifejtésével jeletőse átteithetőbbé tehetjü a sor általáos tagját. 5

6 !!!!!! ;!!!!!! Ami azt jeleti, hogy a vizsgált sor em más, mit a harmoius sor -szorosa, tehát diverges. 0.Példa: Vizsgálju meg overgecia szempotjából a pozitív tagú umerius sort, 4 4 amely az előző példabeli sor issé módosított változata. A biomiális együttható ifejtésével a övetezőt apju.!!!! 4! 4! ;!! 4 4 4!! 4 4 4! 4! Azoos átalaításoal ismét egy olya sorhoz jutottu, amely orábbról már ismert, overges sor. Ez azt jeleti, hogy a vizsgált sor overges, és ebbe az esetbe még az összegét is tudju, a hivatozott sor összegée ismeretébe az összeg =..Példa: Vizsgálju meg, hogy overges-e a arctg 5 umerius sor? A éplet alapjá úgy tűi, hogy célszerű alalmazi a gyö-ritériumot arctg arctg lim lim Itt felhaszáltu a evezetes lim a ha a 0 és lim határérté relációat. Ez utóbbi is módosításával apju, hogy lim 5 lim 5 lim 5 lim 5 ugyais világos, hogy a zárójeles része a sorozata az -hez tart de a itevő is -hez tart. Kaptu tehát, hogy lim a, tehát a ritérium szerit a sor overges. 6

7 .Példa: Vizsgálju meg hogy overges-e a!! 5 57!! umerius sor! Az általáos tagba alalmazott ettős feliáltójel a fatoriális fogalom általáosítása. Azt jeleti, hogy csa az egymást övető páratla egész számo szorzatát ell épezi -től + -ig. Ismét a háyados ritériumot alalmazzu. a!! lim lim a !! lim lim A apott határértéből övetezőe a sor overges..példa: Vizsgálju meg hogy overges-e a 0,7! umerius sor! Ismét a háyados ritériumot fogju haszáli a vizsgálathoz. Felidézve az Eulerféle sorozattal apcsolatos ismereteet apju, hogy,7!,7! lim a lim lim lim, 7 a 4! 4 4 4,7!, , 7 lim,7 lim,7,7 e e Mivel a határérté isebb mit, a sor overges. 4.Példa: Vizsgálju meg, hogy overges-e a e umerius sor! Defiiálju az f függvéyt a övetező módo: f e. Az világos, hogy a függvéy a pozitív valós számo halmazá pozitív. A függvéy mootoitása azoba ismét em yilvávaló, hisze egy szigorúa öveedő és egy szigorúa csöeő függvéy szorzata. Ee eldötéséhez épezzü a derivált függvéyt 4 f ' e e e e 7

8 Nyilvávaló, hogy ha legalább aor ez a derivált függvéy egatív, ami azt jeleti, hogy ha aor a függvéy szigorúa mooto csöeő, tehát az itegrál ritérium ismét alalmazható 0 = választással. e d e d e lim e e 0 e e Az improprius itegrál overges, amiből a ritérium szerit az övetezi, hogy a umerius sor overges, az összege véges. 5.Példa: Vizsgálju meg abszolút és feltételes overgecia szempotjából a umerius sort, ahol!!!! Elsőét az abszolút overgeciát vizsgálju. Vizsgálju tehát az abszolút értéeből épezett a!! pozitív tagú sor overgeciáját. Erre alalmazható a pozitív tagú sorora voatozó ritériumo. Ebbe az esetbe célszerűe mutatozi a háyados ritérium. a!! lim lim lim a!! lim lim e e ami azt jeleti, hogy az abszolút értéeből épezett sor overges, tehát az eredeti váltaozó előjelű sor abszolút overges, ami a legutóbbi tétel szerit egybe azt is jeleti, hogy a váltaozó előjelű sor overges. 6.Példa: Vizsgálju meg abszolút és feltételes overgecia szempotjából a umerius sort. A sor váltaozó előjelű. Az abszolút értée a 8

9 pozitív tagú sorát vizsgálva, a számláló és a evező foát figyelembe véve az a sejtésü, hogy a sor diverges. Igazolju ezt az összehasolító ritériummal. Alulról ell becsülü egy diverges sorral ; ha 5 Azt állítju, hogy az alsó becslését apott tagoból épezett sor diverges pozitív tagú sor. Ezt öye beláthatju például az itegrál ritérium segítségével. Az világos, hogy az 6 ; 5 f függvéy pozitív, és az is világos, hogy szigorúa mooto csöeő. Már csa az improprius itegrál értéét ell iszámítau d d lim amiből övetezi, hogy a miorás sor diverges, ami tehát azt jeleti, hogy az abszolút értéeből épezett sor diverges. E pillaatba ijelethetjü tehát, hogy a sor em abszolút overges. Kérdés még azoba, hogy mit váltaozó előjelű sor, overges-e. Ezt a érdést a Leibiz-ritériummal dötjü el. Az előbbi számításo alapjá egyrészt világos az alábbi egyelőtleséglác amiből a 6 lim lim yilvávaló határértée és a özrefogási elv alapjá övetezi, hogy lim 0 Az idézett ritériumhoz már csa azt ell megvizsgáli, hogy az abszolút értée sorozata mooto csöeő-e. Ezt a legegyszerűbbe az f tudju eldötei. függvéy deriváltjáa előjelvizsgálatával f 9

10 A apott tört evezője yilvá pozitív. A számláló pedig látszi, hogy ha > 9 aor egatív. Ez potosa azt jeleti, hogy va olya üszöbszám, ahoa az abszolút értée sorozata szigorúa mooto csöeő. Eze az eredméye együttese azt jeleti, hogy a váltaozó előjelű sor Leibiz-típusú tehát overges. Összefoglalva eredméyeiet ijelethetjü, hogy a váltaozó előjelű sor tehát em abszolút overges, de overges, ami értelmezés szerit egyeértéű azzal, hogy a sor feltételese overges. 7.Példa: Határozzu meg a hatváysor összegfüggvéyét. Tegyü fel, hogy a sor overges egy itervallumo ee igazolását az alábbiaba elvégezzü, jelölje az összegfüggvéyt F(), azaz legye F ; I Feladatu tehát F() meghatározása. Köye észrevehetjü, hogy tagoéti deriválással egy mértai sorhoz jutu. Az előző tétel szerit a tagoéti deriválással apott sor összegfüggvéye az F() összegfüggvéy deriváltja. Azaz írhatju, hogy 4 F amely valóba egy q vóciesű mértai sor. Tudju, hogy ez overges a ], [ itervallumo. Az összegfüggvéy a övetező F ;, Az eredeti hatváysor összegfüggvéyét itegrálásával apju. Ezt például parciális törtere botással apju l l l F d d C C 0

11 A logaritmus argumetumába em szüséges az abszolút érté, mert a ], [ itervallumo midét argumetum pozitív. Ezzel léyegébe megaptu az összegfüggvéyt, már csa a C álladó értée a érdés. Ehhez helyettesítsü a sorba az = 0 értéet, ahol a sor overges. 0 0 F 0 0 l C l 0 C C 0 ahoa C = 0 adódi. Már csa aa a vizsgálata va hátra, hogy a ], [ itervallum ét végpotjába overges-e a hatváysor. Azt igazoltu fet, hogy a deriválásál a overgecia sugár em változi, de a ét végpotba mide előfordulhat. Ha az eredeti sorba helyettesítjü az = illetve = értéeet, aor redre a övetező umerius soroat apju : ; : ; Midét apott sor diverges, ugyais ha az összehasolító ritériumot alalmazzu, aor az egyszerű alsó becslés azt mutatja, hogy a harmoius sor diverges miorása a feti soroa, azaz valóba divergese. Kaptu tehát, hogy az összegfüggvéy és a overgecia halmaz a övetező l ;, F 8.Példa: Határozzu meg a hatváysor összegfüggvéyét. Tegyü fel, hogy a sor overges egy itervallumo ee igazolását az alábbiaba elvégezzü, jelölje az összegfüggvéyt F(), azaz legye F ; I Feladatu tehát F() meghatározása. Az előző példa megoldása alapjá öye észrevehetjü, hogy étszeri tagoéti deriválással egy mértai sorhoz jutu. Az előző tétel szerit a étszeri tagoéti deriválással apott sor összegfüggvéye az F() összegfüggvéy másodi deriváltja. Az első és a másodi derivált redre a övetező F ;

12 F......; A étszeri deriválással apott sor egy q = vóciesű mértai sor. Ee a ], [ itervallum a overgecia halmaza, és összegfüggvéye F ;, Ie az eredeti összegfüggvéyt yilvá étszeri itegrálással apju. Ha egyszer itegrálu, aor azt apju, hogy F d l C; Ee a függvéye a primitív függvéye szolgáltatja léyegébe az eredeti sor összegfüggvéyét. Parciális itegrálással apju, hogy F l d C C l C C; Már csa a C és C álladóat ell meghatározu. Helyettesítsü a sorba ismét 0-t. Adódi, hogy 0 F 0 0 0l 0 0 C 0 C C; Ez azt jeleti, hogy C = 0. Most pedig helyettesítsü az első deriváltba ugyacsa 0-t. Eor apju, hogy 0 F0 0 l 0 C C; Tehát a C álladó is zérus. Az összegfüggvéyt tehát előállítottu, már csa aa vizsgálata va hátra, hogy a ], [ itervallum ét végpotjába overges-e a sor. Ha helyettesítjü az = illetve = értéeet, aor redre a övetező soroat apju : ; : ; Az = eseté apott sorról tudju, hogy overges. Ezt megvizsgáltu a parciális törtere botás módszerée bemutatásáál, de a majorás ritériummal is azoal belátható a overgecia. Az = eseté apott sor pedig egy váltaozó előjelű sor, amely öye láthatóa Leibiz-típusú, tehát itt is feáll a overgecia. A vizsgált hatváysor összegfüggvéye és overgecia halmaza eze szerit a övetező

13 F l ;, Hagsúlyozzu, hogy a étszeri deriválással apott mértai sorral elletétbe ez a hatváysor overges az itervallum midét végpotjába. 9.Példa: Határozzu meg a hatváysor összegfüggvéyét. Tegyü fel, hogy a sor 0 overges egy itervallumo ee igazolását az alábbiaba ugyacsa elvégezzü, jelölje az összegfüggvéyt F(), azaz legye F ; I 0 Feladatu ismét F() meghatározása. Az előző példá megoldása ötletet adhat, öye látható, hogy ebbe az esetbe em a tagoéti deriválás haem a tagoéti itegrálás vezet célhoz, oréta egy mértai sorhoz, amelyet összegezi tudu. A tagoéti itegrálással apott sor összegfüggvéye az F() összegfüggvéy egy primitív függvéye. F d d C C C Ez egy q = vóciesű mértai sor, melye overgecia halmaza a ], [ itervallum és összegfüggvéye F d C C C ;, 0 Az eredeti hatváysor összegfüggvéyét a tétel szerit eze összegfüggvéy deriválásával apju. Azaz F C ; A hatváysor összegfüggvéyée aalitius alaját meghatároztu. Utolsó érdés ismét a overgecia az itervallum végpotjaiba. Az = illetve = helyee redre a övetező umerius soroat apju : ; : ;

14 Midét potba ugyaazt a sort aptu. Eze a soro yilvávalóa divergese, hisze a páratla számo összege em véges. Így összegzését apju a hatváysor összegfüggvéyét és overgecia halmazát 0.Példa: Írju fel az sort F ;, 0 f függvéy 0-örüli Taylor-sorát, azaz írju fel a biomiális eseté. Ee a sora a övetező példa szerit iemeledő jeletősége va....! 0 0 ;, szemléletesebb a sorfejtés eredméye, ha felírju a Taylor-sor első éháy tagját:!! ! 5! Az előző példával elletétbe, ebbe az esetbe szereté a hatváysor -edi tagját zárt alaba, átteithetőbb formába megadi. Ehhez a feti összegbe a szorzato téyezőit összevova írju fel azaz !! 4! 5! !! 4! 5! Ha most alalmazzu a "dupla fatoriális" jelölést, tehát páros illetve páratla egészere a jelöléseet, aor a apott biomiális sor az!! ;!! 5... ; 4

15 !!!! 5!! 7!! 4 9!! !! 4! 5! egyszerűbb alaot ölti, ahoa az általáos felíráshoz szüséges általáos alaú együttható már öye leolvasható. Kaptu tehát a eresett Taylor-sort!! ;,!.Példa: Írju fel az f arcsi függvéy 0-örüli Taylor-sorát. Vegyü észre, hogy ha deriválju a függvéyt, aor egy olya függvéyt apu, amelye a Taylor-sora egy olya biomiális sor, melyet a.9 példa számításaia eredméye alapjá azoal felírhatu. Valóba, mivel a derivált f ezért a sorfejtéshez ics más dolgu, mit a 0. példabeli biomiális sorba helyére -et ell helyettesíteü. Így a derivált függvéy sora máris előáll!!!!!! ;!!! Ez a sor yilvá aor overges, ha a, feltétel teljesül. Ez pedig yilvá aor igaz, ha,. Ezzel megaptu a derivált függvéy soráa a overgecia halmazát is. Az arusz sziusz függvéy sora ebből a sorból yilvá tagoéti itegrálással adódi.!!!!!! arcsi d d d C;!!! Tudju, hogy itegrálásál a overgecia sugár em változi meg, és az itervallum végpotjaiba a overgeciát em vizsgálju, így megelégszü azzal, hogy overgecia halmazét elfogadju a, itervallumot. A C ostas értée például = 0 helyettesítéssel adódi, teitettel arra, hogy arcsi0 = 0, apju, hogy C = 0. Így az arusz sziusz függvéy 0 örüli Taylor-sora a övetező!!!!!! 5 5!! 7 7!! 9 arcsi... 4! 5! 7! 9 4!

16 .Példa: Határozzu meg ch özelítő értéét úgy, hogy a hatodfoú Taylor-poliommal özelítü és becsüljü meg a özelítés hibáját. A osziusz hiperboliusz függvéy Taylor-sora a övetező (javasolju az olvasóa hogy vagy a defiíció szerit vagy az epoeciális függvéy Taylor-sorára való visszavezetéssel állítsa elő) 0 ch ;! R Ie a hatodfoú Taylor-poliom ch T! 4! 6! Ee az = helye vett helyettesítési értée adja ch ívát özelítését ch T0 ch, 75, 75555! 4! 6! 4 70 Most övetezi a számítás fotosabb és érdeesebb része, a hibabecslés. Ebbe a példába ét elvileg ülöböző módszert is mutatu a hiba becslésére. Az első módszer legye a stadard eljárás, hibabecslés a Lagrage-féle maradétaggal. Teitettel arra, hogy hatod foú poliommal özelítettü, a maradétag a övetező (7) f () R6 7! 7 ; 0, ugyais a Taylor-sor 0-pot örüli és az = helye számítju a özelítő értéet. Teitettel arra, hogy a ch függvéy hetedi deriváltja a sh függvéy, írhatju, hogy R 6 f (7) ( ) sh 8 7! 7! sh ; 0, A hiba becsléséhez már csa a sziusz hiperboliusz függvéy értéét ell felülről becsülü a ]0, [ itervallumo. Az epoeciális függvéy mootoitási tulajdoságait felhaszálva apju, hogy Ebből adódóa apju a hibabecslést sh e e e 5 e Tehát ch értée a övetező itervallumba va 8 R6 < 5 0,698; 5040 ch, ,698;, ,698,6875;,885 6

17 A Lagrage-féle maradétaggal törtéő becslés szerit tehát a özelítő értée egyetle tizedes jegye sem potos. Alalmazzu most a hiba becslésére egy mási módszert, amely figyelembe veszi a sor speciális szerezetét, em ayira uiverzális, mit az előbbi, ezért potosabb eredméyt is szolgáltat. A módszer léyege, hogy megbecsüljü a Taylor-sorból elhagyott tago összegét özvetleül ch T0 ch ! 0!! 4! 8! ! ! , ! A becslés sorá adódott egy overges mértai sor, amelye összege szerepel a felső becslésbe. Eszerit a számítás szerit a hiba ét agyságreddel isebb, mit amit a Lagrage-féle maradétag vizsgálatáál aptu. Ez utóbbi eredméyt felhaszálva azt apju, hogy a eresett függvéyérté a ch, ,00667;, ,00667,74888;,76 itervallumba esi. Ami azt mutatja, hogy a apott özelítő értée első tizedes jegye értées jegy, tehát egy tizedes potossággal azt írhatju, hogy ch,7..példa: Követező példaét válasszu egy villamosságtai problémát. Tegyü fel, hogy a hálózati váltóáramot egyeiráyított, tehát a váltaozó feszültség érté félperiódusoét zérus, a többi fél periódusba pedig a ormál sziuszjel. Állítsu elő ee az egyeiráyított jele a trigoometrius sorát. 0,ha 0 f ( ) si,ha 0 f( ), ülöbe a0 f ( ) d si d cos cos 0 cos 0 ; 0 A továbbiaba fel ell haszálu az alábbi trigoometrius azoosságoat. si cos si si ; si si cos cos ; 7

18 Amit az itegrálás sorá a továbbiaba iderül, mid az a mid a b együttható iszámításáál ülö ell ezelü az = esetet. Ha tehát = aor Ha pedig > aor apju, hogy a f ( ) cos d si cos d si d 0 0 cos cos cos0 0; 0 4 a f ( ) cos d si cos d si si d 0 0 cos cos cos cos cos0 cos0 0 0, ha ; cos cos, ha ; Világos, hogy ez utóbbi számítása ics értelme = eseté. Most öveteze a b együttható ugyacsa esetszétválasztással. Ha = aor cos b f ( ) si d si si d si d d si si si 0 ; 0 0 Végül az > esetbe adódi, hogy b f ( ) si d si si d cos cos d 0 0 si si 0 0 ugyais az = π helye a si függvéy zérushelyei. Ismét világos, hogy ee a számítása ics értelme = eseté. Összefoglalva az eredméyeet, az együttható a övetező: a 0 ; a 0; a ; b ; b 0 ha ; Ahoa a trigoometrius Fourier-sor a övetező 8

19 f si cos ; 4 Mivel a függvéy folytoos és eleget tesz a Dirichlet-tétel feltételeie, a sor előállítja a függvéyt. 4.Példa: Állítsu elő az alábbi páros függvéy Fourier-sorát. f si, ha 0 f ülöbe Mivel a függvéy páros, tudju, hogy b = 0, =,,, ezért csa a 0 és a együtthatóat ell iszámítau. a0 f ( ) d si d cos cos cos Az a együttható iszámításához fel ell haszálu a trigoometrius azoosságot. Ee alapjá si cos si si ; a f ( ) cos d si cos d si si d si si d cos cos 0 0 co s cos cos 0 cos 0 cos cos 4 ; 4 meghatároztu tehát az összes Fourier-együtthatót. Mivel a függvéy folytoos, a Dirichlet-tétel alapjá tudju, hogy a sor előállítja a függvéyt, tehát a függvéy trigoometrius Fourier-sora a övetező: 4 f cos ; 4 9

20 Ha a overgecia téyét felhaszálva helyettesítjü a sorba és a függvéybe az = 0 értéet, egy umerius sor összegéhez jutu. Mivel f(0) = 0, ezért a sor összege is zérus az = 0 helye, tehát cos0 ; ; Ez utóbbi eredméyt természetese soal egyszerűbb módo is megaphatju. Ha a umerius soro fejezetébe bemutatott parciális törtere botás módszerét alalmazzu, özvetleül eljuthatu ehhez az összeghez. 5. Példa: Határozzu meg a övetező függvéy trigoometrius sorát f cos 4si, f ülöbe Ez a függvéy már az értelmezés szerit a trigoometrius redszer tagjaia lieáris ombiációja, azaz cos és si függvéye ostas szorosai összege, potosa olya, mit egy Fourier-sor. Mutassu meg, hogy ez a "ifejtés" egybeesi a függvéy trigoometrius Fouriersorával. Ehhez számítsu i az együtthatóat. 4 a0 f ( ) d cos 4si d cos d si d 0 Itt felhaszáltu, hogy a cos és si függvéye bármely π hosszúságú itervallumra voatozó határozott itegrálja zérus. Az a együtthatóat evezetes trigoometrius azoosságoal tudju iszámítai. a f ( ) cos d cos 4si cos d cos cos 4si cos d 4 cos cos d si si d; A apott összegbe az első tag zérus ha, a másodi tag pedig aor zérus, ha. Ezt a ét esetet vizsgálju a továbbiaba. Ha most =, aor azt apju, hogy a cos cos d cos 4 d 0 ; ha pedig = aor 0

21 4 4 a si si d si 6 0d 0; Kaptu tehát hogy a csa = eseté ülöbözi 0-tól, és a =. Térjü rá a b együttható iszámítására. b f ( ) si d cos 4si si d cos si 4si si d 4 si si d cos cos d; Az előzőehez hasolóa adódi, hogy ha, aor az első tag zérus, ha pedig, aor a másodi tag zérus. Ismét ülö foglalozu ezzel a ét esettel. Ha = aor az adódi, hogy ha pedig = aor b si si d si 4 0d 0; b cos cos d cos 6 d 0 4; Azt aptu tehát, hogy = ivételével az összes b együttható zérus, és b = 4. Ez az eredméy pedig azt jeleti, hogy a függvéy Fourier-sora cos 4si ; f ami a váraozása megfelelőe valóba egybeesi f() értelmezésével. 6. Példa: A most övetező, "triviális"-a modható példába meghatározzu az f f cos, ; ülöbe függvéy omple Fourier-sorát. Miért írtu azt, hogy a feladat "triviális"? Azért mert a fetiebe többször felhaszáltu a cos függvéy omple epoeciális függvéyeel törtéő i i e e i i cos e e ; előállítását. Ez az előállítás potosa úgy fest, mit egy omple Fourier-sor. Mutassu meg, a omple együttható iszámításával, hogy ez az egyelőség valóba azoos a omple Fourier-

22 sorral. Az alábbiaba iderül, hogy = és = eseté ülö ell számítai az együtthatóat. Ha tehát elsőét, aor írhatju, hogy i i c f e d cos e d cos cos i sid i cos cos d cos si d cos cos d 0 si si 0; Az itegrál épzetes része azért zérus, mert az itegradus egy páros és egy páratla függvéy szorzata, tehát páratla függvéy, és egy origóra szimmetrius itervallumo itegrálu. A valós rész pedig azért adódi zérusa, mert az utolsó lépésbe látszi, hogy a si függvéy π helyee vett értéei adjá az eredméyt, amelye a si függvéy zérushelyei. Világos az is, hogy a feti számítása valóba ics értelme, ha = vagy =. Kaptu tehát, hogy ha és aor a c együttható zérus. Követezzé most az = eset. i i c f e d cos e d cos cos isid i i cos d cos si d cos d si d 4 4 si cos i ; 4 4 Hasoló számításoal adódi az is, hogy c, a ülöbség a feti számításohoz épest csa ayi, hogy a feti itegráloa em a ülöbségét haem az összegét ell épezi, de mivel a épzetes rész zérus, az eredméy = eseté em változi. A cos függvéy omple Fourier-sora tehát valóba Adódi tehát a várt eredméy. i i cos e e ; 7. Példa: Határozzu meg az alábbi függvéy ( egyeiráyított harmoius jel ) Fourier-sorát: f cos, ha f ülöbe

23 A függvéy páros, tehát az egyszerűség edvéért alalmazzu a sorfejtéshez a páros függvéyere levezetett együttható formulát. c cos cos cos f d d 0 0 Az itegrál iszámításához ismét haszálju a cos cos cos cos trigoometrius azoosságot. si 0,5 si 0,5 c cos cos d 0,5 0,5 0 0 si 0,5 si 0,5 si si 0 0 0,5 0,5 4 Az együttható birtoába írhatju az epoeciális függvéye szerit haladó Fourier-sort: f e 4 Az általáos megállapításoa megfelelőe valós együtthatójú sort aptu. Ismét a Dirichlet- Jorda tételre hivatozva írható az egyelőség, a sor előállítja a függvéyt mideütt, mert a függvéy mideütt folytoos. 8.Példa: Határozzu meg a övetező π-szerit periodius függvéy ( fűrészfogrezgés ) omple Fourier-sorát:,ha f ( ) 0,ha f( ), ülöbe Ee a függvéye a trigoometrius Fourier-sorát már előállítottu orábba a jegyzetbe. Ittei eredméyeiet majd összevetjü az idézett példabeli eredméyeel. A függvéy páratla, így az együtthatóa tisztá imagiárius számoa ell leiü. Ha 0 aor parciális itegrálással apju, hogy i

24 f i i i g e c f e d e d f i g e i i i i i i e e e e e d i i i i i i e e i i e e i i cos cos i si cos i si i i i 0 i 0 i Ha viszot = 0 azoal adódi, hogy c0 d 0 hisze páratla függvéyt itegrálu origóra szimmetrius itervallumra. Kaptu tehát, hogy a omple Fourier együttható a övetező c0 0; c i; Z \ 0 ; valóba tisztá imagiárius számo. Eze eredméye alapjá a omple Fourier-sor az alábbi. f i e 0 9.Példa: Határozzu meg a 7. példába szereplő függvéy trigoometrius Fourier-sorát a omple Fourier-sor együtthatóia felhaszálásával. A valós és omple együttható özötti összefüggés alapjá 0 i a0 c a c c ; 4

25 b ic c i i A legutóbbi eredméy a váraozása megfelelőe azt jeleti, hogy egy páros függvéy Fourier sorába icsee sziuszos tago. Mit látju ez természetese a omple iráyból megözelítve is adódi. A számításo eredméyeire támaszodva adódi a trigoometrius Fourier-sor 4 f ( ) cos 4 Az ábrázolás érdeébe felírju a sor éháy tagját: f ( ) cos cos cos Mit már említettü, a Fourier-sor mideütt előállítja a függvéyt, tehát valóba írhatu egyelőséget. 0. Példa: Írju fel a orábba már vizsgált, egyeiráyított sziuszjel omple Fourier-sorát. 0,ha 0 f ( ) si,ha 0 f( ), ülöbe Ee a periodius függvéye a trigoometrius sorát már meghatároztu a. példába. Az ottai eredméye szerit a trigoometrius Fourier-együttható a övetező a 0 ; a 0; a ; b ; b 0 ha ; Eze együttható ismeretébe a omple együttható a 0 0 ; a ib ; és a ib c a c c formulá alapjá már adóda. Eszerit a eresett Fourier-együttható c0 a0 ; 0i 0i a ib i a ib i c ; c ; 4 4 a ib 0 i0 a ib 0 i0 c 0; c 0; ha 5

26 c c a ib a i0 a a ib a i0 a Ahoa a omple Fourier-sor az alábbi alaot ölti i i i i i i i i i i f e e e e e e Példa: A 8. példa eredméyei alapjá határozzu meg a példába szereplő függvéy valós Fourier együtthatóit. Idézzü a omple együtthatóat. c0 0; c i; Z \ 0 ; A valós és omple együttható özötti apcsolatot felírva azt apju, hogy a0 c0 0; a c c i i i i 0; b ic c i i i i ; amely eredméy teljes mértébe összhagba va a valós eredméyeel..példa: Határozzu meg a övetező T = p = periódusú függvéy omple Fourier-sorát. f f Ebbe a példába sh, ülöbe T p ; p ; i, tehát a sor alaja ; ; f c e ;. A függvéy páratla. Továbbra is igaz, hogy ebbe az esetbe az együttható tisztá imagiárius számo. Állítsu elő az együtthatóat. A hiperbolius függvéy defiíciója szerit írhatju, hogy P i i i c f e d e d e e e d P 4 sh P i i i i i i e e e e e e d 4 4 i i 4 i i i i i i i i i i e e e e e e e e e e 4 i i i i 4 i e i e i i 6

27 cos i si cos i si cos i si cos i si e e 4 i e i e i i i 0 i 0 i 0 i 0 e e 4 i e i e i i e e e e sh 4 i i i i i i sh sh i i Ezzel az együtthatóat előállítottu. A váraozása megfelelőe imagiárius számo. A omple Fourier-sor eze alapjá a övetező sh f i e Írju most fel a omple együttható ismeretébe a valós Fourier-sort is. Mivel páratla a függvéy, eredméyét azt ell apu, hogy az a 0 és a együttható mid zéruso. Elleőrizzü. Az együttható özti összefüggése az alábbia. Eze alapjá adódi, hogy sh0 a0 c0 i 0; 0 0 i a0 c0 ; a c c ; és b i c c ; sh sh sh a c c i i i 0; sh sh sh sh b i c c i i i sh sh ; Az a 0 és a együttható a váraozása megfelelőe valóba zéruso. A számításo eredméye alapjá a trigoometrius Fourier-sor a övetező sh f si sh si sh si si si

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására

A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására A fogótétel alalmazása sorozato határértéée iszámolására Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Mide izoyal ics más olya matematiai tétel amelye olya so megevezése lee, mit az úgyevezett fogótétele, amelye gyaori

Részletesebben

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged Magas szitű matematiai tehetséggodozás Számelméleti érdeessége dr. Kosztoláyi József, Szeged A számelmélet bőveledi olya érdésebe, problémába, összefüggésebe, amelye elemi módszereel megözelíthető. Bizoyos

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 + . Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények 9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

n*(n-1)*...*3*2*1 = n!

n*(n-1)*...*3*2*1 = n! Kombiatoria Permutáció: egymástól ülöböző elem egy meghatározott sorredbe való elredezése az elem egy permutációja. Az összes permutáció (ülöböző sorrede) száma: P! 0!: *(-)*...***! Ismétléses permutáció:

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása

Részletesebben

Járatszerkesztési feladatok

Járatszerkesztési feladatok Járatszeresztési feladato 1 Járatszeresztési feladato DR. BENKŐJÁNOS Agrártudomáyi Egyetem GödöllőMezőgazdasági Géptai Itézet A járat alatt a logisztiába általába a járműve meghatározott több állomást

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

m,p) binomiális eloszlás.

m,p) binomiális eloszlás. A Valószíűségszámítás I. előadássorozat hatodi témája. Néháy fotos diszrét eloszlás. Ismertetem éháy fotos diszrét eloszlás defiicióját, és tárgyalom eze legfotosabb tulajdoságait. Az eloszláso bevezetés

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

V. Oszthatóság a természetes számok halmazában

V. Oszthatóság a természetes számok halmazában V Oszthatóság a természetes számo halmazába V Általáos fogalma az oszthatósággal apcsolatba A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelműe léteze q és r természetes

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl.

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl. 2. tétel Számhalmazo (a valós számo halmaza és részhalmazai), oszthatósággal apcsolatos problémá, számredszere. SZÁMHALMAZOK Halmazábrá ábrázolom a valós számo halmazát és részhalmazait (éháy példával).

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

Diszkrét matematika I. középszint Alapfogalmakhoz tartozó feladatok kidolgozása

Diszkrét matematika I. középszint Alapfogalmakhoz tartozó feladatok kidolgozása Diszrét matematia I. özépszint Alapfogalmahoz tartozó feladato idolgozása A doumentum a övetező címen elérhető alapfogalmahoz tartozó példafeladato lehetséges megoldásait tartalmazza: http://compalg.inf.elte.hu/~merai/edu/dm1/alapfogalma.pdf

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

A gyors Fourier-transzformáció (FFT)

A gyors Fourier-transzformáció (FFT) A gyors Fourier-transzformáció (FFT) Egy analóg jel spetrumát az esete döntő többségében számítástechniai eszözöel határozzu meg. A jelet mintavételezzü és elvégezzü a mintasorozat diszrét Fouriertranszformációját.

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként.

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként. A szta formula és alalmazása. Gyaran találozun az alább érdéssel, soszor egy összetett feladat részfeladataént. Tentsün bzonyos A 1,...,A n eseményeet, és számítsu anna a valószínűségét, hogy legalább

Részletesebben

Legfontosabb bizonyítandó tételek

Legfontosabb bizonyítandó tételek Legfontosabb bizonyítandó tétele 1. A binomiális tétel Tetszőleges éttagú ifejezés (binom) bármely nem negatív itevőj ű hatványa polinommá alaítható a övetez ő módon: Az nem más, mint egy olyan n tényezős

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

XL. Felvidéki Magyar Matematikaverseny Oláh György Emlékverseny Galánta 2016 Megoldások 1. évfolyam. + x = x x 12

XL. Felvidéki Magyar Matematikaverseny Oláh György Emlékverseny Galánta 2016 Megoldások 1. évfolyam. + x = x x 12 XL. Felvidéi Magyar Matematiaverseny Oláh György Emléverseny Galánta 016 Megoldáso 1. évfolyam 1. Oldju meg az egész számo halmazán az egyenletet. x 005 11 + x 004 1 = x 11 005 + x 1 004 Az egyenlet mindét

Részletesebben

3. Valószínűségszámítás

3. Valószínűségszámítás Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció 3..3. Kombiáció 3 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai 3 3.4.

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 0. tétel zámsorozto orozt: Oly függvéy, melye értelmezési trtomáy pozitív egész számo hlmz. zámsorozt éphlmz vlós számo hlmz. f : N R f () jelöli sorozt -ei tgját.

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

Útvonalak száma, rekurzív számlálással

Útvonalak száma, rekurzív számlálással Útvoala száma, reurzív számlálással Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Napjaiba is gyara találozhatu olya feladatoal, ahol azt ell megszámolu, hogy adott potból, vagy potoból iidulva, adott feltétele mellett

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

VILLAMOS ENERGETIKA Vizsgakérdések (BSc. 2011. tavaszi félév)

VILLAMOS ENERGETIKA Vizsgakérdések (BSc. 2011. tavaszi félév) 1 VILLAMOS ENERGETIKA Vizsgaérdése (BSc. 2011. tavaszi félév) 1. Isertesse a villaoseergia-hálózat feladatr szeriti felosztását a jellegzetes feszültségsziteet és az azohoz tartozó átvihető teljesítéye

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben