Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések"

Átírás

1 1 Diszkrét matematika II., 1. el adás Lineáris leképezések Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 6 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó gyakorlaton való aktív részvétellel Ön képes lesz egy képlettel vagy geometriai leírással adott leképezés linearitását eldönteni az R n vektortérben; egy képlettel megadott leképezés linearitását eldönteni a valós sorozatok körében; egy képlettel megadott leképezés linearitását eldönteni a valós polinomok körében; egy lineáris leképezés képterének és magterének meghatározására, és ezzel az injektivitás és szürjektivitás eldöntésére; vektorterek izomorájának eldöntésére a dimenzió segítségével; egy lineáris leképezés mátrixának felírására és ennek segítségével konkrét vektorok képének meghatározására; lineáris leképezések kompozícióját megadó mátrixok megadására. Elméleti, fogalmi célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó gyakorlaton való aktív részvétellel Ön a linearitáson keresztül megérti a m velettartó leképezés fogalmát, és el tudja képzelni, hogy ez más struktúrák esetén is értelmes fogalom; érzékeli, hogy a linearitás igen er s megkötés egy leképezésre; érzékeli annak a jelent ségét, hogy egy lineáris leképezés egy mátrixszal is megadható, és így a gyakorlatban könnyen végrehajtható; megérti, hogy az izomorf struktúrák lényegében ugyanazok; a dimenziótétel kapcsán megtapasztalja az inejtivitás és a szürjektivitás közti kapcsolatot; látja a mátrixszorzás egy alkalmazási lehet ségét. A téma jelent sége A vektorok körében ugyanolyan fontosak a lineáris leképezések, mint a számok körében a szokásos lineáris függvények, azaz az f (x) = ax + b alakú függvények. Gyakran van szükség arra, hogy valamilyen mért értékekb l álló vektorokat egy programmal (lineárisan) transzformáljuk; látni fogjuk, hogy ez mátrixok segítségével könnyen elvégezhet. A többváltozós függvények körében is fogunk találkozni lineáris függvényekkel. A függvénygrakon egyenessel való közelítéséhez hasonlóan itt a síkkal való közelítést alkalmazhatjuk, ami kiindulási ponttól való eltérésvektor lineáris függvénye.

2 A kódoláselméletben is fontos szerepet játszanak a lineáris leképezések. A legegyszer bb hibajelz kódolás abban áll, hogy egy számsorozat után biggyesztjük a számok összegét is, így ha a számsorozat továbbítása során valamelyik szám "megsérül", azaz a címzett mást kap helyette, akkor ezt az ellen rz összegb l azonnal észreveszi. Ez, és ennek a módszernek a nagyobb hibákat is jelz általánosításai mind lineáris leképezések. Szükséges fogalmak és módszerek korábbról vektortér; altér; zártsági feltételek ellen rzése; lineáris kombináció; injektív ill. szürjektív leképezés; ekvivalenciareláció; bázis, dimenzió, szám n-esek tere; dimenzió meghatározása; mátrix mátrixok szorzása; Formális deníció Deníció. Legyenek V 1 és V 2 ugyanazon T test feletti vektorterek. A V 1 -b l V 2 -be ható A függvényt lineáris leképezésnek nevezzük, ha m velettartó, azaz (i) 8u; v 2 V 1 -re A(u + v) = Au + Av; (ii) 8u 2 V 1 ; 8 2 T -re A(u) = (Au) 2 Írásmód: A(u) helyett Au. Szavakkal megfogalmazva: (i) összeg képe egyenl a képek összegével; (ii) konstansszoros képe egyenl a kép konstansszorosával; Forgatás, mint lineáris leképezés A forgatás a síkot önmagára képezi le. Ha egy függvény értelmezési tartománya és képhalmaza megegyezik, transzformációról beszélünk. Azaz a forgatás egy geometriai transzformáció. A lineáris transzformáció egy olyan lineáris leképezés, ahol... Vajon az origó körüli forgatás lineáris transzformáció-e? dolgozunk, így értelmezhet az összeg és a konstansszoros. Itt nem pontokkal, hanem a megfelel helyvektorokkal a) Két helyvektor összegét elforgatjuk. b) A két helyvektort elforgatjuk, majd a képeiket összeadjuk. Ugyanoda jutunk?

3 3 ÁBRA: Igen, a forgatás egybevágósági transzformáció, így a két háromszög egybevágó! Hasonlóan: a) Egy helyvektor konstansszorosát elforgatjuk. b) A helyvektort elforgatjuk, majd megszorozzuk ugyanazzal a konstanssal. Ugyanoda jutunk? További példák Példa. 1. A síkon az x-tengelyre vonatkozó vetítés lineáris transzformáció. Ez igazolható geometriai úton is (ábra), de egyszer en koordinátákkal való számolással is: Tipp: A vetítés az x = (x 1 ; x 2 ) vektorhoz hozzárendeli a V x = (x 1 ; 0) vektort. TÁBLÁN Példa. 2. A síkon az eltolás nem lineáris transzformáció. Tipp: szinte tetsz leges két vektor az összeadásra nézve, itt is számolhatunk koordinátákkal. Az eltolás mértéke is tetsz leges, válasszunk valami egyszer t! Példa. 3. A polinomok körében a deriválás lineáris leképezés-e? Tipp: Ellen rzésképpen írjuk fel a linearitás két axiómáját erre a konkrét esetre, és gondoljuk meg, igazak-e ezek a deriválásra! Formális deníció Deníció. Legyenek V 1 és V 2 ugyanazon T test feletti vektorterek. A V 1 -b l V 2 -be ható A függvényt lineáris leképezésnek nevezzük, ha m velettartó, azaz (i) 8u; v 2 V 1 -re A(u + v) = Au + Av; (ii) 8u 2 V 1 ; 8 2 T -re A(u) = (Au) Szavakkal megfogalmazva: (i) összeg képe egyenl a képek összegével; (ii) konstansszoros képe egyenl a kép konstansszorosával; Megjegyzés. Az (i)-beli + jelek nem ugyanazt a m veletet jelölik, hasonlóan a skalárral való szorzás sem ugyanaz (ii)-ben. Megjegyzés. V 1 minden eleméhez egyértelm a kép, hiszen függvény. Megjegyzés. V 2 -beli elem sképe nem feltétlenül egyértelm és nem feltétlenül létezik (nem feltétlenül injektív, ill. szürjektív). Egyszer következmények Tétel. I. A0 1 = 0 2, ahol 0 i a V i vektortér nulleleme. (Nullvektor képe nullvektor) II. A( u) = (Au) Bizonyítás. I. Trükk: u = u =A() Au = A(u ) /linearitás a jobb oldalon Au = Au + A0 1 = Au

4 4 Au Au = (Au + A0 1 ) Au /komm. és asszoc. Au Au = (Au Au) + A0 1 /vektortérax. (V 2 -ben!) 0 2 = A0 1 = = A0 1 II. 0 2 = A0 1 = A(u + ( u)) = Au + A( u)= Au } Egyszer következmények Tétel. III. A( 1 u 1 + : : : + k u k ) = 1 Au 1 + : : : + k Au k. Bizonyítás. Speciálisan két tényez re az összefüggés:a(a + b) = A(a) + (b). Bizonyításban felhasználjuk a két axiómát: A(a + b) = A(a) + A(b) = A(a) + A(b) Következmény. Egy leképezés akkor és csak akkor lineáris, ha megtartja a kéttagú lineáris kombinációt, azaz A(a + b) = A(a) + A(b). Bizonyítás. A lineáris leképezések a tétel szerint megtartják a lineáris kombinációt. Fordítva, az összeg megkapható = 1; = 1-gyel, a skalárszoros pedig = c; = 0-ként. Megjegyzés. A következmény segítségével egy lendülettel ellen rízhet, hogy egy leképezés lineáris-e. Képtér, magtér Deníció. Legyen A lineáris leképezés V 1 -b l V 2 -be. A képtere: a képelemek halmaza. A magtere: a 0 2 -re képezett elemek halmaza. Jelölés: ImA = fy 2 V 2 j 9x 2 V 1 : Ax = yg = faxj x 2 V 1 g a képtér, KerA = fx 2 V 1 j Ax = 0 2 g. Tétel. ImA altér V 2 -ben, KerA altér V 1 -ben. Bizonyítás. Magtér: zárt-e az összeadásra és a skalárral való szorzásra? Egyszer bben: zárt-e a lineáris kombinációra? u; v 2 KerA )?u + v 2 KerA Au = Av = 0 )?A(u + v) = 0 A(u + v) = A(u) + A(v) = = 0 Képtér esetén hasonlóan. (HF) Példák } Példa. Legyen V 1 = V 2 a sík. Ekkor lineáris leképezés: origó körüli elforgatás: Ez egy injekció, azaz origó csak az origónak a képe, vagyis KerF = f0g. Mivel szürjekció is, minden pontnak van se, azaz ImF = V 2. vetítés az x-tengelyre: Az egész y-tengely az origóba megy, azaz KerV = f(; 0; y) j y 2 Rg. Az értékkészlet ImV = x-tengely.

5 deriválás: KerD: Milyen polinomok deriváltja a 0? ImD: Milyen polinomok kaphartóak meg deriválással? Tetsz leges V 1 és V 2 esetén V 1 minden elemének feleltessük meg a V 2 nullelemét. Ez a nulla leképezés jelölés: O. V 1 = V 2 = V és minden elem képe önmaga. Ez az identikus leképezés, id V. Izomorzmus Deníció. Izomorzmus: bijektív lineáris leképezés. V vektortér izomorf Z-vel, ha van V! Z izomorzmus. Jelölés: V = Z. Izomorf vektorterek a mi szempontunkból megkülönböztethetetlenek. Izomorzmus eldönthet a kép- és magtere alapján: Tétel. Az A : V 1! V 2 lineáris leképezés akkor és csak akkor izomorzmus, ha KerA = f0g és ImA = V 2. Bizonyítás. ImA = V 2 pontosan azt jelenti, hogy V 2 minden eleme kép, azaz A szürjektív. KerA = f0g ) injektivitás: Tfh. Au = Av, következik-e, hogy u = v? A(u v) = Au Av = 0, tehát u v 2 KerA = f0g, így u = v. Fordítva, tfh. A injektív, és legyen u 2 KerA. Ekkor Au = 0 = A0, így az injektivitás miatt u = 0!, vagyis KerA = f0g. } Megjegyzés. f0g helyett az egyszer bb 0 jelölést használjuk. Izomorzmus Tétel. Az izomora ekvivalenciareláció, azaz V = V V = Z esetén Z = V V = Z és Z = W esetén V = W Bizonyítás. Identikus leképezés, izomorzmus inverze, izomorzmusok szorzata (összetett függvény)... } Mik az osztályok? Mivel azonosítható egy osztály? Mi az osztályok jellemz reprezentánsa? Sejtés: T n, az n-komponens vektortér a jellemz n-dimenziós vektortér. n-dimenziós vektorterek Tétel. Ha V a T test feletti n-dim. vektortér, akkor V = T n. Bizonyítás. Rendeljük egy u 2 V vektorhoz egy el re rögzített bázisban adódó koordinátáit. Ez a hozzárendelés izomorzmus: Legyen u 1 ; ; u 2 ; : : : ; u n egy bázis V -ben és legyen A : V! T n 1 u 1 + : : : + n u n 7! ( 1 ; : : : ; n ) Ez bijektív, hisz a ránézésre megadható az inverze. (Mi az?) 5 Továbbá lineáris leképezés is, ld. TÁBLA! }

6 6 Következmény. Két azonos dimenziós vektortés izomorf. Bizonyítás. Ha mindkett n-dimenziós, akkor mindkett izomorf T n -nel. A tranzitivitás miatt egymással is izomorfak. } Tehát az azonos dimenziós vektorterek egy osztályba esnek. Már csak azt kell belátni, hogy a különböz dimenziós vektorterek nem lehetnek izomorfak. Kontrapozícióval: Tétel. Ha két vektortér izomorf, akkor azonos dimenziósak. Bizonyítás. Tfh. U = V. Ekkor van egy A : U! V izomorzmus. Legyen u 1 ; : : : ; u n bázis U-ban, azt állítjuk, hogy Au 1 ; : : : ; Au n bázis V -ben. (Bázis képe bázis) Generátorrendszer: Legyen v 2 V. Szürjektivitás ) létezik u 2 U, hogy Au = v. A linearitása miatt Független: v = Au = A( 1 u 1 + : : : + n u n ) = 1 (Au 1 ) + : : : + n (Au n ): 1 (Au 1 ) + : : : + n (Au n ) = 0 ) A( 1 u 1 + : : : + n u n ) = 0 = A0: Az injektivitás miatt 1 u 1 + : : : + n u n = 0, s mivel u i -k függetlenek, 1 = : : : = n = 0. } Dimenziótétel Tétel. Legyen U véges dimenziós és V tetsz leges vektortér T test felett, A : U! V lineáris leképezés. Ekkor dim KerA + dim ImA = dimu: Bizonyítás. Legyen dim U = n; dim KerA = s. b 1 ; : : : ; b s bázis KerA-ban. Ezt kiegészítjük b s+1 ; : : : ; b n vektorokkal U bázisává. Állítjuk, hogy Ab s+1 ; : : : ; Ab n ImA bázisa lesz. Generátorrendszer: Ha Au egy tetsz leges elem ImA-ban, és u = 1 b 1 + : : : + n b n. Ekkor Au = A( 1 b 1 + : : : + n b n ) = 1 Ab 1 + : : : + n Ab n = s+1 Ab s+1 + : : : + n Ab n : Függetlenség: Tegyük fel, hogy s+1 Ab s+1 + : : : + n Ab n = 0. Ekkor A( s+1 b s+1 + : : : + n b n ) = 0, azaz x = s+1 b s+1 + : : : + n b n 2 KerA. Viszont így x felírható x = 1 b 1 + : : : + s b s alakban is. Tehát 1 b 1 + : : : + s b s s+1 b s+1 : : : n b n = 0 ami a b 1 ; : : : ; b n bázis volta miatt azt jelenti, hogy i = 0 minden i-re. } Következmény. Legyen A a véges dimenziós V vektortér lineáris transzformációja (önmagára való lineáris leképezése). Ekkor ImA = V, KerA = 0: Más szavakkal: egy lineáris transzformáció akkor és csak akkor injektív, ha szürjektív is. Lineáris leképezések szorzása Deníció. Legyenek U; V és W ugyanazon T test feletti vektorterek, A : V! W; B : U! V lineáris leképezések. A és B szorzata, másképpen kompozíciója: AB : U! W leképezés, melyre (AB)u = A(Bu). El ször a másodiknak írt B-t alkalmazzuk!! Ez ugyanaz a leképezésszorzás, mint els félévben, csak itt speciális leképezésekre használjuk. Teljesül a zártság a szorzásra: Tétel. Lineáris leképezések szorzata is lineáris leképezés.

7 7 Bizonyítás. HF. A linearitás szabadsági foka Az, hogy egy leképezés lineáris, nagyon er s megkötés. Tétel. Legyen b 1 ; : : : ; b n bázis az U vektortérben, valamint legyenek c 1 ; : : : ; c n tetsz leges elemek az ugyanazon test feletti V vektortérben. Ekkor pontosan egy olyan A : U! V lineáris leképezés létezik, melyre Tehát a lineáris leképezés egy rögzített bázis elemeinek képével jellemezhet. Bizonyítás. Egyértelm ség: Legyen u 2 U. Ekkor u = 1 b 1 + : : : + n b n egyértelm en. Ha (1) teljesül A-ra, akkor azaz Au egyértelm en meghatározott. Ab i = c i i = 1; 2; : : : ; n (1) Au = A( 1 b 1 + : : : + n b n ) = 1 c 1 + : : : + n c n ; Létezés: az a leképezés, ami egy u = 1 b 1 + : : : + n b n U-beli vektorhoz a 1 c 1 + : : : + n c n V -beli vektort rendeli, lineáris... } Lineáris leképezés mátrixa Egy lineáris leképezés megadható U-beli báziselemek képével. Ezek a V -beli képek felírhatók V -beli báziselemek lineáris kombinációiként. Ezeket az együtthatók egyértelm en meghatározzák. Deníció. Legyen U egy rögzített bázisa a 1 ; : : : ; a n, a V egy r gzített bázisa pedig b 1 ; : : : ; b k. Egy A : U! V lineáris leképezés a 1 ; : : : ; a n és b 1 ; : : : ; b k bázispár szerinti mátrixán azt a k n-es mátrixot értjük, amelyiknek j-ik oszlopában az Aa j vektornak a b 1 ; : : : ; b k bázis szerinti koordinátái állnak. Jele [A] a;b. Példa Példa. Az origó középpontú, szög forgatás mátrixa a standard bázisban: Példa. Az x-tengelyre való vetítés mátrixa: Példa. A legfeljebb harmadfokú polinomok terében a deriválás mátrixa: Lineáris leképezés mátrixa

8 8 Legyen Aa 1 = 11 b b 2 + : : : + k1 b k Aa 2 = 12 b b 2 + : : : + k2 b k. Ekkor Aa n = 1n b 1 + 2n b 2 + : : : + kn b k [A] a;b = : : : 1n : : : 2n... k1 k2 : : : kn 1 C A Vektor mátrixa Ahhoz, hogy a mátrix segítségével könnyedén tudjuk végrehajtani a lineáris leképezéseket, szükséges értelmezni egy vektor mátrixát. Deníció. Legyen c 1 ; : : : ; c r bázis a V vektortérben. Minden v 2 V vektor egyértelm en írható v = g 1 c 1 + : : : + g r c r alakban. A v vektornak a c 1 ; : : : ; c r bázis szerinti mátrixán (koordináta vektorán) a (oszlop)mátrixot értjük. Mátrix és leképezés [v] c = Tétel. Legyen az U bázisa a 1 ; : : : ; a n a V egy bázisa pedig b 1 ; : : : ; b k. Legyen A 2 Hom(U; V ) és v 2 U. Ekkor r 1 C A [Av] b = [A] a;b [v] a : A bázis a gyakorlatban általában a standard bázis. Egy korábbi tétel szerint tetsz leges mátrixhoz pontosan egy olyan lineáris leképezés létezik, aminek ez a mátrixa. A fenti tétel szerint ez éppen a mátrixszal való balrólszorzás. Ahhoz, hogy megállapítsuk egy leképezés linearitását, a következ t is tehetjük: 1. Felírjuk a "mátrixát" a báziselemek képei alapján. 2. Ellen rizzük, hogy a mátrixszal való szorzás az eredeti leképezést valósítja-e meg. Példák Lineáris leképezés-e az x-tengelyre való tükrözés? Az e 1 = (1; 0) képe önmaga, az e 2 = (0; 1) képe (0; 1). A képeket beírva egy mátrix oszlopaiba: T =

9 9 Ekkor egy tetsz leges vektor képe: T (x; y) = (x; y) =? Ez teljesül, azaz ez egy lineáris leképezés, a mátrixa pedig a fenti. Lineáris leképezések kompozíciója x y Tétel. Legyen az U bázisa a 1 ; : : : ; a n, a V egy bázisa b 1 ; : : : ; b k, W egy bázisa pedig c 1 ; : : : ; c r. Legyen továbbá A 2 Hom(V; W ); B 2 Hom(U; V ). Ekkor [AB] a;c = [A] b;c [B] a;b : Azaz a szorzatleképezés mátrixa a leképezések mátrixainak szorzata. Bizonyítás. Egy tetsz leges u 2 U vektor képe az AB leképezés mellett: (AB)(u) = A(B(u)) = A([B] a;b [u] a ) = [A] b;c ([B] a;b [u] a ) = ([A] b;c [B] a;b ) [u] a : Azaz az AB lineáris leképezést az [A] b;c [B] a;b mátrixxal való szorzás valósítja meg, tehát ez a leképezés mátrixa! } Összefoglalás Ezen az el adáson megismerkedtünk a lineáris leképezés fogalmával. Készen állunk arra, hogy a gyakorlaton eldöntsük egy leképezés linearitását akár a deníció alapján, akár a mátrixa segítségével. A képtér és a magtér egy új eszközt ad a kezünkbe az injektivitás és a szürjektivitás vizsgálatához, amit a dimenziótétel tesz teljessé. Megismerkedtünk az izomora fogalmával, és megtudtuk, hogy az izomora igen egyszer en, a dimenzió segítségével dönthet el. Megtanultuk, hogy a lineáris leképezést meghatározzák a báziselemek képei, azaz n-dimenziós értelmezési tartomány esetén egy lineáris leképezést elegend n független vektor képével megadni. Ennek alapján egyértelm en lehet kódolni egy lineáris leképezést egy mátrixban is, ehhez persze rögzíteni kell egy bázist mind az értelmezési tartományban, mind a képhalmazban. Ezek után a lineáris leképezés végrehajtása nagyon könny, egyszer en balról kell szorozni a mátrixszal a kérdéses vektort, illetve annak koordináta-mátrixát. Ellen rz kérdések 1. Mikor nevezünk egy leképezést lineárisnak, és mikor izomorzmusnak? 2. Mondjon egy geometriai transzformációt, ami lineáris, és egy olyat, ami nem. 3. Mi a lineáris leképezés képtere és magtere? 4. Mondja ki a vektorterek izomorájának szükséges és elegend feltételét! 5. Hogy kapjuk egy lineáris leképezés mátrixát? 6. Milyen összefüggés van egy L lineáris leképezés M mátrixa, és egy x vektor képe között? Megoldások Példa. 1. V (u + v)? =?V (u) + V (v) V (u + v) = V ((u 1 ; u 2 ) + (v 1 ; v 2 )) = V (u 1 + v 1 ; u 2 + v 2 ) = (u 1 + v 1 ; 0) V (u) + V (v) = V (u 1 ; u 2 ) + V (v 1 ; v 2 ) = (u 1 ; 0) + (v 1 ; 0) = (u 1 + v 1 ; 0)

10 Példa. 2. Válasszuk a jobbra egy egységgel való eltolást: T (x 1 ; x 2 ) = (x 1 + 1; x 2 ) Legyen u = (1; 2); v = (2; 3). Ekkor T (u + valsznsgivltoz) = T (3; 5) = (4; 5) és T (u) + T (v) = (2; 2) + (3; 3) = (5; 5). A kett nem egyenl, azaz nem lineáris a leképezés. Példa. 3. Igen, lineáris leképezés: D(f + g) = (f + g) 0 és D(f ) + D(g) = f 0 + g 0, a kett egyenl. D(cf ) = (cf ) 0 illetve cd(f ) = cf 0, a kett egyenl. 10

LÁNG CSABÁNÉ TELJES INDUKCIÓ, LOGIKA, HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK. Példák és feladatok

LÁNG CSABÁNÉ TELJES INDUKCIÓ, LOGIKA, HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK. Példák és feladatok LÁNG CSABÁNÉ TELJES INDUKCIÓ, LOGIKA, HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Példák és feladatok Lektorálta: Czirbusz Sándor c Láng Csabáné, 2010 ELTE IK Budapest 20101020 1. kiadás Tartalomjegyzék 1. Bevezetés...............................

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

OPERÁCIÓKUTATÁS. No. 2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZAS

OPERÁCIÓKUTATÁS. No. 2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZAS OPERÁCIÓKUTATÁS No. 2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZAS Budapest 2002 Komáromi Éva: LINEÁRIS PROGRAMOZÁS OPERÁCIÓKUTATÁS No.2 Megjelenik az FKFP 0231 Program támogatásával a Budapesti Közgazdaságtudományi

Részletesebben

5. Lineáris rendszerek

5. Lineáris rendszerek 66 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 5 Lineáris rendszerek 5 Lineáris algebrai előismeretek Tekintsük az a x + a 2 x 2 = b 5 a 2 x + a 22 x 2 = b 2 52 lineáris egyenletrendszert Az egyenletben szereplő

Részletesebben

Tudományos Diákköri Dolgozat

Tudományos Diákköri Dolgozat Tudományos Diákköri Dolgozat GÁSPÁR MERSE ELŽD VÉGTELEN ELLENÁLLÁSHÁLÓZATOK SZÁMÍTÁSA Témavezet k: Cserti József Dávid Gyula Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest,. október 3. Tartalomjegyzék El szó 3.

Részletesebben

Euler kör/út: olyan zárt/nem feltétlenül zárt élsorozat, amely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza

Euler kör/út: olyan zárt/nem feltétlenül zárt élsorozat, amely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza 1) Euler körök és utak, ezek létezésének szükséges és elégséges feltétele. Hamilton körök és utak. Szükséges feltétel Hamilton kör/út létezésére. Elégséges feltételek: Dirac, és Ore tétele. Euler kör/út:

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

P, NP, NP-C, NP-hard, UP, RP, NC, RNC

P, NP, NP-C, NP-hard, UP, RP, NC, RNC P, NP, NP-C, NP-hard, UP, RP, NC, RNC 1 Az eddig vizsgált algoritmusok csaknem valamennyien polinomiális idejuek, azaz n méretu bemeneten futási idejük a legrosszabb esetben is O(n k ), valamely k konstanssal.

Részletesebben

Elemi átalakítások. Dr. Maróti György. valamelyik egyenlet beszorzása egy nullától különböz számmal.

Elemi átalakítások. Dr. Maróti György. valamelyik egyenlet beszorzása egy nullától különböz számmal. Elemi átalakítások Dr. Maróti György Egyenletrendszerek helyett mátrixok Az elz témakörben számos egyenletrendszeren végeztünk ekvivalans átalakításokat. Emlékeztetül ezek két egyenlet felcserélése; valamelyik

Részletesebben

6. előadás Környezetfüggetlen nyelvtanok/1.

6. előadás Környezetfüggetlen nyelvtanok/1. 6. előadás Környezetfüggetlen nyelvtanok/1. Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Bevezetés CF nyelv példák Nyelvek és nyelvtanok egy- és többértelműsége Bal- és jobboldali levezetések Levezetési fák A

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Kockázati modellek (VaR és cvar)

Kockázati modellek (VaR és cvar) Kockázati modellek (VaR és cvar) BSc Szakdolgozat Írta: Kutas Éva Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet Mádi-Nagy Gergely egyetemi adjunktus Operációkutatási Tanszék Eötvös Loránd

Részletesebben

feltételek esetén is definiálják, tehát olyan esetekben is, amikor a hagyományos, a

feltételek esetén is definiálják, tehát olyan esetekben is, amikor a hagyományos, a A Valószínűségszámítás II. előadássorozat hatodik témája. ELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG ÉS ELTÉTELES VÁRHATÓ ÉRTÉK A feltételes valószínűség és feltételes várható érték fogalmát nulla valószínűséggel bekövetkező

Részletesebben

Szakdolgozat. Készítette: Csuka Anita. Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus

Szakdolgozat. Készítette: Csuka Anita. Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus Az szám Szakdolgozat Készítette: Csuka Anita Matematika Bsc, matematikai elemző szakirány Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

véletlen vektorokból álló sorozatok, amelyeknek a kovariancia mátrixai

véletlen vektorokból álló sorozatok, amelyeknek a kovariancia mátrixai 1. A probléma megfogalmazása. KÁLMÁN-FÉLE SZŰRŐK E jegyzet témája az úgynevezett Kálmán-féle szűrők vizsgálata. A feladat a következő. Adott egy x(0),x(1),..., több változós (együttesen) normális, más

Részletesebben

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória)

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY 013/014-ES TANÉV Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) Feladatok és megoldások A verseny az NTP-TV-13-0068 azonosító számú pályázat alapján a Nemzeti Tehetség

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

n = 1,2,..., a belőlük készített részletösszegek sorozata. Tekintsük az S n A n

n = 1,2,..., a belőlük készített részletösszegek sorozata. Tekintsük az S n A n Határeloszlástételek és korlátlanul osztható eloszlások. I. rész Az alapvető problémák megfogalmazása. A valószínűségszámítás egyik alapvető feladata a következő kérdés vizsgálata: Legyen ξ 1,ξ 2,... független

Részletesebben

Jelöljük az egyes területrészeket A-val, B-vel és C-vel, ahogy az ábrán látható.

Jelöljük az egyes területrészeket A-val, B-vel és C-vel, ahogy az ábrán látható. 1. feladat. 013 pontosan egyféleképpen írható fel két prím összegeként. Mennyi ennek a két prímnek a szorzata? 40 Megoldás: Mivel az összeg páratlan, ezért az egyik prímnek párosnak kell lennie, tehát

Részletesebben

A geometriák felépítése (olvasmány)

A geometriák felépítése (olvasmány) 7. modul: HÁROMSZÖGEK 13 A geometriák felépítése (olvasmány) Az általános iskolában megismertük a háromszöget, a négyzetet, a párhuzamosságot és hasonló geometriai fogalmakat, és tulajdonságokat is megfogalmaztunk

Részletesebben

k=1 k=1 találhatjuk meg, hogy az adott feltétel mellett az empirikus eloszlás ennek az eloszlásnak

k=1 k=1 találhatjuk meg, hogy az adott feltétel mellett az empirikus eloszlás ennek az eloszlásnak Nagy eltérések elmélete. A Szanov tétel. Egy előző feladatsorban, a Nagy eltérések elmélete; Független valós értékű valószínűségi változók feladatsorban annak az eseménynek a valószínűségét vizsgáltuk,

Részletesebben

Tudománynépszer sít és szakmai el adások középiskolásoknak

Tudománynépszer sít és szakmai el adások középiskolásoknak Tudománynépszer sít és szakmai el adások középiskolásoknak Bessenyei Mihály: Mozaikok matematikus módra Bertrand Russel, a híres matematikus-lozófus szerint a matematika nemcsak igazság, hanem fennkölt

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

24. Valószínűség-számítás

24. Valószínűség-számítás 24. Valószínűség-számítás I. Elméleti összefoglaló Események, eseménytér A valószínűség-számítás a véletlen tömegjelenségek vizsgálatával foglalkozik. Azokat a jelenségeket, amelyeket a figyelembe vett

Részletesebben

Jelek és rendszerek - 1-2.előadás

Jelek és rendszerek - 1-2.előadás Jelek és rendszerek - 1-2.előadás Bevezetés, rendszeranaĺızis az időtartományban Mérnök informatika BSc (lev.) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 1. modul Logika Készítette: Vidra Gábor Matematika A 10. évfolyam 1. modul: Logika Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés

Részletesebben