Elemi átalakítások. Dr. Maróti György. valamelyik egyenlet beszorzása egy nullától különböz számmal.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Elemi átalakítások. Dr. Maróti György. valamelyik egyenlet beszorzása egy nullától különböz számmal."

Átírás

1 Elemi átalakítások Dr. Maróti György Egyenletrendszerek helyett mátrixok Az elz témakörben számos egyenletrendszeren végeztünk ekvivalans átalakításokat. Emlékeztetül ezek két egyenlet felcserélése; valamelyik egyenlet beszorzása egy nullától különböz számmal. valamelyik egyenlet számszorosának hozzáadása egy másik egyenlethez. Ugyanakkor észrevehetjük, hogy az egyenlerendszerek átalakítása során csak az egyes egyenletekben lév együtthatókkal számoltunk. A változók hazsnálata valójában csak ahhoz kellett, hogy a megszokott "egyenlet alakot" megtarthassuk. Jogosan merül fel a gondolat, hogy számításainkat elegend lenne az együtthatókat tartalmazó téglalap alakú táblázaton, vagyis az egyenletben szerepl számokból álló mátrixon elvégezni. Tekintsük például az egyenletrendszert, és képezzük az együtthatóból és a szabad tagokból álló bvített mátrixot. Ezután végezzük el az egyenletrendszeren a már megismert átalakításokat úgy, hogy közben a bvített mátrix esetében megfogalmazzuk az analóg mveleteket. Egyenletrendszer Átalakítás Mátrix Átalakítás

2 Az els egyenletet kivonjuk a másodikból, háromszorosát a negyedikbl. A mátrix elemei úgy alakulnak át, hogy els sorának elemeit kivonjuk a második sor megfelel elemeibl, majd az els sorban lév elemek háromszorosait kivonjuk a negyedik sor megfelel elemeibl. A második és a harmadik egyenletet felcseréljük A mátrix úgyalakul át, hogy a második és harmadik sorát felcseréljük. A második egyenletet hozzáadjuk a negyedikhez A mátrix második sorának elemeit hozzáadjuk a negyedik soárnak megfelel elemeihez. A harmadik egyenletet kivonjuk a negyedikbl. A mátrix harmadik soránek elemeit kivonjuk a negyedik sor megfelel elemibl.

3 Definíció Az lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixán vagy csak röviden mátrixán illetve bvített mátrixán rendre a következ mátrixokat értjük,. Az egyenletbl álló ismeretlenes egyenletrendszer az együtthatómátrixa -es, míg a bvített mátrixnak eggyel több oszlopa van, így típusaa. Eszerint bármely egyenletrendszerhez hozzárendelhet egy -es mátrix, az bvített mátrixa. Másrészt bármely -es mátrix felfogható valamely egyenletrendszer bvített mátrixának. Valóban nem kell mást tennünk, mint a mátrix soraiban található balról jobb elemeket rendre - nel megszorozni, venni ezen szorzatok összegét és egyenlvé tenni a sor utolsó elemével. A kapott egynletrendszer bvített mátrixa a kiindulási mátrix. Például mátrixhoz a most ismeretetett eljárás a

4 egyenletrendszert rendeli, és ennek bvített mátrixa valóban a fenti kiindulási mátrix. Definíció Egy mátrix sorain elvégzett elemi átalakítások alatt az alabbi mveletek valamelyikét értjük. 1. Sorcsere. A mátrix két sorának felcserélése. 2. Beszorzás. A mátrix valamely sorának nem nulla számmal való szorzása, mely alatt azt értjük, hogy az adott sor elemeit azok számszorosával helyettesítjük. 3. Hozzáadás. A mátrix valamely sora számszorosának hozzáadása egy másik sorhoz. Ez azt jelenti, hogy valamely sor elemeit helyettesítjük önmagának és a másik sor megfelel eleme számszorosának összegével. Az -edik és -edik sor cseréje a következ képpen szemléltethet:. Az -edik sor konstanssal való beszorzása. Az -edik sorhoz az -edik sor -szeresének hozzáadása A kipontozott elemeket az egyes elemi átalakítások változalanul hagyják. Kidolgozott feladatok 1. Feladat

5 Tekintsük a mátrixot és hajtsuk végre az alábbi elemi átalakítást, kézi számolással és Mapleben is. Sorcsere: az els és harmadik sor cseréje. A kapott mátrixot alakítsuk is vissza elemi átalkakítással a kiindulás mátrixszá. Megoldás. (1.1.1) (1.1.2) (1.1.3)

6 2. Feladat Tekintsük a mátrixot és hajtsuk végre az alábbi elemi átalakítást, kézi számolással és Mapleben is. Beszorzás: a második sor szorzása 3-mal. A kapott mátrixot alakítsuk is vissza elemi átalkakítással a kiindulás mátrixszá. Megoldás (1.1.4) (1.1.5) (1.1.6)

7 (1.1.6) 3. Feladat Tekintsük a mátrixot és hajtsuk végre az alábbi elemi átalakítást kézi számolással és Mapleben is. Hozzáadás: a második sor háromszorosának hozzásadása a harmadik sorhoz. A kapott mátrixot alakítsuk is vissza elemi átalkakítással a kiindulás mátrixszá. Megoldás (1.1.7) (1.1.8)

8 (1.1.9) A kidolgozott feladatok alapján világos, hogy mindegyik elemi transzformáció "megfordítható", abban az értelemben, hogy az elemi átalakítás eredményeként keletkezó mátrix alkalmas elemi átalakítással visszaalakítható az eredeti mátrixszá. Ebbl az is következik, hogy ha valamely mátrixra elemi átalakítások egy sorozatát alkalmazzuk, akkor a kapott mátix ugyancsak visszaalakítható az eredeti mátrixszá. Nem kell ugyanis mást tennünk, mint az alkalmazott elemi átalakítások "megfordításait" fordított sorrendebn alkalmazni. A kapott eredmény fontos számunkra, így tétel formájábanis kimondjuk. Tétel Ha a mátrix az mátrixból elemi átalakításokkal keletkezik, akkor is megkapható -bl elemi átalakítássokkal.v Eléggé nyilvánvaló, hogy az egyenletek ekvialens átalakításai és a mátrixok elemi átalakítássai párba állíthatók. Az egyenletek cseréje megfelel a sorcserének, az egyenlet beszorzása megfelel a beszozásnak, míg az egyik egyenlet számszorosának hozzáadása a másik egyenlethez megfelel a hozzáadás elemi átalakításnak. Az is világos, hogy ha egy egyenletrendszernek veszzük a bvített mátrixát, majd ezen elemi átalakításokat végzünk, végül a felírjuk a kapott mátrixhoz tartozó egyenletendszert, akkor olyan egyenletrndszerhez jutunk, ami a kiindulási egyenletrendszerbl ekvivalens átalakítokkal megkapható, és mint ilyen az eredetivel ekvivalens. A fenti ábra élei fordított írányban is bejárhatók. Ha kiindulunk egy mátrixból (legyen legelább két

9 oszlopa), és veszzük a hozzá tartotó egyenletrendszert, majd ezen ekvivalens átalakításokat végzünk, végül a kapott egyenletrendszernek vesszük a bvített mátrixát, akkor olyan mátrixhoz jutunk, ami a kiindulási mátrixból elemi átalakítássokal nyerhet. Ez a két észrevétel feljogosít bennünket arra, hogy az egynletrendszereket és zon bvítet mátrixait egyenrangúnak tekintsünk, és gondolatmenetünk során bármikor áttérjünk egyik fogalomról a másikra. Ez nagyon kellemes lehetség, ugyanis a számításokat, átalakításokat könnyebb és nem utolsó rövidebb mátrixokon elvégezni, a megoldások meghatározása során azonban elnyösebb az egynletrendszeres alakkal dolgozni. Lépcss alak Definíció Az mátrix -edik sorában lév balról számított legels nem nulla elemet az -edik sor felemének, idegen szóval pivot elemnek nevezzük.7 Világos, hogy ha egy mátrix -edik sorában van nullától különböz elem akkor van felem is abban sorban. Ugyanakkor csupa nullát tartalmazó sorokban nincs felem.a felem segítégével bevezethetjük a mátrix lépcss alakjának fogalmát. Definíció Azt mondjuk, hogy az mátrix lépcss alakú, ha eleget tesz az alábbi két feltételnek. 1. Felemet nem tartalmazó sor alatti sorban sincs felem. 2. Bármely két egymás utáni felemet tartalmazó sorban az alsó sor feleme a felette lév sor felemétl jobbra helyezkedik el. A felemet nem tartalmazó sorok csupa nullából állnak. Ugyanis ha egy sorban van nullátó különböz elem, akkor ezek közül kiválaszthatjuk a bal szélst, ami az adott or feleme lesz. A definíció 1. pontja tehát azt kövelteli meg, hogy ha egy sorban csupa nulla áll, akkor az alatta lév összes sorban is csak nullák szerepelhetnek. Így tehát ha egyáltalán vannak a mátrixban nulla sorok,

10 akkor azok a mátrix "alján" helyezkednek el, kissé szabatosabban azok a mátrix utolsó sorai. A definíció 2. pontja pedig szemléletesen azt követeli meg, hogy ha két egymás alatti sor mindegyikében van felem, akkor a felül lév sor elején kevesebb nulla áll, mint az alul lév sor elején. Ugyanis a fels sor feleme alatt szükségképpen nulla van. Például az alábbi -es mátrixok mindegyike lépcss alakú:,,,,, Tétel Bármely mátrix elemi átalakításokkal lépcss alakra hozható.7 Bizonyítás A bizonyítást a mátrix sorainak száma szerinti teljes indukcióval végezzük. Tekintsünk az mátrixot, melynek sora van. Mivel minden egy soros mátrix lépcss alakú, így állításunk esetén teljesül. Tegyük fel hogy állításunk soros mátrixokra teljesül és tekintsünk az melynek sora van. Ha nullmátrix, akkor készen vagyunk, hiszen minden nullmátrix lépcss alakú. Ellenkez esetben válasszuk ki -nak a legels nem nulla oszlopát, legyen ez a -adik. Ebben kell lennie olyan sornak, amelyben van nullától különböz elem (ami egyben felem is). Cseréljük fel ezt a sort az els sorral. Ezzel egy elemi átalakítással elértük, hogy a mátrix els sorában van felem. Mátrixunk alakja tehát ahol. Ezután az els sor -szorosát vonjuk a ki a második sorból, és így tovább az -szorosát vonjuk a ki az ( -edik sorból. Ezekkel az elemi átalakításokkal elérjük, hogy mátrixunk

11 alakot ölt. Ha az els sor elhagyásával keletkez mátrix már lépcs alakú, akkor készen vagyunk, ugyanis ekkor a teljes mátrix is lépcss alakú. Ellenkez esetben folytassuk lépcs alakra hozást olyan elemi átalakításokkal, amelyek az els sort nem érintik. Az ilyen átalakításokat egyben a mátrix elemi átalakításai is és viszont.ez a mátrix pedig, mivel miatt elemi átalakításokkal lépcss alakra hozható.7 sora van, az indukciós feltevés Kidolgozot feladatok 1. Feladat Hozzuk lépcss alakra az mátrixot. Megoldás 2. Feladat Hozzuk lépcss alakra a mátrixot. Megoldás

12 3. Feladat Hozzuk lépcss alakra az mátrixot. Megoldás

13 4. Feladat Hozzuk lépcss alakra Maple parancsok segítségéval a mátrixot. Megoldás A Maple csomagjának alcsomagja tartalmazza a számunkra szükséges parancsokat. Annak érdekében, hogy az eljárások rövid neveit hazsnálhassuk, kiadjuk a Az utasítás outputját letiltottuk. Hozzuk létre a feladatban szerepl mátrixot, és hajtsuk végre a MultiplyRow eljárást. Ennek els paramétere a mátrix, amelynek valamelyik beszorozni kívánjuk, második paramétere a sor indexe a harmadik pedig a konstans, amivel szorzunk. (2.2.1) (2.2.2)

14 (2.2.2) A kiadott parancs, mint az annak outputja is mutatja, beszorozta a mátrix els sorát -del. Ezután az els sor háromszorosát akarjuk kivonni a második sorból. Itt azonban legyünk résen! A Maple csak az AddRow eljárást kínálja, tehát valamely sor számszorosának hozzáadását tudjuk elvégezni. Persze megijedni nem kell, hiszen az els sor 3-szorosának kivonását elvégezhetjük a (-3)- szorosának hozzáadásával. (2.2.3) Az els paraméter maga a mátrix, a második az a sorindex, amihez hozzáadunk, a harmadik paraméter az a sorindex, aminek számszorosát hozzáadjuk, végül a negyedik a konstans, amivel szorzunk. A feladat befejezése ezekután már nem okozhat gondot. (2.2.4) 5. Feladat Hozzuk lépcss alakra Maple parancsok segítségéval a mátrixot. Megoldás

15 (2.2.5) for j from 2 to 5 do A:=AddRow(A,j,1,-A[j,1]/A[1,1]) od: A; (2.2.6) i:=2: for j from i+1 to 5 do A:=AddRow(A,j,i,-A[j,i]/A[i,i]) od: A; (2.2.7) i:=3: for j from i+1 to 5 do A:=AddRow(A,j,i,-A[j,i]/A[i,i]) od: A; (2.2.8)

16 (2.2.8) Redukált lépcss alak Egy mátrix lépcss alakja nincs egyértelkmen meghatározva, másszóval egy mátrixnak több lépcs alakja is lehet. Ha szeretnénk elérni az egyértelmséget, akkor további kikötést kell tennünk a lépcss alakra. Definíció Azt mondjuk, hogy az mátrix redukált lépcss alakú, ha 1. Lépcss alakú; 2. Minden felem A felemek oszlopaiban a felem az egyetlen nullátó különböz.7 Az alábbi -es mátrixok mindegyike redukált lépcss alakú:,,,, Tétel Bármely mátrix elemi átalakításokkal redukált lépcs alakra hozható.7 Bizonyítás Azt már látuk, hogy minden mátrix lépcss alakra hozható elemi átalakításokkal. Így csak arra kell rámutatni, hogy a lépcss alakból elemi átalakításokkal redukált lépcs alak nyerhet.

17 Tegyük fel, hogy az mátrix lépcss alakú. Minden olyan sort amelyben van felem szorozzunk be a felem reciprokával. Ezzel elértük, hogy minden felem 1, miközben nem rontottuk el a mátrix lépcssalakját sem. Végül soronként felülrl lefelé haladva minden sorra a benne található felem oszlopában nullázzuk ki (elimináljuk) a felem feletti elemeket. Könny elképzelni, hogy egy mátrix nem csak egyféle módon hozható lépcs alakra.ugyanis például ha egy lépcss alakot, melyben van felem, valamely számmal szorzunk, akkor új lépcss alakot kapunk. Ebbl azonnal következik, hogy egy mátrix végtelen sokféle képpen hozható lépcss alakra, és a lépcss alakra hozások végeredménye is végtelen sokféle lehet. A redukált lépcss alak azonban másként viselkedik. Tekintsül például a mátrixot, és hozzuk két különböz módon redukált lépcss alakra.

18 Bár két különböz átalakítássorozatot hajtottunk végre, mégis ugyanarra az eredményre jutottunk. Vajon véletlen-e ez? A választ a következ tétel adja meg, mely szerint akármilyen elemi átalakítás sorozat végén jutunk el a redukált lépcs alakhoz, mindíg ugyanarra az eredményre jutunk. Tétel Bármely mátrix redukált lépcs alakja egyértelmen meghatározott.7 Bizonyítás A bizonyítást négy észrevétellel kezdjük. 1. Észrevétel Az elemi átalakítások a mátix nulloszlopát nem változtatják meg, tehát a nulla oszlop bármelyik átalakítás után is nulla oszlop marad. 2. Észrevétel Redukált lépcss alakú mátrixból egy oszlopot elhagyva, redukált lépcss alakú mátrixot kapunk. 3. Észrevétel Legyen tetszleges mátrix, és legyen az (egyik) redukált alakja. Ekkor meghapható -ból elemei átalakítások egy sorozatával. Hagyjuk el mindkét mátrixból a -edik oszlopot. Akkor a keletkez mátrixból az mátrix ugyanazzal a elemi átalakítás sorozattal képezhet. 4. Észrevétel Ha az mátrixnak egy oszlopa van, tehát -es, akkor redukált lépcss alakja vagy. Valóban, az egyoszlopos nullmátrix redukált lépcssalakú, ha pedig az oszlopvektornak van nullától különböz eleme, akkor elemi átalakításokkal alakra hozható. És most rátérünk a tétel igazolásársa. Legyen az mátrix -es, a mátrix oszlopszáma, vagyis szerinti teljes indukcióval igazoljuk, hogy redukált lépcss alakja egyértelmen meghatározott.

19 Tegyük fel, hogy. Ekkor redukált alakja egyértelmen meghatározott a 4. Észrevétel szerint. Tehát az állításunk esetén teljesül. Ezután tegyük fel, hogy állításunk -re teljesül, és tekintsük az -es mátrixot, és tegyük fel, hogy az és mátrixok mindegyike megkapcsható -ból elemi átalakításokkal, és mindkett redukált lépcss alakú. Ha van -nak csupa nullából álló oszlopa, mondjuk a -edik, akkor az 1. Észrevétel miatt és - edik oszlopa is csupa nullából áll. Hagyjuk el mindhárom mátrixból a -edik oszlopot, és jelöljük a keletkez mátrixokat rendre és -vel. A 3. Észrevétel szerint és az -bl nyerhet elemi átalakítások egy sorozatával, továbbá a 2. Észrevétel szerint mindkett redukált lépcss alakú. Ugyanakkor -nek oszlopa van (egy oszlopos mátrixbó oszlopelhagyással keletkezett), így rá alkalmazható az indukciós feltetevés, miszerint redukált alakja egyértelm. Kaptuk, hogy. De ekkor is teljesül, hiszen ezek úgy jönnek létre, hogy az és mátrixba ugyanazt az oszlopot (ami csupa nullaból áll) beszúrjuk ugyanarra a helyre (a -eik oszlop mögé). Nézzük azt az esetét, amikor -nak nincs csupa nullából álló oszlopa, akkor ez igaz az és mátrixokra is. Ugyanis, ha pl. pl. -nek valamelyik oszlopa nulloszlop lenne, akkor mivel is megkapható R-bl elemi átalakítások egy sorozatával, így -nak is lenne nulloszlopa. Ez pedig lehetetlen. Tehát sem -nek, sem pedig -nek nincs nulloszlopa. Ekkor viszont mindkett els oszlopában van felem (ami ráadásul 1). Ez a felem pedig nem lehet máshol csak az els sorban. Ugyanis, ha akármelyik másik sorban lenne, akkor akkor els sor els elem is nulla lenne, ugyanis felem felett csak 0 állhat. És mivel az összes többi sorban is van felem, így az els sor többi elemi is nulla lenne, ami ellentmond annak, hogy a redukált lépcss alakban a csupa nulla sorok a mátrix alján helyezkednek el. Kaptuk tehát, hogy. Mindkét mátrixban a felem alatt csak nullák állnak, így kijelenthetjük, hogy az és mátrixok els oszlopa azonos. Innentl kezdve már ismert a gondolatmenet. Elhagyjuk az els oszlopot az és, mátrixokból. A keletkez mátrixnak eggyel kevesebb oszlopa van, mint -nak, és belle 3. Észrevétel miatt az és redukált lépcss alakú mátrixok (ld. 2. Észrevétel) elemi átalakítással megkaphatók. Az indukciós feltevés miatt. Így ha ezeket kiegészítjük az oszlopvektorral, akkor rendre az ill. mátixokhoz jutunk. Ezzel nyertük, hogy. A bizonyítás kész.v Kidolgozot feladatok 1. Feladat Hozzuk redukált lépcss alakra a mátrixot. Megoldás

20 A feladatban szerpl mátrix már lépcss alakú. Így el kell érnünk, hogy a felemek 1-esek legyenek, és hogy a felemek felett csak nullá szerepeljenek. 2. Feladat Hozzuk redukált lépcss alakra a mátrixot. Megoldás Ez a mátrix is lépcss alakú. 3. Feladat Oldjuk meg az elz feladato Maple-ben!

21 Megoldás (3.3.1) (3.3.2) (3.3.3) (3.3.4) (3.3.5)

22 Elemi mátrixok Ebben a fejezetben azt vizsgáljuk, hogy milyen mátrixokat eredményeznek az elemi átalakítások akkor, ha azokat az egységmátrixra hajtjuk végre. Emlékeztetül az egységmátrix olyan diagonális mátrix, melynek fátlójában 1-esek állnak. Az egységmátrix a mátrix szorzás egységeleme, ugyanis egy mátrixot akár jobbról, akár balról egységmátrixszal szorzunk eredményül a kiindulási mátrixot kapjuk. (4.1) (4.2) (4.3) Az elemi átalakítások hatásait az egységmátrixra könny megmondani. Beszorzás. Ha az egységmátrix egy sorát a nem nulla konstanssal szorozzuk, akkor akkor annak a sornak a fátlójában lév 1-es -re változik. (4.4) (4.5)

23 (4.5) (4.6) Látjuk, hogy az átalakított egységmátrix azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy ha vele balról szorzunk egy mátrixot, akkor a szorzatmátrix az eredetibl az els sor -vel való szorzásával keletkezik. Könny meggyzdni arról, hogy ez a tulajdonság az egységmátrix többi sorára is érvényben marad. Megállapíthatjuk tehát, hogy ha az egységmátrix -edik sorát egy számmal szorozzuk, akkor olyan elemi mátrixot kapunk, amelyre a mátrix -ból úgy keletkezik, hogy annak -edik sorát -vel beszorozzuk. Hozzáadás. Adjuk hozzá az egységmátrix els sorát a másodikhoz, és a keletkez mátrixszal szorozzuk meg balról az mátrixot. (4.7) (4.8) Kellemes meglepetésünkre azt tapasztaljuk, hogy most az szorzatmátrix az -ból az els sor - szerének a harmadikhoz való hozzáadásával, vagyis ugyanazzal az elemi átalakítással, amelyet az egységmátrixon végeztünk. Célszer azonban ezt az észrvételt általánosan is rögzíteni. Észrevétel Az az elemi mátrix, amely az i-edik sorhoz a j-edik sor -szeresének hozzáadását végzi, az egységmátrixból úgy keletkezik, hogy abban az -edik sor -edik elemét -re változtatjuk.

24 Sorcsere. Cseréljük fel az egységmátrix els sorát a másodikkal, és a keletkez mátrixszal szorozzuk meg balról az mátrixot. (4.9) (4.10) Az eddigi tapasztalt tulajdonság most is érvényes: a szorzatmátrix -ból az els és második sor cseréjével keletkezik. Azt tapasztaltuk tehát, hogy az elemi átalakításokat el tudjuk végezni úgy, hogy a mátrixot alkalmas elemi mátrixszal balról megszororozzuk. És hogy könny legyen megjegyezni azt, hogy mivel kell balról szorozni kell, azt a mátrixot az egységmátrixból állíthatjuk el ugyanazzal az elemi átalakítással. Tétel Legyen olyan mátrix, ami az egyégmátrixból elemi átalakítással keletkezett. Ekkor tetszleges mátrixra az szorzat az -ból ugyanazzal az elemi átalakítással áll el, mint az egységmátixból. A tétel jelentsége inkább elmélti, mintsem gyakorlati. Értelmezhetnénk persze a tétel eredményét úgy, hogy az egy elemi átalakítás elvégzésének feladatát visszavezettük ugyanennek az elemi átalakításnak az egységmátrixon való elvégzésére és a mátrixsszorzás végrehajzására. Ez azonban csak nehezítené a gyakorlati számításainkat a mátrixszorzás bonyolultsága miatt. Haszna annak van, hogy az elemi átalakítások vizsgálatában mátrixalgebrai eszközöket vethetünk be. Mátrix inverzének meghatározása Vizsgáljuk meg az elemi mátrixok inverzeit (ha léteznek). (5.1)

25 (5.1) (5.2) (5.3) (5.4) (5.5) (5.6) (5.7) (5.8)

26 (5.8) (5.9) Tétel Az elemi mátrixok invertálhatók Tekintsünk egy -es mátrixot, tegyük fel hogy elemi átalakítások sorozatával egységmátrixszá alakítható. Az els elemi átalakítás eredménye legyen. A mádosik átalakítást már erre a mátrixra hatjuk végre, így annak eredménye Ha eljárásunk lépésbl áll, akkor annak végrehajtása után azt írhatjuk, hogy Mit modhatunk a mátrixról? Ennek -val való szorzata az egységmátrix, ami azt jelenti, hogy ez a mátrix nem más, mint inverze, tehát amit... alakba is írhatunk, hiszen az egységmárix. Ez az egyenlség pedig úgy értelmezhet, hogy ha az egyságmátrixra végrehajtjtjuk ugyanazokat az elemi átalakításokat, amelyek az mátrixot egységmátrixszá alakítják, akkor megkapjuk az inverzét. Annak érdekében, hogy ne kelljen külön elvégezni az egységmátrixszá alakítását, aztán minden egyen elemi átalakítást feljegyzni, mégpedig sorrendben, hogy azután ugyanazokat az elemi átalakításokat elvégezhessük az egységmátrixszon, azt a megoldást választjuk, hogy párhuzamosan végezzük el az elemi átalakításokat egyidajleg az mátrixon is az egységmátrixon. Ezt pedig úgy érjük el, az mátrixot kiagászítjük egy egységmátrix oszlopaival, a keletkez mátrixot alakítjuk redukált lépcs alakká. Megjegyzzük, hogy ha -nak létezik az inverze, akkor a redukált lépcss

27 alakja az egységmátrix. Kidolgozott feladatok 1. Feladat Számítsuk ki az A= mátrix inverzét. Megoldás Egészítsük ki az oszlopait az egységmátrixszal, és alakítsuk redukált lépcss alakra.. Az inverz mátrix az eredmény harmadik és negyedik oszlopában található. Hogy valóban inverz mátrixszal állunk szemben, arról meg. szorat kiszámításával gyzdhetünk. = =. 2. Feladat Számítsuk ki az A= mátrix inverzét Mapleben. Megoldás (5.1.1) (5.1.2)

28 (5.1.2) (5.1.3) (5.1.4) (5.1.5) (5.1.6) (5.1.7)

29 (5.1.8) (5.1.9) 2. Feladat Számítsuk ki az A= mátrix inverzét Mapleben. Megoldás (5.1.10) (5.1.11) (5.1.12)

30 (5.1.12) (5.1.13) (5.1.14) 2. Feladat Számítsuk ki az A= mátrix inverzét Mapleben. (5.1.15) (5.1.16)

31 (5.1.16) (5.1.17) (5.1.18) (5.1.19) Gyakorló feladatok 1. Igaz-e, hogy minden lépcss alakú mátrix, valamely egyenletrendszer mátixának lépcss alakja? 2. Igaz-e, hogy minden redukált lépcss alakú mátrix valamely egyenletrendszer mátixának redukált lépcss alakja? 3. Mutassuk meg, hogy ha az mátix elemi átalakításokkal a mátrixxá alakítható, akkor az mátrix is megkapható mátrix ból elemi átalakításokkal. 4. Milyen mátrixot kapunk, ha az -as mátrixot balról megszorozzuk az mátrixszal? És ha jobbról szorozzuk?

32 5. Adjunk meg olyan mátrixot, amivel az -as mátrixot balról megszorozva "elvégzi" az A els sorának c-vel való beszorzását. Adjuk meg ugyan ezt a harmadik sorra is. 6. Adjuk meg a mátrixokat, melyekkel balról szorozva elállítható az elemi általakítások (3x3-as mátrixokra).

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

Gauss elimináció, LU felbontás

Gauss elimináció, LU felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek

Részletesebben

DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1.

DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1. DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS A (nxn) kvadratikus (négyzetes) mátrixhoz egyértelműen hozzárendelhetünk egy D R számot, ami a mátrix determinánsa. Már most megjegyezzük, hogy a mátrix determinánsa, illetve a determináns

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

1. A kétszer kettes determináns

1. A kétszer kettes determináns 1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

1. Geometria a komplex számsíkon

1. Geometria a komplex számsíkon 1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal 11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

1. ábra ábra

1. ábra ábra A kifejtési tétel A kifejtési tétel kimondásához először meg kell ismerkedni az előjeles aldetermináns fogalmával. Ha az n n-es A mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának kereszteződésében az elem áll,

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

12 48 b Oldjuk meg az Egyenlet munkalapon a következő egyenletrendszert az inverz mátrixos módszer segítségével! Lépések:

12 48 b Oldjuk meg az Egyenlet munkalapon a következő egyenletrendszert az inverz mátrixos módszer segítségével! Lépések: A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Egyenletrendszerek megoldása Excelben. Solver használata. Mátrixműveletek és függvények

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41 Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij.. Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n

Részletesebben

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Bevezetés: Tekintsük az alábbi -es mátrixot: A. Szorozzuk meg ezt jobbról egy alkalmas méretű (azaz -es) oszlopvektorral, amely az R tér kanonikus bázisának

Részletesebben

Typotex Kiadó. Bevezetés

Typotex Kiadó. Bevezetés Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4 2012. február 2. 8. évfolyam TMat2 feladatlap Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATOK 8. évfolyamosok számára, tehetséggondozó változat TMat2 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: 1. Paramétert nem tartalmazó eset x 1 + 3x 2-2x 3 = 2-2x 1-5x 2 + 4x 3 = 0 3x 1

Részletesebben

Miért van az, hogy a legtöbben. a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból

Miért van az, hogy a legtöbben. a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból Miért van az, hogy a legtöbben a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból Elszó 0 éves személyes tapasztalataim azt mutatják, hogy a tanulóknak

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 014. január 19. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez

Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez Sándor Tamás, sandor.tamas@kvk.bmf.hu Takács Gergely, takacs.gergo@kvk.bmf.hu Lektorálta: dr. Schuster György PhD, hal@k2.jozsef.kando.hu

Részletesebben

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis. 1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

Számrendszerek. A római számok írására csak hét jelt használtak. Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat.

Számrendszerek. A római számok írására csak hét jelt használtak. Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat. Számrendszerek A római számok írására csak hét jelt használtak Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat Római számjegyek I V X L C D M E számok értéke 1 5 10

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

A parciális törtekre bontás?

A parciális törtekre bontás? Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben