Elemi átalakítások. Dr. Maróti György. valamelyik egyenlet beszorzása egy nullától különböz számmal.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Elemi átalakítások. Dr. Maróti György. valamelyik egyenlet beszorzása egy nullától különböz számmal."

Átírás

1 Elemi átalakítások Dr. Maróti György Egyenletrendszerek helyett mátrixok Az elz témakörben számos egyenletrendszeren végeztünk ekvivalans átalakításokat. Emlékeztetül ezek két egyenlet felcserélése; valamelyik egyenlet beszorzása egy nullától különböz számmal. valamelyik egyenlet számszorosának hozzáadása egy másik egyenlethez. Ugyanakkor észrevehetjük, hogy az egyenlerendszerek átalakítása során csak az egyes egyenletekben lév együtthatókkal számoltunk. A változók hazsnálata valójában csak ahhoz kellett, hogy a megszokott "egyenlet alakot" megtarthassuk. Jogosan merül fel a gondolat, hogy számításainkat elegend lenne az együtthatókat tartalmazó téglalap alakú táblázaton, vagyis az egyenletben szerepl számokból álló mátrixon elvégezni. Tekintsük például az egyenletrendszert, és képezzük az együtthatóból és a szabad tagokból álló bvített mátrixot. Ezután végezzük el az egyenletrendszeren a már megismert átalakításokat úgy, hogy közben a bvített mátrix esetében megfogalmazzuk az analóg mveleteket. Egyenletrendszer Átalakítás Mátrix Átalakítás

2 Az els egyenletet kivonjuk a másodikból, háromszorosát a negyedikbl. A mátrix elemei úgy alakulnak át, hogy els sorának elemeit kivonjuk a második sor megfelel elemeibl, majd az els sorban lév elemek háromszorosait kivonjuk a negyedik sor megfelel elemeibl. A második és a harmadik egyenletet felcseréljük A mátrix úgyalakul át, hogy a második és harmadik sorát felcseréljük. A második egyenletet hozzáadjuk a negyedikhez A mátrix második sorának elemeit hozzáadjuk a negyedik soárnak megfelel elemeihez. A harmadik egyenletet kivonjuk a negyedikbl. A mátrix harmadik soránek elemeit kivonjuk a negyedik sor megfelel elemibl.

3 Definíció Az lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixán vagy csak röviden mátrixán illetve bvített mátrixán rendre a következ mátrixokat értjük,. Az egyenletbl álló ismeretlenes egyenletrendszer az együtthatómátrixa -es, míg a bvített mátrixnak eggyel több oszlopa van, így típusaa. Eszerint bármely egyenletrendszerhez hozzárendelhet egy -es mátrix, az bvített mátrixa. Másrészt bármely -es mátrix felfogható valamely egyenletrendszer bvített mátrixának. Valóban nem kell mást tennünk, mint a mátrix soraiban található balról jobb elemeket rendre - nel megszorozni, venni ezen szorzatok összegét és egyenlvé tenni a sor utolsó elemével. A kapott egynletrendszer bvített mátrixa a kiindulási mátrix. Például mátrixhoz a most ismeretetett eljárás a

4 egyenletrendszert rendeli, és ennek bvített mátrixa valóban a fenti kiindulási mátrix. Definíció Egy mátrix sorain elvégzett elemi átalakítások alatt az alabbi mveletek valamelyikét értjük. 1. Sorcsere. A mátrix két sorának felcserélése. 2. Beszorzás. A mátrix valamely sorának nem nulla számmal való szorzása, mely alatt azt értjük, hogy az adott sor elemeit azok számszorosával helyettesítjük. 3. Hozzáadás. A mátrix valamely sora számszorosának hozzáadása egy másik sorhoz. Ez azt jelenti, hogy valamely sor elemeit helyettesítjük önmagának és a másik sor megfelel eleme számszorosának összegével. Az -edik és -edik sor cseréje a következ képpen szemléltethet:. Az -edik sor konstanssal való beszorzása. Az -edik sorhoz az -edik sor -szeresének hozzáadása A kipontozott elemeket az egyes elemi átalakítások változalanul hagyják. Kidolgozott feladatok 1. Feladat

5 Tekintsük a mátrixot és hajtsuk végre az alábbi elemi átalakítást, kézi számolással és Mapleben is. Sorcsere: az els és harmadik sor cseréje. A kapott mátrixot alakítsuk is vissza elemi átalkakítással a kiindulás mátrixszá. Megoldás. (1.1.1) (1.1.2) (1.1.3)

6 2. Feladat Tekintsük a mátrixot és hajtsuk végre az alábbi elemi átalakítást, kézi számolással és Mapleben is. Beszorzás: a második sor szorzása 3-mal. A kapott mátrixot alakítsuk is vissza elemi átalkakítással a kiindulás mátrixszá. Megoldás (1.1.4) (1.1.5) (1.1.6)

7 (1.1.6) 3. Feladat Tekintsük a mátrixot és hajtsuk végre az alábbi elemi átalakítást kézi számolással és Mapleben is. Hozzáadás: a második sor háromszorosának hozzásadása a harmadik sorhoz. A kapott mátrixot alakítsuk is vissza elemi átalkakítással a kiindulás mátrixszá. Megoldás (1.1.7) (1.1.8)

8 (1.1.9) A kidolgozott feladatok alapján világos, hogy mindegyik elemi transzformáció "megfordítható", abban az értelemben, hogy az elemi átalakítás eredményeként keletkezó mátrix alkalmas elemi átalakítással visszaalakítható az eredeti mátrixszá. Ebbl az is következik, hogy ha valamely mátrixra elemi átalakítások egy sorozatát alkalmazzuk, akkor a kapott mátix ugyancsak visszaalakítható az eredeti mátrixszá. Nem kell ugyanis mást tennünk, mint az alkalmazott elemi átalakítások "megfordításait" fordított sorrendebn alkalmazni. A kapott eredmény fontos számunkra, így tétel formájábanis kimondjuk. Tétel Ha a mátrix az mátrixból elemi átalakításokkal keletkezik, akkor is megkapható -bl elemi átalakítássokkal.v Eléggé nyilvánvaló, hogy az egyenletek ekvialens átalakításai és a mátrixok elemi átalakítássai párba állíthatók. Az egyenletek cseréje megfelel a sorcserének, az egyenlet beszorzása megfelel a beszozásnak, míg az egyik egyenlet számszorosának hozzáadása a másik egyenlethez megfelel a hozzáadás elemi átalakításnak. Az is világos, hogy ha egy egyenletrendszernek veszzük a bvített mátrixát, majd ezen elemi átalakításokat végzünk, végül a felírjuk a kapott mátrixhoz tartozó egyenletendszert, akkor olyan egyenletrndszerhez jutunk, ami a kiindulási egyenletrendszerbl ekvivalens átalakítokkal megkapható, és mint ilyen az eredetivel ekvivalens. A fenti ábra élei fordított írányban is bejárhatók. Ha kiindulunk egy mátrixból (legyen legelább két

9 oszlopa), és veszzük a hozzá tartotó egyenletrendszert, majd ezen ekvivalens átalakításokat végzünk, végül a kapott egyenletrendszernek vesszük a bvített mátrixát, akkor olyan mátrixhoz jutunk, ami a kiindulási mátrixból elemi átalakítássokal nyerhet. Ez a két észrevétel feljogosít bennünket arra, hogy az egynletrendszereket és zon bvítet mátrixait egyenrangúnak tekintsünk, és gondolatmenetünk során bármikor áttérjünk egyik fogalomról a másikra. Ez nagyon kellemes lehetség, ugyanis a számításokat, átalakításokat könnyebb és nem utolsó rövidebb mátrixokon elvégezni, a megoldások meghatározása során azonban elnyösebb az egynletrendszeres alakkal dolgozni. Lépcss alak Definíció Az mátrix -edik sorában lév balról számított legels nem nulla elemet az -edik sor felemének, idegen szóval pivot elemnek nevezzük.7 Világos, hogy ha egy mátrix -edik sorában van nullától különböz elem akkor van felem is abban sorban. Ugyanakkor csupa nullát tartalmazó sorokban nincs felem.a felem segítégével bevezethetjük a mátrix lépcss alakjának fogalmát. Definíció Azt mondjuk, hogy az mátrix lépcss alakú, ha eleget tesz az alábbi két feltételnek. 1. Felemet nem tartalmazó sor alatti sorban sincs felem. 2. Bármely két egymás utáni felemet tartalmazó sorban az alsó sor feleme a felette lév sor felemétl jobbra helyezkedik el. A felemet nem tartalmazó sorok csupa nullából állnak. Ugyanis ha egy sorban van nullátó különböz elem, akkor ezek közül kiválaszthatjuk a bal szélst, ami az adott or feleme lesz. A definíció 1. pontja tehát azt kövelteli meg, hogy ha egy sorban csupa nulla áll, akkor az alatta lév összes sorban is csak nullák szerepelhetnek. Így tehát ha egyáltalán vannak a mátrixban nulla sorok,

10 akkor azok a mátrix "alján" helyezkednek el, kissé szabatosabban azok a mátrix utolsó sorai. A definíció 2. pontja pedig szemléletesen azt követeli meg, hogy ha két egymás alatti sor mindegyikében van felem, akkor a felül lév sor elején kevesebb nulla áll, mint az alul lév sor elején. Ugyanis a fels sor feleme alatt szükségképpen nulla van. Például az alábbi -es mátrixok mindegyike lépcss alakú:,,,,, Tétel Bármely mátrix elemi átalakításokkal lépcss alakra hozható.7 Bizonyítás A bizonyítást a mátrix sorainak száma szerinti teljes indukcióval végezzük. Tekintsünk az mátrixot, melynek sora van. Mivel minden egy soros mátrix lépcss alakú, így állításunk esetén teljesül. Tegyük fel hogy állításunk soros mátrixokra teljesül és tekintsünk az melynek sora van. Ha nullmátrix, akkor készen vagyunk, hiszen minden nullmátrix lépcss alakú. Ellenkez esetben válasszuk ki -nak a legels nem nulla oszlopát, legyen ez a -adik. Ebben kell lennie olyan sornak, amelyben van nullától különböz elem (ami egyben felem is). Cseréljük fel ezt a sort az els sorral. Ezzel egy elemi átalakítással elértük, hogy a mátrix els sorában van felem. Mátrixunk alakja tehát ahol. Ezután az els sor -szorosát vonjuk a ki a második sorból, és így tovább az -szorosát vonjuk a ki az ( -edik sorból. Ezekkel az elemi átalakításokkal elérjük, hogy mátrixunk

11 alakot ölt. Ha az els sor elhagyásával keletkez mátrix már lépcs alakú, akkor készen vagyunk, ugyanis ekkor a teljes mátrix is lépcss alakú. Ellenkez esetben folytassuk lépcs alakra hozást olyan elemi átalakításokkal, amelyek az els sort nem érintik. Az ilyen átalakításokat egyben a mátrix elemi átalakításai is és viszont.ez a mátrix pedig, mivel miatt elemi átalakításokkal lépcss alakra hozható.7 sora van, az indukciós feltevés Kidolgozot feladatok 1. Feladat Hozzuk lépcss alakra az mátrixot. Megoldás 2. Feladat Hozzuk lépcss alakra a mátrixot. Megoldás

12 3. Feladat Hozzuk lépcss alakra az mátrixot. Megoldás

13 4. Feladat Hozzuk lépcss alakra Maple parancsok segítségéval a mátrixot. Megoldás A Maple csomagjának alcsomagja tartalmazza a számunkra szükséges parancsokat. Annak érdekében, hogy az eljárások rövid neveit hazsnálhassuk, kiadjuk a Az utasítás outputját letiltottuk. Hozzuk létre a feladatban szerepl mátrixot, és hajtsuk végre a MultiplyRow eljárást. Ennek els paramétere a mátrix, amelynek valamelyik beszorozni kívánjuk, második paramétere a sor indexe a harmadik pedig a konstans, amivel szorzunk. (2.2.1) (2.2.2)

14 (2.2.2) A kiadott parancs, mint az annak outputja is mutatja, beszorozta a mátrix els sorát -del. Ezután az els sor háromszorosát akarjuk kivonni a második sorból. Itt azonban legyünk résen! A Maple csak az AddRow eljárást kínálja, tehát valamely sor számszorosának hozzáadását tudjuk elvégezni. Persze megijedni nem kell, hiszen az els sor 3-szorosának kivonását elvégezhetjük a (-3)- szorosának hozzáadásával. (2.2.3) Az els paraméter maga a mátrix, a második az a sorindex, amihez hozzáadunk, a harmadik paraméter az a sorindex, aminek számszorosát hozzáadjuk, végül a negyedik a konstans, amivel szorzunk. A feladat befejezése ezekután már nem okozhat gondot. (2.2.4) 5. Feladat Hozzuk lépcss alakra Maple parancsok segítségéval a mátrixot. Megoldás

15 (2.2.5) for j from 2 to 5 do A:=AddRow(A,j,1,-A[j,1]/A[1,1]) od: A; (2.2.6) i:=2: for j from i+1 to 5 do A:=AddRow(A,j,i,-A[j,i]/A[i,i]) od: A; (2.2.7) i:=3: for j from i+1 to 5 do A:=AddRow(A,j,i,-A[j,i]/A[i,i]) od: A; (2.2.8)

16 (2.2.8) Redukált lépcss alak Egy mátrix lépcss alakja nincs egyértelkmen meghatározva, másszóval egy mátrixnak több lépcs alakja is lehet. Ha szeretnénk elérni az egyértelmséget, akkor további kikötést kell tennünk a lépcss alakra. Definíció Azt mondjuk, hogy az mátrix redukált lépcss alakú, ha 1. Lépcss alakú; 2. Minden felem A felemek oszlopaiban a felem az egyetlen nullátó különböz.7 Az alábbi -es mátrixok mindegyike redukált lépcss alakú:,,,, Tétel Bármely mátrix elemi átalakításokkal redukált lépcs alakra hozható.7 Bizonyítás Azt már látuk, hogy minden mátrix lépcss alakra hozható elemi átalakításokkal. Így csak arra kell rámutatni, hogy a lépcss alakból elemi átalakításokkal redukált lépcs alak nyerhet.

17 Tegyük fel, hogy az mátrix lépcss alakú. Minden olyan sort amelyben van felem szorozzunk be a felem reciprokával. Ezzel elértük, hogy minden felem 1, miközben nem rontottuk el a mátrix lépcssalakját sem. Végül soronként felülrl lefelé haladva minden sorra a benne található felem oszlopában nullázzuk ki (elimináljuk) a felem feletti elemeket. Könny elképzelni, hogy egy mátrix nem csak egyféle módon hozható lépcs alakra.ugyanis például ha egy lépcss alakot, melyben van felem, valamely számmal szorzunk, akkor új lépcss alakot kapunk. Ebbl azonnal következik, hogy egy mátrix végtelen sokféle képpen hozható lépcss alakra, és a lépcss alakra hozások végeredménye is végtelen sokféle lehet. A redukált lépcss alak azonban másként viselkedik. Tekintsül például a mátrixot, és hozzuk két különböz módon redukált lépcss alakra.

18 Bár két különböz átalakítássorozatot hajtottunk végre, mégis ugyanarra az eredményre jutottunk. Vajon véletlen-e ez? A választ a következ tétel adja meg, mely szerint akármilyen elemi átalakítás sorozat végén jutunk el a redukált lépcs alakhoz, mindíg ugyanarra az eredményre jutunk. Tétel Bármely mátrix redukált lépcs alakja egyértelmen meghatározott.7 Bizonyítás A bizonyítást négy észrevétellel kezdjük. 1. Észrevétel Az elemi átalakítások a mátix nulloszlopát nem változtatják meg, tehát a nulla oszlop bármelyik átalakítás után is nulla oszlop marad. 2. Észrevétel Redukált lépcss alakú mátrixból egy oszlopot elhagyva, redukált lépcss alakú mátrixot kapunk. 3. Észrevétel Legyen tetszleges mátrix, és legyen az (egyik) redukált alakja. Ekkor meghapható -ból elemei átalakítások egy sorozatával. Hagyjuk el mindkét mátrixból a -edik oszlopot. Akkor a keletkez mátrixból az mátrix ugyanazzal a elemi átalakítás sorozattal képezhet. 4. Észrevétel Ha az mátrixnak egy oszlopa van, tehát -es, akkor redukált lépcss alakja vagy. Valóban, az egyoszlopos nullmátrix redukált lépcssalakú, ha pedig az oszlopvektornak van nullától különböz eleme, akkor elemi átalakításokkal alakra hozható. És most rátérünk a tétel igazolásársa. Legyen az mátrix -es, a mátrix oszlopszáma, vagyis szerinti teljes indukcióval igazoljuk, hogy redukált lépcss alakja egyértelmen meghatározott.

19 Tegyük fel, hogy. Ekkor redukált alakja egyértelmen meghatározott a 4. Észrevétel szerint. Tehát az állításunk esetén teljesül. Ezután tegyük fel, hogy állításunk -re teljesül, és tekintsük az -es mátrixot, és tegyük fel, hogy az és mátrixok mindegyike megkapcsható -ból elemi átalakításokkal, és mindkett redukált lépcss alakú. Ha van -nak csupa nullából álló oszlopa, mondjuk a -edik, akkor az 1. Észrevétel miatt és - edik oszlopa is csupa nullából áll. Hagyjuk el mindhárom mátrixból a -edik oszlopot, és jelöljük a keletkez mátrixokat rendre és -vel. A 3. Észrevétel szerint és az -bl nyerhet elemi átalakítások egy sorozatával, továbbá a 2. Észrevétel szerint mindkett redukált lépcss alakú. Ugyanakkor -nek oszlopa van (egy oszlopos mátrixbó oszlopelhagyással keletkezett), így rá alkalmazható az indukciós feltetevés, miszerint redukált alakja egyértelm. Kaptuk, hogy. De ekkor is teljesül, hiszen ezek úgy jönnek létre, hogy az és mátrixba ugyanazt az oszlopot (ami csupa nullaból áll) beszúrjuk ugyanarra a helyre (a -eik oszlop mögé). Nézzük azt az esetét, amikor -nak nincs csupa nullából álló oszlopa, akkor ez igaz az és mátrixokra is. Ugyanis, ha pl. pl. -nek valamelyik oszlopa nulloszlop lenne, akkor mivel is megkapható R-bl elemi átalakítások egy sorozatával, így -nak is lenne nulloszlopa. Ez pedig lehetetlen. Tehát sem -nek, sem pedig -nek nincs nulloszlopa. Ekkor viszont mindkett els oszlopában van felem (ami ráadásul 1). Ez a felem pedig nem lehet máshol csak az els sorban. Ugyanis, ha akármelyik másik sorban lenne, akkor akkor els sor els elem is nulla lenne, ugyanis felem felett csak 0 állhat. És mivel az összes többi sorban is van felem, így az els sor többi elemi is nulla lenne, ami ellentmond annak, hogy a redukált lépcss alakban a csupa nulla sorok a mátrix alján helyezkednek el. Kaptuk tehát, hogy. Mindkét mátrixban a felem alatt csak nullák állnak, így kijelenthetjük, hogy az és mátrixok els oszlopa azonos. Innentl kezdve már ismert a gondolatmenet. Elhagyjuk az els oszlopot az és, mátrixokból. A keletkez mátrixnak eggyel kevesebb oszlopa van, mint -nak, és belle 3. Észrevétel miatt az és redukált lépcss alakú mátrixok (ld. 2. Észrevétel) elemi átalakítással megkaphatók. Az indukciós feltevés miatt. Így ha ezeket kiegészítjük az oszlopvektorral, akkor rendre az ill. mátixokhoz jutunk. Ezzel nyertük, hogy. A bizonyítás kész.v Kidolgozot feladatok 1. Feladat Hozzuk redukált lépcss alakra a mátrixot. Megoldás

20 A feladatban szerpl mátrix már lépcss alakú. Így el kell érnünk, hogy a felemek 1-esek legyenek, és hogy a felemek felett csak nullá szerepeljenek. 2. Feladat Hozzuk redukált lépcss alakra a mátrixot. Megoldás Ez a mátrix is lépcss alakú. 3. Feladat Oldjuk meg az elz feladato Maple-ben!

21 Megoldás (3.3.1) (3.3.2) (3.3.3) (3.3.4) (3.3.5)

22 Elemi mátrixok Ebben a fejezetben azt vizsgáljuk, hogy milyen mátrixokat eredményeznek az elemi átalakítások akkor, ha azokat az egységmátrixra hajtjuk végre. Emlékeztetül az egységmátrix olyan diagonális mátrix, melynek fátlójában 1-esek állnak. Az egységmátrix a mátrix szorzás egységeleme, ugyanis egy mátrixot akár jobbról, akár balról egységmátrixszal szorzunk eredményül a kiindulási mátrixot kapjuk. (4.1) (4.2) (4.3) Az elemi átalakítások hatásait az egységmátrixra könny megmondani. Beszorzás. Ha az egységmátrix egy sorát a nem nulla konstanssal szorozzuk, akkor akkor annak a sornak a fátlójában lév 1-es -re változik. (4.4) (4.5)

23 (4.5) (4.6) Látjuk, hogy az átalakított egységmátrix azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy ha vele balról szorzunk egy mátrixot, akkor a szorzatmátrix az eredetibl az els sor -vel való szorzásával keletkezik. Könny meggyzdni arról, hogy ez a tulajdonság az egységmátrix többi sorára is érvényben marad. Megállapíthatjuk tehát, hogy ha az egységmátrix -edik sorát egy számmal szorozzuk, akkor olyan elemi mátrixot kapunk, amelyre a mátrix -ból úgy keletkezik, hogy annak -edik sorát -vel beszorozzuk. Hozzáadás. Adjuk hozzá az egységmátrix els sorát a másodikhoz, és a keletkez mátrixszal szorozzuk meg balról az mátrixot. (4.7) (4.8) Kellemes meglepetésünkre azt tapasztaljuk, hogy most az szorzatmátrix az -ból az els sor - szerének a harmadikhoz való hozzáadásával, vagyis ugyanazzal az elemi átalakítással, amelyet az egységmátrixon végeztünk. Célszer azonban ezt az észrvételt általánosan is rögzíteni. Észrevétel Az az elemi mátrix, amely az i-edik sorhoz a j-edik sor -szeresének hozzáadását végzi, az egységmátrixból úgy keletkezik, hogy abban az -edik sor -edik elemét -re változtatjuk.

24 Sorcsere. Cseréljük fel az egységmátrix els sorát a másodikkal, és a keletkez mátrixszal szorozzuk meg balról az mátrixot. (4.9) (4.10) Az eddigi tapasztalt tulajdonság most is érvényes: a szorzatmátrix -ból az els és második sor cseréjével keletkezik. Azt tapasztaltuk tehát, hogy az elemi átalakításokat el tudjuk végezni úgy, hogy a mátrixot alkalmas elemi mátrixszal balról megszororozzuk. És hogy könny legyen megjegyezni azt, hogy mivel kell balról szorozni kell, azt a mátrixot az egységmátrixból állíthatjuk el ugyanazzal az elemi átalakítással. Tétel Legyen olyan mátrix, ami az egyégmátrixból elemi átalakítással keletkezett. Ekkor tetszleges mátrixra az szorzat az -ból ugyanazzal az elemi átalakítással áll el, mint az egységmátixból. A tétel jelentsége inkább elmélti, mintsem gyakorlati. Értelmezhetnénk persze a tétel eredményét úgy, hogy az egy elemi átalakítás elvégzésének feladatát visszavezettük ugyanennek az elemi átalakításnak az egységmátrixon való elvégzésére és a mátrixsszorzás végrehajzására. Ez azonban csak nehezítené a gyakorlati számításainkat a mátrixszorzás bonyolultsága miatt. Haszna annak van, hogy az elemi átalakítások vizsgálatában mátrixalgebrai eszközöket vethetünk be. Mátrix inverzének meghatározása Vizsgáljuk meg az elemi mátrixok inverzeit (ha léteznek). (5.1)

25 (5.1) (5.2) (5.3) (5.4) (5.5) (5.6) (5.7) (5.8)

26 (5.8) (5.9) Tétel Az elemi mátrixok invertálhatók Tekintsünk egy -es mátrixot, tegyük fel hogy elemi átalakítások sorozatával egységmátrixszá alakítható. Az els elemi átalakítás eredménye legyen. A mádosik átalakítást már erre a mátrixra hatjuk végre, így annak eredménye Ha eljárásunk lépésbl áll, akkor annak végrehajtása után azt írhatjuk, hogy Mit modhatunk a mátrixról? Ennek -val való szorzata az egységmátrix, ami azt jelenti, hogy ez a mátrix nem más, mint inverze, tehát amit... alakba is írhatunk, hiszen az egységmárix. Ez az egyenlség pedig úgy értelmezhet, hogy ha az egyságmátrixra végrehajtjtjuk ugyanazokat az elemi átalakításokat, amelyek az mátrixot egységmátrixszá alakítják, akkor megkapjuk az inverzét. Annak érdekében, hogy ne kelljen külön elvégezni az egységmátrixszá alakítását, aztán minden egyen elemi átalakítást feljegyzni, mégpedig sorrendben, hogy azután ugyanazokat az elemi átalakításokat elvégezhessük az egységmátrixszon, azt a megoldást választjuk, hogy párhuzamosan végezzük el az elemi átalakításokat egyidajleg az mátrixon is az egységmátrixon. Ezt pedig úgy érjük el, az mátrixot kiagászítjük egy egységmátrix oszlopaival, a keletkez mátrixot alakítjuk redukált lépcs alakká. Megjegyzzük, hogy ha -nak létezik az inverze, akkor a redukált lépcss

27 alakja az egységmátrix. Kidolgozott feladatok 1. Feladat Számítsuk ki az A= mátrix inverzét. Megoldás Egészítsük ki az oszlopait az egységmátrixszal, és alakítsuk redukált lépcss alakra.. Az inverz mátrix az eredmény harmadik és negyedik oszlopában található. Hogy valóban inverz mátrixszal állunk szemben, arról meg. szorat kiszámításával gyzdhetünk. = =. 2. Feladat Számítsuk ki az A= mátrix inverzét Mapleben. Megoldás (5.1.1) (5.1.2)

28 (5.1.2) (5.1.3) (5.1.4) (5.1.5) (5.1.6) (5.1.7)

29 (5.1.8) (5.1.9) 2. Feladat Számítsuk ki az A= mátrix inverzét Mapleben. Megoldás (5.1.10) (5.1.11) (5.1.12)

30 (5.1.12) (5.1.13) (5.1.14) 2. Feladat Számítsuk ki az A= mátrix inverzét Mapleben. (5.1.15) (5.1.16)

31 (5.1.16) (5.1.17) (5.1.18) (5.1.19) Gyakorló feladatok 1. Igaz-e, hogy minden lépcss alakú mátrix, valamely egyenletrendszer mátixának lépcss alakja? 2. Igaz-e, hogy minden redukált lépcss alakú mátrix valamely egyenletrendszer mátixának redukált lépcss alakja? 3. Mutassuk meg, hogy ha az mátix elemi átalakításokkal a mátrixxá alakítható, akkor az mátrix is megkapható mátrix ból elemi átalakításokkal. 4. Milyen mátrixot kapunk, ha az -as mátrixot balról megszorozzuk az mátrixszal? És ha jobbról szorozzuk?

32 5. Adjunk meg olyan mátrixot, amivel az -as mátrixot balról megszorozva "elvégzi" az A els sorának c-vel való beszorzását. Adjuk meg ugyan ezt a harmadik sorra is. 6. Adjuk meg a mátrixokat, melyekkel balról szorozva elállítható az elemi általakítások (3x3-as mátrixokra).

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal 11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4 2012. február 2. 8. évfolyam TMat2 feladatlap Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATOK 8. évfolyamosok számára, tehetséggondozó változat TMat2 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Bevezetés: Tekintsük az alábbi -es mátrixot: A. Szorozzuk meg ezt jobbról egy alkalmas méretű (azaz -es) oszlopvektorral, amely az R tér kanonikus bázisának

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: 1. Paramétert nem tartalmazó eset x 1 + 3x 2-2x 3 = 2-2x 1-5x 2 + 4x 3 = 0 3x 1

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez

Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez Sándor Tamás, sandor.tamas@kvk.bmf.hu Takács Gergely, takacs.gergo@kvk.bmf.hu Lektorálta: dr. Schuster György PhD, hal@k2.jozsef.kando.hu

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

Számrendszerek. A római számok írására csak hét jelt használtak. Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat.

Számrendszerek. A római számok írására csak hét jelt használtak. Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat. Számrendszerek A római számok írására csak hét jelt használtak Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat Római számjegyek I V X L C D M E számok értéke 1 5 10

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Miért van az, hogy a legtöbben. a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból

Miért van az, hogy a legtöbben. a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból Miért van az, hogy a legtöbben a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból Elszó 0 éves személyes tapasztalataim azt mutatják, hogy a tanulóknak

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Lineáris algebra bevezető

Lineáris algebra bevezető Lineáris algebra bevezető 1 Egyismeretlenes egyenletek bemelegítés Az ilyen egyenletek rendezés után ax = b alakba írhatók Ha a 0, akkor a(z egyértelmű megoldás x = b/a Ha a = 0, akkor b 0 esetben nincs

Részletesebben

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT. 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT. 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset A bázistranszformáció egyszerűsített változatában a bázison kívül elhelyezkedő vektorokból amennyit csak

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Nyelvtani transzformációk. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 6. gyakorlat.

Házi feladatok megoldása. Nyelvtani transzformációk. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 6. gyakorlat. Nyelvtani transzformációk Formális nyelvek, 6. gyakorlat a. S (S) SS ε b. S XS ε és X (S) c. S (SS ) Megoldás: Célja: A nyelvtani transzformációk bemutatása Fogalmak: Megszorított típusok, normálformák,

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Ismétlés nélküli permutáció

Ismétlés nélküli permutáció Ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböz elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ezt n elem ismétlés nélküli permutációjának nevezzük.) Például hány féleképpen lehet sorba

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset A bázistranszformáció nehezített változatában a bázison kívül elhelyezkedő vektorokból amennyit csak lehetséges

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl:

Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl: Törtek A törteknek kétféle értelmezése van: - Egy egészet valamennyi részre (nevező) osztunk, és abból kiválasztunk valahány darabot (számláló) - Valamennyi egészet (számláló), valahány részre osztunk

Részletesebben

i=1 i+3n = n(2n+1). j=1 2 j < 4 2 i+2 16 k, azaz az algoritmus valóban konstans versenyképes.

i=1 i+3n = n(2n+1). j=1 2 j < 4 2 i+2 16 k, azaz az algoritmus valóban konstans versenyképes. 1. Feladat Adott egy parkoló, ahol egy professzor a kocsiját tartja. A parkolóhelyeket egy n és n közötti szám azonosítja, az azonosító szerint helyezkednek el balról jobbra. A professzor kijön az egyetemr

Részletesebben

Illeszkedésvizsgálat χ 2 -próbával

Illeszkedésvizsgálat χ 2 -próbával Illeszkedésvizsgálat χ -próbával Szalay Krisztina 1. feladat (tiszta illeszkedésvizsgálat) Négy pénzérmét 0-szor feldobunk. A kapott gyakoriságok: fejek száma 0 1 3 4 Összes gyakoriság 5 35 67 41 1 0 Elfogadható-e

Részletesebben

Operációkutatás. Glashütter Andrea

Operációkutatás. Glashütter Andrea Glashütter Andrea Mátriok I. Mátriok A mátriok olyan számtáblázatok, amelyek n db sorral és m db oszloppal rendelkeznek. Általános mátri: m n nm n n m m a a a a a a a a a A K M O M M K K Egy tetszleges

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A 23-as szám című misztikus filmben

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Érdekes informatika feladatok

Érdekes informatika feladatok A keres,kkel és adatbázissal ellátott lengyel honlap számos díjat kapott: Spirit of Delphi '98, Delphi Community Award, Poland on the Internet, Golden Bagel Award stb. Az itt megtalálható komponenseket

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A =

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A = Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 04. május 6. Fontos tudnivalók

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben