LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset"

Átírás

1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: 1. Paramétert nem tartalmazó eset x 1 + 3x 2-2x 3 = 2-2x 1-5x 2 + 4x 3 = 0 3x 1 + x 2-4x 3 = -4 Megjegyzés: Een a példáan az ismeretleneket x 1, x 2, x 3 jelöli, de x 1, x 2, x 3 helyett állhatna x, y, z is Fogalmak: együtthatómátrix: az egyenletek aloldalán szereplő, az ismeretlenek (x 1, x 2, x 3 ) szorzószámai (előjellel együtt!!) alkotta mátrix (ahol a szám nincs kiírva az x elé, ott 1-es vagy -1-es szerepel, ahol nincsen x, ott 0 szerepel a mátrixan), melyet általáan A etűvel jelölünk A = vektor: az egyenletek jooldalán álló számok alkotta oszlopvektor 2 = 0-4 x vektor: a feladatan szereplő ismeretlenek alkotta oszlopvektor (annyi d x i, ahány d szerepel a feladatan, a példáan x 1, x 2, x 3 ) A lineáris egyenletrendszer általános alakja Ax = x 1 x = x 2 x 3 1.LÉPÉS: Induló szimplex tálázatot készítünk az aláiak figyelemevételével: ázis x vektor x 1 x 2 x együttható a példáan szereplő adatokkal pedig: mátrix a tálázat tetejére először felírjuk az x vektort, majd a legfelső sor végére mindig etűt írunk (függőleges vonallal elválasztva az x vektortól) a tálázata az x vektor alá emásoljuk az együtthatómátrix számadatait, a tálázat jo szélére a alá emásoljuk a vektor számadatait Az induló tálázatan a ázis egyelőre üres, azaz a tálázat egyes sorainak elejére semmit nem írunk 2. LÉPÉS: Bázistranszformációk sorozatát hajtjuk végre az induló tálázattól kezdődően addig, amíg olyan tálázatot nem kapunk, amelyen már nem tudunk generáló elemet választani. (A ázistranszformáció menete azonos a Bázistranszformáció című fejezeten a paramétert nem tartalmazó esetnél leírtakkal, de a generáló elem választásánál lehetnek kiegészítések) 2A.LÉPÉS: Generáló elemet választunk az alái szaályok etartásával: oszlopól TILOS generáló elemet választani csak olyan soról választhatunk, amely sor elején a ázis üres, azaz ahol a ázisan még nincs etű (Természetesen az első tálázat esetén ez ármelyik sorra teljesül, tehát ármelyik soran választhatunk, késő azonan ez már nem lesz érvényes) a generáló elem nulla kivételével ármilyen szám lehet (célszerű - de nem kötelező - olyan számot választani, amely számmal az adott szám sorának összes töi elemét el tudjuk osztani maradék nélkül, mert így elkerüljük, hogy törtekkel kelljen dolgozni, ezért az 1-es például mindig jó választás) Az 1.LÉPÉSen felírt induló tálázat esetén a következőképp gondolkodunk: ármelyik soran választhatunk generáló elemet, mert egyik sor elején sincsen még a ázisan vektor ármelyik számot választhatjuk (hiszen egyik szám sem nulla), de CÉLSZERŰ valamelyik 1-est választani A példáan választásunk legyen a következő: x 1 x 2 x

2 2B.LÉPÉS: A generáló elem oszlopának tetején lévő etűt evisszük a ázisa a generáló elem sorának elején lévő üres helyre, majd új tálázatot készítünk. A ázisa ekerülő etű nek megfelelő oszlop az új tálázatan már hiányzik, azaz a példáan az új tálázatan az x 2 oszlop eltűnik x 2 2C.LÉPÉS: Kiszámítjuk az új tálázatan azokat a számokat, amelyek a generáló elemnek megfelelő soran helyezkednek el. A számítást úgy végezzük, hogy a generáló elem soráan lévő számokat (az előző tálázatan) elosztjuk a generáló elemmel x 2 3/1=3-4/1=-4-4/1=-4 2D.LÉPÉS: Kitöltjük az új tálázatan szereplő üres oszlopokat mégpedig oszloponként haladva alról jo felé. Mindegyik ilyen oszlopan már van egy ismert számadat, melyet a 2C.LÉPÉSen töltöttünk ki x D/1.LÉPÉS: Megnézzük, vannak e olyan oszlopok, amelyeken a már kitöltött (ismert) szám nulla. Ha vannak ilyen oszlopok, akkor először ezeket töltjük ki, ha nincsenek ilyenek, akkor az 2D/2.LÉPÉS következik. Minden ilyen oszlop összes számadata megegyezik az előző tálázatan szereplő azonos etűjelű oszlop számadataival, tehát csak át kell másolnunk a megfelelő oszlopot az előző tálázatól. (jelen példáan nincsen ilyen oszlop, ezért folytatjuk a 2D/2.LÉPÉS sel) 2D/2.LÉPÉS: A még hiányzó oszlopok kitöltése (oszloponként haladva) mindig a következő képlet alkalmazásával történik: (új oszlop ismeretlen számadatai) = (új oszloppal azonos etűjelű oszlop számadatai az előző tálázatan a generáló elem soráan lévő számadat nélkül)-(új oszlop ismert számadata)*(a generáló elem oszlopa az előző tálázatan a generáló elem nélkül) (1,-2) (3)*(3,-5) = (1,-2) (9,-15) = (-8,13) (-2,4) (-4)*( 3,-5) = (-2,4) (-12,20) = (10,-16) (2,0) (-4)*( 3,-5) = (2,0) (-12,20) = (14,-20) x 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x A-2D.LÉPÉSEK elvégzése után a következőképpen néz ki a feladatunk: x

3 2E.LÉPÉS: A kapott új tálázatról haladunk tová, mégpedig úgy, hogy ismét végrehajtjuk a 2A-2D.LÉPÉSEK-et addig, ameddig a 2A. LÉPÉS-nél el nem akadunk, azaz valami miatt nem tudunk generáló elemet választani. A példáan ez a következőképpen alakul (2A, 2B, 2C, 2D): x x 3-8/10 14/ /10 24/ x x 2-2/10 16/10 x x 3-8/10 14/10 x /10 24/10 x x x 2-2/10 16/10 x 2 4 x x 3-8/10 14/10 x /10 24/10 x x x 2-2/10 16/10 x Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: x 1 + x 3 + 2x 4 = 2 x 1 + 2x 2 + x 4 = -3 -x 2 + x 3 + 2x 4 = 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 4 x x x x x x x Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: -3x 1 + x 2 - x 3-3x 4 = -3 x 1 + x 2 + 3x 3-3x 4 = 5 x 2 + 2x 3-3x 4 = 3 x 1 x 2 x x x x Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: 2x 1-5x 2 + 3x 3 + 3x 4 = -10-3x 2 + x 3 + 3x 4 = 2 x 1-4x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 5 x 1 x 2 x 1 x 2 x 4 x 2 x x x x Ha eljutunk az utolsó tálázathoz, azaz már nem tudunk úja generáló elemet választani, akkor folytatjuk a feladatmegoldást a 3.LÉPÉSsel 3. LÉPÉS: Megnézzük az utolsó tálázatot, amelyen már nem tudtunk generáló elemet választani. Ezt a tálázatot esoroljuk a következő esetek valamelyikée (az utolsó tálázat az alái négy eset közül csak az egyike sorolható e!!!). 1.eset: Az összes ismeretlen (összex x) a ázisan van, a ázisan már nincsen üres hely, a ázison kívül (tálázat tetején) nincsen ismeretlen (nincsen x), csak a szerepel itt. Az 1.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 3 11 x 1 12 x 2 4 következtetés: Az egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, azaz a megoldás egyértelmű.

4 2.eset: A ázisan már nincsen üres hely, a ázison kívül (tálázat tetején) viszont marad ismeretlen (van x), nemcsak a szerepel itt. A 2.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 4 x x x következtetés: Az egyenletrendszernek végtelen megoldása van. 3.eset: A ázisan még van üres hely, a ázison kívül (tálázat tetején) marad ismeretlen (van x), nemcsak a szerepel itt, ugyanekkor a oszlopan nulla áll az összes olyan helyen, ahol a ázis üres (azaz a sor elején nincsen x). A 3.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x x következtetés: Az egyenletrendszernek végtelen megoldása van. 4.eset: A ázisan még van üres hely, a ázison kívül (tálázat tetején) marad ismeretlen (van x), nemcsak a szerepel itt, ugyanekkor a oszlopan van olyan hely, ahol nem nulla áll aan a soran, ahol a ázis üres (azaz a sor elején nincsen x). A 4.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 2 x x x következtetés: Az egyenletrendszernek nincs megoldása. Ha esoroltuk az utolsó tálázatot az elői esetkek egyikée, akkor folytatjuk a feladatmegoldást a 4.LÉPÉSsel, kivéve azt az esetet (4.eset), ahol nincsen megoldás, mert ezeseten a feladatmegoldás itt végetér. 4. LÉPÉS: Az utolsó tálázatról leolvassuk a feladat megoldását, azaz az ismeretlenek (x 1, x 2, x 3 ) értékeit. A leolvasás menete attól függ, hogy az utolsó tálázat a 3.LÉPÉSnél melyik esethez tartozott, ennek alapján itt két eset lehetséges. 1.eset: Az utolsó tálázat a 3.LÉPÉSnél az 1.esethez tartozott. Az 1.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. Ilyenkor minden egyes ismeretlen (x) értéke a oszlopan található, mégpedig pontosan az adott ismeretlen mellett. x 3 11 x 1 12 x 2 4 Tehát a megoldás: x 3 = 11, x 1 = 12, x 2 = 4, amelyet x vektor formájáan is felírhatunk, melyen az x-ek sorrenden szerepelnek (legfelül az x 1 és így tová). x 1 12 x = x 2 = 4 x eset: Az utolsó tálázat a 3.LÉPÉSnél a 2.esethez vagy a 3.esethez tartozott. A 2.példa és a 3.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. Ilyenkor a megoldást a következő lépések segítségével kapjuk meg az utolsó tálázatról kiindulva: 4A.LÉPÉS: Az utolsó tálázatól elhagyjuk azokat a sorokat, amelyeken az összes szám nulla. (A 2.példáan ilyen sorunk nincsen, a 3.példáan viszont ilyen az első sor) 2.példa: Nincs teendő, az utolsó tálázat változatlan marad x 4 x x x példa: Az első soran az összes szám nulla, ezért ezt a sort elhagyjuk Az első sort elhagyva kapjuk: x x x x

5 Fogalmak: Kötött ismeretleneknek nevezzük a tálázat al szélén (a ázisan) található ismeretleneket (x-eket) Szaad ismeretleneknek nevezzük a tálázat tetején (a ázison kívül) található ismeretleneket (x-eket) x 4 x példa: x példa: x x x Szaad ismeretlenek száma az egyenletrendszer szaadságfoka (a 2.példáan a szaadságfok 1, míg a 3.példáan 2) 4B.LÉPÉS: A kapott tálázatan szereplő számokat ehelyettesítjük a következő képlete: (kötött ismeretlenek oszlopvektora) = ( oszlopan szereplő számok) (szaad ismeretlenek alatt elhelyezkedő mátrix)*(szaad ismeretlenek oszlop formájáan felírva) 2.példa: x 4 x x x A képletet alkalmazva: x 2 = -4-1 * x 4 x x példa: x A képletet alkalmazva: x 1 = * x 3 x x x 4 4C.LÉPÉS: A felírt egyenletek jooldalán elvégezzük a mátrix- és vektorműveleteket 2.példa: 3.példa: Elvégezve x 1 5-1x 4 Majd elvégezve x x 4 a szorzást: x 2 = -4-1x 4 a kivonást: x 2 = -4-1x 4 x 3-3 3x 4 x x 4 Elvégezve x 1 = 2-1x 3 + 0x 4 Majd elvégezve x 1 = 2 1x 3-0x 4 a szorzást: x 2 3 2x 3-3x 4 a kivonást x 2 3 2x 3 + 3x 4 4D.LÉPÉS: A al- és jooldalt soronként egyenlővé tesszük egymással, ekkor az egyenletrendszer általános megoldását kapjuk 2.példa: 3.példa: x 1 = 5 + 1x 4 x 2 = -4-1x 4 x 3 = -3-3x 4 x 1 = 2 1x 3 x 2 = 3 2x 3 + 3x 4 Megjegyzés: Attól függően, hogy a ázistranszformáció során hogyan választottunk generáló elemet, más megoldást is kaphatunk. Ekkor mások a szaad ismeretlenek és mások a kötött ismeretlenek, de a szaadságfok (azaz a szaad ismeretlenek száma ugyanennyi) 4E.LÉPÉS: A szaad ismeretlenek helyére α, β, γ st. paramétereket írunk. Mivel ezek szaad ismeretlenek, a paraméterek értéke tetszőleges szám lehet, ezért α, β, γ Є R. 2.példa: x 1 = 5 + 1x 4 x 1 = 5 + 1α x 2 = -4-1x 4 x 4 szaad ismeretlen helyére α x 2 = -4-1α x 3 = -3-3x 4 paraméter kerül, tehát x 4 = α x 3 = -3-3α Tehát a megoldás: x 4 = α, x 1 = 5 + α, x 2 = -4 - α, x 3 = -3-3α, amelyet x vektor formájáan is felírhatunk, melyen az x-ek sorrenden szerepelnek (legfelül az x 1 és így tová). x α 5 + 1α 5 1 x = x 2 = -4-1α = -4-1α = -4 + α -1 x α -3-3α -3-3 x 4 α 0 + 1α 0 1

6 3.példa: x 1 = 2 1x 3 x 3 szaad ismeretlen helyére α, x 4 helyére pedig x 1 = 2 1α x 2 = 3 2x 3 + 3x 4 β paraméter kerül, tehát x 3 = α és x 4 = β x 2 = 3 2α + 3β Tehát a megoldás: x 3 = α, x 4 = β, x 1 = 2 - α, x 2 = 3-2α + 3β, amelyet x vektor formájáan is felírhatunk, melyen az x-ek sorrenden szerepelnek (legfelül az x 1 és így tová). x 1 2-1α 2-1α +0β x = x 2 = 3-2α + 3β = 3-2α + 3β = 3 + α -2 + β 3 x 3 α 0 + 1α + 0β x 4 β 0 + 0α + 1β F.LÉPÉS: Ha a feladat ázismegoldás illetve partikuláris megoldás kiszámítását is kéri, akkor a következőt tesszük: Bázismegoldás: Az összes szaad ismeretlen (az összes paraméter) helyére nullát írunk 3.példa: ázismegoldás esetén α=0 és β=0, tehát elvégezve a helyettesítést a következőt kapjuk: x 1 2-1α 2 1*0 2 x = x 2 = 3-2α + 3β = 3 2*0 + 3*0 = 3 x 3 α 0 0 x 4 β 0 0 Partikuláris megoldás: A szaad ismeretlenek (a paraméterek) helyére tetszőlegesen választott számokat írunk 3.példa: Legyen mondjuk α=1 és β=2 (de ármilyen más szám is lehetne), tehát elvégezve a helyettesítést a következőt kapjuk: x 1 2-1α 2 1*1 1 x = x 2 = 3-2α + 3β = 3 2*1 + 3*2 = 7 x 3 α 1 1 x 4 β 2 2 EZZEL A FELADATMEGOLDÁS VÉGETÉRT 2. Paramétert tartalmazó eset A paramétert is tartalmazó feladattípus lényege nem a konkrét megoldás, hanem annak elemzése, hogy a paraméter különöző értékeitől függően van e megoldása az egyenletrendszernek, ha van megoldása, akkor hány megoldása van, illetve mekkora az egyenletrendszer szaadságfoka. Ilyen eseten a felírt egyenletrendszer α, β, γ st paramétereket is tartalmaz. 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 1 + x 2 - x 3 = 3 -x 1 + αx 3 = β A feladatmegoldás lépései hasonlóak a 1. Paramétert nem tartalmazó eset című részen leírtakkal. (A ázistranszformáció során úgy járunk el, ahogyan azt a Bázistranszformáció című fejezeten a paramétert tartalmazó esetnél emutattuk, de a generáló elem választásánál lehetnek kiegészítések) 1.LÉPÉS: Megegyezik a 1. Paramétert nem tartalmazó eset című fejezeten leírt 1.LÉPÉS-sel. x 1 x 2 x α β 2. LÉPÉS: Bázistranszformációk sorozatát hajtjuk végre az induló tálázattól kezdődően addig, amíg olyan tálázatot nem kapunk, amelyen már nem tudunk generáló elemet választani. (A ázistranszformáció menete azonos a Bázistranszformáció című fejezeten a paramétert tartalmazó esetnél leírtakkal, de a generáló elem választásánál lehetnek kiegészítések) 2A.LÉPÉS: Generáló elemet választunk az alái szaályok etartásával: oszlopól TILOS generáló elemet választani csak olyan soról választhatunk, amely sor elején a ázis üres, azaz ahol a ázisan még nincs vektor (Természetesen az első tálázat esetén ez ármelyik sorra teljesül, tehát ármelyik soran választhatunk, késő azonan ez már nem lesz érvényes) paraméter sosem lehet generáló elem célszerű (de NEM KÖTELEZŐ!!) olyan soran választani generáló elemet, amely sor egyáltalán nem tartalmaz paramétert. Ha mindegyik soran van paraméter, akkor az elői 2 szaály etartásával ármelyik soran választhatunk generáló elemet. célszerű (de NEM KÖTELEZŐ!!) olyan oszlopan választani generáló elemet, amely oszlop egyáltalán nem tartalmaz paramétert. Ha minden oszlop tartalmaz paramétert, akkor érdemes a legkevese paramétert tartalmazó oszlopól választani

7 a generáló elem nulla kivételével ármilyen szám lehet (célszerű - de nem kötelező - olyan számot választani, amely számmal az adott szám sorának összes töi elemét el tudjuk osztani maradék nélkül, mert így elkerüljük, hogy törtekkel kelljen dolgozni, ezért az 1-es például mindig jó választás) Az 1.LÉPÉSen felírt induló tálázat esetén a következőképp gondolkodunk: oszlopól tilos generáló elemet választani ármelyik soran választhatunk generáló elemet, mert egyik sor elején sincsen még a ázisan vektor a tálázatan szereplő α paraméter nem lehet generáló elem a 3. sor tartalmaz paramétert, ezért eől a soról nem célszerű a választás, mert ez elonyolítaná a feladatot és van 2 olyan sorunk (1. és 2. sor), amelyen nincs paraméter. Ha nem lenne olyan sorunk, amelyen nincs paraméter, akkor kénytelenek lennénk paramétert tartalmazó soran választani. a 3. oszlop tartalmaz paramétert, ezért eől az oszlopól nem célszerű a választás, mert ez elonyolítaná a feladatot. a nulla nem lehet generáló elem összefoglalva a fentieket: az 1. vagy a 2. soról és az 1. vagy a 2. oszlopól választjuk ármelyik nullától különöző elemet, de célszerű valamelyik 1-est választani, hogy a számítás során ne keletkezzenek törtek (ha nincs 1-es és olyan szám sincs, amellyel a sor összes száma osztható, akkor ele kell törődnünk, hogy törtekkel fogunk dolgozni) A példáan választásunk legyen a következő: x 1 x 2 x α β 2B.LÉPÉS: Megegyezik a 1. Paramétert nem tartalmazó eset című fejezeten leírt 2B.LÉPÉS-sel x α β 2C.LÉPÉS: Megegyezik a 1. Paramétert nem tartalmazó eset című fejezeten leírt 2C.LÉPÉS-sel x 2 1/1=1-1/1=-1 3/1=3-1 0 α β 2D.LÉPÉS: Megegyezik a 1. Paramétert nem tartalmazó eset című fejezeten leírt 2D.LÉPÉS-sel x α β (1,-1) (1)*(2,0) = (1,-1) (2,0) = (-1,-1) x 1 x x x α β -1 (1,α) (-1)*(2,0) = (1,α) (-2,0) = (3,α) x 1 x x x α β -1-1 α (4,β) (3)*(2,0) = (4,β) (6,0) = (-2,β) x 1 x x x α β -1 α -1 α β 2A-2D.LÉPÉSEK elvégzése után a következőképpen néz ki a feladatunk: x α β -1 α β

8 2E.LÉPÉS: A kapott új tálázatról haladunk tová, mégpedig úgy, hogy ismét végrehajtjuk a 2A-2D.LÉPÉSEK-et addig, ameddig a 2A. LÉPÉS-nél el nem akadunk, azaz valami miatt nem tudunk generáló elemet választani. A példáan ez a következőképpen alakul (2A, 2B, 2C, 2D): x x x x α β -1 α β α - 3 β + 2 x x x x α β -1 α β α - 3 β Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: x 1 + x 3 + 2x 4 = 2 x 1 + 2x 2 + αx 4 = β -x 2 + x 3 + 2x 4 = 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 4 x x x x 1 -α 2-β α β 2-1 α-2 β-2 1 α β-1 x 2 α β x x 3 α+2 β 3.Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: x 1 + x 2 + 3x 4 = 0 x 1 + αx 3 + 2x 4 = -β x 2 - αx 3 + x 4 = β x 1 + 2x 2 - αx 3 + 4x 4 = β x 1 x 2 x x x 1 α 2 -β 1 0 α 2 -β -1 α -1 -β 0 1 -α 1 β 1 -α 1 β x 2 -α 1 β 1 2 -α 4 β 1 -α 1 β 4.Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: x 1 + x 2 + 3x 4 = 0 x 1 + αx 3 + 2x 4 = -β x 2 - αx 3 + x 4 = 2 x 1 + 2x 2 - αx 3 + 4x 4 = 1 x 1 x 2 x x x 1 α α 2 -β -1 α -1 -β β 0 1 -α α 1 2 x 2 -α α α Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: x 2 + x 4 = 1 x 1 + 2x 2 + αx 3 + 4x 4 = 4 x 1 + x 2 + αx 3 + 3x 4 = 3 x 1 + x 2 + αx 3 + 3x 4 = β x 1 x 2 x x x 2 -α α α α α 2 2 x 1 α α 3 β 1 α 2 β β-3 Ha eljutunk az utolsó tálázathoz, azaz már nem tudunk úja generáló elemet választani, akkor folytatjuk a feladatmegoldást a 3.LÉPÉSsel

9 3. LÉPÉS: Megnézzük az utolsó tálázatot, amelyen már nem tudtunk generáló elemet választani. Ezt a tálázatot esoroljuk a következő esetek valamelyikée (az utolsó tálázat az alái három eset közül csak az egyike sorolható e!!!). 1.eset: A ázisan már nincsen üres hely. A 2.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 4 x 1 -α 2-β x 2 α β-1 x 3 α+2 β Következtetés: A paraméterek ármely értéke mellett van megoldása az egyenletrendszernek. Ha a ázison kívül (tálázat tetején) nincsen ismeretlen (nincsen x), csak a szerepel itt, akkor mindig 1 megoldás van (szaadságfok nulla), ha a ázison kívül (tálázat tetején) viszont marad ismeretlen (van x), nemcsak a szerepel itt, akkor mindig végtelen sok megoldás van (szaadságfok egyenlő a ázison kívüli ismeretlenek számával). Továi vizsgálat nem szükséges, a feladatmegoldás itt végetér. A 2.példáan tehát a paraméter ármely értéke mellett végtelen sok megoldás lesz, a szaadságfok pedig 1. 2.eset: A ázisan még van üres hely és azokan a sorokan, ahol a ázis üres a oszlopon kívüli összes szám nulla. A 3, 4, 5.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. Ilyenkor a tálázatot tová osztályozzuk aszerint, hogy a 2a., 2. vagy 2c. esethez tartozik e, ami attól függ, hogy mit tratalmaz a oszlop azokan a sorokan, ahol a ázis üres. 3.példa 4.példa 5.példa x 1 α 2 -β x 1 α 2-2 x 2 -α β x 2 -α 1 β x 2 -α 1 2 x 1 α β-3 2a.eset: Azokan a sorokan, ahol a ázis üres, a oszlopan mindenütt nulla áll. A 3.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 1 α 2 -β x 2 -α 1 β Következtetés: A paraméterek ármely értéke mellett végtelen megoldása van az egyenletrendszernek (szaadságfok egyenlő a ázison kívüli ismeretlenek számával). Továi vizsgálat nem szükséges, a feladatmegoldás itt végetér. 2.eset: Azokan a sorokan, ahol a ázis üres, a oszlopan legalá egy helyen nullától különöző szám van (konkrét szám és nem paraméter!!!). A 4.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 1 α β x 2 -α Következtetés: A paraméterek ármely értéke mellett nincs megoldása az egyenletrendszernek. Továi vizsgálat nem szükséges, a feladatmegoldás itt végetér. 2c.eset: Azokan a sorokan, ahol a ázis üres, a oszlopan legalá egy helyen paraméteres kifejezés van, ahol pedig nem paraméteres kifejezés, ott nulla áll. Az 5.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 2 -α 1 1 x 1 α β-3 Következtetés: A paraméterek értékétől függ, hogy van e megoldás, ami továi vizsgálatot igényel. 3.eset: A ázisan még van üres hely és legalá az egyik olyan soran, ahol a ázis üres van paraméter a oszlopon kívül. Az 1.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 3 x x α - 3 β + 2 Következtetés: A paraméterek értékétől függ, hogy van e megoldás, illetve hány megoldás van, ami továi vizsgálatot igényel. Ha esoroltuk az utolsó tálázatot az elői esetkek egyikée, akkor folytatjuk a feladatmegoldást a 4.LÉPÉSsel, kivéve azokat az eseteket (1.eset, 2a.eset és 2.eset), ahol a feladatmegoldás a 3.LÉPÉSsel végetért.

10 4. LÉPÉS: Az utolsó tálázatról kiindulva meghatározzuk, hogy a paraméterek különöző értékei esetén van e megoldás, hány megoldás van és mekkora az egyenletrendszer szaadságfoka. A számítás menete attól függ, hogy az utolsó tálázat a 3.LÉPÉSnél melyik esethez tartozott, ennek alapján itt két eset lehetséges. 1.eset: Az utolsó tálázat a 3.LÉPÉSnél a 2c.esethez tartozott. Az 5.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 2 -α 1 1 x 1 α β-3 Ilyenkor a számítást a következő lépések szerint hajtjuk végre az utolsó tálázatról kiindulva: 4A.LÉPÉS: Kiválasztjuk a oszlopól azokat a paramétert tartalmazó cellákat, amelyek olyan sorokan helyezkednek el, ahol a ázis üres (A példáan egyetlen ilyen cella van, amelyen β-3 szerepel). x 2 -α 1 1 x 1 α β-3 4B.LÉPÉS: A 4A.LÉPÉSen kiválasztott cellákan szereplő paraméteres kifejezések mindegyikét nullával tesszük egyenlővé és kiszámítjuk a paraméterek értékeit. 4C.LÉPÉS: Értékeljük a kapott eredményeket. β 3 = 0 amelyől β = 3 adódik. Ha ugyanarra a paraméterre tö különöző értéket kapunk, akkor az egyenletrendszernek nincs megoldása Ha az összes paraméter egyidejűleg (egyszerre) a kiszámított értéket veszi fel, akkor az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van (szaadságfok egyenlő a ázison kívüli ismeretlenek számával), ármilyen más paraméterérték mellett nincs megoldás. A példáan: Ha β = 3, akkor végtelen sok megoldás van, a szaadságfok 2, ármely más paraméterérték mellett viszont nincs megoldás. 2.eset: Az utolsó tálázat a 3.LÉPÉSnél a 3.esethez tartozott. Az 1.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 3 x x α - 3 β + 2 Ilyenkor a megoldást a következő lépések segítségével kapjuk meg az utolsó tálázatról kiindulva: 4A.LÉPÉS: Azokól a sorokól, amelyek elején a ázis üres, kiválasztjuk az egyik olyan oszlopon kívüli cellát, amely paramétert tartalmaz. (A példáan csak egyetlen ilyen cella található, de ha tö van, akkor a választás tetszőleges) A példáan: válasszuk az x 3 oszlopan lévő (α - 3)-at tartalmazó cellát 4B.LÉPÉS: A 4A.LÉPÉSen kiválasztott celláan szereplő paraméteres kifejezést nullával tesszük egyenlővé és kiszámítjuk a paraméter értékét. A példáan: α 3 = 0 amelyől α = 3 adódik A továiakan két esetet vizsgálunk meg attól függően, hogy a paraméter a kiszámított értéket veszi e fel vagy nem. A példáan: a)eset: α = 3 és )eset: α 3 A megoldás továi lépései a fenti két eseten eltérőek (Mindkét esethez tartozó lépéseket végre kell hajtani, mégpedig először az a)eset, ezt követően a )eset lépéseit is). a)eset (amikor a paraméter a 4B.LÉPÉSen kiszámított értéket veszi fel) lépései a következők: 4C.LÉPÉS: A 4B.LÉPÉSen a paraméterre kapott értéket ehelyettesítjük a tálázata az összes ilyen paraméter helyére, majd a kapott új tálázattal dolgozunk tová. Ha α = 3 x 3 α = 3 ehelyettesítése után: x x β + 2

11 4D.LÉPÉS: Ha 4C.LÉPÉSen a kapott új tálázatan tudunk generáló elemet választani, akkor ázistranszformációk sorozatát hajtjuk végre a 2.LÉPÉSen leírtak szerint addig, amíg olyan tálázatot nem kapunk, ahol már nem tudunk generáló elemet választani. Ha 4C.LÉPÉSen a kapott új tálázatan nem tudunk generáló elemet választani, akkor nem csinálunk semmit, megtartjuk a 4C.LÉPÉSen kapott tálázatot. 4E.LÉPÉS: Értékeljük azt a tálázatot, amit a 4D.LÉPÉS végrehajtása után kaptunk. Ha nem kellett semmit tennünk a 4D.LÉPÉSen, akkor a 4C.LÉPÉS tálázatát értékeljük.(értékelni mindig csak olyan tálázatot szaad, ahol már nem tudunk generáló elemet választani!!) A példáan már nem tudunk úja generáló elemet választani, tehát a 4C.LÉPÉSen kapott tálázatot értékeljük. Ha α = 3 x 3 x x β + 2 A példáan már nem tudunk úja generáló elemet választani, tehát a 4C.LÉPÉSen kapott tálázatot értékeljük. Az értékelés úgy történik, hogy ezzel a tálázattal elvégezzük a 3.LÉPÉSt, majd ha szükséges, akkor ezután a 4.LÉPÉSt is. (Tulajdonképpen ez azt jelenti, hogy a 3.LÉPÉSt és a 4.LÉPÉSt felváltva addig ismételjük, ameddig csak lehet) A fenti tálázat a 3.LÉPÉS szerint a 2c.esethez tartozik, majd a 4.LÉPÉS szerint az 1.esethez, ezért az értékelés a következő: Ha α = 3 és β + 2= 0, azaz β = -2, akkor végtelen sok megoldás van, a szaadságfok 1, ha viszont α = 3 és β -2, akkor nincs megoldás. Ne felejtsük el végrehajtani ezután a 4B.LÉPÉSen említett )esetet is!!! )eset (amikor a paraméter nem a 4B.LÉPÉSen kiszámított értéket veszi fel) lépései a következők: 4C.LÉPÉS: A 4A.LÉPÉSen kiválasztott celláan lévő paraméteres kifejezést generáló elemnek választva ázistranszformációk sorozatát hajtjuk végre a 2.LÉPÉS szerint mindaddig, ameddig még tudunk generáló elemet választani. Ha α 3 Ha α 3 x 3 x x 1 (2α+3β)/(α-3) x x 2 (α-2β-4)/(α-3) α - 3 β + 2 x 3 (β+2)/(α-3) 4D.LÉPÉS: Értékeljük azt a tálázatot, amit a 4C.LÉPÉS végrehajtása után kaptunk.(értékelni mindig csak olyan tálázatot szaad, ahol már nem tudunk generáló elemet választani!!) x 1 x 2 x 3 Ha α 3 (2α+3β)/(α-3) (α-2β-4)/(α-3) (β+2)/(α-3) Az értékelés úgy történik, hogy ezzel a tálázattal elvégezzük a 3.LÉPÉSt, majd ha szükséges, akkor ezután a 4.LÉPÉSt is. (Tulajdonképpen ez azt jelenti, hogy a 3.LÉPÉSt és a 4.LÉPÉSt felváltva addig ismételjük, ameddig csak lehet) A fenti tálázat a 3.LÉPÉS szerint az 1.esethez tartozik, ezért nem szükséges 4.LÉPÉS így az értékelés a következő: Ha α 3, akkor β paraméter ármely értéke mellett egyetlen megoldás van, a szaadságfok 0. EZZEL A FELADATMEGOLDÁS VÉGETÉRT

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT. 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT. 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset A bázistranszformáció egyszerűsített változatában a bázison kívül elhelyezkedő vektorokból amennyit csak

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset A bázistranszformáció nehezített változatában a bázison kívül elhelyezkedő vektorokból amennyit csak lehetséges

Részletesebben

Ellenőrzés. Variáns számítás. Érzékenység vizsgálat

Ellenőrzés. Variáns számítás. Érzékenység vizsgálat Ellenőrzés Variáns számítás Érzékenység vizsgálat Készítette: Dr Árahám István Az ellenőrzés A matematikai modell megoldása, a szimple tálák kitöltése közen könnyen elkövethetünk számolási hiát A kiindlási

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Bevezetés: Tekintsük az alábbi -es mátrixot: A. Szorozzuk meg ezt jobbról egy alkalmas méretű (azaz -es) oszlopvektorral, amely az R tér kanonikus bázisának

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Ismertető A Solver telepítése, illetve indítása A Solver célcella módosuló cellák A feltételek általában a módosuló cellákra hivatkozó képletek.

Ismertető A Solver telepítése, illetve indítása A Solver célcella módosuló cellák A feltételek általában a módosuló cellákra hivatkozó képletek. Ismertető A középiskolában sokféle egyenlet megoldásával megismerkednek a diákok. A matematikaórán azonban csak korlátozott típusú egyenletek fordulnak elő. Nem is cél az egyenletmegoldás általános tárgyalása,

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez Bevezetés Ebben a fejezetben megismerkedünk a Logikai függvények típusaival és elsajátítjuk alkalmazásukat. Jártasságot szerzünk bonyolultabb feladatok megoldásában, valamint képesek leszünk a függvények

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4 2012. február 2. 8. évfolyam TMat2 feladatlap Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATOK 8. évfolyamosok számára, tehetséggondozó változat TMat2 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN Az Excelben az egyszerű adatok bevitelén kívül számításokat is végezhetünk. Ezeket a cellákba beírt képletek segítségével oldjuk meg. A képlet: olyan egyenlet, amely a munkalapon

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A Halmazok Érdekes feladat lehet, amikor bizonyos mennyiségű adatok között keressük az adott tulajdonsággal rendelkezők számát. A következőekben azt szeretném megmutatni, hogy a halmazábrák segítségével,

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. együttható-mátrix x-ek jobb oldali számok 2.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ. easymaths.

EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. együttható-mátrix x-ek jobb oldali számok 2.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ. easymaths. www.symhs.hu mk ilágos oldl symhs.hu.lépés: GENERÁLÓ ELEM VÁLASZTÁSA Csk -s oszlopól és -s soról álszhunk gnráló lm, nullá nm álszhunk és lhőlg - gy -- érdms AZ JÁTÉKSZABÁLYAI.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 2009. jnuár 23. MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2009. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Kérem, ismerkedjen meg a DigitAudit program AuditTeszt moduljának Adatok tesztelése menüpontjával.

Kérem, ismerkedjen meg a DigitAudit program AuditTeszt moduljának Adatok tesztelése menüpontjával. Tisztelt Felhasználó! Kérem, ismerkedjen meg a DigitAudit program AuditTeszt moduljának Adatok tesztelése menüpontjával. A program céljai: A programot azért fejlesztettük ki, hogy segítséget adjunk a nagytömegű

Részletesebben

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Szöveges feladatok és Egyenletek

Szöveges feladatok és Egyenletek Szöveges feladatok és Egyenletek Sok feladatot meg tudunk oldani következtetéssel, rajz segítségével és egyenlettel is. Vajon mikor érdemes egyenletet felírni? Van-e olyan eset, amikor nem tanácsos, vagy

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája

Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája A táblázatkezelés alapjai A táblázat szerkesztése A táblázat formázása A táblázat formázása Számítások a táblázatban Oldalbeállítás és nyomtatás

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Tantárgyfelosztás. I. Ellenőrzés. Mielőtt hozzákezd a tantárgyfelosztás tervezéséhez, ellenőrizze le, illetve állítsa be a következőket:

Tantárgyfelosztás. I. Ellenőrzés. Mielőtt hozzákezd a tantárgyfelosztás tervezéséhez, ellenőrizze le, illetve állítsa be a következőket: Tantárgyfelosztás I. Ellenőrzés Mielőtt hozzákezd a tantárgyfelosztás tervezéséhez, ellenőrizze le, illetve állítsa be a következőket: Alkalmazott képes menü > alkalmazottak alapadatai - Alkalmazottak

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

Növényvédő szerek A 500 0 0 0 0 65000 B 0 0 50 500 500 60000 C 50 25 0 50 50 12000 D 0 25 5 50 0 6000

Növényvédő szerek A 500 0 0 0 0 65000 B 0 0 50 500 500 60000 C 50 25 0 50 50 12000 D 0 25 5 50 0 6000 A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Termelési és optimalizálási feladatok megoldása. Mátrixműveletek alkalmazása.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

az Excel for Windows programban

az Excel for Windows programban az Excel for Windows táblázatkezelőblázatkezel programban Mit nevezünk nk képletnek? A táblt blázatkezelő programok nagy előnye, hogy meggyorsítj tják és könnyebbé teszik a felhasználó számára a számítási

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár TARTÓK web-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STATIKA 19. TARTÓK FOGALMA: TARTÓK A tartók terhek biztonságos hordására és azoknak a támaszokra történő

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi

Részletesebben

Mathematica automatikusan dolgozik nagy pontossággal, például 3 a 100-dik hatványon egy szám 48 tizedes jeggyel:

Mathematica automatikusan dolgozik nagy pontossággal, például 3 a 100-dik hatványon egy szám 48 tizedes jeggyel: Mathematica mint egy számológép Használhatja a Mathematica-t, mint egy közönséges számológépet, begépelve egy kifejezést, és a SHIFT + ENTER gombok egyidejű lenyomása után a Mathematica kiszámítja és megadja

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója

Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója 1.) Általános tudnivalók: A segédtábla két méretben készül, 10, és 50 sort lehet kitölteni. A tábla megnevezéséből amit

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 9. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 6. Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (9. gyakorlat Bázistranszformáció és alkalmazásai (folytatás Tartalom Bázistranszformáció

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között A különböző időpontokban, különböző körülmények között rögzített pontok földi koordinátái különböző alapfelületekre (ellipszoidokra geodéziai dátumokra)

Részletesebben

MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSORHOZ 11. ÉVFOLYAM

MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSORHOZ 11. ÉVFOLYAM AZ OSZÁG VEZETŐ EGYETEMI-FŐISKOLAI ELŐKÉSZÍTŐ SZEVEZETE MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PÓBAÉETTSÉGI FELADATSOHOZ. ÉVFOLYAM I. ÉSZ (ÖSSZESEN 3 PONT) 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 D D C D C D D D B

Részletesebben

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal 11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden

Részletesebben

Bevezetés a lineáris programozásba

Bevezetés a lineáris programozásba Bevezetés a lineáris programozásba 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Szimplex módszer p. 1/1 Az LP feladatok általános modellje A korlátozó feltételeket írjuk fel

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos

Részletesebben

1.1.1 Dátum és idő függvények

1.1.1 Dátum és idő függvények 1.1.1 Dátum és idő függvények Azt már tudjuk, hogy két dátum különbsége az eltelt napok számát adja meg, köszönhetően a dátum tárolási módjának az Excel-ben. Azt is tudjuk a korábbiakból, hogy a MA() függvény

Részletesebben

Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója

Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója 1.) Általános tudnivalók: A segédtábla két méretben készül, 10, és 50 sort lehet kitölteni. A tábla megnevezéséből amit

Részletesebben

A Jungle Speed -et 2 15 (vagy még több!) játékos játszhatja, hétéves kortól.

A Jungle Speed -et 2 15 (vagy még több!) játékos játszhatja, hétéves kortól. A Jungle Speed -et 2 15 (vagy még több!) játékos játszhatja, hétéves kortól. A JÁTÉK CÉLJA A játékosok megpróbálnak minél gyorsabban megszabadulni a kártyáiktól. A JÁTÉK ELŐKÉSZÍTÉSE A totemet a kör közepére

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

Számrendszerek. A római számok írására csak hét jelt használtak. Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat.

Számrendszerek. A római számok írására csak hét jelt használtak. Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat. Számrendszerek A római számok írására csak hét jelt használtak Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat Római számjegyek I V X L C D M E számok értéke 1 5 10

Részletesebben

Tartalom. Matematikai alapok. Termékgyártási példafeladat. Keverési példafeladat Szállítási példafeladat Hátizsák feladat, egészértékű feladat

Tartalom. Matematikai alapok. Termékgyártási példafeladat. Keverési példafeladat Szállítási példafeladat Hátizsák feladat, egészértékű feladat 6. előadás Termelési és optimalizálási feladatok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Matematikai alapok Matematikai modell Fontosabb feladattípusok Érzékenységvizsgálat Termékgyártási

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

Passzív és aktív aluláteresztő szűrők

Passzív és aktív aluláteresztő szűrők 7. Laboratóriumi gyakorlat Passzív és aktív aluláteresztő szűrők. A gyakorlat célja: A Micro-Cap és Filterlab programok segítségével tanulmányozzuk a passzív és aktív aluláteresztő szűrők elépítését, jelátvitelét.

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben