LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset"

Átírás

1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: 1. Paramétert nem tartalmazó eset x 1 + 3x 2-2x 3 = 2-2x 1-5x 2 + 4x 3 = 0 3x 1 + x 2-4x 3 = -4 Megjegyzés: Een a példáan az ismeretleneket x 1, x 2, x 3 jelöli, de x 1, x 2, x 3 helyett állhatna x, y, z is Fogalmak: együtthatómátrix: az egyenletek aloldalán szereplő, az ismeretlenek (x 1, x 2, x 3 ) szorzószámai (előjellel együtt!!) alkotta mátrix (ahol a szám nincs kiírva az x elé, ott 1-es vagy -1-es szerepel, ahol nincsen x, ott 0 szerepel a mátrixan), melyet általáan A etűvel jelölünk A = vektor: az egyenletek jooldalán álló számok alkotta oszlopvektor 2 = 0-4 x vektor: a feladatan szereplő ismeretlenek alkotta oszlopvektor (annyi d x i, ahány d szerepel a feladatan, a példáan x 1, x 2, x 3 ) A lineáris egyenletrendszer általános alakja Ax = x 1 x = x 2 x 3 1.LÉPÉS: Induló szimplex tálázatot készítünk az aláiak figyelemevételével: ázis x vektor x 1 x 2 x együttható a példáan szereplő adatokkal pedig: mátrix a tálázat tetejére először felírjuk az x vektort, majd a legfelső sor végére mindig etűt írunk (függőleges vonallal elválasztva az x vektortól) a tálázata az x vektor alá emásoljuk az együtthatómátrix számadatait, a tálázat jo szélére a alá emásoljuk a vektor számadatait Az induló tálázatan a ázis egyelőre üres, azaz a tálázat egyes sorainak elejére semmit nem írunk 2. LÉPÉS: Bázistranszformációk sorozatát hajtjuk végre az induló tálázattól kezdődően addig, amíg olyan tálázatot nem kapunk, amelyen már nem tudunk generáló elemet választani. (A ázistranszformáció menete azonos a Bázistranszformáció című fejezeten a paramétert nem tartalmazó esetnél leírtakkal, de a generáló elem választásánál lehetnek kiegészítések) 2A.LÉPÉS: Generáló elemet választunk az alái szaályok etartásával: oszlopól TILOS generáló elemet választani csak olyan soról választhatunk, amely sor elején a ázis üres, azaz ahol a ázisan még nincs etű (Természetesen az első tálázat esetén ez ármelyik sorra teljesül, tehát ármelyik soran választhatunk, késő azonan ez már nem lesz érvényes) a generáló elem nulla kivételével ármilyen szám lehet (célszerű - de nem kötelező - olyan számot választani, amely számmal az adott szám sorának összes töi elemét el tudjuk osztani maradék nélkül, mert így elkerüljük, hogy törtekkel kelljen dolgozni, ezért az 1-es például mindig jó választás) Az 1.LÉPÉSen felírt induló tálázat esetén a következőképp gondolkodunk: ármelyik soran választhatunk generáló elemet, mert egyik sor elején sincsen még a ázisan vektor ármelyik számot választhatjuk (hiszen egyik szám sem nulla), de CÉLSZERŰ valamelyik 1-est választani A példáan választásunk legyen a következő: x 1 x 2 x

2 2B.LÉPÉS: A generáló elem oszlopának tetején lévő etűt evisszük a ázisa a generáló elem sorának elején lévő üres helyre, majd új tálázatot készítünk. A ázisa ekerülő etű nek megfelelő oszlop az új tálázatan már hiányzik, azaz a példáan az új tálázatan az x 2 oszlop eltűnik x 2 2C.LÉPÉS: Kiszámítjuk az új tálázatan azokat a számokat, amelyek a generáló elemnek megfelelő soran helyezkednek el. A számítást úgy végezzük, hogy a generáló elem soráan lévő számokat (az előző tálázatan) elosztjuk a generáló elemmel x 2 3/1=3-4/1=-4-4/1=-4 2D.LÉPÉS: Kitöltjük az új tálázatan szereplő üres oszlopokat mégpedig oszloponként haladva alról jo felé. Mindegyik ilyen oszlopan már van egy ismert számadat, melyet a 2C.LÉPÉSen töltöttünk ki x D/1.LÉPÉS: Megnézzük, vannak e olyan oszlopok, amelyeken a már kitöltött (ismert) szám nulla. Ha vannak ilyen oszlopok, akkor először ezeket töltjük ki, ha nincsenek ilyenek, akkor az 2D/2.LÉPÉS következik. Minden ilyen oszlop összes számadata megegyezik az előző tálázatan szereplő azonos etűjelű oszlop számadataival, tehát csak át kell másolnunk a megfelelő oszlopot az előző tálázatól. (jelen példáan nincsen ilyen oszlop, ezért folytatjuk a 2D/2.LÉPÉS sel) 2D/2.LÉPÉS: A még hiányzó oszlopok kitöltése (oszloponként haladva) mindig a következő képlet alkalmazásával történik: (új oszlop ismeretlen számadatai) = (új oszloppal azonos etűjelű oszlop számadatai az előző tálázatan a generáló elem soráan lévő számadat nélkül)-(új oszlop ismert számadata)*(a generáló elem oszlopa az előző tálázatan a generáló elem nélkül) (1,-2) (3)*(3,-5) = (1,-2) (9,-15) = (-8,13) (-2,4) (-4)*( 3,-5) = (-2,4) (-12,20) = (10,-16) (2,0) (-4)*( 3,-5) = (2,0) (-12,20) = (14,-20) x 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x A-2D.LÉPÉSEK elvégzése után a következőképpen néz ki a feladatunk: x

3 2E.LÉPÉS: A kapott új tálázatról haladunk tová, mégpedig úgy, hogy ismét végrehajtjuk a 2A-2D.LÉPÉSEK-et addig, ameddig a 2A. LÉPÉS-nél el nem akadunk, azaz valami miatt nem tudunk generáló elemet választani. A példáan ez a következőképpen alakul (2A, 2B, 2C, 2D): x x 3-8/10 14/ /10 24/ x x 2-2/10 16/10 x x 3-8/10 14/10 x /10 24/10 x x x 2-2/10 16/10 x 2 4 x x 3-8/10 14/10 x /10 24/10 x x x 2-2/10 16/10 x Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: x 1 + x 3 + 2x 4 = 2 x 1 + 2x 2 + x 4 = -3 -x 2 + x 3 + 2x 4 = 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 4 x x x x x x x Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: -3x 1 + x 2 - x 3-3x 4 = -3 x 1 + x 2 + 3x 3-3x 4 = 5 x 2 + 2x 3-3x 4 = 3 x 1 x 2 x x x x Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: 2x 1-5x 2 + 3x 3 + 3x 4 = -10-3x 2 + x 3 + 3x 4 = 2 x 1-4x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 5 x 1 x 2 x 1 x 2 x 4 x 2 x x x x Ha eljutunk az utolsó tálázathoz, azaz már nem tudunk úja generáló elemet választani, akkor folytatjuk a feladatmegoldást a 3.LÉPÉSsel 3. LÉPÉS: Megnézzük az utolsó tálázatot, amelyen már nem tudtunk generáló elemet választani. Ezt a tálázatot esoroljuk a következő esetek valamelyikée (az utolsó tálázat az alái négy eset közül csak az egyike sorolható e!!!). 1.eset: Az összes ismeretlen (összex x) a ázisan van, a ázisan már nincsen üres hely, a ázison kívül (tálázat tetején) nincsen ismeretlen (nincsen x), csak a szerepel itt. Az 1.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 3 11 x 1 12 x 2 4 következtetés: Az egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, azaz a megoldás egyértelmű.

4 2.eset: A ázisan már nincsen üres hely, a ázison kívül (tálázat tetején) viszont marad ismeretlen (van x), nemcsak a szerepel itt. A 2.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 4 x x x következtetés: Az egyenletrendszernek végtelen megoldása van. 3.eset: A ázisan még van üres hely, a ázison kívül (tálázat tetején) marad ismeretlen (van x), nemcsak a szerepel itt, ugyanekkor a oszlopan nulla áll az összes olyan helyen, ahol a ázis üres (azaz a sor elején nincsen x). A 3.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x x következtetés: Az egyenletrendszernek végtelen megoldása van. 4.eset: A ázisan még van üres hely, a ázison kívül (tálázat tetején) marad ismeretlen (van x), nemcsak a szerepel itt, ugyanekkor a oszlopan van olyan hely, ahol nem nulla áll aan a soran, ahol a ázis üres (azaz a sor elején nincsen x). A 4.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 2 x x x következtetés: Az egyenletrendszernek nincs megoldása. Ha esoroltuk az utolsó tálázatot az elői esetkek egyikée, akkor folytatjuk a feladatmegoldást a 4.LÉPÉSsel, kivéve azt az esetet (4.eset), ahol nincsen megoldás, mert ezeseten a feladatmegoldás itt végetér. 4. LÉPÉS: Az utolsó tálázatról leolvassuk a feladat megoldását, azaz az ismeretlenek (x 1, x 2, x 3 ) értékeit. A leolvasás menete attól függ, hogy az utolsó tálázat a 3.LÉPÉSnél melyik esethez tartozott, ennek alapján itt két eset lehetséges. 1.eset: Az utolsó tálázat a 3.LÉPÉSnél az 1.esethez tartozott. Az 1.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. Ilyenkor minden egyes ismeretlen (x) értéke a oszlopan található, mégpedig pontosan az adott ismeretlen mellett. x 3 11 x 1 12 x 2 4 Tehát a megoldás: x 3 = 11, x 1 = 12, x 2 = 4, amelyet x vektor formájáan is felírhatunk, melyen az x-ek sorrenden szerepelnek (legfelül az x 1 és így tová). x 1 12 x = x 2 = 4 x eset: Az utolsó tálázat a 3.LÉPÉSnél a 2.esethez vagy a 3.esethez tartozott. A 2.példa és a 3.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. Ilyenkor a megoldást a következő lépések segítségével kapjuk meg az utolsó tálázatról kiindulva: 4A.LÉPÉS: Az utolsó tálázatól elhagyjuk azokat a sorokat, amelyeken az összes szám nulla. (A 2.példáan ilyen sorunk nincsen, a 3.példáan viszont ilyen az első sor) 2.példa: Nincs teendő, az utolsó tálázat változatlan marad x 4 x x x példa: Az első soran az összes szám nulla, ezért ezt a sort elhagyjuk Az első sort elhagyva kapjuk: x x x x

5 Fogalmak: Kötött ismeretleneknek nevezzük a tálázat al szélén (a ázisan) található ismeretleneket (x-eket) Szaad ismeretleneknek nevezzük a tálázat tetején (a ázison kívül) található ismeretleneket (x-eket) x 4 x példa: x példa: x x x Szaad ismeretlenek száma az egyenletrendszer szaadságfoka (a 2.példáan a szaadságfok 1, míg a 3.példáan 2) 4B.LÉPÉS: A kapott tálázatan szereplő számokat ehelyettesítjük a következő képlete: (kötött ismeretlenek oszlopvektora) = ( oszlopan szereplő számok) (szaad ismeretlenek alatt elhelyezkedő mátrix)*(szaad ismeretlenek oszlop formájáan felírva) 2.példa: x 4 x x x A képletet alkalmazva: x 2 = -4-1 * x 4 x x példa: x A képletet alkalmazva: x 1 = * x 3 x x x 4 4C.LÉPÉS: A felírt egyenletek jooldalán elvégezzük a mátrix- és vektorműveleteket 2.példa: 3.példa: Elvégezve x 1 5-1x 4 Majd elvégezve x x 4 a szorzást: x 2 = -4-1x 4 a kivonást: x 2 = -4-1x 4 x 3-3 3x 4 x x 4 Elvégezve x 1 = 2-1x 3 + 0x 4 Majd elvégezve x 1 = 2 1x 3-0x 4 a szorzást: x 2 3 2x 3-3x 4 a kivonást x 2 3 2x 3 + 3x 4 4D.LÉPÉS: A al- és jooldalt soronként egyenlővé tesszük egymással, ekkor az egyenletrendszer általános megoldását kapjuk 2.példa: 3.példa: x 1 = 5 + 1x 4 x 2 = -4-1x 4 x 3 = -3-3x 4 x 1 = 2 1x 3 x 2 = 3 2x 3 + 3x 4 Megjegyzés: Attól függően, hogy a ázistranszformáció során hogyan választottunk generáló elemet, más megoldást is kaphatunk. Ekkor mások a szaad ismeretlenek és mások a kötött ismeretlenek, de a szaadságfok (azaz a szaad ismeretlenek száma ugyanennyi) 4E.LÉPÉS: A szaad ismeretlenek helyére α, β, γ st. paramétereket írunk. Mivel ezek szaad ismeretlenek, a paraméterek értéke tetszőleges szám lehet, ezért α, β, γ Є R. 2.példa: x 1 = 5 + 1x 4 x 1 = 5 + 1α x 2 = -4-1x 4 x 4 szaad ismeretlen helyére α x 2 = -4-1α x 3 = -3-3x 4 paraméter kerül, tehát x 4 = α x 3 = -3-3α Tehát a megoldás: x 4 = α, x 1 = 5 + α, x 2 = -4 - α, x 3 = -3-3α, amelyet x vektor formájáan is felírhatunk, melyen az x-ek sorrenden szerepelnek (legfelül az x 1 és így tová). x α 5 + 1α 5 1 x = x 2 = -4-1α = -4-1α = -4 + α -1 x α -3-3α -3-3 x 4 α 0 + 1α 0 1

6 3.példa: x 1 = 2 1x 3 x 3 szaad ismeretlen helyére α, x 4 helyére pedig x 1 = 2 1α x 2 = 3 2x 3 + 3x 4 β paraméter kerül, tehát x 3 = α és x 4 = β x 2 = 3 2α + 3β Tehát a megoldás: x 3 = α, x 4 = β, x 1 = 2 - α, x 2 = 3-2α + 3β, amelyet x vektor formájáan is felírhatunk, melyen az x-ek sorrenden szerepelnek (legfelül az x 1 és így tová). x 1 2-1α 2-1α +0β x = x 2 = 3-2α + 3β = 3-2α + 3β = 3 + α -2 + β 3 x 3 α 0 + 1α + 0β x 4 β 0 + 0α + 1β F.LÉPÉS: Ha a feladat ázismegoldás illetve partikuláris megoldás kiszámítását is kéri, akkor a következőt tesszük: Bázismegoldás: Az összes szaad ismeretlen (az összes paraméter) helyére nullát írunk 3.példa: ázismegoldás esetén α=0 és β=0, tehát elvégezve a helyettesítést a következőt kapjuk: x 1 2-1α 2 1*0 2 x = x 2 = 3-2α + 3β = 3 2*0 + 3*0 = 3 x 3 α 0 0 x 4 β 0 0 Partikuláris megoldás: A szaad ismeretlenek (a paraméterek) helyére tetszőlegesen választott számokat írunk 3.példa: Legyen mondjuk α=1 és β=2 (de ármilyen más szám is lehetne), tehát elvégezve a helyettesítést a következőt kapjuk: x 1 2-1α 2 1*1 1 x = x 2 = 3-2α + 3β = 3 2*1 + 3*2 = 7 x 3 α 1 1 x 4 β 2 2 EZZEL A FELADATMEGOLDÁS VÉGETÉRT 2. Paramétert tartalmazó eset A paramétert is tartalmazó feladattípus lényege nem a konkrét megoldás, hanem annak elemzése, hogy a paraméter különöző értékeitől függően van e megoldása az egyenletrendszernek, ha van megoldása, akkor hány megoldása van, illetve mekkora az egyenletrendszer szaadságfoka. Ilyen eseten a felírt egyenletrendszer α, β, γ st paramétereket is tartalmaz. 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 1 + x 2 - x 3 = 3 -x 1 + αx 3 = β A feladatmegoldás lépései hasonlóak a 1. Paramétert nem tartalmazó eset című részen leírtakkal. (A ázistranszformáció során úgy járunk el, ahogyan azt a Bázistranszformáció című fejezeten a paramétert tartalmazó esetnél emutattuk, de a generáló elem választásánál lehetnek kiegészítések) 1.LÉPÉS: Megegyezik a 1. Paramétert nem tartalmazó eset című fejezeten leírt 1.LÉPÉS-sel. x 1 x 2 x α β 2. LÉPÉS: Bázistranszformációk sorozatát hajtjuk végre az induló tálázattól kezdődően addig, amíg olyan tálázatot nem kapunk, amelyen már nem tudunk generáló elemet választani. (A ázistranszformáció menete azonos a Bázistranszformáció című fejezeten a paramétert tartalmazó esetnél leírtakkal, de a generáló elem választásánál lehetnek kiegészítések) 2A.LÉPÉS: Generáló elemet választunk az alái szaályok etartásával: oszlopól TILOS generáló elemet választani csak olyan soról választhatunk, amely sor elején a ázis üres, azaz ahol a ázisan még nincs vektor (Természetesen az első tálázat esetén ez ármelyik sorra teljesül, tehát ármelyik soran választhatunk, késő azonan ez már nem lesz érvényes) paraméter sosem lehet generáló elem célszerű (de NEM KÖTELEZŐ!!) olyan soran választani generáló elemet, amely sor egyáltalán nem tartalmaz paramétert. Ha mindegyik soran van paraméter, akkor az elői 2 szaály etartásával ármelyik soran választhatunk generáló elemet. célszerű (de NEM KÖTELEZŐ!!) olyan oszlopan választani generáló elemet, amely oszlop egyáltalán nem tartalmaz paramétert. Ha minden oszlop tartalmaz paramétert, akkor érdemes a legkevese paramétert tartalmazó oszlopól választani

7 a generáló elem nulla kivételével ármilyen szám lehet (célszerű - de nem kötelező - olyan számot választani, amely számmal az adott szám sorának összes töi elemét el tudjuk osztani maradék nélkül, mert így elkerüljük, hogy törtekkel kelljen dolgozni, ezért az 1-es például mindig jó választás) Az 1.LÉPÉSen felírt induló tálázat esetén a következőképp gondolkodunk: oszlopól tilos generáló elemet választani ármelyik soran választhatunk generáló elemet, mert egyik sor elején sincsen még a ázisan vektor a tálázatan szereplő α paraméter nem lehet generáló elem a 3. sor tartalmaz paramétert, ezért eől a soról nem célszerű a választás, mert ez elonyolítaná a feladatot és van 2 olyan sorunk (1. és 2. sor), amelyen nincs paraméter. Ha nem lenne olyan sorunk, amelyen nincs paraméter, akkor kénytelenek lennénk paramétert tartalmazó soran választani. a 3. oszlop tartalmaz paramétert, ezért eől az oszlopól nem célszerű a választás, mert ez elonyolítaná a feladatot. a nulla nem lehet generáló elem összefoglalva a fentieket: az 1. vagy a 2. soról és az 1. vagy a 2. oszlopól választjuk ármelyik nullától különöző elemet, de célszerű valamelyik 1-est választani, hogy a számítás során ne keletkezzenek törtek (ha nincs 1-es és olyan szám sincs, amellyel a sor összes száma osztható, akkor ele kell törődnünk, hogy törtekkel fogunk dolgozni) A példáan választásunk legyen a következő: x 1 x 2 x α β 2B.LÉPÉS: Megegyezik a 1. Paramétert nem tartalmazó eset című fejezeten leírt 2B.LÉPÉS-sel x α β 2C.LÉPÉS: Megegyezik a 1. Paramétert nem tartalmazó eset című fejezeten leírt 2C.LÉPÉS-sel x 2 1/1=1-1/1=-1 3/1=3-1 0 α β 2D.LÉPÉS: Megegyezik a 1. Paramétert nem tartalmazó eset című fejezeten leírt 2D.LÉPÉS-sel x α β (1,-1) (1)*(2,0) = (1,-1) (2,0) = (-1,-1) x 1 x x x α β -1 (1,α) (-1)*(2,0) = (1,α) (-2,0) = (3,α) x 1 x x x α β -1-1 α (4,β) (3)*(2,0) = (4,β) (6,0) = (-2,β) x 1 x x x α β -1 α -1 α β 2A-2D.LÉPÉSEK elvégzése után a következőképpen néz ki a feladatunk: x α β -1 α β

8 2E.LÉPÉS: A kapott új tálázatról haladunk tová, mégpedig úgy, hogy ismét végrehajtjuk a 2A-2D.LÉPÉSEK-et addig, ameddig a 2A. LÉPÉS-nél el nem akadunk, azaz valami miatt nem tudunk generáló elemet választani. A példáan ez a következőképpen alakul (2A, 2B, 2C, 2D): x x x x α β -1 α β α - 3 β + 2 x x x x α β -1 α β α - 3 β Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: x 1 + x 3 + 2x 4 = 2 x 1 + 2x 2 + αx 4 = β -x 2 + x 3 + 2x 4 = 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 4 x x x x 1 -α 2-β α β 2-1 α-2 β-2 1 α β-1 x 2 α β x x 3 α+2 β 3.Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: x 1 + x 2 + 3x 4 = 0 x 1 + αx 3 + 2x 4 = -β x 2 - αx 3 + x 4 = β x 1 + 2x 2 - αx 3 + 4x 4 = β x 1 x 2 x x x 1 α 2 -β 1 0 α 2 -β -1 α -1 -β 0 1 -α 1 β 1 -α 1 β x 2 -α 1 β 1 2 -α 4 β 1 -α 1 β 4.Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: x 1 + x 2 + 3x 4 = 0 x 1 + αx 3 + 2x 4 = -β x 2 - αx 3 + x 4 = 2 x 1 + 2x 2 - αx 3 + 4x 4 = 1 x 1 x 2 x x x 1 α α 2 -β -1 α -1 -β β 0 1 -α α 1 2 x 2 -α α α Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: x 2 + x 4 = 1 x 1 + 2x 2 + αx 3 + 4x 4 = 4 x 1 + x 2 + αx 3 + 3x 4 = 3 x 1 + x 2 + αx 3 + 3x 4 = β x 1 x 2 x x x 2 -α α α α α 2 2 x 1 α α 3 β 1 α 2 β β-3 Ha eljutunk az utolsó tálázathoz, azaz már nem tudunk úja generáló elemet választani, akkor folytatjuk a feladatmegoldást a 3.LÉPÉSsel

9 3. LÉPÉS: Megnézzük az utolsó tálázatot, amelyen már nem tudtunk generáló elemet választani. Ezt a tálázatot esoroljuk a következő esetek valamelyikée (az utolsó tálázat az alái három eset közül csak az egyike sorolható e!!!). 1.eset: A ázisan már nincsen üres hely. A 2.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 4 x 1 -α 2-β x 2 α β-1 x 3 α+2 β Következtetés: A paraméterek ármely értéke mellett van megoldása az egyenletrendszernek. Ha a ázison kívül (tálázat tetején) nincsen ismeretlen (nincsen x), csak a szerepel itt, akkor mindig 1 megoldás van (szaadságfok nulla), ha a ázison kívül (tálázat tetején) viszont marad ismeretlen (van x), nemcsak a szerepel itt, akkor mindig végtelen sok megoldás van (szaadságfok egyenlő a ázison kívüli ismeretlenek számával). Továi vizsgálat nem szükséges, a feladatmegoldás itt végetér. A 2.példáan tehát a paraméter ármely értéke mellett végtelen sok megoldás lesz, a szaadságfok pedig 1. 2.eset: A ázisan még van üres hely és azokan a sorokan, ahol a ázis üres a oszlopon kívüli összes szám nulla. A 3, 4, 5.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. Ilyenkor a tálázatot tová osztályozzuk aszerint, hogy a 2a., 2. vagy 2c. esethez tartozik e, ami attól függ, hogy mit tratalmaz a oszlop azokan a sorokan, ahol a ázis üres. 3.példa 4.példa 5.példa x 1 α 2 -β x 1 α 2-2 x 2 -α β x 2 -α 1 β x 2 -α 1 2 x 1 α β-3 2a.eset: Azokan a sorokan, ahol a ázis üres, a oszlopan mindenütt nulla áll. A 3.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 1 α 2 -β x 2 -α 1 β Következtetés: A paraméterek ármely értéke mellett végtelen megoldása van az egyenletrendszernek (szaadságfok egyenlő a ázison kívüli ismeretlenek számával). Továi vizsgálat nem szükséges, a feladatmegoldás itt végetér. 2.eset: Azokan a sorokan, ahol a ázis üres, a oszlopan legalá egy helyen nullától különöző szám van (konkrét szám és nem paraméter!!!). A 4.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 1 α β x 2 -α Következtetés: A paraméterek ármely értéke mellett nincs megoldása az egyenletrendszernek. Továi vizsgálat nem szükséges, a feladatmegoldás itt végetér. 2c.eset: Azokan a sorokan, ahol a ázis üres, a oszlopan legalá egy helyen paraméteres kifejezés van, ahol pedig nem paraméteres kifejezés, ott nulla áll. Az 5.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 2 -α 1 1 x 1 α β-3 Következtetés: A paraméterek értékétől függ, hogy van e megoldás, ami továi vizsgálatot igényel. 3.eset: A ázisan még van üres hely és legalá az egyik olyan soran, ahol a ázis üres van paraméter a oszlopon kívül. Az 1.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 3 x x α - 3 β + 2 Következtetés: A paraméterek értékétől függ, hogy van e megoldás, illetve hány megoldás van, ami továi vizsgálatot igényel. Ha esoroltuk az utolsó tálázatot az elői esetkek egyikée, akkor folytatjuk a feladatmegoldást a 4.LÉPÉSsel, kivéve azokat az eseteket (1.eset, 2a.eset és 2.eset), ahol a feladatmegoldás a 3.LÉPÉSsel végetért.

10 4. LÉPÉS: Az utolsó tálázatról kiindulva meghatározzuk, hogy a paraméterek különöző értékei esetén van e megoldás, hány megoldás van és mekkora az egyenletrendszer szaadságfoka. A számítás menete attól függ, hogy az utolsó tálázat a 3.LÉPÉSnél melyik esethez tartozott, ennek alapján itt két eset lehetséges. 1.eset: Az utolsó tálázat a 3.LÉPÉSnél a 2c.esethez tartozott. Az 5.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 2 -α 1 1 x 1 α β-3 Ilyenkor a számítást a következő lépések szerint hajtjuk végre az utolsó tálázatról kiindulva: 4A.LÉPÉS: Kiválasztjuk a oszlopól azokat a paramétert tartalmazó cellákat, amelyek olyan sorokan helyezkednek el, ahol a ázis üres (A példáan egyetlen ilyen cella van, amelyen β-3 szerepel). x 2 -α 1 1 x 1 α β-3 4B.LÉPÉS: A 4A.LÉPÉSen kiválasztott cellákan szereplő paraméteres kifejezések mindegyikét nullával tesszük egyenlővé és kiszámítjuk a paraméterek értékeit. 4C.LÉPÉS: Értékeljük a kapott eredményeket. β 3 = 0 amelyől β = 3 adódik. Ha ugyanarra a paraméterre tö különöző értéket kapunk, akkor az egyenletrendszernek nincs megoldása Ha az összes paraméter egyidejűleg (egyszerre) a kiszámított értéket veszi fel, akkor az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van (szaadságfok egyenlő a ázison kívüli ismeretlenek számával), ármilyen más paraméterérték mellett nincs megoldás. A példáan: Ha β = 3, akkor végtelen sok megoldás van, a szaadságfok 2, ármely más paraméterérték mellett viszont nincs megoldás. 2.eset: Az utolsó tálázat a 3.LÉPÉSnél a 3.esethez tartozott. Az 1.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 3 x x α - 3 β + 2 Ilyenkor a megoldást a következő lépések segítségével kapjuk meg az utolsó tálázatról kiindulva: 4A.LÉPÉS: Azokól a sorokól, amelyek elején a ázis üres, kiválasztjuk az egyik olyan oszlopon kívüli cellát, amely paramétert tartalmaz. (A példáan csak egyetlen ilyen cella található, de ha tö van, akkor a választás tetszőleges) A példáan: válasszuk az x 3 oszlopan lévő (α - 3)-at tartalmazó cellát 4B.LÉPÉS: A 4A.LÉPÉSen kiválasztott celláan szereplő paraméteres kifejezést nullával tesszük egyenlővé és kiszámítjuk a paraméter értékét. A példáan: α 3 = 0 amelyől α = 3 adódik A továiakan két esetet vizsgálunk meg attól függően, hogy a paraméter a kiszámított értéket veszi e fel vagy nem. A példáan: a)eset: α = 3 és )eset: α 3 A megoldás továi lépései a fenti két eseten eltérőek (Mindkét esethez tartozó lépéseket végre kell hajtani, mégpedig először az a)eset, ezt követően a )eset lépéseit is). a)eset (amikor a paraméter a 4B.LÉPÉSen kiszámított értéket veszi fel) lépései a következők: 4C.LÉPÉS: A 4B.LÉPÉSen a paraméterre kapott értéket ehelyettesítjük a tálázata az összes ilyen paraméter helyére, majd a kapott új tálázattal dolgozunk tová. Ha α = 3 x 3 α = 3 ehelyettesítése után: x x β + 2

11 4D.LÉPÉS: Ha 4C.LÉPÉSen a kapott új tálázatan tudunk generáló elemet választani, akkor ázistranszformációk sorozatát hajtjuk végre a 2.LÉPÉSen leírtak szerint addig, amíg olyan tálázatot nem kapunk, ahol már nem tudunk generáló elemet választani. Ha 4C.LÉPÉSen a kapott új tálázatan nem tudunk generáló elemet választani, akkor nem csinálunk semmit, megtartjuk a 4C.LÉPÉSen kapott tálázatot. 4E.LÉPÉS: Értékeljük azt a tálázatot, amit a 4D.LÉPÉS végrehajtása után kaptunk. Ha nem kellett semmit tennünk a 4D.LÉPÉSen, akkor a 4C.LÉPÉS tálázatát értékeljük.(értékelni mindig csak olyan tálázatot szaad, ahol már nem tudunk generáló elemet választani!!) A példáan már nem tudunk úja generáló elemet választani, tehát a 4C.LÉPÉSen kapott tálázatot értékeljük. Ha α = 3 x 3 x x β + 2 A példáan már nem tudunk úja generáló elemet választani, tehát a 4C.LÉPÉSen kapott tálázatot értékeljük. Az értékelés úgy történik, hogy ezzel a tálázattal elvégezzük a 3.LÉPÉSt, majd ha szükséges, akkor ezután a 4.LÉPÉSt is. (Tulajdonképpen ez azt jelenti, hogy a 3.LÉPÉSt és a 4.LÉPÉSt felváltva addig ismételjük, ameddig csak lehet) A fenti tálázat a 3.LÉPÉS szerint a 2c.esethez tartozik, majd a 4.LÉPÉS szerint az 1.esethez, ezért az értékelés a következő: Ha α = 3 és β + 2= 0, azaz β = -2, akkor végtelen sok megoldás van, a szaadságfok 1, ha viszont α = 3 és β -2, akkor nincs megoldás. Ne felejtsük el végrehajtani ezután a 4B.LÉPÉSen említett )esetet is!!! )eset (amikor a paraméter nem a 4B.LÉPÉSen kiszámított értéket veszi fel) lépései a következők: 4C.LÉPÉS: A 4A.LÉPÉSen kiválasztott celláan lévő paraméteres kifejezést generáló elemnek választva ázistranszformációk sorozatát hajtjuk végre a 2.LÉPÉS szerint mindaddig, ameddig még tudunk generáló elemet választani. Ha α 3 Ha α 3 x 3 x x 1 (2α+3β)/(α-3) x x 2 (α-2β-4)/(α-3) α - 3 β + 2 x 3 (β+2)/(α-3) 4D.LÉPÉS: Értékeljük azt a tálázatot, amit a 4C.LÉPÉS végrehajtása után kaptunk.(értékelni mindig csak olyan tálázatot szaad, ahol már nem tudunk generáló elemet választani!!) x 1 x 2 x 3 Ha α 3 (2α+3β)/(α-3) (α-2β-4)/(α-3) (β+2)/(α-3) Az értékelés úgy történik, hogy ezzel a tálázattal elvégezzük a 3.LÉPÉSt, majd ha szükséges, akkor ezután a 4.LÉPÉSt is. (Tulajdonképpen ez azt jelenti, hogy a 3.LÉPÉSt és a 4.LÉPÉSt felváltva addig ismételjük, ameddig csak lehet) A fenti tálázat a 3.LÉPÉS szerint az 1.esethez tartozik, ezért nem szükséges 4.LÉPÉS így az értékelés a következő: Ha α 3, akkor β paraméter ármely értéke mellett egyetlen megoldás van, a szaadságfok 0. EZZEL A FELADATMEGOLDÁS VÉGETÉRT

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT. 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT. 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset A bázistranszformáció egyszerűsített változatában a bázison kívül elhelyezkedő vektorokból amennyit csak

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez Bevezetés Ebben a fejezetben megismerkedünk a Logikai függvények típusaival és elsajátítjuk alkalmazásukat. Jártasságot szerzünk bonyolultabb feladatok megoldásában, valamint képesek leszünk a függvények

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. együttható-mátrix x-ek jobb oldali számok 2.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ. easymaths.

EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. együttható-mátrix x-ek jobb oldali számok 2.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ. easymaths. www.symhs.hu mk ilágos oldl symhs.hu.lépés: GENERÁLÓ ELEM VÁLASZTÁSA Csk -s oszlopól és -s soról álszhunk gnráló lm, nullá nm álszhunk és lhőlg - gy -- érdms AZ JÁTÉKSZABÁLYAI.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája

Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája A táblázatkezelés alapjai A táblázat szerkesztése A táblázat formázása A táblázat formázása Számítások a táblázatban Oldalbeállítás és nyomtatás

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

1.1.1 Dátum és idő függvények

1.1.1 Dátum és idő függvények 1.1.1 Dátum és idő függvények Azt már tudjuk, hogy két dátum különbsége az eltelt napok számát adja meg, köszönhetően a dátum tárolási módjának az Excel-ben. Azt is tudjuk a korábbiakból, hogy a MA() függvény

Részletesebben

EuroOffice Optimalizáló (Solver)

EuroOffice Optimalizáló (Solver) 1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer

Részletesebben

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között A különböző időpontokban, különböző körülmények között rögzített pontok földi koordinátái különböző alapfelületekre (ellipszoidokra geodéziai dátumokra)

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

Szöveges feladatok és Egyenletek

Szöveges feladatok és Egyenletek Szöveges feladatok és Egyenletek Sok feladatot meg tudunk oldani következtetéssel, rajz segítségével és egyenlettel is. Vajon mikor érdemes egyenletet felírni? Van-e olyan eset, amikor nem tanácsos, vagy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. Feladat: beolvas két számot úgy, hogy a-ba kerüljön a nagyobb

1. Feladat: beolvas két számot úgy, hogy a-ba kerüljön a nagyobb 1. Feladat: beolvas két számot úgy, hogy a-ba kerüljön a nagyobb #include main() { int a, b; printf( "a=" ); scanf( "%d", &a ); printf( "b=" ); scanf( "%d", &b ); if( a< b ) { inttmp = a; a =

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

10M30. közt. közt. Alapja:** Alapja:** Alapja:** Alapja:** Alapja:** Alapja:** Alapja:** Alapja:** Alapja:** Alapja:** Alap:

10M30. közt. közt. Alapja:** Alapja:** Alapja:** Alapja:** Alapja:** Alapja:** Alapja:** Alapja:** Alapja:** Alapja:** Alap: 10M30 A munkáltató (társas vállalkozás, polgári jogi társaság) által az szja előleg levonásánál figyeleme vett összegekről kiadott igazolás, a 2010. évi személyi jövedelemadó és különadó evallásához 1.

Részletesebben

Országos Szakiskolai Közismereti Tanulmányi Verseny 2005/2006 SZÁMÍTÁSTECHNIKA

Országos Szakiskolai Közismereti Tanulmányi Verseny 2005/2006 SZÁMÍTÁSTECHNIKA Országos Szakiskolai Közismereti Tanulmányi Verseny 2005/2006 SZÁMÍTÁSTECHNIKA II. (regionális) forduló 2006. február 17... Helyszín fejbélyegzője Versenyző Pontszám Kódja Elérhető Elért Százalék. 100..

Részletesebben

POSZEIDON dokumentáció (2.2)

POSZEIDON dokumentáció (2.2) POSZEIDON dokumentáció (2.2) Gyorsiktatás I. BEJÖVŐ IRATOK IKTATÁSA A Gyorsiktatás felületen lehet beérkező iratainkat a legegyszerűbb módon érkeztetni és iktatni. 1.) VONALKÓD felragasztása a papírra.

Részletesebben

Programozási tételek. Dr. Iványi Péter

Programozási tételek. Dr. Iványi Péter Programozási tételek Dr. Iványi Péter 1 Programozási tételek A programozási tételek olyan általános algoritmusok, melyekkel programozás során gyakran találkozunk. Az algoritmusok általában számsorozatokkal,

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Tárgyi eszköz. Molnár Anikó 2007.10.03.

Tárgyi eszköz. Molnár Anikó 2007.10.03. Tárgyi eszköz Molnár Anikó 2007.10.03. Tartalom 1. Értékcsökkenés könyvek beállítása... 3 2. Befeketett eszközök beállítása... 5 3. Be osztályok, alosztályok... 6 4. Be naplósablonok... 7 5. BE főkönyvi

Részletesebben

A Jungle Speed -et 2 15 (vagy még több!) játékos játszhatja, hétéves kortól.

A Jungle Speed -et 2 15 (vagy még több!) játékos játszhatja, hétéves kortól. A Jungle Speed -et 2 15 (vagy még több!) játékos játszhatja, hétéves kortól. A JÁTÉK CÉLJA A játékosok megpróbálnak minél gyorsabban megszabadulni a kártyáiktól. A JÁTÉK ELŐKÉSZÍTÉSE A totemet a kör közepére

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint 0622 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. november 7. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR

NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR Bozsik József, Krebsz Anna Budapest, Tartalomjegyzék Előszó............................................... 6. GÉPI SZÁMÁBRÁZOLÁS

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

EAV v2.0 szoftver verzió újdonságok a v1.8.20 verzióhoz képest

EAV v2.0 szoftver verzió újdonságok a v1.8.20 verzióhoz képest EAV v2.0 szoftver verzió újdonságok a v1.8.20 verzióhoz képest Betegek keresése... 2 Csatolmány a betegkartonhoz... 2 Mérések összehasonlítása...3 Fejpontok... 4 Allergia teszt... 4 Balancer... 5 Étrend

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 22. lecke: A teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Informatikai alapismeretek

Informatikai alapismeretek PC-Kismester XIII. informatikai verseny feladatok 1. oldal, összesen: 5 5-8. osztály Országos Pc-Kismester Verseny második forduló feladatai! Beküldési határidő: 2010. 02. 19. A válaszokat CD lemezen kérjük

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

ADATSZOLGÁLTATÁS központi honlap használata esetén

ADATSZOLGÁLTATÁS központi honlap használata esetén ADATSZOLGÁLTATÁS központi honlap használata esetén 1. A 18/2005. IHM rendelet melléklete alapján össze kell állítani a közérdekű adatokat 2. Az elkészített dokumentumok feltöltése a központi honlapra:

Részletesebben

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz 1. Feladat 1. Milyen egységeket rendelhetünk az egyedi információhoz? Mekkora az átváltás közöttük? Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

ETA tárgyfelelős. Munka az ETA-ban tárgyfelelősként

ETA tárgyfelelős. Munka az ETA-ban tárgyfelelősként ETA tárgyfelelős Munka az ETA-ban tárgyfelelősként Tartalomjegyzék Angol nyelvű tárgy létrehozása... 2 Saját tárgyak szerkesztése (idegen-nyelvű is)... 5 Nyelvi habilitáció jelölése... 8 Angol nyelvű tárgy

Részletesebben

Partíció probléma rekurzíómemorizálással

Partíció probléma rekurzíómemorizálással Partíció probléma rekurzíómemorizálással A partíciószám rekurzív algoritmusa Ω(2 n ) műveletet végez, pedig a megoldandó részfeladatatok száma sokkal kisebb O(n 2 ). A probléma, hogy bizonyos már megoldott

Részletesebben

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát!

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát! Konduktometriás titrálás kiértékelése Excel program segítségével (Office 2007) Alapszint 1. A mérési adatokat írjuk be a táblázat egymás melletti oszlopaiba. Az első oszlopba kerül a fogyás, a másodikba

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

Tájékoztató a Rendszeres Tanulmányi Ösztöndíj Modulóban található adataival kapcsolatban

Tájékoztató a Rendszeres Tanulmányi Ösztöndíj Modulóban található adataival kapcsolatban Tájékoztató a Rendszeres Tanulmányi Ösztöndíj Modulóban található adataival kapcsolatban Az alábbiakban részletezzük, hogy a Modulo Átlag módosítási kérvényén belül található adatok pontosan mit jelentenek.

Részletesebben

Állandó együtthatós lineáris rekurziók

Állandó együtthatós lineáris rekurziók 1. fejezet Állandó együtthatós lineáris rekurziók 1.1. A megoldás menete. Mese. Idézzük fel a Fibonacci-számokat! Az F n sorozatot a következő módon definiáltuk: legyen F 0 = 0, F 1 = 1, és F n+2 = F n+1

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function)

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) Genetikus algoritmusok globális optimalizálás sok lehetséges megoldás közül keressük a legjobbat értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) populáció kiválasztjuk a legrátermettebb egyedeket

Részletesebben

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április Hány osztója van egy adott számnak? Hány osztója van egy adott számnak? Dr. Tóth László http://www.ttk.pte.hu/matek/ltoth előadásanyag, Pécsi Tudományegyetem, TTK 2008. április. Bevezetés Lehetséges válaszok:

Részletesebben

Villamosság biztonsága

Villamosság biztonsága Óbudai Egyetem ánki Donát Gépész és iztonságtechnikai Kar Mechatronikai és utótechnikai ntézet Villamosság biztonsága Dr. Noothny Ferenc jegyzete alapján, Összeállította: Nagy stán tárgy tematikája iztonságtechnika

Részletesebben

Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója

Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója 1.) Általános tudnivalók: A segédtábla két méretben készül, 10, és 50 sort lehet kitölteni. A tábla megnevezéséből amit

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

A Szoftvert a Start menü Programok QGSM7 mappából lehet elindítani.

A Szoftvert a Start menü Programok QGSM7 mappából lehet elindítani. Telepítés A programot a letöltött telepítőprogrammal lehet telepíteni. A telepítést a mappában lévő setup.exe fájlra kattintva lehet elindítani. A telepítő a meglévő QGSM7 szoftver adatbázisát törli. Ezután

Részletesebben

SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA

SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA 1 ELSŐ GYAKORLAT SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Számrendszerek közti átváltás előjelesen és előjel nélkül. Bináris, decimális, hexadexcimális számrendszer.

Részletesebben

A Generali Biztosító Zrt. PortfólióMenedzser szolgáltatásának szerződési feltételei

A Generali Biztosító Zrt. PortfólióMenedzser szolgáltatásának szerződési feltételei 1/6 A Generali Biztosító Zrt. PortfólióMenedzser szolgáltatásának szerződési feltételei Generali Biztosító Zrt. Levelezési cím: 7602 Pécs, Pf. 888 Telefonos ügyfélszolgálat: 06 40 200 250 generali.hu A

Részletesebben

Makay Géza, makayg@math.u-szeged.hu, SZTE, Bolyai Intézet

Makay Géza, makayg@math.u-szeged.hu, SZTE, Bolyai Intézet Makay Géza, makayg@math.u-szeged.hu, SZTE, Bolyai Intézet A SUDOKU szabályai, története A Sudoku egy cellából álló rács. A rács kilenc kisebb, -as blokkra oszlik, amelyben elszórva néhány -től -ig terjedő

Részletesebben

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

Teszt készítése Moodle kurzusokban

Teszt készítése Moodle kurzusokban Teszt készítése Moodle kurzusokban Az elsajátított tananyag ellenőrzésére szolgáló eszközök közül tanárok közt egyik legkedveltebb a teszt. A Moodle Teszt modulja nagyon sok opcióval rendelkezik, így tág

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Méretlánc átrendezés elmélete

Méretlánc átrendezés elmélete 1. Méretlánc átrendezés elmélete Méretlánc átrendezés elmélete Egyes esetekben szükség lehet, hogy arra, hogy a méretláncot átrendezzük. Ezeknek legtöbbször az az oka, hogy a rajzon feltüntetett méretet

Részletesebben

A játékosok célja. A játék elemei. Spielablauf

A játékosok célja. A játék elemei. Spielablauf Donald X. Vaccarino játéka 2-4 játékos részére, 8 éves kortól A játék elemei 8 különböző játéktábla rész (A továbbiakban negyed) A játékosok célja Minden játékos települések ügyes megépítésével saját birodalmát

Részletesebben

Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével

Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével Az Excel Solver programcsomagjának bemutatásaként két feltételes és egy feltétel nélküli optimalizálási feladatot

Részletesebben

A PC Connect számlázó program kezelése.

A PC Connect számlázó program kezelése. A PC Connect számlázó program kezelése. A PC Connect számlázó program egy kifejezetten kis vállalatok számára kifejlesztett számlázó program. A számlázót az asztalon található PC Connect számlázó ikonnal

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

ECDL Táblázatkezelés. www.nomina3p.hu 1. 4.1.1 A táblázatkezelés első lépései. 4.1.2 Beállítások elvégzése

ECDL Táblázatkezelés. www.nomina3p.hu 1. 4.1.1 A táblázatkezelés első lépései. 4.1.2 Beállítások elvégzése 4.1 Az alkalmazás 4.1.1 A táblázatkezelés első lépései 4.1.2 Beállítások elvégzése 4.1.1.1 A táblázatkezelő alkalmazás megnyitása és bezárása. 4.1.1.2 Egy és több munkafüzet (dokumentum) megnyitása. 4.1.1.3

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Számítások, hivatkozások

Számítások, hivatkozások Bevezetés Ebben a fejezetben megismerkedünk az Excel programban alkalmazható különböző hivatkozásokkal (relatív, vegyes, abszolút). Képesek leszünk különböző alapszintű számítások elvégzésére, képletek

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Emlékeztető: LR(0) elemzés. LR elemzések (SLR(1) és LR(1) elemzések)

Emlékeztető: LR(0) elemzés. LR elemzések (SLR(1) és LR(1) elemzések) Emlékeztető Emlékeztető: LR(0) elemzés A lexikális által előállított szimbólumsorozatot balról jobbra olvassuk, a szimbólumokat az vermébe tesszük. LR elemzések (SLR() és LR() elemzések) Fordítóprogramok

Részletesebben

IBAN: INTERNATIONAL BANK ACCOUNT NUMBER. I. Az IBAN formái

IBAN: INTERNATIONAL BANK ACCOUNT NUMBER. I. Az IBAN formái IBAN: INTERNATIONAL BANK ACCOUNT NUMBER A EUROPEAN COMMITTEE FOR BANKING STANDARDS (ECBS) által 2001. februárban kiadott, EBS204 V3 jelű szabvány rögzíti a nemzetközi számlaszám formáját, valamint eljárást

Részletesebben

Trend. Szerződési feltételek

Trend. Szerződési feltételek Trend Szerződési feltételek Ügyféltájékoztató az itrend szolgáltatásról Az itrend szolgáltatás kizárólag a SIGNAL Biztosító Zrt. (továbbiakban: biztosító) azon befektetési egységekhez kötött életbiztosításai

Részletesebben

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát.

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát. 1. Vektorok 1.1. Alapfogalmak, alapműveletek 1.1.1. Elméleti összefoglaló Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben