LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset"

Átírás

1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: 1. Paramétert nem tartalmazó eset x 1 + 3x 2-2x 3 = 2-2x 1-5x 2 + 4x 3 = 0 3x 1 + x 2-4x 3 = -4 Megjegyzés: Een a példáan az ismeretleneket x 1, x 2, x 3 jelöli, de x 1, x 2, x 3 helyett állhatna x, y, z is Fogalmak: együtthatómátrix: az egyenletek aloldalán szereplő, az ismeretlenek (x 1, x 2, x 3 ) szorzószámai (előjellel együtt!!) alkotta mátrix (ahol a szám nincs kiírva az x elé, ott 1-es vagy -1-es szerepel, ahol nincsen x, ott 0 szerepel a mátrixan), melyet általáan A etűvel jelölünk A = vektor: az egyenletek jooldalán álló számok alkotta oszlopvektor 2 = 0-4 x vektor: a feladatan szereplő ismeretlenek alkotta oszlopvektor (annyi d x i, ahány d szerepel a feladatan, a példáan x 1, x 2, x 3 ) A lineáris egyenletrendszer általános alakja Ax = x 1 x = x 2 x 3 1.LÉPÉS: Induló szimplex tálázatot készítünk az aláiak figyelemevételével: ázis x vektor x 1 x 2 x együttható a példáan szereplő adatokkal pedig: mátrix a tálázat tetejére először felírjuk az x vektort, majd a legfelső sor végére mindig etűt írunk (függőleges vonallal elválasztva az x vektortól) a tálázata az x vektor alá emásoljuk az együtthatómátrix számadatait, a tálázat jo szélére a alá emásoljuk a vektor számadatait Az induló tálázatan a ázis egyelőre üres, azaz a tálázat egyes sorainak elejére semmit nem írunk 2. LÉPÉS: Bázistranszformációk sorozatát hajtjuk végre az induló tálázattól kezdődően addig, amíg olyan tálázatot nem kapunk, amelyen már nem tudunk generáló elemet választani. (A ázistranszformáció menete azonos a Bázistranszformáció című fejezeten a paramétert nem tartalmazó esetnél leírtakkal, de a generáló elem választásánál lehetnek kiegészítések) 2A.LÉPÉS: Generáló elemet választunk az alái szaályok etartásával: oszlopól TILOS generáló elemet választani csak olyan soról választhatunk, amely sor elején a ázis üres, azaz ahol a ázisan még nincs etű (Természetesen az első tálázat esetén ez ármelyik sorra teljesül, tehát ármelyik soran választhatunk, késő azonan ez már nem lesz érvényes) a generáló elem nulla kivételével ármilyen szám lehet (célszerű - de nem kötelező - olyan számot választani, amely számmal az adott szám sorának összes töi elemét el tudjuk osztani maradék nélkül, mert így elkerüljük, hogy törtekkel kelljen dolgozni, ezért az 1-es például mindig jó választás) Az 1.LÉPÉSen felírt induló tálázat esetén a következőképp gondolkodunk: ármelyik soran választhatunk generáló elemet, mert egyik sor elején sincsen még a ázisan vektor ármelyik számot választhatjuk (hiszen egyik szám sem nulla), de CÉLSZERŰ valamelyik 1-est választani A példáan választásunk legyen a következő: x 1 x 2 x

2 2B.LÉPÉS: A generáló elem oszlopának tetején lévő etűt evisszük a ázisa a generáló elem sorának elején lévő üres helyre, majd új tálázatot készítünk. A ázisa ekerülő etű nek megfelelő oszlop az új tálázatan már hiányzik, azaz a példáan az új tálázatan az x 2 oszlop eltűnik x 2 2C.LÉPÉS: Kiszámítjuk az új tálázatan azokat a számokat, amelyek a generáló elemnek megfelelő soran helyezkednek el. A számítást úgy végezzük, hogy a generáló elem soráan lévő számokat (az előző tálázatan) elosztjuk a generáló elemmel x 2 3/1=3-4/1=-4-4/1=-4 2D.LÉPÉS: Kitöltjük az új tálázatan szereplő üres oszlopokat mégpedig oszloponként haladva alról jo felé. Mindegyik ilyen oszlopan már van egy ismert számadat, melyet a 2C.LÉPÉSen töltöttünk ki x D/1.LÉPÉS: Megnézzük, vannak e olyan oszlopok, amelyeken a már kitöltött (ismert) szám nulla. Ha vannak ilyen oszlopok, akkor először ezeket töltjük ki, ha nincsenek ilyenek, akkor az 2D/2.LÉPÉS következik. Minden ilyen oszlop összes számadata megegyezik az előző tálázatan szereplő azonos etűjelű oszlop számadataival, tehát csak át kell másolnunk a megfelelő oszlopot az előző tálázatól. (jelen példáan nincsen ilyen oszlop, ezért folytatjuk a 2D/2.LÉPÉS sel) 2D/2.LÉPÉS: A még hiányzó oszlopok kitöltése (oszloponként haladva) mindig a következő képlet alkalmazásával történik: (új oszlop ismeretlen számadatai) = (új oszloppal azonos etűjelű oszlop számadatai az előző tálázatan a generáló elem soráan lévő számadat nélkül)-(új oszlop ismert számadata)*(a generáló elem oszlopa az előző tálázatan a generáló elem nélkül) (1,-2) (3)*(3,-5) = (1,-2) (9,-15) = (-8,13) (-2,4) (-4)*( 3,-5) = (-2,4) (-12,20) = (10,-16) (2,0) (-4)*( 3,-5) = (2,0) (-12,20) = (14,-20) x 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x A-2D.LÉPÉSEK elvégzése után a következőképpen néz ki a feladatunk: x

3 2E.LÉPÉS: A kapott új tálázatról haladunk tová, mégpedig úgy, hogy ismét végrehajtjuk a 2A-2D.LÉPÉSEK-et addig, ameddig a 2A. LÉPÉS-nél el nem akadunk, azaz valami miatt nem tudunk generáló elemet választani. A példáan ez a következőképpen alakul (2A, 2B, 2C, 2D): x x 3-8/10 14/ /10 24/ x x 2-2/10 16/10 x x 3-8/10 14/10 x /10 24/10 x x x 2-2/10 16/10 x 2 4 x x 3-8/10 14/10 x /10 24/10 x x x 2-2/10 16/10 x Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: x 1 + x 3 + 2x 4 = 2 x 1 + 2x 2 + x 4 = -3 -x 2 + x 3 + 2x 4 = 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 4 x x x x x x x Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: -3x 1 + x 2 - x 3-3x 4 = -3 x 1 + x 2 + 3x 3-3x 4 = 5 x 2 + 2x 3-3x 4 = 3 x 1 x 2 x x x x Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: 2x 1-5x 2 + 3x 3 + 3x 4 = -10-3x 2 + x 3 + 3x 4 = 2 x 1-4x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 5 x 1 x 2 x 1 x 2 x 4 x 2 x x x x Ha eljutunk az utolsó tálázathoz, azaz már nem tudunk úja generáló elemet választani, akkor folytatjuk a feladatmegoldást a 3.LÉPÉSsel 3. LÉPÉS: Megnézzük az utolsó tálázatot, amelyen már nem tudtunk generáló elemet választani. Ezt a tálázatot esoroljuk a következő esetek valamelyikée (az utolsó tálázat az alái négy eset közül csak az egyike sorolható e!!!). 1.eset: Az összes ismeretlen (összex x) a ázisan van, a ázisan már nincsen üres hely, a ázison kívül (tálázat tetején) nincsen ismeretlen (nincsen x), csak a szerepel itt. Az 1.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 3 11 x 1 12 x 2 4 következtetés: Az egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, azaz a megoldás egyértelmű.

4 2.eset: A ázisan már nincsen üres hely, a ázison kívül (tálázat tetején) viszont marad ismeretlen (van x), nemcsak a szerepel itt. A 2.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 4 x x x következtetés: Az egyenletrendszernek végtelen megoldása van. 3.eset: A ázisan még van üres hely, a ázison kívül (tálázat tetején) marad ismeretlen (van x), nemcsak a szerepel itt, ugyanekkor a oszlopan nulla áll az összes olyan helyen, ahol a ázis üres (azaz a sor elején nincsen x). A 3.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x x következtetés: Az egyenletrendszernek végtelen megoldása van. 4.eset: A ázisan még van üres hely, a ázison kívül (tálázat tetején) marad ismeretlen (van x), nemcsak a szerepel itt, ugyanekkor a oszlopan van olyan hely, ahol nem nulla áll aan a soran, ahol a ázis üres (azaz a sor elején nincsen x). A 4.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 2 x x x következtetés: Az egyenletrendszernek nincs megoldása. Ha esoroltuk az utolsó tálázatot az elői esetkek egyikée, akkor folytatjuk a feladatmegoldást a 4.LÉPÉSsel, kivéve azt az esetet (4.eset), ahol nincsen megoldás, mert ezeseten a feladatmegoldás itt végetér. 4. LÉPÉS: Az utolsó tálázatról leolvassuk a feladat megoldását, azaz az ismeretlenek (x 1, x 2, x 3 ) értékeit. A leolvasás menete attól függ, hogy az utolsó tálázat a 3.LÉPÉSnél melyik esethez tartozott, ennek alapján itt két eset lehetséges. 1.eset: Az utolsó tálázat a 3.LÉPÉSnél az 1.esethez tartozott. Az 1.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. Ilyenkor minden egyes ismeretlen (x) értéke a oszlopan található, mégpedig pontosan az adott ismeretlen mellett. x 3 11 x 1 12 x 2 4 Tehát a megoldás: x 3 = 11, x 1 = 12, x 2 = 4, amelyet x vektor formájáan is felírhatunk, melyen az x-ek sorrenden szerepelnek (legfelül az x 1 és így tová). x 1 12 x = x 2 = 4 x eset: Az utolsó tálázat a 3.LÉPÉSnél a 2.esethez vagy a 3.esethez tartozott. A 2.példa és a 3.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. Ilyenkor a megoldást a következő lépések segítségével kapjuk meg az utolsó tálázatról kiindulva: 4A.LÉPÉS: Az utolsó tálázatól elhagyjuk azokat a sorokat, amelyeken az összes szám nulla. (A 2.példáan ilyen sorunk nincsen, a 3.példáan viszont ilyen az első sor) 2.példa: Nincs teendő, az utolsó tálázat változatlan marad x 4 x x x példa: Az első soran az összes szám nulla, ezért ezt a sort elhagyjuk Az első sort elhagyva kapjuk: x x x x

5 Fogalmak: Kötött ismeretleneknek nevezzük a tálázat al szélén (a ázisan) található ismeretleneket (x-eket) Szaad ismeretleneknek nevezzük a tálázat tetején (a ázison kívül) található ismeretleneket (x-eket) x 4 x példa: x példa: x x x Szaad ismeretlenek száma az egyenletrendszer szaadságfoka (a 2.példáan a szaadságfok 1, míg a 3.példáan 2) 4B.LÉPÉS: A kapott tálázatan szereplő számokat ehelyettesítjük a következő képlete: (kötött ismeretlenek oszlopvektora) = ( oszlopan szereplő számok) (szaad ismeretlenek alatt elhelyezkedő mátrix)*(szaad ismeretlenek oszlop formájáan felírva) 2.példa: x 4 x x x A képletet alkalmazva: x 2 = -4-1 * x 4 x x példa: x A képletet alkalmazva: x 1 = * x 3 x x x 4 4C.LÉPÉS: A felírt egyenletek jooldalán elvégezzük a mátrix- és vektorműveleteket 2.példa: 3.példa: Elvégezve x 1 5-1x 4 Majd elvégezve x x 4 a szorzást: x 2 = -4-1x 4 a kivonást: x 2 = -4-1x 4 x 3-3 3x 4 x x 4 Elvégezve x 1 = 2-1x 3 + 0x 4 Majd elvégezve x 1 = 2 1x 3-0x 4 a szorzást: x 2 3 2x 3-3x 4 a kivonást x 2 3 2x 3 + 3x 4 4D.LÉPÉS: A al- és jooldalt soronként egyenlővé tesszük egymással, ekkor az egyenletrendszer általános megoldását kapjuk 2.példa: 3.példa: x 1 = 5 + 1x 4 x 2 = -4-1x 4 x 3 = -3-3x 4 x 1 = 2 1x 3 x 2 = 3 2x 3 + 3x 4 Megjegyzés: Attól függően, hogy a ázistranszformáció során hogyan választottunk generáló elemet, más megoldást is kaphatunk. Ekkor mások a szaad ismeretlenek és mások a kötött ismeretlenek, de a szaadságfok (azaz a szaad ismeretlenek száma ugyanennyi) 4E.LÉPÉS: A szaad ismeretlenek helyére α, β, γ st. paramétereket írunk. Mivel ezek szaad ismeretlenek, a paraméterek értéke tetszőleges szám lehet, ezért α, β, γ Є R. 2.példa: x 1 = 5 + 1x 4 x 1 = 5 + 1α x 2 = -4-1x 4 x 4 szaad ismeretlen helyére α x 2 = -4-1α x 3 = -3-3x 4 paraméter kerül, tehát x 4 = α x 3 = -3-3α Tehát a megoldás: x 4 = α, x 1 = 5 + α, x 2 = -4 - α, x 3 = -3-3α, amelyet x vektor formájáan is felírhatunk, melyen az x-ek sorrenden szerepelnek (legfelül az x 1 és így tová). x α 5 + 1α 5 1 x = x 2 = -4-1α = -4-1α = -4 + α -1 x α -3-3α -3-3 x 4 α 0 + 1α 0 1

6 3.példa: x 1 = 2 1x 3 x 3 szaad ismeretlen helyére α, x 4 helyére pedig x 1 = 2 1α x 2 = 3 2x 3 + 3x 4 β paraméter kerül, tehát x 3 = α és x 4 = β x 2 = 3 2α + 3β Tehát a megoldás: x 3 = α, x 4 = β, x 1 = 2 - α, x 2 = 3-2α + 3β, amelyet x vektor formájáan is felírhatunk, melyen az x-ek sorrenden szerepelnek (legfelül az x 1 és így tová). x 1 2-1α 2-1α +0β x = x 2 = 3-2α + 3β = 3-2α + 3β = 3 + α -2 + β 3 x 3 α 0 + 1α + 0β x 4 β 0 + 0α + 1β F.LÉPÉS: Ha a feladat ázismegoldás illetve partikuláris megoldás kiszámítását is kéri, akkor a következőt tesszük: Bázismegoldás: Az összes szaad ismeretlen (az összes paraméter) helyére nullát írunk 3.példa: ázismegoldás esetén α=0 és β=0, tehát elvégezve a helyettesítést a következőt kapjuk: x 1 2-1α 2 1*0 2 x = x 2 = 3-2α + 3β = 3 2*0 + 3*0 = 3 x 3 α 0 0 x 4 β 0 0 Partikuláris megoldás: A szaad ismeretlenek (a paraméterek) helyére tetszőlegesen választott számokat írunk 3.példa: Legyen mondjuk α=1 és β=2 (de ármilyen más szám is lehetne), tehát elvégezve a helyettesítést a következőt kapjuk: x 1 2-1α 2 1*1 1 x = x 2 = 3-2α + 3β = 3 2*1 + 3*2 = 7 x 3 α 1 1 x 4 β 2 2 EZZEL A FELADATMEGOLDÁS VÉGETÉRT 2. Paramétert tartalmazó eset A paramétert is tartalmazó feladattípus lényege nem a konkrét megoldás, hanem annak elemzése, hogy a paraméter különöző értékeitől függően van e megoldása az egyenletrendszernek, ha van megoldása, akkor hány megoldása van, illetve mekkora az egyenletrendszer szaadságfoka. Ilyen eseten a felírt egyenletrendszer α, β, γ st paramétereket is tartalmaz. 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 1 + x 2 - x 3 = 3 -x 1 + αx 3 = β A feladatmegoldás lépései hasonlóak a 1. Paramétert nem tartalmazó eset című részen leírtakkal. (A ázistranszformáció során úgy járunk el, ahogyan azt a Bázistranszformáció című fejezeten a paramétert tartalmazó esetnél emutattuk, de a generáló elem választásánál lehetnek kiegészítések) 1.LÉPÉS: Megegyezik a 1. Paramétert nem tartalmazó eset című fejezeten leírt 1.LÉPÉS-sel. x 1 x 2 x α β 2. LÉPÉS: Bázistranszformációk sorozatát hajtjuk végre az induló tálázattól kezdődően addig, amíg olyan tálázatot nem kapunk, amelyen már nem tudunk generáló elemet választani. (A ázistranszformáció menete azonos a Bázistranszformáció című fejezeten a paramétert tartalmazó esetnél leírtakkal, de a generáló elem választásánál lehetnek kiegészítések) 2A.LÉPÉS: Generáló elemet választunk az alái szaályok etartásával: oszlopól TILOS generáló elemet választani csak olyan soról választhatunk, amely sor elején a ázis üres, azaz ahol a ázisan még nincs vektor (Természetesen az első tálázat esetén ez ármelyik sorra teljesül, tehát ármelyik soran választhatunk, késő azonan ez már nem lesz érvényes) paraméter sosem lehet generáló elem célszerű (de NEM KÖTELEZŐ!!) olyan soran választani generáló elemet, amely sor egyáltalán nem tartalmaz paramétert. Ha mindegyik soran van paraméter, akkor az elői 2 szaály etartásával ármelyik soran választhatunk generáló elemet. célszerű (de NEM KÖTELEZŐ!!) olyan oszlopan választani generáló elemet, amely oszlop egyáltalán nem tartalmaz paramétert. Ha minden oszlop tartalmaz paramétert, akkor érdemes a legkevese paramétert tartalmazó oszlopól választani

7 a generáló elem nulla kivételével ármilyen szám lehet (célszerű - de nem kötelező - olyan számot választani, amely számmal az adott szám sorának összes töi elemét el tudjuk osztani maradék nélkül, mert így elkerüljük, hogy törtekkel kelljen dolgozni, ezért az 1-es például mindig jó választás) Az 1.LÉPÉSen felírt induló tálázat esetén a következőképp gondolkodunk: oszlopól tilos generáló elemet választani ármelyik soran választhatunk generáló elemet, mert egyik sor elején sincsen még a ázisan vektor a tálázatan szereplő α paraméter nem lehet generáló elem a 3. sor tartalmaz paramétert, ezért eől a soról nem célszerű a választás, mert ez elonyolítaná a feladatot és van 2 olyan sorunk (1. és 2. sor), amelyen nincs paraméter. Ha nem lenne olyan sorunk, amelyen nincs paraméter, akkor kénytelenek lennénk paramétert tartalmazó soran választani. a 3. oszlop tartalmaz paramétert, ezért eől az oszlopól nem célszerű a választás, mert ez elonyolítaná a feladatot. a nulla nem lehet generáló elem összefoglalva a fentieket: az 1. vagy a 2. soról és az 1. vagy a 2. oszlopól választjuk ármelyik nullától különöző elemet, de célszerű valamelyik 1-est választani, hogy a számítás során ne keletkezzenek törtek (ha nincs 1-es és olyan szám sincs, amellyel a sor összes száma osztható, akkor ele kell törődnünk, hogy törtekkel fogunk dolgozni) A példáan választásunk legyen a következő: x 1 x 2 x α β 2B.LÉPÉS: Megegyezik a 1. Paramétert nem tartalmazó eset című fejezeten leírt 2B.LÉPÉS-sel x α β 2C.LÉPÉS: Megegyezik a 1. Paramétert nem tartalmazó eset című fejezeten leírt 2C.LÉPÉS-sel x 2 1/1=1-1/1=-1 3/1=3-1 0 α β 2D.LÉPÉS: Megegyezik a 1. Paramétert nem tartalmazó eset című fejezeten leírt 2D.LÉPÉS-sel x α β (1,-1) (1)*(2,0) = (1,-1) (2,0) = (-1,-1) x 1 x x x α β -1 (1,α) (-1)*(2,0) = (1,α) (-2,0) = (3,α) x 1 x x x α β -1-1 α (4,β) (3)*(2,0) = (4,β) (6,0) = (-2,β) x 1 x x x α β -1 α -1 α β 2A-2D.LÉPÉSEK elvégzése után a következőképpen néz ki a feladatunk: x α β -1 α β

8 2E.LÉPÉS: A kapott új tálázatról haladunk tová, mégpedig úgy, hogy ismét végrehajtjuk a 2A-2D.LÉPÉSEK-et addig, ameddig a 2A. LÉPÉS-nél el nem akadunk, azaz valami miatt nem tudunk generáló elemet választani. A példáan ez a következőképpen alakul (2A, 2B, 2C, 2D): x x x x α β -1 α β α - 3 β + 2 x x x x α β -1 α β α - 3 β Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: x 1 + x 3 + 2x 4 = 2 x 1 + 2x 2 + αx 4 = β -x 2 + x 3 + 2x 4 = 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 4 x x x x 1 -α 2-β α β 2-1 α-2 β-2 1 α β-1 x 2 α β x x 3 α+2 β 3.Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: x 1 + x 2 + 3x 4 = 0 x 1 + αx 3 + 2x 4 = -β x 2 - αx 3 + x 4 = β x 1 + 2x 2 - αx 3 + 4x 4 = β x 1 x 2 x x x 1 α 2 -β 1 0 α 2 -β -1 α -1 -β 0 1 -α 1 β 1 -α 1 β x 2 -α 1 β 1 2 -α 4 β 1 -α 1 β 4.Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: x 1 + x 2 + 3x 4 = 0 x 1 + αx 3 + 2x 4 = -β x 2 - αx 3 + x 4 = 2 x 1 + 2x 2 - αx 3 + 4x 4 = 1 x 1 x 2 x x x 1 α α 2 -β -1 α -1 -β β 0 1 -α α 1 2 x 2 -α α α Példa: Hajtsuk végre az 1. és 2. LÉPÉSeket (azaz ázistranszformáljunk, ameddig csak lehet) a következő feladat esetén: x 2 + x 4 = 1 x 1 + 2x 2 + αx 3 + 4x 4 = 4 x 1 + x 2 + αx 3 + 3x 4 = 3 x 1 + x 2 + αx 3 + 3x 4 = β x 1 x 2 x x x 2 -α α α α α 2 2 x 1 α α 3 β 1 α 2 β β-3 Ha eljutunk az utolsó tálázathoz, azaz már nem tudunk úja generáló elemet választani, akkor folytatjuk a feladatmegoldást a 3.LÉPÉSsel

9 3. LÉPÉS: Megnézzük az utolsó tálázatot, amelyen már nem tudtunk generáló elemet választani. Ezt a tálázatot esoroljuk a következő esetek valamelyikée (az utolsó tálázat az alái három eset közül csak az egyike sorolható e!!!). 1.eset: A ázisan már nincsen üres hely. A 2.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 4 x 1 -α 2-β x 2 α β-1 x 3 α+2 β Következtetés: A paraméterek ármely értéke mellett van megoldása az egyenletrendszernek. Ha a ázison kívül (tálázat tetején) nincsen ismeretlen (nincsen x), csak a szerepel itt, akkor mindig 1 megoldás van (szaadságfok nulla), ha a ázison kívül (tálázat tetején) viszont marad ismeretlen (van x), nemcsak a szerepel itt, akkor mindig végtelen sok megoldás van (szaadságfok egyenlő a ázison kívüli ismeretlenek számával). Továi vizsgálat nem szükséges, a feladatmegoldás itt végetér. A 2.példáan tehát a paraméter ármely értéke mellett végtelen sok megoldás lesz, a szaadságfok pedig 1. 2.eset: A ázisan még van üres hely és azokan a sorokan, ahol a ázis üres a oszlopon kívüli összes szám nulla. A 3, 4, 5.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. Ilyenkor a tálázatot tová osztályozzuk aszerint, hogy a 2a., 2. vagy 2c. esethez tartozik e, ami attól függ, hogy mit tratalmaz a oszlop azokan a sorokan, ahol a ázis üres. 3.példa 4.példa 5.példa x 1 α 2 -β x 1 α 2-2 x 2 -α β x 2 -α 1 β x 2 -α 1 2 x 1 α β-3 2a.eset: Azokan a sorokan, ahol a ázis üres, a oszlopan mindenütt nulla áll. A 3.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 1 α 2 -β x 2 -α 1 β Következtetés: A paraméterek ármely értéke mellett végtelen megoldása van az egyenletrendszernek (szaadságfok egyenlő a ázison kívüli ismeretlenek számával). Továi vizsgálat nem szükséges, a feladatmegoldás itt végetér. 2.eset: Azokan a sorokan, ahol a ázis üres, a oszlopan legalá egy helyen nullától különöző szám van (konkrét szám és nem paraméter!!!). A 4.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 1 α β x 2 -α Következtetés: A paraméterek ármely értéke mellett nincs megoldása az egyenletrendszernek. Továi vizsgálat nem szükséges, a feladatmegoldás itt végetér. 2c.eset: Azokan a sorokan, ahol a ázis üres, a oszlopan legalá egy helyen paraméteres kifejezés van, ahol pedig nem paraméteres kifejezés, ott nulla áll. Az 5.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 2 -α 1 1 x 1 α β-3 Következtetés: A paraméterek értékétől függ, hogy van e megoldás, ami továi vizsgálatot igényel. 3.eset: A ázisan még van üres hely és legalá az egyik olyan soran, ahol a ázis üres van paraméter a oszlopon kívül. Az 1.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 3 x x α - 3 β + 2 Következtetés: A paraméterek értékétől függ, hogy van e megoldás, illetve hány megoldás van, ami továi vizsgálatot igényel. Ha esoroltuk az utolsó tálázatot az elői esetkek egyikée, akkor folytatjuk a feladatmegoldást a 4.LÉPÉSsel, kivéve azokat az eseteket (1.eset, 2a.eset és 2.eset), ahol a feladatmegoldás a 3.LÉPÉSsel végetért.

10 4. LÉPÉS: Az utolsó tálázatról kiindulva meghatározzuk, hogy a paraméterek különöző értékei esetén van e megoldás, hány megoldás van és mekkora az egyenletrendszer szaadságfoka. A számítás menete attól függ, hogy az utolsó tálázat a 3.LÉPÉSnél melyik esethez tartozott, ennek alapján itt két eset lehetséges. 1.eset: Az utolsó tálázat a 3.LÉPÉSnél a 2c.esethez tartozott. Az 5.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 2 -α 1 1 x 1 α β-3 Ilyenkor a számítást a következő lépések szerint hajtjuk végre az utolsó tálázatról kiindulva: 4A.LÉPÉS: Kiválasztjuk a oszlopól azokat a paramétert tartalmazó cellákat, amelyek olyan sorokan helyezkednek el, ahol a ázis üres (A példáan egyetlen ilyen cella van, amelyen β-3 szerepel). x 2 -α 1 1 x 1 α β-3 4B.LÉPÉS: A 4A.LÉPÉSen kiválasztott cellákan szereplő paraméteres kifejezések mindegyikét nullával tesszük egyenlővé és kiszámítjuk a paraméterek értékeit. 4C.LÉPÉS: Értékeljük a kapott eredményeket. β 3 = 0 amelyől β = 3 adódik. Ha ugyanarra a paraméterre tö különöző értéket kapunk, akkor az egyenletrendszernek nincs megoldása Ha az összes paraméter egyidejűleg (egyszerre) a kiszámított értéket veszi fel, akkor az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van (szaadságfok egyenlő a ázison kívüli ismeretlenek számával), ármilyen más paraméterérték mellett nincs megoldás. A példáan: Ha β = 3, akkor végtelen sok megoldás van, a szaadságfok 2, ármely más paraméterérték mellett viszont nincs megoldás. 2.eset: Az utolsó tálázat a 3.LÉPÉSnél a 3.esethez tartozott. Az 1.példa utolsó tálázata ehhez az esethez tartozik. x 3 x x α - 3 β + 2 Ilyenkor a megoldást a következő lépések segítségével kapjuk meg az utolsó tálázatról kiindulva: 4A.LÉPÉS: Azokól a sorokól, amelyek elején a ázis üres, kiválasztjuk az egyik olyan oszlopon kívüli cellát, amely paramétert tartalmaz. (A példáan csak egyetlen ilyen cella található, de ha tö van, akkor a választás tetszőleges) A példáan: válasszuk az x 3 oszlopan lévő (α - 3)-at tartalmazó cellát 4B.LÉPÉS: A 4A.LÉPÉSen kiválasztott celláan szereplő paraméteres kifejezést nullával tesszük egyenlővé és kiszámítjuk a paraméter értékét. A példáan: α 3 = 0 amelyől α = 3 adódik A továiakan két esetet vizsgálunk meg attól függően, hogy a paraméter a kiszámított értéket veszi e fel vagy nem. A példáan: a)eset: α = 3 és )eset: α 3 A megoldás továi lépései a fenti két eseten eltérőek (Mindkét esethez tartozó lépéseket végre kell hajtani, mégpedig először az a)eset, ezt követően a )eset lépéseit is). a)eset (amikor a paraméter a 4B.LÉPÉSen kiszámított értéket veszi fel) lépései a következők: 4C.LÉPÉS: A 4B.LÉPÉSen a paraméterre kapott értéket ehelyettesítjük a tálázata az összes ilyen paraméter helyére, majd a kapott új tálázattal dolgozunk tová. Ha α = 3 x 3 α = 3 ehelyettesítése után: x x β + 2

11 4D.LÉPÉS: Ha 4C.LÉPÉSen a kapott új tálázatan tudunk generáló elemet választani, akkor ázistranszformációk sorozatát hajtjuk végre a 2.LÉPÉSen leírtak szerint addig, amíg olyan tálázatot nem kapunk, ahol már nem tudunk generáló elemet választani. Ha 4C.LÉPÉSen a kapott új tálázatan nem tudunk generáló elemet választani, akkor nem csinálunk semmit, megtartjuk a 4C.LÉPÉSen kapott tálázatot. 4E.LÉPÉS: Értékeljük azt a tálázatot, amit a 4D.LÉPÉS végrehajtása után kaptunk. Ha nem kellett semmit tennünk a 4D.LÉPÉSen, akkor a 4C.LÉPÉS tálázatát értékeljük.(értékelni mindig csak olyan tálázatot szaad, ahol már nem tudunk generáló elemet választani!!) A példáan már nem tudunk úja generáló elemet választani, tehát a 4C.LÉPÉSen kapott tálázatot értékeljük. Ha α = 3 x 3 x x β + 2 A példáan már nem tudunk úja generáló elemet választani, tehát a 4C.LÉPÉSen kapott tálázatot értékeljük. Az értékelés úgy történik, hogy ezzel a tálázattal elvégezzük a 3.LÉPÉSt, majd ha szükséges, akkor ezután a 4.LÉPÉSt is. (Tulajdonképpen ez azt jelenti, hogy a 3.LÉPÉSt és a 4.LÉPÉSt felváltva addig ismételjük, ameddig csak lehet) A fenti tálázat a 3.LÉPÉS szerint a 2c.esethez tartozik, majd a 4.LÉPÉS szerint az 1.esethez, ezért az értékelés a következő: Ha α = 3 és β + 2= 0, azaz β = -2, akkor végtelen sok megoldás van, a szaadságfok 1, ha viszont α = 3 és β -2, akkor nincs megoldás. Ne felejtsük el végrehajtani ezután a 4B.LÉPÉSen említett )esetet is!!! )eset (amikor a paraméter nem a 4B.LÉPÉSen kiszámított értéket veszi fel) lépései a következők: 4C.LÉPÉS: A 4A.LÉPÉSen kiválasztott celláan lévő paraméteres kifejezést generáló elemnek választva ázistranszformációk sorozatát hajtjuk végre a 2.LÉPÉS szerint mindaddig, ameddig még tudunk generáló elemet választani. Ha α 3 Ha α 3 x 3 x x 1 (2α+3β)/(α-3) x x 2 (α-2β-4)/(α-3) α - 3 β + 2 x 3 (β+2)/(α-3) 4D.LÉPÉS: Értékeljük azt a tálázatot, amit a 4C.LÉPÉS végrehajtása után kaptunk.(értékelni mindig csak olyan tálázatot szaad, ahol már nem tudunk generáló elemet választani!!) x 1 x 2 x 3 Ha α 3 (2α+3β)/(α-3) (α-2β-4)/(α-3) (β+2)/(α-3) Az értékelés úgy történik, hogy ezzel a tálázattal elvégezzük a 3.LÉPÉSt, majd ha szükséges, akkor ezután a 4.LÉPÉSt is. (Tulajdonképpen ez azt jelenti, hogy a 3.LÉPÉSt és a 4.LÉPÉSt felváltva addig ismételjük, ameddig csak lehet) A fenti tálázat a 3.LÉPÉS szerint az 1.esethez tartozik, ezért nem szükséges 4.LÉPÉS így az értékelés a következő: Ha α 3, akkor β paraméter ármely értéke mellett egyetlen megoldás van, a szaadságfok 0. EZZEL A FELADATMEGOLDÁS VÉGETÉRT

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT. 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT. 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 1.EGYSZERŰSÍTETT VÁLTOZAT 1.a) Paramétert nem tartalmazó eset A bázistranszformáció egyszerűsített változatában a bázison kívül elhelyezkedő vektorokból amennyit csak

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset A bázistranszformáció nehezített változatában a bázison kívül elhelyezkedő vektorokból amennyit csak lehetséges

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

Ellenőrzés. Variáns számítás. Érzékenység vizsgálat

Ellenőrzés. Variáns számítás. Érzékenység vizsgálat Ellenőrzés Variáns számítás Érzékenység vizsgálat Készítette: Dr Árahám István Az ellenőrzés A matematikai modell megoldása, a szimple tálák kitöltése közen könnyen elkövethetünk számolási hiát A kiindlási

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai

Bázistranszformáció és alkalmazásai Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer

Részletesebben

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu-

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu- . modul: ELSŐFOKÚ TÖRTES EGYENLETEK A következő órákon olyan egyenletekkel foglalkozunk, amelyek nevezőjében ismeretlen található. Ha a tört nevezőjében ismeretlen van, akkor kikötést kell tennünk: az

Részletesebben

Gauss elimináció, LU felbontás

Gauss elimináció, LU felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Bevezetés: Tekintsük az alábbi -es mátrixot: A. Szorozzuk meg ezt jobbról egy alkalmas méretű (azaz -es) oszlopvektorral, amely az R tér kanonikus bázisának

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Ismertető A Solver telepítése, illetve indítása A Solver célcella módosuló cellák A feltételek általában a módosuló cellákra hivatkozó képletek.

Ismertető A Solver telepítése, illetve indítása A Solver célcella módosuló cellák A feltételek általában a módosuló cellákra hivatkozó képletek. Ismertető A középiskolában sokféle egyenlet megoldásával megismerkednek a diákok. A matematikaórán azonban csak korlátozott típusú egyenletek fordulnak elő. Nem is cél az egyenletmegoldás általános tárgyalása,

Részletesebben

1. ábra ábra

1. ábra ábra A kifejtési tétel A kifejtési tétel kimondásához először meg kell ismerkedni az előjeles aldetermináns fogalmával. Ha az n n-es A mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának kereszteződésében az elem áll,

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

12 48 b Oldjuk meg az Egyenlet munkalapon a következő egyenletrendszert az inverz mátrixos módszer segítségével! Lépések:

12 48 b Oldjuk meg az Egyenlet munkalapon a következő egyenletrendszert az inverz mátrixos módszer segítségével! Lépések: A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Egyenletrendszerek megoldása Excelben. Solver használata. Mátrixműveletek és függvények

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez Bevezetés Ebben a fejezetben megismerkedünk a Logikai függvények típusaival és elsajátítjuk alkalmazásukat. Jártasságot szerzünk bonyolultabb feladatok megoldásában, valamint képesek leszünk a függvények

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Hogyan lehet Pivot tábla segítségével komplex adatokat elemezni és bemutatni?

Hogyan lehet Pivot tábla segítségével komplex adatokat elemezni és bemutatni? Hogyan lehet Pivot tábla segítségével komplex adatokat elemezni és bemutatni? Fordította: IFUA Horváth & Partners Képzelje el, hogy a vállalat értékesítési vezetője megkéri Önt, hogy rövid időn belül elemezze

Részletesebben

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4 2012. február 2. 8. évfolyam TMat2 feladatlap Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATOK 8. évfolyamosok számára, tehetséggondozó változat TMat2 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

1. A kétszer kettes determináns

1. A kétszer kettes determináns 1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

FPI matek szakkör 8. évf. 4. szakkör órai feladatok megoldásokkal. 4. szakkör, október. 20. Az órai feladatok megoldása

FPI matek szakkör 8. évf. 4. szakkör órai feladatok megoldásokkal. 4. szakkör, október. 20. Az órai feladatok megoldása 4. szakkör, 2004. október. 20. Az órai feladatok megoldása Most csak három önmagában nem nehéz feladatot kapsz, és a feladatot magadnak kell általánosítani, szisztematikusan adatot gyűjteni, általános

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN Az Excelben az egyszerű adatok bevitelén kívül számításokat is végezhetünk. Ezeket a cellákba beírt képletek segítségével oldjuk meg. A képlet: olyan egyenlet, amely a munkalapon

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. együttható-mátrix x-ek jobb oldali számok 2.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ. easymaths.

EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. együttható-mátrix x-ek jobb oldali számok 2.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ. easymaths. www.symhs.hu mk ilágos oldl symhs.hu.lépés: GENERÁLÓ ELEM VÁLASZTÁSA Csk -s oszlopól és -s soról álszhunk gnráló lm, nullá nm álszhunk és lhőlg - gy -- érdms AZ JÁTÉKSZABÁLYAI.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ

Részletesebben

ÁTVÁLTÁSOK SZÁMRENDSZEREK KÖZÖTT, SZÁMÁBRÁZOLÁS, BOOLE-ALGEBRA

ÁTVÁLTÁSOK SZÁMRENDSZEREK KÖZÖTT, SZÁMÁBRÁZOLÁS, BOOLE-ALGEBRA 1. Tízes (decimális) számrendszerből: a. Kettes (bináris) számrendszerbe: Vegyük a 2634 10 -es számot, és váltsuk át bináris (kettes) számrendszerbe! A legegyszerűbb módszer: írjuk fel a számot, és húzzunk

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Rácsos szerkezetek. Frissítve: Egy kis elmélet: vakrudak

Rácsos szerkezetek. Frissítve: Egy kis elmélet: vakrudak Egy kis elmélet: vakrudak Az egyik lehetőség, ha két rúd szög alatt találkozik (nem egyvonalban vannak), és nem működik a csomópontra terhelés. Ilyen az 1.ábra C csomópontja. Ekkor az ide befutó mindkét

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Kérem, ismerkedjen meg a DigitAudit program AuditTeszt moduljának Adatok tesztelése menüpontjával.

Kérem, ismerkedjen meg a DigitAudit program AuditTeszt moduljának Adatok tesztelése menüpontjával. Tisztelt Felhasználó! Kérem, ismerkedjen meg a DigitAudit program AuditTeszt moduljának Adatok tesztelése menüpontjával. A program céljai: A programot azért fejlesztettük ki, hogy segítséget adjunk a nagytömegű

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a b pozitív egészek és tudjuk hogy a 2

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A Halmazok Érdekes feladat lehet, amikor bizonyos mennyiségű adatok között keressük az adott tulajdonsággal rendelkezők számát. A következőekben azt szeretném megmutatni, hogy a halmazábrák segítségével,

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 1. MA3-1 modul Kombinatorika SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 5.

Matematikai geodéziai számítások 5. Matematikai geodéziai számítások 5 Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 5: Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Lektor: Dr Benedek Judit Ez a modul a TÁMOP

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 2009. jnuár 23. MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2009. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto

Részletesebben

Algoritmusok és adatszerkezetek 2.

Algoritmusok és adatszerkezetek 2. Algoritmusok és adatszerkezetek 2. Varga Balázs gyakorlata alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. gyakorlat Nyílt címzéses hash-elés A nyílt címzésű hash táblákban a láncolással ellentétben egy indexen

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája

Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája A táblázatkezelés alapjai A táblázat szerkesztése A táblázat formázása A táblázat formázása Számítások a táblázatban Oldalbeállítás és nyomtatás

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben