Ismertető A Solver telepítése, illetve indítása A Solver célcella módosuló cellák A feltételek általában a módosuló cellákra hivatkozó képletek.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Ismertető A Solver telepítése, illetve indítása A Solver célcella módosuló cellák A feltételek általában a módosuló cellákra hivatkozó képletek."

Átírás

1 Ismertető A középiskolában sokféle egyenlet megoldásával megismerkednek a diákok. A matematikaórán azonban csak korlátozott típusú egyenletek fordulnak elő. Nem is cél az egyenletmegoldás általános tárgyalása, nem szólva az explicit módon nem megoldható, magasabb fokú vagy transzcendens egyenletekről. A továbbiakban megtanuljuk használni a Solvert, az Excel egyenletmegoldó (illetve annál sokkal általánosabb célú) eszközét. Nem foglalkozunk az egyenlet megoldásának módjával. A gyökök értékére vagyunk kíváncsiak, hasonlóan ahhoz, mint amikor számológéppel meghatározzuk egy szám négyzetgyökét. Az Excel Célértékkeresője is lehetővé teszi bizonyos egyenletek megoldását. De a Solver inkább általános problémák megoldására használható. Ehez a témakörhöz kapcsolódóan érdemes betekintenünk még az Ms-Office Samples\Solvsapm.xls file-jába, ami az Excel telepítésekor kerül a háttértárra. A Solver telepítése, illetve indítása A Solver az Excel bővítményei közé tartozik. Első felhasználása előtt fel kell vennünk a menübe a bővítménykezelő segítségével (Eszközök/Bővítménykezelő). Jelöljük be a Solver bővítmény használatát, majd kattintsunk az OK gombra. Az Office telepítésétől függően esetenként szükség lehet a telepítő CD-re. Ezek után a Solver megjelenik az Eszközök menüben, ahonnan el tudjuk indítani. A Solver A Solver egy úgynevezett mi lenne ha típusú elemzőeszköz. Segítségével megkereshetjük a közvetlenül vagy közvetve - cellákban szereplő képletekkel - megadott korlátozó feltételeknek megfelelő értéket. A keresett értéket az úgynevezett célcella tartalmazza. A feltételekben szereplő cellákat módosuló celláknak nevezzük. A feltételek általában a módosuló cellákra hivatkozó képletek. A Solver úgy változtatja a módosuló cellák értékét, hogy a célcellában meghatározott érték legyen a végeredmény. Például: Az ax + b = c egyenlet megoldásánál az x-et tartalmazó cella a módosuló cella, a megoldás keresésénél a Solver ennek az értékét fogja módosítani. A célcella tartalmazza a c értékét, korlátozó feltételünk pedig az, hogy az ax + b értéke legyen egyenlő a c értékével. A Solver nem csak egyenletek, egyenletrendszerek megoldására alkalmas. Nagyon széles körű problémák vizsgálata lehetséges a segítségével. A továbbiakban az alkalmazási lehetőségek közül láthatunk néhány példát az Ms-Excel 00 felhasználásával.

2 x 1 : Az egyenlet: x -x+= Egyismeretlenes, másodfokú egyenletek A megoldás menete 1., Válasszuk ki a módosuló cellát. (áttekinthetőbb szerkezetet kapunk, ha ezt a cellát elnevezzük x-nek, vagy az ismeretlennek megfelelő más betűvel jelöljük)., Redukáljuk 0-ra az egyenletet. (az egyenlet nullára redukálása nem szükséges feltétele a Solver alkalmazásának, ha az egyik oldalon egy konstans áll akkor ezt is beírhatjuk a paraméterek ablak Érték szövegdobozába)., Írjuk be egy cellába képletként az egyenlet bal oldalát, ez lesz a célcella.., Indítsuk el a Solvert.., Adjuk meg az egyenlet bal oldalát tartalmazó célcellát.., Jelöljük be az Érték választógombot, és adjuk meg értékként a 0-t.., Módosuló cellaként adjuk meg az ismeretlenhez kijelölt cellát.., Kattintsunk a Megoldás gombra. A fenti eljárás alkalmazásánál nincs szükség külön korlátozó feltételek előírására. A Solver meghatározza a (közelítő) megoldást, amit a módosuló cellában láthatunk. A célcella mutatja a megoldás pontosságát. Oldjuk meg a Solverrel az f(x)=x x = másodfokú egyenletet! A nullára redukált alak: x x + = 0. -,E-0 x : -E-0 A további gyökök meghatározása: A Solver egyetlen megoldást határoz meg. További megoldásokhoz a módosuló cella kezdőértékének a megadásával juthatunk. Kezdőértéknek célszerű egy a keresett gyökhöz közel eső számot beírni. A kezdőértéket például úgy határozhatjuk meg, hogy grafikonon ábrázoljuk a nullára redukált egyenletet, majd az ábrázolt tartomány megfelelő finomításával megközelítőleg leolvassuk a függvény zérushelyét. Írjunk például az előző feladatban a F cellába a másik gyökhöz közel eső,-öt, és indítsuk el így a Solvert. Megkapjuk a másik gyök közelítő értékét is.

3 Feladatok: Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a Solver segítségével! Határozzuk meg az összes megoldást! 1., x x =., x x =., x + 1 = x., x + 1/x =., x + x = x/ +

4 x max : 0,000 f(x max ): 0,0 x: f(x): -0, -0, -0, -0,0-0, -0, -0, -0,000-0,1-0,00 0,0 0,0000 0,1 0,00 0, 0,00 0, 0,0 0, 0,0 0, 0,1 0, 0,0 0, 0,1 0, 0,0000 0, -0, 1,0-1,0000 1,1-1, 1, -,0 1, -, Függvény szélsőértékének meghatározása A megoldás menete 1., Vegyük fel az adatokat a függvény ábrázolásához az értelmezési tartományban.., Ábrázoljuk a függvényt.., Olvassuk le a grafikonról a szélsőérték közelítő értékét, ezt adjuk meg módosuló cellaként (x max ). (A szélsőértékek meghatározásánál fontos, hogy a grafikonról leolvasott közelítő értékből induljunk ki. A szélsőértékhelyek közelében ugyanis a függvényértékek csak kismértékben változnak, így a számítási pontosság alapján stacionárius helyekként viselkednek. A Solver tehát a szélsőérték meghatározásakor stacionárius helyeket keres.)., Indítsuk el a Solvert.., Adjuk meg a függvényt tartalmazó célcellát.., Jelöljük be a Max választógombot.., Módosuló cellaként adjuk meg az x max celáját.., Kattintsunk a Megoldás gombra. A fenti eljárás alkalmazásánál nincs szükség külön korlátozó feltételek előírására. A Solver meghatározza a szélsőérték-helyet (x max ), a függvény szélsőértékét pedig a függvényt tartalmazó cella mutatja. Adjuk meg Solverrel az f(x)=x -x függvény szélsőértékét! -,0 -,0 -,0 -,0 -,0 f(x)=x -x 1,0 0,0-1,0-0, 0,0 0, 1,0 1, -1,0

5 Feladatok: Határozzuk meg a következő függvények minimum- illetve maximumhelyeit! 1., f(x) = x x., g(x) = x x +., h(x) = x + 1/x., i(x) = x/(x+1)., j(x) = x/(x+)

6 x y z -1 1 Lineáris egyenletrendszer megoldása A Solvernek csak egy célcellát jelölhetünk ki, ezért az egyenletrendszerek megoldása során korlátozó feltételekkel adjuk meg az egyenleteket. A megoldás menete 1., Válasszuk ki azokat a cellákat, ahol az ismeretlenek értékét fogjuk megkapni (módosuló cellák).., Alakítsuk át az egyenleteket úgy, hogy a jobb oldalon csak egy konstans legyen.., Írjuk be a változók együtthatóit, a mellettük lévő cellákba a jobb oldalon álló konstanst, majd írjuk be a kiválasztott cellákba képletként az egyenletek bal oldalát.., Indítsuk el a Solvert.., Hagyjuk mindenképpen üresen a célcella szövegdobozát.., Módosuló cellaként adjuk meg az ismeretlenhez kijelölt cellatartományt.., Korlátozó feltételként adjuk meg, hogy az egyenleteket tartalmazó cellatartomány legyen egyenlő a jobb oldali konstansokat tartalmazó cellatartománnyal. (A Max, Min, Érték választógombok kiválasztása nincs hatással a megoldásra. A paraméterek megadása akkor válik egyszerűbbé, ha szisztematikusan helyezzük el az egyenleteket a cellákban. Az egyenletek beírása előtt pedig célszerű táblázatosan elrendezni az ismeretlenek együtthatóit, mert így az első egyenletből a képlet egyszerű másolásával kapjuk meg a többit.)., Kattintsunk a Megoldás gombra. Oldjuk meg a Solverrel a következő egyenletrendszert: x y + z -= 0; x + y + z -1= 0; x + y z -= 0! x y z konstans egyenletek

7 A megoldást az A:C cellatartományban olvashatjuk le. Ha a Solverben bejelöljük a lineáris modellt, akkor pontos megoldást kapunk (Beállítás). Sokismeretlenes egyenletrendszer esetén nem "éri meg" elnevezni a módosuló cellákat. Feladatok: Oldjuk meg a Solverrel a következő egyenletrendszereket: 1., x-y+z=-1; x+y+z=; x+y-z=-1;., x+y+z=1; x+y+z=; x+1y+z=;., (x+y)=-(x+); (x+1)=(z+1); (y-1)/(z-1)=1/;

8 A B C D E F G Nem lineáris egyenletrendszer megoldása A nem lineáris egyenletrendszerek megoldása a lineárishoz egyenletrendszerekhez hasonló módon történik. Általában több megoldást is kereshetünk. A kezdőértékektől (a módosuló celláktól) függ, hogy a Solver melyik megoldást találja meg. Az egy ismeretlenes egyenletekkel ellentétben nem tudjun a megoldáshoz közeli kezdőértéket megbecsülni. A megoldás menete: 1., Válasszuk ki azokat a cellákat, ahol az ismeretlenek értékét fogjuk megkapni (módosuló cellák)!., Írjuk be a kiválasztott cellákba képletként az egyenletek bal oldalát (az egyenletek eltérő szerkezetűek lehetnek, az együtthatókat nincs értelme külön cellákba beírni), majd mellé az egyenletek jobb oldalát!., Indítsuk el a Solvert!., Hagyjuk mindenképpen üresen a célcella szövegdobozát.., Módosuló cellaként adjuk meg az ismeretlenhez kijelölt cellatartományt.., Korlátozó feltételként adjuk meg, hogy az egyenleteket tartalmazó cellatartomány legyen egyenlő a jobb oldali konstansokat tartalmazó cellatartománnyal.., Kattintsunk a Megoldás gombra. (A megtalált megoldást a módusuló cellákban láthatjuk. További megoldásokat újabb korlátozó feltételek alkalmazásával kaphatunk. Kereshetünk például olyan megoldást, amelynél az x > 1. A korlátozó feltételek között nem szerepel a nagyobb reláció, ezért válasszunk egy 1-nél kicsivel nagyobb számot, és az x 1,1 feltételt írjunk elő. Így újabb megoldást találhatunk. A feltételek között előírhatjuk például, hogy mindkét megoldás nagyobb vagy egyenlő, illetve mindkettő kisebb vagy egyenlő legyen, mint 0. Ha a Solver leáll, mert nem talált megoldást, akkor változatlanul hagyva a módosuló cellákba írt értékeket, újra elindíthatjuk. Így további megoldásokat kereshetünk.) Oldjuk meg a Solver-rel a következő nem lineáris egyenletrendszert: x + xy - y = 1; x y - xy = -! x y 1-1, az egyenletek bal oldalai: az egyenletek jobb oldalai: 1 1 -, -

9 0 1 Feladatok: A B C D E F G Oldjuk meg a Solverrel a következő nem lineáris egyenletrendszereket: 1., xy + y = ; x + y = 1;., x + y = 1; x + y = ;., x + y x + y = 0; x + y + x y = 0!

10 K L Bűvos négyzetek készítése, megoldása A lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerét felhasználhatjuk bűvös négyzetek készítésére is. A megoldás menete: 1., Írjuk be a bűvös négyzet megadott adatait!., Indítsuk el a Solvert!., Hagyjuk mindenképpen üresen a célcella szövegdobozát.., Módosuló cellaként adjuk meg a bűvös négyzet üres celláit!., Korlátozó feltételként adjuk meg, hogy a sor-, oszlop- és átlóösszegek legyenek egyenlők a második sorban álló számok összegével!., Kattintsunk a Megoldás gombra! Készítsük el az alábbi példa alapján a bűvös négyzetet! Feladatok: Oldjuk meg a Solverrel a következő bűvös négyzetet! 1 1 1

11 I. II. max x y szendvics 0 vaj 1 0 szalámi 1 0 egyenletek: vaj 0 szalámi 0 Összes szendvics: 0 Kétváltozós lineáris programozási feladat Egy példán keresztül mutatom be a feladattípust és a Solver felhasználását a megoldásban. A feladatokat grafikusan is megoldhatjuk, de tudjuk, hogy grafikusan csak a kétváltozós lineáris programozási feladatok oldhatók meg. A Solver természetesen több változó esetén is alkalmazható (szimplex-módszer). Kétféle szendvicset készítünk az osztálybulira. Az első típushoz felhasználunk 1 dkg vajat és szelet szalámit. A másodikra típusra dkg vajat és egy szelet szalámit teszünk. Összesen 0 dkg vajat és 0 szelet szalámit használhatunk fel. Hány darab szendvicset készítsünk az egyes típusokból, hogy a lehető legtöbb darab szendvics készüljön el? Foglaljuk táblázatba, képletbe a feladat szövegét! 1., I. II. max. szendvics (darab) x y vaj (dkg) 1 0 szalámi (szelet) 1 0., Jelöljük x-szel az I. típusú, y-nal a II. típusú szendvicsek számát. A korlátozó feltételek (max): vaj (dkg): 1 x + y 0; szalámi (szelet): x + 1 y 0.., Számunkra természetes, de a Solvernek elő kell írnunk a következő feltételeket is (pozitív értékek): x 0 és y 0.., Összesen (x + y) szendvicset készítünk, tehát keressük ennek a kifejezésnek a maximumát a fenti korlátozó feltételek mellett. A megoldás menete: 1., Adjuk meg a táblázatos adatokat! (nevezzük el az x és y értékeket tartalmazó cellákat, ezek lesznek a módosuló cellák)., Indítsuk el a Solvert!., A célcellába írjuk be az = x + y képletet tartalmazó cellahivatkozást!., Módosuló cellaként adjuk meg az x és y értékeket tartalmazó cellákat!., Vegyük fel a korlátozó feltételeket, és jelöljük be a Max választógombot. A feltételek bal oldalán álló kifejezéseket célszerű cellákba írni. Szisztematikus elrendezéssel elérhetjük, hogy elegendő legyen egyszer begépelni, majd másolni. Ne felejtsük el kikötni, hogy a változók nem lehetnek negatívak!., Kattintsunk a Megoldás gombra!

12 A Solver meghatározza, hogy az I. szendvics típusból 0 db, a másik szendvics típusból pedig db szendvicset kell (tudunk, célszerű) készíteni. Így éppen felhasználunk minden nyersanyagot. Nem biztos, hogy az ilyen típusú feladatokra egész megoldást kapunk. A Solverben nem lehet beállítani, hogy csak egész megoldást keressen, mert ez az egyik legnehezebb matematikai probléma. Feladatok: Oldjuk meg a Solverrel a következő lineáris programozási feladatokat: 1., Egy háziállatnak négyféle tápanyagot kell kapnia. Az etetéshez kétféle takarmányt használhatunk fel. A takarmányok tápanyagtartalmát és a napi szükségleteket az alábbi táblázat tartalmazza. Határozzuk meg a leggazdaságosabb takarmánykeverék összetételét! 1. típusú takarmány (x kg). típusú takarmány (y kg) Előírt mennyiség I. tápanyag (kg): 0,1 0 0, II. tápanyag (kg): 0 0, 0, III. tápanyag (kg): 0,1 0, 1 IV. tápanyag (kg): 0, 0,, Egységár(Ft/kg): 0 0., Egy asztalosműhelyben szekrényt és könyvespolcot készítenek. Egy szekrény elkészítéséhez m cseresznyefára és m tölgyfára van szükség. A könyvespolchoz m cseresznye-, illetve m tölgyfát használnak fel. A szekrényen darabonként 000 Ft, a könyvespolcon pedig 000 Ft a nyereség. A raktárban mindkét fajtából 10 m deszkalap található. Hány szekrényt, illetve könyvespolcot készítsünk a raktárkészletből, hogy a legnagyobb legyen a nyereség?., Keressük meg a x + y kifejezés minimumát az alábbi feltételek mellett: x + y ; x + y ; x y ; x, y 0!., Keressük meg az x + y + z kifejezés maximumát az alábbi feltételek mellett: x + y + z ; x + y + z ; x, y, z 0!., Keressük meg az x maximumát az alábbi feltételek mellett: x + y 0; y + z 0; x + z 0; x, y, z 0!

13 A B C D E F G H I I. és II. könyv I. és III. könyv II. és III. könyv x y z diákok: max. db I. könyv: II. könyv: III. könyv: egyenletek: I. könyv: II. könyv: III. könyv: maximum: 1 Kombinatorikaifeladat Egy példán keresztül mutatom be a feladattípust és a Solver felhasználását a megoldásban. A diákokat év végén könyvjutalomban részesítjük. Egy diák két különböző könyvet kap ajándékba. Összesen háromféle könyv áll a rendelkezésünkre. Az első típusból db, a másodikból db, a harmadikból pedig db könyvünk van. Hogyan osszuk szét a könyveket, hogy a lehető legtöbb diák kapjon könyvjutalmat? Foglaljuk táblázatba, képletbe a feladat szövegét! 1., I. és II. könyv I. és III. könyv II. és III. könyv diákok száma (db) x y z max. könyv darabszám I. könyv (db) II. könyv (db) III. könyv (db) , Jelöljük x-szel az I. és II. típusú, y-nal a I. és III. típusú, z-vel a II. és III. típusú könyveket kapó diákok számát. A korlátozó feltételek (max): I. és II. könyv (db): 1 x + 1 y + 0 z ; I. és III. könyv (db): 1 x + 0 y + 1 z ; II. és III. könyv (db): 0 x + 1 y + 1 z ;., Számunkra természetes, de a Solvernek elő kell írnunk a következő feltételeket is (pozitív értékek): x 0 és y 0 és z 0.., Összesen (x + y+z) diáknak adhatunk könyvet, tehát keressük ennek a kifejezésnek a maximumát a fenti korlátozó feltételek mellett. A megoldás menete: 1., Adjuk meg a táblázatos adatokat! (nevezzük el az x, y és z értékeket tartalmazó cellákat, ezek lesznek a módosuló cellák)., Indítsuk el a Solvert!., A célcellába írjuk be az = x + y+z képletet tartalmazó cellahivatkozást!., Módosuló cellaként adjuk meg az x, y és z értékeket tartalmazó cellákat!., Vegyük fel a korlátozó feltételeket, és jelöljük be a Max választógombot. A feltételek bal oldalán álló kifejezéseket célszerű cellákba írni. Szisztematikus elrendezéssel elérhetjük, hogy elegendő legyen egyszer begépelni, majd másolni. Ne felejtsük el kikötni, hogy a változók nem lehetnek negatívak!., Kattintsunk a Megoldás gombra!

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Táblázatkezelés 5. - Függvények

Táblázatkezelés 5. - Függvények Táblázatkezelés 5. - Függvények Eddig mi magunk készítettünk képleteket (számolási utasításokat). A bonyolultabb, programozók által készített, Excelbe beépített képleteket függvényeknek nevezik. Táblázatkezelőnk

Részletesebben

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN Az Excelben az egyszerű adatok bevitelén kívül számításokat is végezhetünk. Ezeket a cellákba beírt képletek segítségével oldjuk meg. A képlet: olyan egyenlet, amely a munkalapon

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

SZÁMÍTÓGÉPES PROBLÉMAMEGOLDÁS

SZÁMÍTÓGÉPES PROBLÉMAMEGOLDÁS Dr. Pál László, Sapientia EMTE, Csíkszereda SZÁMÍTÓGÉPES PROBLÉMAMEGOLDÁS 9.ELŐADÁS Lehetőségelemzés Lehetőségelemzés Egy olyan funkció, amely segítségével úgy tudunk megváltoztatni adatainkat, hogy a

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

EuroOffice Optimalizáló (Solver)

EuroOffice Optimalizáló (Solver) 1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer

Részletesebben

Szélsőérték-számítás

Szélsőérték-számítás Szélsőérték-számítás Jelölések A következő jelölések mind az f függvény x szerinti parciális deriváltját jelentik: Ugyanígy az f függvény y szerinti parciális deriváltja: f x = xf = f x f y = yf = f y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

XY DIAGRAMOK KÉSZÍTÉSE

XY DIAGRAMOK KÉSZÍTÉSE 1 ELSŐ GYAKORLAT XY DIAGRAMOK KÉSZÍTÉSE A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Függvényábrázolás. Függvények formázása.

Részletesebben

Kétváltozós függvény szélsőértéke

Kétváltozós függvény szélsőértéke Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével

Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével Az Excel Solver programcsomagjának bemutatásaként két feltételes és egy feltétel nélküli optimalizálási feladatot

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

3. előadás. Termelési és optimalizálási feladatok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor

3. előadás. Termelési és optimalizálási feladatok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 3. előadás Termelési és optimalizálási feladatok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom Matematikai alapok Matematikai modell Fontosabb feladattípusok Érzékenységvizsgálat Fontos fogalmak

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát!

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát! Konduktometriás titrálás kiértékelése Excel program segítségével (Office 2007) Alapszint 1. A mérési adatokat írjuk be a táblázat egymás melletti oszlopaiba. Az első oszlopba kerül a fogyás, a másodikba

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Táblázatok. Táblázatok beszúrása. Cellák kijelölése

Táblázatok. Táblázatok beszúrása. Cellák kijelölése Táblázatok Táblázatok beszúrása A táblázatok sorokba és oszlopokba rendezett téglalap alakú cellákból épülnek fel. A cellák tartalmazhatnak képet vagy szöveget. A táblázatok használhatók adatok megjelenítésére,

Részletesebben

12 48 b Oldjuk meg az Egyenlet munkalapon a következő egyenletrendszert az inverz mátrixos módszer segítségével! Lépések:

12 48 b Oldjuk meg az Egyenlet munkalapon a következő egyenletrendszert az inverz mátrixos módszer segítségével! Lépések: A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Egyenletrendszerek megoldása Excelben. Solver használata. Mátrixműveletek és függvények

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Elsőfokú egyenletek megoldása mérleg elvvel Az egyenletek megoldása során a következő lépéseket hajtjuk végre: a kijelölt műveletek elvégzésével, az egynemű kifejezések összevonásával

Részletesebben

Növényvédő szerek A B C D

Növényvédő szerek A B C D A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Termelési és optimalizálási feladatok megoldása. Mátrixműveletek alkalmazása.

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 7. modul Négyzetgyökös egyenletek Készítette: Gidófalvi Zsuzsa Matematika A 10. évfolyam 7. modul: Négyzetgyökös egyenletek Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Bevezetés a lineáris programozásba

Bevezetés a lineáris programozásba Bevezetés a lineáris programozásba 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Szimplex módszer p. 1/1 Az LP feladatok általános modellje A korlátozó feltételeket írjuk fel

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Matematikai modellek megoldása számítógéppel Solver Lingo

Matematikai modellek megoldása számítógéppel Solver Lingo Matematikai modellek megoldása számítógéppel Solver Lingo Készítette: Dr. Ábrahám István A matematikai modellek számítógépes megoldásait példákkal mutatjuk be. Példa: Négy erőforrás felhasználásával négyféle

Részletesebben

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez Bevezetés Ebben a fejezetben megismerkedünk a Logikai függvények típusaival és elsajátítjuk alkalmazásukat. Jártasságot szerzünk bonyolultabb feladatok megoldásában, valamint képesek leszünk a függvények

Részletesebben

Aromo Szöveges Értékelés

Aromo Szöveges Értékelés Aromo Szöveges Értékelés AROMO Iskolaadminisztrációs Szoftver v2.50 - Felhasználói kézikönyv- Szöveges értékelés 1 Tartalomjegyzék Aromo Szöveges Értékelés 1 Bevezetés 3 A Szöveges Értékelés modul koncepciója

Részletesebben

EGYENES ILLESZTÉSE (OFFICE

EGYENES ILLESZTÉSE (OFFICE EGYENES ILLESZTÉSE (OFFICE 2007) 1. Írjuk a mérési adatokat az x-szel és y-nal jelzett oszlopokba. Ügyeljünk arra, hogy az első oszlopba a független, a második oszlopba a függő változó kerüljön! 2. Függvény

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

Excel Hivatkozások, függvények használata

Excel Hivatkozások, függvények használata Excel Hivatkozások, függvények használata 1. Fejezet Adatok, képletek, függvények Adatok táblázat celláiba írjuk, egy cellába egy adat kerül lehet szám, vagy szöveg * szám esetén a tizedes jegyek elválasztásához

Részletesebben

1. Görbe illesztés a legkissebb négyzetek módszerével

1. Görbe illesztés a legkissebb négyzetek módszerével GÖRBE ILLESZTÉS A LEGKISSEBB ÉGYZETEK MÓDSZERÉVEL. Görbe illesztés a legkissebb négyzetek módszerével Az előző gyakorlaton megismerkedtünk a korrelációs együttható fogalmával és számítási módjával. A korrelációs

Részletesebben

Hozzárendelés, lineáris függvény

Hozzárendelés, lineáris függvény Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű

Részletesebben

Bevezető. Mi is az a GeoGebra? Tények

Bevezető. Mi is az a GeoGebra? Tények Bevezető Mi is az a GeoGebra? dinamikus matematikai szoftver könnyen használható csomagolásban az oktatás minden szintjén alkalmazható tanításhoz és tanuláshoz egyaránt egyesíti az interaktív geometriát,

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.

7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. 7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. I. Elméleti összefoglaló Egyenlet Az egyenlet két oldalát függvénynek tekintjük: f(x) = g(x). Az f és g függvények értelmezési tartományának közös

Részletesebben

Növényvédő szerek A 500 0 0 0 0 65000 B 0 0 50 500 500 60000 C 50 25 0 50 50 12000 D 0 25 5 50 0 6000

Növényvédő szerek A 500 0 0 0 0 65000 B 0 0 50 500 500 60000 C 50 25 0 50 50 12000 D 0 25 5 50 0 6000 A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Termelési és optimalizálási feladatok megoldása. Mátrixműveletek alkalmazása.

Részletesebben

Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája

Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája A táblázatkezelés alapjai A táblázat szerkesztése A táblázat formázása A táblázat formázása Számítások a táblázatban Oldalbeállítás és nyomtatás

Részletesebben

Maple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai

Maple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai Maple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai Bevezető Tudjuk, hogy a Maple könnyűszerrel képes végrehajtani a szimbólikus matematikai számításokat, ezért a Maple egy ideális program differenciál-

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

Hasonlóságelemzés COCO használatával

Hasonlóságelemzés COCO használatával Hasonlóságelemzés COCO használatával Miért a CoCo?? Mire használhatom a CoCo-t?! Például megállapíthatom, hogy van-e a piacon olyan cég, amely az árhoz és a többiekhez képest kevesebbet vagy többet teljesít.?

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Alapok: Használd számológép helyett

Alapok: Használd számológép helyett Alapok: Használd számológép helyett Az Excelt ugyanúgy használhatod, mint a számológépet, vagyis bármit ki tudsz vele számolni. Egész egyszerűen csak írj egy egyenlőségjelet a sor elejére és aztán ugyanúgy,

Részletesebben

1. oldal, összesen: 5

1. oldal, összesen: 5 1. oldal, összesen: 5 Elmélet Word 1. Döntse el az alábbi állításról, hogy a tagmondatok tartalma igaz-e, s A WORD helyesírás-ellenőrző rendszere minden helyesírási hibánkat kijavítja, mert felismeri,

Részletesebben

Microsoft Excel. Táblázatkezelés. Dr. Dienes Beatrix

Microsoft Excel. Táblázatkezelés. Dr. Dienes Beatrix Microsoft Excel Táblázatkezelés Dr. Dienes Beatrix A táblázatkezelı feladata: Táblázatosan elrendezett adatok hatékony és látványos kezelése. Nagy adathalmazok adatbázis-kezelı Legfontosabb szolgáltatások:

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

1.1.1 Dátum és idő függvények

1.1.1 Dátum és idő függvények 1.1.1 Dátum és idő függvények Azt már tudjuk, hogy két dátum különbsége az eltelt napok számát adja meg, köszönhetően a dátum tárolási módjának az Excel-ben. Azt is tudjuk a korábbiakból, hogy a MA() függvény

Részletesebben

Tartalom. Matematikai alapok. Termékgyártási példafeladat. Keverési példafeladat Szállítási példafeladat Hátizsák feladat, egészértékű feladat

Tartalom. Matematikai alapok. Termékgyártási példafeladat. Keverési példafeladat Szállítási példafeladat Hátizsák feladat, egészértékű feladat 6. előadás Termelési és optimalizálási feladatok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Matematikai alapok Matematikai modell Fontosabb feladattípusok Érzékenységvizsgálat Termékgyártási

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

WebAromo elindítása, bejelentkezés

WebAromo elindítása, bejelentkezés WebAromo segédlet Tartalom WebAromo elindítása, bejelentkezés... 3 Jelszó beállítása... 3 Foglalkozások kezelése... 4 Hiányzások megadása... 5 Érdemjegy bevitele... 6 Érdemjegyek megtekintése... 8 Egy

Részletesebben

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. KÖZÉPSZINT ) Egyszerűsítse a következő törtet! (a; b valós szám, ab 0)! a b ab ab ab ( a ) a ab I. Összesen: pont ) Egy mértani sorozat második eleme 3, hatodik eleme.

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

G Y A K O R L Ó F E L A D A T O K

G Y A K O R L Ó F E L A D A T O K Döntéselmélet G Y A K O R L Ó F E L A D A T O K Lineáris programozás I Egy vállalat kétféle terméket gyárt, az A és B termékeket. A következő adatok ismertek: A vállalat éves munkaóra-kapacitása 1440 óra,

Részletesebben

Szöveges feladatok és Egyenletek

Szöveges feladatok és Egyenletek Szöveges feladatok és Egyenletek Sok feladatot meg tudunk oldani következtetéssel, rajz segítségével és egyenlettel is. Vajon mikor érdemes egyenletet felírni? Van-e olyan eset, amikor nem tanácsos, vagy

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Táblázatkezelés Excel XP-vel. Tanmenet

Táblázatkezelés Excel XP-vel. Tanmenet Táblázatkezelés Excel XP-vel Tanmenet Táblázatkezelés Excel XP-vel TANMENET- Táblázatkezelés Excel XP-vel Témakörök Javasolt óraszám 1. Bevezetés az Excel XP használatába 3 tanóra (135 perc) 2. Munkafüzetek

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Matematika Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével. Formai kérések: Kérjük, hogy piros tollal

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK A SOLVER HASZNÁLATA

Számítógépes döntéstámogatás OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK A SOLVER HASZNÁLATA SZDT-04 p. 1/30 Számítógépes döntéstámogatás OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK A SOLVER HASZNÁLATA Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

Táblázatkezelés (Excel)

Táblázatkezelés (Excel) Táblázatkezelés (Excel) Tartalom felépítés kezelés egyéb lehetőségek hasznos kiegészítések Készítette: Bori Tamás 2 Felépítés I.: A program felépítése hagyományos MS GUI: menü eszköztár szabjuk testre!

Részletesebben

az Excel for Windows programban

az Excel for Windows programban az Excel for Windows táblázatkezelőblázatkezel programban Mit nevezünk nk képletnek? A táblt blázatkezelő programok nagy előnye, hogy meggyorsítj tják és könnyebbé teszik a felhasználó számára a számítási

Részletesebben