Leggyakrabban használt adatbányászási technikák. Vezetői információs rendszerek

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Leggyakrabban használt adatbányászási technikák. Vezetői információs rendszerek"

Átírás

1 Leggyakrabban használt adatbányászási technikák ADATBÁNYÁSZÁS II. 1. A társításelemzés társítási szabályok (asszociációs szabályok) feltárását jelenti. Azt vizsgájuk, hogy az adatbázis elemei között létezik-e összefüggés. A gyakori elemhalmazok és a köztük lévő összefüggések keresése a feladat. Ha létezik kapcsolat, akkor ez adatbányászási eszközökkel feltárható és a kapcsolat erőssége is jellemezhető. Széles körben alkalmazzák a kereskedelemben, a bevásárlókosár típusú elemzéseknél. 1

2 PL.: Egy adatbányászási elemzés során a következő társítási szabályt tárták fel: életkor( XY, év) és lakhely (XY, Észak Dunántúl) egyetemre jelentkezik (XY, SZE), (gyakoriság= 25%, bizonyosság=60%), ahol XY a személy azonosítója. Ez a szabály azt fejezi ki, hogy a vizsgált személyek (az adatbázisban levő rekordoknak) 25%-ára érvényes az életkorra és lakhelyre vonatkozó feltétel és 60 % a valószínűsége, hogy az életkorra és a lakhelyre megfogalmazott feltételeknek eleget tevő személyek a SZE-re jelentkeznek továbbtanulni. Társítási szabályok meghatározása A vásárlói kosár elemzésénél kérdés: A vásárlók mely árukat vásárolják együtt? Stratégia árucikkek egymás melletti elhelyezésére: Ha A termék vásárlása esetén B terméket is vásárolják 1. A és B termék egymás mellé helyezésével növelhető a B termék eladása. 2. A és B termék egymástól távoli elhelyezésével egyéb termékek vásárlása ösztönözhető. 2

3 TID transaction Identifier Vásárlói kosarak, tranzakciók Vásárolt termékek Termékek kódja Vásárolt termékek kódosan 1. tej, kenyér, csoki, bor tej a a,b,c,e 2. tej, csoki, vaj kenyér b a,c,d 3. kenyér, bor csoki c b,e 4. kenyér, csoki, bor vaj d bor e b,c,e 5. tej, bor a,e Alapfogalmak 1. tej, kenyér, csoki,bor tej a 2. tej, csoki, vaj 3. kenyér, bor 4. kenyér, csoki, bor 5. tej, bor Legyen T a tranzakciók (az adatbázis rekordok) halmaza, E pedig az adatbázisban előforduló elemek halmaza. (Példánkban T öt elemű, az E pedig E={a,b,c,d,e}.) Az E részhalmazait elemhalmazoknak, ha k elemet tartalmaz, akkor k-elemhalmaznak nevezzük. Az elemhalmaz előfordulási gyakorisága azoknak a tranzakcióknak a száma, amelyek tartalmazzák az elemhalmazt. kenyér b csoki c vaj d bor e 3

4 Tekintsük az A={b,e}={kenyér,bor} 2-elemhalmazt. 1. tej, kenyér, csoki,bor tej a 2. tej, csoki, vaj kenyér b 3. kenyér, bor csoki c 4. kenyér, csoki, bor vaj d 5. tej, bor bor e A gyakorisága 3 (60%), mert az első, harmadik és negyedik tranzakció is tartalmazza a kenyér és bor elemeket. Gyakran százalékos formában használják a gyakoriságot, azaz az előfordulás és a tranzakciók számának hányadosaként. A gyakoriság tehát az A elemhalmaz előfordulásának P(A) valószínűsége. A gyakorisága? Az A elemhalmazt gyakorinak nevezzük, ha egy előre adott σ értékre fennáll, hogy gyakoriság(a) Az A és B halmazok közötti társítási szabály egy A B implikáció, ahol AE, BE és A B=. Társítási szabályok keresésekor arra vagyunk kíváncsiak, hogy a B elemhalmazt a tranzakciók hány százaléka tartalmazza úgy, hogy az A elemhalmazt is tartalmazza. 4

5 A keresett érték a P(BA) feltételes valószínűség, amelyet a társítási szabály bizonyosságának neveznek és a következőképpen számítható: gyakoriság ( A B) bizonyosság ( A B) gyakoriság ( A) A társítási szabályokra előírt küszöbértéket minimális bizonyosságnak nevezik. Pl. a tej kenyér szabály bizonyossága: kenyér, bor P( tej kenyér) 1 bizonyoság ( tej kenyér) 0.33(33%) P( tej) 3 tej, kenyér, csoki,bor tej, csoki, vaj kenyér, csoki, bor tej, bor Egy szabály akkor érvényes társítási szabály, ha egyszerre teljesíti a minimális gyakoriság és a minimális bizonyosság követelményét: gyakoriság( A B) és bizonyosság ( A B) A társítási eljárások meghatározásának két (3) lépése: 1. a gyakori elemhalmazok megkeresése, 2. ezekből az érvényes társítási szabályok előállítása, (3.) lehet a szabályok rangsorolása érdekességi mutatók alapján (érdektelenek, redundánsak kiszűrése). 5

6 1. Gyakori elemhalmazok keresése Gyakori elemhalmaz keresés: az asszociációs szabálykeresés hatékonyságát legjobban befolyásoló lépés. Az adatbázis elemeiből jelölteket állítunk: Pl. az adatbázis elemei legyenek: a,b,c,d. Jelöltek lehetnek: a,b,c,d, ab,ac,ad,bc,bd,cd, abc,abd,acd,bcd, abcd. Jelöltekről el kell dönteni gyakoriak-e? Lehetőség: minden jelölt vizsgálata nagy elemszám esetén nem járható út n elem esetén 2 n -1 jelölt van! Kérdés: hogyan lehet minél kevesebb jelöltet megvizsgálni úgy, hogy közben minden gyakorit megtaláljunk? A kereső algoritmusok az alábbiakat használják: -Ha egy elemhalmaz nem gyakori, akkor egy elemmel bővítve ismét nem gyakori elemhalmaz adódik anti-monoton tulajdonság. -Fordítva is igaz: egy gyakori elemhalmaz minden rész elemhalmaza is gyakori. ez az állítás az Apriori-elv. (A-priori előzetes, tapasztalat előtti) 6

7 {} {a} {b} {c} {d} {a,b} {a,c} {a,d} {b,c} {b,d} {c,d} {a,b,c} {a,b,d} {a,c,d} {b,c,d} {a,b,c,d} Az {a},{b},{c},{d} elemek keresési tere. Apriori-elv: Ha {b,c,d} gyakori, akkor az összes részelemhalmaza is gyakori. Elemhalmazokat feltáró algoritmusok jellemzői: Keresési módszer szerint (milyen a jelöltek keresési terének bejárási módja) : -szintenként haladó (breadth-first search):szintről szintre (a legkisebb méretű elemhalmaztól kiindulva) állítják elő az elemhalmazokat és határozzák meg azok gyakoriságát. {a},{b},{c},{d} {a,b},,{c,d} -mélységben haladó(depth-first search): mélységben mindig egy elemet az előzőhöz adva haladnak. {a},{a,b},{a,b,c},{a,b,c,d},{a,b,d},{a,c},{a,c,d},{a,d},{b}, {b,c} {b,c,d},{b,d},{c,d},{d} 7

8 Apriori- algoritmus: Szintenként haladó módszer. (a kisebb méretű elemhalmaztól a legnagyobb méretűig haladva határozza meg a gyakori elemhalmazokat.) - először a gyakori 1-elemhalmazokat kell megkeresni (L 1 halmaz), - L 1 -t használva következik L 2 (gyakori 2-elemhalmazok összessége) meghatározása, - L 2 segítségével L 3 meghatározása, - és így tovább, amíg már nem található újabb gyakori k-elemhalmaz. Minden lépésben két feladat van: a jelölt generálás és a gyakoriság ellenőrzése. A gyakoriságot nem teljesítő elemhalmazokat nem vizsgáljuk tovább. Tranzakció Jelöltek Gyak. a,b,c,e {a} 0,60 a,c,d {b} 0,60 b,e {c} 0,60 b,c,e {d} 0,20 a,e {e} 0,80 Az algoritmus 30 %-os gyakorisági küszöbbel Gyakori Gyak. {a} 0,60 {b} 0,60 {c} 0,60 {e} 0,80 8

9 Gyakori elemhalmazokból jelölt állítás: A gyakori k-elemhalmazokból a jelölt k+1-elemhalmazok illesztéssel határozhatók meg. Két gyakori k-elemhalmaz összeilleszthető, ha lexikografikusan rendezett első k-1 elemük megegyezik és az utolsó különbözik. Pl. ha {b,c,e} és {b,c,d} gyakori elemhalmazok lennének, mivel összeilleszthetők, az összeillesztés után az új jelölt a {b,c,d,e} 4-elemhalmaz lenne. Az algoritmus véget ér, ha nem lehet új jelöltet állítani, vagy a vizsgált jelöltek közül egyik sem éri el az adott gyakorisági küszöböt. Minden lépésben két feladat van: a jelölt generálás és a gyakoriság ellenőrzése. A gyakoriságot nem teljesítő elemhalmazokat nem vizsgáljuk tovább. Gyakori termékek kódosan a,b,c,e a,c,d b,e b,c,e a,e Gyak. {a} 0,60 {b} 0,60 {c} 0,60 {e} 0,80 Jelöltek Gyak. {a,b} 0,20 {a,c} 0,40 {a,e} 0,40 {b,c} 0,40 {b,e} 0,60 {c,e} 0,40 30 %-os gyakorisági küszöbbel Gyakori Gyak. {a,c} 0,40 {a,e} 0,40 {b,c} 0,40 {b,e} 0,60 {c,e} 0,40 9

10 Minden lépésben két feladat van: a jelölt generálás és a gyakoriság ellenőrzése. A gyakoriságot nem teljesítő elemhalmazokat nem vizsgáljuk tovább. Gyakori termékek kódosan a,b,c,e a,c,d b,e b,c,e a,e Gyak. {a,c} 0,40 {a,e} 0,40 {b,c} 0,40 {b,e} 0,60 {c,e} 0,40 Jelöltek Gyak. {a,c,e} 0,20 {b,c,e} 0,40 30 %-os gyakorisági küszöbbel Vége az algoritmusnak: nem állítható újabb jelölt! Gyakori Gyak. {b,c,e} 0,40 2. Társítási szabályok generálása gyakori elemhalmazokból Az érvényes társítási szabályok előállítása két lépésben történik. a. Minden gyakori Z elemhalmazt fel kell bontani az összes lehetséges X,Y, két diszjunkt és nem üres halmaz párjára, ahol X Z (a szabályfeltétele), Y = Z \ X ( a szabály következménye). Minden gyakori k-elemhalmazt 2 k -2 diszjunkt, nem üres párra lehet bontani. 10

11 gyakoriság ( A B) bizonyosság ( A B) gyakoriság ( A) b. A kapott X,Y halmaz párok közül azok lesznek érvényesek, amelyek teljesítik a minimális bizonyossági követelményt. (Már csak ezt kell vizsgálni, mert a gyakori elemhalmazokra fenn áll a gyakorisági követelmény.) Példánkban Z= {b,c,e}. Lehetséges asszociációs szabályok száma: 2 3-2=6. {b,c}{e} {b,e}{c} {c,e}{b} {b}{c,e} {c}{b,e} {e}{b,c} bizonyosság: 2/2 100% bizonyosság: 2/3 66% bizonyosság: 2/2 100% bizonyosság: 2/3 66% bizonyosság: 2/3 66% bizonyosság: 2/4 50% termékek kódosan a,b,c,e a,c,d b,e b,c,e Ha 70% a bizonyossági küszöb, akkor csak az első és a harmadik szabály érvényes, azaz {kenyér, csoki} {bor} és {csoki,bor}{kenyér}. a,e 11

12 Ha a vizsgált elemhalmaz elég nagy az eljárás nehézkes. 100 elemű halmaz esetén szabály bizonyosságát kell kiszámítani. Anti-monoton tulajdonság felhasználása Csökkenti a vizsgálandó szabályok számát. Legyen a Z gyakori elemhalmazból generált két szabály X Z \ X és x Z \ x, ahol x X. Ha az X Z \ X szabály nem teljesíti a bizonyosság követelményét, akkor a x Z \ x szabály sem. {a,b,c,}=>{d} {a,b,d}=>{c} {a,c,d}=>{b} {b,c,d}=>{a} {a,b}=>{c,d} {a,c}=>{b,d} {b,c} =>{a,d} {c,d}=>{a,b} {a}=>{b,c,d} {b}=>{a,c,d} {a,b,c,d} {c}=>{a,b,d} {d}=>{a,b,c,} Szabályok generálása az anti-monoton tulajdoság alapján:ha az {a,b,c}=>{d} szabály nem érvényes, akkor a bekeretezetek sem érvényesek. 12

13 Érdekességi mutatók asszociációs szabályok kiválasztása Érdekességi mutatók szükségessége: a fenti szabály állítás (gyakoriság és bizonyosság alapján történő felállítás) korlátokkal, hibákkal rendelkezhet. 1. Túl sok asszociációs szabály esetén az érvényes szabályok többsége érdektelen. -a két küszöb szám alacsony sok érvényes,de nem érdekes szabály adódik, az érdekesek ezek között rejtve maradhatnak. -redundáns szabályok adódhatnak tej=>csoki :gyak.=6%, biz.=59% zsíros tej=>csoki :gyak.=3%, biz.=60% felesleges! 2. Gyakoriság és bizonyossági mutatók alapján előállított szabályok félrevezetők lehetnek: bizonyosságot feltételes valószínűséggel adunk meg következmény gyakorisága nincs figyelembe véve. Pl ember bor, tömény alkohol fogyasztási adatai: rendszeresen iszik bort 20%, töményt 80%, mindkettőt 15%. bor => tömény szabály bizonyossága: 75% bort fogyasztók 75 %-a rendszeres tömény fogyasztó. Vegyük észre: 80 % a töményt részesíti előnyben, tehát a bor fogyasztása csökkenti a tömény fogyasztását (80%-ról 75 %-ra). 75 % félrevezető! 13

14 Lift mutató asszociációs szabály függetlenségének vizsgálata (objektív mutató) Az asszociációs szabályok következményének gyakoriságát is figyelembe veszi: bizonyosság ( A B) Lift( A B) gyakoriság ( B) Példánkban a bor=>tömény szabály Lift mutatója: bizonyosság ( bor tömény) 0.75 Lift( bor tömény) gyakoriság ( tömény) 0.8 A kapott érték mutatja a negatív korrelációt bor fogyasztása negatívan befolyásolja a tömény fogyasztását. Leggyakrabban használt adatbányászási technikák 2. Csoportosítás (klaszterezés) segítségével az adatoknak csoportokba (klaszterekbe) sorolása történik úgy, hogy az egyes csoportokba egymáshoz hasonló elemek kerüljenek, az egyes csoportok viszont jelentősen különbözzenek egymástól. Az egy csoporthoz tartozó elemek esetén maximalizáljuk, a különböző csoportokhoz tartozó elemek esetében viszont minimalizáljuk a hasonlóságot. A feltárt csoportok lehetnek egymást kizáróak, de akár egymással átfedők is. 14

15 A klaszterezés tipikus példája: a piackutatás. Vásárlási szokások alapján lehetőleg homogén vásárlói csoportokat határoznak meg csoportok kereskedelmi célcsoportok jól használhatók a marketing tevékenység optimalizálása érdekében bizonyos reklám anyagot csak a megfelelő célcsoporthoz juttatnak el. Első tudományos alkalmazás: 1854-ben londoni kolera járványnál megbetegedéseket térképen bejelölve az előfordulások jó része a Broad Street kútjai köré estek vizsgálattal kimutatták a víz milyen baktériumot tartalmaz, mi okozza a fertőzést. Csoportosítási algoritmusokkal szembeni követelmények 1.Különböző adattípusok esetén is alkalmazhatók legyenek. Az algoritmusok egy része numerikus adattípusok klaszterezésére alkalmas. A megoldandó feladatok gyakran megkívánják egyéb adattípus (bináris, felsorolás típusú, ezek valamilyen keveréke) feldolgozását is. 2.Az algoritmus ugyanazokat a csoportokat hozza létre, ha más sorrendben kapja az adatrekordokat, és a zajos, hibás adatokat is kezelni tudja. 15

16 3. Nagy adathalmazokon is hatékonyan lehessen alkalmazni. 4. Dimenzionalitás: objektumokat jellemző nagy számú tulajdonság esetén is el tudják végezni a csoportosítást. 5. Korlátozások érvényesíthetősége:lehetőség legyen az előzetes ismeretek alapján adódott korlátozó feltételek megadására. 6. Az algoritmus minimális felhasználói közreműködést igényeljen: ne kelljen olyan paramétereket megadni, amelyeket csak becsülni lehet. 7. A végeredmény értelmezhető, áttekinthető és felhasználható formában legyen előállítva. Adatok hasonlósága, különbözősége A csoportokat, klasztereket úgy kell létrehozni, hogy a hasonló adatelemek, objektumok kerüljenek egy csoportba ezért szükség van az adatok hasonlóságát, vagy különbözőségét valamilyen mértékkel meghatározni. Legyen N a csoportosítandó objektumok száma, n az egyes objektumokat jellemző tulajdonság (attribútummal) száma. Ekkor N objektum esetén a teljes objektum halmaz megadható az N x n méretű adatmátrix segítségével: 16

17 x x xn x x x N 2 Az adatmátrix (mintamátrix) sorai az egyes objektumokat (adatmintákat) jelölik, tehát x i = [x i1,x i2,,x in ] i-edik objektumot jellemző vektor. Az adatmátrix oszlopai az objektumokra jellemző tulajdonságokat tartalmazzák. x x x 1n 2n Nn Különbözőségi mátrix (az algoritmusok jó része ezt használja a számítások során): N objektum esetén egy NxN méretű mátrix, amelyben az objektumok egymáshoz való viszonyára jellemző relatív érték (különbözőség) van tárolva d(i,j) 0 adja meg az i és j objektumok közötti különbözőséget. Ha i és j objektum nagyon hasonló, akkor d(i,j) közel van 0-hoz, és annál nagyobb lesz d(i,j) értéke minél jobban különböznek egymástól i és j. Mivel d(i,j)=d(j,i) és d(i,i)=0, ezért a különbözőségi mátrix a következő felépítésű lesz: 17

18 0 d(2,1) d(3,1) d( N,1) 0 d(3,2) d( N,2) 0 Hasonlósági mátrix - ha a hasonlósági értékekre van szükség azt is egy hasonló felépítésű mátrixban lehet megadni, de ott 1 áll a főátlóban, és minél kisebb d(i,j)értéke, annál jobban különböznek egymástól i és j objektumok. d( N, N 1), 0 Hasonlóság(közelség)/különbözőség számítása Különböző típusú attribútum értékek esetén más és más elvek alapján történik. Folytonos értékek esetén a közelséget leggyakrabban valamilyen távolsággal szokás megadni. (A távolság egy különbözőségi mérték.) Objektumokat n-dimenziós adatvektornak tekintve, az n-dimenziós térben legelterjedtebb távolság mértéket, az Euklideszi távolságot alkalmazzák. Standardizálás: Ha az egyes tulajdonságok értéke nem azonos skálán mozog a többivel, akkor ezek domináns szerepet játszhatnak célszerű azonos intervallum-skálára leképezni őket még a távolság számítása előtt. 18

19 Particionáló algoritmusok fő kérdései: 1. A k csoport szám meghatározása: általában a felhasználó feladata. Ha nem áll rendelkezésre megbízható érték, akkor szokás k különböző értékeire elvégezni a csoportosítást és a leginkább hasznosíthatónak látszó eredményt elfogadni. 2. Milyen kezdeti particióból induljon ki az algoritmus? Kezdeti csoport választás történhet véletlenszerűen, korábbi ismeret alapján, korábbi klaszterezés alapján. (szokás több kiindulási particióra futtatni az algoritmust, ésa legjobb eredményt választani) Particionáló algoritmusok fő kérdései: 3. Az objektumok csoportba sorolása milyen mutató alapján történjen: Mutató választásának elve:egymástól jól elkülönülő csoportok keletkezzenek és a csoporton belül a hasonlóság nagy mértékű legyen csoportok közötti szeparáció és a csoportok homogenitásának vizsgálata. Leggyakrabban használt minőségi kritérium az ún. négyzetes hiba egy objektumnak a csoport középpontjától való távolságának a négyzete. 19

20 A k-átlag módszer 1. A k darab elem véletlenszerű kiválasztása, ezek lesznek kezdetben a k darab csoport középpontjai (átlagai). 2. A fennmaradó elemek mindegyikének hozzárendelése ahhoz a csoporthoz, amelyiknek a középpontjához a legközelebb van. (A négyzetes hiba a legkisebb.) 3. Meg kell határozni a kialakult klaszterek új középpontját (átlagát). 4. A 2. és 3. lépés ismétlése mindaddig, amíg a 2. lépésben már egyetlen elem sem kerül új csoportba. Más megállási kritérium is létezik:gyakran akkor fejeződik be az iteráció, ha a csoportosítás teljes négyzetes hibája (az egyes elemek négyzetes hibáinak összege) egy előírt értéknél kisebb változást mutat két egymás utáni lépésben. Az algoritmus hátránya: -érzékeny a kiindulási adatokra, -akkor ad jó eredményt, ha tömör, jól elkülönülő csoportokat kell meghatározni. -csak vektortérben jellemezhető adatok esetén használható. k-medoid algoritmus: már képes tetszőleges tulajdonságokkal rendelkező adatokat használni 20

21 Példa: Legyenek a,b,c,d,e,f és g csoportosítandó objektumok, melyeket V 1 ésv 2 folytonos értékű változóval jellemezhetünk. Obj. V 1 V 2 a 1 1 b c d e f g 5 6 Lépések: k=2 legyen. 1. Két objektum választása csoport központnak. Ne véletlenül egy mástól legtávolabbi pontokat ezek a és g. 2. A fent maradó objektumok a és g objektumtól való távolságának számítása. Objektumok távolsága a kezdő centrumoktól: Obj. Táv. a- tól Táv. g-tól b c d e f Lépések: 4. Minden elemet a hozzá legközelebbi centroidhoz rendelünk C 1 ={A={a,b,c},B={d,e,f,g}} 5. Az A és B csoportok új középpontjának számolása: c A1 =(( )/3 ; ( )/3)=(1.5 ;1.6) c B1 =(( )/4;( )/4)=(4.1;4.9) 6. Esetleges átsoroláshoz újra számolni az objektumok c A1 -től és c B1 -től való távolságát. 21

22 Objektumok távolsága a C 1 csoportosítás középpontjaitól. Obj. Táv. c A1 -től Táv. c B1 -től a b c d e f Nem kellett egyik objekumot sem másik csoportba áttenni vége az algoritmusnak! Csoportosítás teljes négyzetes hibája (az egyes adatpontok négyzetes hibáinak összege): E(C)= 14.69; E(C 1 )=4.78. Jobb eredmény keresése: - algoritmus lefuttatása véletlenszerűen választott kiinduló csoportokkal, -minden futtatásnál kiszámítjuk a csoportosítás teljes négyzetes hibáját, -a legkisebb négyzetes hibaösszeget szolgáltató eredményt fogadjuk el optimálisnak. g

23 Hierarchikus módszerek Típusai: az egyesítő és a felosztó módszerek. Az egyesítő módszerek általános elve az, hogy kezdetben minden objektumot külön csoportban helyeznek el, majd lépésenként egyesítik az egymáshoz legközelebbi csoportokat (minden lépésben csak egy egyesítés történik). Addig folytatódik az egyesítés, amíg minden objektum egy csoportba kerül. A felosztó módszer ennek a fordítottja, ott kezdetben minden objektum egy csoportban van, amelyet lépésenként újabb csoportokra bontunk mindaddig, amíg minden elem külön csoportba nem kerül. Algoritmus megállítása: Általában a felhasználót nem a teljes hierarchia érdekli, hanem annak csak egy szelete az algoritmus futása tetszőleges szinten megállítható. Klaszterek száma alapján történő megállítás: erős felhasználói behatás érvényesül, nem feltétlenül optimális az eredmény. Távolsági érték alapján történő megállítás:akkor ér véget az algoritmus, amikor a távolság az egyes csoportok között adott d értéknél nem kisebb. Ezek az algoritmusok általában hasonlósági mátrixok alapján dolgoznak. Előnyük, hogy tetszőleges attribútumok esetén használhatók. 23

24 5 Leggyakrabban használt adatbányászási technikák a b c d e Hierarchikus csoportosítás dendogramja. 3. Az osztályozás jellemzője, hogy egy adott (kiválasztott) ismérv (osztálycimke) alapján akarjuk az adatbázis elemeit (rekordjait) megkülönböztetni, osztályokba sorolni. Osztálycímke csak olyan ismérv lehet, ami véges számú különböző értéket vehet fel ez azt jelenti, hogy ismert hány osztály létezik. Osztályozás jelenségek leírására és előrejelzésre is használható. 24

25 Cél minden esetben olyan szabály felállítása, amelynek segítségével a legpontosabban lehet szeparálni az adatokat a megfelelő osztályba. Az osztályozást gyakran alkalmazzák pl. pénzintézeti vizsgálatoknál (ügyfelek hitelképességének megadása, biztosítási kockázatbecslés), orvosi alkalmazásoknál. Például egy pénzintézet ügyfeleit hitelképessége szerint szeretné osztályozni jó, közepes és gyenge minősítésű osztályokba. Az osztályba sorolás alapján jellemezni lehet az egyes csoportokba tartozó ügyfeleket, és ezek a- lapján a pénzintézet egy új ügyfél hitelkérelméből azt is el tudja dönteni (előrejelzés), hogy hitel visszafizetés szempontjából jó ügyfél lesz-e. Az osztályozás lépései Az osztályozási módszerek alapvetően a következő két lépésből állnak: Első lépés: az osztályozási szabály generálása (modellkészítés) és a modell pontosságának ellenőrzése. Második lépés: a modell felhasználása új adatminta ismeretlen osztálycímkéjének meghatározására. 25

26 1. Első lépés részei: - Osztálycímke meghatározása: kiválasztunk egy attribútumot, amelynek értékei szerint osztályozni akarjuk adatainkat. Alapvető feltételezés: a többi attribútum függ az osztálycímke attribútumtól- ha nem így lenne, akkor az új minta ismeretlen osztálycímkéjét nem tudnánk előrejelezni. - A modell elkészítéséhez tanuló minta felhasználása: a rendelkezésre álló adatok olyan részhalmazát vesszük, ahol minden rekord esetén ismert az osztálycímke értéke. 1. Első lépés részei: - Osztályozási algoritmus választás, amely segítségével a tanuló minták függvényében osztályozási modellt készítése következik. - A kapott modell alapján osztályozási szabályok adódnak. Osztályozási szabály: ha akkor típusú szabályok. Osztályozási címke értékét határozzuk meg a többi attribútum függvényében. Pl. ha valaki 40 éven felüli és magas a jövedelme, akkor valószínű nem lesz adócsaló. 26

27 1. Első lépés részei: - A modell ellenőrzése: teszt minták ismert osztálycímke értékkel rendelkező rekordok - segítségével ellenőrizzük a modell pontosságát. ( Az osztályozási modell az egyes mintákat jó osztályba sorolja-e, ill. milyen arányban tudja jó osztályba sorolni.) -Behangolt modell elkészítése: iterációs folyamat, amikor cél lépésről lépésre növeljük a modell pontosságát. Ismert módszerek vannak a tanuló és teszt minták kiválasztására. Ellenőrző minta Osztálycímke, tanuló minták választása Algoritmus-választás Osztályozási szabály meghatározása Pontosság megfelelő? igen Helyes szabály(ok), behangolt modell nem Az első lépés folyamata 27

28 2. Második lépés részei: A második lépés a kapott modell, osztályozási szabály előrejelzésre való használata. Ez új adatminták esetén a minta ismeretlen osztálycímkéjének meghatározását jelenti a többi, ismert attribútum értékének függvényében. Osztályozás segítségével csak diszkrét érték előrejelzése lehetséges (az osztálycímke diszkrét értéke miatt), ezért folytonos érték előrebecslésére más módszert, valamilyen regressziós módszert kell használni. Osztályozás döntési fa segítségével A döntési fa egy fa formájú folyamatábra, az osztályozási feladatok esetében a leggyakrabban alkalmazott eszköz. Felépítése: fa gyökerétől csomópontokon keresztül jutunk el a fa leveléig. Minden csomóponthoz egy attribútumra vonatkozó kérdés tartozik. A kérdésekre adott válaszok segítségével a fa valamelyik leveléhez jutunk, amelyek az egyes osztályok címkéit tartalmazzák. 28

29 A döntési fa egy szabálybázis (döntési fából kinyerhető szabályok összessége). Használata: A fa mindegyik szabályát a fa gyökeréből indulva, egy levél felé haladó útvonal alapján lehet előállítani. A ha-akkor típusú szabály feltételi részét az útvonalba eső csomópontokhoz tartozó feltételek ÉS művelettel való összekapcsolásával kapjuk. A szabály kimenetelét az útvonal végén levő levél adja meg. igen 20 és <30 tanuló? nem életkor? 30 és <45 IGEN igen 45 városban lakik? nem IGEN NEM IGEN NEM A fenti döntési fa egy kereskedelmi cég eladásai alapján azt tudja megbecsülni, hogy egy vásárló vesz, vagy nem vesz számítógépet a döntési fáról öt szabály olvasható le (öt levél található rajta). 29

30 igen 20 és <30 tanuló? nem életkor? 30 és <45 IGEN 45 városban lakik? igen nem IGEN NEM IGEN NEM Leolvasható szabályok pl. Aki 30 év alatti és még tanul, az vesz számítógépet (szüksége van rá). aki idősebb 45 évesnél és nem városban lakik, nem vesz számítógépet (nem fogékony az új dolgokra). Előny:könnyű az osztályozási szabályok kiolvasása és alkalmazása. Döntési fák elkészítése: A fa konstruálása: -Kezdetben minden minta a fa gyökeréhez tartozik. -Minden lépésben egy kiválasztott attribútum alapján elágazásokat (csomópontokat) készítünk annyit, ahány diszkrét értéke van az attribútumnak. Olyan kérdéseket teszünk fel a csomópontokban, hogy a csomóponthoz tartozó adatokat úgy ossza fel, hogy a következő szinten az adatok homogenitása növekedjen. -A mintákat ezek szerint szétosztjuk diszjunkt részhalmazokra. 30

31 A rekurziv felosztás befejeződik, ha -az egy csomóponthoz tartozó összes minta azonos osztályból való, -már nincs olyan attribútum ami alapján további bontás készíthető, -az összes adatpontot osztályba soroltuk, -a döntési fa mélysége elért egy előre megadott értéket. 2. Döntési fák tisztítása: döntési fák tükrözhetik a tanuló minták hibáit, zajait.nem megbízható ágak eltávolítása: előmetszés hamarabb leállítják a fa felépítését, utómetszésnél pedig a kész döntési fáról távolítják el a nem kívánatos részeket. Az is az algoritmus végét jelentheti, ha már az öszszes mintát figyelembe vettük. Ezekben az esetekben a csomópontból levélcsúcs lesz. A felosztás alapjául szolgáló attribútumnak kiválasztása: egyik lehetőség az információnyereség vizsgálata. Az ezt használó algoritmusok a döntési fa egyes csomópontjaiban minden lehetséges attribútumra meghatározzák az információnyereség értékét, és a maximális információnyereséggel rendelkezőt választják az adott csomóponthoz tartozónak 31

32 További lehetőségek: Különféle Bayes osztályozók, amelyek a valószínűségszámításból ismert Bayes-tételen alapulnak. A naiv Bayes-osztályozó segítségével megbecsülhető, hogy egy adott minta milyen valószínűséggel tartozik valamelyik osztályba. (A naiv jelző arra a naiv feltételezésre utal, hogy az attribútumok függetlenek egymástól.) Jól használható a minták és az attribútumok nagy számú eseténél, de még hiányos adatoknál is. k-legközelebbi szomszéd technika k-nn algoritmus (k-nearest neighbours) Egyszerű módszer, nem készít előre modellt a minták osztályozásához, eset alapú következtetést használ. A k-legközelebbi szomszéd technika feltételezi, hogy az adatok numerikusak, így minden tanuló mintát egy n dimenziós tér egy pontjának lehet tekinteni. Az alapötlet az, hogy meg kell keresni a k darab legközelebbi szomszédot, és az ismeretlen minta abba az osztályba fog tartozni, amely a k szomszéd között a leggyakoribb. 32

33 Legközelebbi k szomszéd megkeresése: N dimenziós térpontjai közötti távolság meghatározása Euklideszi- távolsággal Ha n>1, azaz több ismérv is van, akkor az értékeket normalizálni kell. Így elérhető, hogy az egyes attribútumok azonos súllyal számítsanak a távolságok kiszámításakor. Kor (év) Jövedelem (eft) Vásárol nem nem nem igen igen nem Egy kereskedelmi egység adatai egy adott termék vásárlására vonatkozóan. Új ügyfél adatai: Kor : 45 év Jövedelem : Ft. Előrejelzést szeretnénk adni, hogy az ügyfél megvásárolja-e a kérdéses terméket. k-nn technika segítségével végezzük az előrejelzést. 33

34 Kor (év) Jövedelem (eft) Vásárol nem nem nem igen igen nem Adatokat normalizálni kell [0,1] intervallumba hozni f(x) kor =(x-22)/(52-22) f(x) jövedelem =(x-87)/(132-87) Kor (év) Kor Jövedelem Jöv. norm. (eft) norm. Vásárol nem nem nem igen igen nem f(x) kor =(x-22)/(52-22) f(27) kor = (27-22)/(52-22) = 0.17 f(x) jövedelem =(x-87)/(132-87) f(92) jövedelem = (92-87)/(132-87) = 0.11 Új ügyfél adatai normalizálva: 45 év 0.77, jövedelem

35 Kor (év) Kor norm. Jövedele m (eft) Jöv. norm. Távolság Vásárol nem nem nem igen igen nem Kor (év) Kor norm. Jövedele m (eft) Jöv. norm. Távolság Vásárol nem nem nem igen igen nem Új ügyfél adatai (norm): 45 év 0.77, jövedelem K=1 esetén d min =d 5 új minta osztálycímkéje az 5. minta osztálycímkéje lesz új ügyfél is meg fogja venni a terméket. Új ügyfél adatai (norm): 45 év 0.77, jövedelem K=3 esetén d 3,d 5,d 6 a legkisebbek 2 nem vásárol és egy vásárol új minta osztálycímkéje a nem lesz új ügyfél nem fogja megvenni a terméket. 35

36 Adatbányászási szoftverek Termék Magyarországi forgalmazó URL Clementine SPSS Hungary Enterprise Miner Intelligent Miner SAS Institute IBM Magyarország ary Darwin Oracle Datascope Cygron MineSet Silicon Computers Kft. Scenario Axis Leggyakrabban használt adatbányászási technikák 4. A fejlődésanalízis az időben változó adatok időben változó viselkedési szabályosságait modellezi. A regresszió-vizsgálat célja egy előrejelzésre alkalmas függvény megadása, amelynek segítségével ismert értékekből más numerikus érték(ek)re lehet következtetni. Pl. jó példa erre, amikor értékpapír befektetési döntésekhez az értékpapírárak alakulásának előrejelzéséhez az értékpapírt kibocsátó társaságok gazdasági fejlődésének jövőbeli szabályszerűségeit tárják fel adatbányászási módszerekkel. 36

37 Az idősorok elemzése akkor kerül be az adatbányászási feladatok közé, amikor a hagyományos statisztikai idősor elemzési eszközök már nem alkalmazhatók a feladat bonyolultsága (túl sok változó) miatt. Döntéselőkészítő rendszerek 37

38 38

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM KLASSZIFIKÁCIÓ AZ ADATBÁNYÁSZATBAN

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM KLASSZIFIKÁCIÓ AZ ADATBÁNYÁSZATBAN EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM KLASSZIFIKÁCIÓ AZ ADATBÁNYÁSZATBAN SZAKDOLGOZAT Készítette: Bényász Melinda Matematika Bsc Matematikai elemz szakirány Témavezet : Kósa Balázs Informatikai Kar Információs

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Adatbányászati technikák (VISZM185) 2015 tavasz

Adatbányászati technikák (VISZM185) 2015 tavasz Adatbányászati technikák (VISZM185) 2015 tavasz Csima Judit BME, VIK, Számítástudományi és Információelméleti Tanszék 2015. február 11. Csima Judit Adatbányászati technikák (VISZM185) 2015 tavasz 1 / 27

Részletesebben

Bevezető Mi a statisztika? Mérés Feldolgozás Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés Feladatok. Statisztika I.

Bevezető Mi a statisztika? Mérés Feldolgozás Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés Feladatok. Statisztika I. Statisztika I. 1. előadás: A statisztika alapfogalmai Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Óbudai Egyetem A kurzusról A kurzus célja

Részletesebben

Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját!

Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Beadható feladatok 2006. december 4. 1. Feladatok 2006. szeptember 13-án kitűzött feladat: 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Adott I 1,..., I n [0, 1] intervallumokból szeretnénk

Részletesebben

INFORMATIKAI ALAPISMERETEK

INFORMATIKAI ALAPISMERETEK Informatikai alapismeretek középszint 1321 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. október 13. INFORMATIKAI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

Csicsman József-Sipos Szabó Eszter csicsman@calculus.hu, siposeszti@gmail.com. Matematikai alapok az adatbányászati szoftverek első megismeréséhez

Csicsman József-Sipos Szabó Eszter csicsman@calculus.hu, siposeszti@gmail.com. Matematikai alapok az adatbányászati szoftverek első megismeréséhez Csicsman József-Sipos Szabó Eszter csicsman@calculus.hu, siposeszti@gmail.com Matematikai alapok az adatbányászati szoftverek első megismeréséhez 1.1 A statisztikai sokaság A statisztika a valóság számszerű

Részletesebben

A hierarchikus adatbázis struktúra jellemzői

A hierarchikus adatbázis struktúra jellemzői A hierarchikus adatbázis struktúra jellemzői Az első adatbázis-kezelő rendszerek a hierarchikus modellen alapultak. Ennek az volt a magyarázata, hogy az élet sok területén első közelítésben elég jól lehet

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 2.

Matematikai statisztikai elemzések 2. Matematikai statisztikai elemzések 2. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek. A szórás és szóródás Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 2.: Helyzetmutatók, átlagok, Prof. Dr. Závoti,

Részletesebben

Minőségérték. A modellezés céljának meghat. Rendszer elemzés. Módszer kiválasztása. Modell megfelelőség elemzés. Működés szimuláció

Minőségérték. A modellezés céljának meghat. Rendszer elemzés. Módszer kiválasztása. Modell megfelelőség elemzés. Működés szimuláció Minőségérték. Műszaki minőségérték növelésére alkalmas módszerek: Cél: a termék teljes életciklusa során az előre látható, vagy feltételezett követelmények, teljes körű és kiegyensúlyozott kielégítése.

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 6. MA3-6 modul. A statisztika alapfogalmai

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 6. MA3-6 modul. A statisztika alapfogalmai Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 6. MA3-6 modul A statisztika alapfogalmai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999.

Részletesebben

TERMÉK FEJLESZTÉS PANDUR BÉLA TERMÉK TERVEZÉSE

TERMÉK FEJLESZTÉS PANDUR BÉLA TERMÉK TERVEZÉSE TERMÉK TERVEZÉSE A termék fogalma: Tevékenységek, vagy folyamatok eredménye /folyamat szemlélet /. (Minden terméknek értelmezhető, amely gazdasági potenciált közvetít /közgazdász szemlélet /.) Az ISO 8402

Részletesebben

NYILVÁNOS KÖNYVTÁRI KATALÓGUSOK

NYILVÁNOS KÖNYVTÁRI KATALÓGUSOK NYILVÁNOS KÖNYVTÁRI KATALÓGUSOK A bibliográfiák rendszerező jegyzékek, amelyek a dokumentumokról készült leírásokat, valamilyen nézőpont vagy elv alapján egységben láttatják, értelmezik, visszakereshetővé

Részletesebben

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk).

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk). Gyakorlatok Din 1 Jelölje P (n) azt a számot, ahányféleképpen mehetünk le egy n lépcsőfokból álló lépcsőn a következő mozgáselemek egy sorozatával (zárójelben, hogy mennyit mozgunk az adott elemmel): lépés

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 7. MA3-7 modul. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 7. MA3-7 modul. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 7. MA3-7 modul Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

Ittfoglalomösszea legfontosabbtudnivalókat, részleteka honlapon, illetvea gyakorlatvezetőtől is kaptok információkat.

Ittfoglalomösszea legfontosabbtudnivalókat, részleteka honlapon, illetvea gyakorlatvezetőtől is kaptok információkat. 1 Ittfoglalomösszea legfontosabbtudnivalókat, részleteka honlapon, illetvea gyakorlatvezetőtől is kaptok információkat. A statisztika tanulásához a legtöbb infomrációkat az előadásokon és számítógépes

Részletesebben

ADATBÁZISKEZELÉS ADATBÁZIS

ADATBÁZISKEZELÉS ADATBÁZIS ADATBÁZISKEZELÉS 1 ADATBÁZIS Az adatbázis adott (meghatározott) témakörre vagy célra vonatkozó adatok gyűjteménye. - Pl. A megrendelések nyomon követése kereskedelemben. Könyvek nyilvántartása egy könyvtárban.

Részletesebben

ADATBÁZIS-KEZELÉS ALAPOK I.

ADATBÁZIS-KEZELÉS ALAPOK I. ADATBÁZIS-KEZELÉS ALAPOK I. AZ ADATBÁZIS FOGALMA Az adatbázis tágabb értelemben egy olyan adathalmaz, amelynek elemei egy meghatározott tulajdonságuk alapján összetartozónak tekinthetők. Az adatbázis-kezelőknek

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Fogalomhálók alkalmazása osztályfelbontási problémákra PhD értekezés

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Fogalomhálók alkalmazása osztályfelbontási problémákra PhD értekezés Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Fogalomhálók alkalmazása osztályfelbontási problémákra PhD értekezés Készítette: Körei Attila okleveles matematikus Hatvany József Informatikai Tudományok

Részletesebben

A térinformatika t. Az informáci. ciós s rendszerek funkciói. Az adatok vizsgálata

A térinformatika t. Az informáci. ciós s rendszerek funkciói. Az adatok vizsgálata Térinformatika Elemzések 1. Az informáci ciós s rendszerek funkciói adatnyerés s (input) adatkezelés s (management) adatelemzés s (analysis) adatmegjelenítés s (presentation) Összeállította: Dr. Szűcs

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Megoldókulcs. Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6.

Megoldókulcs. Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6. Megoldókulcs Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6. 1. Az ABC háromszög mindhárom csúcsából merőlegeseket állítunk a többi csúcs külső és belső szögfelezőire. Igazoljuk, hogy az így

Részletesebben

Terület- és térségmarketing. /Elméleti jegyzet/

Terület- és térségmarketing. /Elméleti jegyzet/ Terület- és térségmarketing /Elméleti jegyzet/ Terület- és térségmarketing /Elméleti jegyzet/ Szerző: Nagyné Molnár Melinda Szent István Egyetem Szerkesztő: Nagyné Molnár Melinda Lektor: Szakály Zoltán

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. október 21. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. október 21. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc É RETTSÉGI VIZSGA 2008. október 21. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. október 21. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

Blonde. Szépségszalon, Szolárium, Spa, Fitness. Ügyviteli Rendszer. Funkcionális Specifikáció. Verzió 1.1

Blonde. Szépségszalon, Szolárium, Spa, Fitness. Ügyviteli Rendszer. Funkcionális Specifikáció. Verzió 1.1 Blonde Szépségszalon, Szolárium, Spa, Fitness Ügyviteli Rendszer Funkcionális Specifikáció Verzió 1.1 Blonde Funkcionális Specifikáció v1.1 2012.01.12 1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 1.1. A dokumentum

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar 2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor

Részletesebben

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát

Részletesebben

Készítette: Citynform Informatikai Zrt.

Készítette: Citynform Informatikai Zrt. Iratkezelő rendszer Felhasználói kézikönyv Iktatás és érkeztetés Készítette: Citynform Informatikai Zrt. Citynform Iratkezelő Rendszer iktatás és érkeztetés A Bevezetésnek kettős célja van: segédlet a

Részletesebben

FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE

FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE 1. Egy alkalmassági vizsgálat adatai szerint a vizsgált személyeken 0,05 valószínűséggel mozgásszervi és 0,03 valószínűséggel érzékszervi

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 1.

Matematikai statisztikai elemzések 1. Matematikai statisztikai elemzések 1. A statisztika alapfogalmai, feladatai, Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 1.: A statisztika alapfogalmai, feladatai, statisztika, osztályozás,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása:

Részletesebben

GAZDASÁGI STATISZTIKA

GAZDASÁGI STATISZTIKA GAZDASÁGI STATISZTIKA Dr. Kun István GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 1 TÉMAKÖRÖK A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI STATISZTIKAI SOROK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK

Részletesebben

Karbantartás. Az ESZR Karbantartás menüjébentudjuk elvégezni az alábbiakat:

Karbantartás. Az ESZR Karbantartás menüjébentudjuk elvégezni az alábbiakat: Karbantartás Az ESZR Karbantartás menüjébentudjuk elvégezni az alábbiakat: Jelszó módosítása: A felhasználói jelszavunkat módosíthatjuk ebben a menüpontban, a régi jelszavunk megadása után. Általánosan

Részletesebben

8. Mohó algoritmusok. 8.1. Egy esemény-kiválasztási probléma. Az esemény-kiválasztási probléma optimális részproblémák szerkezete

8. Mohó algoritmusok. 8.1. Egy esemény-kiválasztási probléma. Az esemény-kiválasztási probléma optimális részproblémák szerkezete 8. Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus gyakran olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Sok optimalizálási probléma esetén

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

ELEMI VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS és STATISZTIKAI MÓDSZEREK A FIZIKÁBAN

ELEMI VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS és STATISZTIKAI MÓDSZEREK A FIZIKÁBAN ELEMI VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS és STATISZTIKAI MÓDSZEREK A FIZIKÁBAN SINKOVICZ PÉTER (PhD hallgató) MTA WIGNER FIZIKAI KUTATÓKÖZPONT (2013) a TARTALOMJEGYZÉK A VALÓSÁG STATISZTIKAI LEKÉPEZÉSE 1. Alapfogalmak

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

Digitális technika VIMIAA01

Digitális technika VIMIAA01 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA01 Fehér Béla BME MIT Digitális Rendszerek Számítógépek

Részletesebben

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99 JUNIOR, 990-9. sz, els forduló. Adott két pozitív valós szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az összegük kisebb, mint a szorzatuk, akkor az összegük nagyobb 4-nél. (N. Vasziljev, 4 pont) 2. Egy szabályos háromszög

Részletesebben

Az MS Access adatbázis-kezelő program

Az MS Access adatbázis-kezelő program Az adatbázis-kezelő program A tananyagban az alapfogalmak és a tervezési megoldások megismerése után a gyakorlatban is elkészítünk (számítógépes) adatbázisokat. A számítógépes adatbázisok létrehozásához,

Részletesebben

Legrövidebb utat kereső algoritmusok. BFS (szélességi keresés)

Legrövidebb utat kereső algoritmusok. BFS (szélességi keresés) Legrövidebb utat kereső algoritmusok Adott gráfban szeretnénk egkeresni két pont között a legrövidebb utat (a két pont távolsága érdekel). Ezt úgy fogjuk tudni megtenni, hogy közben megkapjuk az összes

Részletesebben

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat

Részletesebben

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter 1. Adatállományok létrehozása, kezelése... 2 2. Leíró statisztikai eljárások... 3 3. Várható értékek (átlagok) vizsgálatára irányuló próbák... 5 4. Eloszlások vizsgálata...

Részletesebben

Egyszerű programozási tételek

Egyszerű programozási tételek Egyszerű programozási tételek Sorozatszámítás tétele Például az X tömbben kövek súlyát tároljuk. Ha ki kellene számolni az összsúlyt, akkor az S = f(s, X(i)) helyére S = S + X(i) kell írni. Az f0 tartalmazza

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

A Nemzeti Névtér megvalósításának néhány kérdése

A Nemzeti Névtér megvalósításának néhány kérdése A Nemzeti Névtér megvalósításának néhány kérdése A Nemzeti Névtér létrehozásának és működtetésének igazi értelme abban van, hogy a névterek közös archívumi használata révén átjárhatóvá tegyük a kulturális

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések

Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 2.4. Relációs algebra (áttekintés) 5.1.

Részletesebben

Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.)

Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.) Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.) Bizonytalanságkezelés: Az eddig vizsgáltakhoz képest teljesen más világ. A korábbi problémák nagy része logikai,

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 5.

Matematikai statisztikai elemzések 5. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzések. MSTE modul Kapcsolatvizsgálat: asszociáció vegyes kapcsolat korrelációszámítás. Varianciaanalízis

Részletesebben

Gyakorló feladatok ZH-ra

Gyakorló feladatok ZH-ra Algoritmuselmélet Schlotter Ildi 2011. április 6. ildi@cs.bme.hu Gyakorló feladatok ZH-ra Nagyságrendek 1. Egy algoritmusról tudjuk, hogy a lépésszáma O(n 2 ). Lehetséges-e, hogy (a) minden páros n-re

Részletesebben

3.1. Alapelvek. Miskolci Egyetem, Gyártástudományi Intézet, Prof. Dr. Dudás Illés

3.1. Alapelvek. Miskolci Egyetem, Gyártástudományi Intézet, Prof. Dr. Dudás Illés 3. A GYÁRTERVEZÉS ALAPJAI A gyártervezési folyamat bemutatását fontosnak tartottuk, mert a gyártórendszer-tervezés (amely folyamattervezés) része a gyártervezési feladatkörnek (objektumorientált tervezés),

Részletesebben

Legénytoll a láthatáron II.

Legénytoll a láthatáron II. DIÓSI PÁL Legénytoll a láthatáron II. A fiatalok helyzetérõl, problémáiról Feladatunkat szûkösen értelmeznénk, ha megkerülnénk annak vizsgálatát, hogy a megkérdezettek milyennek látják generációjuk körülményeit.

Részletesebben

LÉTESÍTMÉNYGAZDÁLKODÁS. Változáskezelés. Változás Pont Cím Oldal 2.0 2014.03.19 A teljes dokumentáció átírásra került 2.1 2014.07.14 8.

LÉTESÍTMÉNYGAZDÁLKODÁS. Változáskezelés. Változás Pont Cím Oldal 2.0 2014.03.19 A teljes dokumentáció átírásra került 2.1 2014.07.14 8. ESZKÖZIGÉNY Felhasználói dokumentáció verzió 2.2. Budapest, 2015. Változáskezelés Verzió Dátum Változás Pont Cím Oldal 2.0 2014.03.19 A teljes dokumentáció átírásra került 2.1 2014.07.14 8.3 Új, oszlopszerkesztésbe

Részletesebben

Statisztika gyakorlat

Statisztika gyakorlat Félévi követelményrendszer tatisztika gyakorlat. Gazdasági agrármérnök szak II. évolyam 007.0.. Heti óraszám: + Aláírás eltételei: az elıadásokon való részvétel nem kötelezı, de AJÁNLOTT! a gyakorlatokon

Részletesebben

KÁDÁR IVÁN BARTHA KAROLINA NAGY BEÁTA DR. FÁBIÁN ZSÓFIA. Térstatisztika a Központi Statisztikai Hivatalban

KÁDÁR IVÁN BARTHA KAROLINA NAGY BEÁTA DR. FÁBIÁN ZSÓFIA. Térstatisztika a Központi Statisztikai Hivatalban ISMERTETŐK KÁDÁR IVÁN BARTHA KAROLINA NAGY BEÁTA DR. FÁBIÁN ZSÓFIA Térstatisztika a Központi Statisztikai Hivatalban A KSH térstatisztikai rendszere A KSH térstatisztikai rendszerének célja, hogy a megfigyelt

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

p j p l = m ( p j ) 1

p j p l = m ( p j ) 1 Online algoritmusok Online problémáról beszélünk azokban az esetekben, ahol nem ismert az egész input, hanem az algoritmus az inputot részenként kapja meg, és a döntéseit a megkapott részletek alapján

Részletesebben

SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR RENDSZERELEMZÉS I.

SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR RENDSZERELEMZÉS I. SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR RENDSZERELEMZÉS I. Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás és a mű bővített, vagy rövidített változatának kiadási jogát is. A Szerző előzetes írásbeli

Részletesebben

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) 22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK?

Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK? Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK? A BGF KKFK Nemzetközi gazdálkodás és Kereskedelem és marketing szakjain a hallgatók tanrendjében statisztikai és matematikai

Részletesebben

INTELLIGENS ADATELEMZÉS

INTELLIGENS ADATELEMZÉS Írta: FOGARASSYNÉ VATHY ÁGNES STARKNÉ WERNER ÁGNES INTELLIGENS ADATELEMZÉS Egyetemi tananyag 2011 COPYRIGHT: 2011 2016, Dr. Fogarassyné Dr. Vathy Ágnes, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Matematika

Részletesebben

Informatikai tehetséggondozás:

Informatikai tehetséggondozás: Ég és Föld vonzásában a természet titkai Informatikai tehetséggondozás: Rendezések TÁMOP-4.2.3.-12/1/KONV-2012-0018 Az alapfeladat egy N elemű sorozat nagyság szerinti sorba rendezése. A sorozat elemei

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

2013.03.11. Az SPC alapjai. Az SPC alapjai SPC 5. 5. Az SPC (Statistic Process Control) módszer. Dr. Illés Balázs

2013.03.11. Az SPC alapjai. Az SPC alapjai SPC 5. 5. Az SPC (Statistic Process Control) módszer. Dr. Illés Balázs SPC 5 5. Az SPC (Statistic Process Control) módszer Dr. Illés Balázs BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ELEKTRONIKAI TECHNOLÓGIA TANSZÉK Az SPC alapjai SPC (Statistical Process Controll) =

Részletesebben

Adatbázisok I 2012.05.11. Adatmodellek komponensei. Adatbázis modellek típusai. Adatbázisrendszer-specifikus tervezés

Adatbázisok I 2012.05.11. Adatmodellek komponensei. Adatbázis modellek típusai. Adatbázisrendszer-specifikus tervezés Adatbázisok I Szemantikai adatmodellek Szendrői Etelka PTE-PMMK Rendszer és Szoftvertechnológiai Tanszék szendroi@pmmk.pte.hu Adatmodellek komponensei Adatmodell: matematikai formalizmus, mely a valóság

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

Kódolás, hibajavítás. Tervezte és készítette Géczy LászlL. szló 2002

Kódolás, hibajavítás. Tervezte és készítette Géczy LászlL. szló 2002 Kódolás, hibajavítás Tervezte és készítette Géczy LászlL szló 2002 Jelkapcsolat A jelkapcsolatban van a jelforrás, amely az üzenő, és a jelérzékelő (vevő, fogadó), amely az értesített. Jelforrás üzenet

Részletesebben

Növelhető-e a csőd-előrejelző modellek előre jelző képessége az új klasszifikációs módszerek nélkül?

Növelhető-e a csőd-előrejelző modellek előre jelző képessége az új klasszifikációs módszerek nélkül? Közgazdasági Szemle, LXI. évf., 2014. május (566 585. o.) Nyitrai Tamás Növelhető-e a csőd-előrejelző modellek előre jelző képessége az új klasszifikációs módszerek nélkül? A Bázel 2. tőkeegyezmény bevezetését

Részletesebben

Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Mérnökinformatikus szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar. 2015. május 27.

Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Mérnökinformatikus szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar. 2015. május 27. Név, felvételi azonosító, Neptun-kód: MI pont(45) : Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Közös alapképzéses záróvizsga mesterképzés felvételi vizsga Mérnökinformatikus szak BME Villamosmérnöki

Részletesebben

T Ö. Irodalom http://www V Á

T Ö. Irodalom http://www V Á T Ö BB V Á T O Z Ó TAT I Z T I K A Irodalom http://www www.szit.bme.hu/~kela/ind2 - Bolla-Krámli: tatisztikai következések elmélete, Typotex, 2005 - Vargha A.: Matematikai statisztika, Pólya, 2000 - Bryman,

Részletesebben

ÉVES BESZÁMOLÓ 2014.

ÉVES BESZÁMOLÓ 2014. Szécsény és Környéke Takarékszövetkezet 3170 Szécsény, Rákóczi út 71. Cg.: 12-02-000365 ÉVES BESZÁMOLÓ 2014. Mérleg Eredmény-kimutatás Kiegészítő melléklet Könyvvizsgálói jelentés AMENNYIBEN NEM JELEZZÜK,

Részletesebben

Közbeszerzési referens képzés Gazdasági és pénzügyi ismeretek modul 1. alkalom. A közgazdaságtan alapfogalmai Makro- és mikroökonómiai alapfogalmak

Közbeszerzési referens képzés Gazdasági és pénzügyi ismeretek modul 1. alkalom. A közgazdaságtan alapfogalmai Makro- és mikroökonómiai alapfogalmak Közbeszerzési referens képzés Gazdasági és pénzügyi ismeretek modul 1. alkalom A közgazdaságtan alapfogalmai Makro- és mikroökonómiai alapfogalmak ALAPKÉRDÉSEK TISZTÁZÁSA I. A gazdasági törvények lényege:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;

Részletesebben

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

Informatika. Középszintű érettségi vizsga témakörök. 1. Információs társadalom. 2. Informatikai alapismeretek hardver

Informatika. Középszintű érettségi vizsga témakörök. 1. Információs társadalom. 2. Informatikai alapismeretek hardver Informatika Középszintű érettségi vizsga témakörök 1. Információs társadalom 1.1. A kommunikáció 1.1.1. A kommunikáció általános modellje Ismerje a kommunikáció modelljét és tudjon gyakorlati példákat

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Orvosi diagnosztikai célú röntgenképfeldolgozás

Orvosi diagnosztikai célú röntgenképfeldolgozás Orvosi diagnosztikai célú röntgenképfeldolgozás Önálló labor zárójegyzkönyv Lasztovicza László VII. évf. vill. szakos hallgató 2002. Konzulens: dr. Pataki Béla docens Méréstechnika és Információs Rendszerek

Részletesebben

A Munka Törvénykönyv 2001. évi módosításának hatása a munkaügyi kapcsolatokra, a kollektív szerződésekre. MINTA Kollektív Szerződés. 2001.

A Munka Törvénykönyv 2001. évi módosításának hatása a munkaügyi kapcsolatokra, a kollektív szerződésekre. MINTA Kollektív Szerződés. 2001. A Munka Törvénykönyv 2001. évi módosításának hatása a munkaügyi kapcsolatokra, a kollektív szerződésekre és MINTA Kollektív Szerződés 2001. július 2 Bevezetés A Munka Törvénykönyve 2001. július 1.-ei módosítása

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

IGLU Software 4028 Debrecen, Rózsahegy u. 26. Tel.: 0620-537-33-21 E-mail: Iglu@t-online.hu www.iglu.hu MEDIALIB ÁLTALÁNOS KATALOGIZÁLÓ ÉS NYILVÁNTARTÓ IRODAI PROGRAM KEZELÉSI ÚTMUTATÓ (v 2.3.1-2003.10)

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

V. Bizonytalanságkezelés

V. Bizonytalanságkezelés Bizonytalanság forrásai V. Bizonytalanságkezelés Hiányzó adat mellett történő következtetés Mi lehet a páciens betegsége? Bizonytalan adatra épülő következtetés objektív Pontatlan műszerek pontatlan leolvasása:

Részletesebben

M4 TÁBLÁZATKEZELÉS ALAPJAI

M4 TÁBLÁZATKEZELÉS ALAPJAI Képletek Olyan egyenletek, amelyek a munkalapon szereplő értékekkel számításokat hajtanak végre. Jellemzői: - egyenlőségjellel = kezdődik Képlet részei: 1. Számtani műveleti jelek. 2. Állandók. 3. Hivatkozások.

Részletesebben

11. Matematikai statisztika

11. Matematikai statisztika 11. Matematikai statisztika 11.1. Alapfogalmak A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kisérlet eredménye. Ez véges sok, azonos eloszlású valószínűségi változó

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

Informatika-érettségi_emelt 11.-12. évfolyam Informatika

Informatika-érettségi_emelt 11.-12. évfolyam Informatika 11. évfolyam A tanév célja a középszintű érettségire való felkészítés, az emelt szintű érettségire való felkészülésnek a megalapozása. A középszintű érettségi elősegíti az eligazodást és a munkába állást

Részletesebben

A gyermeknevelés hatása a háztartások kiadási szerkezetére*

A gyermeknevelés hatása a háztartások kiadási szerkezetére* A gyermeknevelés hatása a háztartások kiadási szerkezetére* Neulinger Ágnes, a Budapesti Corvinus Egyetem Marketing és Média Intézetének docense E-mail: agnes.neulinger@unicorvinus.hu Radó Márta, a Budapesti

Részletesebben

2015/11/08 17:47 1/15 Fogyasztóvédelem

2015/11/08 17:47 1/15 Fogyasztóvédelem 2015/11/08 17:47 1/15 Fogyasztóvédelem < Áruismeret Fogyasztóvédelem A fogyasztóvédelem célterületei Az áruk és szolgáltatások biztonságának megteremtése A kereskedelmi gyakorlat harmonizációja A jelenlegi

Részletesebben