Legrövidebb utat kereső algoritmusok. BFS (szélességi keresés)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Legrövidebb utat kereső algoritmusok. BFS (szélességi keresés)"

Átírás

1 Legrövidebb utat kereső algoritmusok Adott gráfban szeretnénk egkeresni két pont között a legrövidebb utat (a két pont távolsága érdekel). Ezt úgy fogjuk tudni megtenni, hogy közben megkapjuk az összes pont egy adott ponttól vett távolságát, ezért erre az átalánosabb esetre keresünk algoritmust. Nem túl nehéz megadni egy ilyet, pl. keressük meg a gráfban az összes utat, válasszuk ki közülük azokat, amelyeknek a végpontjai épp megfelelők, ezek közül a legrövidebb nekünk tökéletes. Mindössze az a gond, hogy nagyon sokáig tart végigcsinálni, a zh-n pedig nem biztos, hogy sok szabadidőnk lesz. Ezért a későbbiekben különböző trükköket alkalmazunk a gyorsaság érdekében (de ragaszkodunk hozzá, hogy biztosan a legrövidebb utat kapjuk). Minden algoritmusnál fel kell tennünk, hogy a gráf összefüggő (különben két pont között esetleg nem is találnánk utat). Elvi lehetőség lenne arra, hogy ne csak egyszerű gráfokkal foglalkozzunk, de se a párhuzamos éleknek (őket helyettesíthetjük a minimumukkal) se a hurokéleknek nincs sok értelme. BFS (szélességi keresés) Alkalmazásánál feltételezzük, hogy a gráf összes éle egységnyi hosszú, egy út hosszát tehát kizárólag a benne szereplő élek száma határozza meg. Az algoritmus lényege: a kiindulópont távolsága (önmagától) legyen 0, a szomszédaié 1, ezek szomszédaié (ha még nem kaptak értéket) 2 stb. A kiindulópont legyen s. Egy adott ponthoz menet közben fel fogjuk jegyezni a nevét (pl. A), az értékét és hogy melyik pontból jutottunk oda (jele pl. q(a)). (Elég lenne csak azt feljegyezni, hogy melyik pontból értük el, én az áttekinthetőség kedvéért fogom most a többi adatot is jegyezni.) Lássunk egy példát: 4. gyakorlat 1. feladat a) Határozzuk meg (lépésenként) a BFS-algoritmussal a legrövidebb utat A-ból az összes csúcsba! Először készítek egy táblázatot: név érték d(i) q(i) A feladatban az s-pont az A, ennek adatait beírom a táblázatba. Az éppen vizsgált pontot szürke háttér jelzi: név A érték d(i) 0 q(i) -

2 Most a feladatom berakni A összes szomszédját, ilyen például B. név A B érték, d(i) 0 d(a)+1=1 q(i) - q(b)=a Azután C-t. név A B C érték, d(i) 0 d(a)+1=1 d(a)+1=1 q(i) - A A A-nak nincs több szomszédja, úgyhogy mostantól a következő oszlopot vizsgáljuk: név A B C érték, d(i) 0 d(a)+1=1 d(a)+1=1 q(i) - A A B olyan szomszédait kell beírni, amik még nincsenek benn, pl. D-t. név A B C D érték, d(i) 0 d(a)+1=1 d(a)+1=1 d(b)+1=2 q(i) - A A B (Itt a q már B-lesz, az érték pedig B értékénél eggyel nagyobb.) Aztán E-t. érték, d(i) 0 d(a)+1=1 d(a)+1=1 d(b)+1=2 d(b)+1=2 q(i) - A A B B Mostmár B összes szomszédja szerepel, úgyhogy lépünk a következőre. érték, d(i) 0 d(a)+1=1 d(a)+1=1 d(b)+1=2 d(b)+1=2 q(i) - A A B B A vizsgált csúcs minden szomszédja szerepel, tehát ismét lépünk a következőre. érték, d(i) 0 d(a)+1=1 d(a)+1=1 d(b)+1=2 d(b)+1=2 q(i) - A A B B

3 D-nek van egy szomszédja, ami még nem szerepel, ez pedig F. Őt berakjuk. érték, d(i) 0 d(a)+1=1 d(a)+1=1 d(b)+1=2 d(b)+1=2 d(d)+1=3 q(i) - A A B B D D-nek most már szerepel az összes szomszédja, tehát lépünk. érték, d(i) 0 d(a)+1=1 d(a)+1=1 d(b)+1=2 d(b)+1=2 d(d)+1=3 q(i) - A A B B D E-nek szerepel az összes szomszédja, tehát lépünk. érték, d(i) 0 d(a)+1=1 d(a)+1=1 d(b)+1=2 d(b)+1=2 d(d)+1=3 q(i) - A A B B D F-nek szerepel az összes szomszédja, tehát lépünk. érték, d(i) 0 d(a)+1=1 d(a)+1=1 d(b)+1=2 d(b)+1=2 d(d)+1=3 q(i) - A A B B D Nincs több vizsgálandó pont, tehát befejeződött az algoritmus. Eredmények: - Minden pont A-tól való távolsága szerepel az érték mezőben. - Bármelyik ponthoz meg tudjuk adni az utat a következő módon: kiválasztjuk a pontot, ami minket érdekel, pl. F. Először felírjuk a vizsgált pontot, majd a q-ját, ezután annak a q-ját és így tovább, egészen addig, amíg s-hez (itt A) nem érünk: F, D, B, A. Ezt megfordítva megvan a kívánt út: A, B, D, F, amiről tudjuk, hogy ennél rövidebb nem létezik. Megjegyzések: - Ha nem kerül be az összes csúcs, akkor a gráf nem volt összefüggő. Ettől függetlenül a gráf adott pontjából (s) elérhető pontokra a legrövidebb utakat kapjuk. - Irányított gráf esetén is alkalmazható, ilyenkor a legrövidebb irányított utakat kapjuk.

4 Élsúlyozott esetek Sajnos nincs mindig olyan szerencsénk, hogy az élek száma jelöli az utak hosszát. Előfordulhat, hogy egy élen nehezebb végigmenni, mint valamelyik másikon. Ekkor minden élhez egy számot rendelünk, ez lesz az adott él hossza (l(e)). Az út hossza az őt alkotó élek hosszának összege lesz. Ilyen esetben a korábbi algoritmusunk nyilvánvalóan tökéletesen alkalmatlan, hiszen az a legkevesebb élből álló utakat keresi. Kénytelenek vagyunk más eszközökhöz folyamodni. Az alapötlet a következő: A kiindulópont értéke legyen 0, a többié pedig végtelen. Kiválasztunk egy élt, ami mentén javítani szeretnénk. Ha az él kezdőpontjának plusz az élnek az értéke kisebb, mint a végpont értéke, akkor a végpont értékét lecserélhetjük erre az összegre. Ha már semelyik élen nem tudunk javítani, akkor készen vagyunk. A művészet itt az lesz, hogy milyen sorrendben válasszunk éleket úgy, hogy a legkevesebb javításra legyen szükség. Feltételezzük, hogy nincsen negatív hosszúságú él. Dijkstra algoritmusa Ebben az algoritmusban minden élen legfeljebb egyszer kell elvégezni a javítást. Maga az algoritmus a következő: Készítsünk két halmazt, S-t és T-t. Az S-be kerüljön s, T-be a többi pont. d(s) legyen 0, minden más pontra d(i) legyen végtelen. u 0 lesz a mindenkori kitüntetett pontunk, kezdetben ez legyen s. Végezzük el a javítást minden u 0 -ból valamelyik T-beli pontba vezető élre. A T-beli pontok közül azt, amelyiknek a legkisebb az értéke tegyük át S-be, és nevezzük most őt u 0 -nak. Mindezt addig ismételjük, amíg T ki nem ürül. Az algoritmus helyességének bizonyítása olvasható a könyvben. Én az alkalmazását szeretném egy példán bemutatni: 4. gyakorlat 1. feladat b) Határozzuk meg (lépésenként) Dijkstra algoritmusával a legrövidebb utat B-ből az összes csúcsba! S={B} T={A;C;D;E;F} u 0 =B érték d(i) 0 Az élek, amiken javítást kell végezni, az u0-ból (most B) valamelyik T-beli csúcsba vezetnek. Ilyenek: BA, BC, BE, BD élek. BA: l(e)=3, d(b)=0, d(a)= ha d(a)>l(e)+d(b) akkor d(a) legyen l(e)+d(b) tehát A értéke most 3 lesz, a javítás szükséges volt.

5 A többi élre hasonlóan: BC: javítás szükséges, d(c)=4 BE: javítás szükséges, d(e)=5 BD: javítás szükséges, d(d)=2 Így a táblázat: S={B} T={A;C;D;E;F} u 0 =B érték d(i) A T-beli pontok közül a legkisebb értéke a D-nek van, tehát átkerül az S-be, és mostantól őt figyeljük: S={B;D} T={A;C;E;F} u 0 =B érték d(i) A javításhoz szóbajövő élek: DC, DE, DF (DB nem, hiszen nem T-beli pontba vezet) DC: javítás szükséges, d(c)=3 [ d(c)>l(dc)+d(d), hiszen 4>1+2 ] DE: javítás szükséges, d(e)=3 [ d(e)>l(de)+d(d), hiszen 5>1+2 ] DF: javítás szükséges, d(f)=6 [ d(f)>l(df)+d(d), hiszen >4+2 ] Tehát a jelenlegi állás: S={B;D} T={A;C;E;F} u 0 =B Most több legkisebb közül választhatunk (ne feledjük, hogy csak a T-beli pontok jönnek szóba), mindegy, hogy melyket. Én például A-t. S={B;D;A} T={C;E;F} u 0 =B A javításhoz szóbajövő élek: AC (AB nem, hiszen B már az S-ben van) AC: javítás nem szükséges [ d(c)<l(ac)+d(a) ]

6 A táblázat tehát változatlan: S={B;D;A} T={C;E;F} u 0 =B Megint legkisebbet választunk, én mondjuk C-t. S={B;D;A;C} T={E;F} u 0 =B Szóbajövő élek: CE CE: javítás nem szükséges Így ismét nem változott a helyzet: S={B;D;A;C} T={E;F} u 0 =B Most már egyértelműen kell legkisebbet választanom, ez pedig E. S={B;D;A;C;E} T={F} u 0 =B Szóbajövő élek: EF EF: javítás szükséges, d(f)=5 [ d(f)>l(df)+d(e), hiszen 6>3+2 ] A táblázat: S={B;D;A;C;E} T={F} u 0 =B érték d(i) Most az utolsó F-et is átrakjuk S-be, és mivel T kiürült, megállunk. Eredmények: - Minden pontra megkaptuk a B-től vett távolságát

7 Megjegyzések - Irányított élekkel hasonlóan működik. - Amelyik pont értéke marad, az külön komponensben van (vagy irányított esetben nem érhető el irányított úton). Negatív súlyú élek Eddig feltételeztük, hogy minden él hosszúsága nemnegatív. Mi a helyzet akkor, ha megengedünk ilyen éleket is? Irányítatlan esetben ebből semi jó nem lesz, hiszen egy élen oda-vissza a végtelenségig csökkenthetnénk egy csúcs értékét. Irányított gráfoknál is előfordulhat ilyen, ha van bennük negatív összsúlyú irányított kör. Viszont ezek kizárásával értelmes a feladat. Ford algoritmusa Feltesszük, hogy nincs a gráfban negatív összsúlyú irányított kör. Az algoritmus alapja az előzőhöz hasonló, a kezdőpont értékül 0-t, minden más pont végtelent kap. A korábbihoz hasonló módon éleken fogunk javítani, azonban itt már nem vagyunk olyan szerencsések, hogy egy élen legfeljebb egyet kelljen javítanunk. Az élek között lerögzítünk egy sorrendet és minden ciklusban ebben a sorrendben próblunk javítani az éleken. Amikor már egy körben egyik élen sem tudtunk javítani, akkor végeztünk. Nézzünk egy konkrét példát: 4. gyakorlat 2. feladat Határozzuk meg (lépésenként) a Ford-algoritmussal a legrövidebb utat A- ból az összes csúcsba! Először a táblázat: érték d(i) 0 Most lerögzítjük az élek közötti sorrendet: A piros számok jelzik, hogy milyen sorban fogom végrehajtani a javításokat.

8 1. kör: 1 él: lehet javítani d(b)=1 érték d(i) él: lehet javítani d(c)=4 érték d(i) él: lehet javítani d(d)=1 érték d(i) él: lehet javítani d(e)=5 érték d(i) él: lehet javítani d(e)=2 érték d(i) él: nem lehet javítani 7 él: lehet javítani d(d)=-1 érték d(i) él: nem lehet javítani 9 él: lehet javítani d(e)=1 érték d(i) él: nem lehet javítani Az első körrel végeztünk, de mivel ebben a körben végeztünk javításokat (nem is keveset), kell tennünk még egy kört.

9 2. kör: 1 él: nem lehet javítani 2 él: nem lehet javítani 3 él: nem lehet javítani 4 él: nem lehet javítani 5 él: nem lehet javítani 6 él: nem lehet javítani 7 él: nem lehet javítani 8 él: nem lehet javítani 9 él: nem lehet javítani 10 él: nem lehet javítani Ebben a körben nem végeztünk javítást, tehát az agoritmusunk végzett. A végeredmény a legutóbbi táblázatból leolvasható. Most összesen csak két kört kellett tennünk, ezért joggal érezhetjük magunkat szerencsésnek, hiszen a szükséges ciklusok száma akár v+1 is lehet (v a csúcsok száma). Megjegyzések: - Ha az algoritmus nem ér véget v+1 ciklus alatt, akkor biztosak lehetünk abban, hogy van a gráfban negatív összsúlyú irányított kör (ilyenkor soha nem ér véget az algoritmus). - A szükséges ciklusok száma függhet az élek megszámozásától is.

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

V. Matematikai Tehetségnap 2014. október 11. IV. osztály

V. Matematikai Tehetségnap 2014. október 11. IV. osztály V. Matematikai Tehetségnap 014. október 11. IV. osztály Munkaid : 45 perc. Minden feladatnak pontosan egy helyes válasza van. Minden helyes válasz 1 pontot ér. Megválaszolatlanul hagyott kérdésre, illetve

Részletesebben

Spike Trade napló_1.1 használati útmutató

Spike Trade napló_1.1 használati útmutató 1 Spike Trade napló_1.1 használati útmutató 1 ÁLTALÁNOS ÁTTEKINTŐ A táblázat célja, kereskedéseink naplózása, rögzítése, melyek alapján statisztikát készíthetünk, szűrhetünk vagy a már meglévő rendszerünket

Részletesebben

a védelmi feladatokban részt vevő elektronikus hírközlési szolgáltatók kijelöléséről és felkészülési feladataik meghatározásáról

a védelmi feladatokban részt vevő elektronikus hírközlési szolgáltatók kijelöléséről és felkészülési feladataik meghatározásáról 1./2009. (.) MeHVM rendelet a védelmi feladatokban részt vevő elektronikus hírközlési szolgáltatók kijelöléséről és felkészülési feladataik meghatározásáról Az elektronikus hírközlésről szóló 2003. évi

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Az első oldalon 1-gyel kezdve egyesével beszámozták egy könyv összes oldalát. Hány oldalas ez a könyv, ha ehhez 55 számjegyet használtak fel? Az első 9 oldalhoz 9 számjegyet használtak, a további

Részletesebben

ö ö ö ö ő ö ö ő ö ő ő ő ö ö ő ő ö ö ő ő ű ű ő ő ö ű ő ö ö ő ö ő ö ú ő ö ű ű ő ő ö ű ő ö ö ű ű ő ö ű ő ö ö ű ű ű ű ű ű ű ö ű ő É ö ú ö ö ö ö Ő ö ö ö ö ő ö ö ő ö ö ő ö ö ő ű ö ö ö ö ö ö ő Ö ő ö ö ő ö ő ö

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;

Részletesebben

á ú é é ő é ő á ő ő á á ú ű é é ö ő á ő ú ő ő á é Ü Ü á é á é á é á é á ö ö á é ő á ú ű é é á é é ő á ö ö á á é é ú é é ú á á ő é é é ö ö á á é ű ő á é ű ő ú ő á á é á ú é é á é ö á á ö Ü á á é é ú á á

Részletesebben

É Ő É É Á É Á Ü Ú ű Á ü Á ú ü ú ü Á Á Ú Ü ü ű ú ü ú Ü ű Ü ü ü ű ü ü ű ű ü ü ü ü ü ü ú ü ü ú ű ü ü ü ü ü ü ú Ü ü ü Á Ü ú ü ú ü ü ü ü ü ü ú ü Ú ú ü ü ü ü ú ú ű ú ü ü ú ű ü ü É ú ü ü ü ü ú Á ü ü É Á ü ü ü

Részletesebben

Nagy hálózatok előfeldolgozása gyorsabb útvonalkereséshez

Nagy hálózatok előfeldolgozása gyorsabb útvonalkereséshez Nagy hálózatok előfeldolgozása gyorsabb útvonalkereséshez Szakdolgozat Írta: Góbor Dániel Matematika BSc. alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Király Zoltán, egyetemi docens Számítógéptudományi

Részletesebben

1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF

1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF 1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF háromszög egyenlőoldalú, stb ). A 10 pont közül ki kell választani

Részletesebben

ő ü ő ü ő ü ő Ő ü ő ú ő ű ü ú ő ű ű ű ú ű ő ő ő ő ő Ó Á Á ő ő ő ő ő ő ő ő Ó Ó ü ő ő ő ő ő ő ő ü ő ü ő ü ü ü ü ü ő Á ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ü ő ü ü ő ű ő ü ő ő ü ő ő ő ü ű ű ű ű ű ú ű ú ű ú ü É ü ő É ű ő ű

Részletesebben

Ü Ú Ú Á Á Ő É é ö é é é é é ü ö é é é é é é é é é é ö é ö ö ö é é é é é é ö é é é é ö é ű é é é ö é é é é éé ö é éö é é ö é é é é ö é ű é é é ö ö é é é é é ö é ö é é ö ö é ö é é é é é é ü é é ö é é é é

Részletesebben

83/2011. (VIII. 31.) VM rendelet. 1. Értelmező rendelkezések

83/2011. (VIII. 31.) VM rendelet. 1. Értelmező rendelkezések 83/2011. (VIII. 31.) VM rendelet az Európai Mezőgazdasági Garancia Alapból a borászati gépek, technológiai berendezések beszerzéséhez a 2011. évtől igényelhető támogatásról [Figyelem! Az itt elérhető módosításokkal

Részletesebben

ű ű ú ű ű ú ú Í É ú ú ű ú ű ű ű ű Í ű ú Ü ű ű ú ú ú ú ú ű ű Á Í Ú ú Í ú ű ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ű ú ű Ú ú ú Í ú ú Ü ű ű ű ú ű Í ú ú ű ű ű ű ű Í ú ű ű ű Í ű ú ú ű Á ú ú ú ű ú ú ú ú ú ű Í ú ú ú ű ű ű ű

Részletesebben

Új kötelezettségek személyes adatok megsértése esetére

Új kötelezettségek személyes adatok megsértése esetére Új kötelezettségek személyes adatok megsértése esetére Szerző: Dr. Halász Bálint ügyvéd 2013. szeptember 12. 2013. augusztus 25-én hatályba lépett az Európai Bizottság 611/2013/EU számú rendelete, amely

Részletesebben

Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját!

Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Beadható feladatok 2006. december 4. 1. Feladatok 2006. szeptember 13-án kitűzött feladat: 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Adott I 1,..., I n [0, 1] intervallumokból szeretnénk

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

Í Á É ő ő ő ú ú ő ő ő ő ő ő ő ő í ő ő ő ő ő ű í ő ű ő ú ő ű ő ő ő ő Á í í í ő ő ő ő í í ő í ü ő í ő í í í ő í ő í ő í ő ő í í ő ő ü ő í ő í ő ő ő ő í í í ő í ő ü í í ő ő ő ő ő í ü ű ő í í í ő í í ő ő ő

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

Á Á É É É ö É Ó ú Á ú Á Á Á Á ö Á ő ű ú ö ö ú ű ú É ő ö ú ú ű ö ű ő Ú Ú ú ő ö ö ő ö ö Á ö Á ö ú ű ö ö ö ö ö ö ö ö ö ő ö ö ö ö ő ö Á ö ő ö ö ő ú ú ö ö ő ö ö ö ö ú ö ú ö ő ú ö ö ö ö ö ú ö ú ú ö Ú ő ű ő ö

Részletesebben

Nagylók Község Helyi Építési Szabályzatának és Szabályozási Tervének megállapításáról (egységes szerkezetben)

Nagylók Község Helyi Építési Szabályzatának és Szabályozási Tervének megállapításáról (egységes szerkezetben) NAGYLÓK KÖZSÉG ÖNKORMÁNYZAT KÉPVISELŐ-TESTÜLETÉNEK 16/2006. (X. 30.) önkormányzati rendeletével, 20/2006. (XII. 20.) önkormányzati rendelettel és 18/2015.(XI.18.) önkormányzati rendelettel módosított 11/2006.

Részletesebben

a) a felnőttképzésről szóló 2013. évi LXXVII. törvény (a továbbiakban: Fktv.) szerinti felnőttképzést folytató intézményre,

a) a felnőttképzésről szóló 2013. évi LXXVII. törvény (a továbbiakban: Fktv.) szerinti felnőttképzést folytató intézményre, 58/2013. (XII. 13.) NGM rendelet a felnőttképzési minőségbiztosítási keretrendszerről, valamint a Felnőttképzési Szakértői Bizottság tagjairól, feladatairól és működésének részletes szabályairól 2013.12.14

Részletesebben

É ú ú ú ú ú ú ú ú ú É É ú ű ú ű ú Ú Ü ú ú ú ú ű ú ú ű ú ú ú ú ú ú ű ú ú ű Ü ű ű ú É É ű É ű É ú ú ú ű É ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ű ú ú ű Á ú É ű ű ú ú ú ú ű ű ű ú ű ú ú ú ú ú ú ű ú ú Ú ű ú ű ű ú ú ű Ü ú ű

Részletesebben

A PANNONPLAST Mûanyagipari Részvénytársaság ALAPSZABÁLYA

A PANNONPLAST Mûanyagipari Részvénytársaság ALAPSZABÁLYA A PANNONPLAST Mûanyagipari Részvénytársaság ALAPSZABÁLYA (a módosításokkal egységes szerkezetbe foglalva) I. A TÁRSASÁG CÉGNEVE ÉS SZÉKHELYE 1. A társaság neve: PANNONPLAST Mûanyagipari Részvénytársaság

Részletesebben

É ú ú Á É ú É ű Á Ú ú ú ú ű ú É ű ú ú ű ú ú ű ú ú ű ú ú ú ú ú ú ű ű ű ú Á Á ű É É ú ú ú ú ú ú ű Ü ű ű ű Ö Ú ú Ú ú ű ú ú ű ú ű ű ú ú Ö ű ú ú ú ű ű ű ű ú ú É É ű ű É É ú ú ű Á ú ú ú É Ú ű ú ú ű ú ú ú Ü ú

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602)

Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602) Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602) harmadik (2008. szeptember 15-i) előadásának jegyzete Készítette: Papp Tamás PATLACT.SZE KPM V. HEURISZTIKUS FÜGGVÉNYEK ELŐÁLLÍTÁSA Nagyon fontos

Részletesebben

ő Á ú ő ú ő ú ú ú ő ő ő ű ú ű ő ő ú ő ő ő ú Á ő ú ő ő ú ő ő É É ú ő ő Ú ő É ú ú ő ő ő ő ő É ő ő ú É ű ű ű ú ő ő É ő ű ő ő É ú É ú ő ő ű ú ű ő ő ú ú Ú ú Ü ő ű ú ő ű ő ő ú ő ő ő ő ú ő ő ú ú ő ú ő ú ű ű É

Részletesebben

Á ö ü ö ő ö ű ö ú ú ö ú ő ő Á ő ő ö ú ü ő ő ú ő ő ő ő ö ü ő ő ú ő ö ö ü ü ő ö ü ü ö ő ú ő ő ő ö ú ú ö ö ú ő ü ü Ü ő ö ő ű ü ö ú ú ú ö ő ö ő ö ú ö ű ő ő ö ő ö ü ö É É É É Ú É É É É É öö É É ő É ö É

Részletesebben

É Ő É é ö í é í é í í Ú é é é í í ő ö ö é É Ó É Á í é ő é í í í Í Í í í É É É í é é í Í é Íő é í é í é í í Í ú é é ű í í é í í Í ö ö ő é ö ö é é í Á ő é é é í é Í ö é é é é é é ö Í ö é é é í í é ö í í

Részletesebben

É Ú ú Á Ú Ú Á Á Ú ú ú ú Ú ú Á Ú Ü Ü ű ű ú ú ú ú Ü ú Ü Ú ú ű ú É ú Ü ű ú ú Ú É É Á Á Á Á Ü ú Á Á É Ú É ú Á Ü É Ü Ü Ü Ü Á Á ű ú ű ú Ü ű Á ú ű ű ú ű ű ű ú ű ű ű ű ú Ü É ű ú ű Ü ű ú ű Ü Ü Ü ú Ú ú ú ú ű ú ű

Részletesebben

Á ű Ú ÚÉ Á Á Ü Ü ű Ü Ü Ü Ú Ü Ü Ü É Ú Ü ű Ü Ü Ö ű ű Ü Ü Ü Ü Ü ű ű ű Ú ű ű Ú ű ű ű ű Á Ú É Á ű Á É Á Ú ű Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á ű Á Á Á Á Á É ű Ü ű Á ű ű ű Á ű Ú Ó Á Á ű Ú ű Ü ű Ü Á Á ű ű É

Részletesebben

ú ő ü ő ő ü ő ű ű ő ü ü ő ő Ü Á ő ü ő ő ü ő ő ü ő ú ő ő ő ü ő ő ő ő ő ő ü ő ü ő ő ű ű ő ü ő ő ő ü ő ü ő ű ő ü ő ő ő ő ü ü ü ő ő ű ú ü ü ő ő ő ő ü ü ő ő ő ü ő ő ő ő ű ő ú ő ő ü ő ő ü ő ő ő ű ő ő ű ü ü ő

Részletesebben

ö ü ö ú ú ö Á Ú ü ö ö ü ű É ú ü ü ű ö ö ö ö ö ö ö ö ű ú ü ö ü ü ű ö ö ö ö ö ö ö ü ö ű ű ú ö ü ö ö ö ű ö ű ö ö ü ú ü ö ü ö ü ü ö ö ö ö ö ü ö ű ü ö ö ű ö ö ö ö ü ú É ö ö ö ö ö ö ö ú ú ö ö ö ö ö ö ú ú ú ú

Részletesebben

É É É É É Ö Á Á É Ő ű ű ű Ü ű ű ű Ú Á ű Ö ű Ú Á Ú ű Ó Ú Ú Ú Ú ű Ú Ú ű É ű ű É É É ű É É Ü ű ű É Á ű Á Á Ü Á Ü É Ú Á Ú Ó Ü Ü Ú ű ű Ú Ü Ü ű Ú É Ö ű ű Ü Ó Á Ö Ö ű Ö É É ű ű É ű ű ű Ú ű Ö É Ó ű Ú Ú Ú É Ú Ú

Részletesebben

ó á á á á á ó á ó Á ö é á ó Ú á á á ó Á ö é á á á ó ó ó á á ó á ó Ú á é á ó ü é ü é á á á á ó é é á ú á ó á é ó á ó Ó é á ó é á ó ó á Ó Ö é á ó á ó é é é ü é ó á Ó é é é ó ó ó á ó é é ó á ü ó é á ó é é

Részletesebben

ő ő ő ü ő ő ő ő ő ő ő ű Ö ő Ö ő ő ő ő ő ő ő ő ü Ö ő ő ü É ő ő ü ő Ú üü ő ő Á Á É É Á ü Ú ő Ó ű ő É ő ű ő ő ő ő ő ű É Ö ű Ú Ö É ő ű ü ő ü É É É É É ő É ü ű ő ü űú ű ü ű Ú É ü ű É É É ő Ó ő ű Á ÚÚ ő ő É

Részletesebben

ú Á ö ü ö ú ű ü ü ö ö ű ö ö ö ü ö ü ö ű ü ö ú ú ü ü ü ú ö ö ö ű ű ü ú ű ü ö ö Á ö ü ű ö ö ü ö ü ö ö ü ö ö ü ö ö ö Á ü ú ö ö ü ö ö ö ú ö ü ö ö ú ú ü ö ű ö ö ö úö ö ö ö ö ö ű ö ú ö ö ö ü ü ö ú ö ö ú ö ö

Részletesebben

ű É ű Á Ü É É ű ű Ű ÓÓ Ü É Ü Ú Ú ű Ú Ö Ö Ü ű ű Ű Ú Ö Ü Ö Ú Ó Ó Á É Ú Ű Ú Ú Ú Ú Ú ű Ú Ű Ú ű ű Ú ű ű Ú Ú É Á Ú Ú É É ű ű ű Ú ű ű Ú ű Ú Ó É Ű Ó ű Ú ű ű ű Á ű ű Ú ű ű É ű ű ű ű Ó Ú Á Ú ű Á ű Á Ú Ó ű ű Á ű

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben

Á Ó Ö Á É É É É Ő ű Á Ó ű Ö ű ű ű Ó ű Ö Ú Ö Ú ű ű ű ű Ö ű ű ű ű ű Ü Á ű ű ű ű ű ű ű ű Ö Ó ű Ö ű ű Ü ű ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű Ö Ó ű ű ű ű ű Á Á ű É ű ű ű ű ű Ö ű ű ű ű ű Ó Ü Á É Ű ű ű ű ű Á ű ű ű Á É ű Ú Ó

Részletesebben

ú ú ű ú ú Ú É É Ó ű ű ü ú ü ű ü ú ú ü ü ü ú ü ú ü ü ü ü ú ű ü ü ú ű ü ü ü Á ű ű ú ű ü ü ú ű ü ű ú ü ü ü ú ű ü ü ü ű ú ü ú ü ü ü ű ű ú ü ú ű Ö ú ü ü ü ü ü ú ű Ö ü Ú É ú ú ü ü ü ü ü ü ü ü ü ú ü ú ü ú ü ü

Részletesebben

Ó Ú Ö Ú É Ö É Á ű ű ű ű ű ű ű ű Á ű Á Ú ű Ü ű ű Ü ű Ó ű ű Ú ű Ö Ö ű ű ű ű Á É Ó ű ű Ü Ö ű ű Ü Ú É ű ű ű ű É Ü Ü Ü É Ü Ü Ü Ü ű ű ű ű ű ű ű Ú É ű ű ű ű É Ü ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű Ö ű Ü ű ű ű ű É ű Ó ű ű É

Részletesebben

ö ű ö ö ö ö ü ö ö ü ö ö ö ö ö ö ű ö ü ú ö ö ö ö ű ü ü Ö ü ö ű ű ű ö ú Ü Á Á Á ö ö ú ü ú Ü ö ö ö ö ö ú Ü Ü ö ö Ü ö ü ö ú ö ü ö ü ü Ü ü ű ö ü ö Ü Ú Ü ü Ü ü Ü ú Ü ö ö ü ö ö ű ű ü ö ű Á ö ü ö ö ú ö Ü Á Ü Ő

Részletesebben

Ú ű Ú ű ű ű Á ű Ö Á ű ű ű ű ű ű Ö ű Á ű ű Á ű ű ű ű ű Á ű Ú Ü Ü ű ű Ü Ü Ö ű ű ű ű ű Ú Ü ű ű ű ű ű Ú Ó ű ű ű Á É ű ű ű Ű ű ű ű É Á Á Á Á Ó Ó ű Ü Ú Ú Ö Ú ű Ö Ő Ú Ú ű Ó Ő Ú Ö Ö Ő Ű É ű Ó É Á Á ű ű Ú Á É É

Részletesebben

É É Á É É ó ó ö ű ó ó ó ű ó ö ö ű ó ó ő ö ű ó ó ű ú ö ű ó ó ó ó ö ű ó ó ó ö ű ő ő ő ó ö ű ú ö ó ó ó ú ő ő ü ó ó ó ö ű ű ö ő ó ú ó ö ü ö ű ó ó ö ő ö ó ö ö ő ő ö ó ő ö ő ó ő ó ő ú ú ö ű ó ú ö ő ű ö ó ó ó

Részletesebben

ö Á É É ö ö Ö ö ű ö ő ö ő ö ú ü ö Ü ö ö ö ö ü ö ú ö ő ü ö Ú ü ü ö Ü ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ü ő ö ú ö ö ü ö ö ö ö ő ő ö ű ö ö ű ö ö ő Ü ö Ü ö ü Ü ö ö ö ú Ó ö ö ö ö ö ő ö ö ú ö ő ö ö ő ő ö ö ö ü ö ö É ö

Részletesebben

É Ó Ö Á ú Á ú ú ú ú Ó ú ú ú ú ű ú Á ÁÉ Á ű ű ú ú É ú É É ű ű É ű Ú ű Ü ú ű ú Ö Ú ű Ö Ö ú Ő ú ű Ö ú ú Ú Ó ú ú ű ú Ö Ú Ü Á Á Á É Ü ű Ü Ö É Á Ü Ó É Ö É ű Ü Á Á Á ú Ü Ö Á É Ü Á ú Ö Ö ú Ö Á ú É É Ö É Á Á Á

Részletesebben

Ú ő É ő ű ő ű Á É ő Ó Á Á ő ű ű Á ű Ú É ő É Ú Ö ő ő Á ő ő Á É É Á ő ő ő ő ő ő Á Ó Á É Ú Á Á Á ő Á Á Á Á Á É ő ő ű ő ő É ő ő Á Á Ó Ü Á É Á ő Á ő ő ő Á É Ü ő Á Á ő Ö ő ő Á É ő ő ű ő Ö Á Á Ú Á Á Á É É ő ű

Részletesebben

Á ú ő ú Ú ü Ö ú Á Ó ú ü ő ő ő ú Ö ú É ú ű ü É ü ú ő ő ő ú ú ü ü Ö Ö ú ő ő ű É ü ü ü ú ő ő ú ü ü ő ő ő ú ü ő Ö ű ő ü ő ü ő ő Á É ő ü ő ü ú ú ő ü ü ü ő ü ő Ó ü ü ü ü ú É ő ü ü ü ú ő ü Ó ü ü ő ú ő ő ü ü ú

Részletesebben

Megoldókulcs. Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6.

Megoldókulcs. Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6. Megoldókulcs Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6. 1. Az ABC háromszög mindhárom csúcsából merőlegeseket állítunk a többi csúcs külső és belső szögfelezőire. Igazoljuk, hogy az így

Részletesebben

Á Á ó ő ő ó Ő ó ó ó Ó Ó Ó ó Ó Ó Ó Ó ó ő ó ó Ő Ó Ó Ó Ó ó Ó Ó Ó Á Ó ó Ó ó Ó Ó Ó ó Ó ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó ó Ó ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó ó Á Ó ó ó Ő ó ó ó Ó ó Ú ó Ó Ó ó Ó Ó Ő ó Ó ó ó Ó ó Ó Ó Ó ó ó ó Ó ó ó ó Ó Ú Ó Ó ó ó ő ö Ó

Részletesebben

Á É ö ö ő ő ő Ú Ü ö ö ő ő ö ú ő ö ő ö ú ü ö Ü Ó ö ö ö ö ö ő ö ú ú ö ü Ü ö ö ö ö ö ö ő ö ö ő ö ü ő ö ő ü Ü Ó Ó ö ö ő Ü Ó ö ő ő ő ő Á ő ő Ü ő ö ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő É ü É ö ö É Ó ő ő ő ő Ü É ő Ó ő ő

Részletesebben

Árvainé Libor Ildikó Murátiné Szél Edit. Tanítói kézikönyv. tanmenetjavaslattal. Sokszínû matematika. 4

Árvainé Libor Ildikó Murátiné Szél Edit. Tanítói kézikönyv. tanmenetjavaslattal. Sokszínû matematika. 4 Árvainé Libor Ildikó Murátiné Szél Edit Tanítói kézikönyv tanmenetjavaslattal Sokszínû matematika. 4 Mozaik Kiadó - Szeged, 2007 Készítette: ÁRVAINÉ LIBOR ILDIKÓ szakvezetõ tanító MURÁTINÉ SZÉL EDIT szakvezetõ

Részletesebben

Ó Á É Ő É ő ő ő ó ó ó ó ó ő Ö ó ő ó ü ő ó ő ű ó ó ó ő ő ő ő ő ű ő ó ü ó ő ő ő ő ó ü ó ó ó ű ő ó ő ó ő ú ő ő ü ő ó ü ó ő ő ő ü ó ó ő ő ü ő ó ő ó ő ű ő ő ű ő ó ó ó ó ó ó ő ő ó ó ó ő ó ő ü ó ű ő ő Á ó ó Ó

Részletesebben

Igazságügyi Szakértõi. a Kecskeméti Igazságügyi Szakértõi Kamara kiadványa. Bács-Kiskun és Jász-Nagykun-Szolnok megyék szakértõinek kamarája

Igazságügyi Szakértõi. a Kecskeméti Igazságügyi Szakértõi Kamara kiadványa. Bács-Kiskun és Jász-Nagykun-Szolnok megyék szakértõinek kamarája Igazságügyi Szakértõi a Kecskeméti Igazságügyi Szakértõi Kamara kiadványa Bács-Kiskun és Jász-Nagykun-Szolnok megyék szakértõinek kamarája XIV. évfolyam 2014/2. szám A TARTALOMBÓL Az új Etikai Kódex -

Részletesebben

Á ú Ö Ú Á Á ú ú ú ú ü ü ú É ő ú ű ú ü Á É Á Í Á ú ú ú ű ú Ö ú ü ú ú ü ú ú ü ú ü ü ú ü ü ú ú ú ü ű ü ü ü ü ú ü ú ő ő ú ü ű ü ő ú ő ú ü ú ü ő ű ő ő ő ő ő ü ú ú ü ő ü ü ú ő ü ü ü ü ő ü Á ú ő ú ú ú ő Á ú ü

Részletesebben

Á ő ő ő ö ö Ó ő ú ö Á É É ü Ö ő ö ő ő ö Ó ö Ú Ó ő ő ő ö Ö Ú Ú ő Ö ú ö ő ú ú ú Ó ö Ó Ó Ú Ú Ú Ú Ö Ó ő ő ú ő ű ü ő ö ö ö ő ü Ó Ó ő ő Ó ö Ó Ó ü ő ő Ó ő ö ő ő Ó ő ő ő Ú ö ő Ó Ó ő Ó ő Ö ő ö ő ü ü ű ö ö ö Ó ö

Részletesebben

E S Z K Ö Z Ö K ( A K T Í V Á K

E S Z K Ö Z Ö K ( A K T Í V Á K MÉRLEG KSH: 10043165-6419-122-03 Cg.: 03-02-000189 Dunapataj és Vidéke Takarékszövetkezet MÉRLEG adatok: ezer Ft-ban S.sz. M e g n e v e z és 2012.év 2013.év a. b. c. d. E S Z K Ö Z Ö K ( A K T Í V Á K

Részletesebben

rsaság XXVII. Kongresszus Budapest

rsaság XXVII. Kongresszus Budapest Magyar Üzemegészségügyigyi Tudományos TársasT rsaság XXVII. Kongresszus 2007. október 18-20. Budapest MEDICINA Bajmegelőző Kft. Előad adó: Dr. Olajos Attila Foglalkozás-eg egészségügyi gyi szakorvos, Belgyógy

Részletesebben

É É ú í ö É É í ú É Á Á Á ö í ö í ú í Ö ö ö í í Á ö ö ö í í ö í É í ö ö í í í ö í í í í ö í í ö ö í ö ö í ö í ű í ö ú ű í í ö Ö ö ö í ö ö í ö ö í í í ö É ö ö ú ö ö ö í ö ű í ú ö ú Í É ú ö ö ö É ö ö í Íí

Részletesebben

Á Á é é ő ö ó é é é é é ő é é é ő ő ő é ü ő ó ó ó ö ö é é ő é ő é ő ö é é é é é é é ő é ű ő é é é é é ó ő ö é ú ö é ö é é ö ő ó ő ó é ő é ő ő é ő ó ó é ő ő é é ü ő é ó é ö ő é ő é ó ő é é ő é é ő é é é

Részletesebben

ü Ü ö ö ö Á ő ö ö ö ü ú ö ő Á ő ö ő ü ú ő ő ő ö ö ö ő ú ő ő ő ö ő ö ű ő ő ő Ú ö ü ő ő ú ú ö ő ö ő ú ú ő ú ö ö ő ú ő ü Ü ö ő É ő ő ü ö ő ú ő ö ű ő ő ü ő Ú ű Ö ü ő ú ő ő ő ú Ú ü ö ő ő ú ő ű ő ö ö ü ö ö ő

Részletesebben

ö ő ö Ö ö ó ő ő ő ú ö ö ő ó ü ö ö ő ő ő ő ő ö ő ö ő ó ő ö ő ő ő ú ó ő ö ó ö ő ó ö ő ő ő ó ő ő ő ő ö ö ő ö ő ó ú ö ö ő ő ó ő ő ú ő ü ő ó ö ö ő ő ő ü ö ö ő ó ó ö ő ő ö ő ö ö ö ö ő ő ő ü ű ö ö ő ő ó ö ö ö

Részletesebben

ű Ö ű ú ű ü ú Á ű Á ű Á ú ű ü ú ú Í ü Á ú Ö ú ú ú ű ú ü ú Ö ú ű ű É ü ű ü ű ű É ü ű Ö ú É ú ú ú Á Á Á Á Á Á ú Ö Á Á Á Á ú ú Á Í Ü Á Á ú ú ú ú Á Á Á ű ü ü ü Ö ű ú Á Á Á É ú Á Á ű ú Ö ű ú ű Ö ű ű Ö ű ű Ö

Részletesebben

I. FEJEZET ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK. 1. A rendelet hatálya és értelmezése

I. FEJEZET ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK. 1. A rendelet hatálya és értelmezése Szigliget Község Önkormányzata Képviselő-testületének 5/2010. (IX.1) önkormányzati rendelete Szigliget Község Helyi Építési Szabályzatáról és Szabályozási Tervéről 1 (Módosítással egybefoglalva és lezárva:

Részletesebben

ú Ö ó ú ó ú Ö ő ü ú ő ó ü ú ő ü ú ő ó ó ó ó Ö ő ü ü ü ü ő ú ű ü ú Ö ő ü ő ó ü ü ü ő ő ő ü ó ő ü ú ő ü ő ő ő ó ó ő ó ó ü ő ó ü ó ó ü ú ó ó ő ú Ö ó ü ó ő ó ő ó ő ó ó ü ó ó ó ó ú ő ü ó ü ú ó ő ü ó ő ő ő ü

Részletesebben

hatályos: 2016.02.04 -

hatályos: 2016.02.04 - 49/2015. (XI. 6.) EMMI rendelet a Legionella által okozott fertőzési kockázatot jelentő közegekre, illetve létesítményekre vonatkozó közegészségügyi előírásokról hatályos: 2016.02.04 - Az egészségügyről

Részletesebben

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk).

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk). Gyakorlatok Din 1 Jelölje P (n) azt a számot, ahányféleképpen mehetünk le egy n lépcsőfokból álló lépcsőn a következő mozgáselemek egy sorozatával (zárójelben, hogy mennyit mozgunk az adott elemmel): lépés

Részletesebben

Í É ő ű Á ő ő ú ű ő ő ű ú ü ő ú ű ő ú ú ü ő ú ü ú ü ü ü ő ő őü Í ú ű ő É ű Í ű ű ű ü ő ő ű ő ű ű Á Á ú ú ú ú ú Í ő Í ő ü ú ü Ü ő Á ő ő ő Á ő ő ő ű Ü ú ü Á ő ű É ü ú ő ú ü Ö Í É Ü É Ü ú Ü ő ő Ő Á ű ü ő

Részletesebben

ö É ö ö ő ő ö ó ó ú ő ó ö ö ő ő ö ö ó ű ű ó ú ó ő ő ö ű ó ő ö ö ű ű ó ú ő ó ó ö ű ó ő ö ö ű ű ó ő ő ö Ü Ü ö ű ó ő ö ö ű ű ó ő ó Ü Ü ó ő ő ű ö ö ű ű ű ű ő ö ó ű ó ö ű ö ó ö ó ö ő ó ö ö ő ó ö ö ö ű Ö ö ö

Részletesebben

é é é ú Ü é é ü é é ú é ü é é ü é é é Á é é é é ú é é é ü é ú é é é ű í é é é é é é ü é í é ü é é é é é é é ú é é í ü é é ú í í é é é é ü í ü é é é é é é é í é é é é é ü é é é é é é í é é í ü é ú ü é é

Részletesebben

É ü É É ü Á Á Á ö É ú ő í á é ő á á á é é ü é é é é é ú é é ő ü ü é é í á é é é ő ő á é ü é é ü á é ú úá íő ű á ő é ü á á é é é é í üé á ő é é é ü Í é ő á í á é ú á á á é á ö ü Á á ő é é ü á é á á ö í

Részletesebben

10/2004 (III. 02.) Budapest-Csepel Önkormányzata Kt. rendelete. a szociális ellátások rendszeréről szóló 25/2003. (X. 21.) Kt. rendelet módosításáról

10/2004 (III. 02.) Budapest-Csepel Önkormányzata Kt. rendelete. a szociális ellátások rendszeréről szóló 25/2003. (X. 21.) Kt. rendelet módosításáról 10/2004 (III. 02.) Budapest-Csepel Önkormányzata Kt. rendelete a szociális ellátások rendszeréről szóló 25/2003. (X. 21.) Kt. rendelet módosításáról 1. A rendelet (továbbiakban R) 3. -a a következő új

Részletesebben

290/2007. (X. 31.) Korm. rendelet. az építõipari kivitelezési tevékenységrõl, az építési naplóról és a kivitelezési dokumentáció tartalmáról

290/2007. (X. 31.) Korm. rendelet. az építõipari kivitelezési tevékenységrõl, az építési naplóról és a kivitelezési dokumentáció tartalmáról 290/2007. (X. 31.) Korm. rendelet az építõipari kivitelezési tevékenységrõl, az építési naplóról és a kivitelezési dokumentáció tartalmáról A Kormány az épített környezet alakításáról és védelmérõl szóló

Részletesebben

ú ú ü ű ü ü ú ú ü ű ü ü ú ú ü ü Í ű ű ü ü ü É ú ü ü ü ú ú ú ü ú ű ü ú ü ü Í ü ű ü ü ü Á ű ú ú ü ú Í ü ú Í ú ü ü Í ű Í ü ü É ü ü ü ú ü ü ü ü Í ú ü ű Á ü ü ú ú ü Í ü ű Í ú ú ü ü ü ú ü ű ú ú Á Í Í ú Í Í Í

Részletesebben

Ü Á Á ü É ü ü Í ú Í ú É ű ü ű ü ö ö Í ü ö ü ü ö Í ü ö ö ö ú Í ü ö ö ü ű ö ú ö ö ö ú ú ö ű ö ű ü ü Í ü ú ü ú ö ú ú ú ú Ő É É Ü É Á ü ü Í ü ü ö ö ú ö Á Á Ő ü ü ú ú Ö ü ö ö ö ö ú Í ö ú ö Í ö ö Í ú Í Í ü ú

Részletesebben

Ü É Á í í Á ü ű í ú í ű ü ü Ö í Ü É Í í ü ü ü ü í ú ü í ü ű í í ü ü í í ü Í ú ú ú ű ü É ü í ü í Í í í ű ú í ú Á í í Ü É í í ú ú ű í í í ü í ú Ö ü ü ü ú ű ü í í í ü ü ü ű ü ü ű í ű Ö í í í ü ú Ü É í ú ú

Részletesebben

RENDELET-TERVEZET /A 314/2012. XI. 8.) Korm. rendelet 38. -a szerinti véleményezési szakasz/

RENDELET-TERVEZET /A 314/2012. XI. 8.) Korm. rendelet 38. -a szerinti véleményezési szakasz/ EGER MJV HELYI ÉPÍTÉSI SZABÁLYZATÁNAK MÓDOSÍTÁSA A DK-I VÁROSRÉSZ TIHAMÉRI SZŐLŐK TERÜLETRÉSZEN, A VOLT KŐBÁNYA - BOLYKI PINCÉSZET TERÜLETÉRE ÉS KÖRNYEZETÉRE VONATKOZÓAN RENDELET-TERVEZET /A 314/2012.

Részletesebben

í ö ö ü ü í ü ö ü ö í ú ú Ö ö ö ü ü ö ö ű í ö ö ü ű ö í ű ö ö ü Á ö í ö í í í í ö ö ű ű í í í í í í ö í Ú í ü ü ö ű ö ö í ú ö ö ö ö ö ö Á í ö ú í ü í ú í ú Á í ú í ú ú Á ü ü í í í ö í í Á ú í ö ö í í ú

Részletesebben

Ö ö ö í ö í ű ö ő ú ü í ú ő ő ő ú ő ú ő í ő í Á Ö ő ő í ö ö Ö í É Á Á ú Ú í í í í í ű ö í í í ő ö ü ü ö í í ú í í ö ő ü ú ő ö ö ő ú ú ö ű ú í ő Á ú ú ő ú ű ü í ú ü ü ü ö ő í ő Ö ú ö ö ö ő ü ü ö őí ö ö

Részletesebben

Á É ü Ö Á ö ö ö ö ü ö ö ö ü ö ű ö Í Ü ü ö ö ö Ü ö ö ö ö ü ö ö ú ö ö Í ű ö ű ü ö ú ü ü ű ö ö ö Ü ú ú ö ö ö ö ü ü ö ü ö ö ö ö ö ö ö ö ö ű Á ü ü ü ö ü ö ö ü ü Í ö ü ü É ű ű ö ö ö ö ö ö Á ö ö ö ü ö ö ö ö ü

Részletesebben

ő ő Í ű ő ő ű ő ő ű ő ő É Á ű ő ű ő ő ő ü Á ü ő ű ő ő ő ü ü ő ű ő ő ü ő ú ő ő ő ű ü ő ü ő ü ő ü ő ü ü ő ű ő ü ő ü ő ő ő ő ű ü ű Í Í ő ü ő Í ü ő ü ő ü ü ü ő ü ű ő ü ü ü ü ü ü ü ő ú ü ő ű ő ő ü ü ü ő ő ő

Részletesebben

ű É Í É Ö ű ü Ö É Ö Í É Ö Ö

ű É Í É Ö ű ü Ö É Ö Í É Ö Ö ú Ú Í Ú Ú ű É Í É Ö ű ü Ö É Ö Í É Ö Ö ü É Í ü Á É Ö Ő ú Ö ű Ő Ő Ő Í Ö ü Í Á Ö Ö Í ű Ő Í É É ü ü Í ü Í Í ű Í Ö É Ö ü É ű ű Ö ü Í Í ü Ö Í ű Ö É Ö ű Ö ü Ő Ő Á Í Í Í Ö Í É É Í ű ü ü ű É ü ű Ö Ö Ö ü Ö Í ü ű

Részletesebben

HIVATALOS ÉRTESÍTÕ. 56. szám. A MAGYAR KÖZLÖNY MELLÉKLETE 2010. július 9., péntek. Tartalomjegyzék. III. Utasítások, jogi iránymutatások

HIVATALOS ÉRTESÍTÕ. 56. szám. A MAGYAR KÖZLÖNY MELLÉKLETE 2010. július 9., péntek. Tartalomjegyzék. III. Utasítások, jogi iránymutatások HIVATALOS ÉRTESÍTÕ A MAGYAR KÖZLÖNY MELLÉKLETE 2010. július 9., péntek 56. szám Tartalomjegyzék III. Utasítások, jogi iránymutatások 2/2010. (VII. 9.) NGM utasítás az Európai Támogatásokat Auditáló Fõigazgatóság

Részletesebben

Á Á Á ö Á ű Á Á ű ő ö ö í É ő í ő ő í ő ö ö ö ü ö ő É Ö ő í ü ü ö ö ő ö ő ő í ő ö ú ü ö ő Á ő ö ö í ö ö ö ö ú ő ú ú ő Í ü ő ő ű ő í ö ú ú ő ő ö ü ő É ö ő ö ö ő ü ö ú ő í ű ö ű ü ö ő í ö ő ő ő ö ő í í ö

Részletesebben

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99 JUNIOR, 990-9. sz, els forduló. Adott két pozitív valós szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az összegük kisebb, mint a szorzatuk, akkor az összegük nagyobb 4-nél. (N. Vasziljev, 4 pont) 2. Egy szabályos háromszög

Részletesebben

ö ü ö ú ú ö Í Ú ü Í ö ö ü É ú ü ü ű ö ö ö ö ö ö ö ö ű ú ü ö ú ü ü ü ű ö ö ö ö ö ö ö ü ö Í Í ű ű ú ö ü ö ö ö ű ö ú ö ö ü ü ú Í ö ü ű ö Í ü Í ü ö ö Í ö ö ö ö ü ü ű ö Í ö ö Ö ú Í ú Í ö ö ö ö ö ö ú ú Á ö ö

Részletesebben

É Á í Ú É í ö í ő ú ö Í ö ü Ö ö ü ö Ö ö Á É őí ö ú ő í ő í ú ö í ő ő ö ú Ú ű ő ő Ú ü ö ú ü ö ö ü í Í ú ő í ü ü ő ö ö Ú ú Í Ú ü Ú ö ő ú ö ű ü í Ö Ö ö í ö ő ö ú ő Ú ú Ö í Ú ü í Á í É ő ö ő ö Á ű Ü í ü í

Részletesebben

ú ű ú ú ü í Ü í Ü ü ö ö ű í ö ű ü ö ö ö ö ö ú ú ü í í ű í ú ű ú ű ú ü ú ö ö ö ö ú ú í ű í ú ö ú ú ú ú ü ü ö ü ü ö ö ö ö ú í ü ö ü ú ö ü ü í ü í ö ü ü í ö í í ö í ú ü ö í í ú ü ö ü Á ü ú ü ö Á ö ö ü ö ü

Részletesebben

A tervezet előterjesztője

A tervezet előterjesztője Jelen előterjesztés csak tervezet, amelynek közigazgatási egyeztetése folyamatban van. A minisztériumok közötti egyeztetés során az előterjesztés koncepcionális kérdései is jelentősen módosulhatnak, ezért

Részletesebben