Ittfoglalomösszea legfontosabbtudnivalókat, részleteka honlapon, illetvea gyakorlatvezetőtől is kaptok információkat.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Ittfoglalomösszea legfontosabbtudnivalókat, részleteka honlapon, illetvea gyakorlatvezetőtől is kaptok információkat."

Átírás

1 1

2 Ittfoglalomösszea legfontosabbtudnivalókat, részleteka honlapon, illetvea gyakorlatvezetőtől is kaptok információkat. A statisztika tanulásához a legtöbb infomrációkat az előadásokon és számítógépes laborgyakorlatokon készített saját jegyzeteitekből meríthetitek. Ezt egészítik ki az előadásdiák, amik inkább a szemléltetést segítik, ehhez megkapjátok a leiratot ezekben azannotációkban. rottforráskénta biofizikailaborgyakjegyzetbentalálhatókb. 40 oldalasösszefoglalótlehethasználni(biostatisztikafejezet) ésazújjegyzetbenehheza fejezethez csatolva, a régebbi kiadásokban pedig a biofizika feladatokkal vegyesen találhatók ezek meg. Eza pár feladat azonban kevés a gyakorláshoz, a házi feladatok között találhattok majd további feladatokat. Az előadások menetrendjét, és a diákat(esetleg kiegészítő anyagokat), gyakorlati menetrendet, házi feladatokat, egyéb információkat a Biofizika Intézet honalpján találjátok meg a fent jelölt módon. Hasznos lehet a tantárgy archívumban a tavalyi előadásokat megkeresni, ha pl. a gyakorlatokon más fejezeteket is érintetek. 2

3 Az egyetemünkön végzett orvosképzés alapja a tudományos orvoslás oktatása. Ehhez meg kell értenünk a tudomány szó jelentését. Tudományosnak akkor nevezhetünk egy megállapítást, ha azonos jelenségek megfigyeléséből egymsától függetlenül azonos következtetéseketvonunkle. Teháta tudományoseredményekellenőrizhetőek, reprodukálhatóak, nem függenek a megfigyelést végző, illetve a következtetést levonó személyétől ígyjelentősenkülönbözika pusztavéleménytől, hittőlvagya szokásoktól. A tudomány célja a valóság, a tőlünk függetlenül létező valóság megismerése. Ha egy mondatba akarnánk tömöríteni a tudományos megállapítások lényegét, a jogból vehetünk párhuzamot: egy megállapítás addig nem tekinthető érvényesnek, amíg annak igaz voltát be nem bizonyították. Azorvoslásnagyonsokáignema tudományosszempontokonalapult, részbena gyógyítást gyakorlók ismerethiánya miatt, részben a betegek tájékozatlansága és kiszolgáltatottsága miatt. Habár ma már a tudományos, vagyis a bizonyítékon alapuló orvoslás lett az uralkodó a világban, még mindig jelentős szerephez jutnak a tudományos alapokkal nem rendelekző módszerek, ezek között olyanok is vannak, amelyeknek hatásosságát nagy volumenű kutatások sem tudták kimutatni. Hogy mennyire ellentmondásos, sőtindulatostudlennia viszony, arraelégkétpélda: 1) az egyik a német akupunktúra vizsgálatok (GERAC-Studien, az akupunktúra hatásosságávalkapcsolatbanvégzettegyiklegkiterjedtebbvizsgálat), amelyneksorán4 betegség esetén vizsgálták az akupunktúra hatásosságát, de egyik területen sem tudták kimutatni, ennekellenére2 betegségeseténmégisbeemeltékazakupunktúráta 3

4 társadalombiztosításáltalfinanszírozottkezelésekkörébe; 2) a másikjacques Benveniste-nek a «vízemlékezetével»(a vízemlékezet-teóriaa homeopátiaegyikleggyakrabbanhasználtmagyarázata) kapcsolatban a Nature címűtudományoslapbanmegjelentkísérlete, amitazótase sikerültsenkinekse reprodukálnia, mégbenveniste laboratóriumábansem. Ennekellenérea nagyközönségfelszines informálódását kihasználvamáiggyakrancitáljáka homeopátiahíveia Benveniste-kísérletet minta homeopátiát alátámasztó(!) vizsgálatok egyikét. Emiattmárazorvostudományokkalvalólegelsőtalálkozásunkkormeg kellértenünk, miért szükséges a tudományos megközelítés. Szemben a hiten vagy hagyományokon alapuló orvoslással, a tudományos orvoslás tudományos bizonyítékokkal alátámasztott módszereket alkalmaz. Ezen módszerek megismeréséhez elengedhetetlen a szakirodalom kritikus befogadására való képesség. Ráadásul a gyógykezelések körének bővítése további bizonyítottan hatásos módszerek kutatását követeli meg. A statisztika a tudományos ismeretek létrehozásának és befogadásának, megértésének eszköze. A statisztika alapvetően matematikai tudomány: a valószínűségszámításon és a logikán alapul. 3

5 A statisztika tehát a tudomány létrehozásának és megismerésének, befogadásának eszköze. Azonban a tudományos kérdések nagyon komplexek, így szükség van azok leegyszerűsítésere, elemi kérdésekre bontására. A kérdésfelvetések leginkább a dolgok leírására és összehasonlítására vonatkoznak. Vegyünkpéldáulegytojást. Egytojásnakmeg tudjukhatároznia tömegét, hosszát, összetételét. De egyetlen tojás megismerése nem segít abban, hogy a tojásokról általánas megállapításokat tegyünk, ehhez többet is meg kell vizsgálnunk. Ha megnézzük a következő képet, azon sok tojást látunk, amelyek hasonlítanak egymásra, de szemmel láthatóak pl. a méretbeli eltérések. A következő képen ugyacsak egy halom tojást látunk azelsőtojásakárinnenis származhatottvolna ezekis hasonlítanakvalamennyire, de a színük eltér. Tehát látható, hogy egyetlen dolog vizsgálatával(egyetlen adattal) általában nem érdemesfogalkozni, ha többdologrólgyűjtünkadatotakkorviszontel kellfogadnunk, hogy abban kisebb-nagyobb variáció, ingadozás lesz. A közös vonások és a megtűrt eltérésekmértékeleszaz, amineksegítségévellényegébenlétrehozzuka tojás általános(elvont, elméleti) fogalmát. A statisztikapontosansokdologközöstulajdonságainaka számszerűsítésével, illetvea számszerűsített adatok összehasonlításával foglalkozik. Emiatt a statisztika állításai sem egyetlen dologra, hanem azok egy csoportjára, sokaságára vonatkozik. 4

6 Orvosként persze nem tojásokról gyűjtünk adatokat, hanem emberekről, de az eljárás hasonló. Tekintsünkát, milyenadatokkaltalálkozunkpl. egylaborleleten: szerepelneka beteg azonosítására szolgáló személyi adatok, a TAJ-szám, a kezelőorvos/beküldő orvos neve, a vérben található különféle oldott anyagok koncentrációi, az alakos elemek száma, a ph, a vércsoport stb. Már első pillantásra is látható, hogy igen változatosak az adatok, pl. van amit számmal fejezünk ki, van amit szövegesen. A jobb oldali táblázatban a biofizika gyakorlatokon előkerülő néhány témát vethetjü össze fizikai és orvosi feladatokkal: pl. a fizikus általában hosszt mér, addig az orvos vagy a hallgató egy specifikusabb hosszt, ami a szakterületükkel kapcsolatos kérdés megválaszolására ad lehetőséget. 5

7 A statisztikának, mint minden tudománynak megvan a maga nyelvezete, aminek a legfontosabb részeit meg kell tanulni, mivel ezek jelölik a leggyakrabban előforduló fogalmakat. Mit vizsgálunk a statisztikával? adat (jellemző, ismérv, statisztikai változó): valakinek vagy valaminek a megismeréséhez, jellemzéséhez hozzásegítő tény, lehet minőségi és mennyiségi jelek: az adatok közvetítői Ezután a kockadobás példáján szemléltetem, hogy mit jelentenek a gyakorlatban az egyes fogalmak. Alább a (a számunkra megfelelő precizitású) definíciók: jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismétlődhet, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet vele kísérletezni. (Emlékezzünk: a statisztika tömegjelenségekkel, megismételhető vizsgálatokkal foglalkozik.) megfigyelés (vizsgálat, mérés): az adatok megszerzésére irínyuló tevékenység. Egy jelenség során több mindent is megfigyelhetünk, miáltal más-más adatra tehetünk szert (pl. kockadobás estén: a dobott szám vagy a kocka repülési ideje) eredmény(kimenetel,elemi esemény): olyan esemény, amelyhez egyetlen kimenetel tartozik (egyelemű halmaz, az eseménytér részhalmaza, illetve akár több esemény részhalmaza is lehet). [Elemi eseményekről szigorúan véve akkor szoktunk beszélni, ha azokból csak véges sok lehet.] esemény: egy állítás, amely egy megfigyelés során vagy bekövetkezik, vagy nem (többelemű halmaz, az eseménytér részhalmaza). Az esemény több elemi eseményt 6

8 tartalmaz, azoknak többféle önkényesen definiált kombinációja lehet. eseménytér: adott megfigyeléshez tartozó lehetséges eredmények (azaz elemi események) halmaza (alaphalmaz). Az összes lehetséges kimenetel együttvéve. statisztikai változó: olyan változó, amelynek az értéke a jelenség megfigyelése során észlelt esemény.a kockadobás esetén (ha a vizsgáltat térgya a dobott szám) 1, 2, 3, 4, 5 és 6 értékeket vehet fel a változó; az érték kialakulásában főszerep jut a véletlennek. alapsokaság (populáció): az összes elméletben kivitelezhető mérési eredményt tartalmazó halmaz; lehet véges vagy végtelen. minta: az alapsokaság részhalmaza, azon kimenetelekösszessége, amelyeket egy méréssorozat során megfigyeltünk. modell: a valóság leírására használt rendszer, amely leegyszerűsített (azaz a valóságnak csak egy részét veszi figyelembe) és absztrakt (elvont, azaz nem az egyes dolgokra, hanem azok általános, közös tulajdonságaira vonatkozik); pl. ideális gáz, abszolút fekete test, tömegpont, faj matematikai modell: a modell törvényszerűségeinek számszerű leírása 6

9 A statisztikai változók csoportosítása többféle szempont szerint is lehetséges attól függően, hogy mi a célunk. Első közelítésben soroljuk a változókat minőségi azaz kvalitatív és mennyiségi, azaz kvantitatív típusba. A minőségi változókra alapvetően jellemző, hogy kategóriákat állapítunk meg (ezek lehetnek természetes vagy kevésbé természetes, önkényesen kijelölt kategóriák), és ezekbe soroljuk a változó által felvett értéket. A kategóriák lehetnek egyenrangúak, ilyenkor nominális vagy névleges változórólbeszélünk, ilyena vércsoport, vagya pénzfeldobásoskísérletértékei. Ha a kategóriák között rangsor van, akkor ordinális, azaz sorrendi változóról van szó, amelynek értékeit rangsorolt(és rendszerint sorszámmal jelölt) kategóriákba helyezhetjük. A számszerű változók felvehetnek diszkrét számértéket(ilyen változókat kapunk számlálással, pl. fogak száma vagy évszám), illetve folytonos számértéket(ilyen változókat méréssel kapunk, pl. nyomás vagy hossz). Azegyesváltozókjellemzése, azelvégezhetőműveletekésazábrázolásilehetőségeka változó típusától függenek. 7

10 Az előbbi intuitív osztályozást célszerű finomítanunk aszerint, hogy milyen céllal akarunkfoglalkoznia változókkal. Stanley Smith Stevens: On the Theory of Scales of Measurement [A mérésiskálákelméletéről] a Science tudományoslapban1946-ban megjelent cikkben ismertette a különféle mérési skálákról és az azok közötti hierarchiáról felállított rendszerét. Habár a tudományos életben normális módon elméletét többen vitatták, világos eligazítást nyújt a gyakorlatban használt mérési skálákról és a hozzájuk kapcsolódó mennyiségeken végezhető műveletekről. A legprimitvívebb skála, a nominális vagy névleges skála, mely a mérésszinthierarchia aljánáll. Ilyenpéldáulmagaa névadás, vagya vércsoport, a hajszín, szemszín, állampolgárságstb. A skálalétrehozásaúgytörténik, hogykategóriákathozunklétre, a kategóriák egyszerű névadással azonosíthatók. Az egyes megfigyelések során megállapítható, hogy két elem azonos vagy nem azonos. A kategóriák között nincs természetes sorrend, de praktikus okokból kialakíthatnak(abc-rend, sorszámmal való jelölés), amiket a szokásoknak megfelelően használnak, hogy később könnyebb legyen az összehasonlítás. Azonban ezeknek a sorrendeknek semmiféle mennyiségi jelentése nincs. Emiatt a skála megnevezés is kissé megtévesztő, helyesebb inkább rendszert használni, ami nem enged természetes sorrendiségre következtetni. A kategóriák elhatérolása lehet könnyebb(magától értetődő, pl. fej, írás) vagy nehezebb (mesterséges, pl. szemszín). Az ordinális skála szintén kategóriákat jelöl ki, azonban ezek között már természetes sorrendvan, ilyenpéldáulaziskolaiosztályzat, a betegségek, sérüléseksúlyosságavagya Mohs-skála. Azordinálisskálántheátnemcsakazonosságottudunkmegállapítani, 8

11 hanem kisebb/nagyobb relációt is. A skálaelemeket rendszerint sorszámmal jelölik, amit észben kell tartani, hiszen sorszámokon nem végezhetők el a szokásos matematikai műveletek. Az ordinális skála kategóriái közötti eltérés vagy távolság nem egyenlő vagy nem tudjuk megállapítani. Az intervallumskála annyiban fejlettebb az ordinális skálánál, hogy ismert a felvehető értékek közötti távolság, vagyis már nem csak a sorrend, hanem a különbség és az összeg is értelmezhető. A mindennapi életből ismertpéldák pl. az évszám, a Celsius-fokban mért hőmérséklet vagy a tengerszinthez viszonyított magasság. A példákból látható az intervallumskálák egy további közös tulajdonsága: a nullapont kijelölése egyezmény alapján történik. Ezen konvencionális nullaérték helyett természetes nullaértéken alapulnak az arányskálák: az arányosságot maga a természetes nullapont létezése teszi lehetővé. Az ilyenskálákonígymárazarányossághozkapcsolódóműveletek, azosztásésa szorzásis értelmezhető. Mindegyikskálaszintenelkülöníthetőktöbbé-kevésbédiszkrétésfolytonosváltozók. Nominális változókat tekintve például az érmefeldobásnál egyértelműek a diszkrét kategóriák, míga szemszíneseténeléggéhomályosazegyeskategóriákhatára, illetvea kategóriák száma, igazából csak rajtunk múlik, hogy mennyire finom felosztást hozunk létre. Stevens nevével a pszichofizikai törvények kapcsán még fogunk találkozni a második félévben a biofizika tantárgy keretében. 8

12 A különféleváltozóknemmindigsorolhatókegyértelműenvalamelyikkategóriába, s ha ez még így is van, nem ritka, hogy gyakorlati vagy történelmi okokból nem a mennyiség jellegéhez legjobban illeszkedő vagy esetleg abból egyértelműen adódó skálát használjuk. Pl. az első hőmérsékleti skálákat még azelőtt alkották meg, hogy az abszolút nulla pont léte bebizonyosodott volna. Így bár a hőmérséklet a természetéből adódóan arányskálávalmérhető, hétköznapicélokraintervallumskáláthasználunk. Ugyanezmára tengerszint feletti magasságra nem igaz, ott elméletileg sincs nullapont(a Föld nem tökéletesgömb, ígynemigazándefiniálhatópl. egyközéppont). Ugyanezmondhatóel a többi potenciális mennyiségről is. A kockadobáskimenetelénekmint változónakmegítélésemégkevésbéegyértelmű. Alapvetően egy kategoriális változóról van szó, hiszen a kocka mint puszta geometriai test oldalai között semmiféle rangsor nincs. Az oldalakat színekkel jelölve már megkülönböztethetők lesznek, de pusztán ettél még nem alakul ki rangsor. Az egyes oldalakhoz sorszámokat is rendelhetünk, ekkor ordinális változót kapunk. Ha pöttyöket rajzolunk az oldalakra, amelyek megszámlálhatók, intervallumskálán kifejezhető változót kapunk, sőt, bárnullátnemdobhatunk, a pöttyszámláláseseténa skálanullapontja(= nincs pötty) is jól definiált(vagyis attól, hogy egy mérés során a nulla kimenetel nem jöhetlétre, magánaka mérésiskálánaklehet akártermészetes nullapontja). Mindezzel együtt az elvégezhető műveletek köre is bővül a korábban elmondottaknak megfelelően. Azt azonban észben kell tartani, hogy az így magasabb skálaszintre emelt változó többletjelentése továbbra sem a kocka tulajdonságait jellemzi, hanem az 9

13 általunk kreált és a kockához rendelt szabályrendszert. Ehhez a példához valamelyest hasonló, de folytonos változóra vonatkozó példa a haj (vagy szem) színe. A hétköznapokban gyakran csak annyit mondunk, hogy valakinek a haja színe barna, fekete, szőkevagyvörös. Ha alaposabbmegfigyelőkvagyunk, finomíthatjuka kategóriákat, pl. törtfehér, sötétbarna, gesztenyeszín, tűzvörös, világosbarnastb., de eza skálaszintet még nem érinti, csak a jellemző folytonos mivoltára és a létrehozott kategóriák mesterkéltségére utal. Lehetséges azonban ezeket a kategóriákat például egy sötét-világosskálaszerintsorrendberendezni, sőt, precízmérésekkelszínskálátis rendelhetünk a szemhez. Vagyis a hétköznapokban puszta kategóriákra egyszerűsített szemszínt egy numerikusan kifejezhető folytonos változóvá alakíthatjuk, amely sokkal precízebben felel meg a valóságnak. Gyakorlati szempontok szabják meg azt is, hogy a vörösvérsejtszámot diszkrét vagy folytonos változónak tekintjük. Ha csupán néhány sejtet kell számlálnunk pl. egy elektronmikroszkópos felvételen, akkor célszerű diszkrét változóként kezelni, azonban egy nagyobbvérmintábantöbbmillióvérsejtlehet, vagyisgyakorlatilagfolytonossáválika változónk. Azt, hogy egyebekmellett a 200 méteressíkfutásta LondoniolimpiánUsainBolt nyerte, elégsokantudják, arraviszontmármindenbizonnyalcsakkevesenemlékeznek, hogy a távot másodperc alatt futotta le. Habár a megtett idő mint arányskálán mért folytonosváltozótöbbinformációttartalmaz, mint azordinálisskálánmérthelyezés, utóbbi érték megjegyzése éppen ezért kevesebb erőfeszítést igényel. 9

14 Visszatérve a statisztika egyik kulcskérdésére, az azonosság és különbség megállapítására, ismertetnünk kell egy harmadik féle csoportosítást. Valamennyi változót összehasonlíthatunk az egyes értékek előfordulási gyakorisága alapján. Például két ország lakosságát összevethetjük az AB0 vércsoportok százalékos előfordulási gyakorisága alapján. Leegyszerűsíthető ez a fajta összehasonlítás úgy, hogy csak azt vizsgáljuk, hogy a leggyakoribb érték megegyezik-e vagy sem. Ha az elemek sorrendbe állíthatók, akkor meghatározható egy felezőpont, amelynél ugyanannyi elem kisebb, mint ahány nagyobb. Sorba rendezhető elemeket tartalmazó halmazokat tehát összehasonlíthatunk a felezőpontjuk szerint. Az összehasonlítás tovább finomítható, ha nem azt vizsgáljuk, hogy a változó melyik értékénél felezhető el a halmaz, hanem ha azt a pontot, ahol az adathalmaz egyensúlyban van, vagyis amelytől számítva a távolsággal súlyozott elemszám azonos. Ez a pont(amit átlagnak nevezünk és később fogjuk precízen bevezetni) theát nem csak attólfügg, hogynálakisebbésnagyobbelembőlhányvan, hanemattólis, hogyazok milyen távolságra esnek, így az előbb leírt felezőpontnál sokkal érzékenyebb. Éppen emiatt azonban csak olyan esetben van értelme használni, amikor a változó úgyszólván jól viselkedik, vagyis nincs sok kiugró érték, amely eltorzítaná az súlypont által adott képet. Ezért azokat az intervallum- és arányskálán mért adathalmazokat, amelyek viszonylag sok kiugró értéket tartalmaznak(vagyis rosszul viselkednek ), az ordinális változókhoz hasonlóan kezeljük. 10

15 Miután áttekintettük a statisztikai változók sokféleségét és csoportosításukat, tisztázzuk az alapsokaság és a minta fogalmát. Mint említettük, a statisztika olyan jelenségeket vizsgál, amik megismételhetők. Ez azt jelenti, hogya jelenségekvizsgálatasoránsok, akárvégtelensokméréstis végezhetünk. Ezen elméletileg lehetséges összes mérés kimeneteleinek, eredményeinek összefoglaló halmazát nevezzük alapsokaságnak. Elméletben a statisztikai változó teljes megismeréséhez ezt a végtelensok mérést el kellene végeznünk, de erre nyilvánvalóan nincs lehetőségünk, ezért annak csak egy részhalmazát, a mintát vizsgáljuk. A minta tehátazalapsokaságrészhalmaza, amelyneklétrehozásáraa legkézenfekvőbbmódszera véletlen kiválasztás. A létrehozott mintán méréseket végzünk, a keletkező mérési eredmények halmazát szinén mintának nevezzük. (Magyarán: kevésbé precíz fogalmazással pl. az évfolyam mint alapsokaságegyikcsoportjánaktagjaittekinthetjükazévfolyambólvettmintának; precízebben fogalmazva az évfolyam hallgatóinak vércsoportadatai jelenthetnek alapsokaságot, mígazegyikcsoporttagjainakvércsoportadataiegylehetségesmintát.) A mintát jellemezhetjük grafikusan és számszerűen, majd a minta így megállapított tulajdonságait extrapolálhatjuk, kiterjeszthetjük az alapsokaságra. Az előbbi példánál maradva: amilyen arányban a mintában előfordulnak az egyes vércsoportok, kb. olyasmit várunkel azegészalapsokaságtólis. Mivela mintaösszeállításavéletlenszerűentörténik, nem biztos, hogy tökéletesen reprezentálja az alapsokaságot, a különböző értékek alapsokaságon belüli előfordulási arányát. Így a minta alapján levont következtetésekhez mindig társul valamekkora bizonytalanság. 11

16 Egy minta bemutatásának legegyszerűbb módja a minta elemeinek felsorolása (prakatikusan a mérés sorrendjében). Ez a fajta listázás a minta elemeinek puszta létezésén túl nem sok mindent mutat. Nagy elemszámú minta esetén is így tároljuk az adatokat, de szemléltetésre már nem alkalmas. Szemléletesebb a minta elemeit kategóriákba sorolni, majd az előfordulási gyakoriságot kategóriánkent megadni. A besoroláshoz szükséges kategóriák minőségi változók esetén azelemi eseményekalapjánegyértelműenadódnak, bárösszevonásraszükséglehet(pl. ha egy kategóriába kiugróan kevés elem kerülne). Mennyiségi változóknál már sokszor nekünkkellönkényeskategóriákat(másnévenintervallumokatvagyosztályokat) definiálnunk, és ezekbe sorolhatjuk az adatokat. Az intervallumok kialakításának vannak praktikusszempontjai, amitelsősorbana mintaterjedelmeésazelemszámszabmeg (lásd később). Nagyobb elemszám esetén például nagyobb számú, így kisebb (keskenyebb) intervallumokat célszerű definiálni. Azonban tartsuk észben, hogy az intervallumhatárokkijelölésével akárugyanolyanszélesintervallumokatvéve mi magunk is befolyásoljuk a gyakoriságok értékeit. Az egyes kategóriákba tartozó elemek számát abszolút gyakoriságnak nevezzük. Azonban különbözőméretűmintákösszehasonlításátmegkönnyíti, ha nemazabszolút, hanema relatív gyakoriságokat(vagyis a mintán belüli[százalékos] arányt) használjuk. Így könnyen összehasonlítható pl. egy kisváros és egy ország lakosságának vércsoport szerinti megoszlása. Számszerű változók esetén azonban nem csak a minta elemszámában adódhatnak 12

17 jelentőseltérések, hanema kialakítottosztályokszélességébenis. Nyilvánvaló, hogyha szélesebbosztályokathasználunk, akkorugyanazonmintaeseténis eltérőkleszneka gyakoriságok és a relatív gyakoriságok. Ezért az összehasonlítás érdekében célszerű ezeket a gyakoriságokat az osztály szélességére vonatkoztatni(magyarán azzal elosztani). Az így kapott mennyiségek: a(z abszolút) gyakoriságsűrűség és a relatív gyakoriságsűrűség. 12

18 Kvalitatív mennyiségből álló minta esetén oszlopdiagramot vagy kördiagramot célszerű használni az adatok ábrázolásához. Az oszlopdiagram elsőre egy klasszikus függvény koordinátarendszerére hasonlít, azonban fontos eltérés, hogy az x tengelyen a kvalitatív (a példábon nominális kvalitítv) változót veszünk fel. A nominális skála korábban részletezett tulajdonságaiból fakadóan sem a kategóriák sorrendjének, sem a köztük lévő távolságnakvagya szélességükneknincsjelentése, ezeketpraktikus(pl. ábécérend, gyakoriság szerinti sorrend stb.) és esztétikai szempontok szerint alakítjuk ki. A függő változó természetesen az abszolút vagy relatív gyakoriság(utóbbit gyakran százalékos formában tüntetik fel). A kördiagrameseténa köra teljesmintánakfelelmeg, mígazegyesszeletekméretea változókülönféleértékeinekmintánbelülielőfordulásigyakoriságávalarányos. A szeletek sorrendjét itt is praktikus szempontok szabják meg, matematikai jelentésük nincs. 13

19 Kvantitatív változó esetén az x tengelyen az intervallumskálát vesszük fel, amelyet praktikus szélességű önkényes kategóriákra, osztályokra osztunk fel. Az y tengelyen felvehetjük az abszolút gyakoriságot, ekkor az oszlopok magasságáról közvetlenül leolvasható az adott osztályba tartozó elemek száma. Ha a relatív gyakoriságot ábrázoljuk, akkor az oszlopok magassága az adott osztályba tartozó elemek mintán belüli hányadának felel meg. Ha azabszolútgyakoriságotnormáljukazosztályszélességre, akkormegkapjuka(z abszolút) gyakoriságsűrűséget. Eztfelvéveazy tengelyena oszlopok(téglalapok) területefog megfelelniazadottosztályelemszámának. A teljes Hasonlóan, a relatívgyakoriságsűrűség Megjegyzés: a sűrűség kifejezés általános jelentése, hogy valamilyen egységre(egységnyi térfogatra, felületrevagyszakaszra) vonatkoztatunk. Háromdimenzióspéldátemlítvea hagyományos sűrűség (tömegsűrűség) az egységnyi térfogatra vonatkoztatott tömeget adja meg. Két dimenzióban használt mennyiség a felületi sűrűség(például papírt szokták vele jellemezni), amely az egységnyi felületre vonatkoztatott tömeg(pl. egy négyzetméterpapírlaptömege). A gyakoriságsűrűségnéllényegébena Δx szakaszhosszra vonatkoztatjuk a gyakoriságot («tömegét»), vagyis ez egy egydimenziós sűrűségnek tekinthető. 14

20 A kérdések megválaszolhatók az előadáson elhangzottak, a gyakorlatvezetővel folytatott konzultációk, illetve saját utánaolvasás segítségével. Az ellenőrző kérdések egyben példák arra, hogy milyen tesztkérdések(feleletválasztós formában) fordulhatnak elő. 15

21 16

22 17

23 18

24 Abszolút gyakoriság: az adott halmazba tartozó elemszám Relatív gyakoriság: a teljes mintára vonatkoztatott elemszám Feltételes relatív gyakoriság: a minta egy részhalmazára vonatkoztatott elemszám. A mintán belül az abszolút gyakoriságok összeadhatók. Példa: mirigyláz és fertőző májgyulladás összesen = 44 embert érintett. A mintán belül a relatív gyakoriságok összeadhatók. Példa: mirigyláz és veszettség az embereknek összesen 6,5% + 22% = 28,5%-t érintette. A részhalmazon belül az arra vonatkoztatott feltételes relatív gyakoriságok összeadhatók. Példa: A vírusos megbetegedéseken belül 17,5% a mirigyláz és 6,3% egyéb. Ezek együttesen a vírusos megbetegedések 23,8%-át teszik ki. A feltételes relatív gyakoriságot megszorozva a vonatkoztatási részhalmaz relatív gyakoriságával megkapjuk a relatív gyakoriságot. Példa: A mirigyláz vírusos megbetegedéseken belüli aránya 17,5%. A vírusos betegségek mintánbelülihányada37,5%. A mirigylázmintánbelüliarányatehát17,5%*37,5% = 0,175*0,375=0,065=6,5% 19

GAZDASÁGI STATISZTIKA

GAZDASÁGI STATISZTIKA GAZDASÁGI STATISZTIKA Dr. Kun István GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 1 TÉMAKÖRÖK A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI STATISZTIKAI SOROK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 1.

Matematikai statisztikai elemzések 1. Matematikai statisztikai elemzések 1. A statisztika alapfogalmai, feladatai, Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 1.: A statisztika alapfogalmai, feladatai, statisztika, osztályozás,

Részletesebben

MATEMATIKA C 8. évfolyam 10. modul ÁTLAGOS?

MATEMATIKA C 8. évfolyam 10. modul ÁTLAGOS? MATEMATIKA C 8. évfolyam 10. modul ÁTLAGOS? Készítette: Surányi Szabolcs MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 10. MODUL: ÁTLAGOS? TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE

6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE 6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE A kurzus anyagát felhasználva összeállíthatunk egy kitűnő feladatlapot, de még nem dőlhetünk nyugodtan hátra. Diákjaink teljesítményét még osztályzatokra kell átváltanunk,

Részletesebben

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1.

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1. Tantárgyi útmutató 1. A tantárgy helye a szaki hálóban Gazdálkodási és menedzsment szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz kattintson a képre! Turizmus - vendéglátás szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz

Részletesebben

INTELLIGENS ADATELEMZÉS

INTELLIGENS ADATELEMZÉS Írta: FOGARASSYNÉ VATHY ÁGNES STARKNÉ WERNER ÁGNES INTELLIGENS ADATELEMZÉS Egyetemi tananyag 2011 COPYRIGHT: 2011 2016, Dr. Fogarassyné Dr. Vathy Ágnes, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Matematika

Részletesebben

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar 2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004

Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004 Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004 2005 Budapest Értékelési Központ SuliNova Kht. 2 Országos Kompetenciamérés 2004 Tartalom 1. Bevezetés...4

Részletesebben

EGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ

EGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ EGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ MODELLEZÉS Brodszky Valentin, Jelics-Popa Nóra, Péntek Márta BCE Közszolgálati Tanszék A tananyag a TÁMOP-4.1.2/A/2-10/1-2010-0003 "Képzés- és tartalomfejlesztés a Budapesti

Részletesebben

Vasúti szállítás és infrastruktúra I.

Vasúti szállítás és infrastruktúra I. Széchenyi István Egyetem Műszaki Tudományi Kar Közlekedési Tanszék Arató Károly Vasúti szállítás és infrastruktúra I. Győr, 2009. Tartalomjegyzék A./ VASÚTI TEHERKOCSIK IDŐFELHASZNÁLÁSAI 7 1. Kereskedelmi

Részletesebben

Matematika. 5. 8. évfolyam

Matematika. 5. 8. évfolyam Matematika 5. 8. évfolyam 5. 6. évfolyam Éves órakeret: 148 Heti óraszám: 4 Témakörök Óraszámok Gondolkodási és megismerési módszerek folyamatos Számtan, algebra 65 Összefüggések, függvények, sorozatok

Részletesebben

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter 1. Adatállományok létrehozása, kezelése... 2 2. Leíró statisztikai eljárások... 3 3. Várható értékek (átlagok) vizsgálatára irányuló próbák... 5 4. Eloszlások vizsgálata...

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 2.

Matematikai statisztikai elemzések 2. Matematikai statisztikai elemzések 2. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek. A szórás és szóródás Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 2.: Helyzetmutatók, átlagok, Prof. Dr. Závoti,

Részletesebben

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz MATEMATIKA 6. Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz Témák 1. Játékos feladatok Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban.

Részletesebben

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Reiczigel Jenő, 2006 1

Reiczigel Jenő, 2006 1 Reiczigel Jenő, 2006 1 Egytényezős (egyszempontos) varianciaelemzés k független minta (k kezelés vagy k csoport), a célváltozó minden csoportban normális eloszlású, a szórások azonosak, az átlagok vagy

Részletesebben

Szubszidiaritás az EU és tagállamai regionális politikájában

Szubszidiaritás az EU és tagállamai regionális politikájában KENGYEL ÁKOS 1 Szubszidiaritás az EU és tagállamai regionális politikájában A tanulmány az Európai Unió kohéziós (regionális fejlesztési) politikája vonatkozásában vizsgálja meg a szubszidiaritás elvének

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 7. MA3-7 modul. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 7. MA3-7 modul. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 7. MA3-7 modul Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

MUNKAANYAG. Szám János. Síkmarás, gépalkatrész befoglaló méreteinek és alakjának kialakítása marógépen. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Szám János. Síkmarás, gépalkatrész befoglaló méreteinek és alakjának kialakítása marógépen. A követelménymodul megnevezése: Szám János Síkmarás, gépalkatrész befoglaló méreteinek és alakjának kialakítása marógépen A követelménymodul megnevezése: Általános gépészeti technológiai feladatok II. (forgácsoló) A követelménymodul

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

Bevezető Mi a statisztika? Mérés Feldolgozás Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés Feladatok. Statisztika I.

Bevezető Mi a statisztika? Mérés Feldolgozás Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés Feladatok. Statisztika I. Statisztika I. 1. előadás: A statisztika alapfogalmai Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Óbudai Egyetem A kurzusról A kurzus célja

Részletesebben

Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné tankönyv 5 Mozaik Kiadó Szeged, 2013 A TERMÉSZETES SZÁMOK 13. A szorzat változásai Az iskolai könyvtáros 10

Részletesebben

Matematika. Padányi Katolikus Gyakorlóiskola 1

Matematika. Padányi Katolikus Gyakorlóiskola 1 Matematika Alapelvek, célok: Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.

Részletesebben

MATEMATIKA 1-2.osztály

MATEMATIKA 1-2.osztály MATEMATIKA 1-2.osztály A matematikatanítás feladata a matematika különböző arculatainak bemutatása. A tanulók matematikai gondolkodásának fejlesztése során alapvető cél, hogy mind inkább ki tudják választani

Részletesebben

Módszertani útmutató a természet adta javak és szolgáltatások nem pénzbeli értékeléséhez

Módszertani útmutató a természet adta javak és szolgáltatások nem pénzbeli értékeléséhez Modszer_2_Layout 1 2010.10.25. 21:19 Page 1 ESSRG Füzetek 2/2010 Módszertani útmutató a természet adta javak és szolgáltatások nem pénzbeli értékeléséhez Kelemen Eszter, Bela Györgyi, Pataki György Környezeti

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

Valószínűség-számítás II.

Valószínűség-számítás II. Valószínűség-számítás II. Geometriai valószínűség: Ha egy valószínűségi kísérletben az események valamilyen geometriai alakzat részhalmazainak felelnek meg úgy, hogy az egyes események valószínűsége az

Részletesebben

Működési kockázati önértékelések veszteségeloszlás-alapú modellezése

Működési kockázati önértékelések veszteségeloszlás-alapú modellezése 506 HITELINTÉZETI SZEMLE HAJNAL BÉLA KÁLLAI ZOLTÁN NAGY GÁBOR Működési kockázati önértékelések veszteségeloszlás-alapú modellezése Tanulmányunkban a működési kockázatok önértékelésen alapuló modellezését

Részletesebben

5. évfolyam. Gondolkodási módszerek. Számelmélet, algebra 65. Függvények, analízis 12. Geometria 47. Statisztika, valószínűség 5

5. évfolyam. Gondolkodási módszerek. Számelmélet, algebra 65. Függvények, analízis 12. Geometria 47. Statisztika, valószínűség 5 MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

A hierarchikus adatbázis struktúra jellemzői

A hierarchikus adatbázis struktúra jellemzői A hierarchikus adatbázis struktúra jellemzői Az első adatbázis-kezelő rendszerek a hierarchikus modellen alapultak. Ennek az volt a magyarázata, hogy az élet sok területén első közelítésben elég jól lehet

Részletesebben

Matematika helyi tanterv,5 8. évfolyam

Matematika helyi tanterv,5 8. évfolyam Matematika helyi tanterv - bevezetés Matematika helyi tanterv,5 8. évfolyam A kerettanterv B változatának évfolyamonkénti bontása Bevezető Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

MUNKAERŐ-PIACI ESÉLYEK, MUNKAERŐ-PIACI STRATÉGIÁK 1

MUNKAERŐ-PIACI ESÉLYEK, MUNKAERŐ-PIACI STRATÉGIÁK 1 GYÖRGYI ZOLTÁN MUNKAERŐ-PIACI ESÉLYEK, MUNKAERŐ-PIACI STRATÉGIÁK 1 Bevezetés Átfogó statisztikai adatok nem csak azt jelzik, hogy a diplomával rendelkezők viszonylag könynyen el tudnak helyezkedni, s jövedelmük

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 5.

Matematikai statisztikai elemzések 5. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzések. MSTE modul Kapcsolatvizsgálat: asszociáció vegyes kapcsolat korrelációszámítás. Varianciaanalízis

Részletesebben

Megjelent: Magyar Földrajzi Konferencia tudományos közleményei (CD), Szeged, 2001

Megjelent: Magyar Földrajzi Konferencia tudományos közleményei (CD), Szeged, 2001 Megjelent: Magyar Földrajzi Konferencia tudományos közleményei (CD), Szeged, 2001 A területi lehatárolások statisztikai következményei A területi lehatárolások statisztikai következményeinek megközelítése

Részletesebben

II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { }

II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { } II. Halmazok. Relációk II.1. Rövid halmazelmélet A halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. A halmaz alapfogalom. Ez azt jelenti, hogy csak példákon

Részletesebben

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

(11) Lajstromszám: E 004 597 (13) T2 EURÓPAI SZABADALOM SZÖVEGÉNEK FORDÍTÁSA

(11) Lajstromszám: E 004 597 (13) T2 EURÓPAI SZABADALOM SZÖVEGÉNEK FORDÍTÁSA !HU000004597T2! (19) HU (11) Lajstromszám: E 004 597 (13) T2 MAGYAR KÖZTÁRSASÁG Magyar Szabadalmi Hivatal EURÓPAI SZABADALOM SZÖVEGÉNEK FORDÍTÁSA (21) Magyar ügyszám: E 04 716248 (22) A bejelentés napja:

Részletesebben

Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1-4./1.2.3.

Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1-4./1.2.3. 1 Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont Helyi tanterv Matematika készült a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1-4./1.2.3. alapján 1-4. évfolyam 2 MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja,

Részletesebben

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson amatematikáról, mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

A közvetett hatások értékelésének lehetőségei

A közvetett hatások értékelésének lehetőségei A közvetett hatások értékelésének lehetőségei Összefoglaló jelentés Készült A VKI végrehajtásának elősegítése II. fázis című projekt keretében Készítették: Marjainé Dr. Szerényi Zsuzsanna Harangozó Gábor

Részletesebben

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Dr. Kövesi János Erdei János Nagy Jenő Bence Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter Gazdaságstatisztika Oktatási segédanyag a Gazdaságstatisztika

Részletesebben

Terület- és térségmarketing. /Elméleti jegyzet/

Terület- és térségmarketing. /Elméleti jegyzet/ Terület- és térségmarketing /Elméleti jegyzet/ Terület- és térségmarketing /Elméleti jegyzet/ Szerző: Nagyné Molnár Melinda Szent István Egyetem Szerkesztő: Nagyné Molnár Melinda Lektor: Szakály Zoltán

Részletesebben

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03. Matematika az általános iskolák 5 8.

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03. Matematika az általános iskolák 5 8. EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03 Matematika az általános iskolák 5 8. évfolyama számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok

HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,

Részletesebben

11. Matematikai statisztika

11. Matematikai statisztika 11. Matematikai statisztika 11.1. Alapfogalmak A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kisérlet eredménye. Ez véges sok, azonos eloszlású valószínűségi változó

Részletesebben

Tartalom. Matematikai alapok. Termékgyártási példafeladat. Keverési példafeladat Szállítási példafeladat Hátizsák feladat, egészértékű feladat

Tartalom. Matematikai alapok. Termékgyártási példafeladat. Keverési példafeladat Szállítási példafeladat Hátizsák feladat, egészértékű feladat 6. előadás Termelési és optimalizálási feladatok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Matematikai alapok Matematikai modell Fontosabb feladattípusok Érzékenységvizsgálat Termékgyártási

Részletesebben

JÁTÉKELMÉLETI MAGYARÁZAT A KÖZJÓSZÁGOK LÉTREJÖTTÉNEK ELMARADÁSÁRA

JÁTÉKELMÉLETI MAGYARÁZAT A KÖZJÓSZÁGOK LÉTREJÖTTÉNEK ELMARADÁSÁRA Szociológiai Szemle 2005/1, 23 40. JÁTÉKELMÉLETI MAGYARÁZAT A KÖZJÓSZÁGOK LÉTREJÖTTÉNEK ELMARADÁSÁRA MÉSZÁROS József Budapesti Mûszaki és Gazdaságtudományi, Egyetem Szociológia és Kommunikáció Tanszék

Részletesebben

MUNKAANYAG. Földi László. Szögmérések, külső- és belső kúpos felületek mérése. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Földi László. Szögmérések, külső- és belső kúpos felületek mérése. A követelménymodul megnevezése: Földi László Szögmérések, külső- és belső kúpos felületek mérése A követelménymodul megnevezése: Általános anyagvizsgálatok és geometriai mérések A követelménymodul száma: 0225-06 A tartalomelem azonosító

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények MATEMATIKA 9 10. évfolyam 1066 MATEMATIKA 9 10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét,

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

MUNKAANYAG. Dzúró Zoltán. Tengelyszerű munkadarab készítése XY típusú. esztergagépen, a munkafolyamat, a méret-, alakpontosság

MUNKAANYAG. Dzúró Zoltán. Tengelyszerű munkadarab készítése XY típusú. esztergagépen, a munkafolyamat, a méret-, alakpontosság Dzúró Zoltán Tengelyszerű munkadarab készítése XY típusú esztergagépen, a munkafolyamat, a méret-, alakpontosság és felületminőség ellenőrzése, dokumentálása A követelménymodul megnevezése: Általános gépészeti

Részletesebben

A FIZIKUS SZEREPE A DAGANATOS BETEGEK GYÓGYÍTÁSÁBAN

A FIZIKUS SZEREPE A DAGANATOS BETEGEK GYÓGYÍTÁSÁBAN A FIZIKUS SZEREPE A DAGANATOS BETEGEK GYÓGYÍTÁSÁBAN Balogh Éva Jósa András Megyei Kórház, Onkoradiológiai Osztály, Nyíregyháza Angeli István Debreceni Egyetem, Kísérleti Fizika Tanszék A civilizációs ártalmaknak,

Részletesebben

Iskolakultúra 2015/10 Milyen magasak és milyen nehezek vagyunk? Van-e a kapcsolat az emberek magassága és testtömege között?

Iskolakultúra 2015/10 Milyen magasak és milyen nehezek vagyunk? Van-e a kapcsolat az emberek magassága és testtömege között? Milyen magasak és milyen nehezek vagyunk? Van-e a kapcsolat az emberek magassága és testtömege között? Napjainkban a természettudományos nevelés számos problémával küzd. Például nem megfelelő az iskolában

Részletesebben

MATEMATIKA. Tildy Zoltán Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola Helyi tanterv 1-4. évfolyam 2013.

MATEMATIKA. Tildy Zoltán Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola Helyi tanterv 1-4. évfolyam 2013. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Statisztikai módszerek

Statisztikai módszerek Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

ELEMI VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS és STATISZTIKAI MÓDSZEREK A FIZIKÁBAN

ELEMI VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS és STATISZTIKAI MÓDSZEREK A FIZIKÁBAN ELEMI VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS és STATISZTIKAI MÓDSZEREK A FIZIKÁBAN SINKOVICZ PÉTER (PhD hallgató) MTA WIGNER FIZIKAI KUTATÓKÖZPONT (2013) a TARTALOMJEGYZÉK A VALÓSÁG STATISZTIKAI LEKÉPEZÉSE 1. Alapfogalmak

Részletesebben

Csicsman József-Sipos Szabó Eszter csicsman@calculus.hu, siposeszti@gmail.com. Matematikai alapok az adatbányászati szoftverek első megismeréséhez

Csicsman József-Sipos Szabó Eszter csicsman@calculus.hu, siposeszti@gmail.com. Matematikai alapok az adatbányászati szoftverek első megismeréséhez Csicsman József-Sipos Szabó Eszter csicsman@calculus.hu, siposeszti@gmail.com Matematikai alapok az adatbányászati szoftverek első megismeréséhez 1.1 A statisztikai sokaság A statisztika a valóság számszerű

Részletesebben

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3. Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3. Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3 Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára Célok és feladatok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet

Részletesebben

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas)

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas) Eredeti forrás: Pintér Klára: Játsszunk Dienes Zoltán Pál logikai készletével! http://www.jgypk.u-szeged.hu/methodus/pinter-klara-jatsszunk-logikat-logikai-keszlettel/ A logikai készlet lapjaival kapcsolatos

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 6. MA3-6 modul. A statisztika alapfogalmai

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 6. MA3-6 modul. A statisztika alapfogalmai Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 6. MA3-6 modul A statisztika alapfogalmai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999.

Részletesebben

Egyes kockázatelemzési (veszélyazonosítási) módszerek alkalmazásának értékelési, illetőleg ellenőrzési szempontjai

Egyes kockázatelemzési (veszélyazonosítási) módszerek alkalmazásának értékelési, illetőleg ellenőrzési szempontjai Egyes kockázatelemzési (veszélyazonosítási) módszerek alkalmazásának értékelési, illetőleg ellenőrzési szempontjai Cseh Gábor Magyar Műszaki Biztonsági Hivatal Bevezetés A veszélyes helyzetek azonosítására,

Részletesebben

A természeti erõforrások pénzbeli értékelése

A természeti erõforrások pénzbeli értékelése Közgazdasági Szemle, XLVIII. évf., 2001. február (114 129. o.) MARJAINÉ SZERÉNYI ZSUZSANNA A természeti erõforrások pénzbeli értékelése A tanulmány a természeti erõforrások és környezeti javak változásainak

Részletesebben

A TERMELÉSI FOLYAMATOK HATÉKONY ÉS OPTIMÁLIS IRÁNYÍTÁSA A KOMPLEX MÓDSZER ALKALMAZÁSÁVAL

A TERMELÉSI FOLYAMATOK HATÉKONY ÉS OPTIMÁLIS IRÁNYÍTÁSA A KOMPLEX MÓDSZER ALKALMAZÁSÁVAL Wolfgang Lassmann - Günter Peissker A TERMELÉSI FOLYAMATOK HATÉKONY ÉS OPTIMÁLIS IRÁNYÍTÁSA A KOMPLE MÓDSZER ALKALMAZÁSÁVAL A termelési folyamat hatékonyabb irányítása közepes és nagy gazdasági vállalatokban,

Részletesebben

reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv életkornak

reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv életkornak MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos

képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0814 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i ) 6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével

Részletesebben

III/1. Kisfeszültségű vezetékméretezés általános szempontjai (feszültségesés, teljesítményveszteség fogalma, méretezésben szokásos értékei.

III/1. Kisfeszültségű vezetékméretezés általános szempontjai (feszültségesés, teljesítményveszteség fogalma, méretezésben szokásos értékei. III/1. Kisfeszültségű vezetékméretezés általános szempontjai (feszültségesés, teljesítményveszteség fogalma, méretezésben szokásos értékei. A vezetékméretezés során, mint minden műszaki berendezés tervezésénél

Részletesebben

ÚTMUTATÓ a külterületi közúthálózati fejlesztések költség-haszon vizsgálatához

ÚTMUTATÓ a külterületi közúthálózati fejlesztések költség-haszon vizsgálatához Gazdasági és Közlekedési Minisztérium Közúti Főosztály ÚTMUTATÓ a külterületi közúthálózati fejlesztések költség-haszon vizsgálatához I. 2002. december 2002. december 2. Útmutató a külterületi közúthálózati

Részletesebben

Gyarmati Dezső Sport Általános Iskola MATEMATIKA HELYI TANTERV 1-4. OSZTÁLY

Gyarmati Dezső Sport Általános Iskola MATEMATIKA HELYI TANTERV 1-4. OSZTÁLY Gyarmati Dezső Sport Általános Iskola MATEMATIKA HELYI TANTERV 1-4. OSZTÁLY KÉSZÍTETTE: Bartháné Jáger Ottília, Holndonnerné Zátonyi Katalin, Krivánné Czirba Zsuzsanna, Migléczi Lászlóné MISKOLC 2015 Összesített

Részletesebben

Mintapéldák és gyakorló feladatok

Mintapéldák és gyakorló feladatok Mintapéldák és gyakorló feladatok Közgazdaságtan II. (Makroökonómia) címû tárgyból mérnök és jogász szakos hallgatók számára Az alábbi feladatok a diasorozatokon található mintapéldákon túl további gyakorlási

Részletesebben

On-line értékelési módszerek II. Lengyelné Molnár Tünde

On-line értékelési módszerek II. Lengyelné Molnár Tünde On-line értékelési módszerek II. Lengyelné Molnár Tünde MÉDIAINFORMATIKAI KIADVÁNYOK On-line értékelési módszerek II. Lengyelné Molnár Tünde Eger, 2013 Korszerű információtechnológiai szakok magyarországi

Részletesebben

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése: Szabó László Szilárdságtan A követelménymodul megnevezése: Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője és vegyipari technikus feladatok A követelménymodul száma: 047-06 A tartalomelem azonosító száma

Részletesebben

Matematika tanmenet/4. osztály

Matematika tanmenet/4. osztály Comenius Angol-Magyar Két Tanítási Nyelvű Iskola 2015/2016. tanév Matematika tanmenet/4. osztály Tanító: Fürné Kiss Zsuzsanna és Varga Mariann Tankönyv: C. Neményi Eszter Wéber Anikó: Matematika 4. (Nemzeti

Részletesebben

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka

Részletesebben

Atávlati célokat tekintve: olyan feladatbank létrehozása, amely nagyszámú, a gyakorlatban

Atávlati célokat tekintve: olyan feladatbank létrehozása, amely nagyszámú, a gyakorlatban Zátonyi Sándor Fizika felmérő A 8 11. évfolyamos tanulók tudásának diagnosztikus értékelése Az Országos Közoktatási Intézet Alapműveltségi Vizsgaközpont 1999. májusában (más tantárgyak mellett fizikából

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

MUNKAANYAG. Szabó László. Oldható kötések alkalmazása, szerszámai, technológiája. A követelménymodul megnevezése: Épületgépészeti alapfeladatok

MUNKAANYAG. Szabó László. Oldható kötések alkalmazása, szerszámai, technológiája. A követelménymodul megnevezése: Épületgépészeti alapfeladatok Szabó László Oldható kötések alkalmazása, szerszámai, technológiája A követelménymodul megnevezése: Épületgépészeti alapfeladatok A követelménymodul száma: 0109-06 A tartalomelem azonosító száma és célcsoportja:

Részletesebben

Matematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok

Matematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok Matematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

Leggyakrabban használt adatbányászási technikák. Vezetői információs rendszerek

Leggyakrabban használt adatbányászási technikák. Vezetői információs rendszerek Leggyakrabban használt adatbányászási technikák ADATBÁNYÁSZÁS II. 1. A társításelemzés társítási szabályok (asszociációs szabályok) feltárását jelenti. Azt vizsgájuk, hogy az adatbázis elemei között létezik-e

Részletesebben

Készítette: niethammer@freemail.hu

Készítette: niethammer@freemail.hu VLogo VRML generáló program Készítette: Niethammer Zoltán niethammer@freemail.hu 2008 Bevezetés A VLogo az általános iskolákban használt Comenius Logo logikájára épülő programozási nyelv. A végeredmény

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 5 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Részletesebben