Ittfoglalomösszea legfontosabbtudnivalókat, részleteka honlapon, illetvea gyakorlatvezetőtől is kaptok információkat.
|
|
- Zalán Mészáros
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1
2 Ittfoglalomösszea legfontosabbtudnivalókat, részleteka honlapon, illetvea gyakorlatvezetőtől is kaptok információkat. A statisztika tanulásához a legtöbb infomrációkat az előadásokon és számítógépes laborgyakorlatokon készített saját jegyzeteitekből meríthetitek. Ezt egészítik ki az előadásdiák, amik inkább a szemléltetést segítik, ehhez megkapjátok a leiratot ezekben azannotációkban. rottforráskénta biofizikailaborgyakjegyzetbentalálhatókb. 40 oldalasösszefoglalótlehethasználni(biostatisztikafejezet) ésazújjegyzetbenehheza fejezethez csatolva, a régebbi kiadásokban pedig a biofizika feladatokkal vegyesen találhatók ezek meg. Eza pár feladat azonban kevés a gyakorláshoz, a házi feladatok között találhattok majd további feladatokat. Az előadások menetrendjét, és a diákat(esetleg kiegészítő anyagokat), gyakorlati menetrendet, házi feladatokat, egyéb információkat a Biofizika Intézet honalpján találjátok meg a fent jelölt módon. Hasznos lehet a tantárgy archívumban a tavalyi előadásokat megkeresni, ha pl. a gyakorlatokon más fejezeteket is érintetek. 2
3 Az egyetemünkön végzett orvosképzés alapja a tudományos orvoslás oktatása. Ehhez meg kell értenünk a tudomány szó jelentését. Tudományosnak akkor nevezhetünk egy megállapítást, ha azonos jelenségek megfigyeléséből egymsától függetlenül azonos következtetéseketvonunkle. Teháta tudományoseredményekellenőrizhetőek, reprodukálhatóak, nem függenek a megfigyelést végző, illetve a következtetést levonó személyétől ígyjelentősenkülönbözika pusztavéleménytől, hittőlvagya szokásoktól. A tudomány célja a valóság, a tőlünk függetlenül létező valóság megismerése. Ha egy mondatba akarnánk tömöríteni a tudományos megállapítások lényegét, a jogból vehetünk párhuzamot: egy megállapítás addig nem tekinthető érvényesnek, amíg annak igaz voltát be nem bizonyították. Azorvoslásnagyonsokáignema tudományosszempontokonalapult, részbena gyógyítást gyakorlók ismerethiánya miatt, részben a betegek tájékozatlansága és kiszolgáltatottsága miatt. Habár ma már a tudományos, vagyis a bizonyítékon alapuló orvoslás lett az uralkodó a világban, még mindig jelentős szerephez jutnak a tudományos alapokkal nem rendelekző módszerek, ezek között olyanok is vannak, amelyeknek hatásosságát nagy volumenű kutatások sem tudták kimutatni. Hogy mennyire ellentmondásos, sőtindulatostudlennia viszony, arraelégkétpélda: 1) az egyik a német akupunktúra vizsgálatok (GERAC-Studien, az akupunktúra hatásosságávalkapcsolatbanvégzettegyiklegkiterjedtebbvizsgálat), amelyneksorán4 betegség esetén vizsgálták az akupunktúra hatásosságát, de egyik területen sem tudták kimutatni, ennekellenére2 betegségeseténmégisbeemeltékazakupunktúráta 3
4 társadalombiztosításáltalfinanszírozottkezelésekkörébe; 2) a másikjacques Benveniste-nek a «vízemlékezetével»(a vízemlékezet-teóriaa homeopátiaegyikleggyakrabbanhasználtmagyarázata) kapcsolatban a Nature címűtudományoslapbanmegjelentkísérlete, amitazótase sikerültsenkinekse reprodukálnia, mégbenveniste laboratóriumábansem. Ennekellenérea nagyközönségfelszines informálódását kihasználvamáiggyakrancitáljáka homeopátiahíveia Benveniste-kísérletet minta homeopátiát alátámasztó(!) vizsgálatok egyikét. Emiattmárazorvostudományokkalvalólegelsőtalálkozásunkkormeg kellértenünk, miért szükséges a tudományos megközelítés. Szemben a hiten vagy hagyományokon alapuló orvoslással, a tudományos orvoslás tudományos bizonyítékokkal alátámasztott módszereket alkalmaz. Ezen módszerek megismeréséhez elengedhetetlen a szakirodalom kritikus befogadására való képesség. Ráadásul a gyógykezelések körének bővítése további bizonyítottan hatásos módszerek kutatását követeli meg. A statisztika a tudományos ismeretek létrehozásának és befogadásának, megértésének eszköze. A statisztika alapvetően matematikai tudomány: a valószínűségszámításon és a logikán alapul. 3
5 A statisztika tehát a tudomány létrehozásának és megismerésének, befogadásának eszköze. Azonban a tudományos kérdések nagyon komplexek, így szükség van azok leegyszerűsítésere, elemi kérdésekre bontására. A kérdésfelvetések leginkább a dolgok leírására és összehasonlítására vonatkoznak. Vegyünkpéldáulegytojást. Egytojásnakmeg tudjukhatároznia tömegét, hosszát, összetételét. De egyetlen tojás megismerése nem segít abban, hogy a tojásokról általánas megállapításokat tegyünk, ehhez többet is meg kell vizsgálnunk. Ha megnézzük a következő képet, azon sok tojást látunk, amelyek hasonlítanak egymásra, de szemmel láthatóak pl. a méretbeli eltérések. A következő képen ugyacsak egy halom tojást látunk azelsőtojásakárinnenis származhatottvolna ezekis hasonlítanakvalamennyire, de a színük eltér. Tehát látható, hogy egyetlen dolog vizsgálatával(egyetlen adattal) általában nem érdemesfogalkozni, ha többdologrólgyűjtünkadatotakkorviszontel kellfogadnunk, hogy abban kisebb-nagyobb variáció, ingadozás lesz. A közös vonások és a megtűrt eltérésekmértékeleszaz, amineksegítségévellényegébenlétrehozzuka tojás általános(elvont, elméleti) fogalmát. A statisztikapontosansokdologközöstulajdonságainaka számszerűsítésével, illetvea számszerűsített adatok összehasonlításával foglalkozik. Emiatt a statisztika állításai sem egyetlen dologra, hanem azok egy csoportjára, sokaságára vonatkozik. 4
6 Orvosként persze nem tojásokról gyűjtünk adatokat, hanem emberekről, de az eljárás hasonló. Tekintsünkát, milyenadatokkaltalálkozunkpl. egylaborleleten: szerepelneka beteg azonosítására szolgáló személyi adatok, a TAJ-szám, a kezelőorvos/beküldő orvos neve, a vérben található különféle oldott anyagok koncentrációi, az alakos elemek száma, a ph, a vércsoport stb. Már első pillantásra is látható, hogy igen változatosak az adatok, pl. van amit számmal fejezünk ki, van amit szövegesen. A jobb oldali táblázatban a biofizika gyakorlatokon előkerülő néhány témát vethetjü össze fizikai és orvosi feladatokkal: pl. a fizikus általában hosszt mér, addig az orvos vagy a hallgató egy specifikusabb hosszt, ami a szakterületükkel kapcsolatos kérdés megválaszolására ad lehetőséget. 5
7 A statisztikának, mint minden tudománynak megvan a maga nyelvezete, aminek a legfontosabb részeit meg kell tanulni, mivel ezek jelölik a leggyakrabban előforduló fogalmakat. Mit vizsgálunk a statisztikával? adat (jellemző, ismérv, statisztikai változó): valakinek vagy valaminek a megismeréséhez, jellemzéséhez hozzásegítő tény, lehet minőségi és mennyiségi jelek: az adatok közvetítői Ezután a kockadobás példáján szemléltetem, hogy mit jelentenek a gyakorlatban az egyes fogalmak. Alább a (a számunkra megfelelő precizitású) definíciók: jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismétlődhet, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet vele kísérletezni. (Emlékezzünk: a statisztika tömegjelenségekkel, megismételhető vizsgálatokkal foglalkozik.) megfigyelés (vizsgálat, mérés): az adatok megszerzésére irínyuló tevékenység. Egy jelenség során több mindent is megfigyelhetünk, miáltal más-más adatra tehetünk szert (pl. kockadobás estén: a dobott szám vagy a kocka repülési ideje) eredmény(kimenetel,elemi esemény): olyan esemény, amelyhez egyetlen kimenetel tartozik (egyelemű halmaz, az eseménytér részhalmaza, illetve akár több esemény részhalmaza is lehet). [Elemi eseményekről szigorúan véve akkor szoktunk beszélni, ha azokból csak véges sok lehet.] esemény: egy állítás, amely egy megfigyelés során vagy bekövetkezik, vagy nem (többelemű halmaz, az eseménytér részhalmaza). Az esemény több elemi eseményt 6
8 tartalmaz, azoknak többféle önkényesen definiált kombinációja lehet. eseménytér: adott megfigyeléshez tartozó lehetséges eredmények (azaz elemi események) halmaza (alaphalmaz). Az összes lehetséges kimenetel együttvéve. statisztikai változó: olyan változó, amelynek az értéke a jelenség megfigyelése során észlelt esemény.a kockadobás esetén (ha a vizsgáltat térgya a dobott szám) 1, 2, 3, 4, 5 és 6 értékeket vehet fel a változó; az érték kialakulásában főszerep jut a véletlennek. alapsokaság (populáció): az összes elméletben kivitelezhető mérési eredményt tartalmazó halmaz; lehet véges vagy végtelen. minta: az alapsokaság részhalmaza, azon kimenetelekösszessége, amelyeket egy méréssorozat során megfigyeltünk. modell: a valóság leírására használt rendszer, amely leegyszerűsített (azaz a valóságnak csak egy részét veszi figyelembe) és absztrakt (elvont, azaz nem az egyes dolgokra, hanem azok általános, közös tulajdonságaira vonatkozik); pl. ideális gáz, abszolút fekete test, tömegpont, faj matematikai modell: a modell törvényszerűségeinek számszerű leírása 6
9 A statisztikai változók csoportosítása többféle szempont szerint is lehetséges attól függően, hogy mi a célunk. Első közelítésben soroljuk a változókat minőségi azaz kvalitatív és mennyiségi, azaz kvantitatív típusba. A minőségi változókra alapvetően jellemző, hogy kategóriákat állapítunk meg (ezek lehetnek természetes vagy kevésbé természetes, önkényesen kijelölt kategóriák), és ezekbe soroljuk a változó által felvett értéket. A kategóriák lehetnek egyenrangúak, ilyenkor nominális vagy névleges változórólbeszélünk, ilyena vércsoport, vagya pénzfeldobásoskísérletértékei. Ha a kategóriák között rangsor van, akkor ordinális, azaz sorrendi változóról van szó, amelynek értékeit rangsorolt(és rendszerint sorszámmal jelölt) kategóriákba helyezhetjük. A számszerű változók felvehetnek diszkrét számértéket(ilyen változókat kapunk számlálással, pl. fogak száma vagy évszám), illetve folytonos számértéket(ilyen változókat méréssel kapunk, pl. nyomás vagy hossz). Azegyesváltozókjellemzése, azelvégezhetőműveletekésazábrázolásilehetőségeka változó típusától függenek. 7
10 Az előbbi intuitív osztályozást célszerű finomítanunk aszerint, hogy milyen céllal akarunkfoglalkoznia változókkal. Stanley Smith Stevens: On the Theory of Scales of Measurement [A mérésiskálákelméletéről] a Science tudományoslapban1946-ban megjelent cikkben ismertette a különféle mérési skálákról és az azok közötti hierarchiáról felállított rendszerét. Habár a tudományos életben normális módon elméletét többen vitatták, világos eligazítást nyújt a gyakorlatban használt mérési skálákról és a hozzájuk kapcsolódó mennyiségeken végezhető műveletekről. A legprimitvívebb skála, a nominális vagy névleges skála, mely a mérésszinthierarchia aljánáll. Ilyenpéldáulmagaa névadás, vagya vércsoport, a hajszín, szemszín, állampolgárságstb. A skálalétrehozásaúgytörténik, hogykategóriákathozunklétre, a kategóriák egyszerű névadással azonosíthatók. Az egyes megfigyelések során megállapítható, hogy két elem azonos vagy nem azonos. A kategóriák között nincs természetes sorrend, de praktikus okokból kialakíthatnak(abc-rend, sorszámmal való jelölés), amiket a szokásoknak megfelelően használnak, hogy később könnyebb legyen az összehasonlítás. Azonban ezeknek a sorrendeknek semmiféle mennyiségi jelentése nincs. Emiatt a skála megnevezés is kissé megtévesztő, helyesebb inkább rendszert használni, ami nem enged természetes sorrendiségre következtetni. A kategóriák elhatérolása lehet könnyebb(magától értetődő, pl. fej, írás) vagy nehezebb (mesterséges, pl. szemszín). Az ordinális skála szintén kategóriákat jelöl ki, azonban ezek között már természetes sorrendvan, ilyenpéldáulaziskolaiosztályzat, a betegségek, sérüléseksúlyosságavagya Mohs-skála. Azordinálisskálántheátnemcsakazonosságottudunkmegállapítani, 8
11 hanem kisebb/nagyobb relációt is. A skálaelemeket rendszerint sorszámmal jelölik, amit észben kell tartani, hiszen sorszámokon nem végezhetők el a szokásos matematikai műveletek. Az ordinális skála kategóriái közötti eltérés vagy távolság nem egyenlő vagy nem tudjuk megállapítani. Az intervallumskála annyiban fejlettebb az ordinális skálánál, hogy ismert a felvehető értékek közötti távolság, vagyis már nem csak a sorrend, hanem a különbség és az összeg is értelmezhető. A mindennapi életből ismertpéldák pl. az évszám, a Celsius-fokban mért hőmérséklet vagy a tengerszinthez viszonyított magasság. A példákból látható az intervallumskálák egy további közös tulajdonsága: a nullapont kijelölése egyezmény alapján történik. Ezen konvencionális nullaérték helyett természetes nullaértéken alapulnak az arányskálák: az arányosságot maga a természetes nullapont létezése teszi lehetővé. Az ilyenskálákonígymárazarányossághozkapcsolódóműveletek, azosztásésa szorzásis értelmezhető. Mindegyikskálaszintenelkülöníthetőktöbbé-kevésbédiszkrétésfolytonosváltozók. Nominális változókat tekintve például az érmefeldobásnál egyértelműek a diszkrét kategóriák, míga szemszíneseténeléggéhomályosazegyeskategóriákhatára, illetvea kategóriák száma, igazából csak rajtunk múlik, hogy mennyire finom felosztást hozunk létre. Stevens nevével a pszichofizikai törvények kapcsán még fogunk találkozni a második félévben a biofizika tantárgy keretében. 8
12 A különféleváltozóknemmindigsorolhatókegyértelműenvalamelyikkategóriába, s ha ez még így is van, nem ritka, hogy gyakorlati vagy történelmi okokból nem a mennyiség jellegéhez legjobban illeszkedő vagy esetleg abból egyértelműen adódó skálát használjuk. Pl. az első hőmérsékleti skálákat még azelőtt alkották meg, hogy az abszolút nulla pont léte bebizonyosodott volna. Így bár a hőmérséklet a természetéből adódóan arányskálávalmérhető, hétköznapicélokraintervallumskáláthasználunk. Ugyanezmára tengerszint feletti magasságra nem igaz, ott elméletileg sincs nullapont(a Föld nem tökéletesgömb, ígynemigazándefiniálhatópl. egyközéppont). Ugyanezmondhatóel a többi potenciális mennyiségről is. A kockadobáskimenetelénekmint változónakmegítélésemégkevésbéegyértelmű. Alapvetően egy kategoriális változóról van szó, hiszen a kocka mint puszta geometriai test oldalai között semmiféle rangsor nincs. Az oldalakat színekkel jelölve már megkülönböztethetők lesznek, de pusztán ettél még nem alakul ki rangsor. Az egyes oldalakhoz sorszámokat is rendelhetünk, ekkor ordinális változót kapunk. Ha pöttyöket rajzolunk az oldalakra, amelyek megszámlálhatók, intervallumskálán kifejezhető változót kapunk, sőt, bárnullátnemdobhatunk, a pöttyszámláláseseténa skálanullapontja(= nincs pötty) is jól definiált(vagyis attól, hogy egy mérés során a nulla kimenetel nem jöhetlétre, magánaka mérésiskálánaklehet akártermészetes nullapontja). Mindezzel együtt az elvégezhető műveletek köre is bővül a korábban elmondottaknak megfelelően. Azt azonban észben kell tartani, hogy az így magasabb skálaszintre emelt változó többletjelentése továbbra sem a kocka tulajdonságait jellemzi, hanem az 9
13 általunk kreált és a kockához rendelt szabályrendszert. Ehhez a példához valamelyest hasonló, de folytonos változóra vonatkozó példa a haj (vagy szem) színe. A hétköznapokban gyakran csak annyit mondunk, hogy valakinek a haja színe barna, fekete, szőkevagyvörös. Ha alaposabbmegfigyelőkvagyunk, finomíthatjuka kategóriákat, pl. törtfehér, sötétbarna, gesztenyeszín, tűzvörös, világosbarnastb., de eza skálaszintet még nem érinti, csak a jellemző folytonos mivoltára és a létrehozott kategóriák mesterkéltségére utal. Lehetséges azonban ezeket a kategóriákat például egy sötét-világosskálaszerintsorrendberendezni, sőt, precízmérésekkelszínskálátis rendelhetünk a szemhez. Vagyis a hétköznapokban puszta kategóriákra egyszerűsített szemszínt egy numerikusan kifejezhető folytonos változóvá alakíthatjuk, amely sokkal precízebben felel meg a valóságnak. Gyakorlati szempontok szabják meg azt is, hogy a vörösvérsejtszámot diszkrét vagy folytonos változónak tekintjük. Ha csupán néhány sejtet kell számlálnunk pl. egy elektronmikroszkópos felvételen, akkor célszerű diszkrét változóként kezelni, azonban egy nagyobbvérmintábantöbbmillióvérsejtlehet, vagyisgyakorlatilagfolytonossáválika változónk. Azt, hogy egyebekmellett a 200 méteressíkfutásta LondoniolimpiánUsainBolt nyerte, elégsokantudják, arraviszontmármindenbizonnyalcsakkevesenemlékeznek, hogy a távot másodperc alatt futotta le. Habár a megtett idő mint arányskálán mért folytonosváltozótöbbinformációttartalmaz, mint azordinálisskálánmérthelyezés, utóbbi érték megjegyzése éppen ezért kevesebb erőfeszítést igényel. 9
14 Visszatérve a statisztika egyik kulcskérdésére, az azonosság és különbség megállapítására, ismertetnünk kell egy harmadik féle csoportosítást. Valamennyi változót összehasonlíthatunk az egyes értékek előfordulási gyakorisága alapján. Például két ország lakosságát összevethetjük az AB0 vércsoportok százalékos előfordulási gyakorisága alapján. Leegyszerűsíthető ez a fajta összehasonlítás úgy, hogy csak azt vizsgáljuk, hogy a leggyakoribb érték megegyezik-e vagy sem. Ha az elemek sorrendbe állíthatók, akkor meghatározható egy felezőpont, amelynél ugyanannyi elem kisebb, mint ahány nagyobb. Sorba rendezhető elemeket tartalmazó halmazokat tehát összehasonlíthatunk a felezőpontjuk szerint. Az összehasonlítás tovább finomítható, ha nem azt vizsgáljuk, hogy a változó melyik értékénél felezhető el a halmaz, hanem ha azt a pontot, ahol az adathalmaz egyensúlyban van, vagyis amelytől számítva a távolsággal súlyozott elemszám azonos. Ez a pont(amit átlagnak nevezünk és később fogjuk precízen bevezetni) theát nem csak attólfügg, hogynálakisebbésnagyobbelembőlhányvan, hanemattólis, hogyazok milyen távolságra esnek, így az előbb leírt felezőpontnál sokkal érzékenyebb. Éppen emiatt azonban csak olyan esetben van értelme használni, amikor a változó úgyszólván jól viselkedik, vagyis nincs sok kiugró érték, amely eltorzítaná az súlypont által adott képet. Ezért azokat az intervallum- és arányskálán mért adathalmazokat, amelyek viszonylag sok kiugró értéket tartalmaznak(vagyis rosszul viselkednek ), az ordinális változókhoz hasonlóan kezeljük. 10
15 Miután áttekintettük a statisztikai változók sokféleségét és csoportosításukat, tisztázzuk az alapsokaság és a minta fogalmát. Mint említettük, a statisztika olyan jelenségeket vizsgál, amik megismételhetők. Ez azt jelenti, hogya jelenségekvizsgálatasoránsok, akárvégtelensokméréstis végezhetünk. Ezen elméletileg lehetséges összes mérés kimeneteleinek, eredményeinek összefoglaló halmazát nevezzük alapsokaságnak. Elméletben a statisztikai változó teljes megismeréséhez ezt a végtelensok mérést el kellene végeznünk, de erre nyilvánvalóan nincs lehetőségünk, ezért annak csak egy részhalmazát, a mintát vizsgáljuk. A minta tehátazalapsokaságrészhalmaza, amelyneklétrehozásáraa legkézenfekvőbbmódszera véletlen kiválasztás. A létrehozott mintán méréseket végzünk, a keletkező mérési eredmények halmazát szinén mintának nevezzük. (Magyarán: kevésbé precíz fogalmazással pl. az évfolyam mint alapsokaságegyikcsoportjánaktagjaittekinthetjükazévfolyambólvettmintának; precízebben fogalmazva az évfolyam hallgatóinak vércsoportadatai jelenthetnek alapsokaságot, mígazegyikcsoporttagjainakvércsoportadataiegylehetségesmintát.) A mintát jellemezhetjük grafikusan és számszerűen, majd a minta így megállapított tulajdonságait extrapolálhatjuk, kiterjeszthetjük az alapsokaságra. Az előbbi példánál maradva: amilyen arányban a mintában előfordulnak az egyes vércsoportok, kb. olyasmit várunkel azegészalapsokaságtólis. Mivela mintaösszeállításavéletlenszerűentörténik, nem biztos, hogy tökéletesen reprezentálja az alapsokaságot, a különböző értékek alapsokaságon belüli előfordulási arányát. Így a minta alapján levont következtetésekhez mindig társul valamekkora bizonytalanság. 11
16 Egy minta bemutatásának legegyszerűbb módja a minta elemeinek felsorolása (prakatikusan a mérés sorrendjében). Ez a fajta listázás a minta elemeinek puszta létezésén túl nem sok mindent mutat. Nagy elemszámú minta esetén is így tároljuk az adatokat, de szemléltetésre már nem alkalmas. Szemléletesebb a minta elemeit kategóriákba sorolni, majd az előfordulási gyakoriságot kategóriánkent megadni. A besoroláshoz szükséges kategóriák minőségi változók esetén azelemi eseményekalapjánegyértelműenadódnak, bárösszevonásraszükséglehet(pl. ha egy kategóriába kiugróan kevés elem kerülne). Mennyiségi változóknál már sokszor nekünkkellönkényeskategóriákat(másnévenintervallumokatvagyosztályokat) definiálnunk, és ezekbe sorolhatjuk az adatokat. Az intervallumok kialakításának vannak praktikusszempontjai, amitelsősorbana mintaterjedelmeésazelemszámszabmeg (lásd később). Nagyobb elemszám esetén például nagyobb számú, így kisebb (keskenyebb) intervallumokat célszerű definiálni. Azonban tartsuk észben, hogy az intervallumhatárokkijelölésével akárugyanolyanszélesintervallumokatvéve mi magunk is befolyásoljuk a gyakoriságok értékeit. Az egyes kategóriákba tartozó elemek számát abszolút gyakoriságnak nevezzük. Azonban különbözőméretűmintákösszehasonlításátmegkönnyíti, ha nemazabszolút, hanema relatív gyakoriságokat(vagyis a mintán belüli[százalékos] arányt) használjuk. Így könnyen összehasonlítható pl. egy kisváros és egy ország lakosságának vércsoport szerinti megoszlása. Számszerű változók esetén azonban nem csak a minta elemszámában adódhatnak 12
17 jelentőseltérések, hanema kialakítottosztályokszélességébenis. Nyilvánvaló, hogyha szélesebbosztályokathasználunk, akkorugyanazonmintaeseténis eltérőkleszneka gyakoriságok és a relatív gyakoriságok. Ezért az összehasonlítás érdekében célszerű ezeket a gyakoriságokat az osztály szélességére vonatkoztatni(magyarán azzal elosztani). Az így kapott mennyiségek: a(z abszolút) gyakoriságsűrűség és a relatív gyakoriságsűrűség. 12
18 Kvalitatív mennyiségből álló minta esetén oszlopdiagramot vagy kördiagramot célszerű használni az adatok ábrázolásához. Az oszlopdiagram elsőre egy klasszikus függvény koordinátarendszerére hasonlít, azonban fontos eltérés, hogy az x tengelyen a kvalitatív (a példábon nominális kvalitítv) változót veszünk fel. A nominális skála korábban részletezett tulajdonságaiból fakadóan sem a kategóriák sorrendjének, sem a köztük lévő távolságnakvagya szélességükneknincsjelentése, ezeketpraktikus(pl. ábécérend, gyakoriság szerinti sorrend stb.) és esztétikai szempontok szerint alakítjuk ki. A függő változó természetesen az abszolút vagy relatív gyakoriság(utóbbit gyakran százalékos formában tüntetik fel). A kördiagrameseténa köra teljesmintánakfelelmeg, mígazegyesszeletekméretea változókülönféleértékeinekmintánbelülielőfordulásigyakoriságávalarányos. A szeletek sorrendjét itt is praktikus szempontok szabják meg, matematikai jelentésük nincs. 13
19 Kvantitatív változó esetén az x tengelyen az intervallumskálát vesszük fel, amelyet praktikus szélességű önkényes kategóriákra, osztályokra osztunk fel. Az y tengelyen felvehetjük az abszolút gyakoriságot, ekkor az oszlopok magasságáról közvetlenül leolvasható az adott osztályba tartozó elemek száma. Ha a relatív gyakoriságot ábrázoljuk, akkor az oszlopok magassága az adott osztályba tartozó elemek mintán belüli hányadának felel meg. Ha azabszolútgyakoriságotnormáljukazosztályszélességre, akkormegkapjuka(z abszolút) gyakoriságsűrűséget. Eztfelvéveazy tengelyena oszlopok(téglalapok) területefog megfelelniazadottosztályelemszámának. A teljes Hasonlóan, a relatívgyakoriságsűrűség Megjegyzés: a sűrűség kifejezés általános jelentése, hogy valamilyen egységre(egységnyi térfogatra, felületrevagyszakaszra) vonatkoztatunk. Háromdimenzióspéldátemlítvea hagyományos sűrűség (tömegsűrűség) az egységnyi térfogatra vonatkoztatott tömeget adja meg. Két dimenzióban használt mennyiség a felületi sűrűség(például papírt szokták vele jellemezni), amely az egységnyi felületre vonatkoztatott tömeg(pl. egy négyzetméterpapírlaptömege). A gyakoriságsűrűségnéllényegébena Δx szakaszhosszra vonatkoztatjuk a gyakoriságot («tömegét»), vagyis ez egy egydimenziós sűrűségnek tekinthető. 14
20 A kérdések megválaszolhatók az előadáson elhangzottak, a gyakorlatvezetővel folytatott konzultációk, illetve saját utánaolvasás segítségével. Az ellenőrző kérdések egyben példák arra, hogy milyen tesztkérdések(feleletválasztós formában) fordulhatnak elő. 15
21 16
22 17
23 18
24 Abszolút gyakoriság: az adott halmazba tartozó elemszám Relatív gyakoriság: a teljes mintára vonatkoztatott elemszám Feltételes relatív gyakoriság: a minta egy részhalmazára vonatkoztatott elemszám. A mintán belül az abszolút gyakoriságok összeadhatók. Példa: mirigyláz és fertőző májgyulladás összesen = 44 embert érintett. A mintán belül a relatív gyakoriságok összeadhatók. Példa: mirigyláz és veszettség az embereknek összesen 6,5% + 22% = 28,5%-t érintette. A részhalmazon belül az arra vonatkoztatott feltételes relatív gyakoriságok összeadhatók. Példa: A vírusos megbetegedéseken belül 17,5% a mirigyláz és 6,3% egyéb. Ezek együttesen a vírusos megbetegedések 23,8%-át teszik ki. A feltételes relatív gyakoriságot megszorozva a vonatkoztatási részhalmaz relatív gyakoriságával megkapjuk a relatív gyakoriságot. Példa: A mirigyláz vírusos megbetegedéseken belüli aránya 17,5%. A vírusos betegségek mintánbelülihányada37,5%. A mirigylázmintánbelüliarányatehát17,5%*37,5% = 0,175*0,375=0,065=6,5% 19
GAZDASÁGI STATISZTIKA
GAZDASÁGI STATISZTIKA Dr. Kun István GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 1 TÉMAKÖRÖK A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI STATISZTIKAI SOROK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK
Részletesebben2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )
Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden
Részletesebben6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE
6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE A kurzus anyagát felhasználva összeállíthatunk egy kitűnő feladatlapot, de még nem dőlhetünk nyugodtan hátra. Diákjaink teljesítményét még osztályzatokra kell átváltanunk,
RészletesebbenMatematikai statisztikai elemzések 1.
Matematikai statisztikai elemzések 1. A statisztika alapfogalmai, feladatai, Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 1.: A statisztika alapfogalmai, feladatai, statisztika, osztályozás,
RészletesebbenMATEMATIKA C 8. évfolyam 10. modul ÁTLAGOS?
MATEMATIKA C 8. évfolyam 10. modul ÁTLAGOS? Készítette: Surányi Szabolcs MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 10. MODUL: ÁTLAGOS? TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
RészletesebbenTantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1.
Tantárgyi útmutató 1. A tantárgy helye a szaki hálóban Gazdálkodási és menedzsment szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz kattintson a képre! Turizmus - vendéglátás szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz
RészletesebbenEGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ
EGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ MODELLEZÉS Brodszky Valentin, Jelics-Popa Nóra, Péntek Márta BCE Közszolgálati Tanszék A tananyag a TÁMOP-4.1.2/A/2-10/1-2010-0003 "Képzés- és tartalomfejlesztés a Budapesti
RészletesebbenReiczigel Jenő, 2006 1
Reiczigel Jenő, 2006 1 Egytényezős (egyszempontos) varianciaelemzés k független minta (k kezelés vagy k csoport), a célváltozó minden csoportban normális eloszlású, a szórások azonosak, az átlagok vagy
RészletesebbenMatematikai és matematikai statisztikai alapismeretek
Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok
RészletesebbenVasúti szállítás és infrastruktúra I.
Széchenyi István Egyetem Műszaki Tudományi Kar Közlekedési Tanszék Arató Károly Vasúti szállítás és infrastruktúra I. Győr, 2009. Tartalomjegyzék A./ VASÚTI TEHERKOCSIK IDŐFELHASZNÁLÁSAI 7 1. Kereskedelmi
RészletesebbenVári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004
Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004 2005 Budapest Értékelési Központ SuliNova Kht. 2 Országos Kompetenciamérés 2004 Tartalom 1. Bevezetés...4
RészletesebbenINTELLIGENS ADATELEMZÉS
Írta: FOGARASSYNÉ VATHY ÁGNES STARKNÉ WERNER ÁGNES INTELLIGENS ADATELEMZÉS Egyetemi tananyag 2011 COPYRIGHT: 2011 2016, Dr. Fogarassyné Dr. Vathy Ágnes, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Matematika
RészletesebbenMatematika. 5. 8. évfolyam
Matematika 5. 8. évfolyam 5. 6. évfolyam Éves órakeret: 148 Heti óraszám: 4 Témakörök Óraszámok Gondolkodási és megismerési módszerek folyamatos Számtan, algebra 65 Összefüggések, függvények, sorozatok
Részletesebben2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar
2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor
RészletesebbenA hierarchikus adatbázis struktúra jellemzői
A hierarchikus adatbázis struktúra jellemzői Az első adatbázis-kezelő rendszerek a hierarchikus modellen alapultak. Ennek az volt a magyarázata, hogy az élet sok területén első közelítésben elég jól lehet
RészletesebbenMUNKAANYAG. Szám János. Síkmarás, gépalkatrész befoglaló méreteinek és alakjának kialakítása marógépen. A követelménymodul megnevezése:
Szám János Síkmarás, gépalkatrész befoglaló méreteinek és alakjának kialakítása marógépen A követelménymodul megnevezése: Általános gépészeti technológiai feladatok II. (forgácsoló) A követelménymodul
RészletesebbenElméleti összefoglalók dr. Kovács Péter
Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter 1. Adatállományok létrehozása, kezelése... 2 2. Leíró statisztikai eljárások... 3 3. Várható értékek (átlagok) vizsgálatára irányuló próbák... 5 4. Eloszlások vizsgálata...
RészletesebbenMódszertani útmutató a természet adta javak és szolgáltatások nem pénzbeli értékeléséhez
Modszer_2_Layout 1 2010.10.25. 21:19 Page 1 ESSRG Füzetek 2/2010 Módszertani útmutató a természet adta javak és szolgáltatások nem pénzbeli értékeléséhez Kelemen Eszter, Bela Györgyi, Pataki György Környezeti
RészletesebbenSzubszidiaritás az EU és tagállamai regionális politikájában
KENGYEL ÁKOS 1 Szubszidiaritás az EU és tagállamai regionális politikájában A tanulmány az Európai Unió kohéziós (regionális fejlesztési) politikája vonatkozásában vizsgálja meg a szubszidiaritás elvének
Részletesebbenkülönösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
Részletesebben(11) Lajstromszám: E 004 597 (13) T2 EURÓPAI SZABADALOM SZÖVEGÉNEK FORDÍTÁSA
!HU000004597T2! (19) HU (11) Lajstromszám: E 004 597 (13) T2 MAGYAR KÖZTÁRSASÁG Magyar Szabadalmi Hivatal EURÓPAI SZABADALOM SZÖVEGÉNEK FORDÍTÁSA (21) Magyar ügyszám: E 04 716248 (22) A bejelentés napja:
RészletesebbenJÁTÉKELMÉLETI MAGYARÁZAT A KÖZJÓSZÁGOK LÉTREJÖTTÉNEK ELMARADÁSÁRA
Szociológiai Szemle 2005/1, 23 40. JÁTÉKELMÉLETI MAGYARÁZAT A KÖZJÓSZÁGOK LÉTREJÖTTÉNEK ELMARADÁSÁRA MÉSZÁROS József Budapesti Mûszaki és Gazdaságtudományi, Egyetem Szociológia és Kommunikáció Tanszék
Részletesebben9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.
9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok
Részletesebben2. Interpolációs görbetervezés
2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA
Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló
RészletesebbenMATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam
BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag
RészletesebbenHelyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam
Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az
RészletesebbenÁltalános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László
Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication
RészletesebbenMatematikai statisztikai elemzések 2.
Matematikai statisztikai elemzések 2. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek. A szórás és szóródás Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 2.: Helyzetmutatók, átlagok, Prof. Dr. Závoti,
RészletesebbenTanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz
MATEMATIKA 6. Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz Témák 1. Játékos feladatok Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban.
RészletesebbenMUNKAANYAG. Földi László. Szögmérések, külső- és belső kúpos felületek mérése. A követelménymodul megnevezése:
Földi László Szögmérések, külső- és belső kúpos felületek mérése A követelménymodul megnevezése: Általános anyagvizsgálatok és geometriai mérések A követelménymodul száma: 0225-06 A tartalomelem azonosító
RészletesebbenMATEMATIKA 1-2.osztály
MATEMATIKA 1-2.osztály A matematikatanítás feladata a matematika különböző arculatainak bemutatása. A tanulók matematikai gondolkodásának fejlesztése során alapvető cél, hogy mind inkább ki tudják választani
RészletesebbenMatematika. Padányi Katolikus Gyakorlóiskola 1
Matematika Alapelvek, célok: Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
RészletesebbenMATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a
RészletesebbenMűködési kockázati önértékelések veszteségeloszlás-alapú modellezése
506 HITELINTÉZETI SZEMLE HAJNAL BÉLA KÁLLAI ZOLTÁN NAGY GÁBOR Működési kockázati önértékelések veszteségeloszlás-alapú modellezése Tanulmányunkban a működési kockázatok önértékelésen alapuló modellezését
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 7. MA3-7 modul. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 7. MA3-7 modul Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról
RészletesebbenII. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { }
II. Halmazok. Relációk II.1. Rövid halmazelmélet A halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. A halmaz alapfogalom. Ez azt jelenti, hogy csak példákon
Részletesebben5. évfolyam. Gondolkodási módszerek. Számelmélet, algebra 65. Függvények, analízis 12. Geometria 47. Statisztika, valószínűség 5
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
RészletesebbenI. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)
MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 6. MA3-6 modul. A statisztika alapfogalmai
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 6. MA3-6 modul A statisztika alapfogalmai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999.
RészletesebbenAz alábbi áttekintés Délkelet-Európa (a volt Jugoszlávia országai
OKTATÁSIRÁNYÍTÁS ÉS OKTATÁSPOLITIKA A BALKÁNON Az alábbi áttekintés Délkelet-Európa (a volt Jugoszlávia országai Szlovénia kivételével, Bulgária, Románia és Albánia) oktatási rendszerei előtt álló kihívásokat
RészletesebbenA FIZIKUS SZEREPE A DAGANATOS BETEGEK GYÓGYÍTÁSÁBAN
A FIZIKUS SZEREPE A DAGANATOS BETEGEK GYÓGYÍTÁSÁBAN Balogh Éva Jósa András Megyei Kórház, Onkoradiológiai Osztály, Nyíregyháza Angeli István Debreceni Egyetem, Kísérleti Fizika Tanszék A civilizációs ártalmaknak,
RészletesebbenBevezető Mi a statisztika? Mérés Feldolgozás Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés Feladatok. Statisztika I.
Statisztika I. 1. előadás: A statisztika alapfogalmai Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Óbudai Egyetem A kurzusról A kurzus célja
Részletesebbenkülönösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
Részletesebben11. Matematikai statisztika
11. Matematikai statisztika 11.1. Alapfogalmak A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kisérlet eredménye. Ez véges sok, azonos eloszlású valószínűségi változó
RészletesebbenA két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas)
Eredeti forrás: Pintér Klára: Játsszunk Dienes Zoltán Pál logikai készletével! http://www.jgypk.u-szeged.hu/methodus/pinter-klara-jatsszunk-logikat-logikai-keszlettel/ A logikai készlet lapjaival kapcsolatos
Részletesebbenkülönösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson amatematikáról, mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
RészletesebbenApor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1-4./1.2.3.
1 Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont Helyi tanterv Matematika készült a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1-4./1.2.3. alapján 1-4. évfolyam 2 MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja,
RészletesebbenTartalom. Matematikai alapok. Termékgyártási példafeladat. Keverési példafeladat Szállítási példafeladat Hátizsák feladat, egészértékű feladat
6. előadás Termelési és optimalizálási feladatok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Matematikai alapok Matematikai modell Fontosabb feladattípusok Érzékenységvizsgálat Termékgyártási
RészletesebbenA természeti erõforrások pénzbeli értékelése
Közgazdasági Szemle, XLVIII. évf., 2001. február (114 129. o.) MARJAINÉ SZERÉNYI ZSUZSANNA A természeti erõforrások pénzbeli értékelése A tanulmány a természeti erõforrások és környezeti javak változásainak
RészletesebbenCsordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013
Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné tankönyv 5 Mozaik Kiadó Szeged, 2013 A TERMÉSZETES SZÁMOK 13. A szorzat változásai Az iskolai könyvtáros 10
RészletesebbenValószínűség-számítás II.
Valószínűség-számítás II. Geometriai valószínűség: Ha egy valószínűségi kísérletben az események valamilyen geometriai alakzat részhalmazainak felelnek meg úgy, hogy az egyes események valószínűsége az
RészletesebbenAz áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!
Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április
RészletesebbenMintapéldák és gyakorló feladatok
Mintapéldák és gyakorló feladatok Közgazdaságtan II. (Makroökonómia) címû tárgyból mérnök és jogász szakos hallgatók számára Az alábbi feladatok a diasorozatokon található mintapéldákon túl további gyakorlási
RészletesebbenEMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03. Matematika az általános iskolák 5 8.
EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03 Matematika az általános iskolák 5 8. évfolyama számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet
RészletesebbenKomputer statisztika gyakorlatok
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes
RészletesebbenHELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok
HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,
RészletesebbenA TEST ÉS AZ ELME VISZONYA
A TEST ÉS AZ ELME VISZONYA Amikor ujjammal a falra mutatok és felkérem Önöket, hogy nézzenek oda, minden tekintet a falra irányul, és senki sem az ujjamat nézi. Az ujjam rámutat valamire, és Önök nyilvánvalóan
RészletesebbenMatematikai statisztikai elemzések 5.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzések. MSTE modul Kapcsolatvizsgálat: asszociáció vegyes kapcsolat korrelációszámítás. Varianciaanalízis
Részletesebben10. Valószínűségszámítás
. Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás
RészletesebbenMegjelent: Magyar Földrajzi Konferencia tudományos közleményei (CD), Szeged, 2001
Megjelent: Magyar Földrajzi Konferencia tudományos közleményei (CD), Szeged, 2001 A területi lehatárolások statisztikai következményei A területi lehatárolások statisztikai következményeinek megközelítése
RészletesebbenMatematika helyi tanterv,5 8. évfolyam
Matematika helyi tanterv - bevezetés Matematika helyi tanterv,5 8. évfolyam A kerettanterv B változatának évfolyamonkénti bontása Bevezető Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson
RészletesebbenStatisztikai módszerek
Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 0814 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:
RészletesebbenMatematika 9. évfolyam
I. Vezetői összefoglaló Matematika 9. évfolyam A tankönyv a megkérdezett pedagógusok többségének nem nyerte el a tetszését. A pedagógusok fele egyáltalán nem szeretne a jövőben a tankönyvből tanítani,
RészletesebbenIskolakultúra 2015/10 Milyen magasak és milyen nehezek vagyunk? Van-e a kapcsolat az emberek magassága és testtömege között?
Milyen magasak és milyen nehezek vagyunk? Van-e a kapcsolat az emberek magassága és testtömege között? Napjainkban a természettudományos nevelés számos problémával küzd. Például nem megfelelő az iskolában
RészletesebbenSZÁMOLÁSTECHNIKAI ISMERETEK
SZÁMOLÁSTECHNIKAI ISMERETEK Műveletek szögekkel Geodéziai számításaink során gyakran fogunk szögekkel dolgozni. Az egyszerűbb írásmód kedvéért ilyenkor a fok ( o ), perc (, ), másodperc (,, ) jelét el
RészletesebbenMATEMATIKA. Tildy Zoltán Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola Helyi tanterv 1-4. évfolyam 2013.
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
RészletesebbenBódis Lajos Privatizáció, munkaszervezet és bérelosztási mechanizmusok egy nagyüzemi varrodában, II. rész
ESETTANULMÁNY Közgazdasági Szemle, XLIV. évf., 1997. szeptember (799 818. o.) Bódis Lajos Privatizáció, munkaszervezet és bérelosztási mechanizmusok egy nagyüzemi varrodában, II. rész A szerzõ az új intézményi
RészletesebbenEgyes kockázatelemzési (veszélyazonosítási) módszerek alkalmazásának értékelési, illetőleg ellenőrzési szempontjai
Egyes kockázatelemzési (veszélyazonosítási) módszerek alkalmazásának értékelési, illetőleg ellenőrzési szempontjai Cseh Gábor Magyar Műszaki Biztonsági Hivatal Bevezetés A veszélyes helyzetek azonosítására,
RészletesebbenVarga András. Õsi magyar nyelvtan
Varga András Õsi magyar nyelvtan Õsi magyar nyelvtan Tartalomjegyzék Õsi magyar nyelvtan...1 Bevezetõ...1 Mi a probléma az indogermán nyelvelemzõ készlettel?...1 Alá és fölérendelt mondatok...1 Az egész
RészletesebbenValószínűségszámítás
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................
RészletesebbenCsicsman József-Sipos Szabó Eszter csicsman@calculus.hu, siposeszti@gmail.com. Matematikai alapok az adatbányászati szoftverek első megismeréséhez
Csicsman József-Sipos Szabó Eszter csicsman@calculus.hu, siposeszti@gmail.com Matematikai alapok az adatbányászati szoftverek első megismeréséhez 1.1 A statisztikai sokaság A statisztika a valóság számszerű
RészletesebbenA közvetett hatások értékelésének lehetőségei
A közvetett hatások értékelésének lehetőségei Összefoglaló jelentés Készült A VKI végrehajtásának elősegítése II. fázis című projekt keretében Készítették: Marjainé Dr. Szerényi Zsuzsanna Harangozó Gábor
RészletesebbenEMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3. Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára
EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3 Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára Célok és feladatok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet
RészletesebbenHITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS HE 24-2012
HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS GÉPJÁRMŰ-GUMIABRONCSNYOMÁS MÉRŐK HE 24-2012 TARTALOMJEGYZÉK 1. AZ ELŐÍRÁS HATÁLYA... 5 2. MÉRTÉKEGYSÉGEK, JELÖLÉSEK... 6 2.1 Használt mennyiségek... 6 2.2 Jellemző mennyiségi értékek
Részletesebbenreális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv életkornak
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
RészletesebbenNövelhető-e a csőd-előrejelző modellek előre jelző képessége az új klasszifikációs módszerek nélkül?
Közgazdasági Szemle, LXI. évf., 2014. május (566 585. o.) Nyitrai Tamás Növelhető-e a csőd-előrejelző modellek előre jelző képessége az új klasszifikációs módszerek nélkül? A Bázel 2. tőkeegyezmény bevezetését
Részletesebbenképességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
RészletesebbenTerület- és térségmarketing. /Elméleti jegyzet/
Terület- és térségmarketing /Elméleti jegyzet/ Terület- és térségmarketing /Elméleti jegyzet/ Szerző: Nagyné Molnár Melinda Szent István Egyetem Szerkesztő: Nagyné Molnár Melinda Lektor: Szakály Zoltán
RészletesebbenBudapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Dr. Kövesi János Erdei János Nagy Jenő Bence Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter Gazdaságstatisztika Oktatási segédanyag a Gazdaságstatisztika
RészletesebbenKísérletek. 2010.10.17. Készítette: Kiss Anett
Kísérletek A kísérlet ebben a fejezetben úgy jelenik meg, mint a tudományos megfigyelés egyik módja, ahol a társadalomtudósok igyekeznek jelenségeket megérteni, általánosításokhoz jutni. A kísérlet lényege:
RészletesebbenAZ ÉPÍTÉSI MUNKÁK IDŐTERVEZÉSE
UDPESTI MŰSZKI ÉS GZDSÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÉPÍTÉSZMÉRNÖKI KR ÉPÍTÉSKIVITELEZÉSI és SZERVEZÉSI TNSZÉK dr. Neszmélyi László Z ÉPÍTÉSI MUNKÁK IDŐTERVEZÉSE - 2015. - Tartalom 1. EVEZETÉS... 4 2. Z ÉPÍTÉSEN
RészletesebbenFAUR KRISZTINA BEÁTA, SZAbÓ IMRE, GEOTECHNIkA
FAUR KRISZTINA BEÁTA, SZAbÓ IMRE, GEOTECHNIkA 7 VII. A földművek, lejtők ÁLLÉkONYSÁgA 1. Földművek, lejtők ÁLLÉkONYSÁgA Valamely földművet, feltöltést vagy bevágást építve, annak határoló felületei nem
RészletesebbenHalmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai.
Halmazok Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. 1. lapfogalmak halmaz és az eleme fogalmakat alapfogalmaknak tekintjük, nem deniáljuk ket. Jelölés: x H,
RészletesebbenGyarmati Dezső Sport Általános Iskola MATEMATIKA HELYI TANTERV 1-4. OSZTÁLY
Gyarmati Dezső Sport Általános Iskola MATEMATIKA HELYI TANTERV 1-4. OSZTÁLY KÉSZÍTETTE: Bartháné Jáger Ottília, Holndonnerné Zátonyi Katalin, Krivánné Czirba Zsuzsanna, Migléczi Lászlóné MISKOLC 2015 Összesített
RészletesebbenA.11. Nyomott rudak. A.11.1. Bevezetés
A.. Nyomott rudak A... Bevezetés A nyomott szerkezeti elem fogalmat általában olyan szerkezeti elemek jelölésére használjuk, amelyekre csak tengelyirányú nyomóerő hat. Ez lehet speciális terhelésű oszlop,
Részletesebben23. Kombinatorika, gráfok
I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta
RészletesebbenAz enyhe értelmi fogyatékos fővárosi tanulók 2009/2010. tanévi kompetenciaalapú matematika- és szövegértés-mérés eredményeinek elemzése
E L E M Z É S Az enyhe értelmi fogyatékos fővárosi tanulók 2009/2010. tanévi kompetenciaalapú matematika- és szövegértés-mérés eredményeinek elemzése 2010. szeptember Balázs Ágnes (szövegértés) és Magyar
RészletesebbenMUNKAANYAG. Dzúró Zoltán. Tengelyszerű munkadarab készítése XY típusú. esztergagépen, a munkafolyamat, a méret-, alakpontosság
Dzúró Zoltán Tengelyszerű munkadarab készítése XY típusú esztergagépen, a munkafolyamat, a méret-, alakpontosság és felületminőség ellenőrzése, dokumentálása A követelménymodul megnevezése: Általános gépészeti
RészletesebbenMATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények
MATEMATIKA 9 10. évfolyam 1066 MATEMATIKA 9 10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét,
RészletesebbenACÉLÍVES (TH) ÜREGBIZTOSÍTÁS
Miskolci Egyetem Bányászati és Geotechnikai Intézet Bányászati és Geotechnikai Intézeti Tanszék ACÉLÍVES (TH) ÜREGBIZTOSÍTÁS Oktatási segédlet Szerző: Dr. Somosvári Zsolt DSc professzor emeritus Szerkesztette:
RészletesebbenEsettanulmányok a WINGDSS szoftverrel
Budapesti Közgazdaságtudományi és Államigazgatási Egyetem MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézetébe kihelyezett Gazdasági Döntések Tanszék Rapcsák Tamás Többszempontú döntési problémák
RészletesebbenMUNKAANYAG. Szabó László. Oldható kötések alkalmazása, szerszámai, technológiája. A követelménymodul megnevezése: Épületgépészeti alapfeladatok
Szabó László Oldható kötések alkalmazása, szerszámai, technológiája A követelménymodul megnevezése: Épületgépészeti alapfeladatok A követelménymodul száma: 0109-06 A tartalomelem azonosító száma és célcsoportja:
RészletesebbenMunkába, de hány keréken?
Munkába, de hány keréken? A Zöld Gondolat Lovagrend közlekedéstudatossági kutatása Újabb zöld kutatás, újabb fejlemények. Az őszi energiatakarékossági kérdőív után Lovagrendünk egy másik témában is feltette
RészletesebbenKészítette: niethammer@freemail.hu
VLogo VRML generáló program Készítette: Niethammer Zoltán niethammer@freemail.hu 2008 Bevezetés A VLogo az általános iskolákban használt Comenius Logo logikájára épülő programozási nyelv. A végeredmény
RészletesebbenMUNKAERŐ-PIACI ESÉLYEK, MUNKAERŐ-PIACI STRATÉGIÁK 1
GYÖRGYI ZOLTÁN MUNKAERŐ-PIACI ESÉLYEK, MUNKAERŐ-PIACI STRATÉGIÁK 1 Bevezetés Átfogó statisztikai adatok nem csak azt jelzik, hogy a diplomával rendelkezők viszonylag könynyen el tudnak helyezkedni, s jövedelmük
RészletesebbenKecskés Gábor Gergely * HARC A FIATAL MAGYAR LÉGI UTASOKÉRT **
Kecskés Gábor Gergely * HARC A FIATAL MAGYAR LÉGI UTASOKÉRT ** RÉSZLETEK A dolgozat során megpróbáltam bemutatni a légi közlekedés piacát, és azon belül is hangsúlyt adtam a low-cost és a hagyományos légitársaságoknak.
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
Részletesebben