Bevezetés az elméleti zikába

Átírás

1 Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Az elméleti mechanika alapjai Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011

2 TARTALOMJEGYZÉK 1. Elméleti mechanika Az elméleti mechanika alapjai A legkisebb hatás elve A mechanika megmaradási törvényei Energia megmaradás Impulzus megmaradás A tömegközéppont Impulzusnyomaték megmaradás Egydimenziós mozgás Egydimenziós szabad rezgések Kényszerrezgések Csillapított rezgések Centrális er térben való mozgás Kepler-probléma Kéttest-probléma Mechanikai hasonlóság. Viriál tétel A kanonikus mozgásegyenletek A Poisson-zárójelek A kanonikus transzformációk Példák a kanonikus transzformációkra A Hamilton-Jacobi-egyenlet Példák a Hamilton-Jacobi-egyenletre

3 6 TARTALOMJEGYZÉK

4 1. FEJEZET Elméleti mechanika 1.1. Az elméleti mechanika alapjai A mechanika egyik alapvet fogalma a tömegpont, a továbbiakban részecske. Olyan anyagi testet hívunk így, amelynek méretei elhanyagolhatók mozgásának leírása szempontjából. Az egy vagy több részecskéb l álló rendszerek leírásához egy sor alapfeltevésb l vagy posztulátumból indulunk ki. Ezekb l, tisztán matematikai módszerekkel megkaphatók a mechanikai rendszerek további tulajdonságai. Az alábbi posztulátumok nem tekinthet k matematikai értelemben vett axiómarendszernek. Az axiomatikus mechanika önmagában is terjedelmes, a tudománylozóával rokon terület. A jelenségeket a háromdimenziós térben és id ben játszódnak le: A tömegpont helyzetét a térben az r helyzetvektor adja meg, amelynek komponensei az x, y, z Descartes-koordináták. r-nek az id szerinti els és második deriváltja: v dr dt ṙ, a részecske sebessége illetve gyorsulása. a dr dt r A tér homogén és izotróp: a mechanikai jelenségek tanulmányozásának céljából valamilyen vonatkoztatási rendszert kell választanunk. A különböz vonatkoztatási rendszerekben általában különböz k a mozgástörvények. Ha tetsz leges vonatkoztatási rendszert választunk, el fordulhat, hogy egészen egyszer jelenségek törvényei is igen bonyolult formát öltenek. Természetes módon merül fel az a feladat, hogy olyan vonatkoztatási rendszert keressünk, amelyben a mechanikai törvények a legegyszer bb alakúak. Mindig lehet, olyan vonatkoztatási rendszert találni, amelyben a tér homogén és izotrop, az id pedig homogén. Az ilyen rendszert tehetetlenségi vonatkoztatási rendszernek nevezzük. Ha ebben a szabad test valamely id pontban nyugalomban van, akkor korlátlan ideig nyugalomban is marad. Az id homogén és reverzibilis (1 szimmetria) A tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerek egyenértéküek (relativitás elve) (3 szimmetria) 7

5 8 FEJEZET 1. ELMÉLETI MECHANIKA Egy rendszer mozgásegyenletét a minimális hatás elve határozza meg Mindenféle tömeg pozitív mennyiség A legkisebb hatás elve Minden rendszert egy adott L(t, q 1,..., q n, q 1,..., q n ) (1.1) függvény jellemez, röviden L(t, q, q). Itt q i a rendszer általánosított koordinátái. Jellemezzék a rendszer helyzetét a t = t 1 és t = t id pillanatban a q (1) illetve q () koordináták. Ekkor a két állapot között úgy mozog a rendszer, hogy az S[q] = t t 1 L(t, q, q)dt (1.) integrál minimális értéket vesz fel. Az L függvényt az adott rendszer Lagrange függvényének hívjuk, az S[q] integrált pedig a hatásfüggvénynek. A variációszámítás tételei alapján a mozgásegyenletek egyenérték ek a d dt L q i = L qi, i = 1,,..., n (1.3) 1.. A mechanika megmaradási törvényei A mechanikai rendszer mozgásakor a q i mennyiségek változnak id ben. Léteznek azonban ezeknek olyan függvényei, amelyek állandó érték ek az egész mozgás folyamán, s csak a kezdeti feltételekt l függnek. Ezeket a függvényeket mozgásállandóknak nevezzük. Igazolható, hogy n szabadsági fokú zárt rendszer esetén ennek független mozgásállandóinak száma n 1. A mozgásállandók közül azonban nem mindegyik játszik egyformán fontos szerepet a mechanikában. Van közöttük néhány, amelynek állandó volta igen mély eredet : az id és a tér alapvet tulajdonságaival homogenitással és az izotrópiával kapcsolatos. Mindezeknek az úgynevezett megmaradó mennyiségeknek fontos általános tulajdonsága, hogy additívak, azaz olyan rendszerre, amelyek egyes részei között a kölcsönhatás elhanyagolható a mozgásállandók értéke megegyezik az egyes részekre vett értékek összegével. Noether tétele értelmében minden folytonos szimmetriának megfelel egy megmaradó mennyiség Energia megmaradás Egy ilyen típusú mennyiség az energia. Megmaradása az id homogenitásának következménye. A variációszámítással foglalkozó fejezetekb l tudjuk, hogy amennyiben egy (1.1) típusú alapfüggvény nem függ expliciten az id t l akkor a 1. funkcionál stacionaritását biztosító (1.3) egyenletrendszernek létezik a (??) primintegrálja. Azaz az mennyiség állandó. E = n i=1 q i L q i L

6 1.. A MECHANIKA MEGMARADÁSI TÖRVÉNYEI Impulzus megmaradás A tér homogén voltának következtében egy zárt rendszer mechanikai tulajdonságai nem változnak meg, ha a rendszert mint egységes egészet önmagával párhuzamosan tetsz leges módon eltoljuk. Ennek megfelel en tekintsük az ɛ végtelen kis eltolást, és követeljük meg a Lagrange-függvényt l, hogy legyen invariáns ezzel az eltolással szemben. A párhuzamos eltolás olyan transzformációt jelent, amelynél a rendszer minden pontja egyformán mozdul el, vagyis r a r a + ɛ. A koordináták végtelen kis megváltoztatásakor, miközben a sebsségek változatlanok maradnak, az L Lagrange-függvény megváltozása a következ : δl = a L r a δr a = ɛ a L r a, ahol az összegzés a rendszer minden tömegpontjára vonatkozik. Mivel ɛ tetsz leges, a δl = 0 követelmény ekvivalens a L = 0 (1.4) r a követelménnyel. Az Euler-Lagrange egyenlet értelmében ebb l a a d L = d L = 0 dt v a dt v a adódik. Ily módon arra a következtetésre jutottunk, hogy zárt mechanikai rendszerekben a P = L v a a vektormennyiség a mozgás folyamán állandó. A P mennyiséget a rendszer impulzusának hívjuk. A Lagrange-függvényb l: a P = a m a v a. Az impulzus additivitása nyilvánvaló. Továbbá az energiával ellentétben a rendszer impulzusa az egyes részecskék p a = m a v a impulzusának az összege, attól függetlenül, hogy elhanyagolható-e a részecskék közötti kölcsönhatás, vagy sem. Az impulzus mindhárom komponensére csak küls tér hiányában igaz a megmaradási tétel. Az impulzus egy-egy komponense azonban külön megmaradó mennyiség lehet küls tér jelenlétében is, ha a potenciális energia nem függ valamelyik Descartes-koordinátától. A megfelel koordinátatengely mentén végrehajtott eltoláskor a mechanikai rendszer tulajdonságai nyilvánvalóan nem változnak meg; ebb l adódik, hogy az impulzusnak erre a tengelyre való vetülete megmarad. Így a z tengely irányába mutató homogén térben az impulzus x és y irányú komponensei mozgásállandók. A (1.4) kiindulási egyenletnek egyszer zikai jelentése van. A a L r a = a U r a

7 10 FEJEZET 1. ELMÉLETI MECHANIKA derivált az a-dik részecskére ható F a er. Így az egyenlet azt jelenti, hogy zárt rendszerben a részecskére ható er k összege nulla: F a = 0. a Nevezetesen olyan rendszerre, amely mindössze két tömegpontból áll: F 1 +F = 0; az els testre a második által gyakorolt er nagyságban megegyezik, irányban ellentétes azzal az er vel, amellyel az els test a másodikra hat. Ez a hatás-ellenhatás (akció-reakció) törvénye. Ha a mozgást a q i általános koordinátákkal írjuk le, akkor, amint az már említésre került a variációszámításról szóló fejezetekben, a Lagrange-függvénynek az általános sebességek szerint képzett p i = L q i dierenciálhányadosait általános impulzusoknak, az F i = L q i deriváltakat pedig általános er knek nevezzük. Ezekkel a jelölésekkel a Lagrange egyenletek alakja: ṗ i = F i. Descartes-koordinátákban az általános impulzusok megegyeznek a p a vektorok komponenseivel. Általános esetben a p i mennyiségek a q i általános sebességek homogén lineáris függvényei, és egyáltalán nem a sebességek és a tömegek szorzatai A tömegközéppont Zárt mechanikai rendszer impulzusa különböz érték a különböz (inerciális) vonatkoztatási rendszerekben. Ha a K vonatkoztatási rendszer V sebességgel mozog a K vonatkoztatási rendszerhez képest, akkor a részecskéknek ezekhez a rendszerekhez viszonyított v a és v a sebessége között a v a = v a + V összefüggés áll fenn. Ezért a megfelel P és P impulzusértékek összefüggését a P = a m a v a = a m a v a + V a m a képlet adja meg, vagy másként: P = P + V a m a. (1.5) Nevezetesen, mindig létezik olyan K vonatkoztatási rendszer, amelyben a teljes impulzus nulla. Beírva (1.5)-be a P = 0 értéket, azt kapjuk, hogy ennek a vonatkoztatási rendszernek a sebessége: V = P a m = a a m av a a m a (1.6) Ha a mechanikai rendszer teljes impulzusa nulla, akkor azt mondjuk, hogy nyugalomban van az adott vonatkoztatási rendszerben. Ez igen természetes általánosítása az egyetlen

8 1.. A MECHANIKA MEGMARADÁSI TÖRVÉNYEI 11 tömegpont nyugalmáról kialakított fogalmunknak. Ennek megfelel en a (1.6) által meghatározott sebességet úgy értelmezhetjük, mint a mechanikai rendszer egységes egészként, nem nulla impulzussal történ mozgásának sebességét. Látjuk tehát, hogy az impulzus megmaradásának törvénye segítségével természetes módon deniálható a mechanikai rendszernek mint egésznek nyugalmi állapota és sebessége. A (1.6) képlet szerint a mechanikai rendszernek mint egésznek P impulzusa és V sebessége között ugyanaz az összefüggés áll fenn, ami egyetlen M = a m a tömeg részecske impulzusa és sebessége között. Ezt a tényt úgy lehet megfogalmazni, hogy a tömeg additív. A (1.6) képlet jobb oldalát az R = a m ar a a m a kifejezés teljes id deriváltjaként lehet el állítani. Szavakban ez úgy foglalható össze, hogy az egységes egésznek tekintett rendszer sebessége a fenti egyenl séggel megadott helyzetvektor mozgásának sebességével egyezik meg. A helyzetvektor által meghatározott pontot a rendszer tömegközéppontjának nevezzük. Zárt rendszer impulzusának megmaradását úgy is meg lehet fogalmazni, hogy a rendszer tömegközéppontja egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. Ebben a formájában a megmaradási tétel a tehetetlenség törvényének általánosítása több tömegpont esetére. Egy tömegpont tömegközéppontja egybeesik magával a tömegponttal. Zárt rendszer mechanikai tulajdonságainak vizsgálata esetén természetes olyan vonatkoztatási rendszert használni, amelyben a tömegközéppont nyugalomban van. Ezzel kizárjuk vizsgálódásainkból a rendszernek mint egységes egésznek (általában érdektelen) egyenes vonalú egyenletes mozgását. Az egységes egészként nyugalomban lev mechanikai rendszer energiáját bels energiának nevezzük és E b -vel jelöljük. Ez a részecskéknek a rendszerben való viszonylagos mozgásából ered kinetikus energiát és a kölcsönhatásukból származó potenciális energiát foglalja magában. Az egységes egészként V sebességgel mozgó rendszer teljes energiája: E = MV + E b. (1.7) Ennek bizonyításához tekintsük a rendszert a K és K vonatkoztatási rendszerekben melyekben a rendszer energiája E illetve E : vagyis E = 1 m a va + U = 1 m a (v a + V a ) + U = (1.8) a = MV + V a a m a v a + a m a v a + U, (1.9) E = E + V P + MV. Egyik vonatkoztatási rendszerr l a másikra áttérve, ez a képlet adja meg az energia transzformációját, mint ahogy a (1.5) összefüggés az impulzusét. Ha K rendszerben a tömegközéppont nyugalomban van, akkor P = 0, E = E b, és ezzel meg is kaptuk a (1.7) képletet.

9 1 FEJEZET 1. ELMÉLETI MECHANIKA Impulzusnyomaték megmaradás A tér izotrópiája azt jelenti, hogy zárt rendszer mechanikai tulajdonságai nem változnak meg, ha az anyagi rendszert mint egységes egészet tetsz leges módon elforgatjuk a térben. Vizsgáljuk a rendszer végtelen kis elforgatását, és követeljük meg, hogy e forgatás hatására a Lagrange-függvény ne változzék meg. Legyen a végtelen kis elforgatás vektora δϕ, amelynek abszolút értéke egyenl az elforgatás δϕ szögével, iránya pedig megegyezik a forgatás tengelyével (úgy, hogy a forgatás iránya δϕ irányával jobb csavart alkosson). Határozzuk meg mindenekel tt a (forgástengelyen lev ) kezd pontból az elforgatott rendszer valamely tömegpontjához húzott helyzetvektor megváltozását egy ilyen forgatás esetén. A helyzetvektor végének lineáris elmozdulása a forgás szögével δr = r sin θδϕ szerint fejezhet ki. Az elmozdulás vektora mer leges az r és a δϕ által kifeszített síkra. Következésképpen δr = δϕ r. A rendszer elforgatásakor nemcsak a helyzetvektorok, hanem a részecskék sebességének iránya is megváltozik, és minden vektor ugyanazon törvény szerint transzformálódik. Ezért a sebesség megváltozása az eredeti koordináta-rendszerhez viszonyítva: δv = δϕ v. (1.10) Helyettesítsük ezeket a kifejezéseket a Lagrange-függvény invarianciáját kifejez δl = ( L δr a + L ) δv a = 0 r a a v a egyenletbe, és használjuk fel a L = p a és a L = ṗ a összefüggéseket: v a r a [ṗ a (δϕ r a ) + p a (δϕ v a )] = 0 a Cseréljük meg ciklikusan a hármasszorzatok tényez inek sorrendjét, és emeljük ki δϕ-t a szummjel elé: δϕ (r a ṗ a + v a p a ) = δϕ d r a p a = 0. dt a a Mivel δϕ tetsz leges, ebb l az következik, hogy d dt r a p a = 0, vagyis arra az eredményre jutottunk, hogy zárt rendszer mozgása során a a J = a r a p a

10 1.. A MECHANIKA MEGMARADÁSI TÖRVÉNYEI 13 vektormennyiség, amelyet a rendszer impulzusmomentumának nevezünk, megmarad. Az impulzusmomentum additivitása nyilvánvaló, s t mint az impulzusnál is ez a tulajdonsága nem függ attól, van-e a részecskék között kölcsönhatás, vagy nincs. Ezzel ki is merítettük az additív mozgásállandók sorát. Így tehát minden zárt rendszernek hét ilyen állandója van: az energia, valamint az impulzus és az impulzusnyomaték három-három komponense. Mivel az impulzusnyomaték deníciójában szerepelnek a részecskék helyzetvektorai, értéke általában függ a koordináta-rendszer kezd pontjának megválasztásától. Olyan koordináta-rendszerekben, amelyeknek kezd pontja a távolságra van egymástól, ugyanazon pont r a és r a helyzetvektorai között az r a = r a + a kapcsolat áll fenn. Ezért J = a r a p a = a r a p a + a a p a, vagy J = J + a P. Ebb l a képletb l látszik, hogy az impulzusmomentum csak abban az esetben nem függ a koordináta-rendszer kezd pontjának a megválasztásától, ha az anyagi rendszer mint egységes egész nyugalomban van (azaz P = 0). Ez a határozatlanság természetesen nem jelentkezik az impulzusnyomaték megmaradásának a tételében, mert zárt rendszerben az impulzus szintén mozgásállandó. Vezessük le azt a képletet is, amely összekapcsolja az impulzusnyomatékot az egymáshoz képest V sebességgel mozgó K és K inerciarendszerben. Feltesszük, hogy a K és a K koordináta-rendszer kezd pontja az adott id pillanatban egybeesik. Ekkor a részecskék helyzetvektorai mindkét rendszerben azonosak, sebességük között pedig a v a = v a + V összefüggés áll fenn. Ezért J = a m a r a v a = a m a r a v a + a m a r a V. A jobb oldalon lev els összeg a rendszer J impulzusnyomatéka a K rendszerben; a második összegben vezessük be a tömegközéppont helyzetvektorát; ekkor: J = J + MR V. (1.11) Ez a képlet adja meg az egyik vonatkoztatási rendszerr l a másikra való áttéréskor az impulzusnyomaték transzformációját, hasonlóan az impulzus és az energia transzformációját leíró képletekhez. Ha K az a vonatkoztatási rendszer, amelyben az adott anyagi rendszer mint egységes egész nyugalomban van, akkor Va tömegközéppont sebessége, és M V a rendszer teljes impulzusa (K-hoz viszonyítva). Ekkor J = J + R P. (1.1) Más szavakkal, a mechanikai rendszer impulzusnyomatéka két részb l tehet össze: az egyik a rendszer saját impulzusnyomatéka abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben nyugalomban van, a másik a rendszernek mint egésznek a mozgásából adódó R P impulzusnyomaték. Bár az impulzusnyomaték mindhárom (tetsz leges koordinátakezd ponthoz viszonyított) komponensének megmaradása csak zárt rendszerre igaz, korlátozott formában e

11 14 FEJEZET 1. ELMÉLETI MECHANIKA megmaradási törvény küls térben lev rendszerekre is fennállhat. A fenti levezetésb l nyilvánvaló, hogy ha a küls tér egy adott tengelyre forgásszimmetrikus, és így a rendszer mechanikai tulajdonságai nem változnak meg e tengely körül való elforgatásakor, akkor az impulzusnyomatéknak erre a tengelyre való vetülete megmarad; ebben az esetben az impulzusnyomatékot az adott tengelyen lev pontra (mint koordináta-kezd pontra) kell megadnunk. A legfontosabb speciális eset a centrális er, vagyis az olyan er tér, amelyben a potenciális energia a térben csak egy adott ponttól (a centrumtól) mért távolságtól függ. Nyilvánvaló, hogy ilyen er térben mozogva, az impulzusnyomatéknak a centrumon átmen tetsz leges tengelyre vonatkozó vetülete megmarad. Más szóval megmarad a J impulzusnyomaték, de nem tetsz leges pontra, hanem csak a tér centrumára vonatkoztatva. Egy, a z tengely irányába mutató homogén er térben megmarad a J z komponens tetsz leges pontra vonatkoztatva. Az impulzusnyomaték vetülete egy adott tengelyre (nevezzük ezt a z tengelynek) a Lagrange-függvény dierenciálásával is megkapható: J z = a L ϕ a, (1.13) ahol ϕ a z tengely körül végzett elforgatás szöge. Ez már az impulzusnyomaték megmaradásának levezetéséb l is világos, de közvetlen számítással is meg lehet róla gy z dni. Az r, ϕ, z hengerkoordinátákban (x a = r a cos ϕ a, y a = r a sin ϕ a ): J z = a m a (x a ẏ a y a ẋ a ) = a m a r a ϕ a. (1.14) Másrészt a Lagrange-függvény ugyanezekben a változókban: L = 1 m a (ṙa + ra ϕ a + ż a) U, amit (1.13)-be helyettesítve, megkapjuk a (1.14) kifejezést. a 1.3. Egydimenziós mozgás Pontszer részecske (N = 1) vonalmenti mozgása, (s = ), esetén a rendszer szabadság foka egy, ezért a mozgását egydimenziósnak nevezzük. Az ilyen rendszer Lagrangefüggvényének legáltalánosabb alakja: L = a(q) q U(q), ahol a(q) a q általános koordináta valamely függvénye. Egyenesvonalú mozgásnál lehet például a Descartes x koordináta, vagy köríven történ mozgásnál a központi szög, például θ. Ekkor: L = mẋ mr θ U(x), L = U(θ). Az ilyen Lagrange-függvényeknek megfelel mozgásegyenleteket általános formában integrálhatjuk. S t arra sincs szükség, hogy a mozgásegyenletet felírjuk, hanem rögtön az

12 1.3. EGYDIMENZIÓS MOZGÁS 15 egyenlet els integráljából indulhatunk ki: az energia megmaradását kifejez egyenletb l. Az x tengely menti mozgás esetén : mẋ + U(x) = E. Ezt az els rend dierenciálegyenletet a változók szétválasztása után integrálhatjuk: dx m dt = dx [E U(x)] = t = = C. m E U(x) A mozgásegyenlet megoldásához tartozó két tetsz leges állandó szerepét az E-teljes energia és C integrációs állandó játsza. Mivel a kinetikus energia mindenképpen pozitív mennyiség, a mozgás teljes energiája mindig nagyobb, mint a potenciális energia; vagyis a mozgás a térnek csak abban a tartományában mehet végbe ahol U(x) < E. Az 1.1 ábrán felrajzolt U(x) potenciális 1.1. ábra. E teljes energiájú egydimenziós rendszer U(x) potenciális energiával. x 1, x és x 3 fordulópontok. energia az A(x 1 ), /B(x ) és C(x 3 ) pontokban egyezik meg a vízszintes szaggatott egyenessel ábrazolt teljes energiával. U(x i ) = E (i = 1,, 3). Ezek a ugynevezett megállási pontok. A mozgás csak az AB vagy a C-t l jobbra es tartományban jöhet létre. Ha a mozgás tartományát két ilyen pont határolja, akkor a mozgás véges és a részecske periodikusan ismétl d mozgást végez az AB potenciál(-völgyben)-gödörben. A rezgés T periódusa, vagyis az az id, amely alatt a részecske x 1 -t l elmegy x -ig és vissza, egyenl az x 1 x szakasz megtételéhez szükséges id kétszeresével, azaz: T (E) = m x x 1 dx E U(x). A potenciális energia széls értékpontja a részecske egyensúlyi állapotának felelnek meg. A minimum pont a stabil egyensúlyi állapotnak a maximom pont pedig az instabil egyensúlyi állapotnak felel meg. Az U(x) = E egyenletnek lehet nulla, egy vagy több megoldása is. Következésképpen az U(x) < E egyenl tlenség is fennállhat nulla egy vagy több különálló intervallumra. A mozgás folytonosságára vonatkozó követelmény tiltja, hogy a részecske egyik völgyb l egy másikba ugorjon át. Tehát a részecske mindig egy intervallumot választ ki a lehetséges sok közül, mégpedig a kezdeti feltételek alapján. Ha például az fenti ábrán az E energiájú részecske a kezdeti pillanatban valahol a C ponttól jobbra helyezkedett el, akkor akkor mindvégig ott is marad. A kezdeti sebesség el jelének függvényében bal oldali visszaver dést követ en (ẋ 1 < 0 vagy anélkül távozik a végtelenbe.

13 16 FEJEZET 1. ELMÉLETI MECHANIKA Egydimenziós szabad rezgések A jelenségek nagy hányada valamely zikai rendszer annak stabil egyensúlyi állapotának közelében végzett mozgásával magyarázható. Az így létrejöv kis rezgések leírása éppen ezért kiemelt fontosságú a zikában. Az anyagi rendszernek stabil egyensúlyi állapotában, ahogy már említettük, a potenciális energia U(q) minimális. Legyen ez a lokális minimum a q 0 -pontban, ahol a - du dq er elt nik. Az egyensúlyi q 0 helyzet kis környezetében U(q) U(q 0 ) + U (q 0 ) (q q 0 ) ahol U (q 0 ) k > 0 és a továbbiakban a potenciális energiát annak a minimális értékéhez visszonyítjuk -azaz U(q 0 ) = 0-t veszünk-. Bevezetjük az x = q q 0 jelölést a koordináták egyensúlyi helyzett l való eltérésre. Így tehát: U(x) = k x. Az egy szabadsági fokú rendszer (egydimenziós oszcillátor) kinetikus energiájának kifejezésében a(q) a(q 0 ) m és így a Lagrange-függvény kifejezése: Ennek megfelel mozgásegyenlet: L = mẋ kx. vagy ahol bevezettük az ω = k m mẍ + kx = 0, ẍ + ω x = 0, -et, amely a rezgés körfrekvenciája. A fenti lineáris dierenciálegyenlet két lineárisan független megoldása cos ωt és sin ωt, így az általános megoldás: amelyet még írhatunk x(t) = c 1 cos ωt + c sin ωt, x(t) = a cos(ωt + α) formában. Az újonnan bevezetett két állandó: a = c 1 + c a rezgés amplitudója, tan α = c, ahol α a fázis kezdeti értéke, mivel ωt + α a rezgés fázisa.belátható, hogy c 1 x(t) = x(t + T ) ha a rezgés T periódusa: T = π ω = π m k. Az egységnyi id re es rezgések száma a rezgés ν = 1 T = ω π a rezgés frekvenciája. A frekvencia a rezgés alapvet jellemz je; nem függ a mozgás kezdeti feltételeit l. A frekvenciának ez a tulajdonsága összefügg a rezgés kicsiségér l tett feltevésünkkel, magasabb közelítésre áttérve már nem lesz igaz. Matematikai szempontból ez azzal kapcsolatos,

14 1.3. EGYDIMENZIÓS MOZGÁS 17 hogy a potenciális energia a koordináták négyzetes függvénye. Az ilyen rendszert harmónikus oszcillátornak nevezzük. A rezgést végz rendszer energiája: E = mẋ + kx = m (ẋ + ω x ) = 1 mω a. A rezg renszer koordinátáinak az id függését gyakran célszer egy komplex kifejezés valós részeként el állítani: x = Re[Ae iωt ], ahol A komplex állandó, amelyet A = ae iα alakba írva, visszakapjuk a fentebb már megadott mozgástörványt. Az A állandót komplex amplitudónak nevezzük; ennek abszolút értéke megegyezik a szokásos amplitudóval, fázisszöge pedig a kezdeti fázissal. Az exponenciális függvény matematikailag könnyebben kezelhet, mint a trigonometrikus függvények, mivel dierenciálásnál nem változtatja meg alakját. Emellett, ha lineáris m veletet végzünk (összeadás, állandóval való szorzás, dierenciálás, integrálás), akkor a valós részt a számítások végs eredményén képezhetjük. Amint láttuk bármilyen stabil egyensúlyhoz közeli állapotban lev rendszer harmonikus oszcillátorhoz hasonlóan viselkedik és a ezért Kényszerrezgések Térjünk rá olyan rendszerek rezgéseinek vizsgálatára, amelyek valamely változó küls tér hatása alatt állnak; az el z paragrafusban tárgyalt szabad rezgésekkel ellentétben, kényszerrezgésnek nevezzük. Minthogy a rezgéseket az el z ekhez hasonlóan kicsinek tételezzük fel, ezzel természetesen azt is feltesszük, hogy a küls tér elég gyenge, mert különben túlságosan nagy x kitéréseket is el idézhetne. A küls F (t) er t egy küls U k (x, t) potenciálból származtathatjuk úgy, hogy eleget tegyen az ismert F (t) = x U k(x, t) összefüggésnek. Belátható, hogy a megfelel potenciális energia : s ezáltal a rendszer Lagrange-függvénye az U k (x, t) = F (t)x, L = mẋ alakot ölti. A megfelel mozgásegyenlet kx + xf (t) mẍ + kx = F (t) ẍ + ω x = 1 m F (t), ahol újból bevezettük a szabad részecske ω körfrekvenciáját. Az állandó együtthatós inhomogén lineáris dierenciálegyenlet általános megoldását két kifejezés összegeként kapjuk meg: x = x 0 + x 1, ahol x 0 a homogén egyenlet általános megoldása, x 1 pedig az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása. A mi esetünkben x 0 az el z paragrafusban tárgyalt szabad rezgés mozgásegyenlete. Vizsgáljuk meg azt az igen fontos esetet, amikor a gerjeszt er az id nek Ω körfrekvenciájú egyszer periódikus függvénye: F (t) = f cos(ωt + β).

15 18 FEJEZET 1. ELMÉLETI MECHANIKA Az egyenlet partikuláris megoldását x 1 = b cos(ωt + β) alakban keressük. Behelyettesítés f után azt kapjuk, hogy: b = m(ω Ω ) ; hozzáadva a homogén egyenlet megoldását, nyerjük az általános megoldást: x(t) = a cos(ωt + α) + f m(ω Ω cos(ωt + β). ) Az a és α tetsz leges állandókat a kezdeti feltételek határozzák meg. Látjuk, hogy periódikus gerjeszt er hatására a rendszer olyan mozgást végez, amely két rezgés összetételéb l áll el : az egyik frekvenciája a rendszer ω sajátfrekvenciája, a másiké a gerjeszt er Ω frekvenciája. A fenti megoldás nem alkalmazható ha: ω = Ω tehát rezonancia esetén. A f partikuláris megoldás a dierenciálegyenletek elmélete alapján: t sin(ωt + β) és az mω általános megoldás rezonancia esetén x(t) = a cos(ωt + α) + f t sin(ωt + β). mω Rezonancia esetén tehát a rezgés amplitudója lineárisan n az id vel (egészen addig, amíg a rezgés kicsi, s így az elmélet érvényes marad). Vizsgáljuk meg, milyenek a kis rezgásek a rezonancia közelében, amikor Ω = ω + ε, ahol ε kis mennyiség. Az általános megoldás komplex alakban: x(t) = Ae iωt + Be i(ω+ε)t = (A + Be iεt )e iωt. Mivel A+Be iωt kicsit változik a e iωt tényez π/ω periódusa alatt, a mozgás a rezonancia közelében úgy lehet tekinteni, mint változó amplitudójú kis rezgést. Ennek amplitudója: C = A + Be iεt = a + b + ab cos(εt + β α) Tehát az amplitúdó ε körfrekvenciával periódikusan rezeg az a b C a + b határok között. Ezt a jelenséget lebegésnek nevezzük. A mozgásegyenlet általános megoldását el lehet állítani tetsz leges F (t) gerjeszt er esetén is, ha a mozgásegyenletet az alábbi formába írjuk d dt (ẋ + iωx) iω(ẋ + iωx) = 1 m F (t) Bevezetve a ξ = ẋ + iωx komplex mennyiséget, a dξ dt iωξ = 1 m F (t) egyenlethez jutunk, melynek általános megoldása ξ(t) = e iωt ( t 0 ) 1 m F (t)e iωt dt + ξ 0 ahol ξ 0 integrálási állandó ξ értéke a t = 0 id pillanatban. A rendszernek átadott E = m (ẋ + ω X ) = m ξ energia a hatásnak teljes ideje alatt ( -t l + ig): E = 1 m + F (t)e iωt dt

16 1.3. EGYDIMENZIÓS MOZGÁS 19 Ha a küls er annak periódusához képest csak rövid idejig hat, ωt << 1, akkor: E = 1 m ( + F (t)dt). Ez azt a tényt fejezi ki, hogy a rövid idejig ható er F dt impulzust közöl a rendszerrel Csillapított rezgések Ha egy test egy közegben mozog, akkor a valóságban a közeg ellenállást tanúsít, ami a mozgás lassítására irányul. A mozgó test energiája eközben végül is h vé alakul, disszipálódik. Egy test valós mozgásának leírása már nem a mechanika feladata. Bizonyos feltételek teljesülése esetén a közegben való mozgást közelít leg mechanikai mozgásegyenletekkel 1rhatjuk le, bevezetve a testre ható súrlódási er t. Az x általános koodinátájú rendszerre ható f s általános súrlódási er A mozgás newtoni egyenlete f s = αẋ, α > 0. mẍ = kx αẋ Az egyenletet a Hamilton-elv felhasználásával is megkaphatjuk alkalmazva az alábbi Lagrange függvényt ( m L = ẋ k ) ( α ) x exp m t. Bevezetve az ω 0 -t, a súrlódásmentes szabad rezgések körfrekvenciáját; illetve δ-t, a csillapítási tényez t az alábbi ω 0 = k m, összefüggásek segítségével, a mozgásegyenlet δ = α m ẍ + δẋ + ω 0x = 0 egy állandó eggyütthatóju másodrend lineáris dierenciálegyenlet, melynek megoldását x = e rt formában keressük. Az így kapott r + δr + ω0 = 0 karakterisztikus egyenlet megoldásai alapján az általános megoldás: x(t) = c 1 e r1t + c e rt, r 1, = δ ± δ ω0. Itt három esetet különböztetünk meg: - Ha δ < ω 0, akkor két komlex konjugált r érték adódik. A mozgásegyenlet általános megoldása x(t) = ae δt cos(ωt + ϕ), ω = ω0 δ, ahol a és ϕ valós állandók. Ezt a mozgást csillapított rezgésnek hívjuk. Az amplitudó csökkenését a δ csillapítási tényez határozza meg. Ha δ ω 0, tehát egy periódus alatt nagyon kis mértékben változik a rezgés amplitudója, ezért értelme van átlagolni egy periódusra. Ilyenkor a rendszer átlagos energiájának id beli változása: Ē = E 0 e δt.

17 0 FEJEZET 1. ELMÉLETI MECHANIKA - Legyen most δ > ω 0. A karakterisztikus egyenlet gyökei valósak és negatívak. A megoldás általános alakja: x(t) = c 1 e (δ δ ω 0 )t + c e (δ+ δ ω 0 )t. A mozgás során az x koordináta monoton csökken és aszimptotikusan (t ) az egyensúlyi helyzet felé közeledik (x 0). Az ilyen mozgást aperiodikus csillapodásnak nevezzük. - Végül abban a speciális esetben, amikor δ = ω 0, a karakterisztikus egyenletnek mindössze egy (kett s) gyöke van: r 1 = r = δ. Ebben az esetben a dierenciálegyenlet általános megoldása x(t) = (c 1 + c t)e δt alakú. Ez az aperiódikus csillapodás határesete; szintén nincs rezgés jellege Centrális er térben való mozgás Az egymás gravitációs terében mozgó égitestek vagy az atommag körül relatív nagy távolságra kering elektron klasszikus modellje alapvet problémák a zikában. Ha a Napnak az egyéb égitestekre bolygókra, üstökösökre gyakorolt hatását akarjuk megérteni, akkor jó megközelítéssel úgy tekinthetjük, hogy ezek egy id ben állandó, csak a Naptól mért távolságtól függ er térben mozognak. Ezt azzal indokolhatjuk, hogy a Nap, nagyságrendekkel nagyobb tömegéb l ered en, gyakorlatilag mozdulatlannak tekinthet. Ugyanaz az érvelés alkalmazható az atommag körül kering elektron esetében is 1. Mozogjon hát az m tömeg részecske háromdimenziós térben egy U(r) = U(r) centrális er tér hatása alatt. A potenciális energia viszonyítási szintjét vegyük fel a végtelenben (U( ) = 0. A?? részben kimutattuk a newtoni mechanika eszközeivel, hogy a centrális er tér meg rzi a részecske impulzusnyomatékát, aminek egyenes következménye, hogy a mozgás egy, az impulzusnyomaték vektorára mer leges, síkban történik. Lássuk, hogy miként jutunk hasonló következtetésekre a Lagrange formalizmus alkalmazásával és egyúttal tanulmányozzuk a mozgásegyenletek megoldását is. A szabadsági fokok száma f = 3 és a rendszer Lagrange-függvénye: L(r, ṙ) = mṙ U(r). Mivel a potenciál és így a Lagrange-függvény sem függ expliciten az id t l, ezért a rendszer konzervatív tehát az E = mṙ + U(r), energia egy mozgásállandó. Tekintve a Lagrange-függvény szférikus szimmetriáját el nyös lehet gömbi koordinátákban dolgozni. Ez esetben a Lagrange-függvény: L(r, θ, φ, ṙ, θ, ϕ) = m (ṙ + r θ + r sin θ ϕ ) U(r). 1 Az atomi méretek szintjén uralkodó kvantumos hatások miatt a fenti klasszikus modell csak az ún. Rydberg atomok esetén használható. Ezek olyan gerjesztett állapotban lev atomok melyek küls elektronjainak orbitáljai nagy távolságra helyezkednek el az atommagtól és emiatt leírásuk a kvantumos és klasszikus modellek határzónájába esik.

18 1.4. CENTRÁLIS ERŽTÉRBEN VALÓ MOZGÁS 1 A fenti kifejezésben nem jelenik meg ϕ (csak a deriváltja) ezért ennek a ciklikus koordinátának kanonikusan konjugált impulzusa megmarad: A θ szögre felírt Euler-Lagrange egyenlet: l p ϕ = L ϕ = mr sin θ ϕ = állandó. d dt (r θ) = r sin θ cos θϕ. Az egyenletnek megoldása a θ(t) = π függvény. Ennek értelmében az xy síkban való mozgás egy a lehetséges megoldások közül. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy ha kezdeti feltételek θ(t 0 ) = π és θ(t 0 ) = 0, azaz a mozgás az xy síkban indul, azzal párhuzamosan, akkor végig ott is marad. Mivel a koordinátarendszert mindig felvehetjük úgy, hogy annak xy síkja essen egybe a kezdeti helyzet és sebesség által meghatározott síkkal, ezért a feladat minden esetben visszavezethet egy síkmozgás leírására. A két mozgásállandó és az r koordinátára felírt mozgásegyenlet tehát l = mr ϕ = állandó. (1.15) E = m (ṙ + r ϕ + U(r)) = mṙ + l + U(r) = állandó, (1.16) mr m r = U r + l mr 3 (1.17) Az impulzusnyomaték vektor l nagyságát geometriailag is értelmezhetjük. Az 1 rṙ dϕ kifejezés annak az elemi felületnek a df területe, melyet a helyzetvektor dϕ szöggel történ elfordulása során átseper. Az állandó impulzusnyomaték értéke az el z ek alapján l = mf, ahol a f = 1/r ϕ derivált az ú.n.felületi sebesség. Centrális er tér esetén az impulzusnyomaték megmaradása azt fejezi ki, hogy a felületi sebesség állandó. Ez Keplernek a bolygó keringésére megállapított második törvénye. A fenti tétel általánosabb érvény mint azt annak idején Kepler a bolygóknak Nap körüli mozgásából kikövetkeztethette. A Nap-bolygó rendszereken túl a Nap-üstökös, bolygó-hold és a minden más gravitáció révén kölcsönható kéttest rendszerre érvényes, a Naprendszeren kívül is. Mitöbb nem csak a Kepler-féle 1/r típusú gravitációs vonzás esetén, hanem bármilyen centrális er tér esetén is érvényben marad. Sugárirányú mozgás A (1.16) és (1.17) egyenletek alapján a sugárirányú mozgást úgy lehet tekinteni mint egy egydimenziós mozgást az U e = U(r) + l l mr eektív potenciális energiájú térben. Az mr mennyiséget centrifugális energiának nevezzük. Egy lényeges sajátossága a rendszernek szemben a (1.3) részben tárgyalttal

19 FEJEZET 1. ELMÉLETI MECHANIKA szemben, hogy a mozgás az r 0 tartományra van korlátozva. Azok az r értékek, amelyekre fennáll, hogy U(r) + l mr = E, egyenlet gyökei r-ben megadják a mozgás tartományának határait a centrumtól mért távolság szerint, miként azt egy α/r típusú potenciál esetén látni lehet a 1. ábrán. Az 1.. ábra. Sugárirányú mozgás a Kepler-feladatban. a.) Az eektív U e potenciál összetev dése az k/r Kepler-potenciál és l/mr centrifugális potenciálokból. b.) A mozgás korlátossága illetve korlátlansága az energia függvényében. ṙ = 0 egyenl ség az egydimenziós mozgás fordulópontjának feltétele. Ez nem a részecske teljes megállását jelenti. Az eredeti kétdimenziós modellben, csupán a sugárirányú sebesség el jelváltását jelzi közeledésb l távolodásba vagy fordítva. A kétdimenziós sebesség ilyenkor mer leges a helyzetvektorra és az l /mr centrifugális energia az egyedüli összetev je a teljes mozgási energiának. A mozgás lehet véges vagy végtelen a potenciális energia típusa és a kezdeti feltételek függvényében. Az U(r) potenciális energia a végtelenben nulla, akárcsak a centrifugális energia így az eektív potenciális energia is elt nik a végtelenben. Következésképpen a végtelenben a részecske teljes energiája pozitív vagy nulla. Az is belátható, hogy a végtelenb l bármilyen energiával közeled részecske egy jól meghatározott r min távolságnál megfordul és újra a végtelen felé veszi útját. A negatív radiális sebesség ṙ < 0 az r min felé tartó mozgás tükörképe az ellenkez irányú ṙ > 0 r min - l az r felé történ mozgásnak. Vegyük gyelembe viszont, hogy a szimmetria csak a radiális irányú mozgásra igaz és csak sajátos esetekben extrapolálható a teljes, kétdimenziós mozgásra. Mozgás az er tér középpontjának közelében Láttuk, hogy minden esetben létezik egy legkisebb r min távolság, aminél közelebb nem kerülhet a részecske a tér középpontjához. Feltev dik a kérdés, hogy lehet-e ez a távolság nulla. Azaz beleeshet-e a részecske az középpontba? Helyesebben fogalmazva milyen feltételek mellett kerülhet a részecske tetsz legesen közel a tér középpontjához. Az impulzusnyomaték meghatározásából: l = r p = r p = r min p min, (1.18) ahol r az impulzus karja, azaz a középpont távolsága az impulzus iránya által meghatározott egyenest l. Végtelenb l induló részecske esetén az r (+ )-t ütközési paramé-

20 1.4. CENTRÁLIS ERŽTÉRBEN VALÓ MOZGÁS 3 ternek nevezzük. Nulla kar, nulla impulzusnyomatékot jelent és azt, hogy a középpont irányában mozgó részecske impulzusnyomatéka nulla. A fenti képletben gyelembe vettük, hogy a fordulópontban a sebesség és a helyzet vektorai mer legesek egymásra. Tekintsük most azt az esetet, amikor az E energia és l impulzusnyomaték tetsz leges véges mennyiségek. Az (1.18) egyenletb l következik, hogy a fordulópontban a távolsággal fordítottan arányos a a megfelel impulzus. Tetsz leges kicsi r min korlátlanul nagy mozgási energiával jár együtt, ami egy mínusz végtelenhez tartó potenciális energiával együtt tudja biztosítani a E teljes energia megmaradását. Minden ilyen U(r) függvény a nulla környékén vezet rendben U(r) = αr β, α > 0, β > 0 alakú, ahol α és β a potenciált jellemz r-t l független véges értékek. A (1.16) egyenletb l a radiális kinetikus energia: mṙ = E + αr β l mr > 0. (1.19) Az egyenl tlenséget végigszorozva r -el az r E tag tetsz legesen lecsökkenthet az l m-hez képest, elegend en kicsi r-ekre. Azt kapjuk, hogy a középpont közvetlen közelében tehát αr β > l m. A jobboldal egy r-t l független véges mennyiség. Az egyenl tlenség fennáll tetsz legesen kicsi r-re, ha 1. β > vagy,. β = és α > l m. Ha kezdeti impulzusnyomaték nélkül (l = 0), azaz egyenesen a középpont felé (r = 0) indul a részecske, akkor a (1.19) egyenl tlenségb l αr β > E, ami fennáll, ha 1. β > 0 vagy,. β = 0 és α > E. Összefoglalva következtetéseinket: Egy centrális er térben véges impulzusnyomatékkal mozgó részecske tetsz legesen közel kerülhet az er tér középpontjához A pálya zártsága A (1.16) egyenletb l kifejezve az ṙ radiális sebességet ṙ dr dt = [E U(r)] l m m r. (1.0)

21 4 FEJEZET 1. ELMÉLETI MECHANIKA Amennyiben az anyagi pont r min és r max között végez korlátos mozgást a mozgás periódusa rmax dr T (E) = r min [E U(r)] l m, m r A pálya alakja meghatározható az r és a ϕ koordináták kapcsolata révén, melyet a (1.0) egyenletb l az id kiküszöbölését követ en kapunk meg. A (1.15) impulzusmegmaradási tételb l: ahonnan ϕ(r) = dr dt = dr dϕ dϕ dt = l r dr l dr mr dϕ, m[e U(r)] l r Egy teljes T (E) periódus alatt a helyzetvektor a szöggel fordul el (1.3. ábra). rmax ϕ = r min l r dr m[e U(r)] l r + állandó. (1.1) 1.3. ábra. Pálya elfordulása A pálya zártságának a feltétele az, hogy ϕ = π m n, ahol m és n egész számok. Általában tetsz leges U(r) esetén a pálya nem zárt. Mindössze két típusú olyan centrális

22 1.4. CENTRÁLIS ERŽTÉRBEN VALÓ MOZGÁS 5 er tér van, amelyben minden véges mozgás zárt. Ha a potenciális energia : U(r) 1 r és U(r) r. Az el z a Kepler problémának, a második a térbeli harmonikus oszcillátornak felel meg Kepler-probléma A Newton-féle gravitációs tér és a Coulomb-féle elektrosztatikus tér is centrális er tér, amelyekben a potenciális energia vonzás esetén: Az r = l αm U(r) = α r, α > 0, U eff = α r + l mr értéknél az eektív potenciális energiának minimuma van, amely (U e ) min = α m l A görbe alakjából nyilvánvaló, hogy E > 0 esetén a részecske mozgása végtelen, E < 0 esetén pedig véges (1.). Az U(r) = α r helyettesítést követ en, a (1.1) egyenletben az integrálás eredménye: l ϕ = arccos r mα l + C. me + m α Legyen, C = 0, p l mα és ε = 1 + El. Az így kapott pálya egyenlete: mα r = p 1 + ε cos ϕ Ez egy olyan kúpszelet egyenlete, amelynek fókusza az origóban van; p és ε a pálya paramétere, illetve excentricitása (lásd a?? függeléket). Az ϕ = 0 szöghöz az origóhoz legközelebbi pont tartozik. Ez az ún. perihélium. Amikor E < 0 ε < 1, a pálya ellipszis (1.4 ábra). Az ellipszis nagy és kistengelye: a = p 1 ε = α E, b = p = l. 1 ε m E A tér centrumától mért legnagyobb és legkisebb távolság: r min = a = r max + r min (ezért nevezik az ε-t excentricitásnak). p 1 + ε = a(1 ε), r max = p = a(1 + ε). 1 ε l = p 1 ε, c = r max r min = εp 1 ε = εa a = b + c

23 6 FEJEZET 1. ELMÉLETI MECHANIKA Az ellipszispályán a keringés T periódusa a felületi sebességgel adható meg. Integrálva egy periódusra és felhasználva a fentebb kapott eredményeket: mf = T l, f = πab, a = α E, b = l m E, 3 T = πa m α = πα m E 3. Azt kaptuk, hogy a periódus négyzete arányos a pálya félnagytengelyének a köbével (Kepler harmadik törvénye) ábra. Ellipszis pálya a Kepler-feladatban Ha E 0, a mozgás végtelen. E > 0 esetén ε > 1, vagyis a pálya hiperbola, mely az er tér centrumát (a fókuszt) úgy öleli körül, ahogyan az 1.5 ábra mutatja. A centrumtól való legkisebb távolság: r min = p = a(ε 1), ε + 1 ahol a hiperbola féltengelye. a = p ε 1 = α E Az E = 0 esetén ε = 1, tehát a részecske parabolán mozog, amelyre r min = p. Ez az eset akkor valósul meg, ha a részecske a nyugalmi állapotból kiindulva, a végtelenben kezdi mozgását Kéttest-probléma Megvizsgáljuk a másik igen fontos, a mindössze két kölcsönható részecskéb l álló rendszer mozgását, megadva általános alakban a feladat teljes megoldását. A részecskék

24 1.5. KÉTTEST-PROBLÉMA ábra. Hiperbola pálya a Kepler-feladatban kölcsönhatásának potenciális energiája csak a részecskék kölcsönös távolságától függ. A rendszer Lagrange-függvénye: L = m 1ṙ 1 + m ṙ U( r 1 r ) Az r 1 és r helyzetvektorok helyett bevezetünk újabb két vektort; a két pont kölcsönös távolságának vektorát: r = r 1 r, és a rendszer tömegközéppontjának helyzetvektorát: Megoldva a fenti két egyenletrendszert: r c = m 1r 1 + m r m 1 + m. r 1 = r c + m m 1 + m r, r = r c m 1 m 1 + m r A részecskék sebessége az ṙ relatív sebesség és a tömegközéppont ṙ c sebességének függvényében: m m 1 ṙ 1 = ṙ c + ṙ, ṙ = ṙ c ṙ. m 1 + m m 1 + m Visszahelyettesítés után L = (m 1 + m )ṙ c + mṙ U(r) lesz az új Lagrange-függvény, ahol m = m 1m m 1 + m a rendszer redukált tömege. Észrevesszük, hogy a Lagrange függvény két teljesen elkülöníthet tagból tev di össze

25 8 FEJEZET 1. ELMÉLETI MECHANIKA és mint ilyen matematikai szempontból két független rendszer dinamikáját adja meg. Az egyik a tömegközépponti rendszernek a mozgását, a másik pedig a relatív mozgást írja le. Az el bbi esetében ráismerünk a szabadon mozgó anyagi pont Lagrange függvényére (r c ciklikus tehát a megfelel általános impulzus (m 1 + m )ṙ c állandó). Ez azt fejezi ki, hogy a rendszer tömegközéppontja állandó sebességgel mozog. Mindig választható úgy egy tehetetlenségi inerciarendszer, hogy benne a tömegközéppont nyugalomban és a koordinátarendszer origójában legyen (r c = 0). Így a Lagrange-függvény végs alakja L = mṙ U(r). Ily módon a két kölcsönható tömegpont mozgásának leírását visszavezetjük az adott U(r) küls térben egyetlen (redukált tömeg ) anyagi pont leírásának feladatára. A kéttest probléma megoldása általános esetben is véges formában megadható, míg a három és több test problémák esetében ez nem áll fenn Mechanikai hasonlóság. Viriál tétel Az el bbi szakaszokban láttuk, hogy meglehet sen különböz zikai rendszerek esetén is azonos alakúak a mozgásegyenletek és hasonlóak a pályák. Tanulmányozzuk most még általánosabb keretek között, hogy miként módosul a mozgás pályája illetve a mozgás üteme, ha a rendszerünk térbeli skálázáson megy át. A két esetben a mozgásra felírt dierenciálegyenletek formai azonossága mellett kezdeti feltételek is megfelel képpen kell skálázódjanak, hogy a mozgás pályája az eredeti pálya felnagyított vagy kicsinyített mása legyen. Várhatóan az id is gyorsabban vagy lassabban telik a módosított renszerben. A térbeli illetve id beli skálázás meghatározás szerint: r = αr, t = βt, ahol az α és a β pozitív valós számok. Ezek szerint a sebesség és mozgásenergia skálázása v = α β v, T = α β T (1.) szerint történik, ahol kihasználtuk a mozgási energiának a sebességt l négyzetes módon való függését. Tételezzük fel, hogy az n tömegpontból álló rendszer potenciális energiája k-adrend en homogén függvénye a helyzetnek, azaz A skálázást követ en a Lagrange függvény: U(αr 1, αr,..., αr n ) = α k U(r 1, r 1,..., r n ). (1.3) L = T U = α β T αk U. A mozgásegyenletek azonosak, ha a skálázott rendszer Lagrange-függvénye csak egy szorzóban különbözik az eredetit l, azaz L = λl. Ennek feltétele az α /β és α k szorzótényez k azonossága, ahonnan β = α 1 k.

26 1.6. MECHANIKAI HASONLÓSÁG. VIRIÁL TÉTEL 9 Ezek szerint, ha két hasonló rendszer valamely karakterisztikus mérete l illetve l, akkor a mozgást jellemz id tartamok között fennáll, hogy t t = ( l l ) 1 k. (1.4) A hasonlósághoz szükséges skálázás alkalmazása érvényes a kezdeti és peremfeltételekre is. A kezdeti sebességek maguk is a (1.) szerint skálázódnak. Példa 1. Harmonikus oszcillátor A potenciális energia négyzetes függvénye a helyzetnek, tehát a (1.4) egyenletben k =, ahonnan t ( ) l 0 t = = állandó, l azaz a harmonikus oszcillátor, illetve az azonos mozgásegyenleteket követ kis kitérésekkel rezg matematikai inga periódusa független az amplitúdótól.. Kepler feladat A potenciális energia fordítottan arányos a távolsággal, tehát k = 1, ahonnan t t = ( l l ) 3, ami Kepler harmadik tételét adja bármiféle dierenciálegyenlet megoldás nélkül. Tekintsük most olyan konzervatív rendszereket, melyek mozgása korlátos, azaz tér egy véges méret tartományán belül történik. Magától értet d en a rendszert jellemz zikai mennyiségek értékei is az id nagyrészében bizonyos véges értékek közelében találhatók. Ezek a koordinátákon és sebességeken keresztül az id nek közvetett(!) függvényei. Hasznos bevezetni egy f(t) id t l függ mennyiség átlagát az alábbi meghatározás szerint: 1 t f = lim f(τ)dτ. t + t A fentiek szerint, amennyiben f(t) = dg/dt egy teljes derivált, ahol g(t) is (az id dönt részében) korlátos függvény: dg dt = lim g(t) g(0) = 0. t + t A (1.) és (1.3) homogenitási tulajdonságokból, Euler tételének alkalmazásával: i 0 ṙ i T ṙ i = T, i = 1, n, (1.5)

27 30 FEJEZET 1. ELMÉLETI MECHANIKA illetve A kinetikus energia esetén i ṙ i T ṙ i = i i r i U r i = ku, i = 1, 3. (1.6) ( ) d T r i dt ṙ i i ( ) d T r i dt ṙ i, i = 1, 3. Visszahelyettesítve a (1.5) egyenletbe, véve ennek id beli átlagát, majd kihasználva az id deriváltak átlagának elt nését, illetve az ( ) d T = U, i = 1, 3 dt ṙ i r i Euler-Lagrange egyenleteket, azt kapjuk, hogy T = i r i U r i. A fenti egyenlet jobboldalát a rendszer viriáljának nevezzük és az egyenlet az ún. viriáltételt fejezi ki. Amennyiben a potenciális energia a (1.3 típusú homogenitást mutat, a (1.6) egyenletb l T = α U. A teljes E energia állandóságából következik, hogy E = E = T + U, ahonnan T = k k + E, U = k + E. Példa 1. Harmonikus oszcillátor Az el bbiek nyomán k =, ahonnan T = U = E.. Kepler feladat Mivel k = 1 T = E, U = E, mely egyenletek, a mozgási energia pozitivitását tekintve, kifejezik, hogy ilyen kölcsönhatás esetén a rendszer csak negatív energia esetén marad kötött (korlátos).

28 1.7. A KANONIKUS MOZGÁSEGYENLETEK A kanonikus mozgásegyenletek Az f szabadsági fokú mechanikai rendszer mozgásának Lagrange-egyenletekkel történ leírásánál (hasonlóan a Newtoni-féléhez) a mozgásegyenletek másodrend közönséges dierenciálegyenletek. Számuk megegyezik a rendszer szabadsági fokainak számával. Mindegyik egyenlet megoldása két integrálási állandót tartalmaz, melyek meghatározásához meg kell adnunk a q k és q k kezdeti értékeit. A rendszer mozgásállapotát tehát f adattal lehet egyértelm en jellemezni. A következ kben a mozgásprobléma tárgyalására bemutatunk egy az eddigiekkel teljesen egyenérték módszert, amely végig f független változót használ, és ennek megfelel en a mozgásegyenletek száma is f lesz, de ezek az egyenletek els rend ek. Minden q k koordinátához hozzárendelünk egy mennyiséget a p k = L(q k, q k, t) q k denícióval. A p k -t a q k -hoz rendelt kanonikusan konjugált impulzusnak, vagy röviden általános impulzusnak nevezzük. Az így értelmezet p k általános impulzusokat a q k koordinátékkal együtt független változóknak tekintjük. A mechanikai rendszer zikai állapotát a q k, p k, f számú független változóval adjuk meg. Ebben a tárgyalásmódban a rendszert nem a Lagrange-függvénnyel, hanem a H = p k q k L(q k, q k, t) képlettel értelmezett Hamilton-függvénnyel jellemezzük. A H-t a q k -k és p k -k függvényének tekintjük. Ezt úgy érjük el, hogy a p k -t megadó kifejezéseket megoldjuk az általános q k sebességkomponensek szerint. Mivel H = H(q k, q k, t), a Hamilton függvény dierenciálja: ( H dh = dq k + H ) dp k + H q k p k t dt. Ugyanakkor a H fenti deníciós képletének dierenciálja ( dh = q k dp k + p k d q k L dq k L ) d q k L q k q k t dt, valamint az Euler-Lagrange-egyenlet gyelembevételével Behelyettesítve a fenti összefüggésbe dh = ṗ k = L q k. ( q k dp k ṗ k dq k ) L t dt Összehasonlításból akódnak az alábbi els rend dierenciálegyenletek: q k = H p k, ṗ k = H q k, (k = 1,,..., f)

29 3 FEJEZET 1. ELMÉLETI MECHANIKA melyeket a rendszer Hamilton-féle kanonikus egyenleteknek nevezzünk. Mivel dt együtthatói is megegyeznek még következik a H t = L t összefüggés is. A Lagrange-féle tárgyalásmódban a mozgásegyenletek másodrend differenciálegyenletek, a Hamilton-félében els rend ek, de számuk kétszerese az el bbiének.a Hamilton-féle tárgyalásmód el nye els sorban abban áll, hogy els rend dierenciálegyenleteket tartalmaz (annak ellenére, hogy a Lagrange egyenletekhez hamarabb eljuthatunk), másrészt a kvantummechanika megalapozásában jut fontos szerep a kanonikus változóknak valamint a Hamilton-függvényt felváltó Hamiton-operátornak. Amint már láttuk konzervatív er térben a Hamiton-függvény, amennyiben a derékszög x i koordinátákról q k általános koordinátákra való áttérést leíró transzformáció nem tartalmazza expliciten az id t, megegyezik a rendszer teljes mechanikai energiájával: H = T + U = E Vizsgájuk meg, hogy miként változik a Hamilton-függvény az id ben. dh dt = Alkalmazva a kanonikus mozgásegyenleteket dh dt = ( H q k + H ) ṗ k + H q k p k t ( H H H ) H + H q k p k p k q k t = H t Eszerint, ha a Hamilton-függvény nem tartalmazza expliciten az id t, akkor az id ben állandó. Az energia állandósága és a H = E egyenl ség nem teljesül mindig egyszerre. Ha a koordináták közötti transzformáció expliciten tartalmazza az id t,, akkor a mozgási energia nem homogén másodfokú függvénye az általános sebességeknek, hanem tartalmaz nullad- és els fokú tagokat is. Nevezetesen, ha.. T = T 0 + T 1 + T akkor az Euler-féle homogenitási-tétel alapján belátható, hogy H = = q k p k L = q k T q k (T U) = ( T0 q k + T 1 + T ) T + U = q k q k q k = T T 0 + U T + U. Természetesen, ha H nem függ expliciten az id t l, akkor az is állandó de nem egyezik meg az energiaállandóval.