Bevezetés. Transzformáció
|
|
- Magda Kis
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Geoinformatika alapjai ea. VI. Bevezetés GIS mőveletek I. Tematika Számonkérés Irodalom Transzformáció
2 Transzformációk típusai formátum geometriai
3 Geometriai transzformáció I. Célja: a, geometriai adatok átalakítása ismert vetületi rendszerbe b, térbeli adatok átalakítása egyik vetületi rendszerbıl a másikba
4 Matematikai alapok Síkbeli geometriai transzformációk és mátrixok
5 Problémafelvetés légifotók mőholdképek digitális és analóg térképek egymásra illesztése:??????????? =>GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK
6 Jól ismert transzformációk tengelyes tükrözés középpontos tükrözés elforgatás eltolás középpontos nagyítás fentiek kombinációja (merıleges) affinitás egybevágóságok hasonlóságok egyenestartó transzformációk
7 Affinitás Definíció: egyenestartó transzformáció Egy affinitás esetén tengelynek nevezzük az affinitásra fix egyenest. A sík önmagára való, nem identikus affinitását tengelyes affinitásnak nevezzük, ha van tengelye. Pl.: a tengelyes tükrözés, mint affinitás esetében az affinitás tengelye a tükörtengely
8 Belátható, hogy a sík önmagára való, nem identikus affinitásának legfeljebb egy tengelye van. A tengelyes affinitás megfelelı pontjait összekötı egyenesek irányát az affinitás irányának nevezzük. Ha a tengelyes affinitás iránya merıleges a tengelyre, akkor merıleges vagy ortogonális affinitásról, ha párhuzamos az affinitás iránya a tengellyel, akkor párhuzamos affinitásról, egyéb esetben ferde affinitásról beszélünk
9 Ha a tengelyes affinitás iránya nem párhuzamos az affinitás tengelyével, akkor bármely nem fix pontot ( pl. P, Q) a képponttal összekötı egyenesnek és a tengelynek a P t, Q t metszéspontjára minden esetben igaz: PP t /P t P = QQ t /Q t Q (osztóviszony)
10 Affinitások legfontosabb ismérvei Bármely tengelyes affinitás megadható tengelyével, irányával és tetszıleges pont esetén a PP t /P t P hányadossal (osztóviszony) Minden affinitás megadható három nem kollineáris pontpárral. Minden affinitás elıállítható egy hasonlósági transzformáció és egy tengelyes affinitás szorzataként
11 Affin transzformációk hatásai (ezeket nevezzük lineáris transzformációknak, mivel a pontképpont párok között lineáris (elsıfokú) egyenletrendszer teremt kapcsolatot)
12 Mi más lehet még? Az alábbi felületek nemlineáris* transzformációkkal vihetık egymásba gömbfelület síkbafejtésénél ezek szükségszerőek. * ezek általában másodfokú, harmadfokú... polinomiális egyenleteket jelentenek 2
13 Segédeszközök : a mátrixok Definíció: n oszlopból és m sorból álló táblázat a a M a 2 m a a a 2 22 M m2 Mivel ennek a mátrixnak m sora és n oszlopa van, m n típusú mátrixnak nevezzük. A mátrixban levı a ij számok a mátrix elemei. a ij az i-edik sor j-edik eleme, az i- t sorindexnek, a j-t pedig oszlopindexnek nevezzük. Két mátrix egyenlı, ha ugyanolyan típusúak és megfelelı elemeik megegyeznek. Ha m = n, akkor a mátrixot négyzetes mátrixnak nevezzük Ha a mátrixnak egy sora vagy egy oszlopa van, azaz n-es vagy m -es, akkor sor-, illetve oszlopvektornak nevezzük a a a n 2n M mn
14 Négyzetes mátrix: Spec. esete az egységmátrix: E = Sorvektor: (-2 5), (2 3-3); Oszlopvektor: Példák mátrixokra M O M M 7 2, 5 4
15 Összeadás: csak az azonos típusú mátrixokat lehet összeadni Két m n típusú A és B mátrix összegén azt az m n típusú C mátrixot értjük, amely i-edik sorának j-edik oszlopában áll a ij, b ij elemek összege, azaz: c ij = a ij + b ij, i =,, m; j =,.., n. Például: A = ; B =, ekkor A + B = Mőveletek mátrixokkal I
16 Mőveletek mátrixokkal II. Szorzás: csak olyan két mátrixra vonatkozik, ahol az elsı mátrixnak annyi oszlopa van, ahány sora a másodiknak Az A m n típusú és a B n l típusú mátrixok AB szorzatán azt a m l típusú C mátrixot értjük, melyben c ij = a i b j + a i2 b 2j + + a in b nj (i =,, m; j =,, l) Azaz: (a ij ) m n (b ij ) n k = (c ij ) m k,ahol c ij = n k= a ik b kj (i =,, m; j =,, l)
17 Mátrixszorzás * = a a a a a a a a a
18 A mátrixok szorzásának tulajdonságai (A B) C = A (B C), vagyis a mátrixok szorzása asszociatív. A B B A, azaz a mátrixok szorzása nem kommutatív, ez következik a definícióból is, hiszen például egy A 3 5 típusú mátrixot és egy B 5 4 típusú mátrixot össze tudunk szorozni, de a B-t A-val már nem. Egy v valós szám és egy A mátrix szorzatán azt a mátrixot értjük, melyet A-ból úgy kapunk, hogy A minden elemét v-vel szorozzuk. Például: =
19 Mátrix inverze Definíció: Az A négyzetes n n mátrix inverzén értjük azt a négyzetes n n A - mátrixot, amelyre teljesül, hogy A A - = E Pl. * = (értelemszerően a két mátrix egymás inverze) 2 2
20 Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal
21 Jelölések Vizsgált pont a koordinátasíkon (oszlopvektorként): A transzformáció melletti képe (képpont): Transzformációmátrix általános alakja: A transzformáció egyenlete: (használatos a sorvektorként való felírás is, akkor értelemszerően jobbról szorzunk) y x y x = a a a a A = y x y x A
22 Képpont megadása A mátrixszorzás szerint az új koordináták értéke kiszámítható: x = a x + a 2 y y = a 2 x + a 22 y
23 Transzformációk I. identikus transzformáció origóra történı középpontos tükrözés x-tengelyre történı tükrözés = A E A = = = A = y x y x = y x y x
24 Transzformációk II. y-tengelyre történı tükrözés merıleges affinitás (t = y) (léptékváltás x mentén!) merıleges affinitás (t = x) (léptékváltás y mentén!) = λ A = A = λ A = y x y x λ λ = y x y x λ λ
25 Transzformációk III. x=y egyenesre történı tükr. origó körüli elforgatás ϕ szöggel pozitív irányba Példák: 9 -os elforgatás, 45 -os elforgatás, 6 -os elforgatás (sin 6 =,866, cos 6 =,5) = A = ϕ ϕ ϕ ϕ cos sin sin cos A + = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ cos sin sin cos cos sin sin cos y x y x y x = x y y x
26 Példák transzformációkra
27 Mely transzformáció maradt ki? (origóból mi lesz?)
28 Az eltolás ugyancsak megadható 2x2-es mátrixszal. Eltolás + + = + = 2 ' ' 2, c y c x C y x A c c C
29 Nemlineáris transzformációk A transzformáció mátrixát a pont-képpont párok koordinátái alapján számítjuk ki. A mátrix a koordinátatranszformációhoz használt polinom (transzformációs függvény) együtthatóiból áll. Mérete függ a transzformáció fokától
30 Egy ismert pont-képpont pár (illesztési pont) segítségével két egyenlet írható fel, melyben az együtthatók lesznek az ismeretlenek => Kiszámítható, hogy ((n+)*(n+2))/2 számú illesztési pont szükséges a transzformációs mátrix egyértelmő megadásához, ahol n a polinom fokszámát (x, y legmagasabb hatványkitevıjét) jelöli
31 Nemlineáris transzformációk hatása
32 Geometriai transzformáció II. Típusai:. Kép a képhez 2. Kép a térképhez Gyakran elıfordul, hogy egy területrıl több különbözı mőszerrel készített kép áll rendelkezésünkre. A pixelenkénti összehasonlításhoz a képeket azonos hálózatba kell vinni. A képek átfedetéséhez nem mindig szükséges a térképi koordináta rendszer. Ezt a kép a képhez (image to image) átalakítást hozzáillesztésnek (registration) nevezzük. Ha a képi adatokat vetületi rendszerhez illesztjük, és vetületi koordinátákkal látjuk el, akkor a folyamatot geokódolásnak (georeferencing) nevezzük. A képtranszformáció definíció szerint tartalmazza a geokódolást is. A kép a képhez átalakítás csak akkor lesz geokódolás, ha az a kép rendelkezik térképi koordinátákkal, amelyhez a többi képet illesztjük
33 Mikor elégséges csak a geokódolás? A képtranszformációt nem szükséges elvégezni, ha a felvételen nincs torzulás, pl. ha a.img file olyan térképlapról készült (letapogatóval, vagy digitalizálással), amelynek a vetületi rendszere megfelelı. Ebben az esetben csak a megfelelı térképi koordinátákat kell a felvétel header-én (Image info) feltüntetni. A képtranszformáció hátrányai A képtranszformálás folyamán a transzformált pixel-értékeket át kell mintázni, hogy illeszteni tudjuk az új pixel-hálózatra. Bár az új értékeket kiszámító algoritmusok megbízhatóak, a transzformálás folyamán elveszhetnek bizonyos spektrális adatok. Ha az alkalmazás során nincs szükség a térképi koordinátákra és egységekre, akkor helyesebb elkerülni a képtranszformációt
34 Mikor alkalmazzuk a képtranszformációt? A képtranszformáció elkerülhetetlen azokban az esetekben, amelyekben a kép pixelhálózatát egy térképi vetületi rendszerhez, avagy egy másik képhez akarjuk illeszteni. A képillesztésnek több oka is lehet: * pixelenkénti változás vizsgálat * GIS adatbázis-fejlesztés * tanulóterületek kijelölése térképi koordináták alapján * méretarányos fotótérkép készítés * vektoradatok (pl. ARC/VIEW/INFO) alkalmazása * különbözı méretarányú képek összehasonlítása * távolság és területmérés * képek összeillesztése (mozaikolás)
35 Geometriai transzformáció III. Transzformáció lépései kép a térképhez típusnál a, illesztıpontok keresése, b, transzformációs függvény keresése, megadása, c, transzformáció végrehajtása, átmintázás
36 Geometriai transzformáció IV. a, illesztıpontok: GCP keresése, látható legyen mind a képen mind a térképen kép pont (pixel) input adat (x,y, esetleg z) térképi pont referencia adat (X,Y, esetleg Z) lehet (ϕ, λ, h) illesztıpont lehet: pl. útkeresztezıdés, felbontástól függıen egy kút, telekhatár, stb
37 Geometriai transzformáció V. b, transzformációs függvény keresése, megadása, f(x,y)=(x,y), transzformációs függvény fokszáma, rangja (elsı-, másodfokú függvény) X=a x + a 2 y + a 3 és Y= a 2 x + a 22 y + a 3 (elsıfokú), X=a x 2 + a 2 y 2 + a 3 xy + a 4 x + a 5 y + a 6 Y=a 2 x 2 + a 22 y 2 + a 23 xy + a 24 x + a 25 y + a 26 és (másodfokú) Jelentése: eltolás, elforgatás, nyújtás
38 Geometriai transzformáció VI. Az illesztıpontok (GCP) minimális száma (ISZ min ) a transzformációs függvény fokszámától (n) függ: ISZ min = (n+)*(n+2)/
39 Geometriai transzformáció VII. Transzformáció mátrixa: F Transzformáció inverzmátrixa: F - Hibája rms hiba rms x = x - F - (X,Y), rms y = y - F - (X,Y), rms (x,y) = sqrt(rms x 2 + rms y2 )
40 A transzformáció mátrixa A transzformáció mátrixát a GCP-ból számítjuk ki. Célunk, hogy a lehetı legkisebb legyen a hiba a GCP vonatkoztatási koordinátáinak a forrás koordinátákba való transzformációjakor. Nem mindig lehetséges az együtthatókat úgy származtatni, hogy a hiba zérus legyen.. ábra Polinomiális görbe a forrás és a referencia koordinátarendszerben (X koordinátákra) A transzformációs mátrix kiszámításához a legkisebb négyzetek regressziós módszert használják, amely ismert statisztikai eljárás
41 Geometriai transzformáció VIII. c, transzformáció végrehajtása, átmintázás (raszteres adatokon) Miért kell csinálni?
42 Geometriai transzformáció IX. átmintázás (raszteres adatokon) módszerei: legközelebbi szomszéd elve bilineáris interpoláció köbös konvolúció Mikor melyiket?
43 Legközelebbi szomszéd (nearest neighbor) Egy output pixel legközelebbi szomszédjának meghatározásához a pixel transzformált (x,y) koordinátáit a transzformációs mátrix inverzének felhasználásával visszatranszformáljuk az eredeti (forrás) koordináta rendszerbe (xr,yr).az a pixel lesz a legközelebbi szomszéd, amelynek a távolsága a legkisebb a visszatranszformált (xr,yr) koordinátától. E pixel intenzitás értéke lesz az output felvétel képpontjának keresett értéke
44
45 Bilineáris interpoláció A bilineáris interpoláció végrehajtásánál a transzformált pixel intenzitás értéke a visszatranszformált koordinátához legközelebb esı négy input pixelértékbıl számítható ki. A 4. ábrán látható példában a szomszéd pixeleket az,2,3 és 4 számok jelzik, amelyek értékei az adatfile-ben adottak, kiszámolandó az r koordináta intenzitás értéke (Vr)
46
47 Köbös konvolúció A köbös konvolúció hasonló a bilineáris interpolációs módszerhez, az eltérés csak annyi, hogy: * 6 pixelt 4x4-es elrendezésben használ az output intenzitás érték meghatározásához, és * harmadfokú polinomot illeszt a visszatranszformált pont 4x4-es környezetére. A visszatranszformált (xr,yr) koordináta környezı 6 pixelének (6. ábra) kijelöléséhez a (i,j) pixelt használjuk: i=int(xr) j=int(yr)
48
49 Példa affin transzformációra
50 Internet-alapú, osztottan közcélú árvízvédelmi információs rendszer projekt SZTE Természeti Földrajzi és Geoinformatikai Tanszék Geoview Systems Kft
51
52 Síkvidéki tározó tervezésének geoinformatikai támogatása domborzatmodell és terepmodell elıállítása kivezethetı vízmennyiség számítása töltésépítés és magasítás tervezése lokalizációs tervkészítés virtuális térbeli megjelenítés alkalmazása a tervkészítésben Ópusztaszeri Emlékpark? Baks Levelényi major 8 m-es szint Dóc
1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenMátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
RészletesebbenTranszformációk síkon, térben
Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenSzámítógépes geometria
2011 sz A grakus szállítószalag terv a geometriai (matematikai) modell megalkotása modelltranszformáció (3D 3D) vetítés (3D 2D) képtranszformáció (2D 2D)... raszterizáció A grakus szállítószalag: koncepció
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenSzámítási feladatok a Számítógépi geometria órához
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát
RészletesebbenKépfeldolgozás. 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei. Mechatronikai mérnök szak BME, 2008
Képfeldolgozás 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei Mechatronikai mérnök szak BME, 2008 1 / 61 Alapfogalmak transzformációk Deníció Deníció Geometriai korrekciókra akkor van szükség, ha a képr l valódi
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenRobotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenI. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
RészletesebbenPanorámakép készítése
Panorámakép készítése Képregisztráció, 2009. Hantos Norbert Blaskovics Viktor Összefoglalás Panoráma (image stitching, planar mosaicing): átfedő képek összeillesztése Lépések: Előfeldolgozás (pl. intenzitáskorrekciók)
Részletesebben1. Geometria a komplex számsíkon
1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Részletesebben12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor
12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
Részletesebbenx = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
RészletesebbenMatematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenGeometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenTérbeli transzformációk, a tér leképezése síkra
Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
RészletesebbenLineáris algebra (10A103)
Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat
RészletesebbenA Föld alakja TRANSZFORMÁCIÓ. Magyarországon még használatban lévő vetületi rendszerek. Miért kell transzformálni? Főbb transzformációs lehetőségek
TRANSZFORMÁCIÓ A Föld alakja -A föld alakja: geoid (az a felület, amelyen a nehézségi gyorsulás értéke állandó) szabálytalan alak, kezelése nehéz -A geoidot ellipszoiddal közelítjük -A földfelszíni pontokat
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
Részletesebben2. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Mátrixok Mátrixműveletek Speciális mátrixok, vektorok Norma
Mátrixok Definíció Az m n típusú (méretű) valós A mátrixon valós a ij számok alábbi táblázatát értjük: a 11 a 12... a 1j... a 1n.......... A = a i1 a i2... a ij... a in........... a m1 a m2... a mj...
RészletesebbenMatematikai geodéziai számítások 10.
Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenSZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM
SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM A vizsga szerkezete: A vizsga írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. 1.) Írásbeli vizsga Időtartama: 45 perc Elérhető pontszám: 65 pont Feladattípusok:
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév
9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek
RészletesebbenPolinomok, Lagrange interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 8. gyakorlat Polinomok, Lagrange interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Polinomok
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
Részletesebbenés n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n
RészletesebbenLengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. Tantárgy kódja: IP-08bNM1E, IP-08bNM1G (2+2) Az elsajátítandó ismeretanyag rövid leírása: A lebegıpontos számábrázolás egy modellje. A hibaszámítás elemei. Lineáris egyenletrendszerek
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
RészletesebbenOrtogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
Részletesebben1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK
MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenRaszter georeferálás QGIS-ben Összeállította: dr. Siki Zoltán verzióra aktualizálta: Jáky András
Raszter georeferálás QGIS-ben Összeállította: dr. Siki Zoltán 2.18.3. verzióra aktualizálta: Jáky András (jakyandras@gmail.com) Ez a leírás ahhoz nyújt segítséget, hogy szkennelt térképet vagy ortofotót
Részletesebben17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben
Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
RészletesebbenTranszformációk. Grafikus játékok fejlesztése Szécsi László 2013.02.26. t05-transform
Transzformációk Grafikus játékok fejlesztése Szécsi László 2013.02.26. t05-transform Koordinátarendszerek: modelltér Koordinátarendszerek: világtér Koordinátarendszerek: kameratér up right z eye ahead
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA
MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú
Részletesebben= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1
Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
RészletesebbenMatematika tanmenet 10. évfolyam 2018/2019
Matematika tanmenet 10. évfolyam 2018/2019 Műveltségi terület: MATEMATIKA Iskola, osztályok: Vetési Albert Gimnázium, 10.A, 10.B, 10.C, 10.D Tantárgy: MATEMATIKA Heti óraszám: 3 óra Készítette: a matematika
RészletesebbenIrodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0
Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
RészletesebbenAz alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok. Algebra és számelmélet
Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok halmaz halmaz megadása, jelölésmód üres halmaz véges halmaz végtelen halmaz halmazok egyenlısége részhalmaz, valódi részhalmaz halmazok uniója
RészletesebbenGauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenCsoportosítás. Térinformatikai műveletek, elemzések. Csoportosítás. Csoportosítás
Csoportosítás Térinformatikai műveletek, elemzések Leíró (attribútum) adatokra vonatkozó kérdések, műveletek, elemzések, csoportosítások,... Térbeli (geometriai) adatokra vonatkozó kérdések, műveletek
RészletesebbenFüggvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
RészletesebbenAz egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenSzendrői Balázs: Algebrai síkgörbék, szerkesztette: Ádám Liliána, Ódor Gergő, Lajos Mátyás
Algebrai síkgörbék Algebrai síkgörbéknek az olyan görbéket nevezzük, amelyek pontjai egy kétváltozós polinommal jellemezhetők. Ilyenek az egyenesek (ezek az elsőfokú síkgörbék). Másodfokú síkgörbék: pl.
RészletesebbenGeometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenMatematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenBudapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
RészletesebbenOsztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika 1. félév 1. Gondolkozz és számolj! A természetes szám fogalma, műveleti tulajdonságok Helyiértékek rendszere a tízes számrendszerben: alakiérték, tényleges
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
RészletesebbenTÉRINFORMATIKA II. Dr. Kulcsár Balázs Ph.D. adjunktus. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék
TÉRINFORMATIKA II. Dr. Kulcsár Balázs Ph.D. adjunktus Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék MÁSODLAGOS ADATNYERÉSI ELJÁRÁSOK Meglévő (analóg) térképek manuális digitalizálása 1 A meglévő
RészletesebbenFeladatok Házi feladat. Keszeg Attila
2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenSzámítógépes Grafika SZIE YMÉK
Számítógépes Grafika SZIE YMÉK Analóg - digitális Analóg: a jel értelmezési tartománya (idő), és az értékkészletes is folytonos (pl. hang, fény) Diszkrét idejű: az értelmezési tartomány diszkrét (pl. a
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
RészletesebbenNormák, kondíciószám
Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus
RészletesebbenMer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40
Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Részletesebben3D koordináta-rendszerek
3D koordináta-rendszerek z z y x y x y balkezes bal-sodrású x jobbkezes jobb-sodrású z 3D transzformációk - homogén koordináták (x, y, z) megadása homogén koordinátákkal: (x, y, z, 1) (x, y, z, w) = (x,
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenTranszformációk. Szécsi László
Transzformációk Szécsi László A feladat Adott a 3D modell háromszögek csúcspontjai [modellezési koordináták] Háromszögkitöltő algoritmus pixeleket színez be [viewport koordináták] A feladat: számítsuk
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebben