3D koordináta-rendszerek

Átírás

1 3D koordináta-rendszerek z z y x y x y balkezes bal-sodrású x jobbkezes jobb-sodrású z

2 3D transzformációk - homogén koordináták (x, y, z) megadása homogén koordinátákkal: (x, y, z, 1) (x, y, z, w) = (x, y, z, w ), ha van olyan α, hogy x = α x, y = α y, z = α z, és w = α w Ha w 0: (x/w, y/w, z/w, 1) a szokásos jelölés. Ha w = 0: (x, y, z, 0) végtelen távoli pont. Kapcsolat: (x, y, z) - egyenes a 4-dimenziós térben, aminek a w = 1 3D térrel való metszete homogén koordináta.

3 3D eltolás mert d x T (d x, d y, d z ) = d y d z x x + d x T (d x, d y, d z ) y z = y + d y z + d z 1 1 T 1 (d x, d y, d z ) = T ( d x, d y, d z )

4 3D skálázás (kicsinyítés / nagyítás) mert s x S(s x, s y, s z ) = 0 s y s z x s x x S(s x, s y, s z ) y z = s y y s z z s x S (s x, s y, s z ) = s y s z

5 3D forgatások A z-tengely körül: Az x-tengely körül: Az y-tengely körül: cos ξ sin ξ 0 0 R z (ξ) = sin ξ cos ξ R x (ξ) = 0 cos ξ sin ξ 0 0 sin ξ cos ξ cos ξ sin ξ 0 0 R y (ξ) = sin ξ cos ξ

6 3D nyírás mert 1 0 sh x 0 SH xy (sh x, sh y ) = 0 1 sh y x x + sh x z SH xy (sh x, sh y ) y z = y + sh y z z 1 1

7 3D kompozíció-mátrix A legáltalánosabb kompozíció alakja: t 11 t 12 t 13 t 14 M = t 21 t 22 t 23 t 24 t 31 t 32 t 33 t A mátrix szorzáshoz képes most is meg lehet takarítani műveleteket.

8 3D síkok transzformációi A sí egyenlete: Ax + By + Cz + D = 0 Legyen P a sík egy tetszőleges pontja! x A Ha P = y z, akkor N = B C a sík normálisa, hiszen 1 D N T P = 0. Ha a sík pontjait M-mel transzformáljuk, akkor hogyan transzformálódik a sík normálisa?

9 3D síkok transzformációi Legyen P egy tetszőleges pont a síkban! Ekkor N T P = 0. Melyik az a Q mátrix, amelyre (QN) T (MP ) = 0? Ha M 1 létezik, akkor ((M 1 ) T N) T (MP ) = N T ((M 1 ) T ) T MP = N T P = 0 Q = (M 1 ) T N = (M 1 ) T N Megyjegyzés: Nem biztos, hogy M 1 létezik! Pl.: vetítés esetén)

10 3D koordináta-rendszerek váltása - 1 P (j) : a P pont a j koordináta-rendszerben. M i j : transzformáció, amely a j-koordináta-rendszerbeli pontokat az i koordináta-rendszerbe viszi át. Ekkor P (i) = M i j P (j) Ha P (j) = M j k P (k) akkor ahol P (i) = M i j P (j) = M i j (M j k P (k) ) = M i k P (k) M i k = M i j M j k

11 3D koordináta-rendszerek váltása - 2 Továbbá M i j = M 1 j i Pl.: a) Ha M i j = T (t x, t y ), akkor M j i = T ( t x, t y ). b) Ha R jobb-, L pedig bal-kezes koordináta-rendszer azonos origóval és párhuzamos tengelyekkel, akkor M R L = M 1 L R =

12 3D transzformációk alakja (Különböző koordináta-rendszerekben) P ( j): pont a j-koordináta-rendszerben Q (j) : transzformáció a j-koordináta-rendszerben Melyik az a Q (i), amelyre Mivel P (i) = M i j P (j), ezért Q (i) P (i) = M i j Q (j) P (j)? Q (i) M i j P (j) = M i j Q (j) P (j) Q (i) M i j = M i j Q (j) Q (i) = M i j Q (j) M 1 i j

13 OpenGL

14 Mátrix műveletek OpenGL-ben oszlopfolytonosan tároljuk a mátrixokat: Az egység mátrix: GLfloatM[] = { 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, a 1 a 5 a 9 a , 1.0, 0.0, 0.0, a 2 a 6 a 10 a , 0.0, 1.0, 0.0, a 3 a 7 a 11 a , 0.0, 0.0, 1.0} a 4 a 8 a 12 a 16 Új aktuális mátrix betöltése: void glloadmatrix{fd}(t M[16]); glmatrixmode(gl MODELVIEW); // típus glloadmatrix(m); // betöltés

15 Mátrix műveletek Az aktuális mátrix legyen az egységmátrix: void glloadidentity(void); Az aktuális mátrix szorzása: void glmultmatrix{fd}(t M[16]); Pl.: GLf loatm[] = { 1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0} glmatrixmode(gl MODELVIEW); glmultmatrix(m); A szorzat lesz az új aktuális mátrix.

16 Koordináta transzformációk Nézeti (Viewing) a néző (kamera) helyének a megadása Modell (Modeling) az objektumok (modell) mozgatása Modell-nézet (ModelView) a nézeti és a modell transzformációk együtt Vetítés (Projection) a nézet vágása és látótérbe méretezése Ablak az eredmény ablakra való leképezése

17 Nézeti koordináták A megfigyelő nézőpontja kezdetben (0, 0, 0). A megfigyelő a z tengely negatív irányába néz. Virtuálisan rögzített koordináta rendszer y y -x -z -x x z x Ahogy a megfigyelő látja a modellt -y -y Így látnánk oldalról a megfigyelőt a pozíciójának a z tengely irányába történő elmozdítása után

18 Nézeti koordináták A nézeti koordináta rendszer elforgatása 45 -kal az óramutató járásával megegyező irányban szem koordináták y y' 45 transzfomált koordináta-rendszer x transzformált téglalap x'

19 Nézeti (Viewing) transzformáció Ez hajtódik végre először, ezt kell legelőször definiálni Nézőpont meghatározása: Kezdeti nézőpont (0, 0, 0) glulookat paranccsal módosítható

20 Nézeti (Viewing) transzformáció void glulookat( GLdouble eyex, GLdouble eyey, GLdouble eyez, GLdouble centerx, GLdouble centery, GLdouble centerz, GLdouble upx, GLdouble upy, GLdouble upz) (eyex, eyey, eyez) a szem pozíciója (centerx, centery, centerz) referenciapont, ahová a szem néz (upx, upy, upz) felfelé mutató vektor (VUP) Pl.: glulookat(0.0,0.0,2.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0);

21 Nézeti (Viewing) transzformáció A glulookat eljárás kiszámítja a megadott nézeti transzformáció inverzét, majd az aktuális mátrixot megszorozza a kapott inverz transzformációs mátrixszal. Az aktuális mátrix mód a GL MODELVIEW legyen!

22 Modell (Modelling) transzformáció eltolás forgatás A modell vagy egy részének a transzformálásra használjuk. skálázás A csúcspont (vertex) koordinátákat transzformálja.

23 Modell-nézeti dualitás A nézeti és a modell transzformációk duálisak, ezért elegendő csak a modell koordináta rendszert transzformálni. nézeti koordináta rendszer mozgatás modell koordináta rendszer mozgatás

24 Modell transzformációk glmatrixmode(glmodelview); void glrotate{fd}(t a, T x, T y, T z); a: forgatás fokban (x,y,z): forgatási tengely pl. 45 fokos forgatás az x-tengely körül: glrotated(45, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0) void gltranslate{fd}(t x, T y, T z); (x,y,z): az eltolás vektora pl. x-tengely mentén 50 egységgel való eltolás gltranslated(50, 0,0); void glscale{fd}(t x, T y, T z); (x,y,z) skálázás mértéke a tengelyek mentén pl. glscaled(0.5, 0.5, 0.5) 0.5-szörös uniform nagyítás