Infobionika ROBOTIKA. IX. Előadás. Robot manipulátorok I. Alapfogalmak. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
|
|
- Béla Pataki
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Infobionika ROBOTIKA IX. Előadás Robot manipulátorok I. Alapfogalmak Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
2 Tartalom Robot manipulátorok definíciója és alkalmazásai Manipulátorok szerkezete Alapvető kinematikai fogalmak 2005 HEFOP P /1.10 2
3 Az ipari robotok definíciója Legáltalánosabb tulajdonságok: a robot irányított mechanizmus előírható pályán mozog a pálya mentén vagy annak meghatározott pontjaiban előírható feladatokat lát el 2005 HEFOP P /1.10 3
4 Az ipari robotok definíciója Mechanikai struktúra vagy manipulátor, amely merev testek (szegmensek, tagok) sorozatából áll, melyeket összeillesztések (csuklók, ízületek) kapcsolnak össze A manipulátor szokásos részei: kar (mozgatás), kézcsukló (kézi funkciók), végberendezés (kívánt feladat elvégzése) Aktuátorok: a manipulátor mozgatása a csuklókon keresztül (elektronikus, hidraulikus, pneumatikus) Szenzorok: manipulátor állapotának és a környezet jellemzőinek mérésére Irányítórendszer: számítógép (irányítás, felügyelet) 2005 HEFOP P /1.10 4
5 A végberendezés (effektor) típusai Leggyakoribb típusok: ujjszerű megfogó ponthegesztő/ívhegesztő berendezés festékszóró pisztoly vágóberendezés szerszám csiszoló-, sorjázóberendezés 2005 HEFOP P /1.10 5
6 Robot manipulátorok alkalmazásai Anyagkezelési műveletek alakformálás raktárak feltöltése és kirakodása gyártósorok felügyelete osztályozás csomagolás 2005 HEFOP P /1.10 6
7 Robot manipulátorok alkalmazásai Gyártási műveletek ív- és ponthegesztés festés ragasztás (lézeres) vágás őrlés és fúrás öntés csavarozás, huzalozás, rögzítés mechanikai és elektromos egységek összeszerelése elektronikus kártyák összeszerelése 2005 HEFOP P /1.10 7
8 Robot manipulátorok alkalmazásai A robotok szenzoraikkal együtt mérőműszerként is használhatók: 3 dimenziós objektumok vizsgálata kontúrok keresése gyártási hibák felkutatása 2005 HEFOP P /1.10 8
9 Érzékelők Belső érzékelők csuklókoordináták értéke csuklókoordináták változási sebessége (deriváltja) Külső érzékelők végberendezés pozíciója, orientációja kontaktuserők (erők, nyomatékok) tapintási információ (taktilis érzékelő) vizuális információk (kamera) 2005 HEFOP P /1.10 9
10 Beavatkozó szervek Tipikus beavatkozók: villamos motor + áttétel hidraulikus motor pneumatikus motor 2005 HEFOP P /
11 Szervohajtások Szervohajtás: villamos motor + teljesítményelektronika szabályozókörök hierarchiája: pozíció (szögelfordulás-) szabályozó alapjel: csuklókoordináta előírt pályája kimenet: sebességszabályozó alapjele sebesség (fordulatszám-) szabályozó kimenet: áramszabályozó alapjele belső áram (nyomaték-) szabályozó kimenet: nyomatékkal arányos áram 2005 HEFOP P /
12 Manipulátorok szerkezete Nyílt kinematikai lánc pl. három elemű síkbeli kar Zárt kinematikai lánc pl. paralelogramma-kar 2005 HEFOP P /
13 Manipulátorok szerkezete (1 szabadságfokú) transzlációs csukló: 1 tengely menti mozgás a szegmensek között Rotációs csukló: forgómozgás a szegmensek között 2005 HEFOP P /
14 Manipulátorok szerkezete Mozgás szabadságfoka: a működtetett ízületek száma Szabadságfok: egy adott feladat végrehajtásához szükséges független paraméterek száma egy három dimenziós objektum tetszőleges pozícionálásához és orientálásához 6 szabadságfok szükséges Kinematikailag redundáns manipulátor: a mozgás szabadságfoka nagyobb mint a szabadságfok 2005 HEFOP P /
15 Manipulátorok szerkezete Munkatér (workspace): a környezet azon része, amit a manipulátor el tud érni Alakja és térfogata függ a manipulátor szerkezetétől és a csuklók mechanikai korlátozásaitól A kar mozgásának szabadságfoka szerinti csoportosítás: Descartes henger gömb SCARA antropomorf 2005 HEFOP P /
16 Descartes-manipulátor Három (páronként merőleges) transzlációs csukló Szabadsági fok: x, y, z 2005 HEFOP P /
17 Hengeres manipulátor Az első transzlációs csuklót rotációs csuklóval helyettesítjük Szabadsági fokok: r, θ, z 2005 HEFOP P /
18 Gömbi manipulátor A második transzlációs csuklót is rotációs csuklóval helyettesítjük Szabadsági fokok: r, θ, φ 2005 HEFOP P /
19 Antropomorf manipulátor Antropomorf geometria: három rotációs csukló Az első csukló tengelye merőleges a másik két csukló tengelyére, amelyek párhuzamosak 2005 HEFOP P /
20 Gömbcsukló Lényeg: a végszerszám pozíciójának és orientációjának szétcsatolása A kar feladata a pozícionálás, a csuklóé pedig az orientálás 2005 HEFOP P /
21 SCARA manipulátor Selective Compliance Assembly Robot Arm Két rotációs és egy transzlációs csukló, a mozgástengelyek párhuzamosak 2005 HEFOP P /
22 Kinematika Differenciális kinematika: a csuklók mozgása és a végszerszám mozgása közötti analitikus kapcsolat leírása a sebességek megadásával Kinematika: a csuklók pozíciója (szöge) és a végszerszám pozíciója és orientációja közti analitikus kapcsolat leírása 2005 HEFOP P /
23 Direkt és inverz kinematikai probléma Direkt kinematikai probléma: szisztematikus, általános módszer megadása a végszerszám mozgásának csuklómozgások függvényében való leírásához lineáris algebrai eszközök segítségével Inverz kinematikai probléma: a kívánt végszerszám- mozgáshoz szükséges csuklómozgások kiszámítása A manipulátor dinamikája: a manipulátor mozgásegyenletei a rajta ható erők és momentumok függvényében (alapja: kinematikai modell) 2005 HEFOP P /
24 Trajektóriatervezés és mozgásvezérlés Trajektóriatervezés: az állapotváltozók időfüggvényeinek meghatározása a kívánt mozgás tömör leírása alapján A generált trajektóriákból állítja elő a mozgásvezérlő rendszer a szükséges fizikai bemeneteket Manipulátor irányítása: az előírt trajektóriák bejárásához szükséges erők és nyomatékok időfüggvényeinek meghatározása 2005 HEFOP P /
25 Kinematika Manipulátor ábrázolása: merev testek rotációs vagy transzlációs csuklókkal összekötött kinematikai lánca A lánc egyik végén van a kezdőpont (bázis), a másik végén pedig a végszerszám Az egész struktúra mozgása megkapható az egyes elemek egymáshoz képesti elemi mozgásainak kompozíciójával 2005 HEFOP P /
26 Merev test pozíciója és orientációja Egy merev test helyzetét a három dimenziós térben egyértelműen megadja a pozíciója és egy referencia koord. rsz.-hez képesti orientációja 2005 HEFOP P /
27 Forgatási (rotációs) mátrix R a test referencia koord. rsz.-hez képesti helyzetét írja le R 3 x 3-as ortogonális mátrix, azaz R T R=I, R -1 =R T 2005 HEFOP P /
28 Forgatási mátrixok további tulajdonságai Ha A és B forgatási mátrix, akkor C=AB is forgatási mátrix Forgatási mátrixok lehetséges sajátértékei: minden sajátérték 1 az egyik sajátérték 1, a másik kettő -1 az egyik sajátérték 1, a másik két komplex konjugált sajátérték exp(iφ) ill. exp(-iφ) Ha A forgatási mátrix, akkor det(a)= HEFOP P /
29 Elemi forgatások O-xyz koord. rsz. elforgatása a z tengely körül α szöggel 2005 HEFOP P /
30 Elemi forgatások Forgatás α szöggel a z tengely körül: x '=[cos sin 0 ] y '=[ sin cos 0 ] z 1] '=[ 0 0 Az O-x'y'z' bázis O-xyz-re vonatkozó forgatási mátrixa: R z =[cos sin 0 sin cos ] 2005 HEFOP P /
31 Elemi forgatások Forgatás β szöggel az y tengely körül: R y =[ cos 0 sin sin 0 cos ] Forgatás γ szöggel az x tengely körül: R x =[ cos sin 0 sin cos ] 2005 HEFOP P /
32 Vektorok ábrázolása Egy p pont (vektor) ábrázolása az O-xyz bázisban: p x p p=[ z] y p Vagy az O'-x'y'z' bázisban: p' x p ' p'=[ z] y p ' 2005 HEFOP P /
33 Vektorok ábrázolása p= p x ' x ' p y ' y ' p z ' z '=[x ' y ' z ' ]p' p=r p' Az R rotációs mátrix a vektor koordináták O-x'y'z' és O-xyz bázisok közötti transzformációját ábrázolja Az ortogonalitásból következik: p'=r T p 2005 HEFOP P /
34 Vektorok ábrázolása Az O'-x'y'z' bázist az O-xyz bázishoz képest α szöggel elforgatjuk a z tengely körül. Legyenek egy P pont koordinátái p' ill. p a két bázisban HEFOP P /
35 Vektorok forgatása A forgatási mátrix vektorok forgatási operátoraként is használható: Legyen p' egy vektor az O-xyz bázisban Ekkor az Rp' vektor egy R operátor szerint elforgatott vektor lesz, melynek a hossza megegyezik p' hosszával 2005 HEFOP P /
36 Vektorok forgatása A forgatási mátrix három ekvivalens geometriai jelentése: Leírja két bázis egymáshoz képesti helyzetét: oszlopvektorai az elforgatott bázis tengelyeinek iránykoszinuszai az eredeti bázishoz képest Megmutatja az egy adott pont különböző (közös origójú) bázisokban való ábrázolásához szükséges koordináta-transzformációt Közös bázisban leírja a vektorok forgatását 2005 HEFOP P /
37 Forgatási mátrixok kompozíciója az aktuális bázisban Legyen R i az i és j bázis egymáshoz képesti helyzetét j leíró forgatási mátrix. Az egymás utáni forgatásokat jobbról történő mátrixszorzással írhatjuk le: Az R 0 2 R 2 0 =R 1 0 R 2 1 által kifejezett forgatás két lépésben kapható meg: Először elforgatjuk a megadott bázist R 0 1 kapjuk az O-x 1 y 1 z 1 bázist. szerint, így Majd az O-x 1 y 1 z 1 bázist elforgatjuk R 1 szerint, és így 2 megkapjuk az O-x 2 y 2 z 2 bázist HEFOP P /
38 Objektumok forgatása változó bázisban A teljes forgatás kifejezhető (egymáshoz képest definiált) tengely körüli elemi forgatási műveletek kompozíciójaként 2005 HEFOP P /
39 Objektumok forgatása rögzített bázisban Az egymás utáni forgatásokat egy rögzített bázis tengelyeihez képest írjuk fel 2005 HEFOP P /
40 ZYZ Euler-szögek A forgatási mátrixok paraméterei nem választhatók meg teljesen szabadon: az R T R=I ortogonalitási feltétel 6 db független egyenletet definiál 3 paraméter választható meg függetlenül a forgatási mátrixokban (minimális reprezentáció) 2005 HEFOP P /
41 ZYZ Euler-szögek A ZYZ szögek által leírt forgatás a következő elemi forgatások kompozíciója: Forgassuk el a referencia bázist φ szöggel a z tengely körül: R z =[cos sin 0 sin cos ] Forgassuk el az így kapott bázist θ szöggel a y' tengely körül: R y ' =[ cos 0 sin sin 0 cos ] 2005 HEFOP P /
42 ZYZ Euler-szögek az így kapott bázist forgassuk el ψ szöggel a z'' tengely körül: R z ' ' =[cos sin 0 sin cos ] 2005 HEFOP P /
43 Jelölések Trigonometrikus függvények rövidített jelölése: Pl. cos... =C... sin... =S... R z ' ' =[C S 0 S C ] 2005 HEFOP P /
44 ZYZ Euler-szögek A forgatások kompozíciója: R=R z R y ' R z ' ' = ] [c c c s s c c c s c c s s c c c s s c s c c s s s c s s c 2005 HEFOP P /
45 Az Euler-szögek meghatározása Inverz probléma: adott egy forgatási mátrix, milyen Euler-szögek tartoznak hozzá? R=[r 11 r 12 r 13 r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33] =atan2 r 23, r 13 =atan2 r 2 13 r 2 23, r 33 =atan2 r 32, r HEFOP P /
46 Arctg függvények implementációi atan: 2 síknegyedre számolt inverz tangens atan x =arctg x [ /2, /2] atan2: 4 síknegyedre számolt inverz tangens atan2 y, x =arctg y/ x [, ] (x és y előjelének felhasználásával) 2005 HEFOP P /
47 Homogén transzformációk A két bázis origója különböző: Művelet: eltolás + forgatás p 0 =o 1 0 R 1 0 p HEFOP P /
48 Homogén transzformációk A két bázis origója különböző: p=[ p 1] Így a bázisok közötti transzformáció a következő alakban írható fel: p=a 1 0 p 1 ahol =[ A 0 R o 1 ] 1 0 T HEFOP P /
49 Homogén transzformációk A 0 és 1 bázis közötti transzformáció felírható így: Ahol a transzformációs mátrix a következőképp partícionálható: 2005 HEFOP P /
Pneumatika az ipari alkalmazásokban
Pneumatika az ipari alkalmazásokban Manipulátorok Balanszer technika Pneumatikus pozícionálás Anyagmozgatási és Logisztikai Rendszerek Tanszék Manipulátorok - Mechanikai struktúra vagy manipulátor, amely
RészletesebbenAz ipari robotok definíciója
Robot manipulátorok Az ipari robotok definíciója Mechanikai struktúra vagy manipulátor, amely merev testek (szegmensek) sorozatából áll, melyeket összeillesztések (csuklók, ízületek) kapcsolnak össze A
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
RészletesebbenRobotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. XI. Előadás. Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA XI. Előadás Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom A forgatási mátrix időbeli deriváltja A geometriai
RészletesebbenRobotika. A robotok története - bevezetés. Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu
Robotika A robotok története - bevezetés Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu A robotok története Idő Irodalmi utalás, esemény Robot, vagy szerkezet Kr.e.1000 Kr.e. 800 Kr.e. 400 Kr.e. 300 Biblia (Ter.):
RészletesebbenDenavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra
Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás
RészletesebbenRobotok inverz geometriája
Robotok inverz geometriája. A gyakorlat célja Inverz geometriai feladatot megvalósító függvények implementálása. A megvalósított függvénycsomag tesztelése egy kétszabadságfokú kar előírt végberendezés
Részletesebben2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A
Mechatronika alapjai 2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A elmozdulás erő nyomaték elmozdulás erő nyomaték Mechanizmusok Mechanizmus: általánosságban: A gép mechanikus elven működő részei Definíció: A
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenSzámítógépes geometria (mester kurzus)
2010 sz, Debreceni Egyetem Csuklós szerkezetek animációja (Kép 1985-b l: Tony de Peltrie) Csontváz-modellek Csuklós szerkezet (robotkar) A robotkar részei: csuklók (joints) rotációs prizmatikus (transzlációs)
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások
"Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenSzámítási feladatok a Számítógépi geometria órához
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
Részletesebben3D koordináta-rendszerek
3D koordináta-rendszerek z z y x y x y balkezes bal-sodrású x jobbkezes jobb-sodrású z 3D transzformációk - homogén koordináták (x, y, z) megadása homogén koordinátákkal: (x, y, z, 1) (x, y, z, w) = (x,
RészletesebbenIPARI ROBOTOK. Kinematikai strukturák, munkatértípusok. 2. előadás. Dr. Pintér József
IPARI ROBOTOK, munkatértípusok 2. előadás Dr. Pintér József Az ipari robotok kinematikai felépítése igen sokféle lehet. A kinematikai felépítés alapvetően meghatározza munkaterének alakját, a mozgási sebességét,
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
RészletesebbenROBOTTECHNIKA. Kinematikai strukturák, munkatértípusok. 2. előadás. Dr. Pintér József
ROBOTTECHNIKA 2. előadás Kinematikai strukturák, munkatértípusok Dr. Pintér József Kinematikai strukturák Az ipari robotok kinematikai felépítése igen sokféle lehet. A kinematikai felépítés alapvetően
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenTárgy. Forgóasztal. Lézer. Kamera 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL
3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL. Bevezetés A lézeres letapogatás a ma elérhet legpontosabb 3D-s rekonstrukciót teszi lehet vé. Alapelve roppant egyszer : egy lézeres csíkkal megvilágítjuk a tárgyat.
Részletesebben1. A komplex számok ábrázolása
1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az
Részletesebbenx = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenTranszformációk síkon, térben
Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek
RészletesebbenValasek Gábor Informatikai Kar. 2016/2017. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi félév Tartalom 1 Motiváció 2 Transzformációk Transzformációk általában 3 Nevezetes
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
RészletesebbenSzámítógépes geometria
2011 sz A grakus szállítószalag terv a geometriai (matematikai) modell megalkotása modelltranszformáció (3D 3D) vetítés (3D 2D) képtranszformáció (2D 2D)... raszterizáció A grakus szállítószalag: koncepció
RészletesebbenGeometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy
RészletesebbenTartalom. Nevezetes affin transzformációk. Valasek Gábor 2016/2017. tavaszi félév
Tartalom Motiváció Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi félév Transzformációk Transzformációk általában Nevezetes affin
RészletesebbenRobotmechanizmusok Dr. Szabó, Zsolt Budai, Csaba Dr. Kovács, László Dr. Lipovszki, György
Robotmechanizmusok Dr. Szabó, Zsolt Budai, Csaba Dr. Kovács, László Dr. Lipovszki, György Robotmechanizmusok írta Dr. Szabó, Zsolt, Budai, Csaba, Dr. Kovács, László, és Dr. Lipovszki, György Publication
RészletesebbenTérbeli transzformációk, a tér leképezése síkra
Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenAz ábrán a mechatronikát alkotó tudományos területek egymás közötti viszonya látható. A szenzorok és aktuátorok a mechanika és elektrotechnika szoros
Aktuátorok Az ábrán a mechatronikát alkotó tudományos területek egymás közötti viszonya látható. A szenzorok és aktuátorok a mechanika és elektrotechnika szoros kapcsolatára utalnak. mért nagyság A fizikai
RészletesebbenPere Balázs október 20.
Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
Részletesebben6. Robotok és manipulátorok a rugalmas gyártórendszerekben. 6.1 Manipulátorok
6. Robotok és manipulátorok a rugalmas gyártórendszerekben Isaac Asimov: Én, a robot (1950), a robotika alaptörvényei A robot nem árthat az embernek, és nem nézheti tétlenül, ha az embert veszély fenyegeti
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenSzenzorcsatolt robot: A szenzorcsatolás lépései:
1. Mi a szenzorcsatolt robot, hogyan épül fel? Ismertesse a szenzorcsatolás lépéseit röviden az Egységes szenzorplatform architektúra segítségével. Mikor beszélünk szenzorfúzióról? Milyen módszereket használhatunk?
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenINTELLIGENS ROBOTOK ÉS RENDSZEREK
INTELLIGENS ROBOTOK ÉS RENDSZEREK Mester Gyula Dr. Mester Gyula Robotkinematika 1 ROBOTMANIPULÁTOROK KINEMATIKÁJA Mester Gyula Dr. Mester Gyula Robotkinematika 2 1.1 ROBOTMANIPULÁTOROK GEOMETRIAI MODELLJE
RészletesebbenMester Gyula 2003 Intelligens robotok és rendszerek
Mester Gyula 003 Intelligens robotok és rendszerek Robotmanipulátorok kinematikája Robotmanipulátorok dinamikája Robotmanipulátorok szabad mozgásának hagyományos irányítása Robotmanipulátorok adaptív irányítása
RészletesebbenMérési útmutató Robotkar inverz geometriája (és irányítása)
BME Irányítástechnika és Informatika Tanszék www.iit.bme.hu Mérési útmutató Robotkar inverz geometriája (és irányítása) összeállította: Dr. Kiss Bálint Budapest, 2016 bkiss@iit.bme.hu Intelligens robotok
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok 2019-09-10 MGFEA Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenPanorámakép készítése
Panorámakép készítése Képregisztráció, 2009. Hantos Norbert Blaskovics Viktor Összefoglalás Panoráma (image stitching, planar mosaicing): átfedő képek összeillesztése Lépések: Előfeldolgozás (pl. intenzitáskorrekciók)
RészletesebbenMateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában)
MateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában) Tasnádi Tamás 1 2015. április 17. 1 BME, Mat. Int., Analízis Tsz. Tartalom Vektorok és axiálvektorok Forgómozgás, pörgettyűk
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
Részletesebben1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)
Matematika A gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok 016/17 ősz 1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása megoldás) 1. Tekintsük azt az L : R R lineáris leképezést ami az 1 0) vektort az 1 0 )
RészletesebbenGeometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
RészletesebbenKépfeldolgozás. 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei. Mechatronikai mérnök szak BME, 2008
Képfeldolgozás 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei Mechatronikai mérnök szak BME, 2008 1 / 61 Alapfogalmak transzformációk Deníció Deníció Geometriai korrekciókra akkor van szükség, ha a képr l valódi
RészletesebbenRobotok Irányítása - Bevezetı
Robotok Irányítása - Bevezetı Robotikai alapfogalmak A robot egy irányított mechanikai rendszer, amely az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: újraprogramozható, elıre megadott pályán képes mozogni, a
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria II.
Trigonometria II. A tetszőleges nagyságú szögek szögfüggvényeit koordináta rendszerben egységhosszúságú forgásvektor segítségével definiáljuk. DEFINÍCIÓ: (Vektor irányszöge) Egy vektor irányszögén értjük
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenA spin. November 28, 2006
A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,
RészletesebbenEGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA
EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA Írta: Hajdu Endre A számítógépemhez tartozó két hangfal egy-egy négyzet keresztmetszetű hasáb hely - szűke miatt az ablakpárkányon van elhelyezve (. ábra).. ábra Hogy az
RészletesebbenA Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenGeometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenAz alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika
Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika 1. előadás Vonatkoztatási rendszer Hely-idő-tömeg standardok 3-dimenziós
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
RészletesebbenA főtengelyproblémához
1 A főtengelyproblémához Korábbi, az ellipszis perspektivikus ábrázolásával foglalkozó dolgozatainkban előkerült a másodrendű görbék kanonikus alakra hozása, majd ebben a főtengelyrendszert előállító elforgatási
Részletesebben1. Az euklideszi terek geometriája
1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz
RészletesebbenVégeselem analízis. 1. el adás
Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)
RészletesebbenA bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról
1 A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról A végein fonállal felfüggesztett egyenes rúd részleges erőtani vizsgálatát mutattuk be egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Forgatónyomaték mérése - I.
RészletesebbenKÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS
KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenEgybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.
Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely
RészletesebbenTartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)
Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás
RészletesebbenMatematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény
RészletesebbenCsuklós mechanizmus tervezése és analízise
Csuklós mechanizmus tervezése és analízise Burmeister Dániel 1. Feladatkitűzés Megtervezendő egy többláncú csuklós mechanizmus, melynek ABCD láncában található hajtórúd (2-es tag) mozgása során három előírt
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenMechanika. Kinematika
Mechanika Kinematika Alapfogalmak Anyagi pont Vonatkoztatási és koordináta rendszer Pálya, út, elmozdulás, Vektormennyiségek: elmozdulásvektor Helyvektor fogalma Sebesség Mozgások csoportosítása A mozgásokat
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
RészletesebbenPélda keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására
Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására Készítette: Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2011. február 22. Tekintsük az alábbi keresztmetszetet. 1. ábra. A vizsgált
RészletesebbenIpari robotok megfogó szerkezetei
IPARI ROBOTOK Ipari robotok megfogó szerkezetei 6. előadás Dr. Pintér József Tananyag vázlata Ipari robotok megfogó szerkezetei 1. Effektor fogalma 2. Megfogó szerkezetek csoportosítása 3. Mechanikus megfogó
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
Részletesebben