1. 1. B e v e z e t é s

Átírás

1 1. 1. B e v e z e t é s A földmérés helye a tudományok között A mérésről általában A térkép fogalma és méretaránya A Föld alakja és ábrázolása Geodéziai koordináta rendszerek Vetületek NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt 1-1

2 1. B e v e z e t é s Bevezetés Vásárhelyi Pál könyvének címlapja 1.1. A földmérés helye a tudományok között Ezzel belekezdünk földmérési tanulmányainkba. Nehéz dolog lesz, de ha nem csak tanulásnak tekintjük és észrevesszük benne a játékot is, sokkal könnyebben elsajátítjuk. Lehet, hogy többen közületek még nem hallottátok ezt a szót, hogy földmérés. Ez semmiképpen sem jelent hátrányt. Szép lassan sok mindent megtanulunk. Ezt mindig kedvvel tegyük, higygyük el, hogy sok szép van ebben a szakmában. Majd látni fogjuk, de ha nem lett volna szép, akkor nem foglalkozott volna vele ennyi kiváló szakember. Az emberi elme kialakulásának, megmutatkozásának kezdetétől fogva, mindig megtaláljuk a földmérés gyökereit. Azóta is nagyon fontos feladatokat lát el, sokszor más feladatok mellett. A következőkben nézzük meg milyen feladatok tartoznak a földméréskörébe. A földmérés feladatának meghatározását mindig azzal szokás kezdeni, hogy a földmérés feladata a föld alakjának és méretének meghatározása. Ez egy igen fontos feladat, azonban a Föld alakja már évszázadok óta ismert. Tudjuk, hogy a Föld gömb alakú. Sőt azt is ismerjük, hogy a Föld az északi és a déli sarknál kissé belapult. No nem olyan nagyon, ez csupán azt jelenti, hogy 1 méter átmérőjű félgömb, az északi és déli sarknál 3 mm-t összeszűkül. Ez, ha egy football labdát nézünk, kevesebb, mint 1 mm, egy gyufaszál szélessége. Ez a feladat egyénileg ma már nem megoldható. Nemzetközi szervezetek, sok-sok tudós, még több mérnök, technikus és szakember közreműködésére, munkájára van szükség. Ma már ismerjük a föld alakját, jó közelítéssel, de ezt a közeljövőben pontosabban kell ismernünk, és itt olyan feladatokra kell gondolnunk, amit jelenleg el sem tudunk képzelni. 1-2 NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt

3 De tegyük félre ezt a feladatot, mert ezt pillanatnyilag úgy sem tudjuk megoldani és a Föld sem nagyobb, sem kisebb, sem tojásdadabb nem lesz. A földmérésnek - hogy a mai napig fennmaradt -, kell hogy legyen több, praktikus, gyakorlatiasabb feladata is. Volt is és maradt is bőven belőle. Most nézzünk ezek közül néhányat. A földmérés feladata, hogy a Föld felszínén lévő természetes tereptárgyakat, hegyeket, völgyeket, dombokat, szakadékokat, vízmosásokat, laposabb vízállásos helyeket megismerjük. Megismerjük milyen magasak a hegyek, milyen mély a völgy. Mindezt tudnunk kell azért, hogy tudjuk hová építsünk házakat, hogy ne vigye el a víz, és hová építsük a várakat, kilátókat, hogy gyönyörködni tudjunk a természet szépségében. Hol melyik terület véd a természet és korábban az ellenség ellen. A mesterséges tereptárgyak az ember által épített utak, vasutak, töltések, csatornák. Ide tartoznak a városok, falvak épületei és minden, amit az ember épített. A földmérés egyik legfontosabb feladata az ország egész területén létrehozni a kataszteri térképeket, mely minden nyilvántartás alapját képezi. Ezeken a térképeken ábrázolják az épületeket és a hozzá tartozó földterületeket, a különböző művelésű területeket. Az ország területéről készülnek magasságot ábrázoló térképek is. Ezeket gyakran repülő- gépekről és műholdakról készülő felvételek alapján hozzák létre. A földmérésnek ezt a szakterületét fotogrammetriának nevezik. A földmérés feladatához tartozik az iskolai atlaszok készítése is. Ezeket korábbi térképek kicsinyítésével és azok áttervezésével hozzák létre. Gyönyörű színezésükkel és szemléletességükkel még a nem földmérők is szívesen nézegetik. A földmérés körébe tartozik a földalatti vezetékek - víz, csatorna, gáz, áram és sok más vezeték helyének ábrázolása is. Ezek ismerete nélkül nem lehet biztosítani egy város működését és további fejlesztését. A földmérés feladatába tartozik a meglévő tereptárgyak bemérésén és ábrázolásán kívül az újak kitűzése is. Az utak, vasutak helyét először megtervezik és utána ki kell tűzni, meg kell mondani, hogy mit hová építsenek. Ezt a feladatot kitűzésnek nevezzük. Nagyon fontos, hogy minden tervezett NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt 1-3

4 Bevezetés csatorna, épület a helyére kerüljön és ott épüljön meg, ahol eltervezték. Az előzőek alapján láttuk, a földmérés feladata, hogy meghatározza a meglévő tereptáragyak helyét és kijelölje az újabb építmények helyét. Tehát általánosan ezt úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a földmérés a helymeghatározás tudománya, biztosítja, hogy mindannak, ami számunkra fontos, megadja a helyét és a köztük lévő kapcsolatokat is. Az előző vázlatos felsorolásból is láthatjuk, hogy a földmérés igen sok más szakterülethez kapcsolódik. A földmérési munkák során igen sok más szakemberrel kell együtt dolgozni. A helyes térképi megjelenítéshez más szakemberek igényét is ki kell elégíteni azért, hogy azok jól tudják használni az általunk készített térképeket. Ezekkel az emberekkel meg kell tudni beszélni különböző feladatokat, és ezért a földmérőnek széleskörű ismeretekkel kell rendelkezni más területekről is. A földmérési munkákhoz több tudomány ismereteit is fel kell használni. Leginkább a matematikai ismeretek szükségesek. Ezen belül elsősorban a geometria az, ami a legfontosabb. Már maga a szó is eredeti jelentésében földmérést jelent (geo=föld, metria = mérés) A földmérés tulajdonképpen ennek gyakorlati ága. A földmérés feladatánál láttuk, hogy milyen mértékben kapcsolódunk más szakterületekhez. Ezek közül csak két területet emelnék ki. Az egyik a mezőgazdaság: a földek művelése sok földmérési adatot igényel. A táblák területének, földutak helyének ismeretén kívül szükséges még a szántó, erdő és többi területének nyilvántartása. A másik jelentős terület az építés. Út, vasút, vízépítés területén szükség van térképekre, a tervezett vonalak kitűzésére, melyeket szintén a földmérés ad a szakterületnek. Jelentős terület - földmérési szempontból a honvédség is. Ennek térkép igénye igen nagy. Sajátos igényei miatt, az általuk használt térképek sok honvédelmi szempontból szükséges adatot tartalmaznak. 1-4 NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt

5 1.2. A mérésről általában Az előzőekben láttuk a földmérés feladata a térben elhelyezkedő tereptárgyak helyének meghatározása. A helymeghatározás méréssel történik. A mérés során meg kell határozni azokat az adatokat, melyek egyértelműen megadják a pont térbeli helyzetét. Egy pont térbeli helyzetét úgy adjuk meg, hogy felveszünk egy alapfelületet. Ez általában a vízszintes sík, melyet a víz felszíne jelöl ki. Ezt könnyen elő tudjuk állítani úgy, hogy egy pohárba vizet öntünk és annak felszíne kijelöli a vízszintes síkot. Ezen a felszínen két irányban mozoghatunk: előrehátra és jobbra-balra. A kétirányú mozgási lehetőség, két adat megadását jelenti. Az egyik, hogy mennyit mozogtunk előre, és mennyit mentünk jobbra. A hátra és balra irányt értelmezzük úgy, hogy azt negatív számmal jelöljük. A térben elhelyezkedő pontot egy választott vonallal vetítjük a vetítő alapfelületre. A vetítővonalnak a függőlegest választjuk. Ezt a vonalat jelöli ki egy zsinór, melyre egy nehezéket akasztunk, de ezt jelöli ki egy leejtett kő is. A függőleges egyenes és a vízszintes sík merőleges egymásra. A térbeli pontok helyzetét ebben a rendszerben határozzuk meg. Egy pont helyzetét három adat határozza meg. Két adat a pont vetített képének a helye az alapfelületen, és egy adat a pont távolsága az alapfelülettől A vetítés elve A földmérésben a mérőeszközök miatt, ez a két meghatározás általában különválik. Eszerint beszélünk vízszintes értelmű meghatározásról, amikor az alapfelületül választott vízszintes síkon határozzuk meg a pontok helyzetét, valamint beszélünk magassági meghatározásról, mikor a pontok magasságát határozzuk meg a függővonal mentén mérve. A köznyelvben számos szó él a hely meghatározására. Ilyenek az előtte, mögötte, jobbra, balra. Ezek a kifejezések az egy kiválasztott ponthoz és kiválasztott irányhoz viszonyított helyzetet határozzák meg vízszintes értelemben. Ezeket a meghatározásokat relatív meghatározásnak nevezzük. Abszolút meghatározás során a Földhöz rögzített, kapcsolt rendszert használunk. Ekkor az Északra, Délre, Keletre, Nyugatra NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt 1-5

6 Bevezetés szavakat használhatjuk. Ezek az irányok már a Földhöz kötöttek. Tehát a meghatározás kétféle lehet: abszolút és relatív. Az általunk végzett mérések néhány kivételtől eltekintve relatívak. Tehát az egyes jellemző pontokat már adott pontokhoz viszonyítva határozzuk meg. A már adott pontokat felsőgeodéziai munkák során határozzuk meg. A továbbiakban ezeket már változatlannak tekintjük és ebbe illesztjük be az alsógeodéziai munkák során végzett felméréseket A térkép fogalma és méretaránya A térkép a Föld felszínén lévő természetes és mesterséges tereptárgyak ábrázolása, olyan formában, hogy az a felhasználó számára szükséges a helyre vonatkozó, és a hellyel kapcsolatos ismereteket megadja. A térkép általában felülnézetben mutatja be a területet. A térkép részletességének olyannak kell lenni, hogy az áttekinthető, jól olvasható legyen. Az ábrázolás mérete attól függ, hogy a térképlap mekkora területről készült. A méretarány fejezi ki, hogy ugyanakkora térképlapon mekkora területet lehet ábrázolni. Általában egy ábrázolásnál méretaránynak azt a számadatot nevezzük, mely kifejezi, hogy valódi méret és a rajzon lévő, vagy a modell-méret arányát. Pl. egy Barby-baba mérete 20 cm, a valóságban ez 160 cm magas lánynak felel meg. Így a baba méretaránya M = 1:8. Egy másik példában a modellvasutaknál gyakran olvashatjuk, hogy a méretarányuk 1:72. Ez azt jelenti, hogy a valóságban 1 öl (2 yard) megfelel a modellen 1 hüvelyknek (természetesen ezt angolszász mértékegységben kell érteni). 1-6 NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt

7 A térképek esetében ezt másmódon kell érteni. Ennek oka az, hogy a Föld felszíne nem sík. Emiatt nem lehet közvetlenül síkon ábrázolni. Térképek esetében nem lehet változatlan formában értelmezni a méretarányt. A Föld felszínén lévő pontokat először egy sík felületre (vagy síkba fejthető felületre) kell vetíteni és ezután már értelmezhetjük a méretarányt. A térképek méretarányát úgy értelmezzük, hogy az a térképi hossz és a vetületi hossz hányadosa. M térképihossz vetületihossz = =1: = 1: m vetületihossz térképihossz Az M méretarányt mindig 1:m formában írjuk fel, ahol m a méretarányszám. A térképek egyik legfontosabb csoportosítása a méretarány szerint történik. NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt 1-7

8 Bevezetés Földmérési térképek méretaránya 1 : 1000 és 1 : 2000, kivételesen 1 : 500 méretarányban is ábrázolunk egyes részleteket. Az átnézeti, áttekintő térképeket 1 : 4000 és 1 : méretarányban szerkesztjük. A térképek vízszintes értelemben tartalmazzák a határvonalakat, művelési ágakat, épületeket. Elsődleges szerepük v an a tulajdo n nyilvántartásában és általános műszaki szempontból is felhasználhatók. A földmérési térképeken csak kivételesen ábrázoljuk a magasságot. Leggyakrabban csak egyes pontok magasságát adjuk meg. A földmérési térképeket az ország egész területére egységes rendszerben készítjük és folyamatosan kiegészítjük a változások bemérésével. A topográfiai térképek 1 : , 1 : , 1 : és 1 : méretarányban készülnek. Az egész ország területé- Topográfiai térkép részlete ről egységes rendszerben ábrázolják a síkrajzot és a domborzatrajzot is. 1-8 NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt

9 A térképek méretaránya következtében egyes jellegzetes, de kisméretű építményeket, tereptárgyakat nem tudunk valós méretüknek megfelelően a térképen megrajzolni. Ezeket méretüktől függetlenül egyezményes jellel ábrázoljuk. A jeleket és magyarázatukat külön jelkulcsi leírásban adják meg. A jelkulcs a topográfiai térképeken azonos így a legfontosabb jeleket könnyen megtanulhatjuk. A topográfiai térképek az ábrázolt terület jellegét adják vissza. A topográfiai térképek közül az 1 : és 1 : méretarányúak eredeti felmérés alapján készültek. Az ennél kisebb méretarányúak már levezetett térképek, melyek a már elkészült nagyobb méretarányú térképek kicsinyítésével jönnek létre. Természetesen a kicsinyítés után azokat át kell tervezni, újra kell alkotni, hogy a terület jellegzetességét és tulajdonságait adjuk vissza. Földrajzi térképeknek nevezzük az eddigieknél kisebb méretarányú térképeket. Ezek igen változatos formában és nagyon sokféle célra készülnek. Gondoljunk csak az általános iskolában megismert atlaszunkra. Abban találkoztunk domborzatot, gazdaságot, közigazgatást ábrázoló térképekkel. Találkozhatunk ezen kívül más szempontok szerint készített térképekkel is. Ezekben is nagyon változatosak. Az egyik térkép csak egy ország részét ábrázolja, a másik már a teljes országot, még vannak földrészeket, az egész világot (Földet) bemutató térképek is(2.12. ábra). Ma már térképek készülnek a Holdról is. Talán ezek esetében helyesebb lenne a Holdrajzi térképekről beszélni. Befejezésül a térképek igen sokféle formában, sokféle ábrázolásban jelennek meg. Ma már gyakori, hogy a térképek nem papírlapon jelennek meg, hanem digitális formában, képernyőn szemléljük. Ezeket ugyanúgy térképnek kell tekin- NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt 1-9

10 Bevezetés teni, mint a hagyományos térképeket. A digitális térképek méretaránya változtatható, a képernyőn kicsinyíthetjük és nagyíthatjuk. Ezzel változtatjuk a térkép méretarányát. A digitális térképeknek ezek szerint nincs meghatározott méretaránya. A méretarányt ebben az esetben a térképi tartalomhoz kötjük. Ezt úgy értjük, hogy a digitális térkép méretaránya az alapméretarány, mely mellett történt a térkép szerkesztése és tartalmának meghatározása. A térképek méretaránya következtében egyes jellegzetes, de kisméretű építményeket, tereptárgyakat nem tudunk valós méretüknek megfelelően a térképen megrajzolni. Ezeket méretüktől függetlenül egyezményes jellel ábrázoljuk. A jeleket és magyarázatukat külön jelkulcsi leírásban adják meg. A jelkulcs a topográfiai térképeken azonos így a legfontosabb jeleket könnyen megtanulhatjuk. A topográfiai térképek az ábrázolt terület jellegét adják vissza A Föld alakja és ábrázolása Már régóta tudjuk, hogy a Föld alakja egy szabálytalan felület. A föld felszínén hegyeket, völgyeket találunk, még sík területen is érzékeljük, hogy az utak emelkednek, lejtenek. Hol erősebben, hol enyhébben. Nekünk ezt a változatos felületet kell ábrázolnunk térképeinken. Azonban könnyű belátnunk, hogy a terepfelszín nem lehet a Föld valódi alakja. A Föld valódi alakján olyan felületet kell értenünk, melyen nincsenek kiemelkedések és mélyedések. Ezt az alakot a tengerek, tavak és minden mást folyadék felszín jelöli. Ezek általában különböző magasságban helyezkednek el. Ezeket a felületeket szintfelületeknek nevezzük. A szintfelületek nem szabályos felületek. Nincsenek töréseik, szakadásaik. A különböző szintfelületek távolságai nem azonosak, azok kis mértékben változnak, de ezt a gyakorlatban elhanyagolhatjuk. A sok szintfelület közül kiválasztunk egyet, és ezt nevezzük geoidnak és ez a Föld alakja. A geoid a középtengerszint magasságában kiválasztott szintfelület. A másik alapvető geodéziai fogalom.a függővonal. Ennek egy rövid darabját a függő, régies nevén a függélyező jelöli ki. Ez minden pontjában merőleges a szintfelületre. A földi helymeghatározásokban ezt a két alapelemet használjuk. A Föld alakját, a geoidot és a szintfelületeket, valamint a szintvonalakat is a Föld nehézségi erőtere hozza létre. A földi tömegvonzás és a Föld forgásából létrejövő centrifugális erő határozza meg. A Föld alakot nagyobb közelítéssel gömb alakúnak tekinthetjük. Ezt már az Ókorban is ismerték. A hajósok már nagyon 1-10 NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt

11 korán megfigyelték, hogy először a hajó árbóca tűnik fel a láthatáron, és csak mikor közelebb érünk hozzá, akkor látunk egyre nagyobb részt belőle. A Föld sugarát már az ókorban is meghatározta Erathosztenész, az egyiptomi Alexandriában élő tudós kb. 200-ban. Elgondolása az volt, hogy Syenében (a mai Asszuánban) nyáron a napfordulókor a kútba a földfelszínre merőlegesen süt be a nap, tehát a kút fenekét is megvilágítja. Ugyanekkor az árnyékvető rúd (quomon) árnyékának hosszát Alexandriában. A kísérletből a b/s = a/r aránypár írható fel. Azaz az árnyék b hossza úgy aránylik az Alexandria-Suéne s távolsághoz, mint ahogy az árnyékvető rúd a hossza aránylik a Föld R sugarához. Az aránypárból a Föld sugara kiszámítható. Az s távolságot karavánutak alapján becsülte meg. Eredményül mai méter mértékegységben R = 7360 km kapta meg, mely jól egyezik a ma ismert értékkel (R = 6360 km). A Föld alakját ma leggyakrabban ellipszoiddal közelítjük. Az ellipszoidot úgy képzeljük el, hogy egy ellipszist kistengelye körül megforgatunk. A forgási ellipszoidokat a megforgatott ellipszis nagytengelyének hosszával és lapultságával szoktuk jellemezni. Lapultság alatt arányszámot értünk, melynek számlálója a nagytengely és a kistengely különbsége a nevezőben pedig a nagytengely hossza szerepel. Ezt mindig l = 1 : f arányszámmal fejezzük ki a méretarányszámhoz hasonlón. A földi ellipszoidokat mérések segítségével határozzák meg. A Földet legjobban megközelítő ellipszoidokat névvel és évszámmal szokták jelölni. A leggyakoribb ellipszoidok melyek magyar szempontból is fontosak a következők: Ellipszoid neve Fél nagytengely Lapultság (méter) Bessel ,155 1/299, Kraszovszkij ,000 1/298, Hayford ,000 1/297, IUGG ,000 1/298, WGS ,000 1/298, WGS ,000 1/298, A 60-as évektől kezdve a Nemzetközi Geodézia és Geofizikai Unió (IUGG) ad ajánlásokat a legjobb ellipszoid méretekre. Ezeket a 70-es évektől kezdve WGS (World Geodetic System) rövidítéssel és az évszámmal jelölik. A WGS ellipszoidokat már műholdas helymeghatározó mérések alapján határozzák meg. Gömbön és az ellipszoidon a pont helyzetét földrajzi szélességgel és földrajzi hosszúsággal adják meg. A Földi ellipszoidok esetén az ellipszoid forgástengelye határozza meg az északi és déli pólust. Az egyenlítő síkját a megforgatott ellip- NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt 1-11

12 Bevezetés szis nagytengelye súrolja. A fokhálózatot a megforgatott ellipszis vonalait meridiánoknak nevezzük. Ezek mind ellipszisek a forgási ellipszoidon, és körök a gömbön. Ezek közül egyet kezdő meridiánnak választunk. Nemzetközi megállapodásnak megfelelően azt, amelyik a Grewnichen megy keresztül. Az egyenlítő síkjával párhuzamos síkok a felületből a paralellköröket metszik ki, ezek ellipszoidon és gömbön is változó sugarú körök. Földrajzi szélesség alatt a felszíni pont függőleges egyenesének és az egyenlítő síkjának a hajlásszögét értjük. Földrajzi hosszúság a meridián, amely Greenwich-en halad keresztül és a pont függőlegeséhez tartozó ellipszoid síkjának a hajlásszögét értjük. Ezt a szöget mindig az egyenlítő síkjában mérjük. Ez a két adat egyértelműen meghatározza a pont helyzetét az ellipszoidon és a gömbön is. Egy földi pont földrajzi koordinátája attól függ, hogy az ellipszoidot, vagy a gömböt hogyan illesztjük a Földet meghatározó geoidhoz, ezért az ellipszoidi és gömbi földrajzi koordináták eltérnek egymástól. Vízszintes mérések alapfelületéül geodéziában mindig az ellipszoidot választjuk. Magasságmérések szempontjából már más a helyzet. A pont magassága alatt a geoid és a pont függővonal mentén mért távolságát értjük. Ez azonban nem egyértelmű, azért, mert a középtengerszintek az eges kikötőkben mérve, különböző magasságban vannak. Ennek oka az, hogy a tengereknek különböző a sótartalmi, tenger áramlások vannak. Magyarország szempontjából két tengerszint jelentős előtt a Trieszti moreográf (tengerszintmérő berendezés) nullapontján átmenő geoidot használtuk alapfelületül. Ezeket a magasságokat neveztük Adria feletti magasságnak után a Balti (Kronstadti, Szentpétervár mellett, egy szigeten épített mareográfon) meghatározott nullaszintet használjuk. A két alapszint nem azonos. A kettő közötti eltérést a ábra mutatja. A balti alapfelület 0,6747 méterrel van magasabban, mint az Adriai alapfelület NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt

13 1.5. Geodéziai koordináta rendszerek Geodéziai koordinátarendszer A pontok helyzetét számszerű formában, koordinátákkal adjuk meg. Geodéziában síkbeli (kétdimenziós) és térbeli (háromdimenziós) koordináta rendszereket használunk. Síkbeli koordinátákkal a pont alapfelületre vetített helyét határozzuk meg. Síkbeli koordinátaként leggyakrabban Descartes-féle derékszögű koordinátákat használunk. Ehhez fel kell venni egy kezdőpontot, mely a koordinátarendszer origója, és fel kell venni egy kezdőirányt, ez a koordináta rendszer x tengelye. A másik koordináta tengelyt, az y tengelyt úgy kapjuk, hogy az x tengelyt a pozitív irányba elforgatjuk az origó körül. A matematikában és a geodéziában használatos koordináta rendszert is így adjuk meg. Lényeges eltérés azonban, hogy a forgásirány a koordináta rendszer sodrása matematikában az óramutató járásával ellentétes, míg geodéziában az óramutató járásával egyező. A pont helyzetét a koordináta rendszerben két távolság adattal adjuk meg úgy, hogy a pontot az y tengellyel párhuzamos egyenessel az x tengelyre vetítjük és a pont x koordinátája az origó és az x tengelyre vetített pont távolsága. Az y koordinátát hasonlóan határozzuk meg. A pontot x tengellyel párhuzamos egyenessel vetítjük az y tengellyel és az y koordináta az origó és a vetített pont távolsága az y tengelyen mérve. Gyakran használunk poláris koordinátákat is. Ebben az esetben a pont helyzetét az origótól mért távolsággal és az a távolság irányával adjuk meg, melyet x tengelytől mérünk a pozitív forgásiránynak megfelelően. Poláris koordináta rendszerben a pont koordinátája a t távolság és a δ irányszög. Geodéziában a koordináta rendszer lehet országos, vagy helyi a koordináta rendszer érvényességi területe alapján. Az országos rendszerben a koordináta rendszer kezdőpontját földrajzi koordinátákkal adják meg. A kezdőirányt vagy az északi, vagy a déli iránynak megfelelően választják meg. Így beszélünk észak-keleti és dél-nyugati koordináta rendszerről. NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt 1-13

14 Bevezetés Helyi koordináta rendszerek egy kisebb területen érvényesek. Legegyszerűbb esetben ez egy egyetlen mérési vonal, de lehet egy lakótömbre, vagy egy ipartelepre kiterjedő is. Térbeli koordináta rendszerként általában derékszögű Descartes rendszert használunk. A térbeli rendszer három koordináta tengelye páronként egymásra merőleges. Az egyes tengelyeket x y z tengelynek nevezzük. Ha az x y és z tengelyek úgy követik egymást, mint Térbeli koordináta-rendszer jobbkezünk hüvelyk-mutató és középső újja, akkor jobbsodrású rendszerről beszélünk. Ha a koordináta tengelyeket bal kezünk három újjának felelnek meg, akkor balsodrású rendszerről beszélünk. Földhöz kötött koordináta rendszerként a koordináta tengelyeket úgy helyezzük el, hogy az x tengely a Földi egyenlítő síkjában legyen a Greenwichi kezdő meridián irányában. Az y tengely szintén a földi egyenlítő síkjában fekszik és merőleges az x tengelyre. A z tengely a föld forgástengelyének északi ága. A három tengely jobbsodrású rendszert alkot. A földi pontok meghatározására használunk még földrajzi koordinátákat is. Ekkor a pontot az ellipszoid koordinálásával, az ellipszoidi függőleges egyenessel levetítjük az ellipszis felületére és A pont helyzetét a levetített pont földrajzi szélességével és hosszúságával adjuk meg. Az eredeti pont térbeli helyzetének megadásához a harmadik koordinátaként az ellipszoid feletti magasságot használjuk. Ez a pont és az ellipszoidra levetített pont távolsága. Használunk térbeli derékszögű koordináta rendszert az ellipszoid felszínéhez kötötten is. Ezt topocentrikus koordináta rendszernek nevezzük. Ennek kezdőpontja az ellipszoid valamelyik kiválasztott felszíni pontja. Az x és y tengely síkja érinti az ellipszoid felszínét az origóban. Az x tengely pozitív ága észak felé mutat, az y tengely erre merőleges és kelet felé néz. A z tengely az ellipszoid normálisa, merőleges az x y síkra. Ez a rendszer balsodrású rendszert alkot. Kis területen 1-14 NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt

15 jó közelítéssel megfelel a természetes vízszintes és magassági koordináta rendszernek. Azonban tudni kel, hogy az ellipszoid érintősíkja és az ellipszoidi normális nem azonos a geoidhoz tartozó helyi vízszintessel és az ellipszoidi normális is eltér a helyi függőlegestől. Az előbbiekben láttuk, hogy milyen sokféle koordináta rendszert használunk. Gyakran ugyanannak a pontnak is többféle koordinátája van. Ezek kezeléséhez szükséges, hogy a különböző koordináta rendszerekből át tudjunk számítani pontokat más koordináta rendszerbe. Ezért szükséges, hogy az egyes koordináta rendszereket pontosan definiáljuk és adjuk meg azokat az egyenleteket, melyek segítségével elvégezhetjük az átszámításokat Vetületek A vetítés fogalma, szükségessége A Föld felszínén lévő pontokat a térképen síkban kell ábrázolni. A felhasználó számára a térképlapon jelenik meg a terep képe. A térkép felülnézetben ábrázolja a terepet. Ahogy a narancs héját nem lehet gyűrődés-szakadás nélkül síkba fejteni, ugyanúgy a földfelszíni pontokat sem lehet torzulás nélkül síkban ábrázolni. A futball labdát is csak részekre bontva lehet síkba kifektetni, hasonlóan a Föld felszínét is csak torzulásokkal tudjuk a térképlapon ábrázolni. Perspektív vetítés NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt 1-15

16 Bevezetés A vetítés folyamata Azt, amikor a Föld felszínén lévő pontok síkon lévő megfelelőit meghatározzuk, vetítésnek nevezzük. Vetítésnél azt a felületet, amelyről vetítjük a pontokat, alapfelületnek nevezzük. Amelyikre vetítünk, képfelületnek hívjuk. Geodéziában alapfelület a forgási ellipszoid, vagy a gömb lehet. Képfelületként síkot, vagy valamilyen síkba fejthető felület használunk. Ilyen a henger vagy a kúp. Síkba fejthető felületeknél a vetítést elvégezzük a hengerre, vagy kúpra ésw vetítés után egy alkotója mentén felvágjuk és síkra kiterítjük, amit már torzulás nélkül megtehetünk. Geodéziai vetületeknél az is előfordul, hogy az ellipszoidról először gömbre vetítünk, majd csak a következő lépésben vetítünk síkra, vagy síkba fejthető felületre. Ezt a vetítést nevezzük kettős vetítésnek. Alkalmazásának elsősorban takarékossági okai vannak. A vetítés geometriai szempontból kétféle lehet. Az egyik esetben a vetítés perspektív. Ekkor az alapfelület és a képfelület között közvetlen geometriai kapcsolat van. A pontokat valóságos egyenes vetítő sugarakkal visszük át a képfelületre. A másik lehetőség a matematikai vetítés, ekkor az alapfelüle NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt

17 Vetületi torzulások ti és képfelületi pontok között csak matematikai kapcsolat van az y = f (λ, ϕ ) és x = g (λ, ϕ ) formának megfelelően. Perspektív vetületeknél is felírható mindig az ilyen matematikai kapcsolat. A vetítéseket ma mindig matematikai egyenletekkel végezzük. A vetítések során mindig fellépnek különböző torzulások. A torzulásokat jellegük szerint három csoporthoz soroljuk. Lehetnek szög, hossz és terület torzulások. Ezek következtében az egyes alakzatok megváltoznak. A torzulások nem egységesek az egész vetületen. Vannak olyan részek, melyek erőteljesebben torzulnak, míg más részeken a torzulások kisebbek. A nagyobb torzulások általában a vetület széle felé lépnek fel. A vetítés során elérhetjük a vetület megfelelő megválasztásával, hogy egyes torzulások ne lépjenek fel, ennek megfelelően beszélhetünk szögtartó és területtartó vetületekről. Szögtartó vetületeken a szögek nem torzulnak. Ez azonban azzal jár, hogy a hosszabb és rövidebb területek erősebben változnak. Szögtartó vetületeknek a geodéziában van nagy szerepük. Általában ilyen vetületeket használunk. A területtartó vetületeken az egyes idomok területe nem változik. Ezeket leggyakrabban kartográfiai, földrajzi térképeken alkalmazzák, mert így szemléletesebb képet adunk az egyes részekről. Hossztartó vetület nincs. A hosszak minden vetületen torzulnak. Vannak a vetületen olyan vonalak, vagy pontok, amelyben a hosszak nem torzulnak. A másik probléma, hogy az alapfelületen lévő legrövidebb vonalak a képfelületen nem lesznek legrövidebb vonalak. Ennek következtében további torzulások jönnek létre. NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt 1-17

18 Bevezetés A geodéziai vetületeknél a torzulások mértékére határt szabnak az egyes vetületeket csak olyan területek ábrázolására használjuk, melyeknél a hossztorzulás nem lép fel egy még elfogadhatónak tekintett értéket. Ezt geodéziában 1/ értékben vesszük fel. Ha a terület olyan nagy, hogy azt nem lehet a torzulási határértéknél kisebb torzulással ábrázolni, akkor az egész területet több vetületen ábrázoljuk. Ezek a vetületek azonosak, csak más elhelyezésűek. Nagyobb országok esetén ez gyakori megoldás. A vetületeket többféleképpen csoportosíthatjuk. Már az előzőekben is megtettünk ezt néhány szempont szerint. Felhasználás szerint a vetület lehet: földrajzi (kartográfiai) vagy geodéziai. A kartográfiai vetületeket használunk nagyobb területek, országok, földrészek vagy az egész Föld ábrázolására. Ezeket találjuk meg atlaszokban vagy turista térképek esetében is. A geodéziai vetületeket kataszteri felmérésekhez használják. Ezeknél különösen fontos, hogy a torzulások ne lépjenek át egy határt. A vetületeket a képfelület elhelyezése szempontjából is csoportosíthatjuk. Eszerint lehet: érintő vagy redukált (metsző). Érintő vetületeknél a képfelület érinti az alapfelületet. Sík vetületnél az egyetlen pontban történik és ekkor ebben a pontban nincs torzulás. Henger-, és kúp vetületeknél az érintés egy vonal mentén történik és ezen a vonalon nincs torzulás. A metsző vetületeknél a képfelület belemetsz az alapfelületbe. Vetületi torzulások a metszési vonalon nem lépnek fel. Síkvetületnél a metszésvonal egy kör a körön belül, hosszcsökkenés lép fel. A körön kívül a távolságok növekednek. Hengervetületnél a képfelületen két párhuzamos vonalon nem lesz hosszkét vonal kö- torzulás. A zött rövidülés, míg a két vonalon kívül hossznövekedés. Ma- Képfelületek csoportosítása tematikai vetületeknél helyesebb metsző helyett redukált kifejezést használni, mert ott ilyen képies megfelelés nincs. A vetület tulajdonképpen csak matematikai úton valósul meg. A vetületek elhelyezése szerint háromféle elhelyezést különböztetünk meg. Elhelyezés kor mindig a képfelület tengelyé NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt

19 nek elhelyezkedését vizsgáljuk a föld forgástengelyéhez képest. Henger- és kúp esetén a tengely értelmezése egyértelmű. A sík tengelyét mindig a síkra merőleges egyenesként értelmezzük. A vetület elhelyezése szerint lehet: normális, transzverzális, ferde tengelyű Normális elhelyezésnél a képfelület tengelye illeszkedik a Föld forgástengelyére. Transzverzális elhelyezés esetén a képfelület tengelye az egyenlítő síkjába fekszik. A harmadik elhelyezés geodéziai szempontból a legjelentősebb. A ferdetengelyű vetületeket úgy veszik fel, hogy a vetület érintési pontja, vagy érintési vonala az ábrázolandó terület közepén menjen keresztül azért, hogy a torzulások lehetőleg kicsik legyenek. A normális és a transzverzális elhelyezést általában világ vetületek esetén használják. Egy-egy ország a geodézia vetületének kialakításánál általában valamilyen ferde tengelyű vetületet választ saját kataszteri felméréseinek végrehajtására. A vetületeknek igen sokféle típusa van. Ezek elsősorban a kartográfia keretében a földrajzi térképek területén alakultak ki. Geodézia vonatkozásában a vetületek különböző megoldásai sokkal kisebbek. Magyarországon is csak néhány vetület került alkalmazásra. Geodéziai szempontból azonban ezek a legfontosabbak. A vetületeket általában valamelyik speciális helyzetben vizsgáljuk a geodéziai alkalmazás szempontjából. Ezért általános, hogy a geodézia szempontjából először az eredeti földrajzi koordinátákat átszámítjuk valamilyen helyi forgástengelyre és itt használjuk fel a normális vagy transzverzális elhelyezés adta egyszerűsítési lehetőségeket. Az eredeti földrajzi koordinátákat átszámítjuk egy olyan fiktív forgástengelyre, amelyhez illesztett normális vagy transz- Sztereografikus vetület verzális vetület a felmérés szempontjából a legkedvezőbb lesz. Ebből az következik, hogy az eredeti földrajzi koordináták átszámításával olyan helyzetre térünk át, amelyikben a vetületi egyenletek egyszerűbbek lesznek. Az eredeti földrajzi koordináták átszámítása segéd-földrajzi koordinátákra egyszerűen elvégezhető és ezekből a segéd-földrajzi koordiná- NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt 1-19

20 Bevezetés tákból már közvetlenül meghatározhatók a vetületi koordináták. Magyarországi vetületek Magyarországon a kataszteri felmérések vetületi rendszerénél három vetület került alkalmazásra. Mindegyik esetében jellemző, hogy ellipszoidról kettős vetítéssel tértek át a síkra. Kettős vetítésnél először az ellipszoidról gömbre vetítenek, majd onnan egy újabb vetítéssel jutnak át a pontok a síkra. Ez a vetítés szögtartó és a hosszak is csak igen kis mértékben torzulnak. Az ellipszoidhoz Magyarország közepe táján veszik fel a vetületi kezdőpontot és ehhez a ponthoz illesztik az ellipszoidon legjobban megközelítő gömböt, a vetítés csak matematikai úton történik. Az ellipszoidi és a gömbi földrajzi koordináták kis mértékben eltérnek egymástól, ezért az ellipszoidi és a gömbi koordinátákat nem szabad összekeverni. A sztereografikus vetület a gömböt érintő valódi síkvetület. A vetületi kezdőpontban a sík érinti a gömböt. A kezdőpontot és a gömb középpontját összekötő egyenes meghosszabbítása döfi ki a gömbből a vetítési középpontot. Tehát a vetületi kezdőpont és a vetítési középpont ugyanannak az átmérőnek a két végpontja. Normális elhelyezés, mikor a kezdőpont az északi sark és a vetítési központ a déli pólus, akkor a meridiánok képe a kezdőponton átmenő egyenesek, a paralell körök képe kezdőpont középpontú körök. Egyébként minden gömbi kör képe is, kör lesz a képfelületen. A vetület szögtartó. A vetületi kezdőpontban hossztorzulás nincs, és ettől távolabbra a torzulás mértéke növekszik. Magyarországon geodéziai célra 1860-ban vezették be a budapesti sztereografikus rendszert, az ivanicsi (Horvátország) és a marosvásárhelyi (Erdély) rendszerrel együtt. A vetület kezdőpontja a Gellérthegy nevű felsőrendű pont, alapfelülete Bessel ellipszoid, melyről kettős vetítéssel tértek át a síkra. Így ez a vetület ferdetengelyű. A koordináta rendszere délnyugati. A koordinátákat eredetileg bécsi ölben határozták meg, melyet később számoltak át méterre. A vetület jelölésére STG vagy SZT betűket használtak. A vetületi torzulások 127 km-re érik el az 1/ as határt, de ennél nagyobb távolságra is használták. A vetülettel kapcsolatban egy korántsem kíváló alapponthálózatot fejlesztettek ki. Sztereografikus vetületet használunk Budapesten is, melyet 1930-ban hoztak létre a budapesti önálló hálózat mérésekor. A két hálózat nem azonos. A koordináták is több deciméterrel eltérnek, ezért a két rendszert meg kell különböztetni. Fashing-féle hengervetületek 1-20 NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt

21 Normális elhelyezésű hengervetület úgy jön létre, hogy a gömbre egy hengert illesztünk úgy, hogy a henger a gömböt Hengervetület az egyenlítőben érinti. Hengervetületen a meridiánok képe egymással párhuzamos egyenesek lesznek, a köztük lévő távolságok egyenlőek. A paralellkörök képei szintén párhuzamos egyenesek, de a köztük lévő távolságok az egyenlítő közelében kisebbek, ettől távolodva egyre növekszenek. Az északi és déli sark már nem is ábrázolható, mert ezek a végtelenbe esnek. A hengervetületeknek mindig ilyen a fokhálózati képe. A hengervetületek közül a legfontosabb a szögtartó hengervetület, melyet Mercator ( ) német térképész alkalmazott először az egész Föld ábrázolására. A szögtartó hengervetület matematikai vetület. Közvetlen geometriai vetítéssel nem állítható elő. Mecator térképének rendkívül előnye volt a hajózási útvonalak megtervezésében. Geodéziai célra Magyarországon először Fasching Antal alkalmazta. Javaslatára vezették be Magyarország újabb vetületi rendszereit 1908-ban. Ez három ferdetengelyű szögtartó hengervetületi rendszer volt. Jelölésükre a HÉR, HKR és HDR jelöléseket használták. (Henger északi, középső és déli rendszer). Alapvetülete a Bessel ellipszoid volt, melyről kettős vetítéssel tértek át a hengerre. A hossztorzulás a segédegyenlítőtől számítva 90 km távolságban éri el az 1/ értéket. Ezért volt szükséges az akkori Magyarország területét három vetületi sávon ábrázolni. A koordináta rendszer délnyugati. Hengervetületet vezettek be 1975-ben Magyarországon új polgári térképrendszer kialakításához. A vetület szögtartó, de a korábbiakhoz képest eltérés, hogy a Kraszovszkij ellipszoidot választották alapfelületül. Ehhez illeszkedő új Gauss gömböt vettek fel. További eltérés, hogy a vetületet redukálták 0,99993 szorzóval. Így a vetület közepén az 1 km távolságok 7 cm-t rövidülnek. A metsző paralell köröknél nem lép fel torzulás. Az ország legészakibb és legdélibb részén a hossztorzulás meghaladja a 20 cm-t kilométerenként. A vetü- NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt 1-21

22 Bevezetés leti rendszer ki vezetésekor új felsőrendű hálózatot is létrehoztak. Ma ez a rendszer képezi a kataszteri térképrendszer alapját. A vetület rövidítésére az EOV betűket használjuk, mely az Egységes Országos Vetület rövidítése. A vetület koordináta rendszere észak-keleti, tehát eltér a korábbiaktól. Változás az is, hogy a koordinátákat eltolták úgy, hogy az y koordináták nagyobbak nél és az x koordináták pedig mindig kisebbek. Azonban most is megmaradt a koordináták y x sorrendje. Magyarországon is alkalmazásra kerültek nemzetközi vetület rendszerek is. A topográfiai térképek vetületi rendszere a Gauss-Krüger vetület (rövidítése GK). Ez egy transzverzális elhelyezkedésű, matematikai szögtartó érintő hengervetület. Alapfelülete a Kraszovszkij féle ellipszoid, melyről közvetlenül vetítenek a hengerre. A vetület nemzetközi jellegét az adja, hogy az egész föld ábrázolható oly módon, hogy egy hengeren csak 6 fokos szélességben ábrázolják a földet. A következő részben 6 fokkal elforgatják a henger tengelyét az egyenlítő síkjában, és ismét egy 6 fokos szélességű sávot használnak. A vetületet a volt Szovjetunióban és a volt szocialista országokba került alkalmazásra. A másik nemzetközi vetületi rendszer az UTM (Universal Transverse Mercator). Alapfelülete a Hayford féle nemzetközi ellipszoid képfelülete transzverzális elhelyezkedésű henger. A vetítés Gauss-Krüger vetület szerint történik. A vetületnél redukciót alkalmaznak (metsző henger). Ellenőrző kérdések az 1. fejezethez 1. Mi a földmérés feladata? 2. Mit nevezünk térképnek? 3. Mi a méretarány általános fogalma? 4. Mi a térkép méretaránya? 5. Milyen térképeket ismerünk? 6. Hogyan csoportosítjuk a térképeket méretarány szerint? 7. Mit nevezünk földmérési térképnek, topográfiai térképnek és földrajzi térképnek? 8. Mit értünk levezetett térkép alatt? 9. Milyen különbség van a térképen ábrázolt részletek között, különböző méretarány esetén? 10. Mit ábrázol a földmérési térkép? 11. Milyen a Föld alakja? 12. Milyen felületekkel közelítjük a geoidot? 13. Milyen koordináta-rendszereket ismerünk? 14. Mi a különbség a geodéziai és a matematikai koordinátarendszerek között? 15. Milyen tájékozású koordináta-rendszereket használunk geodéziában? 16. Melyek a fontosabb földi ellipszoidok? 1-22 NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt

23 17. Milyen koordináta-rendszert használunk GPS méréseknél? 18. Mit nevezünk földrajzi koordinátáknak? 19. Hol van a kezdő meridián? 20. Mi a földrajzi szélesség és földrajzi hosszúság? 21. Vetítésnél mit nevezünk alapfelületnek és képfelületnek? 22. Milyen felületeket használunk képfelületként? 23. Magyarországon milyen vetületi rendszereket használtunk? 24. Miért nem lehet a Földet sík lapon torzulás nélkül ábrázolni? 25. Milyen torzulásokat ismerünk? 26. Geodéziában milyen torzulási vetületeket használunk? 27. Van-e hossztartó vetület? 28. Mit értünk vetítés alatt? 29. Mi a különbség perspektív és matematikai vetítés között? 30. Milyen fontosabb tulajdonságai vannak a sztereografikus vetületnek? 31. Mi az a kettős vetítés? 32. Mit nevezünk Gauss-gömbnek? 33. Magyarországon milyen hengervetületeket használtunk? 34. A Mercator-féle hengervetületnek milyen fontosabb tulajdonságai vannak? 35. Hogyan épülnek fel a Fashing-féle hengervetületek? 36. Milyen tájékozású koordináta-rendszert használtak a Fashing-féle hengervetületeknél? 37. Mit jelent az, ha redukálunk egy vetületet? 38. A vetületen hol vannak torzulásmentes pontok, vagy vonalak? 39. Mi az Egységes Országos Vetületi rendszer? 40. Milyen tájékozása van az EOV koordináta rendszerének? 41. Milyen nagyságúak az y és x koordináták az EOV rendszerben? NyME FFFK SdiLA TEMPUS Projekt 1-23