A ferdetengelyű szögtartó hengervetület és magyarországi alkalmazásai

Átírás

1 A ferdetengelyű szögtartó hengervetület magyarországi alkalmazásai Perspektív hengervetületek A perspektív hengervetületek a gömb alapfelületet egy forgáshenger palástjára képezik le középpontos geometriai vetítsel A vetít Q középpontja szimmetria okokból a hengerpalást forgástengelyén helyezkedik el Az alapfelületi P pont képe a QP vetítősugárnak a hengerpalásttal alkotott P döfpontja lesz (???ábra) Essen egybe a gömb forgástengelye a hengerpalát-képfelület forgástengelyével ez az ún normális vagy poláris helyzet Ha a P pont egy parallelkörön megy körbe, akkor a rajta áthaladó vetítősugarak egy forgáskúp palástját írják le, amelynek forgástengelye egybeesik a képfelület forgástengelyével, így azt egy a forgástengelyre merőleges körben metszi A parallelkörök képei ezért a hengerpalást alkotóira merőleges körök lesznek Ha a P pont egy meridiánon halad végig, akkor a vetítősugarak a meridián (mint gömbi főkör) síkjában maradnak, ezért a meridián e síknak a képfelülettel alkotott metszvonalára, a hengerpalást egyik alkotójára képeződik le A hengerpalástot az egyik alkotója mentén felvágva síkba kiterítve, a meridián-képek párhuzamos egyenesek lesznek, a parallelkörök képei pedig ezekre merőleges, egymással párhuzamos egyenes-seregbe mennek át A térképi síkkoordináta-rendszer y tengelye essen egybe az egyenlítő képével, az x tengely pedig a kezdőmeridián képével A fokhálózati vonalak párhuzamossága miatt a vetületi egyenletek csak egy-egy koordinátától függnek: A parallelkör-képeket a meridián-képek a meridiánok által bezárt szögek arányában metszik, emiatt y lineáris függvénye -nak: A térképi fokhálózat ortogonalitása miatt a fokhálózati vonalak itt is vetületi főirányok, amelyek irányában fellépő hossztorzulások megegyeznek az a maximális a b minimális hossztorzulással A fokhálózat menti hossztorzulások az???ábra alapján, az y vetületi egyenlet linearitása figyelembevételével számíthatók ki: A c együtthatót a hossztartó parallelkör n szélessége alapján határozzuk meg Ha az egyenlítő hossztartó, akkor, vagyis c=1, tehát Ha van két ( n szélességű) hossztartó parallelkör, akkor, vagyis c=cos n ; ekkor Végül a hossztartó szélesség nélküli ( külső elhelyezű ) vetületektől gyakorlati okokból itt eltekintünk A meridián menti k hossztorzulás: A szögtartó hengervetület Rendelkezzen egy vetület a fentiekben leírt fokhálózati tulajdonságokkal, függetlenül attól, hogy előállítható-e centrális geometriai vetítsel vagy sem Ez azt jelenti (ÉK-i tájékozás mellett), hogy a leképezt az

2 vetületi egyenletekkel valósítjuk meg, ahol a szokásos követelmények mellett az x a -nek páratlan függvénye (emiatt az y tengely az egyenlítő képével esik egybe) A vetület akkor lesz szögtartó, ha a fokhálózat irányaiban mint vetületi főirányokban fennáll a hossztorzulások egyenlősége: vagyis Oldjuk meg az egyenletet végezzük el az integrálást: ahol =0 esetén x=0 akkor teljesül, ha a d=0 Tehát Ez átalakítható a már ismert módon: A szögtartó hengervetület inverz vetületi egyenletei: E vetületben a teljes Föld nem ábrázolható, a gyakorlatban a = on túli területet az ábrázolásból elhagyják A szögtartó hengervetület egyenlítőben hossztartó változata a XVI század óta ismert Mercator-vetület A fokhálózat menti hossztorzulások a szélesség függvényében a???ábrán láthatók, mely szerint a hossz- ( terület) torzulások a torzulásmentes egyenlítőtől távolodva eleinte fokozatosan, majd gyorsulva növekednek A 60 -os szélességen a hossztorzulás 2-szeres, a területtorzulás 4-szeres A topokartográfiában kedvezőtlennek tartott hossztorzulások es alsó határa az egyenletből következik: Eszerint a Mercator-vetület az egyenlítő körüli, a os szélességek közé eső, 1802 km szélességű sávban felel meg a topokartográfia szigorú torzulási követelményének A szögtartó hengervetület n szélességeken hossztartó változatában a fokhálózat menti hossztorzulások szélességtől való függét a???ábra mutatja Az egyenlítőtől a n hossztartó szélességig a hosszak csökkennek, onnan a pólusok felé egyre gyorsulva növekednek Az a sáv, amelyen belül a hossztorzulásoknak 1-től való eltére kisebb, mint 00001, szélesebb, mint a Mercator-vetületnél A szögtartó hengervetület fontos tulajdonsága, hogy a loxodrómák a térképen egyenesekre képeződnek le Ez évszázadokon keresztül nagy jelentőséggel bírt a geokartográfiában; a tengeri navigáció térképei nagyrzt Mercator vetületben kzültek A ferdetengelyű szögtartó hengervetület

3 A szögtartó hengervetület ugyan nem perspektív, de itt is definiálható a ferdetengelyű helyzet Vegyünk fel ehhez az N*( 0, 0 ) segédpólus segítségével egy segédföldrajzi koordinátarendszert (???ábra), vonatkoztassuk erre a vetületi egyenleteket: majd ezeket az ismert gömbháromszögtani összefüggekkel átalakítjuk függvényévé Az oldal-cosinus-tételből: Innen Továbbá Az y vetületi egyenlet attól függően, hogy melyik összefüggt használjuk: vagy Ezekben az egyenletekben az ábrázolandó területen kívül fekvő segédpólus 0, 0 koordinátái szerepelnek Előnyösebb, ha a segédegyenlítő a kezdő-segédmeridián metszpontjában felvesszük a K( K, K ) vetületi kezdőpontot, ennek koordinátáival fejezzük ki a vetületi egyenleteket (figyelembe véve, hogy K =90 0 a K = ): vagy Az inverz vetületi egyenletek közvetlenül a segédföldrajzi koordinátákra írhatók fel: Ezekből a

4 a egyenletek adják a gömbi földrajzi koordinátákat Meghatározhatók az inverz vetületi egyenletek közvetlenül a síkkoordinátákból is Ehhez vezessük be a a jelölt A vetületi egyenletek átrendezével kapjuk, hogy Az első egyenletből fejezzük ki cos( K ) t: Ezt helyettesítsük vissza a második egyenletbe, majd abból fejezzük ki sin( K ) t: Másrzt ez az egyenlőség felírható a alakban Négyzetreemel közös nevezőre hozás után: Ez sin -ben másodfokú egyenlet: Ennek megoldása sin -re: Az egyszerűsítek elvégze után: A képletben szereplő második tag a K hosszúsághoz mint középmeridiánhoz tartozó félteke azon pontjaira, amelyek a K vetületi kezdőponttól 90 -nál kisebb gömbi távolságra vannak, + előjellel, a félteke többi pontjára előjellel veendő figyelembe Ha sin már megvan, akkor sin( K ) cos( K ) a fenti képletekkel kiszámítható Visszahelyettesítve sin -t a sin( K ) képletébe kapjuk, hogy

5 , amely a ( K ) hosszúságkülönbséget a K hosszúsághoz mint középmeridiánhoz tartozó félteke azon pontjaira adja meg, amelyek a K vetületi kezdőponttól 90 -nál kisebb gömbi távolságra vannak A ferdetengelyű szögtartó hengervetület magyarországi alkalmazása A ferdetengelyű szögtartó hengervetületet 1908-ban vezették be a magyarországi topokartográfiában A kettős leképez alapfelülete továbbra is a Bessel-ellipszoid volt, amelyen azonban a háromszögeli rendszer újratájékozása eredményeként a sztereografikus rendszerből ismert pontok koordinátái kissé megváltoztak Az ellipszoidi koordinátákat a Gauss-féle szögtartó gömbvetülettel képezték le a Gauss-simulógömbre A gömb a leképez paraméterei megegyeztek a sztereografikus vetületnél használtakkal A gömbi koordinátákból ferdetengelyű szögtartó hengervetülettel képeztek le síkra A korabeli országterülethez igazodva három hengervetületet vettek fel: egy É-i (Hengervetületi Északi Rendszer, röviden HÉR), egy középső (Hengervetületi Középső Rendszer, röviden HKR) egy D-i sávot (Hengervetületi Déli Rendszer, röviden HDR) Mindhárom hengervetület vetületi kezdőpontja a gellérthegyi kezdőmeridiánon ( K =00 ) volt, az alábbi gömbi szélességeken: a HÉR-ben K = ; a HKR-ben K = ; a HDR-ben K = A gellérthegyi meridiánt e pontokban merőlegesen metsző harántkörök (a segédegyenlítők) torzulásmentesek, innen É D felé haladva a hossztorzulások (valamint a területtorzulások) nőnek, a segédegyenlítőtől mintegy90 km távolságban érik el az értéket Ez csak kisebb területeket érintett a történelmi Magyarország déli zaki határvidékén Mind a három rendszer DNy-i tájékozású, segédegyenlítőben hossztartó, emiatt cos K *=1 A vetületi egyenletek tehát: ahol a gellérthegyi hosszúságot jelenti A hengervetületi rendszerben kzült térképeket kataszteri térképekhez használták Szelvényeze szemben a sztereografikus vetületben kzült térképekével a síkkoordinátahálózat mentén történt, ezért az egyes szelvények pontosan téglalap alakúak Megalkotása Fasching Antal nevéhez fűződik Az Egységes Országos Vetület (EOV) Hazánkban az 1970-es évek elején polgári célokra új topográfiai kataszteri térképrendszert (Egységes Országos Térképrendszer, rövidítve EOTR) vezettek be, amelyhez új háromszögeli hálózatot hoztak létre Az új térképrendszer új vetületben (Egységes Országos Vetület, rövidítve EOV) kzült, melynek használata 1975-től vált kötelezővé

6 Az EOV tekinthető a HKR korszerűsített változatának A kettős leképez alapfelületéül a műholdas mérekből levezetett a Nemzetközi Geodéziai Geofizikai Unió (IUGG) által elfogadott ún IUGG 67 ellipszoidot, illetve az ezen alapuló HD72 geodéziai dátumot választották, amelyről első lépben a Gauss-féle szögtartó gömbvetülettel képeztek le az új Gauss-simulógömbre (R= m) A leképez paraméterei: n= = Szükséges még a számolásokhoz az IUGG 67-ellipszoid első excentricitása: e= A második lépben a gömbi koordinátákból egy ferdetengelyű, redukált szögtartó hengervetülettel tértek át a síkra A vetületi kezdőpont itt is a gellérthegyi meridiánra esik, koordinátái: K = ; K =00 A koordinátarendszer ÉK-i tájékozású A vetületi egyenletek egy-egy eltolást is tartalmaznak (az x tengely irányában m, az y tengely irányában m): Az eltolások következtében a koordináták mindig pozitívak, továbbá az x koordináták m-nél mind kisebbek, az y koordináták pedig m-nél mind nagyobbak A vetületi egyenletek tartalmazzák még a cos n *= értékű redukciós tényezőt, amelynek hatására az ország területén fellépő maximális hossztorzulás a HKR-énél előnyösebb A vetületi kezdőponton áthaladó, a gellérthegyi meridiánra merőleges harántkör (a segédegyenlítő) körüli mintegy 150 km széles sávban a hosszak a területek csökkennek; a n *= segédparallelkörökön a vetület torzulásmentes; ettől távolodva a hossz területtorzulások növekednek (A legnagyobb hossztorzulás az ország É-i határvidékén lép fel, értéke az öt csak kevsel haladja meg) Az inverz vetületi egyenletek: ; a *, * segédkoordinátákból a gömbi földrajzi koordináták a a egyenletekkel számíthatók ki Az EOTR szelvényhatárai szintén a síkkoordinátahálózathoz igazodnak, emiatt az egyes szelvények itt is téglalap alakúak Egyéb ellipszoid alapfelületű ferdetengelyű szögtartó hengervetületek Rosenmund svájci térképz használta először az ellipszoid alapfelületű ferdetengelyű szögtartó hengervetületet Svájc topográfiai térképezéhez (1903) 1928-ban Laborde francia geodéta Madagaszkár topográfiai célú ábrázolásához konstruált hasonló vetületet Az ellipszoidról közvetlenül síkra képező vetület képleteit ma Hotine brit geodéta (1946)

7 számításai alapján használják, mellette Cole brit Thomas amerikai geodéta is foglalkozott ezzel a vetülettel