Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Szferikus csillagászat II. Megoldások
|
|
- Zsuzsanna Jónás
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Szferikus csillagászat II. Megoldások Dálya Gergely, Bécsy Bence 1. Bemelegítő feladatok B1. feladat Meg van adva két oldal és a közrezárt szög, így kézenfekvő a gömbháromszögtani koszinusztétel használata: cosa = cosbcosc+sinbsinccosα = 0,076 (1) ennek megoldásai pedig a 1 = 94,36, illetve a 2 = 265,64 (360 a 1, gondoljunk a koszinuszfüggvény alakjára. Szinusz esetén 180 -ból kell levonni az első megoldást). Ha a 2 -t választanánk, akkor a > b+c lenne, vagyis nem teljesülne a háromszög-egyenlőtlenség, így a 1 a jó megoldás. A gömbháromszögtani szinusztételből: sinβ = sinb sinα sina = 0,954 β 1 = 72,56 β 2 = 107,44 (2) sinγ = sinc sinα sina = 0,331 γ 1 = 19,35 γ 2 = 160,65. (3) A γ 2 nem lehet jó megoldás, mert egy gömbháromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szögnek kell állnia. Vagyis a γ 1 a jó megoldás, ami viszont azt jelenti, hogy ha β 1 -et választanánk, akkor nem teljesülne, hogy a gömbháromszög belső szögeinek összege 180 és 540 közé esik. Tehát β 2 a helyes. Tehát azt kaptuk, hogy: a = 94,36 β = 107,44 γ = 19,35. (4) Innen a háromszög T területét szteradiánban kaphatjuk meg az alábbi képlettel: T = α+β +γ π (5) 1
2 Innen: T = 0,38 (6) Ezt átszámolhatjuk négyzetfokba is egy180 2 /π 2 szorzóval. Így a gömbháromszög területe 1248,48 négyzetfok. B2. feladat Az 1. ábrán felrajzoltuk a Nap útját a nyári napforduló idején oldalnézetből. Az ábrán az a speciális helyzet szerepel, amikor a Nap alsó kulminációjában éppen eléri a csillagászati szürkületet, azaz a 18 fokos magasságot. Tekintsük az ábrán megvastagított háromszöget. Ez egy derékszögű háromszög, amelynek egyik hegyesszöge 23,5, másik pedig ϕ+18. Innen megkapható a földrajzi szélesség: ϕ = ,5 = 48,5 (7) Látható, hogy akkor nem lesz teljes sötétség a nyári napfordulókor, ha a földrajzi szélesség ennél nagyobb. Természetesen a déli féltekén is megvalósul hasonló helyzet ϕ-nél kisebb szélességeken. Tehát a teljes sötétség el nem érésének feltétele: ϕ > 48,5 vagy ϕ < 48,5 (8) 1. ábra. Szürkület B3. feladat Mivel Szöul koordinátái északi szélességben és keleti hosszúságban vannak megadva, Asunción koordinátái pedig déli szélességben és nyugati hosszúságban, át kell váltanunk valamelyiket a másikba. Ekkor egyszerűen negatív előjelet kapnak a koordináták, így pl. ha Asunción koordinátáit 2
3 váltjuk át, a következőt kapjuk: Így pedig már használhatjuk a következő képletet: ϕ = λ = K (9) cosx = sinϕ a sinϕ b +cosϕ a cosϕ b cos(λ b λ a ) (10) ahonnan x = 197,13, amit a Föld esetében 111,32 km/ -kal kell megszorozni, hogy kilométerben megkapjuk a távolságot: x = 18604, 7 km B4. feladat Az északi féltekén a cirkumpolaritás feltétele az, hogy δ > 90 ϕ, a déli féltekén pedig, hogy δ < 90 +ϕ, így az új-zélandi nagyváros esetén a δ < 53,17 deklinációjú csillagok lesznek cirkumpolárisak. Az északi féltekén azok a csillagok fognak a zenitben delelni, amelyekre δ = ϕ, a déli féltekén pedig azok, amelyekre δ = ϕ, vagyis Auckland-ben azok, amelyekre δ = 36,83 2. Nehezebb feladatok N1. feladat Szokásos módon a csillagászati gömbháromszög felrajzolásával kezdünk (lásd 2. ábra). Írjuk fel a koszinusztételt a pólussal szemközti oldalra: cos(90 m) = cos(90 ϕ)cos(90 δ)+sin(90 ϕ)cos(90 δ)cost (11) Ezt átalakítva megkapjuk, hogy: cost = sinm sinϕsinδ cosϕcosδ A szürkület hossza a Nap 0 és 6 -os magassága közt eltelt idő, azaz: (12) t = t(m = 6 ) t(m = 0 ) (13) Azaz: ( ) sin( 6 ) sinϕsinδ t = arccos arccos(tanϕtanδ) (14) cosϕcosδ Beírva az adatokat kapjuk,hogy: t = 74,95 61,47 = 13,48 (15) Átszámolva időre, kapjuk, hogy a szürkület hossza 54 perc. 3
4 2. ábra. Csillagászati gömbháromszög 3. ábra. Éggömb észak dél irányú metszete 4
5 N2. feladat Tekintsük a 3. ábrát. Ez az éggömb egy észak dél irányú metszete. Leolvasható róla, hogy egy csillag delelési magassága m max = ( ϕ)+δ. Rajzoljuk fel ezután a csillagászati gömbháromszöget (lásd 2. ábra). Ebben m = 0 esetben a zenittel szemközti oldalra felírva egy koszinusztételt kapjuk, hogy: sinδ = cosφcosa (16) Ezt az összefüggést a korábban kapott képletbe beírva kapjuk az összefüggést a delelési magasság és a lenyugvás idejében vett azimut (A) között: m max = 90 ϕ+arcsin( cosϕcosa) (17) A feladat második részéhez gondoljuk meg, hogy a magasság legfeljebb 90 lehet. Így a maximális delelési magasság 90, tehát a maximális delelési magassághoz tartozó azimutot úgy kapjuk, ha ezt beírjuk a delelési magasságos képletbe. Ebből azt kapjuk, hogy: Ezt átrendezve kapjuk az eredményt: N3. feladat arcsin( cosϕcosa) = ϕ (18) cosa = tanϕ (19) A célállomásra érkezés időpontjában tudjuk a ϕ, m = 0 és δ (nem változik) koordinátákat. Innen meghatározhatjuk az azimutot (az egyszerűsítéseket már elvégezve): cosa = sinδ cosϕ A = 120 (20) A másik megoldás 240 lenne, de ez van nyugatra, vagyis a lenyugvás itt történik meg. Az óraszöget úgy kaphatjuk meg egyértelműen, ha sin t-t és cos t-t is kiszámítjuk, és keressük a kettő közös megoldását: sint = sina cosδ cost = sinϕsinδ cosϕcosδ A közös megoldás: t = 87,1734. Így az óraszögek különbsége: , ami a marsi 360 = 23 h 39 m 35 s összefüggést használva 5 h 13 m 59 s időkülönbségnek felel meg. A két pont távolságát a már jól ismert képlettel számíthatjuk ki, annyi különbséggel, hogy most nem 111,32-vel kell beszorozni a fokokban kapott végeredményt. A szorzófaktort a Mars R = 3397 km-es sugarával így számíthatjuk ki: (21) 2Rπ 360 = 59,29 km (22) A távolság így 29,59 km, aminek a megtételéhez v = 5,65 km s -os sebességre van szükség. 5
6 N4. feladat Mivel a Mars forgási periódusideje 23 h 39 m 35 s, így amíg a Földön 15 nap telik el, a Marson h /23 h 39 m 35 s = 15,2157 sol (marsi nap). A Mars keringési ideje 686,97 nap, ami 696,85 sol. Csillagnapokból, pontosabban csillagsol -okból pedig eggyel több van egy évben, ahogy azt a Föld esetében is láttuk, így ahhoz, hogy a sol-okat csillagsol -ba átszámítsuk, azt 696,85/697,85 = 0,9986-tal kell szorozni. Így a 15,2157 sol marsi csillagidőben 15,1939. Vagyis a csillag 15-ször körbement, ezenkívül pedig az óraszögének megváltozása: 360 0,1939 = 69, Diákolimpiai szintű feladatok D1. feladat A feladat lényege, hogy átváltsunk egyenlítői koordináta-rendszerből ekliptikaiba. Ehhez felrajzolhatunk egy a csillagászati gömbháromszöghez hasonló gömbháromszöget (lásd 2. ábra). Itt π az ekliptika pólusa, ε = 23,5 az egyenlítő és az ekliptika hajlásszöge, β az ekliptikai szélesség. 4. ábra. Ekliptikai és ekvatoriális koordináta-rendszerek közti átváltásra használható gömbháromszög A feladat szövege szerint δ = és α = 13 h 49,8 m, azaz δ = 53,6 és α = 207,45. Így az egyenlítői pólussal szemközti oldalra felírva egy koszinusztételt azt kapjuk, hogy: 6
7 β = 57,9. (23) Ez a szög azt mondja meg, hogy az ekliptikához képest milyen szögben van az üstökös. Így az üstökös h ekliptika síkja feletti magassága egy szögfüggvénnyel az alábbi módon kapható: ahol r = 0,725 CSE, az üstökös Földtől mért távolsága. Innen: h = rsinβ, (24) h = 0,644 CSE. (25) D2. feladat A meridiánon való áthaladáskor delelnek az égitestek, a csillagidő pedig az éppen delelő csillag rektaszcenziója, tehát Krakkóban helyi idő szerint 6:00-kor a csillagidő S = 13 h 2 m 10 s. Krakkó ugyanabban az időzónában van, mint Budapest, vagyis a zónaidő szerinti 6:00 az 5:00 UT-t jelent. Mennyi ekkor a csillagidő Greenwich-ben? 1 szélességkülönbség időben 4 percnek felel meg, vagyis λ (h) = λ/15 = 1 h 19 m 45,2 s. A greenwich-i csillagidő tehát 5:00 UT-kor: S (5) Gr = S λ (h) = 11 h 42 m 24,8 s (26) 0:00 UT óta középidőben 5 óra telt el. Csillagidőben ez több lesz, mivel a csillagnap rövidebb, mint a középnap. Egy évben 366,25 csillagnap, illetve 365,25 középnap van, vagyis ebből arányossággal: Tehát a greenwichi csillagidő 0:00 UT-kor: D3. feladat S = 5 366,25 365,25 = 5h 0 m 49 s (27) S (0) Gr = S (5) Gr S = 6h 11 m 35,8 s (28) A horizont és a Tejút síkjának szöge megegyezik a zenit és galaktikus pólusok távolságával, így elég azt kiszámolnunk. A 2. egyenlítői koordináta-rendszerben két pont távolságát a gömbháromszögtani Pitagorasztétellel kapjuk: cosd = cos δcos α, (29) ahol d a keresett távolság, δ a pontok deklinációkülönbsége, α pedig a rektaszcenziókülönbségük. A galaktikus pólus 2. ekvatoriális koordinátái meg voltak adva, így csak a zenitre kell ezeket kiszámolni. Azt egyszerűen lehet látni, hogy a zenit deklinációja a földrajzi szélességgel egyezik meg. Azt is tudjuk, hogy a zenit óraszöge nulla, így felhasználva a csillagidő képletét (Θ = α+t) 7
8 kapjuk, hogy a zenit rektaszcenziója a csillagidővel egyezik meg. A greenwichi csillagidőből a helyit úgy kapjuk, ha hozzáadunk t = λ 24 h órát, ami most 1,267 óra. Így α 360 zenit = 7,067 h = 106. Így: cosd = cos(47,5 27,22 )cos(192, ) Innen kapjuk, hogy d = 87 szöget zár be a Tejút síkja a horizont síkjával. 8
Az éggömb. Csillagászat
Az éggömb A csillagászati koordináta-rendszerek típusai topocentrikus geocentrikus heliocentrikus baricentrikus galaktocentrikus alapsík, kiindulási pont, körüljárási irány (ábra forrása: Marik Miklós:
Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Asztrofizika II. és Műszerismeret Megoldások
Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör 2015-16 4. Asztrofizika II. és Műszerismeret Megoldások Dálya Gergely, Bécsy Bence 1. Bemelegítő feladatok B.1. feladat Írjuk fel a Pogson-képletet:
A csillagképek története és látnivalói február 14. Bevezetés: Az alapvető égi mozgások
A csillagképek története és látnivalói 2018. február 14. Bevezetés: Az alapvető égi mozgások A csillagok látszólagos mozgása A Föld kb. 24 óra alatt megfordul a tengelye körül a földi megfigyelő számára
Csillagászati földrajzzal. Megoldási útmutatókkal
Csillagászati földrajzzal kapcsolatos feladatok Megoldási útmutatókkal A Nap delelési magasságának kiszámítása Feladat: Hány fokos szögben látják delelni a Napot június 22-én a következő szélességi körökön?
Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Távcsövek és kozmológia Megoldások
Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör 2015-16 7. Távcsövek és kozmológia Megoldások Bécsy Bence, Dálya Gergely 1. Bemelegítő feladatok B1. feladat A nagyítást az objektív és az
Csillagászati észlelési gyakorlatok I. 4. óra Az éggömb látszólagos mozgása, csillagászati koordináta-rendszerek, a téli égbolt csillagképei
Csillagászati észlelési gyakorlatok I. 4. óra Az éggömb látszólagos mozgása, csillagászati koordináta-rendszerek, a téli égbolt csillagképei Hajdu Tamás & Perger Krisztina & B gner Rebeka & Császár Anna
GBN304G Alkalmazott kartográfia II. gyakorlat
GBN304G Alkalmazott kartográfia II. gyakorlat TEREPI FELMÉRÉSI FELADATOK Unger János unger@geo.u @geo.u-szeged.hu www.sci.u-szeged.hu/eghajlattan szeged.hu/eghajlattan Földtudományi BSc (Geográfus, Földrajz
Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.
Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
7. előadás: Lineármodulus a vetületi főirányokban és a területi modulus az azimutális vetületeken
7 előadás: Lineármodulus a vetületi főirányokban és a területi modulus az azimutális vetületeken Mivel az azimutális vetületeken normális elhelyezésben a meridiánok és a paralelkörök, más elhelyezésben
Az asztrolábium és használata
Az asztrolábium és használata Szerkesztette: Matisz Attila (2010) Szétszedett asztrolábium a 18. századból. 1 Az asztrolábium Asztrolábiumot (görögül: ἁστρολάβον) már az ókori görögök is használtak ( i.
A TERRESZTRIKUS-NAVIGÁCIÓS IDŐSZÁMÍTÁS ÉS GYAKORLATI ALKALMAZÁSAI BEVEZETÉS AZ IDŐ ÉS FAJTÁI
Urbán István A TERRESZTRIKUS-NAVIGÁCIÓS IDŐSZÁMÍTÁS ÉS GYAKORLATI ALKALMAZÁSAI BEVEZETÉS A terresztrikus navigáció alkalmazásáról elmondható, hogy kis túlzással ugyan, de egyidős az emberiséggel. A navigáció
Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
ÉGI MECHANIKA HOROSZKÓP KISZÁMOLÁSHOZ
ÉGI MECHANIKA HOROSZKÓP KISZÁMOLÁSHOZ ÉGI EGYENLÍTŐ ÉS EKLIPTIKA KAPCSOLATA Nyári napforduló pontja (Rák) Tavaszi nap-éj egyenlőség pontja (Kos) Tavaszi nap-éj egyenlőség pontja (Kos) Téli napforduló pontja
Szélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:
Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével
Mérések és Megfigyelések Csillagászat. Süli Áron ELTE TTK FFI Csill. Tsz. adjunktus
Mérések és Megfigyelések ELTE TTK FFI Csill. Tsz. adjunktus Áttekintés A Naprendszer Tájékozódás az égbolton A csillagok mozgása az égbolton A Nap mozgása az égbolton A Hold mozgása az égbolton A bolygók
Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele
Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele Markó Zoltán 11C Húrnégyszögek Definíció: Húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszöget, amely köré kör írható Vagyis az olyan konvex négyszögek, amelyeknek oldalai egyben
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú, s a rajta fekvő két szög 50 és 70. Számítsd ki a hiányzó szöget és oldalakat! Legyen a = 10 cm; β = 50 és γ = 70. A két szög ismeretében a harmadik
Az asztrolábium és használata
Az asztrolábium és használata Szerkesztette: Matisz Attila (2010) (Kiegészítve, átdolgozva 2017-ben.) Az asztrolábium Asztrolábiumot (görögül: ἁστρολάβον aztrolabosz) már az ókori görögök is használtak,
MILYEN GÖRBÉT ÍR LE A GNÓMÓN CSÚCSÁNAK ÁRNYÉKA? Szferikus csillagászat Geogebrával
A FIZIKA TANÍTÁA MILYEN ÖRBÉT ÍR LE A NÓMÓN CÚCÁNAK ÁRNYÉKA? zferikus csillagászat eogebrával Nyirati László zéchenyi István Műsz. zakközépiskola, zékesfehérvár Nyirati László matematika-fizika szakos
Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága
A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.
1 A loxodrómáról Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen a térképen a szélességi
Fa rudak forgatása II.
Fa rudak forgatása II. Dolgozatunk I. részében egy speciális esetre oldottuk meg a kitűzött feladatokat. Most egy általánosabb elrendezés vizsgálatát végezzük el. A számítás a korábbi úton halad, ügyelve
pont százalék % érdemjegy (jeles) (jó) (közepes) (elégséges) alatt 1 (elégtelen
A dolgozat feladatai az órán megoldott feladatok valamelyike, vagy ahhoz nagyon hasonló. A dolgozat 8 feladatból áll. 1. feladat 13 pont. feladat 8 pont 3. feladat 4. feladat 5. feladat 5 pont 6. feladat
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus
Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)
Csillagászattörténet, szérikus csillagászat, időszámítás
, szérikus csillagászat, időszámítás Bevezetés a csillagászatba 1. Muraközy Judit Debreceni Egyetem, TTK 2016. 09. 29. Bevezetés a csillagászatba- 2016. szeptember 29. 1 / 28 Kitekintés Miről lesz szó
9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
ÉGITESTEK MOZGÁSA, ÉGI KOORDINÁTA- RENDSZEREK NAVIGÁCIÓS ÖSSZEFÜGGÉSEI BEVEZETÉS ÉGITESTEK NAVIGÁCIÓS TRANSZFORMÁCIÓI
Urbán István ÉGITESTEK MOZGÁSA, ÉGI KOORDINÁTA- RENDSZEREK NAVIGÁCIÓS ÖSSZEFÜGGÉSEI BEVEZETÉS Napjaink navigációs módszerei és eljárásai között ha érdemtelenül is de mindinkább visszaszorulni látszik a
Csillagászattörténet, szérikus csillagászat, időszámítás
, szérikus csillagászat, időszámítás Bevezetés a csillagászatba 1. Muraközy Judit Debreceni Egyetem, TTK 2018. 10. 04. Bevezetés a csillagászatba- 2018. október 04. 1 / 32 Kitekintés Miről lesz szó a mai
Tamás Ferenc: Nevezetes szögek szögfüggvényei
Tamás Ferenc: Nevezetes szögek szögfüggvényei A derékszögű háromszögekben könnyedén fel lehet írni a nevezetes szögek szögfüggvényeit. Megjegyezni viszont nem feltétlenül könnyű! Erre van egy könnyen megjegyezhető
12. Trigonometria I.
Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát
1. A komplex számok ábrázolása
1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az
Égitestek delelési, kelési és nyugvás! időpontjának meghatározása
Uj csillagtérkép! Marlenszkij A, U. ; Ucsevnüj Zvezdnüj Atlasz, A csillagos ég áttekintő térképe a puszta szemmel látható csillagokat mutatja bev Részletes katalógust is kozol a fontosabb égitestekről,
Jelölések. GBN304G Alkalmazott kartográfia II. gyakorlat Térképi vetületekkel kapcsolatos feladatok. Unger János. x;y) )?
GBN304G Alkalmazott kartográfia II. gyakorlat Térképi vetületekkel kapcsolatos feladatok Unger János unger@geo.u @geo.u-szeged.hu www.sci.u-szeged.hu/eghajlattan szeged.hu/eghajlattan Jelölések R/m = alapfelületi
Benapozás vizsgálata VARGA ÁDÁM. Budapest, április 7. ÉMI Nonprofit Kft.
Benapozás vizsgálata VARGA ÁDÁM Budapest, 2011. április 7. ÉMI Nonprofit Kft. A napsugárzás hatása A Nap által a Föld felszínére érkező energiának csak elenyészően kis észét hasznosítjuk épületeink szükségletinek
Lépcső beemelése. Az interneten találkoztunk az [ 1 ] művel, benne az 1. ábrával.
1 Lépcső beemelése Az interneten találkoztunk az [ 1 ] művel, benne az 1. ábrával. 1. ábra forrása: [ 1 ] Itt példákat látunk előregyártott vasbeton szerkezeti elemek kötéllel / lánccal történő emelésére,
Csillagászati észlelési gyakorlatok I. 4. óra Az éggömb látszólagos mozgása, csillagászati koordináta-rendszerek, a téli égbolt csillagképei
Csillagászati észlelési gyakorlatok I. 4. óra Az éggömb látszólagos mozgása, csillagászati koordináta-rendszerek, a téli égbolt csillagképei Hajdu Tamás & Perger Krisztina & B gner Rebeka & Skobrák Tibor
Nyári napfordulón csillagászati mérések KDG labor
Nyári napfordulón csillagászati mérések KDG labor Nyári napforduló az a pillanat, amikor a Föld forgástengelye a legkisebb szögben hajlik el a Nap sugaraitól. Az északi féltekén a nyári napfordulóig a
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
Mérések és Megfigyelések. Csillagászat
Mérések és Megfigyelések ELTE i Tanszék tudományos segédmunkatárs Áttekintés Áttekintés A Naprendszer Tájékozódás az égbolton A csillagok mozgása az égbolton A Nap mozgása az égbolton A Hold mozgása az
Kisérettségi feladatsorok matematikából
Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
Érdekes geometriai számítások Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon
Érdekes geometriai számítások 7. Folytatjuk a sorozatot. 7. Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon Korábbi dolgozatainkban már többféle módon is bemutattuk
. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.
Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva 2456. Hány fokosak a következő, radiánban (ívmértékben) megadott szögek? π π π π 2π 5π 3π 4π 7π a) π ; ; ; ; ; b) ; ; ; ;. 2 3 4 8 3 6 4 3 6 2457. Hány fokosak
Matematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály II. rész: Trigonometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész: Trigonometria...........................
Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek
2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,
Függvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)
2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta
Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
1. Feladatsor. I. rész
. feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható
Gömbháromszögek és néhány alkalmazásuk bemutatása a Lénárt-gömb segítségével
Gömbháromszögek és néhány alkalmazásuk bemutatása a Lénárt-gömb segítségével Farkas Éva Témavezető: Dr. Fodor Ferenc Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet 2013 Tartalomjegyzék 1. Összegzés 3 2. Bevezetés
TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI http://zanza.tv/matematika/geometria/thalesz-tetele http://zanza.tv/matematika/geometria/pitagorasz-tetel http://zanza.tv/matematika/geometria/nevezetes-tetelek-derekszogu-haromszogben
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
LÉGI JÁRMŰ IRÁNYAINAK MEGHATÁROZÁSA FÖLDFELÜLETEN IRÁNYSZÖGEK
Urbán István LÉGI JÁRMŰ IRÁNYAINAK MEGHATÁROZÁSA FÖLDFELÜLETEN IRÁNYSZÖGEK A földrajzi koordináta-rendszer egy derékszögű hálózatot alkot a földfelületen, vagyis a szélességi körök és a délkörök egymást
3. Vertikális napóra szerkesztése (2009. September 11., Friday) - Szerzõ: Ponori Thewrewk Aurél
3. Vertikális napóra szerkesztése (2009. September 11., Friday) - Szerzõ: Ponori Thewrewk Aurél A cikk két olyan eljárást mutat be, amely a függõleges napórák elkészítésében nyújt segítséget. A fal tájolásának
Geometriai példatár 4.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 4. GEM4 modul Szférikus geometria SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999.
13. Trigonometria II.
Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája
Csillagászati földrajz I-II.
Tantárgy neve Csillagászati földrajz I-II. Tantárgy kódja FDB1305; FDB1306 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 2+1 Összóraszám (elm.+gyak.) 1+0, 0+1 Számonkérés módja kollokvium + gyakorlati jegy Előfeltétel
Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig
Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós
A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)
Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan
w u R. x 2 x w w u 2 u y y l ; x d y r ; x 2 x d d y r ; l 2 r 2 2 x w 2 x d w 2 u 2 d 2 2 u y ; x w u y l ; l r 2 x w 2 x d R d 2 u y ;
A négysuklós mehanizmus alapfeladata másképpen Előző dolgozatunkban melynek íme: A négysuklós mehanizmus alapfeladatáról egy általunk legegyszerűbbnek gondolt megoldási módot ismertettünk. Ott megemlítet
Szinusz- és koszinusztétel
Szinusz- és koszinusztétel. Htározzuk meg z oldlk rányát, h α 0, β 60. α + β + γ 80 γ 80 α β 80 0 60 90 A szinusztételt felhsználv z oldlk rány: zz : : : sin β : sin 0 : sin 60 : sin 90 : : : : : :. Htározzuk
Komplex számok trigonometrikus alakja
Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =
Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
A napóra matematikája
Matisz Attila A napóra matematikája Tartalom Köszönet... 1 Bevezetés... 2 A napóra működése, napóratípusok... 4 Ekvatoriális napóra... 5 Néhány szó a deklinációs vonalakról... 7 Horizontális napóra...
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.
Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:
Bevezetés a csillagászatba II.
Bevezetés a csillagászatba II. Dobos László dobos@complex.elte.hu É 5.60 2017. április 4. Tematika Weboldal: http://www.vo.elte.hu/~dobos/teaching/ Könyv: Carroll Ostlie: Introduction to Modern Astrophysics
Gyakorlat anyag. Veszely. February 13, Figure 1: Koaxiális kábel
Gyakorlat anyag Veszely February 13, 2012 1 Koaxiális kábel d b a Figure 1: Koaxiális kábel A 1 ábrán látható koaxiális kábel adatai: a = 7,2 mm, b = 4a = 8,28 mm, d = 0,6 mm, ε r = 3,5; 10 4 tanδ = 80,
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria I.
Trigonometria I. Hegyes szögek szögfüggvényei: Az α hegyesszöggel rendelkező derékszögű háromszögek egymáshoz hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. Így oldalhosszaik aránya mindig állandó. Az α szögtől
Egy érdekes nyeregtetőről
Egy érdekes nyeregtetőről Adott egy nyeregtető, az 1 ábra szerinti adatokkal 1 ábra Végezzük el vetületi ábrázolását, az alábbi számszerű adatokkal: a = 10,00 m; b = 6,00 m; c = 3,00 m; α = 45 ; M 1:100!
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria II.
Trigonometria II. A tetszőleges nagyságú szögek szögfüggvényeit koordináta rendszerben egységhosszúságú forgásvektor segítségével definiáljuk. DEFINÍCIÓ: (Vektor irányszöge) Egy vektor irányszögén értjük
Fizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat
Fizika i, 08 őszi félév,. gyakorlat Szükséges előismeretek: vektorok, műveletek vektorokkal (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat és vektoriális szorzat, abszolút érték), vektorok
Csuklós mechanizmus tervezése és analízise
Csuklós mechanizmus tervezése és analízise Burmeister Dániel 1. Feladatkitűzés Megtervezendő egy többláncú csuklós mechanizmus, melynek ABCD láncában található hajtórúd (2-es tag) mozgása során három előírt
A középponti és a kerületi szögek összefüggéséről szaktanároknak
A középponti és a kerületi szögek összefüggéséről szaktanároknak Középiskolai tanulmányaink fontos része volt az elemi síkgeometriai tananyag. Ennek egyik nevezetes tétele így szól [ 1 ] : Az ugyanazon
Hajdú Bihar megyei középiskolások matematika versenye, 2018/ évfolyam, II. kategória, megoldókulcs
Hajdú Bihar megyei középiskolások matematika versenye, 018/019 11. évfolyam, II. kategória, megoldókulcs 1. feladat 1. megoldás Az északi csap 8:00 és 8:30 között (fél óra alatt) a medence 1 részét tölti
Hajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Amikor leszáll az éj.
Amikor leszáll az éj. Naplementekor még élvezzük a fényt, a sokféle színben játszó ég alját, az égbolton úszó vöröses felhőket. Sokan úgy vélik, hogy a Nap hirtelen tűnik el. Mozgása akkor feltűnő, amikor
Aszimmetrikus nyeregtető ~ feladat 2.
1 Aszimmetrikus nyeregtető ~ feladat 2. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! Itt az A és B pontok egy nyeregtető oromfali ereszpontjai, a P pont pedig a taréj pontja. Az ereszek egymástól való távolságának
Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
Szögfüggvények értékei megoldás
Szögfüggvények értékei megoldás 1. Számítsd ki az alábbi szögfüggvények értékeit! (a) cos 585 (f) cos ( 00 ) (k) sin ( 50 ) (p) sin (u) cos 11 (b) cos 00 (g) cos 90 (l) sin 510 (q) sin 8 (v) cos 9 (c)
a térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.
2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3
Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
Számítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
GPS mérési jegyz könyv
GPS mérési jegyz könyv Mérést végezte: Csutak Balázs, Laczkó Hunor Mérés helye: ITK 320. terem és az egyetem környéke Mérés ideje: 2016.03.16 A mérés célja: Ismerkedés a globális helymeghatározó rendszerrel,
1. Az előző előadás anyaga
. Az előző előadás anyaga Egy fiú áll az A pontban és azt látja, hogy a barátnője fuldoklik a B pontban egy tóban. Milyen plyán kell a fiúnak mozognia, hogy a leggyorsabban a barátnőjéhez érjen, ha a parton