Mágnesség. 1. Stacionárius áramok mágneses mezeje. Oersted (1820): áramvezet drót közelében a mágnest az áram irányára

Átírás

1 1 STACIONÁRIUS ÁRAMOK MÁGNESES MEZEJE Mágnesség 1. Stacionárius áramok mágneses mezeje Oersted (1820): áramvezet drót közelében a mágnest az áram irányára mer legesen áll be elektromos töltések áramlása mágneses hatást kelt.

2 1 STACIONÁRIUS ÁRAMOK MÁGNESES MEZEJE Biot-Savarttörvény (1820): egy L görbe mentén elhelyezked drótvezet ben folyó I er sség stacionárius áram által vákuumban keltet mágneses mez indukcióvektora B( r) = I c L ( R r) d R r R 3 Az integrál csak a drótvezet geometriájától függ! Szuperpozíció-elvéb l tetsz leges stacionárius árameloszlásra B( r) = 1 c J( R) ( r R) r R d 3 R 3

3 1 STACIONÁRIUS ÁRAMOK MÁGNESES MEZEJE Megjegyzés: B( r) = rot A, ahol A( r) = 1 c J( R) r R d3 R a mágneses mez vektorpotenciálja. A div (rot A)=0 azonosság felhasználásával adódik a div B = 0 mágneses Gauss-törvény, ahonnan a Gauss-tétel következményeként B d s = 0 V tetsz leges V térfogatra (nincsenek izolált mágneses töltések).

4 1 STACIONÁRIUS ÁRAMOK MÁGNESES MEZEJE Másrészt rot B = 4π c J Ampèretörvény illetve integrális alakban B d r = 4π c J( r) d s S S bármely S felület esetén. A fenti összefüggés csak vákuumban érvényes: mágneses közegekben az árams r ség kifejezésében megjelenik egy, a molekuláris áramokból származó (illetve kvantumos eredet ) járulék.

5 2 A VEKTORPOTENCIÁL 2. A vektorpotenciál div B=0 mágneses Gauss-törvény miatt létezik olyan A( r) vektormez (vektorpotenciál) amelyre B = rot A A vektorpotenciál nem egyértelm : mivel bármely χ( r) skalármez gradiense örvénymentes, ezért A és A = A+grad χ ugyanazt a mágneses mez t írja le (mértékinvariancia). Mindig választható forrásmentes vektorpotenciál amelyre diva = 0, amikor is A=grad div A rot rot A= rot B, így A= 4π c J vektoriálispoissonegyenlet

6 3 A MÁGNESES MOMENTUM 3. A mágneses momentum Tekintsünk egy V tartományba lokalizált árameloszlást (a J( r) árams - r ség elt nik V-n kívül). A V tartománytól távol a vektorpotenciál képletébe behelyettesítve a A( r) = 1 c J( R) r R d3 R 1 r R = 1 r + r R r 3 + {3( r R) 2 r 2 R 2 } 2 r 5 + Taylor-sorfejtést kapjuk, hogy A( r)= 1 J( R) d 3 R 1 + c r c r 3 ( r R) J( R) d 3 R +... V V

7 3 A MÁGNESES MOMENTUM Figyelembe véve, hogy az árams r ség elt nik a térrész V határán, továbbá felhasználva a divergencia-tételt és a div J=0 kontinuitási egyenletet, adódik ahol A( r) = m r r m = 1 2c { R J( R) } d 3 R Innen a mágneses térer sség V B( r) = rot A = 3( m r) r r 2 m r 5

8 3 A MÁGNESES MOMENTUM Elektrosztatikus analógia alapján ez egy (mágneses) dipólmez t ír le, és m az árameloszlás mágneses momentuma. A magasabb mágneses multipólus tagok általában elhanyagolhatók. I er sség áramot szállító drótvezet esetén m= I r d r. 2c Sík drótvezet re m = IA n, ahol A a vezet által bezárt felületdarab területe, és n annak normális egységvektora.

9 4 MOLEKULÁRIS ÁRAMOK. 4. Molekuláris áramok. Mágneses közegekben az árams r ség kifejezésében megjelenik egy, a molekuláris áramokból származó Jm járulék, így ott az Ampère-törvény pontos alakja rot B = 4π c J + 4π c Jm Mivel a Jm molekuláris járulék divergenciamentes, div Jm =0, ezért felírható Jm =c rot M alakban, amib l a H= B 4π M jelöléssel rot H = 4π c J

10 4 MOLEKULÁRIS ÁRAMOK. Egy S felületre integrálva, és felhasználva a Stokes-tételt kapjuk a H d r = 4π c I S integrális Ampère-törvényt, ahol I = S J( r) d s jelöli az egységnyi id alatt S-en áthaladó töltés mennyíségét. Vákuumban nincsenek molekuláris áramok, azaz Jm = M = 0 és H = B, ezért M a közeg mágnesezettség-vektora (egységnyi térfogat mágneses momentuma) és H a mágneses térer sség (közeg hiányában mérhet mágneses indukció).

11 5 A PERMEABILITÁS 5. A permeabilitás H mágneses térer sség: árameloszlás által keltett mágneses mez indukcióvektora közeg hiányában (vákuumban). Spontán mágnesezettség: áramok keltette 'küls ' mez hiányában is nemzérus indukció. Spontán mágnesezettség csak ún. ferro- és ferrimágneses anyagokban fordul el, ezért nem túl nagy térer sségeknél jól használható a M = χ mh lineáris összefüggés, ahol χ m a közeg mágneses szuszceptibilitása (izotrop esetben skalár, anizotrop esetben tenzor).

12 5 A PERMEABILITÁS Innen, B = H+4π M következtében B = µ H ahol µ = 1+4πχ m a közeg permabilitása (izotrop esetben skalár, anizotrop esetben tenzor). Dielektromos polarizációval ellentétben M nem szükségszer en egyirányú H-val (izotrop esetben), ezért a χ m mágneses szuszceptibilitás lehet negatív is (diamágnesek), de energetikai okokból a µ permeabilitás soha: µ 0, és ezért χ m 1 4π. Paramágnes: kicsiny pozitív szuszceptibilitás.

13 5 A PERMEABILITÁS 1. táblázat. Néhány anyag mágneses szuszceptibilitása. anyag χ m szuszceptibilitás nátrium réz diamágnes gyémánt higany víz leveg paramágnes oxigén magnézium alumínium ferromágnes vas Si-Fe kristályok ferrimágnes magnezit (Fe 3 O 4 ) 10 2

14 6 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI 6. Anyagok mágneses tulajdonságai Molekulák mikroszkopikus összetev i (elektronok, protonok, stb.), alapvet en kvantumos eredet bels mágneses momentummal is rendelkeznek (spin) a mozgásukból származó momentumon túlmen en. Molekulák mikroszkopikus mágneses momentumai általában kioltják egymást véletlenszer irányuk miatt makroszkopikus térrészek teljes mágneses momentuma elt nik, kivéve ha irányuk valamilyen okból rendezett.

15 6 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Mikroszkopikus momentumokat rendezheti 1. küls mágneses mez ; 2. mágneses momentumok közti kölcsönhatás. Jelenség hasonlít a dielektromos polarizációhoz, de nincsenek izolált mágneses töltések.

16 6 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI 6.1. Diamágnesség Küls mágneses mez befolyásolja az elektronok atomokon és molekulákon belüli mozgását változás a molekuláris árameloszlásban, így a mágneses momentumban is. Indukált momentumok arányosak a küls mez vel, de ellentétes irányba mutatnak (Lenztörvény), így csökkentik a küls mez hatását az indukált mágnesezettség (mágneses momentums r ség) M = χ m H alakú, ahol χ m <0 a mágneses szuszceptibilitás.

17 6 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Diamágneses hatás mindig jelen van, de általában elhanyagolható a többi mechanizmushoz képest ( χ m <10 4 ), kivéve ha a mikroszkopikus összetev k mágneses momentumai mind elt nnek. Diamágnesek szuszceptibilitása (általában) független a h mérséklett l. Szupravezet k tökéletes diamágnesek (Meissnereektus), vagyis a mágneses indukció kilök dik egy szupravezet test belsejéb l (kivéve egy vékony felületi réteget) nem túl er s terek esetén.

18 6 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI II-es típusú szupravezet k: bizonyos kritikus mágneses térer sség felett a mágneses mez részben behatol a szupravezet be, mágneses uxuscsövekbe (Abrikosovvonalak) lokalizálva. Mágneses levitáció: diamágneseket taszítja a mágneses mez, így állandó mágnes fölé helyezve lebegnek (m ködik él lényekre is).

19 6 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI 6.2. Paramágnesség Küls mágneses mez a párosítatlan spinekb l adódó mikroszkopikus momentumokat addig forgatja, amíg a mez irányával párhuzamosan állnak be (orientációs mágnesezettség) M mágnesezettségi vektor (mágneses momentums r ség) arányos a H térer sséggel M = χ m H pozitív χ m >0 mágneses szuszceptibilitással. Csak nem túl er s mágneses mez kre és nem túl alacsony h mérsékletekre igaz (telítettség).

20 6 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Termikus uktuációk igyekeznek rendezetlenné tenni a mágneses momentumok irányát mágneses szuszceptibilitás h mérsékletfüggését a T C Curieh mérséklet felett a χ m = C T T C Curie-Weisstörvény írja le. T C kritikus h mérsékletnél másodrend fázisátalakulás egy rendezett fázisba (ritka esetekben elmarad). Diamágnesekkel ellentétben a paramágneseket vonzza a mágneses mez (gyenge eektus).

21 6 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI 6.3. Ferromágnesség Er s kölcsönhatás mikroszkopikus momentumok között (kvantumos eredet kicserél dési kölcsönhatás) alacsony h mérsékleten makroszkopikus domének kialakulása rendezett momentumokkal.

22 6 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Egy doménen belül az összes momentum párhuzamos minden egyes domén egy kicsiny permanens mágnes, de általában a különböz domének momentumai véletlenszer en irányítottak (termikus uktuációk következtében) sok doménb l álló makroszkopikus testnek általában elt nik a spontán mágnesezettsége. Domének határán a mikroszkopikus momentumok kölcsönhatnak mindkét doménbéli momentumokkal irányuk megváltozhat, vagyis egyik

23 6 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI doménb l átkerülhetnek a másikba domének tágulnak és összemennek: a doménfalak mozognak. Küls mágneses mez nem tudja (energetikai okokból) elfordítani az egyes domének momentumát, de segíti azon domének növekedését, melyek momentumai közel párhuzamosak a küls mez vel nettó makroszkopikus mágnesezettség kialakulása.

24 6 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Doménfalak mozgása disszipatív folyamat nemlineáris mágnesezettségi görbe Hiszterézis: mágnesezettség nem egyértelm függvénye a térer sségnek, hanem függ a közeg el életét l is (szuszceptibilitás = mágnesezettségi

25 6 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI görbe meredeksége az origóban). Mágnesezettség telít dik (M sat maximális értéknél) amikor az összes momentum párhuzamos (csak egy domén marad). T C Curieh mérsékleten másodrend fázisátalakulás paramágneses fázisba, amikor a domének feloszlanak (termikus uktuációk kompenzálják a mikroszkopikus momentumok közti kölcsönhatást). Ferrimágnesség: domének rendezett momentumokkal, de szomszédos momentumok ellenkez irányba mutatnak (pl. magnezit).

26 6 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Spontán polarizáció, hiszterézis, stb., de a szuszceptibilitás sokkal kisebb, mint ferromágneseknél. Antiferromágnesség: olyan ferrimágnes, amelyben a szomszédos momentumok tökéletesen kioltják egymást. Nincs spontán mágnesezettség: úgy viselkedik mint egy paramágnes, kivéve a szuszceptibilitás h mérsékletfüggését.

27 7 A FLUXUS-SZABÁLY 7. A uxus-szabály Faraday (1831): id ben változó mágneses mez elektromos áramot indukál vezet kben (elektromágneses indukció). Mikroszkopikus töltéshordozók mozgatásához szükséges elektromotoros er forrása a mágneses mez Az elektromos mez többé nem konzervatív!

28 7 A FLUXUS-SZABÁLY Fluxus-szabály: egy zárt áramkörben indukált elektromotoros er arányos az áramkör által kifeszített bármely (esetlegesen id ben változó) Σ felület Φ Σ = B d s Σ mágneses uxusának változási sebességével E ind = 1 c dφ Σ dt Lenzszabály: indukált áram által keltett mágneses mez csökkenti az indukáló uxust (negatív el jel miatt).

29 7 A FLUXUS-SZABÁLY Stokes tételéb l E ind = E d r = rot E d s Σ Σ Ha Σ nem változik az id ben ('nyugalmi indukció'), akkor Σ rot E d s = 1 c d ( dt Σ ) B d s = 1 c Σ B t d s Végül, a zárt áramkört (és ezáltal a Σ felületet) összehúzva egy pontra adódik rot E = 1 c B t Faradaytörvény

30 8 KVÁZI-STACIONÁRIUS ÁRAMOK 8. Kvázi-stacionárius áramok Stacionárius áramlás: mind a ρ töltéss r ség, mind a J árams r ség id ben állandó ('egyenáram'). Kvázi-stacionárius áram: J árams r ség (és a térjellemz k) id ben változik ugyan, de nem túl gyorsan. Jelent ség: nagyteljesítmény áramforrások (er m vek) gyakran forgási energiát alakítanak elektromágneses energiává, ezért ezek elektromotoros ereje (és így az általa fentartott áram er ssége) periodikusan változik, pulzál ('váltóáram').

31 8 KVÁZI-STACIONÁRIUS ÁRAMOK Lassú változás miatt kvázi-stacionárius áramokra továbbra is teljesül div J = 0 a lokális töltésmegmaradás következtében, ezért 1. közegek határán J normális komponense folytonosan változik; 2. vezet cs belsejében egy adott id pillanatban bármely két keresztmetszeten ugyanannyi töltés áramlik át; 3. elektromos hálózat bármely csomópontjába befolyó áramer sségek összege megegyezik a kifolyó áramer sségek összegével ('csomóponti szabály').

32 8 KVÁZI-STACIONÁRIUS ÁRAMOK Kirchho második törvénye ('hurokszabály') módosul: vezet k alkotta hurokban az áramforrások elektromotoros erején felül gyelembe kell venni a változó mágneses mez k által indukált elektromotoros er t is. ahol R k I k = k k E = 1 c E k + E dφ dt a hurokban indukált feszültség (Φ a hurok mágneses uxusa). Mágneses uxus lehet (részben) küls eredet, de fontos forrását alkotják magában a hálózatban áramló töltések is.