Kvázi-stacionárius áramok és

Átírás

1 1 A LORENTZ ERŐ Kvázi-stacionárius áramok és mágneses mezejük 1 A Lorentz erő Elektromos és mágneses mező egyidejű jelenlétében v sebességgel mozgó q elektromos töltésű pontszerű részecskére ható erő ( F = q E 1 + c v B ) Lorentz erő

2 1 A LORENTZ ERŐ v sebességgel mozgó ρ sűrűségű térbeli töltéseloszlásra ható erő F= ρ { E 1 + c v B } {ρ d 3 r = E 1 + c J konv B } d 3 r ahol J konv =ρ v jelöli a konvektív áramsűrűséget. A mágneses mező nem tesz különbséget konvektív és konduktív áramok között tetszőleges térbeli töltés- és árameloszlásra ható erő {ρ F= E 1 + c J B } d 3 r míg a forgatónyomaték N = r { ρ E + 1 c J B } d 3 r

3 2 MOZGÁS HOMOGÉN MÁGNESES TÉRBEN 2 Mozgás homogén mágneses térben Tekintsünk egy B indukcióvektorú homogén mágneses mezőben v sebességgel mozgó, q töltésű és m tömegű pontszerű testet. Newton második axiómája szerint m d v dt = q c v B v merőleges a v B vektoriális szorzatra 1 2 d ( m v 2) dt = m v d v dt = q v ( v B c ) = 0 vagyis 1 2 m v2 (a test kinetikus energiája) időben állandó: a mágneses mező nem végez mechanikai munkát a töltéseken!

4 2 MOZGÁS HOMOGÉN MÁGNESES TÉRBEN Lorentz erő merőleges a mágneses indukcióvektorra, ezért d( B v) dt = B q mc ( v B) = 0 vagyis a B v skalárszorzat (a sebesség longitudinális komponense) nem változik az idő során: ha kezdetben v merőleges B-re, akkor merőleges marad arra az egész mozgás folyamán. Descartes koordinátákat választva, melyek z-tengelye párhuzamos B-vel (azaz B=B e z ), a mozgásegyenlet megoldása v(t) = v cos(ωt+δ) e x + v sin(ωt+δ) e y + v z e z ahol ω = qb mc és v = v 2 v 2 z a transzverzális sebesség.

5 2 MOZGÁS HOMOGÉN MÁGNESES TÉRBEN A mozgás egy longitudinális ( B-vel párhuzamos irányú), v z állandó sebességű egyenletes haladó mozgás és egy T = 2π ω = 2π mc q B periódusidejű transzverzális forgómozgás szuperpozíciója. A trajektória egy R = mc q B v sugarú és v z T emelkedésű csavarvonal (hélix), melynek tengelye párhuzamos a mágneses mező irányával.

6 2 MOZGÁS HOMOGÉN MÁGNESES TÉRBEN A T periódusidő arányos mind B-vel, mind a q m fajlagos töltéssel, de független a v sebességtől ( tömegspektroszkópia, ciklotron). Amennyiben a mágneses mező mindenhol azonos irányú, de nagysága lassan növekszik, akkor a csavarmenetek sugara és a köztük lévő távolság az indukció értékével fordítva arányosan csökken. A Föld mágneses mezeje a külső forrásból (napszél, kozmikus sugárzás) származó nagy energiájú töltött részecskéket a fentihez hasonló mechanizmus segítségével csapdázza a sugárzási övekbe (van Allen övek).

7 3 A HALL EFFEKTUS 3 A Hall effektus Hall (1879): mágneses mezőre merőleges töltésáramlás transzverzális elektromos mezőt generál. Mozgó töltéshordozókra ható Lorentz erő által eltérített töltések felgyülemlenek a vezető ellentétes oldalain V H Hall feszültség. Hall feszültség arányos az I áramerősséggel és a mágneses indukcióval V H = R H BI d ahol d a vezető transzverzális mérete és R H a Hall együttható.

8 3 A HALL EFFEKTUS Hall együttható előjele = töltéshordozók előjele fémekben elektronvezetés, míg p-típusú félvezetőkben lyukak a domináns töltéshordozók. Alkalmazások: 1. mágneses mező nagyon pontos mérése (Hall szondák); 2. helyzet- és mozgásirány-érzékelés; 3. járműipar: gyújtáskapcsolás, üzemanyag befecskendezés, ABS, stb. Kvantum Hall effektus: erős mágneses mezőbe helyezett alacsony hőmérsékletű, kétdimenziós elektronrendszerekben a Hall együttható diszkrét értékeket vesz fel ( kvantált Landau szintek).

9 4 STACIONÁRIUS ÁRAMOK MÁGNESES MEZEJE 4 Stacionárius áramok mágneses mezeje Oersted (1820): áramvezető drót közelébe helyezett mágnestű az áram irányára merőlegesen áll be mozgó elektromos töltések a mágneses mező forrásai.

10 4 STACIONÁRIUS ÁRAMOK MÁGNESES MEZEJE Biot-Savart törvény (1820): egy L görbe mentén elhelyezkedő drótvezetőben folyó I erősségű stacionárius áram által generált mágneses mező indukcióvektora vákuumban B( r) = I c L ( R r) d R r R 3 Integrál csak a drótvezető geometriájától függ! Szuperpozíció-elv tetszőleges stacionárius árameloszlásra B( r) = 1 c J( R) ( r R) r R d 3 R = rot A 3

11 4 STACIONÁRIUS ÁRAMOK MÁGNESES MEZEJE ahol A( r) = 1 c J( R) r R d3 R a mágneses mező vektorpotenciálja. Innen, a div rot A=0 azonosság felhasználásával div B = 0 és ezért, a Gauss-tétel következményeként B d s = 0 mágneses Gauss törvény tetszőleges V térfogatra. V Nincsenek mágneses monopólusok (izolált mágneses töltések)!

12 4 STACIONÁRIUS ÁRAMOK MÁGNESES MEZEJE Másrészt bármely S felület esetén B d r = 4π c S Az S felületet egy pontra zsugorítva S J( r) d s rot B = 4π c J adódik Stokes tételének felhasználásával. A fenti összefüggés csak vákuumban és nem-mágneses anyagokban érvényes; mágneses közegekben az áramsűrűségben megjelenik egy, a molekuláris áramokból származó (illetve kvantumos eredetű) J m járulék, így az összefüggés helyes alakja rot B = 4π c J + 4π c J m

13 4 STACIONÁRIUS ÁRAMOK MÁGNESES MEZEJE Mivel a molekuláris J m járulék divergenciamentes, div J m = 0, ezért felírható J m =c rot M alakban. Innen adódik, hogy a H= B 4π M jelöléssel rot H = 4π c J Az S felületre integrálva, és felhasználva a Stokes-tételt H d r = 4π c I Ampère törvény S ahol I = S J( r) d s jelöli az egységnyi idő alatt S-en áthaladó töltést. Vákuumban nincsenek molekuláris áramok, így ott J m = M= 0 és H= B M a közeg mágnesezettség-vektora és H a mágneses térerősség.

14 5 A PERMEABILITÁS 5 A permeabilitás H mágneses térerősség jelentése: adott árameloszlás által keltett mágneses mező indukcióvektora közeg hiányában (vákuumban). Permanens mágnes: áramok keltette külső mező hiányában ( H = 0) is nemzérus indukció spontán mágnesezettség ( M 0). Spontán mágnesezettség csak speciális (ferro- és ferrimágneses) anyagokban fordul elő nem túl nagy térerősségeknél általában jól használható M = χ mh lineáris összefüggés, ahol χ m a közeg mágneses szuszceptibilitása (izotrop esetben skalár, anizotrop esetben tenzor).

15 5 A PERMEABILITÁS Innen, B = H+4π M következtében ahol B = µ H µ = 1+4πχ m a közeg permabilitása (izotrop esetben skalár, anizotrop esetben tenzor). Dielektromos polarizációval ellentétben (izotrop esetben) M nem szükségszerűen egyirányú H-val a χ m szuszceptibilitás lehet negatív is (diamágnesek), de energetikai okokból a µ permeabilitás soha: µ 0, és ezért χ m 1 4π. Paramágnes: kicsiny pozitív szuszceptibilitás.

16 5 A PERMEABILITÁS Table 1: Néhány anyag mágneses szuszceptibilitása. anyag χ m szuszceptibilitás nátrium réz diamágneses gyémánt higany víz levegő paramágneses oxigén magnézium alumínium ferromágneses vas Si-Fe kristályok ferrimágneses magnezit (Fe 3 O 4 ) 10 2

17 6 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK 6 Illesztési feltételek Különböző közegek határán a mágneses térjellemzők általában ugrást szenvednek, melynek számszerű értéke meghatározható az Ampère- és a mágneses Gauss-törvény segítségével. Mivel a B indukcióvektor ugyanúgy forrásmentes, mint egy stacionárius töltésáramlás J áramsűrűsége, div B=div J=0, ezért az áramsűrűséghez hasonlóan a B normális komponense folytonosan változik két közeg határán: ha n jelöli a határfelület normális egységvektorát, akkor B 2 n = B 1 n Észrevétel. Alternatív meggondolással, mivel nincsenek izolált mágne-

18 6 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK ses töltések, így a felületi sűrűségük is szükségszerűen zérus: innen, az eltolási vektor normális komponensére vonatkozó illesztési feltétel indoklásához hasonló gondolatmenettel adódik a fenti eredmény. Tekintsünk most egy, a két közeg határát merőlegesen metsző, téglalap alakú kicsiny felület, melyet az a, b, c és d görbeszakaszok határolnak (a megfelelő irányításokkal), és jelölje γ a téglalap és a határfelület metszésvonalát.

19 6 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK Ha a téglalapot rázsugorítjuk a határfelületre, akkor b és d görbék hossza 0-hoz tart, így az ezek mentén vett integrálok is 0-hoz tartanak, míg a és c rásimul γ-ra, ezért (az irányítás figyelembe vételével) H( r) d r H 1 ( r) d r és a H( r) d r γ H 2 ( r) d r c γ Innen, az Ampère törvény szerint ( H2 H ) 1 d r = 4π c I γ γ

20 6 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK ahol I γ jelöli a téglalapon időegységenként keresztülfolyó töltést. Mivel a téglalap a határfelületre van zsugorítva, ezért csak határfelületen mentén folyó felületi áramok jönnek számításba. Ezek sűrűségét a J f felületi áramsűrűség-vektor jellemzi, mely az áramlás irányába mutat, és ezért mindig érintőirányú (tangenciális, azaz J f n = 0), és nagysága megadja a felületen fekvő, az áramlás irányára merőleges egységnyi hosszon időegység alatt átáramló töltés mennyiségét. Ebből adódik, hogy I γ = { Jf n } d r γ

21 6 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK Így végül γ ( H 2 H 1 4π ) c J f n d r = 0 bármely, a határfelületen futó γ görbére. Fenti összefüggés csak akkor teljesülhet minden görbére, ha az integrandus normális irányú, azaz tangenciális komponense zérus. De a felületi áramok sűrűsége eleve tangenciális, így J f n tangenciális komponense megegyezik J f -fel, ezért a mágneses térerősség tangenciális komponensének ugrása a felületi áramsűrűség 4π c -szerese!

22 7 A VEKTORPOTENCIÁL 7 A vektorpotenciál Indukcióvektor forrásmentessége (div B = 0) miatt létezik olyan A( r) vektormező (vektorpotenciál) amelyre B = rot A A vektorpotenciál nem egyértelmű: mivel bármely χ( r) skalármező gradiense örvénymentes, ezért A és A = A+grad χ ugyanazt a mágneses mezőt írja le (mértékinvariancia). Észrevétel. Mindig választható olyan vektorpotenciál, amelyre div A = 0

23 7 A VEKTORPOTENCIÁL B=µ H lineáris anyagi összefüggéssel leírható homogén, izotrop közegben az Ampère törvényből a vektorpotenciálra a A = grad div A rot rot A = rot(µ H) = 4πµ c J vektoriális Poisson egyenlet adódik, melynek egy partikuláris megoldása A( r) = µ c Innen a mágneses térerősség J( R) r R d3 R H( r) = 1 µ rot A = 1 c J( R) ( r R) r R 3 d 3 R a Biot-Savart törvénynek megfelelően.

24 8 LOKALIZÁLT ÁRAMELOSZLÁSOK 8 Lokalizált árameloszlások Tekintsünk egy V tartományba lokalizált árameloszlást, amelynek J( r) áramsűrűsége eltűnik V-n kívül. A V tartománytól távol, µ permeabilitású homogén, izotrop közegben a vektorpotenciál A( r) = µ c J( R) r R d3 R képletébe behelyettesítve a 1 r R = 1 r + r R r 3 + {3( r R) 2 r 2 R 2 } 2 r 5 +

25 8 LOKALIZÁLT ÁRAMELOSZLÁSOK Taylor-sorfejtést kapjuk, hogy A( r)= µ c r V J( R) d 3 R µ + c r 3 V ( r R) J( R) d 3 R +... Figyelembe véve, hogy az áramsűrűség eltűnik a térrész V határán, továbbá felhasználva a (tenzoriális) divergencia-tételt és a div J=0 kontinuitási egyenletet, adódik J( r) d3 r = 0 és V ( r R) J( R) d 3 R = { 1 2 { R J( R) } d 3 R } r V V

26 8 LOKALIZÁLT ÁRAMELOSZLÁSOK ezért ahol A( r) = µ m r r m = 1 2c { R J( R) } d 3 R Innen a mágneses térerősség V H( r) = 1 µ rot A = 3( m r) r r 2 m r 5 Elektrosztatikus analógia alapján ez egy (mágneses) dipólmezőt ír le, és m az árameloszlás mágneses momentuma. A magasabb mágneses multipólus tagok általában elhanyagolhatók.

27 8 LOKALIZÁLT ÁRAMELOSZLÁSOK I erősségű áramot szállító drótvezető esetén m= I 2c r d r. Sík drótvezetőre ebből m = IA n, ahol A a vezető által bezárt felületdarab területe, és n annak normális egységvektora. Mágnesezett testek szintén jellemezhetők mágneses momentumukkal, mely a molekuláris áramokból származó mikroszkopikus mágneses momentumok eredője (nem add számot a teljes momentumról, csak annak egy részéről, mert fellépnek kvantumos eredetű járulékok is).

28 8 LOKALIZÁLT ÁRAMELOSZLÁSOK Ha a töltés- és árameloszlás nagyon kis térfogatba lokalizált ( pontszerű ), akkor egy elektromosan semleges testre ható forgatónyomaték N= 1 c r { } J B d3 r= 1 { ( r c B) J ( r J) B } d 3 r= m B( r) A mágneses mező addig forgatja a testet, míg momentuma a mezővel párhuzamos irányba nem áll be (hacsak valamely más erő nem kompenzálja a forgatónyomatékot). Mágneses dipólmező különbözik az elektromostól a dipólus helyén mutatott szinguláris viselkedésben: a kontakt tag mágneses esetben az elektromosénak a 2-szerese. A különbség oka, hogy a mágneses momentum áramhurkokból származik, és nem mágneses töltésekből.

29 9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI 9 Anyagok mágneses tulajdonságai Anyag mikroszkopikus összetevői (elektronok, protonok, stb.), alapvetően kvantumos eredetű (spin) belső mágneses momentummal is rendelkeznek a mozgásukból származó (molekuláris áramok) momentumon túlmenően. Molekulák mikroszkopikus mágneses momentumai általában kioltják egymást véletlenszerű irányuk miatt makroszkopikus térrészek teljes mágneses momentuma eltűnik, kivéve ha irányuk valamilyen okból rendezett.

30 9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Mikroszkopikus momentumokat rendezheti 1. külső mágneses mező forgatónyomatéka; 2. mágneses momentumok közti kölcsönhatás. Mágnesezés jelensége hasonlít a dielektromos polarizációhoz, de nincsenek mágneses töltések.

31 9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI 9.1 Diamágnesség Külső mágneses mező befolyásolja az elektronok atomokon és molekulákon belüli mozgását változás a molekuláris árameloszlásban, így a mágneses momentumban is. Indukált momentumok arányosak a külső mezővel, de ellentétes irányba mutatnak (Lenz törvény), így csökkentik a külső mező hatását az indukált mágnesezettség (mágneses momentumsűrűség) M = χ m H alakú, ahol χ m <0 a mágneses szuszceptibilitás.

32 9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Diamágneses hatás mindig jelen van, de általában elhanyagolható a többi mechanizmushoz képest ( χ m <10 4 ), kivéve ha a mikroszkopikus összetevők mágneses momentumai mind eltűnnek. Diamágnesek szuszceptibilitása (általában) független a hőmérséklettől. Szupravezetők tökéletes diamágnesek (Meissner effektus), vagyis a mágneses indukció kilökődik egy szupravezető test belsejéből (kivéve egy vékony felületi réteget) nem túl erős terek esetén.

33 9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI II-es típusú szupravezetők: bizonyos kritikus mágneses térerősség felett a mágneses mező részben behatol a szupravezetőbe, mágneses fluxuscsövekbe (Abrikosov vonalak) lokalizálva. Mágneses levitáció: diamágneseket taszítja a mágneses mező, így állandó mágnes fölé helyezve lebegnek (működik élőlényekre is).

34 9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI 9.2 Paramágnesség Külső mágneses mező a párosítatlan spinekből adódó mikroszkopikus momentumokat addig forgatja, amíg a mező irányával párhuzamosan állnak be (orientációs mágnesezettség) M mágnesezettségi vektor (mágneses momentumsűrűség) arányos a H térerősséggel M = χ m H pozitív χ m >0 mágneses szuszceptibilitással. Csak nem túl erős mágneses mezőkre és nem túl alacsony hőmérsékletekre igaz (telítettség).

35 9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Termikus fluktuációk igyekeznek rendezetlenné tenni a mágneses momentumok irányát mágneses szuszceptibilitás hőmérsékletfüggését a T C Curie hőmérséklet felett a χ m = C T T C Curie-Weiss törvény írja le. T C kritikus hőmérsékletnél másodrendű fázisátalakulás egy rendezett fázisba (ritka esetekben elmarad). Diamágnesekkel ellentétben a paramágneseket vonzza a mágneses mező (gyenge effektus).

36 9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI 9.3 Ferromágnesség Erős kölcsönhatás mikroszkopikus momentumok között (kvantumos eredetű kicserélődési kölcsönhatás) alacsony hőmérsékleten makroszkopikus domének kialakulása rendezett momentumokkal. Egy doménen belül az összes momentum párhuzamos minden egyes

37 9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI domén egy kicsiny permanens mágnes, de általában a különböző domének momentumai véletlenszerűen irányítottak (termikus fluktuációk következtében) sok doménből álló makroszkopikus testnek általában eltűnik a spontán mágnesezettsége. Domének határán a mikroszkopikus momentumok kölcsönhatnak mindkét doménbéli momentumokkal irányuk megváltozhat, vagyis egyik doménből átkerülhetnek a másikba domének tágulnak és összemennek: a doménfalak mozognak.

38 9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Külső mágneses mező nem tudja (energetikai okokból) elfordítani az egyes domének momentumát, de segíti azon domének növekedését, melyek momentumai közel párhuzamosak a külső mezővel nettó makroszkopikus mágnesezettség kialakulása.

39 9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Doménfalak mozgása disszipatív folyamat nemlineáris mágnesezettségi görbe Hiszterézis: mágnesezettség nem egyértelmű függvénye a térerősségnek, hanem függ a közeg előéletétől is (szuszceptibilitás = mágnesezettségi görbe meredeksége az origóban).

40 9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Mágnesezettség telítődik (M sat maximális értéknél) amikor az összes momentum párhuzamos (csak egy domén marad). T C Curie hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás paramágneses fázisba, amikor a domének feloszlanak (termikus fluktuációk kompenzálják a mikroszkopikus momentumok közti kölcsönhatást). Ferrimágnesség: domének rendezett momentumokkal, de szomszédos momentumok ellenkező irányba mutatnak (pl. magnezit).

41 9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Spontán polarizáció, hiszterézis, stb., de a szuszceptibilitás sokkal kisebb, mint ferromágneseknél. Antiferromágnesség: olyan ferrimágnes, amelyben a szomszédos momentumok tökéletesen kioltják egymást. Nincs spontán mágnesezettség: úgy viselkedik mint egy paramágnes, kivéve a szuszceptibilitás hőmérsékletfüggését.

42 10 KVÁZI-STACIONÁRIUS JELENSÉGEK 10 Kvázi-stacionárius jelenségek Kvázi-stacionárius jelenségek: térjellemzők és források (töltés- és áramsűrűség) lassú időbeli változása megengedett (pl. elektromos távvezetékekben folyó váltakozó áramok). Kvázi-stacionaritási feltétel: D t J Példa (kondenzátor kisülése): hogyan változik az időben egy magára hagyott kondenzátor fegyverzetein található töltés mennyisége?

43 10 KVÁZI-STACIONÁRIUS JELENSÉGEK Jelölje C a kondenzátor kapacitását, R a fegyverzetek közötti részt kitöltő dielektrikum ellenállását, és legyen kezdetben ±Q 0 nagyságú töltés az egyes fegyverzeteken. A fegyverzetek közti potenciálkülönbség U(t) = Q(t) C ahol Q(t) a fegyverzeteken tárolt töltés mennyisége t idő múlva. Ennek hatására I(t) = U(t) R = Q(t) RC erősségű áram folyik a fegyverzetek között, így a töltés megváltozásának sebessége

44 10 KVÁZI-STACIONÁRIUS JELENSÉGEK dq dt = I(t) = Q(t) RC A differenciálegyenlet megoldása Q(t) = Q 0 exp ( t τ ) ahol τ = RC a kondenzátor időállandója. A töltés mennyisége exponenciálisan csökken az idővel! Az időállandó növelhető akár az R ellenállás, akár a C kapacitás növelésével.

45 11 A FLUXUS-SZABÁLY 11 A fluxus-szabály Faraday (1831): időben változó mágneses mező elektromos áramot indukál vezetőkben (elektromágneses indukció). Mikroszkopikus töltéshordozók mozgatásához szükséges elektromotoros erő forrása a mágneses mező Az elektromos mező többé nem konzervatív!

46 11 A FLUXUS-SZABÁLY Fluxus-szabály: egy zárt áramkörben indukált elektromotoros erő arányos az áramkör által kifeszített bármely (esetlegesen időben változó) Σ felület Φ Σ = Σ B d s mágneses fluxusának változási sebességével E ind = 1 c dφ Σ dt Lenz szabály: indukált áram által keltett mágneses mező csökkenti az indukáló fluxust (negatív előjel miatt).

47 11 A FLUXUS-SZABÁLY Stokes tételéből E ind = E d r = rot E d s Σ Σ Ha Σ nem változik az időben ( nyugalmi indukció ), akkor Σ rot E d s = 1 c d ( dt Σ ) B d s = 1 c Σ B t d s Végül, a zárt áramkört (és ezáltal a Σ felületet) összehúzva egy pontra adódik rot E = 1 c B t Faraday törvény

48 11 A FLUXUS-SZABÁLY Szerteágazó alkalmazások: 1. elektromos motorok és generátorok; 2. transzformátorok; 3. mikrofonok; 4. elektromos fűtés (indukciós kemencék); 5. mágneses fékrendszerek; 6. dinamó-elmélet (Föld mágneses mezejének eredete).

49 12 FOUCAULT ÁRAMOK 12 Foucault áramok Foucault áramok: időben változó mágneses mező vezető testekben örvényáramokat indukál, melyek egyrészt energiát disszipálnak (Joule hő), másfelől olyan mágneses mezőt keltenek, amely csökkenti a mágneses fluxus változási sebességét (Lenz törvény). Örvényáramok létrejötte az energiadisszipáció fő mechanizmusa transzformátorokban és elektromos motorokban, csökkentve azok hatékonyságát. Gyakorlati alkalmazások: elektromágneses fékezés, fémek azonosítása és szétválasztása (pl. pénzautomaták), indukciós fűtés, stb.

50 13 KVÁZI-STACIONÁRIUS ÁRAMOK 13 Kvázi-stacionárius áramok Kvázi-stacionárius esetben a térjellemzők által kielégített egyenletek: div D = 4πρ div B = 0 rot E = 1 c rot H = 4π c J B t kiegészítve a közeget jellemző anyagi összefüggésekkel.

51 13 KVÁZI-STACIONÁRIUS ÁRAMOK Kvázi-stacionárius áramokra továbbra is alakot ölt a kontinuitási egyenlet div J = 0 1. közegek határán J normális komponense folytonosan változik; 2. vezető cső belsejében bármely két keresztmetszeten ugyanannyi töltés áramlik át egy adott időpillanatban; 3. elektromos hálózat bármely csomópontjába befolyó áramok intenzitásának összege megegyezik a kifolyó áramok intenzitásainak összegével (csomóponti szabály).

52 13 KVÁZI-STACIONÁRIUS ÁRAMOK De Kirchhoff második törvénye módosul: vezetők alkotta hurokban az áramforrások elektromotoros erején felül figyelembe kell venni a változó mágneses mezők által indukált elektromotoros erőt is. ahol R k I k = k k E = 1 c E k + E dφ dt a hurokban indukált feszültség, és Φ a hurok mágneses fluxusa. Mágneses fluxus lehet (részben) külső eredetű, de fontos forrását alkotják a hálózatban áramló töltések is.

53 14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK 14 Indukciós együtthatók Elektromos hálózatban folyó időben változó áramok időben változó mágneses mezőt hoznak létre, amely a hálózatban előforduló zárt hurkokban feszültséget indukál. Mágneses mező térerőssége arányos az őt keltő áram erősségével, ezért a hurkok mágneses fluxusai az áramerősségek lineáris kifejezései. Ha Φ k, ill. I k jelöli a k-adik hurok fluxusát, ill. a benne folyó áramot, akkor Φ i = c k L ik I k

54 14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK ahol az L ik =L ki indukciós együtthatók függetlenek az áramerősségektől, csak a hálózat geometriájától és anyagi összetételétől függ. Diagonális elemek: önindukciós együtthatók. Az i-edik hurokban indukált elektromotoros erő (hozzáadódik a hurokban esetleg előforduló áramforrás elektromotoros erejéhez) E i = 1 c dφ i dt = k L ik di k dt Időben változó áramok esetén Kirchhoff második törvénye kiegészítendő megfelelő indukciós és kapacitív tagokkal.

55 14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK Példa: az RL kör Tekintsünk egy R ellenállású és L önindukciójú zárt vezető hurkot, amelyet egy E(t) elektromotoros erejű áramforrás táplál. A huroktörvény szerint az I(t) áramerősségre RI(t) = E(t) + E (t) ahol E (t) = 1 c dφ dt = LdI dt

56 14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK az áram által indukált elektromotoros erő L di dt + RI = E elsőrendű közönséges lineáris differenciálegyenlet az áramerősségre. Inhomogén egyenlet általános megoldása = homogén egyenlet általános megoldása + inhomogén egyenlet partikuláris megoldása. Homogén egyenlet megoldása ahol ( I(t) = I 0 exp Rt L ) τ = L R > 0 = I 0 e t/τ

57 14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK a hurok relaxációs ideje exponenciálisan csökkenő áramerősség (Lenz törvény következménye). Ha E(t)=E 0 időfüggetlen, akkor az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása míg az általános megoldás I = E 0 R I(t) = (I 0 I ) e t/τ + I egy exponenciálisan lecsengő tranziens tag és egy, a kezdeti feltételektől független stacionárius tag szuperpozíciója.

58 14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK Általános esetben a I(t) = I(t) e t/τ szorzat kielégíti a di dt = 1 L egyenletet, melynek partikuláris megoldás E(t) et/τ I(t) = 1 L t E(t ) e t /τ dt így 0 I(t) = I 0 e t/τ 1 L t 0 E(t t ) e t /τ dt az inhomogén egyenlet általános megoldása.

59 14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK A tranziens tag csak a kezdeti feltételektől függ, és független a külső gerjesztéstől, míg a kezdeti feltételektől nyilván független hosszú távú aszimptotikus viselkedést a gerjesztés által teljes mértékben meghatározott második tag írja le. E(t)=E 0 cos(ωt) harmonikus gerjesztés esetén I(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) ω frekvenciájú harmonikus aszimptotikus viselkedés megfelelő A és B integrációs állandókkal. A differenciálegyenletbe behelyettesítve E 0 E(t) cos(ωt) = { R } R A cos(ωt)+b sin(ωt) + τ di dt = = I(t) + L { R Aω sin(ωt) + Bω cos(ωt) }

60 14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK ahonnan A + Bωτ = E 0 R B Aωτ = 0 A lineáris egyenletrendszer megoldása A = B = E 0 R(1 + ω 2 τ 2 ) = E 0 R R 2 + ω 2 L 2 = E 0 R2 + ω 2 L 2 E 0 ωτ R(1 + ω 2 τ 2 ) = E 0 ωl R 2 + ω 2 L 2 = E 0 R2 + ω 2 L 2 R R2 + ω 2 L 2 ωl R2 + ω 2 L 2

61 14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK Az aszimptotikus áramerősség Itt a hurok impedanciája, és a fáziskésés. I(t) = E 0 Z cos (ωt δ) = 1 ( Z E t δ ) ω Z = R 2 + ω 2 L 2 ( ) ωl δ = arctan(ωτ) = arctan R Hosszútávon a tranziens tag exponenciálisan lecseng, és csak a stacionárius tag marad meg.

62 15 AZ OSZCILLÁTOR (REZGŐKÖR) 15 Az oszcillátor (rezgőkör) Tekintsünk egy R ellenállású, C kapacitású és L önindukciójú zárt vezető hurkot, amelyet egy E(t) elektromotoros erejű áramforrás táplál. Kapacitás befolyása: töltés változási sebességével arányos kisülési áram huroktörvény módosított alakja RI(t) = E(t) L di dt Q(t) C ahol I(t) = dq dt

63 15 AZ OSZCILLÁTOR (REZGŐKÖR) Másodrendű differenciálegyenlet a Q(t) töltésre L d2 Q dt 2 + R dq dt + 1 Q(t) = E(t) C illetve az I(t) áramerősségre L d2 I dt 2 + R di dt + 1 C I(t) = E(t) ahol E(t) az elektromotoros erő időderiváltja. Homogén egyenlet általános megoldása ahol I(t) = I 0 e Γt sin(ωt+δ) Ω = ω 2 0 Γ2 míg I 0 és δ a kezdeti feltételek által meghatározott integrációs állandók.

64 15 AZ OSZCILLÁTOR (REZGŐKÖR) Γ= R 2L, illetve ω 0 = 1 LC a rezgőkör csillapítási együtthatója és rezonanciafrekvenciája. Harmonikus rezgések még külső gerjesztés hiányában is! Más-más aszimptotikus viselkedés aszerint, hogy ω 2 0 < Γ 2 (exponenciális lecsengés) vagy ω 2 0 > Γ 2 (csillapított harmonikus rezgés). Ha ω 2 0 > Γ 2, akkor E(t) = E 0 cos(ωt) harmonikus gerjesztés esetén az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása I p (t) = E 0 Z cos(ωt ϕ)

65 15 AZ OSZCILLÁTOR (REZGŐKÖR) Harmonikus kényszerrezgések (aszimptotikusan, amikor a tranziensek már lecsengtek), ahol Z = R 2 + ( ωl 1 ) 2 ωc az impedancia és ( ω 2 ) LC 1 ϕ = arctan ωrc ( ω 2 ω 2 ) 0 = arctan 2Γω a fáziskésés. Impedancia az ω =ω 0 rezonancia-frekvencián minimális, amikor a fáziskésés eltűnik, és az oszcillátor Ohmikus ellenállásként viselkedik.

66 16 A TRANSZFORMÁTOR 16 A transzformátor Induktívan csatolt primér és szekunder körök szekunder körben folyó áramot meghatározza a primér kör elektromotoros ereje.

67 16 A TRANSZFORMÁTOR Ha I 1 és I 2 jelöli a primér és szekunder körökben folyó áramok erősségét, R 1 és R 2 az ellenállásukat, E(t) a primér kör elektromotoros erejét, és L ik az indukciós együtthatókat, akkor a Kirchhoff törvények alapján di 1 R 1 I 1 (t) = L 11 dt L di 2 12 dt + E(t) R 2 I 2 (t) = L 21 di 1 dt L 22 di 2 dt Innen di 1 R 2 I 2 (t)= L 21 dt L di 2 22 dt = L di 1 21 dt L 22 L 12 = L 22 L 12 (E(t) R 1 I 1 (t)) ( di 1 E(t) R 1 I 1 (t) L 11 dt ) di1 ( L 21 L 22 L 12 L 11 dt )

68 16 A TRANSZFORMÁTOR Geometriai megfontolások alapján L 12 L 11 = N 2 N 1 = L 22 L 21 ahol N 1 és N 2 a primér és szekunder körök menetszámát jelöli, míg az indukciós együtthatók szimmetriája következtében L 12 = L 21 Amennyiben a primér kör ellenállása kicsi, akkor az előzőek alapján R 2 I 2 (t) = L 22 L 12 E(t) = N 2 N 1 E(t)

69 16 A TRANSZFORMÁTOR Olyan, mintha a szekunder körben folyó áramot egy E 2 = N 2 N 1 E(t) elektromotoros erejű (előjel!) áramforrás tartaná fenn: feszültség-multiplikáció. Negatív előjel: primér és szekunder körök ellentétes fázisban. Transzformátorok gyakorlati haszna: köznapi alkalmazásokban (háztartási készülékek) alacsony feszültségekre van szükség, de az elektromos energia szállítása magas feszültségen sokkal hatékonyabb (kisebb vesztességgel jár).