AJÁNLOTT IRODALOM. A tárgy neve Meghirdető tanszék(csoport) Felelős oktató:

Átírás

1 A tárgy neve Meghirdető tanszék(csoport) Felelős oktató: ELEKTROMÁGNESSÉG ÉS RELATIVITÁSELMÉLET SZTE TTK Elméleti Fizikai Tanszék Dr. Varga Zsuzsa Kredit 2 Heti óraszám 2 típus Számonkérés Teljesíthetőség feltétele Párhuzamosan feltétel Előfeltétel Előadás Kollokvium Félévközi dolgozatok nincs Matematikai módszerek a fizikában Helyettesítő tárgyak - Periódus Tavaszi félév, évente Javasolt félév 4 Kötelező vagy kötelezően választható Fizika AJÁNLOTT IRODALOM 1. Benedict Mihály: Elektrodinamika, JATE Press, Szeged, Jackson J. D.: Klasszikus elektrodinamika, Typotex Kiadó, Budapest, Hevesi Imre: Elektromosságtan, Tankönyvkiadó, Budapest, 1998.

2 A TANTÁRGY RÉSZLETES TEMATIKÁJA Az elektrodinamika törvényeinek ismerete alapvető fontosságú, az energia és az információ tárolását, továbbítását és felhasználását e törvények alapján oldja meg az emberiség. Az előadás az elméleti fizika szokásos módszerét követi: először összefoglaljuk az általános törvényszerűségeket és fogalmakat, majd matematikai eszközökkel származtatjuk a speciális körülmények között érvényes összefüggéseket. Az elektrodinamikához történetileg szorosan kötődik a speciális relativitáselmélet, ezért hagyományosan ennek keretében tárgyaljuk. Alapfogalmak Az elektrodinamika rövid története. Az elektrodinamika mint mennyiségi tudomány egyetlen évszázad alatt fejlődött ki. Cavendish ban végzete elektrosztatikai kísérleteit, és Hertz 1888-ban kimutatta az elektromágneses hullámok létezését. A Coulomb törvény, a Biot-Savart törvény, Ampere törvényének felfedezése után 50 évvel Faraday döntő lépést tett a mező fogalmának megalkotásával. A munkát Maxwell fejezte be a mező dinamikai elméletével 1864-ben. Az elektrodinamika alapfogalmai Az elektrodinamika alapvető fogalma a töltés. Töltött testek egymásra erőt gyakorolnak. A töltés kvantált jellege, az elemi töltés, a töltés mértékegysége. Kiterjedt testek töltéseloszlásának jellemzője a töltéssűrűség. A töltések mozgása elektromos áramként jelentkezik. Az áramerősség és az áramsűrűség. A töltéssűrűség és az áramsűrűség kapcsolata Az elektromágneses kölcsönhatás jellege, a mező fogalma. Az elektromágneses mező létezéséről egy töltött testre gyakorolt hatása alapján szerzünk tudomást. A nyugvó töltésre gyakorolt erő és a próbatöltés hányadosa az E elektromos térerősség. A mozgó töltésre gyakorolt erő adja a B mágneses indukcióvektor definícióját. A Lorentz-féle erőtörvény: F =q (E + v B) A mezőket erővonalakkal szemléltethetjük. A Maxwell-egyenletek vákuumban A mező keltésének törvényei, a Maxwell-egyenletek, tapasztalati törvények általánosításából jöttek létre. A Gauss-törvény 2

3 A Gauss-törvény a Coulomb- törvény általánosítása: az elektromos töltések maguk körül elektromos mezőt keltenek, az elektromos erővonalak a töltésekből indulnak ki, illetve futnak be. 1 E ndf = ρ dv F ε 0 V Az Ampere-törvény A mozgó töltések (áramok) maguk körül mágneses mezőt hoznak létre, másképpen a mágneses mező forrásai az áramok. Maxwell lényeges észrevétele, hogy az időben változó elektromos fluxus (eltolódási áram) is mágneses mezőt kelt: G ds = µ I + B 0 d dt F E ndf A Faraday-féle indukciós törvény Az időben változó mágneses fluxus örvényes elektromos mezőt kelt. A negatív előjel Lenz-törvénye. G E ds = d dt F B ndf A negyedik törvény A mágneses erővonalak zártak és nem létezik izolált mágneses pólus. Ezt fejezi ki a negyedik törvény: F B ndf = 0 A Gauss és Stokes integráltételek segítségével fölírjuk a Maxwell egyenletek differenciális alakját. ρ E =, B = µ 0J + µ 0ε E& 0, E = B&, B = 0 ε 0 A kontinuitási egyenlet A kontinuitási egyenlet a természetben egyik legalapvetőbb törvény, a töltés megmaradását fejezi ki. J + ρ& = 0 Minden lokális megmaradási törvény a fenti alakú. A kontinuitási egyenlet 3

4 levezethető a Maxwell egyenletekből. A levezetés kulcsa, hogy az eltolódási áram szerepeljen az Ampere törvényben. A töltésmegmaradás törvényének imtegrálus alakja. A Maxwell-egyenletek nem függetlenek. A kontinuitási egyenletet felhasználva a divergenciás egyenletek levezethetők a rotációs egyenletekből. Az elektromágneses mező energiája, a Poynting-vektor. Egy töltött testen az elektromágneses mező munkát végez. A mező által végzett munka megegyezik a mező energiájának csökkenésével. Az elektromágneses mezőhöz rendelhető energia levezethető a munkatétel alapján. Kiindulás az elektromágneses mezőben mozgó töltés mozgásegyenlete, illetve a munkatétel. Másrészt a töltésen végzett munka kifejezését a Maxwell-egyenletek segítségével is föl lehet írni. A mennyiségek dimenziója alapján definiálható az elektromágneses mező energiasűrűsége és a Poynting-vektor (a felületen kiáramlott teljesítmény). A kapott eredmény megmaradási tétel alakú, eszerint a részecske és mező együttes energiájának változása a felületen időegység alatt kiáramlott elektromágneses energiával egyezik meg. Hasonló megmaradási tétel felírható a lendületre is, itt levezetés nélkül. A részecske és a mező együttes lendületének megváltozása a határfelületen ébredő erővel (a felületen időegység alatt kiáramlott lendülettel) egyezik meg. Közegek elektrodinamikája Elvileg a vákuumban felírt Maxwell-egyenletek közeg esetén is érvényesek, azonban a megoldásuk gyakorlatilag lehetetlen. Először is a töltött részekék száma nagyon nagy, másodszor makroszkopikus szempontból a mezők változása atomi méreteken belül nem lényeges. A makroszkopikus mérések a tényleges mező, illetve töltéseloszlás átlagát regisztrálják. Az anyagok elektromos és mágneses tulajdonságainak kezelésére további térjellemzőket (D és H) vezetünk be. A fenomenológiai egyenletek A D eltolódási vektor forrásai a makroszkopikus töltések. A H gerjesztettségi vektor forrásai a makroszkopikus áramok és az eltolódási áram. A Maxwell-egyenletek közegekben érvényes alakja differenciális alakban: D = ρ, H = J + D&, E = B&, B = 0 Az egyenletek a Gauss- és a Stokes-tételek segítségével integrális alakban is megadhatók. Anyagi egyenletek Lineáris közegek esetén az D(E) és a H(B) függvénykapcsolat konkrét alakja. A dielektromos állandó, elektromos szuszceptibilitás, a polarizációs vektor különböző anyagok esetén. A mágneses permeabilitás, mágneses szuszceptibilitás, a 4

5 mágnesezettségi vektor. Para-, dia- és ferromágneses anyagok. Ohm törvénye és a vezetőképesség. Határföltételi egyenletek A térjellemzők (D, E, B, H) viselkedése két közeg határán. Az eltolódási vektor normális komponense nem folytonos, ha van felületi töltéssűrűség. A mágneses indukcióvektor normális komponense folytonos. Bizonyítás a Gauss-törvény integrális alakjából kiindulva. Az elektromos térerősségvektor felületi irányú komponense folytonos, a gerjesztettségi vektor felületi komponense ugrást szenved, ha felületi áramok is vannak. Bizonyítás az Amper-törvény integrális alakjából kiindulva. A sztatikus elektromos mező A legegyszerűbb alkalmazása a Maxwell-egyenleteknek az időben állandó, sztatikus mezők vizsgálata. Időben állandó töltések hozzák létre. A Maxwell egyenletekben sztatikus mezők esetén az időderiváltak nullák. Potenciál, tetszőleges töltéseloszlás potenciálja Mivel most E = 0, az elektrosztatikus mező konzervatív, amiből következik, hogy az elektromos mező egy skalárfüggvény segítségével leírható. E = Φ. Φ neve skalárpotenciál, fizikai jelentése a mező által a próbatöltésen végzett munka, miközben a töltés az adott pontból a végtelenbe kerül. A Coulomb-törvényből kiindulva általánosításként megkapható a Gauss-törvény. A ponttöltés elektromos térerőssége és potenciálja. A potenciálegyenlet tetszőleges töltéssűrűség esetén. A potenciálegyenlet megoldásának felírása a szuperpozíció elve alapján. Néhány gondolat a ponttöltés töltéssűrűségéről és a Dirac-deltáról. Elektrosztatikai peremérték problémák: A potenciál-egyenlet megoldása különböző töltéseloszlások esetén. A tükörtöltés módszere végtelen vezető sík és vezető gömb esetére. Multipólusok Véges térfogatot kitöltő (lokalizált) töltésrendszer potenciálja nagy távolságból nézve végtelen összegként felírható. Az egyes potenciáltagok az n-ed rendű multipólusmomentumok és távolság n-ik hatványának hányadosai, ahol a multipólusmomentumok kizárólag a töltésrendszerre jellemző mennyiségek, a távolságtól nem függenek. Megmutatjuk, hogy a nullad rendű momentum a rendszer össztöltése, az első rendű a dipólus-momentum, a másodrendű az elektromos kvadrupólusmomentum. Tehát nagy távolságból minden véges méretű töltésrendszer ponttöltésként közelíthető. Különböző töltéselrendezések dipólus és kvadrupólus momentumainak meghatározása. 5

6 Energiaviszonyok sztatikus mezőben Megmutatjuk, hogy a mező energiája a töltések kölcsönhatási energiája, az a munka, amivel a mező fölépíthető a töltések egymásra hatását figyelembe véve. Véges töltésrendszer energiája külső elektromos mezőben. A külső mező lassan változik, forrásai messze vannak. Az energia kifejezése töltés potenciál, dipólus térerősség tagokkal kezdődik. A dipólus-dipólus kölcsönhatási energia. Az elektrosztatikus energia dielektromos közegben. A munka egy része a közeg megfelelő polarizációs állapotának létrehozására fordítódik. Az eredmény azonos az elektrosztatikus kölcsönhatási energiára kapott kifejezéssel. Az elektromos energiasűrűség kifejezése lineáris közeg esetén. A kapacitás definíciója. Különböző elrendezések kapacitásának meghatározása. Sztatikus és kvázisztatikus mágneses mezők Bevezetés Stacionárius áramok által keltett mező. A kontinuitási egyenlet stacionárius áramokra. Mivel B= 0, a B mágneses indukcióvektor egy A vektorpotenciálból származtatható B = A szerint. A vektorpotenciál egyenlete ugyanolyan alakú, mint a skalárpotenciál egyenlete az elektrosztatikában. A sztatikus elektromos mezővel való analógia alapján rögtön fölírható a potenciálegyenlet megoldása. A Biot-Savart-törvény A vektorpotenciál rotációját véve az indukcióvektorra kapott kifejezés a jól ismert Biot-Savart törvény. A Biot-Savart törvény árammal átjárt vezetőre, és v sebességgel mozgó töltésre. Lokalizált árameloszlás mágneses tere A mágneses mező nagy távolságból első közelítésben olyan, mint egy elektromos dipólus tere. Mágneses momentumok. Áramhurok és mozgó töltés mágneses momentuma. A mágneses momentum ás a spin kapcsolata. Lokalizált árameloszlásra ható erő és forgatónyomaték külső mágneses mezőben. Mágneses tükrök. Energiaviszonyok, kvázisztatikus mezők A Faraday-féle indukciós törvény figyelembevétele, a kvázisztatikus mező közelítés. A mágneses mezőben tárolt energia, mint a mező fölépítéséhez szükséges munka. A mágneses energia és energiasűrűség kifejezése mágnesezhető közeg jelenlétében. Analógia az elektrosztatikus mezők megfelelő mennyiségeivel. Az ön- és kölcsönös indukció definíciója, egyszerű áramkörök indukciós együtthatónak meghatározása. 6

7 Elektromágneses síkhullámok, hullámterjedés A Maxwell-egyenletek fontos tulajdonsága az energiát szállító, haladó hullám alakú megoldások létezése. A legegyszerűbb és legalapvetőbb elektromágneses hullámok transzverzális síkhullámok. Csak a síkhullámok terjedésével foglalkozunk, a hullámok forrásainak vizsgálata az Elektrodinamika haladó kurzus témakörébe tartozik. Síkhullámok szigetelő közegben Elektromágneses síkhullám fogalma, tulajdonságai. A síkhullám megoldás kielégíti a hullámegyenletet, illetve a Maxwell-egyenleteket. Transzverzális jelleg, az energia kifejezése és energiaterjedés a síkhullámban. Monokromatikus síkhullámok. A síkhullám polarizációs tulajdonságai Monokromatikus síkhullámban az E és B vektorok végpontja szabályos görbét (ellipszist) ír le: a hullám elliptikusan poláros. Lineárisan és cirkulárisan polarizált hullámok. A fordított probléma adott síkhullám polarizációs állapotának meghatározása. A Stokes-paraméterekkel a hullám polarizációs állapotának felírása, geometriai szerkesztés. Elektromágneses hullámok áthaladása különböző közegek sík határfelületén Jól ismert és gyakorlati szempontból fontos az eltérő közegek sík határfelületén bekövetkező fényvisszaverődés és fénytörés jelensége. Kinematikai jellemzők: 1. A beesés szöge egyenlő a visszaverődés szögével. 2. Snellius-Descartes törvény. Dinamikai jellmezők: 1. A visszavert és megtört sugárzás intenzitása 2. Fázisbeli és polarizációs változások. A fenti törvények levezetése a határföltételi egyenletek felhasználásával. A reflexiós polarizáció. Teljes visszaverődés energiaviszonyai. Síkhullámok terjedése anizotrop közegben, a kettős törés. Anyagi egyenletek anizotrop közegben, a dielektromos tenzor tulajdonságai. Monokromatikus síkhullámok állapotvektorainak iránya a Maxwell-egyenletek alapján a kristályban. Az energia kifejezése, az energia terjedés iránya. Egyszerű geometriai modell a kettős törés meghatározására. Az optikai tengely fogalma, egy- és kéttengelyű kristályok. Dielektrikumok és vezetők diszperziós jellemzői A dielektromos állandó frekvenciafüggése miatt számos új jelenség lép föl a hullámok terjedésében. A megértéshez első lépés a dielektromos állandó 7

8 frekvenciafüggésének elemi modellje. Normális diszperzió és rezonáns abszorpció. Az elektromos vezetőképesség Drude-féle modellje. Alacsony frekvenciás határeset, magas frekvenciás határeset, a plazmafrekvencia. Síkhullámok terjedése vezetőkben. A szkin-effektus. Az elektromágneses sugárzás Az elektromágneses hullámok keltésének alapjait tárgyalja ez a fejezet. Az inhomogén hullámegyenlet levezetése a Maxwell-egyenletekből. Az inhomogén hullámegyenlet megoldásainak az ún. retardált potenciáloknak tulajdonságai. A legegyszerűbb sugárzó rendszer, a harmonikusan rezgő pontszerű dipólus vizsgálata. Az elektromos és mágneses erővonalak, a kisugárzott energia. 8

9 A speciális relativitáselmélet alapjai Bevezetés A speciális relativitáselmélet abból a kérdéskörből nőtt ki, hogy milyen vonatkoztatási rendszerben érvényesek az elektrodinamika törvényei, ezért tárgyaljuk az elektrodinamikához kapcsolódva. A relativitáselmélet túlnő az eredeti kérdéskör megválaszolásán, és ma egész fizikai világképünk alapjának tekintjük. Kidolgozásában jelentős szerepet játszott Lorentz, Poincaré, Laue, Planck és mások, a legfőbb érdem azonban Einstené. A vonatkoztatási rendszer kérdése a klasszikus mechanikában A vonatkoztatási rendszerről a Newton-axiómák adnak felvilágosítást. A Newtonaxiómák felidézése. Globális és lokális inerciarendszerek. A Galilei-féle relativitási elv szerint végtelen sok inerciarendszer létezik, az egymáshoz képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző rendszerek inerciarendszerek a mechanikai jelenségek szempontjából. Az inerciarendszerek kapcsolata a Galilei transzformáció. A newtoni mozgásegyenletek teljesítik a Galilei elvet. A vonatkoztatási rendszer kérdése az elektrodinamikában Már Maxwell tudta, hogy egyenletei nem invariánsak a Galilei transzformációval szemben. Egy példa: síkhullám fázisának változása. Következtetés: Ha a Galileitranszformáció igaz, akkor az elektrodinamika egyenletei kitüntetnek egy vonatkoztatási rendszert. Ez az éterhez rögzített rendszer. A Michelson-kísérlet az abszolút koordunátarendszer létezésének kimutatására szolgált. Próbálkozások a kísérlet kudarcának megmagyarázására. Einstein-posztulátumai: 1. Az ekvivalencia elve: Az inerciarendszerek a fizikai jelenségek szempontjából egyenértékűek, semmilyen fizika jelenség sem tüntet ki vonatkoztatási rendszert. 2. A fénysebesség állandóságának elve: a fény sebessége a forrástól és a vonatkoztatási rendszertől független fizikai állandó. A posztulátumok következményei: nincs abszolút idő. Az esemény (abszolút és relatív vonatkozások), a megfigyelő fogalma. Az idő, az időmérés, az órák szinkronizálása, azaz a koordinátarendszerben mért idő beállítása. Helykoordináták, a hosszúság mérése nyugvó és mozgó tárgyak esetén. Az egyidejűség, az idődilatáció, a hosszúságkontrakció szemléltetése egyszerű példákon keresztül. A Lorentz-transzformáció Az egymáshoz képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző vonatkoztatási rendszereket a Galilei-transzformáció helyett a Lorentz transzformáció kapcsolja össze. A Lorentz-transzformáció levezetése pusztán a posztulátumok felhasználása segítségével. Kiindulás: egy esemény hely- és időkoordinátái között lineáris 9

10 kapcsolatnak kell fennállnia. A Lorentz-transzformáció vizsgálata, kis sebességre visszaadja a Galilei-transzformációt, a fénysebesség határsebesség volta. A Lorentz-transzformáció következményei 1. A négyestávolság invarianciája. A négyestávolság két esemény távolsága a téridőben. 2. Az egyidejűség. Két esemény időbeli különbsége a koordinátarendszerektől függ. 3. Hosszúságkontrakció. Egy test x irányú hosszúsága abban a vonatkoztatási rendszerben a legnagyobb, ahol nyugszik. Példák hosszúságkontrakcióra, a mérés és látás különbsége. 4. Idődilatáció. Mozgó órák lassabban járnak. 5. Sajátidő. Abban a koordinátarendszerben mért idő, amelyben a részecske pillanatnyilag nyugszik. A sajátidő invariáns (koordinátarendszetől független). Egy kísérleti bizonyíték a müon élettartama. Az ikerparadoxon tárgyalása tér-idő diagrammal. 6. A relativisztikus Doppler-eltolódás. A frekvencia és a hullámszám transzformációja. 7. A sebességek transzformációja. A fénysebesség mint határsebesség. Relativisztikus mechanika A lendület relativisztikus alakja Egy bomlási példa kapcsán bemutatjuk, hogy a lendület alakja a relativitáselméletben nem lehet mv. A lendület relativisztikus alakjának megállapítása a posztulátumok és a Newtonaxiómákból következő (tapasztalati) tények alapján. Két pontszerű test rugalmas ütközésének elemzése tömegközépponti, majd az egyikkel együtt mozgő rendszerből. Erő, munka, kinetikus energia Az erő most is a test lendületének megváltozása. A kinetikus energiát kalsszikusan a munkatétel definiálja. A munka definíciója változatlan, így a munkatétel felírása a kinetikus energiát fogja megadni. A test teljes energiája, és a nyugalmi energia. Az energia és a lendület összefüggése. Az állandó gyorsulású mozgás relativisztikus tárgyalása. 10