A dinamikus geometriai rendszerek használatának egy lehetséges területe

Átírás

1 Fejezetek a matematika tanításából A dinamikus geometriai rendszerek használatának egy lehetséges területe Készítette: Harsányi Sándor V. matematika-informatika szakos hallgató Porcsalma, december 12.

2 A ruletták speciális, elsősorban műszaki alkalmazásaik miatt fontos síkgörbék, vizsgálatuk azonban számos geometriai érdekességet is tartogat számunkra. A ruletták ábrázolását, vizsgálatát jelentősen megkönnyítik a különféle geometriai szerkesztőprogramok. Ebben a cikkben szeretnék bemutatni néhány fontosabb rulettát, valamint rávilágítani azok egy szemléltetési lehetőségére a Geogebra dinamikus geometriai program segítségével. Vizsgálódásaim a mozgási geometria témakörébe tartoznak. A téma ugyan nem szerepel a közoktatás tananyagában, módszertani szempontból mégis hasznosnak és érdekesnek tekinthető. A mozgások megjelenítése, ábrázolása általában látványos animációkat eredményez, ezért módszertanilag alkalmas a tanulók érdeklődésének felkeltésére. A mozgások megjelenítéséhez a Geogebra program számos lehetőséget kínál. Mindezek tudatos felhasználásához azonban megfelelő rutinnal kell rendelkeznünk a választott geometriai szerkesztőprogram használatában. A rutin megszerzéséhez szükséges ismeretek elsajátításában kívánok segítséget nyújtani úgy, hogy részletesen ismertetem néhány ruletta előállításának technikai lépéseit a Geogebra program segítségével a dinamikus geometriai rendszer erre alkalmas eszközeinek szemléltetésével párhuzamosan. Legyenek adottak a g 1 és a g 2 síkgörbék! Rögzített g 1 mellett g 2 -t úgy mozgassuk el g 1 mentén, hogy mozgás közben a két görbe mindig érintkezzen egymással, azaz az érintkezési pontban közös legyen az érintőjük, valamint az érintkezési pont mindkét görbén állandó irányban haladjon! Ekkor, ha g 1 bármely két P 1 és P 2 pontjára és a g 2 -n nekik megfelelő P 1 és P 2 pontokra teljesül, hogy a P 1 P 2 ív egyenlő hosszú a P 1 P 2 ívvel, akkor azt mondjuk, hogy a g 2 görbe a g 1 görbe mentén csúszás nélkül gördül. Ha g 1 és g 2 két egymást fedő közös síkban van, g 1 síkját rögzítjük, g 2 -é viszont gördülés közben g 2 -vel együtt mozog, akkor a mozgó sík minden pontja egy pályagörbét ír le. Ezeket a görbéket nevezzük rulettáknak. A ruletták természetesen a g 1 és a g 2 görbék megválasztásától függően nagyon sokfélék lehetnek. Én most csak néhány, a gyakorlati alkalmazások szempontjából lényeges görbét szemléltetek. Példáimban g 1 és g 2 minden esetben kör, illetve egyenes lesz. Ha a g 1 görbe egyenes, a g 2 pedig kör, akkor gördülés közben g 2 síkjának pontjai cikloisokat írnak le. Cikloist ír le pl.: a mozgó kerékpár kerekének egy rögzített pontja is. Erre a rulettára néha a trochoid elnevezést is használjuk. Cikloisív szerkesztése a Geogebra program segítségével: A munkalapon vegyünk fel egy a gördülő kör sugarát definiáló szakaszt, és egy - a g 1 görbét reprezentáló, A és B pontokra illeszkedő egyenest (1. ábra)! 2

3 1. ábra. Ezek után vegyünk fel egy félegyenest és azon egy mozgó pontot (M) az elmozdulás mértékének manuális módosításához (2. ábra)! 2. ábra. 3

4 Az F 1 pont fix objektummá való átdefiniálása, és az F 2 pont elrejtése után határozzuk meg a gördülő kör középpontját! Ehhez körözzünk az A pontból a d(f 1, M) sugárral, és jelöljük ki a kör, illetve a g 1 egyenes metszéspontját (T)! Adott sugarú kör rajzolására a Circle[középpont, sugár] parancs input mezőbe való beírásával, és az ENTER billentyű leütésével utasíthatjuk a rendszert, ahol a középpont és a sugár formális paraméterek értékét a megfelelő aktuális paraméterértékekkel kell helyettesítenünk. A létrejött metszéspontban állítsunk merőlegest a g 1 egyenesre! A keresett kör középpontja (O) ezen az egyenesen fog elhelyezkedni a metszésponttól (T) d(r 1,R 2 ) távolságra (3. ábra). 3. ábra. A szerkesztés folytatása előtt a továbbiakban nem használt objektumokat az átláthatóság segítésére elrejthetjük! Szerkesszük meg a g 2 görbét reprezentáló O középpontú, d(r 1,R 2 ) sugarú kört! Nézzük meg, mi történik akkor, amikor a g 2 kör a g 1 egyenes mentén csúszás nélkül gördül! A gördülés kezdetén a kör az A pontban érinti a g 1 egyenest. Ha a gördülés csúszásmentes, és a kör egy későbbi helyzetében a kezdeti érintési pont (A) aktuális helyzetét P jelöli, akkor szűkségképpen d(a,t) = TP, ahol T jelöli az aktuális érintési pontot, TP pedig a kör megfelelő ívének hosszát. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a kezdeti érintési pont annyit fordul el a körvonalon, amennyit az érintési pont a g 1 egyenesen halad. A körvonalon mozgó P pont szerkesztéséhez a Geogebra beépített utasításként tartalmazza egy objektum forgatását, ha ismerjük a forgatás centrumát és az elforgatás szögét radiánban megadva. Ezt a szolgáltatást a Command 4

5 utasításcsoporton belül a Rotate[] utasítással érhetjük el, amelynek formális paraméterezése: Rotate[objektum, szög, centrum] (4. ábra). 4. ábra. A cikloisív megjelenítéséhez a P pont nyomvonalát kell kirajzoltatni az M pont mozgatása közben (5. ábra). 5. ábra. 5

6 További cikloisokat is megjeleníthetünk, ha nem kötjük ki, hogy a d(o,p) távolság egyezzen meg a gördülő kör sugarával. Ha a P pont a körrel együtt gördül, de nem illeszkedik annak körvonalára, akkor a mozgás során P hurkolt vagy nyújtott cikloist ír le, attól függően, hogy P a körön kívül, vagy azon belül helyezkedik-e el (6. ábra). 6. ábra. Legyen most a g 1 és a g 2 síkgörbe is kör! Ha g 2 a g 1 -et kívülről érintve gördül, akkor g 2 síkjának pontjai epicikloist írnak le. Ha a fix g 1 kör és a gördülő g 2 kör belülről érintkeznek, a létrejövő ruletták a hipocikloisok. Természetesen sokféle epiciklois és hipociklois elképzelhető attól függően, hogy a g 1 és a g 2 körök sugara hogyan aránylik egymáshoz, illetve a g 2 kör síkjának mely pontját tekintjük. Hipocikloisív megjelenítése a Geogebra program segítségével: Első lépésként vegyünk fel két szakaszt (r 1, r 2 ) a g 1 és a g 2 körök sugarának definiálására! A körök sugarát a későbbiekben interaktív módon a megfelelő szakaszok végpontjainak mozgatásával módosíthatjuk. Ezek után jelöljük ki a g 1 kör középpontját (O 1 ), mint fix objektumot, és szerkesszük meg a kört r 1 sugárral (7. ábra)! 6

7 7. ábra. Vegyünk fel egy félegyenest és azon egy mozgó pontot (M) az elmozdulás mértékének manuális módosításához (8. ábra)! 8. ábra. 7

8 Adjuk meg a két kör kezdeti érintési pontját (ábránkon az A-val jelölt pont), majd határozzuk meg az M pont F 1 -től mért távolságának függvényében az aktuális érintési pontot! Nézzük meg, mi történik akkor, amikor a g 2 kör a g 1 kör mentén csúszás nélkül gördül! A gördülés kezdetén a g 2 kör az A pontban érinti a g 1 kört. Azt szeretnénk, ha az M pontnak az F 1 ponttól mért d(f 1,M) távolsága esetén a g 1 és a g 2 körök aktuális érintési pontjára az alábbi összefüggés teljesülne: d(f 1, M) = AA, ahol A jelöli az aktuális érintési pontot, AA pedig a g 1 kör megfelelő ívének hosszát. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a kezdeti érintési pont annyit mozdul el a g 1 kör körvonalán, amennyit az M pont a félegyenesen halad. Az A pont megszerkesztéséhez határozzuk meg az elforgatás szögét, majd forgassuk el a kezdeti érintési pontot az O 1 pont körül a megadott szöggel negatív irányban! Használjuk a Geogebra korábban ismertetett beépített objektum forgató utasítását (9. ábra)! 9. ábra. Az aktuális érintési pontból (A ) állítsunk félegyenest a g 1 kör középpontján keresztül! A gördülő kör aktuális középpontja erre a félegyenesre fog illeszkedni az érintési ponttól r 2 távolságra. Szerkesszük meg a g 2 kör aktuális középpontját (O 2 ), majd a g 2 kört (10. ábra)! 8

9 10. ábra. A szerkesztés folytatása előtt a továbbiakban nem használt objektumokat az átláthatóság érdekében elrejthetjük (11. ábra)! 11. ábra. 9

10 A ruletták definíciója alapján a hipociklois aktuális P pontja úgy helyezkedik el a g 2 körvonalon, hogy a g 2 körön mért A P körív hossza megegyezik a g 1 körvonalon mért AA körív hosszával. Mivel a g 1 és a g 2 körök sugarának aránya és az A P, valamint az AA körívekhez tartozó középponti szögek aránya megegyezik, ez lehetőséget biztosít a P pont elforgatáson alapuló szerkesztésére. A P pontot úgy kapjuk meg, hogy A t elforgatjuk az O 2 pont körül az A O 1 A szög r 1 /r 2 -szeresével pozitív irányban (12. ábra). 12. ábra. A hipocikloisív megrajzolásához a P pont nyomvonalát kell megjeleníttetni az M pont mozgatása közben (13. ábra). 10

11 13. ábra. 11