CIKLOISOK GÖRBE A KÁVÉSCSÉSZÉBEN. Gabika és a Slepp július 25. Miskolci Herman Ottó Gimnázium

Átírás

1 CIKLOISOK GÖRBE A KÁVÉSCSÉSZÉBEN Gabika és a Slepp július 25. Miskolci Herman Ottó Gimnázium

2 Tartalomjegyzék Kausztikus görbék Ruletták, Cikloisok Egy kis tudománytörténet A cikloisok alapvető csoportosításai A közönséges ciklois Az Epiciklois A Hipociklois Cikloisok előfordulása

3 Hogy mi a kapcsolat a reggeli csésze kávéd, a Milánói dóm és Galilei között? Jelen előadásunk - többek között - erre is keresi a választ.

4 A KÁVÉBAN LÉVŐ GÖRBE MESÉJE

5 A kávéban lévő görbe meséje Biztosan mindannyian észrevettétek már azt a bizonyos görbét, ami a reggeli kávéscsészében rajzolódik ki a korai napsugarak első nyújtózkodásaik által.

6 A kávéban lévő görbe meséje Biztosan mindannyian észrevettétek már azt a bizonyos görbét, ami a reggeli kávéscsészében rajzolódik ki a korai napsugarak első nyújtózkodásaik által. Nem?

7 A kávéban lévő görbe meséje Biztosan mindannyian észrevettétek már azt a bizonyos görbét, ami a reggeli kávéscsészében rajzolódik ki a korai napsugarak első nyújtózkodásaik által. Nem?

8 KAUSZTIKUS GÖRBÉK

9 Kausztikus görbék Legyen adott az r(s) görbe és egy P pont. Bocsássunk fénysugarakat a pontból a görbére, ahonnan azok a fizikai törvénynek megfelelően visszaverődnek. Az így keletkezett egyparaméteres egyenessereg burkolóját (ha van), kausztikus görbének nevezzük.

10 Két speciális kausztikus görbe * Cardioid

11 Két speciális kausztikus görbe * Nefroid

12 Cardioid Olyan kausztikus görbe, mely tükröződő r(s) görbéje kör, s a pontszerű P fényforrás, mely létrehozza, rajta van a körön.

13 Cardioid Olyan kausztikus görbe, mely tükröződő r(s) görbéje kör, s a pontszerű P fényforrás, mely létrehozza, rajta van a körön. A megtört fénysugár és a kör metszéspontjának meghatározása: x(t) a cos(t)(1 cos(t)) y(t) a sin(t)(1 cos(t))

14 Cardioid a valóságban

15 Nefroid Olyan kausztikus görbe, mely tükröződő r (s) görbéje kör, s a pontszerű P fényforrás, mely létrehozza, egy végtelen távoli pont, azaz a fénysugarak párhuzamosan érkeznek a körre.

16 Nefroid Olyan kausztikus görbe, mely tükröződő r (s) görbéje kör, s a pontszerű P fényforrás, mely létrehozza, egy végtelen távoli pont, azaz a fénysugarak párhuzamosan érkeznek a körre. A megtört fénysugár és a kör metszéspontjának meghatározása: x(t) a(3 cos(t) cos(3t)) y(t) a(3 sin(t) sin(3t))

17 RULETTÁK

18 Csúszásmentes gördülés Adott λ 1 és λ 2 görbék esetén mozgassuk a λ 1 görbét a rögzített λ 2 görbe mentén úgy, hogy azok folyamatosan érintkezzenek a mozgás során. Ha a λ 1 görbe bármely P 1 és P 2 pontja közötti ívhossz megegyezik a λ 2 -beli, megfelelő P 1 és P 2 pontok közötti ívhosszal, akkor azt mondhatjuk, hogy a λ 1 görbe csúszásmentesen gördül a λ 2 görbén.

19 Ruletta A λ 1 és λ 2 görbék legyenek egy síkban. Ha a λ 1 görbe síkját rögzítjük és a λ 2 görbét síkjával együtt csúszásmentesen mozgatjuk a λ 1 mentén, akkor a λ 2 görbe síkjának tetszőleges kiszemelt P pontja egy pályagörbét, úgynevezett rulettát ír le. Ekkor λ 1 -et a ruletta alapgörbéjének, λ 2 -t generáló görbéjének, P-t generálópontjának nevezzük.

20 CIKLOISOK

21 Általános Ciklois Azt a görbét, amelyet egy irányított görbén csúszásmentesen legördülő kör egy meghatározott pontja ír le, általános cikloisnak nevezzük. Azaz, az általános ciklois egy olyan ruletta, amelynek a generáló görbéje egy kör.

22 Egy kis tudománytörténet A cikloisokat először Nicolaus Cusanus, német püspök vizsgálta az 1400-as években.

23 Egy kis tudománytörténet A cikloisokat először Nicolaus Cusanus, német püspök vizsgálta az 1400-as években. A pontos definíciójuk csak 100 évvel később tudta Marin Mersenne, francia szerzetes megadni.

24 Egy kis tudománytörténet A cikloisokat először Nicolaus Cusanus, német püspök vizsgálta az 1400-as években. A pontos definíciójuk csak 100 évvel később tudta Marin Mersenne, francia szerzetes megadni. Nevüket Galileitől kapták.

25 A cikloisok csoportosítása A cikloisok csoportosítása generálópontjuk elhelyezkedése szerint

26 A cikloisok csoportosítása A cikloisok csoportosítása generálópontjuk elhelyezkedése szerint Csúcsos ciklois A generálópont a generálókör körvonalán van.

27 A cikloisok csoportosítása A cikloisok csoportosítása generálópontjuk elhelyezkedése szerint Csúcsos ciklois A generálópont a generálókör körvonalán van. Nyújtott ciklois A generálópont a generálókör belső pontja.

28 A cikloisok csoportosítása A cikloisok csoportosítása generálópontjuk elhelyezkedése szerint Csúcsos ciklois A generálópont a generálókör körvonalán van. Nyújtott ciklois A generálópont a generálókör belső pontja. Hurkolt ciklois A generálópont a generálókörhöz rögzített, a körön kívül eső pont.

29 A cikloisok csoportosítása A cikloisok csoportosítása alapgörbéjük szerint

30 A cikloisok csoportosítása A cikloisok csoportosítása alapgörbéjük szerint Közönséges ciklois Az alapgörbe egyenes.

31 A cikloisok csoportosítása A cikloisok csoportosítása alapgörbéjük szerint Közönséges ciklois Az alapgörbe egyenes. Hipociklois A ciklois alapgörbéje kör, mely körön belül gördül végig a generálókör.

32 A cikloisok csoportosítása A cikloisok csoportosítása alapgörbéjük szerint Közönséges ciklois Az alapgörbe egyenes. Hipociklois A ciklois alapgörbéje kör, mely körön belül gördül végig a generálókör. Epiciklois A ciklois alapgörbéje kör, mely körön kívül gördül végig a generálókör.

33 KÖZÖNSÉGES CIKLOISOK

34 Közönséges ciklois Adott egy Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer, abban az y 0 egyenes (az x-tengely) és a x 2 + (y r) 2 r 2 kör. Ekkor ha ezt a kört végig szeretnék csúszásmentesen görgetni ezen az egyenesen, azt úgy tehetjük meg, hogy elforgatjuk ezt a kört a középpontja körül α szöggel negatív irányba, majd az ehhez a szöghöz tartozó ívhossz hosszával eltoljuk párhuzamosan az x-tengellyel pozitív irányba.

35 Közönséges ciklois K α P i B C 6.

36 Közönséges ciklois K α P i B C 6. α 2π 2 r π i

37 Közönséges ciklois K α P i B C 6. α 2π 2 r π i αr i

38 Közönséges ciklois Gördülés során a kör középpontja csak vízszintesen halad, azaz csak az x koordinátája változik, a szög függvényében:

39 Közönséges ciklois Gördülés során a kör középpontja csak vízszintesen halad, azaz csak az x koordinátája változik, a szög függvényében: K(α r, r)

40 Közönséges ciklois Gördülés során a kör középpontja csak vízszintesen halad, azaz csak az x koordinátája változik, a szög függvényében: K(α r, r) A körvonal egy általános pontja mind vízszintesen halad a körrel együtt, mind folyamatosan kering a kör középpontja körül r távolságban:

41 Közönséges ciklois Gördülés során a kör középpontja csak vízszintesen halad, azaz csak az x koordinátája változik, a szög függvényében: K(α r, r) A körvonal egy általános pontja mind vízszintesen halad a körrel együtt, mind folyamatosan kering a kör középpontja körül r távolságban: P(α r + cos(α), r + sin(α))

42 Közönséges ciklois Gördülés során a kör középpontja csak vízszintesen halad, azaz csak az x koordinátája változik, a szög függvényében: K(α r, r) A körvonal egy általános pontja mind vízszintesen halad a körrel együtt, mind folyamatosan kering a kör középpontja körül r távolságban: P(α r + cos(α), r + sin(α)) Egy szabadon választott ilyen P pont a mozgás során egy ciklois alakú pályán mozog.

43 Közönséges ciklois Ha éjjel egy világító led-et fogatunk a kerékpárunk egy küllőjére, majd nagyon gyorsan tekerünk vele, a led is egy fénycikloist fog kirajzolni az éjszaka sötétjébe.

44 Közönséges ciklois Ha éjjel egy világító led-et fogatunk a kerékpárunk egy küllőjére, majd nagyon gyorsan tekerünk vele, a led is egy fénycikloist fog kirajzolni az éjszaka sötétjébe. Ne próbáljátok ki otthon!

45 Közönséges ciklois Ha éjjel egy világító led-et fogatunk a kerékpárunk egy küllőjére, majd nagyon gyorsan tekerünk vele, a led is egy fénycikloist fog kirajzolni az éjszaka sötétjébe. Ne próbáljátok ki otthon!

46 EPI- ÉS HIPOCIKLOISOK

47 járól A GeoGebra egy könnyen használható geometriai és algebrai oktatóprogram. Kapcsolatot teremt a matekfüzetben lévő képletek és azok vizuális szemléltetései között. Remekül lehet vele függvényeket ábrázolni és animációkat készíteni.

48 A hipociklois generálókörének középpontja

49 A hipociklois generálókörének középpontja r 1 r 2 B (r 1 + r 2 )sinα α P A 0 2. (r 1 + r 2 )cosα

50 Az epiciklois paraméteres egyenlete ( ) x(t) (r 1 + r 2 ) cos(t) + d cos t r1 + 1 ( r 2 ) y(t) (r 1 + r 2 ) sin(t) + d sin t r1 + 1 r 2

51 A hipociklois paraméteres egyenlete ( ) x(t) (r 1 r 2 ) cos t + d cos t r2 r 1 r 2 ( ) y(t)(r 1 r 2 ) sin(t) + d sin t r2 r 1 r 2 (1) (2)

52 CIKLOISOK ELŐFORDULÁSA A NAGYVILÁGBAN

53 Cikloisok előfordulása a nagyvilágban - avagy mi értelme van ennek az egésznek? Már láthattuk, hogy a természetben is előfordulhatnak cikloisok (lásd: a kávés kezdésünk), de igazán jelentős szerepük a művészetekben és a technikai eszközökben mutatkozik meg. Ahogy a képzőművészet számos területén találkozhatunk cikloisokkal, úgy nem kevés technikai eszközben is felhasználták feltalálóik a cikloisokról megszerzett tudásukat. Lássunk néhány példát!

54 A brachistochrone probléma "Ha adott egy A pont és egy tőle alacsonyabban elhelyezkedő B pont, akkor melyik az az út a tér eme két pontja között, amelyet egy golyó az A pontból elindulva a legrövidebb idő alatt tesz meg (ha csak a nehézségi erő hat rá)?" - fogalmazódott meg a kérdés Galilei fejében, miközben híres, pisai ferde tornyos kísérletnek eredményeit nézegette.

55 A brachistochrone probléma "Ha adott egy A pont és egy tőle alacsonyabban elhelyezkedő B pont, akkor melyik az az út a tér eme két pontja között, amelyet egy golyó az A pontból elindulva a legrövidebb idő alatt tesz meg (ha csak a nehézségi erő hat rá)?" - fogalmazódott meg a kérdés Galilei fejében, miközben híres, pisai ferde tornyos kísérletnek eredményeit nézegette. Kérdését végül (többek között) Johann Bernoulli válaszolta meg: a pálya kezdőpontja egy ciklois tűhegyében van, s a golyó egy közönséges fél ciklois íven gördül le.

56 A brachistochrone probléma Érdekessége még ennek a problémának, hogy ha többször, különböző magasságokból is engedjük el ezt a golyót, bármilyen magasságból is indítsuk el, ha a mozgásának kezdőpontjai egyazon cikloison vannak, akkor ugyanannyi idő alatt fogja elérni a golyó a ciklois végpontját, B-t.

57 A brachistochrone probléma

58 Fogaskerekek Bizonyos fogaskerekek fogazat ciklois alakot követ.

59 Fogaskerekek Bizonyos fogaskerekek fogazat ciklois alakot követ. Ez azért előnyös, mert kis fogszámmal is gyárthatóak, így kis helyen nagy áttétel valósítható meg.

60 Fogaskerekek Bizonyos fogaskerekek fogazat ciklois alakot követ. Ez azért előnyös, mert kis fogszámmal is gyárthatóak, így kis helyen nagy áttétel valósítható meg. Kis méretük miatt főként mechanikus órákban használják őket.

61 Fogaskerekek

62 Cikloison alapuló 3D-s ábra Az ábrán látható kardioidon alapuló 3D szobrok a kardioidot előállító körök különböző szögű forgatásaival keletkeztek. Ez a két kép például ugyanazt a testet ábrázolja két különböző szemszögből.

63 Spirográf A spirográf által létrehozott virágok valójában nyújtott hipocikloisok, így látványos demonstrációs eszköz a hipocikloisok előállításának bemutatására.

64 A mandala A mandala szerkezetének lényege, hogy a motívum a középpontból indul ki, forgásszimmetrikus és ívekből épül fel. Ezen kritériumoknak az epi- és hipocikloisok teljes mértékben megfelelnek, így gyönyörű mandalák készítésére is alkalmasak.

65 A mandala A mandala szerkezetének lényege, hogy a motívum a középpontból indul ki, forgásszimmetrikus és ívekből épül fel. Ezen kritériumoknak az epi- és hipocikloisok teljes mértékben megfelelnek, így gyönyörű mandalák készítésére is alkalmasak.

66 Egy kis zene Az Amati és Stradivari hegedűk hátának görbülete a tökéletes hangzás elérésének érdekében zsugorított cikloisok.

67 Egy kis zene Az Amati és Stradivari hegedűk hátának görbülete a tökéletes hangzás elérésének érdekében zsugorított cikloisok.

68 Ciklois karakterisztikájú mikrofonok A gömb karakterisztikájú mikrofon nyitott, membránja mindkét oldalára hat a hangnyomás, minden irányból érzékel. Az úgynevezett irányított (pl. kardioid) karakterisztika főirányba maximális érzékenységű, egyéb irányokba fokozatosan gyengülő érzékenységű.

69 Kimbell Art Museum, Texas A texasi Kimbell Art Museum előkertjének tetőszerkezete is ciklois formát követ.

70 Milánói dóm A Milánói dómot figyelve is sokfelé vehetünk észre ciklois alakokat.

71 Milánói dóm

72 Milánói dóm

73 CIKLOISOK A TERMÉSZETBEN

74 Cikloisok a természetben (a kávén túl) A sejtek osztódásának speciális tulajdonságai miatt a természetben számtalan helyen találkozhatunk cikloisokkal.

75 Napraforgó magjainak elrendezo dése

76 Meggy vagy cseresznye alakja

77 Pávák tollazata

80 KÖSZÖNJÜK A FIGYELMET!