Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Érdekes síkgörbék. BSc szakdolgozat

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Érdekes síkgörbék BSc szakdolgozat Szerző: Locher Petra Matematika Alapszak, tanári szakirány Témavezető: Dr. Moussong Gábor adjunktus Geometriai Tanszék Budapest 014

2 1. Bevezetés Dolgozatom címének az Érdekes síkgörbék címet választottam. Érdeklődésemet a geometria, azon belül a síkgörbék iránt komolyabban a geometria kurzusok keltették fel, de már általános iskolában és gimnáziumban is csodáltam, hogy mennyi matematikai érdekességet, összefüggést lehet felfedezni egy-egy geometriai alakzat kapcsán. A síkgörbék tanulmányozása közben akadtam a kardioidra, ezt a klasszikus görbét szokás szívgörbének is nevezni. Lenyűgözött, hogy mennyiféleképpen és milyen érdekes módokon lehet ezt az egyetlen görbét előállítani, származtatni. Dolgozatom első részében ezeket a származtatásokat gyűjtöttem össze és vezetem le. A kardioid kapcsán ismerkedtem meg a Pascal-csigákkal, a kardioid rokonaival, az ő származtatásaikat gyűjtöttem össze a dolgozat második részében. Ezen származtatások sok esetben a kardioid egy-egy kibővített származtatása, vagy ahhoz nagyon hasonló. A Pascal-csigákkal Étienne Pascal 1 (Blaise Pascal édesapja) foglalkozott először tudományosabban, nevüket is róla kapták. Tanár szakos hallgatóként az is célom, hogy úgy írjam le, és vezessem le ezeknek a származtatásoknak a matematikai hátterét, hogy azt egy érdeklődő középiskolás is megértse. A dolgozatban felhasznált matematikai eszköztár több helyen ugyan túlmutat az általános matematikai érettségi követelményeken, de igyekeztem ezeket a részeket is úgy megfogalmazni, hogy az egy érdekelődő diák számára is érthető legyen. A dolgozatomban a tételek, állítások, bizonyítások, magyarázatok egyszerű megértéséhez igyekeztem szemléletes ábrákat készíteni. Ezen ábrák a GeoGebra nevű ingyenes matematikai program segítségével készültek. Köszönettel tartozom Moussong Gábor tanár úrnak, aki a 3 év folyamán a geometria kurzusokat tartotta, és felkeltette érdeklődésemet a matematika e területe iránt. Valamint köszönettel tartozom témavezetőmként, hogy türelmesen ötletekkel, tanácsokkal és magyarázatokkal segített abban, hogy szakdolgozatomat elkészíthessem. 1 Etienne Pascal ( ) Blaise Pascal ( ) nevéhez fűződik a binomiális együtthatók kiszámítása, valamint a Pascalháromszög is róla kapta a nevét. 1

3 . Kardioid Definíció: A kardioidot az R sugarú alapkör körül csúszásmentesen gördülő ugyanakkora R sugarú kör egy kerületi pontja írja le..1. Kardioid paraméteres, polárkoordinátás és egyenletes előállítása.1.1.paraméteres előállítás Először vizsgáljuk meg, hogy hogyan tudjuk a kardioid görbéjét paraméteresen előállítani. Rögzítsük az x, y tengelyű, derékszögű koordináta-rendszerben az origó középpontú egység sugarú kört. Ezt a kört tekintjük a kardioid alapkörének, nevezzük C- nek a koordináta-rendszerben (1,0) pontját, (ez rajta van a körön), és az ide mutató helyvektort c-nek. Ebből a C pontból indítjuk az alapkörön csúszásmentesen gördülő, szintén egység sugarú kör P pontját, ami leírja a kardioidot. Vegyük a kardioid egy P pontjának előállítását a G középpontú gördülőkör segítségével. Legyen t a szögelfordulás mértéke, aminek függvényében paraméterezzük a görbét. Nekünk a P pontba mutató helyvektorra van szükségünk a t szögelfordulás függvényében. A P pontba mutató helyvektort jelöljük r(t)-vel, ezt a vektort két vektor, az OG és GP vektor összegére bonthatjuk. Nevezzük B-nek a két kör érintkezési pontját és legyen b(t) a B pontba mutató helyvektor. A b(t) vektorról tudjuk, hogy egységhosszú és t szöggel fordul el a kiindulási helyzethez képest, tehát b(t) = (cos(t), sin(t)). OBG egy egyenesbe esik, mivel a körök érintkezési pontjában húzott érintő OB sugárra és GB sugárra is merőleges. Ebből következik, hogy OG vektor b(t).

4 A G középpontból P-be mutató vektort nevezzük v(t)-nek. A v(t) vektor a c vektorhoz képest π + t forgásszöggel fordul el, ami könnyen belátható a G ponton áthaladó x tengellyel párhuzamos e egyenes segítségével. Ugyanis COB irányszög (e egyenes és GO egyenes által meghatározott) váltószöge is t, illetve BGP irányszög is t, hiszen CB körívvel ugyanakkora körívhez tartozó szög. A v(t) vektort ezekből következően felírhatjuk úgy, hogy v(t)= (cos(t + π); sin(t + π)). A trigonometriai azonosságokat felhasználva: v(t)=( - cos(t), - sin(t)). Az r(t ) = b(t) + v(t), tehát r(t) = (cos(t) - cos(t), sin(t) - sin(t)), vagyis x(t) = cos(t) - cos(t); y(t) = sin(t) - sin(t). 3

5 .1.. Polárkoordinátás előállítás A kardioid polárkoordinátás egyenletét egy olyan koordináta-rendszerben célszerű felírni, ahol a kardioid csúcsa az origóban van, szimmetriatengelye pedig az x tengely: r = a (1 + cos ). Mi az előbbi paraméteres levezetéshez képest egy 180 fokkal elfordított, egy egységgel eltolt kardioidot fogunk vizsgálni. Polárkoordinátás előállítását tehát ily módon paraméterezett kardioid segítségével nézzük meg. Vegyük a derékszögű koordinátarendszerben az O(1,0) középpontú, egységsugarú k alapkört. A gördülőkörnek nézzük azt az állását, amikor az x tengelyen B 0 (,0) pontban érinti az alapkört, a gördülőkör G 0 középpontja a (3,0) koordinátaponton van, P rajzolópontja pedig az érintési ponttal átellenes (4,0) ponton. Tekintsük most ezt kiindulási helyzetnek. Vegyük a gördülőkörnek egy későbbi tetszőleges állását, és vizsgáljuk meg abban a rajzolópont helyzetét. Szintén a P pontba mutató r(t) helyvektorra van szükségünk, amit az előbbi levezetéshez hasonlóan b(t) + v(t) vektor ad. Ebben az esetben azonban v(t) vektor t szögelfordulással megy a P pontba, ugyanis t = 0 helyzetben a két vektor (OB 0 és G 0 P vektor) állása azonos, és B 0 OB irányszög (e egyenes és OG egyenes által meghatározott) egyállású szöge is t, valamint a körívek egyenlősége miatt v(t) t szöggel fordul el a b(t) vektorhoz képest. Illetve abban is különbözik az előbbi paraméterezéstől, hogy az x tengelyen egy egységgel eltoltuk az alapkör középpontját. 4

6 Ha t paramétert -vel helyettesítjük, akkor a két paraméteres koordináta: x p = 1+ cos + cos +cos = 1 + cos + cos y p = sin + sin + sin = sin + sin Alakítsuk át a cos - t és sin -t. cos = cos² sin² = cos² (1- cos² ) = cos² -1 sin = sin cos. Ezt behelyettesítve: x p = 1 + cos + cos² -1 = (1+ cos ) cos y p = sin + sin cos = (1+ cos ) sin. Legyen r = (1+ cos ), a -es konstans az alapkör átmérőjének hossza, vagyis a = R, általánosabban r = a(1+ cos ). Mivel x p = r cos, y p = r sin, ez az x és y tengelyre vonatkozó vetület, így r = a(1+ cos ) valóban a polárkoordinátás egyenlete a kardioidnak. 5

7 .1.3. Kardioid egyenlete A kardioid egyenletét a polárkoordinátás egyenlethez hasonlóan olyan koordinátarendszerben célszerű felírni, amelyben a kardioid csúcsa az origóban van, szimmetriatengelye az x-tengely. Ha a koordináta-rendszert így választjuk, akkor a kardioid egyenlete: (x²+ y²) ² 4Rx(x²+ y²) 4R² y² = 0, (ahol R az alapkör sugara). Ezt ellenőrizni is fogjuk a megfelelő paraméteres egyenlet segítségével. Leolvashatjuk az egyenletből, hogy a kardioid egy negyedrendű görbe. A görbe egyenletét ekvivalens műveletekkel tovább alakítva egy másik alakra hozhatjuk: ((x² + y²) ² (x² + y²)rx + 4 R²x²) 4 R²x² 4R² y² = 0. Ami: (x² + y² Rx) ² = 4R²(x²+ y²). 6

8 Ellenőrzés a paraméteres előállításból A kardioid egyenlete (x²+ y²) ² 4x(x²+ y²) = 4 y², R = 1 esetben. Ez tehát egy olyan kardioid, amelynek csúcspontja az origóba esik, és alapkörének középpontja az (1,0) koordinátán van, tehát a polárkoordinátás felíráshoz használt paraméterezésből indulhatunk ki. x(t) = cos(t) + cos(t) + 1; y(t) = sin(t) + sin(t); A trigonometriai azonosságok közül: A cos(t) = cos²(t) 1, a sin(t) = cos(t) sin(t), valamint a sin²(t) + cos²(t) =1-et fogjuk használni. x = cos(t) + cos(t) + 1 = cos(t) + cos²(t) Tehát x² = ( cos(t) + cos²(t))² = 4 cos 4 (t) + 8 cos 3 (t) + 4 cos²(t). 4x = 8 cos²(t) + 8 cos(t). y = sin(t) + sin(t) = sin(t) + cos(t) sin(t). Az y² = (sin(t) + cos(t) sin(t))² = 4sin²(t) + 4 sin(t) cos(t) sin(t) + ( cos(t) sin(t))² = = 4(1 cos²(t)) + 8 (1 cos²(t)) cos(t) + 4 cos²(t) (1 cos²(t)) = = 4 4 cos²(t) 8 cos 3 (t) + 8 cos(t) + 4 cos²(t) 4 cos 4 (t). Tehát y² = 4 cos 4 (t) 8 cos 3 (t) + 8 cos(t) y² = 16 cos 4 (t) 3 cos 3 (t) + 3 cos(t) x² + y² = 4 cos²(t) + 8 cos(t) + 4 = 4(cos(t) + 1)² (x² + y²)² = 16(cos(t) + 1) 4 = 16(cos 4 (t) + 4 cos 3 (t) + 6 cos (t) + 4 cos(t) + 1). (x² + y²) 4x= ( 4 cos²(t) + 8 cos(t) + 4) (8 cos²(t) + 8 cos(t)) = = 3 cos 4 (t) + 96 cos 3 (t) + 96 cos (t) + 3 cos(t). (x²+ y²) ² 4x(x²+ y²) = 16 cos 4 (t)+ 64 cos 3 (t) + 96 cos (t) + 64 cos(t) cos 4 (t) + 96 cos 3 (t) + 96 cos (t) + 3 cos(t) = 16 cos 4 (t) 3 cos 3 (t) + 3 cos(t) Ezzel beláttuk, hogy a paraméteresen adott kardioid minden pontja kielégíti (x²+ y²) ² 4x(x²+ y²) = 4 y² egyenletet, azaz az egyenlet megadja a kardioid összes pontját. Azt, hogy a megadott egyenlet a kardioid pontjai mellett nem tartalmaz más 7

9 pontokat könnyen belátható úgy, hogy egy tetszőleges origón átmenő egyenes és a megadott egyenlet metszéspontjainak számát vizsgáljuk. Az origón átmenő egyenes egyenlete y = ax. Ezt behelyettesítve a megadott egyenletbe kapjuk, hogy: (x ²+ a²x ²)² 4x(x²+ a²x ²) = 4 a²x² x² x² (1+ a²) 4x x²(1+ a²) 4 a²x² = 0. x² ((1+ a²) x² 4 (1+ a²) x 4 a²) = 0. Ennek az egyenletnek az x = 0 gyökön kívül pontosan két gyöke van, ha a 0, illetve egy, ha a = 0. Hasonlóképpen ellenőrizhető (x = 0 behelyettesítésével), hogy az y-tengelyen is csak 3 pontja van a görbének. Ezekből már következik, hogy az egyenlettel megadott pontok csak a kardioid pontjai, hiszen a paraméteresen megadott kardioidnak és egy origón átmenő egyenesnek is maximum 3 metszéspontja lehet. 8

10 3. Kardioid származtatásai 3.1. Kardioid, mint ciklois - epiciklois Ciklois(íve)t ír le egy tetszőleges görbén csúszásmenetesen gördülő körhöz rögzített, vizsgált pont. A görbét alapgörbének, a gördített kört generálókörnek vagy gördülőkörnek nevezzük. A rögzített pont elhelyezkedése szerint beszélhetünk, nyújtott, hurkolt vagy közönséges cikloisról. Ha a rögzített pont a generálókörön belül helyezkedik el, akkor nyújtott cikloist kapunk. Ha a rögzített pont a generálókörön kívül helyezkedik el, akkor hurkolt cikloist kapunk. Ha a rögzített pont a generálókör egy kerületi pontja, akkor közönséges cikloisnak nevezzük a kapott görbét. Ha az alapgörbe kör, a rögzített pont a generálókör egy kerületi pontja, és a gördülő kör belülről érinti az alapkört hipocikloist kapunk. Ha az alapgörbe kör, a rögzített pont a generálókör egy kerületi pontja, és a gördülő kör kívülről érinti az alapkört epicikloist kapunk. Tehát az epicikloist az R sugarú alapkör körül csúszásmentesen gördülő r sugarú kör egy kerületi pontja írja le. A ciklois csak akkor lesz zárt görbe, ha alapköre és generálóköre sugarának aránya racionális. A kerületek aránya fogja meghatározni, hogy hány körbefordulás után záródik a ciklois pályája, azaz hány csúcsa lesz a cikloisnak. Abban az esetben r = R megegyezik, a kardioid görbéjét kapjuk. A kardioid esetében a körkerületek egyenlősége miatt a gördülő kör egy körbeérése után záródik a görbe, a kardioidnak tehát egy csúcsa van. Ez a definíció szerinti származtatás - miszerint az R sugarú alapkör körül gördülő ugyanakkora kör egy kerületi pontjára írja le a kardioidot egy nagyobb görbecsaládból kiindulva vezet el a kardioidhoz. A következő ábrákon epicikloisokra és hipocikloisokra láthatunk példákat. 9

11 Epicikloisok: (r: R = 1 :1- nefroid; 3 1 :1; 4 1 :1) További példák epicikloisokra: Hipocikloisok: (r: R = - 1 :1; :1-Steiner-ciklois; :1-asztrois) További példák hipocikloisokra: 10

12 3.. Kardioid származtatása a csúcspont tükörképeként Tükrözzük az alapkör minden érintőjére az alapkör egy rögzített C kerületi pontját. A kapott C pontok kardioidot alkotnak, amelynek C lesz a csúcsa. Legyen k alapkör középpontja O, egy kerületi pontja C, ahonnan a gördülőkör rajzolópontja indul, és a g gördülőkör középpontja G. Vegyük a gördülőkör egy tetszőleges helyzetét, és a két kör érintkezési pontját nevezzük B-nek. Vizsgáljuk meg B-ben a körök érintőjét. Ha tükrözzük C pontot az érintőre, akkor C pont éppen a gördülőkör rajzolópontja lesz, hiszen a két kör sugara ugyanakkora, CB és C B körív egyelőek, egymás tükörképei a B pontbeli érintőre nézve. Így a kör egy rögzített pontjának a kör érintőire vonatkozó tükörképei is kardioidot rajzolnak ki. 11

13 3.3. Kardioid származtatása talpponti görbeként A kardioid származtatható talpponti görbeként is. Induljunk ki egy R sugarú k 1 körből. Ezt valamelyik C kerületi pontjából kétszeresére nagyítva kapjuk a k kört. A k kör érintőire C-ból bocsátott merőlegesek F talppontjainak mértani helye a kardioid. Ez a származtatás visszavezethető az előbbi - a kardioid pontjainak, a csúcspont alapkör érintőire vett tükörképeként való - származtatására. Ugyanis a megfelelő érintőket is kétszeresére nagyítottuk, és mivel a nagyítás minden egyenest egy vele párhuzamos egyenesbe visz, F pont pontosan a k 1 kör megfelelő (k kör F ponton átmenő érintőjével párhuzamos) érintőjére vett tükörképe a kardioid C csúcspontjának. 1

14 3.4. Kardioid érintője A következő származtatáshoz vizsgáljuk meg a kardioid érintőit. Legyen k alapkör középpontja O, és g gördülőkör középpontja G. B a két kör pillanatnyi érintési pontja. Nevezzük A pontnak a gördülőkörön a B-vel átellenes pontot. Legyen e a kardioid egy P pontbeli érintője. Tétel: A kardioid P pontbeli érintője átmegy A ponton (vagyis a gördülőkörön a két kör érintési pontjával átellenes ponton). Biz: Mivel az alapkörön csúszásmentesen gördül a generálókör, P pont pillanatnyi mozgása tekinthető körmozgásnak a két kör pillanatnyi érintési pontja, (B pont) körül. Ezt szokás gördülési elvnek nevezni. A síkbeli mozgatások közül a forgatások azok, melyeknek van fixpontja, ez a fixpont pedig a forgatás középpontja. Az adott pillanatban a csúszásmentesség miatt B pont a gördülés fixpontja, ezért a P pont pillanatnyi mozgása azonos a B középpont körül BP sugárral való forgatással. A P pont elmozdulásának iránya merőleges a gördülési középpontból, B-ből, a P pontra húzott vektorra, hiszen P mozgása felírható a B pont, mint középpont körüli pillanatnyi elfordulásainak egymásutánjaként. Így BP szakaszra merőleges egyenes tényleg érintője a kardioidnak. Ebből már könnyen adódik, hogy a kardioid érintője átmegy az A ponton. Ugyanis tekintsük BPA háromszöget, amelyik a Thalesz tétel miatt merőleges. Ennek a g körbe írt 13

15 háromszögnek AB (a g kör átmérője) az átfogója, tehát BP egyenese merőleges a PA egyenessel. Tehát a P pontbeli érintő és PA egyenesek egybeesnek, azaz PA egyenes a kardioid P pontbeli érintője. Még egy dolgot kell definiálni a kardioid érintőjével kapcsolatban. A kardioidnak a csúcspontjában a hagyományos értelembe vett, azaz sebességvektorral származtatható érintője nincsen, hiszen itt a pillanatnyi sebessége zérus. Ezért definiáljuk külön a csúcspontban is a kardioid érintőjét, ami legyen az OC egyenese. OC egyenese adódik a C pontbeli érintőként, ha a kardioid szomszédos érintőinek határhelyzetét vizsgáljuk. (Ebben az esetben B pont egybeesik a P ponttal, így BA és PA egyenes egybeesik.) 3.5. Burkológörbék A burkológörbe fogalmára több további származtatáshoz is szükségünk lesz. Az egyenessereg vagy körsereg burkológörbéjén azt a görbét értjük, amely minden pontjában érinti az egyenessereg vagy körsereg egy görbéjét, és a burkológörbe a egyenessereg vagy körsereg minden tagját érinti. Tehát egy síkgörbe érintőseregének a burkolója például maga a síkgörbe. Megjegyzés: A burkológörbék létezését és egyértelműségét az analízis módszereivel vizsgálhatjuk. Nincs minden görbeseregnek burkológörbéje (például ha vizsgálunk egy sugársort, annak nyilvánvalóan nincsen burkológörbéje). De a görbeseregre vonatkozó bizonyos simasági és nemelfajulási feltételek teljesülése esetén differenciálegyenletek felhasználásával igazolható, hogy a burkológörbe létezik és egyértelmű. A dolgozatban azonban ennek vizsgálatára nem térek ki. Nézzünk pár érdekes példát a görbesereg burkológörbéjére: Először vizsgáljuk egy olyan egyenessereg burkológörbéjét, amely következőképpen keletkezik. Vegyünk egy C pontot és egy v egyenest. A C pontot kössük össze a v egyenes minden pontjával. Vegyük az így keletkezett szakaszok felezőmerőlegesét. Állítás: Ezen felezőmerőlegesek egyenesseregének burkolója parabola. Vizsgáljuk meg tehát ezen egyenessereg burkológörbéjét. 14

16 A paraboláról tudjuk, hogy fókusza, az adott C pont és vezéregyenese, az adott v egyenes egyenlő távolságra vannak a parabola pontjaitól. Vegyünk egy f felezőmerőlegest, legyen Q az a pont, ahol a felezőmerőlegest származtató egyenes metszi a vezéregyenest. Q pontból v-re állított merőleges metssze P-ben az f felezőmerőlegest. Legyen T, ahol f felezőmerőleges metszi CQ egyenesét. PTC háromszög egybevágó TPQ háromszöggel, hiszen két oldalának hossza és közéjük zárt szögük megegyezik, ezért PC szakasz is egyenlő PQ szakasszal, tehát P a parabola pontja, valamint QPT szög megegyezik TPC szöggel ezért f egyenes valóban a parabola érintője. 15

17 Másodszor vegyünk egy k kört és a körön belül egy adott C pontot. Vizsgáljunk meg C pontból k körhöz húzott felezőmerőleges egyenessereg burkológörbéjét. Állítás: Ezen egyenessereg burkológörbéje ellipszis, amelynek az adott C pont az egyik fókusza. Nézzük meg C pontból a kör egy pontjával összekötött egyenes f felezőmerőlegesét. Legyen T, ahol a felezőmerőleges és az azt származtató egyenes metszi egymást. Legyen Q, ahol a felezőmerőlegest származtató egyenes metszi k kört, és a k kör O középpontjából húzzunk egyenest Q-n át. Legyen P, ahol f-et ez az OQ egyenes metszi. TCP és TQP háromszögek egybevágóak, mert két oldaluk (TC és TQ, valamint TP) ugyanakkora, és közrezárt szögük is derékszög. Így TPC szög és TPQ szög ugyanakkorák, QP szakasz CP szakasz tükörképe a felezőmerőleges egyenesére. Ez bármelyik felezőmerőlegessel megcsinálható, CP + OP távolsága mindig r állandó lesz, tehát P az ellipszis pontja, a kör O középpontja pedig a másik fókusz. Az is belátható, hogy f felezőmerőleges a P pontbeli érintője, ugyanis, CPT szög megegyezik azzal a szöggel, aminek egyik szögszára f, a másik PO egyenese. 16

18 Ha C pont a körön kívül helyezkedik, akkor a C pont és a kör pontjait összekötő szakaszok felezőmerőlegesei hiperbolát burkolnak. Ennek bizonyítása az ellipszis burkolóként való előállításával analóg. 17

19 3.6. Kardioid, mint egyenessereg burkolója Tétel: A 3R sugarú körpályán keringő A pont körül -szeres szögsebességgel forgó egyenes érinti a kardioidot, egy ilyen módon előállított egyenessereg burkolója tehát kardioid. Ezt a következőképpen láthatjuk be: Ha P pont szöggel fordult el a kiindulási helyzethez képest, tehát OGP szög, akkor OAP szög, mivel OAP szög a BP körívhez, vagyis az OGP központi szöghöz tartozó kerület szög. Vizsgáljuk meg az érintő elfordulását a kiindulási helyzethez képest. Az érintő is elfordult szöggel (OA egyenes szöggel való elfordulása) és ezen kívül még -vel (PA és OA egyenes szöge) is elfordult. Így az érintő + szöget fordult el, -t kiemelve 3 szögel fordult el, míg a kadioid P pontja csak -vel. Ez az oka annak, hogy a 3R (OB+BG+GA) sugarú körpályán A pont körül keringő egyenes érinti a kardioidot. 3 -szeres sebességgel forgó 18

20 3.6.. Kardioid, mint a kétszeres sugarú gördülő kör rögzített átmérőjének burkolója Ha az alapkörön gördülő, kétszer akkora sugarú kör rögzített átmérőjét követjük nyomon, akkor ezen átmérők burkolója szintén kardioid. Nevezzük k körnek az alapkört, és l-nek a kétszeres sugarú gördülő kört. Jelöljük A-val az l kör középpontját, D-vel egy rögzített átmérő egyik végpontját, és vegyük kiindulási helyzetnek, amikor D a két kör metszéspontja. Vizsgáljuk meg az átmérő elfordulását egy tetszőleges helyzetben. CB ív megegyezik BD körívvel, mivel a két kör egymáson csúszásmentesen gördül. Ha CB körív forgásszöghöz tartozik a k alapkörben, akkor BD körív központi szöghöz fog tartozni, mert a gördülő kör sugara kétszerese az alapkörnek. Így a kétszer akkora sugarú kör átmérője + szöget fordult el, vagyis a kétszeres sugarú kör átmérővel is a kardioid érintőit származtattuk. 19

21 3.7. Kardioid evolutája és evolvense Evoluta: Adott egy reguláris (differenciálható és a deriváltja sehol sem 0) görbe. A görbületi középpontok (simulóköröknek középpontjainak) mértani helyét a görbe evolutájának nevezzük. Evolvens: Adott egy reguláris görbe. Fejtsük le egy Q pontjától kezdve a görbét, azaz minden P pontjában a P-beli érintőre mérjük fel a görbe Q-tól P-ig terjedő ívhosszát. A kapott Q pontok alkotta görbét a Q ponthoz tartozó evolvensnek, vagy lefejtési görbének nevezzük. Megjegyzés: Egy görbének sokféle evolvense van, attól függően, hogy melyik ponttól kezdjük a lefejtést. Ha egy f görbe a h görbének evolutája, akkor h görbe az f görbének evolvense. A továbbiakban szükségünk lesz néhány definícióhoz, amelyek segítségünkre lesznek a kardioid evolutájának levezetésében. Definíciók: Sebességvektor A sebességvektor egy olyan vektor, melynek iránya a pályagörbe mindenkori érintőjének irányával megegyező, nagysága a pillanatnyi sebesség nagysága. A sebességvektor az elmozdulás idő szerinti első deriváltja. Egy paraméteres síkgörbe sebességvektora tehát a t 0 pontban r'(t 0 ). Sebessége ebben a pontban: v(t 0 ) = r'(t 0 ). Érintő Egy görbe érintőjét többféle megközelítéssel is definiálhatjuk. Először szemléletesen, ezt már korábban használtuk is. A görbe kiválasztott P pontja környezetében válasszuk ki a görbe két különböző pontját, P1, P. E két ponton át húzható egy egyenes (szelő), és az érintő ennek az egyenesnek a határesete, amint P1 és P tartanak a P ponthoz. De az evoluta számításához egy másik megközelítésre van szükségünk. Tegyük fel, hogy az r paraméteres síkgörbe reguláris a t 0 pontban. A görbe t 0 -hoz tartozó érintőjén azt az egyenest értjük, amely áthalad az r(t 0 ) ponton, és irányvektora az r'(t 0 ) sebességvektor. 0

22 Az érintő irányú, egység hosszúságú vektort jelöljük e(t)-vel. Az e(t) = r'(t) r'(t). Görbület Egy pontbeli görbület alatt az érintő irányváltozásának a pálya menti sebességét értjük, azaz az irányszög ívhossz szerinti első deriváltja lesz. det (r'(t), r''(t)) Egy síkgörbe adott pontjához tartozó görbületét a ( t) összefüggés 3 v (t) segítségével számolhatjuk ki. Normális egységvektor: A t 0 -beli normális egységvektor az érintő irányú egységvektor +90º-os elforgatottja. Jele: n(t 0 ). Simulókör A simuló kör definiálásához válasszunk ki 3 nem egy egyenesbe eső pontot a P környezetében: P1, P, P3. Tegyük fel, hogy P-ben a görbület nem 0. Egyetlen kör van, ami az előbbi három ponton átmegy. Ennek a körnek a határesete a simuló kör, amint P1, P és P3 tartanak P-hez. Ismeretes, hogy a görbe P pontbeli érintője megegyezik a simulókör érintőjével és P pontbeli görbülete a simulókör görbületével. Ha a görbét paraméterezzük t paraméter szerint és P = r(t 0 ) valamint feltesszük, hogy ( t 0 ) 0 akkor a síkgörbe t 0 -beli 1 simulókörén az r(t 0 ) n(t 0 ) középpontú, (t ) 0 1 (t 0 ) sugarú kört értjük. 1

23 Állítás: 1 A kardioid evolutája egy fordított állású (180 fokkal elforgatott), -ára kicsinyített 3 kardioid. Ha a kardioid csúcspontjával átellenes pontját vesszük a lefejtés kezdőpontjának, akkor evolvense egy szintén fordított állású, 3-szorosára nagyított kardioid. A kardioid evolutájának egy paraméteres egyenletét fogjuk levezetni az alábbi számítással. Egy r(t) paraméteres görbe evolutája, a görbe görbületi középpontjainak helye, az 1 r(t) n(t) összefüggés segítségével kiszámolható. (t) Vegyük a kardioid egy paraméterezését. x(t) = cos(t) cos(t), y(t) = sin(t) sin(t), r(t) = (cos(t) cos(t), sin(t) sin(t)). Ennek deriváltja, azaz sebességvektora: r '(t) = ( sin(t) + sin(t), (cos(t) cos(t)) Sebessége: v(t) = r '(t) = (-sin(t) sin(t)) (cos(t) - cos(t)) = (4sin (t) - 8sin(t)sin(t) 4sin (t) 4cos (t) 8 cos(t) cos(t) 4cos (t)) = 8-8 sin(t)sin(t) - 8 cos(t) cos(t) = 8-8 (sin(t)sin(t) cos(t)cos( t) = = 8 (1- cos(t - )) = 8 (1- cos(t)). Számoljuk ki normálvektort.

24 (-cos(t) cos(t),-sin(t) sin(t)) n(t) = 8(1 cos(t)) A görbület kiszámításához számoljuk ki r ''(t) -t és det( r'(t),r''(t)) -t, majd számoljuk ki a görbületet. r ''(t) = (-cos(t) + 4cos(t), - sin(t) + 4sin(t)) det( r'(t),r''(t)) = = ((sin(t) -sin(t)) (4sin(t) - sin(t)) (cos(t) cos(t)) (4cos(t) -cos(t))) = = (8 sin (t) 4 sin(t)sin(t) 8 sin(t)sin(t) + 4sin (t) ) (8 cos(t) cos(t) - 4cos (t) - 8cos (t) + 4 cos(t) cos(t)) = = 8 sin (t) + 8cos (t) + 4sin (t) + 4cos (t) 1 sin(t)sin(t) 1 cos(t) cos(t) = = 1 1 (sin(t)sin(t) + cos(t) cos(t)) = 1 (1 cos(t)). 1(1 cos(t)) (t) = 3 8(1 cos(t)) 3. 8(1 cos(t)) Az evoluta paraméteres görbéje ebből: 1 evoluta (t) = r(t) n(t) azaz (t) = cos(t)cos(t), sin(t)sin(t)) + 8(1 cos(t)) 1 + ((-cos(t) cos(t)), (-sin(t) sin(t))) 3 8(1 cos(t)) = 3 1 ((6cos(t)- 3cos(t), 6sin(t) - 3sin(t)) + (-4cos(t) + 4 cos(t)), (-4sin(t)+ 4sin(t))) = = 3 1 (cos(t) + cos(t), sin(t) + sin(t)). Ez a kiindulási kardioid egyharmadára kicsinyített, fordított állású kardioidja, amit ellenőrizhetünk úgy, hogy t helyébe helyére (t + π) -t helyettesítünk, mivel t a forgásszöget méri, ez 180 fokos elforgatást jelent. 1 (cos(t + π) + cos(t + π), sin(t + π) + sin(t + π)) = 3 = 3 1 (- cos(t) + cos(t), - sin(t) + sin(t)). Ennek a kardioidnak pedig az egyik evolvense a kiindulási kardioid. Tehát a megfelelő kiindulási ponttól, azaz a csúcsponttal átellenesen vett pontból induló lefejtés egy háromszorosára nagyított fordított állású kardioidot eredményez. 3

25 3.8. kardioid származtatása körök burkolójaként Tétel: Tekintsük azon körök burkolóját, amelyek középpontja illeszkedik egy adott körre és valamennyien átmennek a kör egy rögzített pontján. Így egy olyan kardioidot kapunk, aminek a csúcsa a rögzített pont. Legyen C a kardioid csúcspontja, vagyis a kiindulási helyzet, amikor a P rajzolópont az alapkörön van. Vegyük az O középpontú alapkört és G középpontú generálókör egy tetszőleges állását. Nevezzük B-nek a két kör metszéspontját. Tudjuk, hogy a kardioid P pontbeli érintője merőleges a BP egyenesre, (mivel a gördülési elv szerint B pillanatnyi középpont.) Rajzoljuk meg a B középpontú, BP sugarú kört l kört. Ez az l kör átmegy C ponton, mivel P a C pont tükörképe a B pontbeli érintőre nézve, tehát BP = BC. Ennek a B középpontú, BP sugarú körnek P pontbeli érintője a kardioid P pontbeli érintőjével megegyezik, (hiszen a kardioid érintője és a kör érintője is merőleges P-ben BP-re). Tehát azon körök burkolója, amelyeknek a középpontja az alapkörön van és átmennek a C ponton valóban kardioid. 4

26 3.9. Inverzió A következő előállításhoz inverziót és az inverzió tulajdonságait fogjuk használni. Definíció: Legyen adva egy O középpontú r sugarú kör. Ezt a kört nevezzük az inverzió alapkörének, az O pontot meg az inverzió pólusának, r²-et meg az inverzió hatványának. Ha a P pont nem azonos O-val, akkor a P ponthoz hozzárendeljük OP félegyenesnek azt a P pontját, amelyre OP OP = r². Egységsugarú körre vonatkozó inverzió esetében, ha a P pont x távolságra van az origótól, 1 1 akkor a P pont inverze P távolságra lesz a pólustól, mivel x =1². x x Az inverzió azon tulajdonságai, amit a későbbiekben felhasználunk: Ha egy alakzat kör vagy egyenes, akkor inverze is kör vagy egyenes. A póluson át nem haladó kör inverze póluson át nem haladó kör. A póluson áthaladó kör inverze póluson át nem haladó egyenes. A póluson át nem haladó egyenes inverze a póluson áthaladó kör. A póluson áthaladó egyenes önmagának az inverze. Ha egy kör és egy egyenes, vagy pedig kör egymást a pólustól különböző pontban érinti, vagy metszi, akkor inverzeik is érintik vagy (ugyanolyan szögben) metszik egymást. Az x² + y² = 1 körre vonatkozó inverzió az (x, y) pontok inverz képeként az x x y, x y y pontot rendeli. Ha egy F(x,y) = 0 egyenletű alakzat inverzét keressük, akkor annak egyenletét az előbbi képletek x, illetve y helyébe történő behelyettesítésével kapjuk. Tehát F(x,y) = 0 egyenletű alakzat inverze egyenletű alakzat. x y F, = 0 x y x y 5

27 3.9.1.Kardioid származtatása parabola inverzeként Tétel: A kardioidot megkaphatjuk, mint parabola inverzióból vett képét, ha alkalmasan választjuk a parabola és az inverziót definiáló kör egymáshoz viszonyított helyzetét. Ha egy parabola fókusza O, és az inverziót definiáló kör középpontja is O, akkor képként kardioid adódik. Ez az állítás kétféleképpen is könnyen belátható egyszerű számítással vagy geometriai úton. Számolással: Vizsgáljunk meg egy olyan tetszőleges parabola inverz képét az egységkörre, aminek fókusza szintén az origó. Vegyük az y² = x + 1 egyenletű parabolát. Ennek fókusza az origó, amit a parabola kanonikus egyenletének segítségével könnyen beláthatunk. A parabola kanonikus egyenlete: y² = px, ahol a parabola csúcsa az origóban van, fókusza ( p ; 0) pontban, vezéregyenes pedig az x= p egyenes. Az y² = x + 1 átalakítva 1 y ( 1) (x ) észrevehetjük, hogy az y² = x + 1 egyenletű parabola a kanonikus helyzetű parabolához képest egy fél egységgel eltolt, fordított állású parabola, valamint p helyére 1-t írhatunk, így a csúcspontja a ( 1, 0) pont, fókusza az origó. 6

28 Invertáljuk az y² = x + 1 egyenletű parabolát a x² + y² = 1 egységkörre. x y y x x y 1 ekvivalens átalakításokkal: y x(x y ) (x y ) 0 = (x²+ y²)² - x (x²+ y²) - y² A kardioid egyenletéből (x²+ y²) ²- 4Rx(x²+ y²) - 4R² y² = 0 adódóan 4R = 4R² = 1. 1 Amiből következik, hogy a kardioid alapkörének sugara. Ezzel beláttuk, hogy ha egy parabola fókusza O, és az inverziót definiáló kör középpontja is O, akkor képként kardioid adódik, ugyanis ha a parabolát a pólusból nagyítjuk a képe az inverzió tulajdonságainak megfelelően egy kisebb kardioid lesz. Megjegyzés: Az (x² + y²)²- 4x(x² + y²) - 4 y² = 0 egyenletű kardioidot megkapjuk inverzióval az y²= -x + 1 egyenletű parabolából, ha az inverziót definiáló kör középpontja O és sugara. 7

29 Geometriai úton Invertáljuk a parabola érintőit az O fókuszú egységkörre. A parabola v vezéregyenesének inverze egy póluson áthaladó v kör. Most vizsgáljuk meg a parabola egyik e érintőjének az inverzét. Az O pólusból húzzunk merőlegest az e egyenesre, ez a merőleges P-ben metszi v vezéregyenest, P pontjának inverze P, az OP egyenes és a v kör metszéspontja. Nevezzük M-nek az e érintő és OP egyenesének metszéspontját. OM szakasz fele az OP szakasznak, ezért az inverzió miatt OM = OP. Tehát M rajta van az O-ból kétszeresére nagyított v -n. Mivel az O-beli érintőknek párhuzamosaknak kell maradniuk, az e érintő inverze egy olyan e póluson átmenő OM átmérőjű kör, aminek a középpontja P. Ebből adódik, hogy az érintők inverzeinek a serege a v - re illeszkedő középpontú, O-n áthaladó körök serege. Az ilyen körökről burkolójáról pedig már tudjuk, hogy kardioid. Az inverzió érintkezéstartósága miatt tehát az O fókuszpontú parabola képe kardioid, abban az esetben, ha az inverziót definiáló kör a parabola fókuszpontjában van. 8

30 3.10. Kardioid a kör húrjainak burkolójaként Ha egy körben összekötjük a szöghöz tartozó kerületi pontot a kétszer akkora szögűvel, akkor az ilyen húrok szintén kardioidot érintenek. Vegyük fel az O középpontú alapkört és tekintsük kiinduló helyzetnek a generálókörnek azt az állását, amikor P rajzolópontja éppen a két kör érintkezési pontjával átellenes pont. (Így a kardioidot a csúcsával átellenes oldaláról kezdjük megrajzolni.) Nézzük a gördülőkör egy pillanatnyi állását. A két kör metszéspontja legyen B, a generálókör B-vel átellenes pontja A. A gördülőkör szöggel fordult el, tehát OG egyenes szöggel fordult el a kiindulási helyzethez képest, és AGP szög is. Rajzoljuk meg O középpontból az A- n átmenő (3r) nagyságú l kört. Rajzoljuk meg a kardioid P pontbeli érintőjét - amiről már tudjuk, hogy átmegy A-n (3.4. pont), - és azt a pontot, ahol az érintő a másik pontban metszi l kört, nevezzük A -nek. AOA és AGP hasonló háromszögek, hiszen tudjuk, hogy két megfelelő oldaluk aránya (GA és GP r, OA és OA 3r nagyságú) valamint szögük nagysága megegyezik(oaa szög = OA A szög = GPA szög). Ebből következik, hogy AGP szög is megegyezik AOA szöggel vagyis AOA szög is nagyságú, tehát OA kétszer akkora szöggel fordult el a kiindulási helyzethez képest, mint OA. AA egyenese pedig a kardioid érintője. 3 Az állítás visszavezethető arra, hogy a körpályán A pont körül -szeres sebességgel forgó egyenes érinti a kardiodot, ilyen egyenessereg burkolója a kardioid ( tétel). 9

31 Ugyanezt az állítást más, szemlétesebb megfogalmazásban a következőképpen is mondhatjuk. Adott egy kör. Két pont kering a körvonalon, az egyik sebessége kétszerese a másikénak. A két pontot összekötő húrok így is kardioidot rajzolnak ki. Egy harmadik megfogalmazásban, komplex számok segítségével is megkaphatjuk ugyanezen az elven a kardioidot. Ha a komplex számsíkon az egységkör pontjait négyzetre emeljük, és az egységkör z pontját összekötjük z²-tel, akkor a húrok kardioidot érintenek. Ez abból adódik, hogy ha egy komplex számot négyzetre emelünk a komplex egységkörön, akkor a vektor hossza a négyzetére emelkedik, tehát marad egység hosszú, és a vektor szöge a kétszeresére nő Kardioid kör kausztikájaként Egy kör kerületére helyezett pontszerű fényforrásból kiindulva a sugarak a körön visszaverődve kardioidot súrolnak. Ez kísérlettel jól szemléltethető kausztikagörbét eredményez egy pohár sötétebb folyadék felszínén. Ennek magyarázata, ha a fénysugár egy irányszögű pontban tükröződik, akkor visszaverődés után épp a irányszögű kerületi pont felé fog továbbhaladni. Az e két pontot összekötő húrokról pedig már tudjuk, hogy kardioidot érintenek. 30

32 3.1. kardioid, mint konchoid Konchoid Legyen adott az f görbe és egy rá nem illeszkedő C pont, valamint egy k távolság. Vegyünk egy C ponton átmenő, a görbét P-ben metsző m egyenest. Jelöljük ki m-en Q 1 és Q pontokat úgy, hogy d (Q 1, P) = d (Q, P) = k legyen. Ha P befutja az f görbét, akkor az egyenes helyzetekhez tartozó Q 1, Q pontok összessége éppen a konchoid görbéjét adja. Ha az előállításhoz választott görbe kör, a rögzített pont pedig a kör kerületén van, és k az alapkör átmérőjével megegyező nagyságú, akkor a létrejövő konchoid éppen a kardioid. Tétel: A kardioidot tehát úgy származtathatjuk konchoidként, hogy veszünk egy k r sugarú körön egy fix C pontot. C ponton át egyenest húzunk úgy, hogy messe a kört P pontban. Ezen az egyenesen kijelöljünk Q 1 és Q pontokat úgy, hogy d (Q 1, P) = d (Q, P) = k teljesüljön, ahol k állandó. Ha a P befutja a kört, akkor a Q pontok kirajzolják a kardioidot. 31

33 Bizonyítás Rögzítsünk a síkon egy k kört és a kerületén egy C pontot, a kör átmérője legyen d. Fektessük C-n át egy szelőt, legyen a szelőszakasz másik pontja a körön P. P-ből mindkét irányba mérjünk fel ugyanakkora d (r) távolságot. Rajzoljuk meg az k kör h húrra merőleges e, f érintőit. Legyen C és P a húr két végpontja. Tükrözzük C pontot az e illetve f egyenesre, így megkapjuk a Q illetve Q pontot. PQ = r, mivel C és P, valamint e és f szimmetrikus a h húrra merőleges sugár egyenesére és a két felvett érintő között is épp r a távolság. (C és e távolsága megegyezik P és f távolságával a szimmetria miatt, valamint C és e távolsága megegyezik Q és e távolságával a tükrözés miatt, ebből adódik, hogy Q és e távolsága is megegyezik P és f távolságával. ) Hasonlóan kapjuk, hogy C-nek az f-re vonatkozó Q tükörképére is, hogy PQ = r. Ha h befutja az összes C-n átmenő egyenest, akkor e és f befutja a k kör összes érintőjét, miközben az összes érintőre tükröztük a kör egyik pontját. És azt már beláttuk, hogy így valóban kardioidhoz jutunk. 3

34 3.13. kardioid a komplex síkon Tétel: A komplex számsíkon az origón áthaladó tetszőleges kör négyzete origó csúcsú kardioid lesz. Egy geometria alakzat négyzetén az összes pontjának a négyzetre emelése után adódó alakzatot értjük. A komplex számsíkon egy pont négyzetét úgy kapjuk, hogy a pontba mutató vektor hosszát a négyzetére emeljük, szögének pedig a kétszeresét vesszük. Algebrából ismerhetjük azt az összefüggést, hogy a komplex számok halmaza megfeleltethető a R koordinátasíkkal. Egy (a + bi) komplex számnak (a,b) pont felel meg, aminek koordinátáit, úgy emelhetjük négyzetre, hogy (a+bi) ² = a² + abi b² lesz, tehát a négyzetre emelt komplex szám koordinátái: (a² b²; ab). 1 A komplex számsíkon a z vektor egységkörre vonatkozó inverze (a z, azaz z z konjugált, egy olyan komplex szám, ami képzetes része előjelének megváltoztatásával keletkezik, tehát z = a + ib konjugáltja z = a ib lesz). Ugyanis, ha egy tetszőleges P pontot invertálunk az egységkörre, a pólustól való távolsága a reciprokára változik, de ha egy komplex szám reciprokát vesszük, akkor a képzetes rész előjele megváltozik, ezért szükséges a reciprok konjugáltját venni. 1 A bizonyítás során kihasználhatjuk, hogy az inverzió ( z ) és a négyzetre emelés z (z z ) olyan transzformációk, amelyeknek sorrendje felcserélhető, hiszen 1 z 1 z. 33

35 Bizonyítás: Az tételt úgy fogjuk belátni a komplex síkon, hogy az origón átmenő kört invertáljuk az origó középpontú egységkörre, amiből egyenes lesz, majd négyzetre emeljük az egyenest, amiből parabolát kapunk, végül újra invertáljuk a parabolát az origó sugarú egységkörre, így kapjuk meg a kardioidot. Az origón átmenő összes kör előállítható egy rögzített körből, ha megfelelően választott c komplex konstanssal beszorozzuk a pontjait. A négyzetre emelés után ezért minden kép a rögzített kör képének forgatva nyújtottja lesz. Azt, hogy milyen mértékben azt c² határozza meg. Megtehetjük tehát, hogy egy speciálisan választott kör négyzetéről látjuk be, hogy i 1 kardioid. Célszerű első lépésben az középpontú, sugarú kört választani. A második lépésben az origón átmenő i középpontú 1 sugarú kört invertáljuk az origó középpontú egységkörre. Tudjuk, hogy a póluson áthaladó kör inverze póluson át nem haladó egyenes, valamint az inverzió érintkezéstartósága miatt az egyenes a képzetes tengely 1 pontján keresztül, a valós tengellyel párhuzamosan halad, azaz y = 1. A komplex síkon egy egyenes egyenletét az z = x + iy írja le. Harmadik lépesben emeljük négyzetre ezt az egyenest, hiszen megállapítottuk, hogy az inverzió és a négyzetre emelés olyan transzformációk, amelyeknek a sorrendje felcserélhető, ezért felírható: (x + iy) ² = x ²+ ixy y² és mivel az y = 1, ezért (x + iy) ² tovább egyenlő x² 1 + ix. Az (x² 1) + (x)i = x + y i, ezért négyzetre emelt pontok koordinátáira teljesül, y' 1 1 hogy x' 1 y' 1, ami egy origó fókuszú, x = csúcsú parabola egyenlete. 4 4 Az origó fókuszú paraboláról pedig már korábban megállapítottuk, hogy inverze tényleg kardioid. 34

36 35

37 4. A háromszögbe írt kardioid és a Morley háromszög kapcsolata A kardioid egy nagyon érdekes tulajdonsága a háromszögek Morley-féle háromszögével kapcsolatos. Elsőként Frank Morley ( ) mondta ki és évekkel később bizonyította is. Mivel mind a tétel bizonyítása, mind a kardioiddal való kapcsolatának bizonyítása hosszadalmas, szakdolgozatomban csak a kardioiddal való kapcsolatának egy kicsi részletének (a négyszeresen érintő kardioidoknak) a bizonyítását mutatom be ízelítésképpen Morley-tétel: Bármely tetszőleges háromszög szomszédos szögharmadoló egyeneseinek metszéspontjai egy szabályos háromszöget alkotnak, amelyet a háromszög Morley-féle háromszögének nevezünk. 36

38 4.. Morley-háromszög és a kardioid kapcsolata Tétel: Tetszőleges háromszögbe írt kardioidok középpontjának mértani helye a Morleyháromszög határvonala. A háromszögbeírt kardioidon azt értjük, hogy a kardioid a háromszögben fekszik, és a háromszög minden oldalát legalább egyszer érinti. A kardioid középpontján alapkörének középpontját értjük. Ha a kardioid a háromszög valamelyik oldalát két pontban, a másik kettőt egy-egy pontban érinti, akkor nevezzük négyszeresen érintő kardioidnak. Pontosan három ilyen kardioid van, aszerint, hogy melyik oldalt érinti kétszer. Ha a kardioid minden oldalt pontosan egyszer érint, akkor háromszorosan érintő kardioidnak fogjuk nevezni. A négyszeresen érintő kardioidok középpontjai épp a Morley-háromszög egyik csúcsával esnek egybe, a háromszorosan érintő kardioidok középpontjai pedig a Morley-háromszög oldalszakaszain vannak. Megjegyzés: Kilépve a háromszög belsejéből a háromszög mindhárom oldalegyenesét érintő kardioidok középpontjának mértani helye 9 egyenes uniója. Ezt szintén nem bizonyítjuk. 37

39 Tétel: Ha a háromszögbe beírt kardioidot a háromszög egy oldala kétszeresen is érinti, azaz négyszeresen érintő kardioid, akkor a középpontja épp a Morley-háromszög egy csúcsával esik egybe. Így három ilyen négyszeresen érintő kardioid rajzolható egy háromszögbe. Állítás: Vegyük XYZ tetszőleges háromszöget, melynek megfelelő oldalai: x, y, z és megfelelő szögei,,. Tekintsük azt a kardioidot, amelyik kétszeresen érinti az XYZ háromszög x oldalát. Ekkor a kardioid alapkörének O középpontját és az Y csúcsot összekötő egyenes harmadolja a szöget. Mivel a háromszög átbetűzhető, így megkaphatjuk, hogy OZ szakasz is harmadolja a szöget. O tehát valóban két megfelelő szögharmadoló metszéspontja, azaz a Morleyháromszög csúcsa. 38

40 Bizonyítás: A kardioid k alapkörének középpontját jelöljük O-val, g generálókörének középpontja legyen G. A vizsgált kardioidot a g gördülőkör P pontja írja le. Jelöljük továbbra is C-vel a kardioid csúcsát. Nevezzük M-nek OC egyenes és a háromszög x oldalának metszéspontját. A kardioid kétszeres érintője legyen a háromszög x oldalegyenese, ezen az egyik érintési pont P. Vegyük a gördülőkörnek azt az állását, amikor P pontot állítja elő. Az alapkör és a generálókör érintkezési pontja legyen B, a generálókör B-vel átellenes pontja legyen A. Ha BOC szög, azaz a gördülőkör φ szöggel fordult el, akkor BG P szög is, és a BP ívhez tartozó kerületi szög BAP szög. Az AOM háromszög szögei, és 90 fok, tehát ebből könnyen kiszámolható, hogy 3 r 60. Az AOM háromszög átfogója OA= 3r, tehát OM befogója =, ebből pedig következik, hogy CM szakasz hossza r. 39

41 Vegyük fel az alapkör C pontbeli érintőjét, ami párhuzamos a háromszög x oldalával. Ezt a párhuzamost nevezzük h-nak. Kössük össze a háromszög Y csúcsát a kardioid O középpontjával. A h és YO egyenesek metszéspontját nevezzük D-nek és a DOC szög legyen. Tükrözzük a h egyenest az OD egyenesre. A h tükörképe legyen f, és f és k érintési pontja B. A tükrözés miatt DOB szög = DOC szög = α. Tükrözzük az alapkört az f egyenesre, ez a generálókörnek az a helyzete, amikor B -ben érinti az alapkört és a kiindulási helyzethez képest szöggel fordult el. Az DG B szög megegyezik DOB szöggel, azaz DG B szög is, az f tengelyre való szimmetria miatt. Húzzunk z párhuzamost a gördülőkör B -vel átellenes A pontján át G D egyenessel. A párhuzamosság miatt z is szöget zár be A G -vel. A párhuzamos szelők tétele segítségével igazolhatjuk, hogy z egyenes át fog menni a Y ponton. Mivel az M pontot O-ból C másfélszeresre nagyításával kaptuk, DC és YM párhuzamossága miatt Y pont is másfélszer olyan távol van O-tól, mint D pont. A pontot szintén G pont másfélszeresére nagyításával kaptuk. G D és z párhuzamossága miatt z megegyezik AY egyenessel. G A Y szög =, tehát így eljutottunk ahhoz az érintőhöz, amelyik a gördülőkör -val való elfordulásához tartozik. Az G DC szög a szögszárak párhuzamossága miatt egyenlő az A YM szöggel. A tükrözések miatt OD harmadolja az G DC szöget, tehát OY harmadolja az A YM szöget is. Ezt szerettük volna megmutatni. (Az ábrán a gördülőkör az óramutató járásával megegyezően halad) 40

42 5. Pascal-csigák, a kardioid rokonai A Pascal-féle csigák is a cikloisoknak egy csoportját alkotják. A síkon egy adott r sugarú alapkör mentén egy ugyanolyan r sugarú gördülőkört gördítünk csúszásmentesen, akkor a gördülőkör egy rögzített C pontja által leírt görbét Pascalcsigának nevezzük. A rögzített C pont a síkon a gördülőkörhöz képest 3 féleképpen helyezkedhet el. Ha a C rögzített pont a gördülőkör egy külső pontja, akkor az általa leírt görbét, az alakjából adódóan hurkolt Pascal-csigának nevezzük. Ha a rögzített C pontot a gördülőkörön belül választjuk, akkor nyújtott Pascal-csigát kapunk. Ha a rögzített pont éppen a gördülőkör középpontja, akkor gördítése során kört ír le. Ha a C rögzített pont a gördülőkör egy kerületi pontja, a keletkező görbe a kardioid. (Ez is a definíció szerinti származtatás egy görbecsalád segítségével.) A Pascal-csigák származtatását a kardioid származtatásából bővítem ki. 41

43 5.1. Pascal-csigák paraméteres előállítása A Pascal-csiga paraméteres előállításához vegyük alapul a kardioid paraméterese előállítását. Vegyük az origó középpontú egység sugarú alapkör és a generálókör egy pillanatnyi helyzetét a t szögelfordulás függvényében. A Pascal-csiga P rajzolópontja az alapkörön belül vagy kívül helyezkedik el, aszerint, hogy nyújtott vagy hurkolt Pascal-csigát szeretnénk előállítani. Az P pontba mutató r(t) helyvektorra van szükségünk, amit felírhatunk az origóból a gördülőkör középpontjába (G) mutató helyvektor (cos(t), sin(t)) és a G-ből P-be mutató vektor összegeként. A P pont helyzete annyiban más a kardioid esetéhez képest, hogy P pont távolságra van G-től és nem egységsugár távolságra. Így a GP vektor ( cos(t), sin(t)). Tehát a Pascal-csiga egy lehetséges paraméteres előállítása: x(t)= cos(t) cos(t); y(t)= sin(t) sin(t); ha < 1, akkor nyújtott Pascal-csigát, ha > 1, akkor hurkolt Pascal-csigát kapunk. 4

44 5.. Pascal-csigák származtatása a csúcspont tükörképeként Rögzítsünk a síkon egy k kört és egy C pontot. Tükrözzük a C pontot a k kör összes érintőjére. Ha a C pont a körön belül helyezkedik, akkor nyújtott Pascal-csiga lesz az összes érintőre tükrözött C pontok mértani helye. Ha a C pont a körön belül helyezkedik, akkor hurkolt Pascal-csiga lesz az összes érintőre tükrözött C pontok mértani helye. Ha a C pont a körön helyezkedik el, akkor kardioidot kapunk. Ezt beláttuk az egyenlő körívek segítségével. A kardioidnál belátott bizonyítás a másik két esetben is alkalmazható, hiszen az alapkör és a generálókör sugara ugyanakkora. Tehát abban az esetben, ha pl. C pont a körön belül helyezkedik el, húzzuk meg O ponttól C-n átmenő sugarat. Legyen B a két kör metszéspontja és G a generálókör középpontja. BOC megegyezik BGC szöggel és a két szöghöz tartozó körív is egyenlő. Tehát C -be C-t a két kör érintési pontján át húzott érintőre vonatkozott tükrözés viszi. Ugyanígy abban az esetben, ha C a körön kívül helyezkedik el. 43

45 5.3. Pascal-csigák származtatása talpponti görbeként A Pascal-csigák szintén származtathatóak talpponti görbeként is. Induljunk ki egy R sugarú k 1 körből. Ezt egy tetszőleges C pontból kétszeresére nagyítva kapjuk a k kört. A k kör érintőire C-ből bocsátott merőlegesek F talppontjainak mértani helye a Pascal-csiga. Ha a C pont a körön belül helyezkedik, akkor nyújtott Pascal-csiga lesz a talpponti görbe. Ha a C pont a körön kívül helyezkedik, akkor hurkolt Pascal-csiga lesz a talpponti görbe. Ez a származtatás visszavezethető az előbbi, - a csúcspont alapkör érintőire vett tükörképeként való - származtatására. Ugyanis a megfelelő érintőket is kétszeresére nagyítottuk, és mivel a nagyítás minden egyenest egy vele párhuzamos egyenesbe visz, F pont pontosan a k 1 kör megfelelő (k kör F ponton átmenő érintőjével párhuzamos) érintőjére vett tükörképe a Pascal-csiga C csúcspontjának. 44

46 5.4. Pascal-csigák, mint körsereg burkolója Induljunk ki a síkon egy rögzített pontból és egy rögzített körből. Tekintsük azon körök burkolóját, amelyeknek középpontjai a rögzített körön vannak és átmennek a rögzített ponton is. Ha a rögzített pont a körön belül helyezkedik el, akkor a burkológörbe hurkolt Pascalcsiga. Ha a rögzített pont a körön kívül helyezkedik el, akkor a burkológörbe nyújtott Pascalcsiga. Korábban beláttuk, hogy ha a rögzített pont a körvonalon helyezkedik el, akkor a körsereg burkológörbéje kardioid. Legyen C a Pascal-csiga csúcsa, P a rajzolópontja és tekintsük kiindulási helyzetnek azt, amikor OGPC egy egyenesbe esik. Vegyük az O középpontú alapkört és G középpontú generálókör egy tetszőleges helyzetét. Nevezzük B-nek a két kör metszéspontját. A görbe P pontbeli érintője merőleges a BP egyenesre, (mivel a gördülési elv szerint B pillanatnyi középpont.) Rajzoljuk meg a B középpontú, BP sugarú kört l kört. Ez az l kör átmegy C ponton, mivel P a C pont tükörképe a B pontbeli érintőre nézve, tehát BP = BC. Ennek a B középpontú, BP sugarú körnek P pontbeli érintője a görbe P pontbeli érintőjével megegyezik, (hiszen a görbe érintője és a kör érintője is merőleges P-ben BP-re.) Tehát azon körök burkolója, amelyeknek a középpontja az alapkörön van és átmennek a C ponton valóban nyújtott Pascal-csiga. 45

47 5.5. Pascal csigák származtatása kúpszeletek inverzeiként Ha a kúpszeleteket úgy helyezzük el a koordináta-rendszerben, hogy az (egyik) fókusz illeszkedjen az inverzió pólusára, akkor a Pascal-csigákat kapjuk a kúpszeretek inverz képeként. Az ellipszis inverz képe nyújtott Pascal-csiga, hiperbola inverz képe hurkolt Pascal-csiga, a paraboláé kardioid lesz. Ez utóbbit már bizonyítottuk. Bizonyítás: Invertáljuk az ellipszis érintőit O pólusú egységkörre. Az ellipszis egyik fókusza szintén legyen O-ban. Az ellipszis vezérkörének inverze egy szintén póluson át nem haladó v kör. Most vizsgáljuk meg az ellipszis egyik e érintőjének az inverzét. A pólusból húzzunk merőlegest az e egyenesre, ez a merőleges P-ben metszi a v vezérkört. A vezérkör P pontjának inverze P, az OP egyenes és a v kör metszéspontja. Nevezzük M-nek az e érintő és OP egyenesének metszéspontját. OM szakasz fele az OP szakasznak, ezért az inverzió miatt OM = OP. Tehát M rajta van a kétszeresére nagyított v -n. Mivel az O-beli érintőknek párhuzamosaknak kell maradniuk, az e érintő inverze egy olyan e póluson átmenő OM átmérőjű kör, aminek a középpontja P. Ebből adódik, hogy az érintők inverzeinek a serege a v körre illeszkedő középpontú, O-n áthaladó körök serege. Az O pont nyilván v pont egy belső pontja, mivel v-nek is az. Ezen körök burkológörbéje nyújtott Pascal-csiga. Mivel az inverzió érintkezéstartó az ellipszis inverze nyújtott Pascal-csiga. A hiperbola érintői esetében ugyanígy, csak abban az esetben a vezérkörön és inverz körén kívül lesz az O pont. Ebben az esetben hurkolt Pascal-csigát kapunk. 46

48 5.6. Pascal-csigák származtatása szelőszakaszok segítségével Rögzítsünk a síkon egy k kört és a kerületén egy C pontot, a kör átmérője legyen d. Fektessük C-n át egy szelőt, legyen a szelőszakasz másik pontja a körön P. P-ből mindkét irányba mérjünk fel ugyanakkora a távolságot. A szelő mozgatásával a felmért szakaszok P-től különböző végpontjai: (1) Abban az esetben, ha 0 < a < d, akkor hurkolt Pascal-csigát rajzolnak. () Abban az esetben, ha a > d, nyújtott Pascal csigát rajzolnak. (3) Illetve tudjuk, ha a = d, akkor kardioid keletkezik. Nézzük meg a nyújtott és hurkolt Pascal-csiga ily módon való előállítását. Vegyük az r sugarú k kört és egy tetszőleges C pontot. Ha C pont a k kör belső pontja, akkor nyújtott Pascal-csigát kapunk, ha C pont a k kör külső pontja, akkor hurkolt Pascalcsiga keletkezik. Vegyünk fel egy C ponton átmenő h egyenest és az arra merőleges e, f érintőket. Nézzük a C-n átmenő k körrel koncentrikus l kört. Legyen P az l kör és h egyenes másik metszéspontja. Az l kör szelőit fogjuk vizsgálni. Tükrözzük C pontot az e egyenesre így megkapjuk a Q pontot és tükrözzük újra C-t az f egyenesre, hogy megkapjuk Q pontot. PQ és PQ = r a tükrözések, szimmetriák miatt. Ha l kör h húrja befutja az összes C-n átmenő egyenest, akkor e és f befutja a k kör összes érintőjét, miközben az összes érintőre tükröztük az C pontot. És azt már beláttuk, hogy így valóban nyújtott vagy hurkolt Pascalcsigához jutunk aszerint, hogy a pont a körön belül vagy kívül van. (nyújtott Pascal-csiga előállítása) 47