1. A testek csoportosítása: gúla, kúp

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. A testek csoportosítása: gúla, kúp"

Átírás

1

2 TÉRGOMTRI 1. testek csoportosítása: gúla, kúp Keressünk a környezetünkben gömböket, hengereket, hasábokat, gúlákat, kúpokat! Keressük meg a fenti képen az alábbi testeket! gömb egyenes körhenger egyenes hasáb téglatest kocka Kúp gyenes körkúp: laplapja kör, PO merõleges az alaplapra, alkotói egyforma hosszúak. P O Ferde kúp: alkotói nem egyforma hosszúak. Tekintsünk egy síkidomot és annak síkján kívül egy P pontot! Kössük össze a P ponttal a síkidomot határoló zárt görbe minden pontját! zt a testet, melyet a síkidom és az így kapott szakaszok alkotta felület meghatároz, kúpnak nevezzük. síkidomot a kúp alaplapjának, a P pontot a kúp csúcsának, a szakaszokat alkotóknak, az alkotók által meghatározott felületet a kúp palástjának nevezzük. magasság P csúcs alkotók alaplap kúp magassága a kúp csúcsából az alaplap síkjára bocsátott merõleges szakasz. kúpokat csoportosíthatjuk az alaplapjuk szerint: Ha a kúp alaplapja kör, a kúpot körkúpnak nevezzük. Ha a körkúp alaplapjának középpontját a kúp csúcsával összekötõ szakasz merõleges az alaplap síkjára, a kúpot egyenes körkúpnak nevezzük. Ha a kúp alaplapja sokszög, a kúpot gúlának nevezzük. gúla oldallapjai háromszögek. 1

3 gúlákat osztályozhatjuk az alaplapot alkotó sokszögek alapján: lnevezések P magasság oldalél oldallap alapél háromszög alapú gúla, azaz tetraéder négyszög alapú gúla hatszög alapú gúla alaplap szabályos gúla alaplapja szabályos sokszög; oldalélei egyenlõ hosszúságúak; alapélei egyenlõ hosszúságúak; testmagasságának talppontja az alaplap középpontja. szabályos gúla nem szabályos gúla 1. példa Készítsünk halmazábrát a testek következõ halmazaival! : görbe felületek határolják; : síklapok határolják; : kúpok; D: gúlák; : hasábok; F: téglatestek; G: kockák. Helyezzük el az alábbi testeket a halmazábrában! Kísérletezzünk! gy papírtölcséren keresztül szórjunk homokot egyenletesen egy lapra! Milyen alakú lesz a homokhegy? görbe felületek határolják kúpok gúlák síklapok határolják hasábok téglatestek kockák 17

4 TÉRGOMTRI továbbiakban általában egyenes körkúp helyett kúpot írunk. Ragasszunk hurkapálcát a keménypapírból kivágott síkidomokra az egyenes helyére, és forgassuk meg a síkidomokat!. példa Milyen testeket kapunk, ha az ábrán látható síkidomokat megforgatjuk a pirossal jelölt egyenesek körül? a) téglalap b) derékszögû háromszög c) félkör a) henger b) kúp c) gömb henger, a kúp és a gömb egy egyenes körüli forgatással keletkeznek, vagyis forgástestek. Készítsünk gyurmából három négyzet alapú gúlát, vágjuk szét a feladat szerint, és vizsgáljuk a síkmetszeteket!. példa z ábrán látható négyzet alapú szabályos gúlát egy síkkal kettévágjuk. Milyen síkidom lesz a síkmetszet, azaz a vágáskor keletkezett új lap, ha a vágás síkja a) az alaplappal párhuzamos; b) az alaplapra merõleges, és átmegy a gúla három csúcsán; c) az alaplapra merõleges, két alapéllel párhuzamos, és átmegy a gúla csúcsán? a) b) c) a) metszõ sík párhuzamos az alaplappal, így a síkmetszet négyzet. b) síkmetszet egy olyan egyenlõ szárú háromszög, melynek alapja az alaplap átlója, szára pedig a gúla oldaléle. háromszög alaphoz tartozó magassága a gúla magassága. 18

5 c) kapott síkmetszet egy olyan egyenlõ szárú háromszög, melynek alapja megegyezik a négyzet oldalával, szára pedig az oldallap magassága. háromszög alaphoz tartozó magassága a gúla magassága. a) b) c) testeket különbözõ síkokkal elvágva különbözõ síkmetszeteket kaphatunk.. példa Dönci ceruzahegyezõjének a pengéje 1 mm hosszú. z új, henger alakú, 17 cm hosszú ceruzáját most elõször hegyezi ki éppen addig, amíg a ceruza hegye a hegyezõ végéhez nem ér. Mekkora lesz a ceruza hegyezetlen részének hossza, ha a ceruza átmérõje 8 mm? ceruza kihegyezett része kúp alakú. kúp alapkörének átmérõje 8 mm, alkotója 1 mm. kúp magasságát keressük. Ha a kúpot az alaplapra merõlegesen az alaplap átmérõjére illeszkedõ egyenessel kettévágjuk, a síkmetszet az P egyenlõ szárú háromszög, amelynek alapja a kör átmérõje, szára a kúp alkotója, alaphoz tartozó magassága pedig a kúp magassága. z P derékszögû háromszögben: az átfogó a = 1 (mm); P az egyik befogó r =8 = (mm); a másik befogó M. Pitagorasz-tétel alapján: r + M = a + M =1 1 mm M =? M = µ 1 = 0 mm M = 0 = 1,9» 1, Így a ceruza hegyezetlen részének hossza: 170 µ 1, = 1, (mm). a P d M példában a kúp adata szerepelt: a kúp alapkörének sugara; a kúp alkotója; a kúp magassága. testek megfelelõ síkmetszete segíti a számítási feladatok megoldását. 19

6 TÉRGOMTRI Keressünk a földgömbön olyan helyeket, amelyek egy hosszúsági körön vannak, és számítsuk ki a távolságukat! *. példa z afrikai ccra városa a 0 -os hosszúsági körön és a -os szélességi körön fekszik. London ugyanezen a hosszúsági körön az 1 -os szélességi körön fekszik. Milyen távol vannak egymástól, ha a Földet gömbnek tekintjük, és az gyenlítõ hossza km? hosszúsági körök és az gyenlítõ is a földgömbnek a középpontján átmenõ síkmetszetei. Rajzoljuk le a 0 -os hoszszúsági kört, amelynek kerülete megegyezik az gyenlítõ hosszával! Mivel a szélességi körök közti különbség, ami a 0 nyolcadrésze, így a két város közti távolság is az gyenlítõ hoszszának nyolcadrésze, azaz 000 km. London 1 ccra 0 Feladatok 1. Mi a nevük azoknak a geometriai testeknek, amelyek a fotókon látható tárgyaknak felelnek meg?. Milyen geometriai formákat fedezhetünk fel a képeken látható épületeken?. Döntsük el az alábbi állításokról, hogy melyik igaz, melyik hamis! a) Van olyan gúla, amelynek minden lapja háromszög. b) Minden kocka téglatest. c) Van olyan kocka, amelyik nem téglatest. d) Minden négyszög alapú hasáb téglatest. e) Van olyan hasáb, amelynek minden lapja téglalap. 10

7 . Válasszuk ki, melyik testet kapjuk a betûkkel jelölt testek közül, ha az ábrán látható síkidomot a pirossal jelölt egyenes körül megforgatjuk! a) b) ) ) ) D) ) H) c) d) F) G) I). Szerkesszünk olyan síkidomot, amelyet egy egyenes körül megforgatva az alábbi testet kapjuk! ( megfelelõ egyenest jelöljük pirossal!) hol lehet, keressünk több megoldást! a) r = cm; M = cm; b) r = mm; M = cm; c) r = cm. M r M r r. gy négyzet alapú gúla oldallapjai egybevágó háromszögek. Hogyan vágjuk egy síkkal ketté a gúlát, hogy a keletkezett síkmetszet a) négyzet; b) trapéz (de nem négyzet); c) háromszög; d) ötszög; e) hatszög legyen? 7. gy négyzet alapú gúla minden oldaléle egyforma hosszúságú. Mekkorák az oldalélek, ha a) a gúla alapjának átlója cm, a test magassága pedig cm; b) a gúla alapéle cm, a test magassága pedig cm; c) a gúla alaplapjának kerülete, cm, a test magassága pedig cm? ( ) 8. gy derékszögû háromszög két befogója cm és 1 cm. háromszöget megforgatjuk az cm-es befogója körül. Mekkora a keletkezett kúp magassága, alkotója, alapkörének átmérõje? 9. Kilimandzsáró és Szingapúr az gyenlítõ közelében helyezkednek el úgy, hogy hosszúsági köreik közti különbség kb. 0. ecsüljük meg a távolságukat, ha a Földet gömbnek tekintjük, és az gyenlítõ km hosszú! Rejtvény Készítsük el gyöngyökbõl az ábrán látható darabot! Szükséges eszközök: 0 db gyöngy, db fogpiszkáló, ragasztó. Állítsunk össze belõlük egy tetraédert! 7. b a b b b a 11

8 TÉRGOMTRI. Nézzük több oldalról! 1. példa Három különbözõ pontból nézve készültek a fenti képek a jáki bencés apátságról. a) Rajzoljuk be a felülnézeti rajzba a nézõpontokat a betûjelükkel! b) z alábbi nézetek közül melyek nem lehetnek a jáki bencés apátság nézetei? ) ) ) D) apszis: félkör alakú szentély a) nézõpontok helye: b) z () a jobb oldali nézet kellene legyen a torony miatt, akkor viszont hiányzik a fõhajó apszisa és az oldalkapu. () elölnézeti képrõl hiányzik a jobb oldali kiugró rész. () nem lehet egyik nézet sem, mert csak elöl van tornya az apátságnak. (D) az apátság hátulnézeti képe. Tehát az (), () és () nem lehetnek az apátság nézetei. 1

9 . példa Zsófi és otond kirakják az asztalra a képen látható hat testet. otond ezek közül gondol egyre. felülnézet Zsófi kérdései és otond ezekre adott igaz válaszai a következõk: Zsófi kérdései otond válaszai 1. lölnézete háromszög? Igen.. Oldalnézete háromszög? Igen.. Felülnézete sokszög? Nem. otond minden válasza után soroljuk fel azokat a testeket nevükkel együtt, amelyek bármelyike lehetne a otond által gondolt test! test elölnézete háromszög, ezért nem lehet a kocka és a henger. megmaradt testek: test felülnézete nem háromszög és nem is négyzet, ezért nem lehet a háromszög alapú gúla és a négyzet alapú gúla sem. Tehát otond a kúpra gondolt. kúp test oldalnézete is háromszög, ezért nem lehet a háromszög alapú hasáb. megmaradt testek: háromszög alapú hasáb kúp tetraéder tetraéder négyzet alapú gúla négyzet alapú gúla kúp oldalnézet elölnézet arkochbázzunk az ábrán látható testekkel! Játsszunk hazudós barkochbát is! Tetraéder: lölnézete: háromszög Oldalnézete: háromszög Felülnézete: háromszög Kúp: lölnézete: háromszög Oldalnézete: háromszög Felülnézete: kör. példa gy fajátékkészítõ a megrendelõtõl az alábbi rajzokat kapta. Határozzuk meg, milyen testeket ábrázoltak a nézeteivel, és azoknak mely adatai olvashatók le az ábráról! a) b) c) d) cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm 1

10 TÉRGOMTRI Figyeljük meg, hogy mi a különbség a képen látható szabályos dobókockák között! a) Két nézete háromszög, egy téglalap: téglalap alapú gúla. z alaplap oldalai: cm és cm. gúla magassága: cm. b) Két nézete téglalap, egy kör: henger. z alapkör átmérõje: cm. henger magassága: cm. c) Két nézete háromszög, egy kör: kúp. z alapkör átmérõje: cm. kúp magassága: cm. d) Két nézete téglalap, egy háromszög: háromszög alapú hasáb. háromszög alakú alaplap egyik oldala cm, és ehhez az oldalhoz tartozó magassága cm. hasáb magassága: cm. Érdekesség z egyiptomi szobrászok a hasáb alakú kõ lapjaira felrajzolták az alakok nézeteit, és ez alapján faragták ki a szobrokat. Így születtek a mereven elõrenézõ, mozdulatlanságot sugárzó alakok. Feladatok 1. Miket ábrázolhatnak az alábbi képek? Milyen lehet az alábbi épületek felülnézete és oldalnézete? Próbáljuk lerajzolni!

11 . Sakkfigurák elöl- és felülnézeteit összekevertük. Párosítsuk azokat a képeket, amelyek ugyanazt a sakkfigurát ábrázolják! Milyen lehet a figurák oldalnézete? ) ) ) D) ) F) Rakjunk egy zsákba - négyzetet, háromszöget és kört! Húzzunk egymás után három darabot! Rajzoljunk olyan testet, amelynek ez a három lap a három nézete! Ha szükséges, a kihúzott darabok közül egyet egy tetszés szerinti lapra kicserélhetünk a zsákból.. következõ testekbõl építsünk tornyokat, és rajzoljuk le a nézeteiket! cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm. rajzokon látható kockák sötéttel jelölt részeit levágjuk. Rajzoljuk le a megmaradt testek elöl-, oldal- és felülnézetét! a) b) c) *7. Két kék kockából és valamennyi sárga kockából egy nagy téglatestet építünk. kockák egyforma méretûek. a) Legfeljebb hány lap lesz csupa sárga, ha sárga kockánk van? b) Legkevesebb hány sárga kocka szükséges ahhoz, hogy a keletkezett téglatest minden lapja csupa sárga legyen? elölnézet felülnézet Rejtvény Rajzoljuk le annak a testnek az oldalnézetét, amelynek elölnézete és felülnézete az ábrán látható! 1

12 TÉRGOMTRI. súcsok, élek, lapok 1. Háromszög alapú hasáb;. tetraéder;. kúp;. négyzet alapú gúla;. téglatest;. kocka; 7. ötszög alapú hasáb. 1. példa Készítsünk halmazábrát a Van téglalap alakú lapja és a Van háromszöglapja halmazokkal, és helyezzük el az alábbi testeket! testek van téglalap alakú lapja van háromszöglapja. példa Hány lapja, éle, csúcsa van egy ötszög alapú gúlának? z ötszög alapú gúlának 1 ötszög alakú alaplapja és háromszög alakú oldallapja, vagyis összesen lapja van. az alaplapon éle van, az alaplapján kívüli csúcsát oldalél köti össze az alaplap csúcsaival, így =10 éle van. az alaplapon, azon kívül 1 csúcsa van, így csúcsainak száma. 1

13 Háromszög alapú gúla Négyszög alapú gúla Hatszög alapú gúla Nyolcszög alapú gúla Lapok száma Élek száma súcsok száma Általában egy n szög alapú gúla (n ³ ) lapjainak száma: n + 1; éleinek száma: n; csúcsainak száma: n + 1. *. példa Építsünk testeket szabályos háromszögekbõl! Számoljuk össze az élek, lapok, csúcsok számát! a) Legkevesebb hány lap találkozhat egy csúcsban? b) Építsünk testet, amelynek minden csúcsában lap találkozik! c) Építsünk testet, amelynek minden csúcsában lap találkozik! d) Legtöbb hány szabályos háromszöglap találkozhat egy csúcsban? soportokban készítsük el a testeket! a) Sokszöglapokból csak úgy lehet testet építeni, ha minden csúcsban legalább lap találkozik. b) Ha a test minden csúcsában szabályos háromszöglap találkozik, akkor a szabályos tetraédert kapjuk. Lapok száma: ; élek sz.: ; csúcsok sz.:. c) Ha a test egy csúcsában szabályos háromszöglap találkozik, akkor egy négyzet alapú gúla oldallapjait kapjuk. Két ilyet összeépítve pedig olyan testet kapunk, melynek minden csúcsában lap találkozik, ez az oktaéder. Lapok száma: 8; élek sz.: 1; csúcsok sz.:. d) szabályos háromszög minden szöge 0. Ha darab szabályos háromszöglapot illesztünk egy csúcsba, akkor a szögek összege 0, így a háromszögek egy síkban vannak, nem alkothatnak testet. -nál kevesebb szabályos háromszög találkozhat egy csúcsban, tehát legtöbb lap találkozhat egy csúcsban. z ikozaéder olyan test, melynek minden csúcsában pontosan háromszöglap találkozik. 17

14 TÉRGOMTRI Szabályos testeknek nevezzük azokat az egybevágó szabályos sokszöglapokkal határolt konvex testeket, amelyek minden csúcsában ugyanannyi lap találkozik. szabályos testek a lapok számáról kapták a nevüket. (kocka = hexaéder) tetra = 0 hexa = 0 okta = 08 dodeka = 1 ikoza = 0 Érdekesség sak ötféle szabályos test létezik. zek közül hármat, a szabályos tetraédert, az oktaédert és az ikozaédert szabályos háromszögek határolják. Négyzetlapokkal határolt szabályos test egy van, a kocka. Ötszöglapokkal határolt szabályos test is egy van, a dodekaéder, amelyet 1 lap határol. Így az szabályos test: tetraéder oktaéder ikozaéder kocka dodekaéder Keressünk összefüggést a lapok, az élek és a csúcsok száma között! Lapok száma Lapok fajtája Élek száma súcsok száma gy csúcsból induló élek száma sz. háromszög sz. háromszög sz. háromszög négyzet sz. ötszög szénatomból álló fullerénmolekula alakja a futballlabdához hasonló.. példa Focilabdát készítünk 0 darab fehér szabályos hatszögbõl és 1 fekete szabályos ötszögbõl. a) Hány lapja, éle, csúcsa van a focilabdának? b) Keressünk összefüggést a focilabda ötszögés hatszöglapjai száma között! a) focilabdának összesen = lapja van. hatszögeknek 0 = 10 oldala, az ötszögeknek 1=0 oldala van, ez összesen 180 sokszögoldal. Minden élben két sokszögoldal találkozik, így az élek száma: 180 = 90. test minden élének két vége van, ez összesen 180 élvég. focilabda minden csúcsában élvég találkozik, így a csúcsok száma: 180 = 0. Tehát a focilabdának lapja, 90 éle és 0 csúcsa van. b) Figyeljük meg, hogy a focilabda minden ötszöglapjának darab hatszöglap szomszédja van, és minden hatszöglapnak darab ötszöglap szomszédja van! zért ha az ötszöglapok számának - szörösét vesszük, minden hatszöglapot -szor számoltunk, tehát az ötszöglapok számának -szorosa a hatszöglapok száma. 18

15 . példa H gy téglatest éleinek hossza cm, G cm és cm. F a) Mennyi az élek, lapátlók, testátlók számának összege? D cm b) Milyen hosszúságúak a téglatest lapátlói és testátlói? cm cm a) 1. megoldás téglatestnek 1 éle van. Mind a lapjának lapátlója van, így összesen 1 lapátlója van. téglatest testátlója: G, H,, DF. Tehát az élek, lapátlók és testátlók számának összege: 1+1+=8.. megoldás téglatestben az élek, lapátlók és testátlók számának összege annyi, ahány szakasz húzható a téglatest 8 csúcsa között. Mind a 8 csúcsot 7 másikkal köthetjük össze, ez 8 7 szakasz lenne. kkor minden szakaszt kétszer számoltunk volna, mert mindkét végpontjánál megszámoltuk, így a szakaszok száma: (8 7) = 8. b) téglatest négy lapja: D, FGH, F és DGH egybevágó. zek lapátlói egyenlõek, és a Pitagorasz-tétel alapján számolhatók: + = D + = =1+9 = cm = (cm) cm GF és az DH lapok átlói: + G = G F G + = G G cm =9+9=18 G = 18 =», cm téglatest GF és DH lapjainak átlói, cm hosszúságúak. Vágjuk ketté a téglatestet egy síkkal, amely merõleges az FGH lapra, és átmegy az G átlón! rre a síkra illeszkedik az D lap átlója is. Így az G síkmetszet téglalap, melynek átlója a téglatest testátlója. H Pitagorasz-tétel alapján: + G = G G + = G cm G D =+9= G =»,8 cm Tehát a téglatest testátlója,8 cm. él: 1 lapátló: 1 testátló: 0 összes: = 8 D D H H F téglatest testátlói D D H H F F F G G G G 19

16 TÉRGOMTRI Feladatok 1. Rajzoljuk le a gúlát, és számoljuk meg, hány lapja, csúcsa van, ha a gúla éleinek száma: a) ; b) 8; c) 1; d) 1!. Építsünk gúlákat szabályos háromszögekbõl egy kocka minden lapjára! ( szabályos háromszög oldala ugyanolyan hosszúságú, mint a kocka éle.) Hány lapja, éle, csúcsa van a kapott testnek?. Készítsük el egy szabályos tetraéder élvázát egy cm hosszú drótszálból! a) Milyen hosszúságú a tetraéder egy éle? *b) Legkevesebb hány helyen kell elvágni a drótszálat?. Hány éle, csúcsa van a 1 szabályos ötszöglapból álló dodekaédernek, amelynek minden csúcsában lap találkozik? ( ).. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! a) sokszöglapokból álló testek minden éle pontosan két lapot határol. b) Van olyan sokszöglapokból álló test, amelynek -nél kevesebb lapja van. c) Van olyan nem szabályos test, amelynek minden lapja szabályos háromszög... Vágjunk le tetraédereket egy tetraéderbõl az élei harmadolópontjain keresztül! Hány lapja, éle, csúcsa lesz a megmaradt testnek? ( ) 7. Számítsuk ki a kocka lapátlóinak és testátlóinak hosszát, ha a kocka élének hosszúsága: a) 1 m; b) dm; c) 100 mm! 8. Hányféle hosszúságú lehet a téglatest két csúcsa közötti távolság? Számítsuk ki az összes lehetséges távolságot, és állítsuk õket növekvõ sorrendbe, ha a téglatest élei: a) 1 cm; cm; cm; b) cm; 1 cm; 0 cm; c) cm; 10 cm; cm! 9. gy villanyszerelõnek egy szoba sarkából az átellenes G sarokba kell a falon vezetéket húznia. ( ) a) Melyik a legrövidebb az ábrán különbözõ színnel jelölt lehetõségek közül, ha a téglatest alakú szoba méretei: = 8 m; = m; =m? b) Lehetséges-e a szoba falán az elõzõeknél rövidebb vezetéket húzni és G között? 9. D H F G Rejtvény gy négyzet alapú szabályos gúla oldallapjai szabályos háromszögek. gúla egy oldallapjára szabályos tetraédert ragasztunk, melynek lapja pontosan illeszkedik a gúla lapjára. Hány lapja, éle, csúcsa lesz a kapott testnek? 10

17 . Testek hálója 1. példa Vágjuk fel az ábrán látható, papírból készült testek felületét néhány élük mentén úgy, hogy azok kiteríthetõk legyenek! Rajzoljuk le az így kapott hálókat, és számoljuk meg, hogy hány élt kellett felvágni! a) b) szabályos tetraéder négyzet alapú szabályos gúla Van-e olyan test, amelynek a felületét nem lehet síkba kiteríteni? a) szabályos tetraéder pirossal jelölt éleit felvágva kapott háló: hálón a háromszög élben kapcsolódik egymáshoz, így a tetraéder kiterítéséhez a éle közül -at kellett felvágni. b) négyzet alapú szabályos gúla jelölt éleit felvágva kapott háló: hálón az lap élben kapcsolódik egymáshoz, így a gúla kiterítéséhez a 8 éle közül -et kellett felvágni. Keressünk további hálókat! 11

18 TÉRGOMTRI testek elnevezéseit a tömör testekre és a testek felületére is szoktuk használni. Papírból készült testek esetén valójában a testek felületét készítjük el. Ha a testek síkmetszetérõl van szó, akkor a testek értelemszerûen tömörek. kúp palástja kiterítve körcikk, az ívhossza egyenlõ az alapkör kerületével.. példa Készítsünk papírtölcsért egy 1 cm sugarú félkörbõl úgy, hogy az átmérõ két végpontját összeillesztjük, és a sugár mentén leragasztjuk! Így egy kúp palástját kapjuk. Mekkora a kúp alapkörének sugara? kúp alapkörének kerülete megegyezik a palást ívének hosszával. z alapkör kerülete: rp. 1 cm palástot alkotó félkör ívhossza a 1 cm sugarú kör 1p kerületének a fele:. z egyenlõ a kúp alapkörének kerületével. r p = 1p Þ r = (cm). Tehát a kúp alapkörének sugara cm. r 1 cm Papírból készült testeknél figyeljünk arra, hogy hagyjunk olyan füleket, amelyekkel összeragaszthatjuk a hálót! Például:. példa Milyen testet kapunk, ha az ábrán látható hálókat összehajtogatjuk? a) b) c) d) e) f) a) Háromszög alapú gúlát kapunk. b) Nem lehet testté összehajtani. c) Kockát kapunk. d) Négyzet alapú gúlát kapunk. e) Két háromszög egymásra hajlik, nem lehet belõle testet hajtogatni. f) Háromszög alapú hasábot kapunk. Szabályos testek egy-egy hálóját mutatja az ábra: kocka Szabályos ötszöget kapunk, ha egy papírcsíkot megcsomózunk. tetraéder dodekaéder ikozaéder oktaéder 1

19 . példa z ábrán látható hálót összehajtjuk, majd a kapott test minden csúcsához odaírjuk a csúcsban találkozó lapokra írt számok összegét. Mi lesz a legnagyobb összeg? 1 Készítsük el papírból a hálót, és hajtsuk össze! háló összehajtásával egy tetraédert kapunk. z ábrán azonos színnel jelöltük az egymáshoz illeszkedõ oldalakat, és megbetûztük a csúcsokat. tetraéder minden csúcsában lap találkozik. z csúcsban találkozó lapokon a számok összege: = 7. csúcsnál: 1++=. csúcsnál: +1+=8. D csúcsnál: ++=9. legnagyobb összeg a 9 lesz. D 1 1 D Kutatás Hajtogassunk papírból tetraédert úgy, hogy ne kelljen ragasztani! Keressünk módszereket az interneten! tetraéder minden csúcsában három lap találkozik. tetraéder bármely lapja találkozik csúcsban. *. példa gy cm élhosszúságú kocka alakú átlátszó doboz felületén sétál egy hangya. mikor a H csúcsba ér, a doboz élén, a csúcstól 1 cm-re megpillant egy morzsát. Milyen hosszú az a legrövidebb út, amelyen haladva a hangya eléri a morzsát (M)? doboz hálóján a hangya és a morzsa közti legrövidebb út az õket összekötõ egyenes szakasz. HM derékszögû háromszögben a Pitagorasz-tétel alapján: H + M = HM 1 + = HM HM = 1 + = 19 HM = 19 =1 Tehát a hangya legrövidebb útja a morzsához 1 cm hosszú. H D H M F M G F G D H D D H D M M G Projekt Készítsük el egy falu makettjét! Legyen vár, templom, malom és különféle alakú háztetõk! F G F 1

20 TÉRGOMTRI Feladatok 1. Készítsük el és rajzoljuk le azokat a testeket, melyeket az ábrán látható hálókból lehet összeállítani! Jelöljük a rajzon, mely éleket kellett összeragasztani! a) b) c) d) Válasszuk ki az ábrán látható hálók közül azokat, amelyekbõl gúlát lehet hajtogatni! ) ) ) D). z ábrán látható hálókat összehajtva testeket kapunk. Minden csúcsba beírjuk a csúcsban találkozó lapokon levõ számok szorzatát. Mi lesz a legnagyobb szorzat? a) b) c) d) Szerkesszük meg annak a négyzet alapú szabályos gúlának egy hálóját, amelynek alapéle 7 cm, oldaléle 9 cm! Vágjuk ki kartonból, ügyelve a fülekre, és ragasszuk össze gúlává!. Milyen hosszú a legrövidebb út az ábrán látható testek felületén, amely az pontból a -be vezet? a) cm cm cm b) cm c) cm cm cm cm 8cm 1

21 . Melyik kockát kaphattuk az ábrán látható háló összehajtásával? ( számok állása is számít.) 7. gy háromszög alapú gúla, egy négyszög alapú gúla és egy kocka lapjait színezzük úgy, hogy a szomszédos lapok különbözõ színûek legyenek! (egy lap egyszínû) a) Rajzoljuk le egy hálójukat! b) Legkevesebb hány szín szükséges az egyes testek lapjainak színezéséhez? Készítsünk el két darabot az ábrán látható hálóból, amely egy négyzetbõl, két szabályos háromszögbõl és két trapézból áll. Ragasszuk össze testté! (Figyeljünk a fülekre!) kapott testeket egymáshoz illesztve állítsunk elõ tetraédert! ( ) z ábrán látható hálón levõ piros vonalak a tetraéder felületén levõ labirintus átjárhatatlan falait mutatják. Keressünk olyan utat, amely az 1-esrõl a 11-esre vezet a tetraéder felületén levõ labirintusban! ( ) Rajzoljuk le az ábrán látható testek egy hálóját! a) b) c) Rejtvény rajzon látható hálót egybevágó rombusz alkotja, amelyek szögei 0 és 10. Hajtsuk össze a hálót egy testté! Melyik az a három szabályos test, amelyekre ez a test szétvágható? 1

22 TÉRGOMTRI. Testek felszíne síklapok által határolt testek felszíne a lapok területének összege. Mérjük meg egy tojás felszínét! Rajzoljunk olyan lehetõségeket a dobozok összerakására, amelyek nem téglatestek! Van-e köztük olyan, amelynek kisebb a felszíne, mint amit a megoldásban kaptunk? 1. példa Két egyforma téglatest alakú dobozt együtt csomagolunk be. Hogyan rakjuk egymás mellé a dobozokat, hogy a csomagoláshoz a legkevesebb papírra legyen szükség, ha egy doboz hosszúsága és szélessége is 0 cm, magassága 1 cm? ( csomagolásnál egy réteg papírral számoljunk a téglatest alakú csomag felületén!) 1. megoldás gy doboznak két négyzet alakú lapja, és négy egybevágó, téglalap alakú lapja van. Rajzoljuk le, a megfelelõ lapok összeillesztésével kapott téglatesteket, majd adjuk össze a lapok területét! Két négyzet alakú lapot illesztünk össze. 0 cm 0 cm 1 cm Két téglalap alakú lapot illesztünk össze 1 cm 1 cm 0 cm 0 cm 0 cm 0 cm 0 cm 1 = (0 0)+ (0 )= = 70 (cm ) = ( )= = 00 (cm ) Tehát a négyzetlapok összeillesztésével kaptuk a kisebb felszínû téglatestet, amelyet kevesebb papírral csomagolhatunk be. 1

23 . megoldás zt vizsgáljuk, mennyivel csökken a csomag felszíne, ha a dobozokat egymáshoz illesztve csomagoljuk be, mint ha külön-külön, két csomagban csomagolnánk. Ha a négyzet alakú lapokat illesztjük össze, akkor a két négyzetlap területével: (0 0) = 800 (cm )-rel csökken a felszín. Ha két téglalap alakú lapot illesztünk össze, akkor (0 1) = 80 (cm )-rel csökken a felszín. Tehát a négyzet alakú lapok összeillesztésével kapjuk a kisebb felszínû téglatestet. kkor járunk jobban, ha a csomagolásnál a nagyobb területû lapokat illesztjük össze, így azok csomagolását megtakaríthatjuk. két dobozból álló csomag térfogata az összerakástól függetlenül a dobozok térfogatának összege. ecsüljük meg egy autó, egy kerékpár festendõ felszínét!. példa gy 90 m magas felhõkarcoló alaprajza olyan félkör, amelynek átmérõje 0 m. z épület oldalát teljes egészében üveg borítja. Mekkora ez az üvegfelület? felhõkarcoló félhenger. félhenger palástja kiterítve egy olyan téglalap, amelynek egyik oldala a félhenger magassága (90 m), másik oldala a félhenger 90 m alakú alaplap kerülete: 0+0 p» 10,8 (m). átmérõ + félkörív félhenger palástjának területe: p = 10,8 m 90 10,8 = 9,7» 9 (m ). kkora az épület oldalát borító üvegfelület területe. Érdekesség térképészet egyik alapproblémája, hogy a gömb felszínét síkba kiterítve kell ábrázolni. z egyik leképezési mód az, hogy a földgömböt a tengelyébõl a köré írt henger palástjára vetítjük. zt a palástot kiterítve olyan térképet kapunk, amelyen a távolságok torzítottak, de az országok területe megegyezik a földgömbön levõ területtel. Így a földgömb felszíne egyenlõ a köré írt henger palástjának területével. Ha a gömb sugara r, a henger alapkörének sugara is r, kerülete rp. henger magassága r, így a henger palástjának területe: r rp =r p. Tehát az r sugarú gömb felszíne: r p Lakóhelyeden keress akkora területet, mint amekkora a felhõkarcoló üvegfelülete! 17

24 TÉRGOMTRI. példa gy cm élhosszúságú kockát az ábra szerint kettévágunk. Mekkora a kapott fél kocka felszíne? fél kocka egy háromszög alapú hasáb, amelynek hálója: D H F G szükséges adatokat Pitagorasz-tétellel számolhatjuk ki. cm d cm cm cm cm cm d cm d d cm hálón a d-vel jelölt hosszúság a cm befogójú egyenlõ szárú derékszögû háromszög átfogója. lapok területének összegéhez szükségünk van d kiszámítására. Mivel a háromszög derékszögû, a Pitagorasz-tétel alapján: d = +, így d = 7, d = 7» 8, (cm). hasáb felszíne a két háromszöglap és a palást területének összege: = + ( + + 8, ) =19 (cm ).. példa Rakjunk ki egy kockát 7 kockacukorból! a) Mekkora a kapott kocka felszíne, ha egy kockacukor éle 1 cm? b) Vegyünk el két kockacukrot úgy, hogy a test felszíne ne változzon! c) Vegyünk el egy kockacukrot úgy, hogy a test felszíne cm -rel nõjön! d) Vegyünk el egy kockacukrot úgy, hogy a test felszíne cm -rel nõjön! a) 7 kockacukorból kirakott kocka egy éle mentén kocka van, így a kapott kocka éle cm, egy lapjának területe = 9 (cm ), a felszíne: = 9=(cm ). cm cm cm 18

25 b) hhoz, hogy a test felszíne ne változzon, olyan kockacukrot kell elvenni, amelynek lapja látható és lapja nem látható, mert a látható lap helyett a nem látható lapra illeszkedõ lapok válnak láthatóvá. Így a test felszíne nem változik, ha valamelyik csúcsánál két szomszédos kockacukrot kiveszünk, vagy két különbözõ csúcsánál egy-egy kockacukrot kiveszünk. c) hhoz, hogy cm -rel nõjön a test felszíne, egy olyan kockacukrot kell elvenni, amelynek lapja látható és lapja nem látható. Ilyen a kocka egy élének közepén levõ kockacukor. Így azt kell elvenni. térfogat csökkent, a felszín nem változott. µ = 0 (cm )-rel változik a kocka felszíne. µ = (cm )-rel változik a kocka felszíne. d) hhoz, hogy a test felszíne cm -rel nõjön, olyan kockacukrot kell elvenni, amelynek 1 lapja látható és lapja nem látható. Ilyen a kocka egy lapjának közepén levõ kockacukor. Így azt kell elvenni. µ 1 = (cm )-rel változik a kocka felszíne. lõfordulhat, hogy egy test térfogata csökken, felszíne mégsem változik. Játsszunk kockacukorral csoportban! djunk fel egymásnak az elõzõhöz hasonló feladatokat! Változtassuk az eredetileg kirakott téglatest méretét, a kivehetõ kockák számát! Lehessen hozzá is rakni kockacukrot! lvehetünk-e egy kockát úgy, hogy a test felszíne cm -rel nõjön? Feladatok 1. gy támlás egyenes székre huzatot tervezünk az ábra szerint. méretek az ábráról leolvashatók. ( ) a) Rajzoljuk meg a huzat szabásmintáját! b) Hány m anyagot használunk fel, ha a varráshoz szükséges többlettõl eltekintünk? c) Hány méter anyagot vegyünk egy székhez 10 cm széles anyagból, ha a huzat egy-egy lapját nem akarjuk toldani, és a varrások miatt 10%-kal több anyag szükséges? cm cm 19 cm 0 cm cm cm cm cm

26 TÉRGOMTRI. Gabi interneten rendelt három könyvet, melyek méretei milliméterben a következõk: a regény 1 0 0; a gyerekversek: 18 10; az útleírás: könyveket a lehetõ legkisebb felszínû téglatest alakú dobozokba csomagolják. Mekkora lesz annak a doboznak a felszíne, amelybe mind a három könyv belefér? ( doboz falának vastagságától tekintsünk el!). Zsuzsi katalógusból választott könyvespolcának méretei az ábrán láthatók. Minden polc hátulján egy-egy 8 cm magas perem akadályozza meg a könyvek lecsúszását. polcot lapra szerelten árulják a lehetõ legkevesebb kartont igénylõ téglatest alakú dobozban. ( karton vastagságától tekintsünk el!) ( ) a) Mekkora ennek a doboznak a felszíne? b) Hány négyzetméterrel kevesebb kartonpapírt használnak így, mint ha az összeszerelt polcot csomagolnák be?. Téglatesteket készítettünk fehér papírból, és éleiket piros ragasztószalaggal megerõsítettük (átfedés nélkül). felhasznált ragasztószalag hossza 0 cm. Mekkora a téglatest felszíne, ha a) minden éle ugyanolyan hosszú; b) egy csúcsból induló éleinek aránya 1; b) c) egy csúcsból induló éleinek aránya 1?. gy téglatest alakú díszdoboz egy csúcsból induló éleinek aránya 1. téglatestet az ábrán látható módon átkötöttük, a szalag hossza, m, amibõl a megkötés és a masni cm. ( ) Mekkora a díszdoboz felszíne?. gy téglatest egy csúcsból induló élei hosszának összege 0 cm. Ha minden csúcsnál az egyik élet cm-rel növeljük, a másikat másfélszeresére növeljük, a harmadikat felére csökkentjük, akkor kockát kapunk. Hogyan változott a téglatest felszíne?. a) 7. Három cm sugarú teniszlabdát csomagolnak egy henger alakú fémdobozba. ( doboz alja és fedele is fém, az illesztésektõl eltekintünk.) Legkevesebb hány cm fémlemez kell a doboz készítéséhez? ( ) 7. cm 8. gy henger alapkörének átmérõje és magassága is 8 cm. Mikor kapunk nagyobb felszínû hengert, ha a henger átmérõjét kétszerezzük és a test magasságát változatlanul hagyjuk, vagy ha a test magasságát kétszerezzük és az átmérõt változatlanul hagyjuk? 170

27 9. Gergõ papírból testeket készített, majd mindegyiket befestette. Melyikhez kellett több festék, ha mindet egyenletesen, ugyanolyan vastagon festette? a) 8 cm élhosszúságú kockához, vagy a 8 cm átmérõjû, 8 cm magasságú hengerhez; b) 8 cm magas, cm oldalhosszúságú szabályos háromszög alapú hasábhoz, vagy a 8 cm magas, cm sugarú hengerhez? 10. gy cm élhosszúságú tömör fakockát az egyik lapjára merõlegesen átfúrunk. lyuk henger alakú átmérõje cm. Mekkora a kapott test felszíne? gy dm élhosszúságú tömör fakockába három irányból, a megfelelõ lapokra merõlegesen 0 cm 10 cm 10 cm-es téglatest alakú lyukakat vágunk. Mennyi a megmaradt test felszíne? gy 1 dm élhosszúságú kockát két részre vágunk az ábra szerint. Mekkora a kapott testek felszíne? ( ) 1. a) b) 1. Mekkora a felszíne annak a 10 cm magasságú hasábnak, amelynek felülnézete az ábrán látható? ( ) 1. a) cm b) cm cm 8cm 1. Mekkora felületen tapad az az autógumi, amelynek sugara cm, szélessége 1 cm, és az autó tömegétõl 1, cm-re lapul be? 1., Rejtvény Hányféle tömör téglatestet rakhatunk ki 009 egységkockából? 171

28 TÉRGOMTRI. gúla felszíne (kiegészítõ anyag) példa Párizsban a Louvre bejárata egy négyzet alapú gúla, amelynek üveg oldallapjai egybevágó rombuszokból és háromszögekbõl állnak úgy, hogy a gúla egy élét 18 egyenlõ részre osztották. Hány egység a gúla üveglapjainak területe, ha egy egység egy rombusz? Felülrõl lefelé haladva a rombuszok száma soronként 1; ; ; ; 1; 17, és végül az alsó sorban van 18 háromszög, amelynek területe 18 = 9 rombusz területével egyenlõ. gúla egy lapjának területe: = +9=1 egység. gúla üveg oldallapjának területe 1 = 8 egység. Sokszöglapú testek felszíne: a lapok területének összege. példa gy négyzet alapú szabályos gúla minden éle dm. Mekkora a felszíne? dm dm felszín a lapok területének összege. gúlának egy négyzet és négy egybevágó szabályos háromszög alakú lapja van. T négyzet területe: = (dm ). dm gy szabályos háromszög területét keressük, ehhez a magasságát kell meghatározni. 17

29 z szabályos háromszög magassága az T derékszögû háromszög egyik befogója. Ismerjük az T derékszögû háromszög átfogóját: dm és T befogóját, amely az oldal fele, azaz dm. Pitagorasz-tétel alapján a másik befogó: m = µ = 7, így dm m m = 7», (dm)., T = = 1, (dm ) gúla felszíne: =+ 1, = 98, (dm ). dm T T Ò = a m a gúla felszíne a határoló lapjai területének összege.. példa gy téglatest egy csúcsba futó élei: =1cm, D = cm, = cm. Kössük össze a téglatest D lapjának csúcsait a szemközti lap csúcsával! Így egy téglalap alapú gúlát kapunk. a) Hány olyan lapja van a gúlának, amely derékszögû háromszög? b) djuk meg a gúla éleinek hosszát! c) Rajzoljuk meg a gúla egy hálóját! d) Számítsuk ki a gúla felszínét! cm a) z háromszög a téglatest F téglalap lapjának fele, így az csúcsnál derékszög van. Hasonlóan az D háromszög az DH téglalap fele, vagyis az csúcsnál derékszög van. háromszögben -nél derékszög van, mert a él az F lapnak része, és a él merõleges erre a lapra. Ugyanígy a D él merõleges az DH lapra, így az D élre is, ezért a D háromszög derékszögû. Tehát a gúlának négy derékszögû háromszög lapja van. b) gúlának a téglatest éleivel egybeesõ élei: = D = 1 cm, = D = cm, = cm. z él a téglatest egyik lapátlója, az derékszögû háromszög átfogója. Pitagorasz-tétel alapján: =1 + = 19, így = 19 = 1 (cm). cm H D 1 cm F G Készítsük el a téglatest és a gúla élvázát hurkapálcából úgy, hogy a csúcsokba gyurmagombócokat rakunk! 1 1 H D H F 17

30 TÉRGOMTRI F Ö`` z D él is a téglatest egyik lapátlója, az D derékszögû háromszög átfogója. Pitagorasz-tétel alapján: 1 D D = + =, így D =»,8 (cm). z él a téglatest testátlója, a derékszögû háromszög átfogója. Pitagorasz-tétel alapján: = + =19+9=178, így = 178» 1, (cm). D 1 téglalap alapú gúlának 8 éle van. téglalap alapú gúlának lapja van. c) gúla egy hálója az ábrán látható. d) gúla felszíne a lapok területének összege: T D : 1 = (cm ). T : 1 = 0 (cm ). T : 1 = 19, (cm ). T D : 1, 8 =,98 (cm ). T D : = 7, (cm ). felszín: = T D + T + T + T D + T D = = , +,98 + 7, = = 17,98 (cm ). D, , 1 1, környezetünkben található gúlának megfelelõ tárgyak felszínét hasonló módszerekkel számolhatjuk ki. Feladatok 1. z iffel-tornyot fel akarják öltöztetni. Mekkora területû anyagra van szükség, ha az iffel-torony magassága 9 méter, négyzet alakú alapjának oldala 1 méter, és a tornyot gúlának tekintjük? ( ). Hány négyzetdeciméter a dm élhosszúságú szabályos tetraéder felszíne?. cm élhosszúságú szabályos tetraéder minden élét %-kal növeljük. Hány százalékkal nõ a felszíne? 17

31 . gy négyzet alapú gúla minden éle cm. Mekkora kocka felszínével egyezik meg a gúla felszíne?. gy szabályos tetraéderbõl egy csúcsba futó három élének felezõpontján keresztül egy kisebb tetraédert vágunk le. Hányadrésze a kis tetraéder felszíne az eredetinek? ( ).. gy téglatest egy csúcsba futó élei cm, cm, 8 cm. téglatest egy lapjának minden csúcsát összekötjük a szemközti lap valamelyik csúcsával. a) Hányféle gúlát kaphatunk? (z egybevágó gúlákat nem tekintjük különbözõknek.) b) Rajzoljuk le a kapott gúlák hálóját! c) Számítsuk ki a kapott gúlák felszínét! 7. gy 9 m 10 m-es házra kétféle tetõt terveznek. Mindkettõ magassága m a födémhez képest. Melyikhez kell kevesebb cserepet vásárolni, a sátortetõhöz vagy a nyeregtetõhöz? 8. gy 8 cm élhosszúságú kocka egyik csúcsánál levágtunk egy tetraédert a kocka egy csúcsba futó három élének felezõpontjain keresztül. ( ) a) Mekkora a levágott tetraéder felszíne? b) Mekkora a kapott két test felszínének összege? 8. Rejtvény gy szabályos tetraéder minden lapja különbözõ színû, az egyik piros, a másik kék, a harmadik sárga, a negyedik zöld. Melyik a kakukktojás az alábbi öt nézet közül? 17

32 TÉRGOMTRI 7. Testek térfogata Tervezz labirintust! 1m Teherautó rakodófelülete: 0, m m egy szalmabála m 1. példa karácsonyi vásárra az ábrán látható szalmalabirintust építették. a) Hány szalmabálára volt szükség, ha egy szalmabála hossza kétszerese a szélességének, és minden szalmabálát fektetve raktak le, hármat egymásra? b) Hány olyan teherautóra fér rá ennyi szalmabála, amelynek a rakodófelülete m hosszú és m széles, és 1, m magasra lehet megpakolni, ha egy szalmabála szélessége és magassága is 0 cm? a) Összeszámolva a szalmabálákat, azt kapjuk, hogy egy rétegben 8 bála van, mivel rétegben rakták a labirintusba, így összesen 8 = 11 szalmabálából állt a labirintus. b) gy szalmabála szélessége 0 cm, hosszúsága ennek kétszerese, azaz 1 m. Így egy teherautó rakodófelületére fektetve 1 bála fér. gy bála 0, m magas, a teherautót 1, m magasságig lehet pakolni, így réteg fér egymásra, tehát egy teherautóra 1 = bála fér. 11 =,1, ezért a szalmabálák szállításához teherautóra van szükség. gy szalmabálát egy térfogategységnek tekintve a labirintusban a szalmabálák száma a labirintus falának térfogata.. példa z erkélyre 8 virágládába muskátlit ültetünk. gy virágláda belsõ méretei az ábráról leolvashatók. lég-e egy 0 literes zsák virágföld, ha mindegyik virágládát teletesszük földdel? 0 cm cm 1 cm 1 cm 1 cm 17

33 virágláda húrtrapéz alapú hasáb, térfogata az alaplap területének és a hasáb magasságának szorzata. hasáb magassága M = 0 cm. húrtrapéz területének kiszámításához szükségünk van a trapéz magasságára. cm F Húzzuk be a trapéz és csúcsából induló D magasságokat! zek talppontja és F. 1 cm m m F téglalap, ezért F = =1cm. Mivel a húrtrapéz tengelyesen szimmetrikus, 1 cm D = F. µ 1 Így D = = (cm). z D háromszögben a Pitagorasz-tétel alapján: m =1 µ = 1, így m = 1» 1 (cm) a trapéz magassága. + 1 trapéz területe: T alap = 1 = 0 (cm ). hasáb térfogata: V = 0 0 = 10 (cm ). 8 virágládába 8 10 cm = 8 90 cm = 8,9 dm föld fér. 8,9 liter < 0 liter Válasz: 0 liter virágföld elég a 8 virágládába. hasáb térfogata: az alaplap területe szorozva a hasáb magasságával. V hasáb = T alap M 1dm = 1 liter térfogatszámításkor gyakran használhatjuk a Pitagorasz-tételt.. példa gy mérõhenger alapkörének átmérõje kívül 10 cm, a henger fala 1 mm vastag. henger oldalfalán egy deciliterenként szeretnénk vonalakat húzni a méréshez. Hány milliméter lesz két szomszédos vonal távolsága? ( vonal vastagsága elhanyagolható.) mérõhenger alapkörének átmérõje belül 100 µ 1 µ 1 = 98 mm, sugara 9 mm. két vonal közti távolság annak a hengernek a magassága, amely alapkörének sugara 9 mm, térfogata 1dl = 100 ml (= 100 cm = mm ). henger térfogata egyenlõ az alapkör területének és a henger magasságának szorzatával: = 9 p M » 7 M / 7 M = » 1, (mm) Válasz: mérõhenger 1 dl-es beosztásakor két szomszédos vonal távolsága 1, mm. V henger = T alap M 177

34 TÉRGOMTRI számoláskor figyelnünk kell a mértékegységekre. számolás pontosságát a feladat szövege határozza meg. Például a mérõhengernél a tizedmilliméternek is lehet jelentõsége, a virágládánál ugyanez elhanyagolható.. példa Hány deciliter csokoládémázzal lehet mm vastagon bevonni egy cm átmérõjû kör alakú csokitortát, amelynek magassága 10 cm? mm 10 cm cm mm mm lyukas test: csokimáz teli test: bevont torta lyuk: csupasz torta csokimáz térfogata a bevont torta és az eredeti torta térfogatának különbsége. Mindkét torta henger. z eredeti torta: alapkörének átmérõje cm, sugara 1 cm, magassága 10 cm, térfogata: V e =1 p 10» (cm ). bevont torta: alapkörének sugara mm-rel több az eredetinél: 1 + 0, = 1, (cm), magassága mm-rel több az eredetinél: , = 10, (cm) térfogata: V b = 1, p 10,» 89 (cm ). Válasz: csokimáz térfogata: 89 cm µ cm = 7 cm = 7 ml =,7 dl. Lyukas test térfogatát számolhatjuk úgy, hogy a teli test térfogatából kivonjuk a lyuk térfogatát.. példa Figyeljük meg a vágáskor kapott síkmetszetet! Így vágva egy vékony szelet szalámit, ellipszist kapunk. Rajzoljuk le a szalámi nézeteit! oldalnézet felülnézet elölnézet gy henger alakú szalámirudat elvágva az ábrán látható testet kaptuk. z alapkör sugara cm, a test fedõlapja egy ellipszis, amelynek legalacsonyabb pontja cm-re, legmagasabb pontja 10 cm-re van az alaplaptól. Mekkora a szalámidarab térfogata? Két darab ugyanígy elvágott szalámit egymáshoz illesztve egy hengert kapunk, amelynek magassága + 10 = 1 (cm), alapkörének sugara pedig cm. szalámidarab térfogata: p 1 =,19» (cm ). cm 10 cm cm 10 cm 10 cm Hogyan lehet egy henger alakú poharat mérés nélkül épp a feléig tölteni vízzel? 178 több darabból álló test térfogata a darabok térfogatának összege. Két egybevágó test térfogatának összege az eredeti test térfogatának kétszerese.

35 *. példa konzervgyár 1%-kal csökkenti a henger alakú konzervdobozba rakott kukorica mennyiségét. doboz magassága ugyanakkora kell maradjon, csak az átmérõje csökkenhet. ( konzervdoboz mindig tele van kukoricával.) Hány százalékkal csökkentsék a henger alapkörének átmérõjét, hogy a konzervdoboz megfeleljen a feltételeknek? Jelöljük az eredeti, henger alakú konzervdoboz alapkörének sugarát r 1 -gyel, a csökkentés utáni sugarát pedig r -vel! Mindkét henger magassága M. térfogatuk: V 1 = r 1 p M és V = r p M. második henger térfogata 1%-kal kevesebb az elsõnél, ami azt jelenti, hogy az elsõ henger térfogatának 8%-a, vagyis 0,8-szorosa. második henger térfogata: V = 0,8 V 1 r p M = 0,8 r 1 p M / p M r = 0,8 r1 Mindkét oldalnak r = 08, r 1 vegyük a négyzetgyökét! r» 0,9 r 1 / r» 0,9 r 1 V 1 = r 1 p M V = r p M d =r d» 0,9 d 1 Tehát az új konzervdoboz alapkörének átmérõje 9%-a a régi konzervdoboz átmérõjének, azaz 8%-kal kell csökkenteni a konzervdoboz átmérõjét. betûkkel való számolás segíthet a megoldásban, ha nincsenek megadva konkrét számadatok, vagy az adatok túl nagy számok, esetleg közelítõen pontos értékek. Feladatok. 1. ecsüljétek meg, hány literes a legnagyobb edényetek otthon! Méréssel, számolással ellenõrizzetek!. gy, egy és egy cm élhosszúságú kockát egymás tetejére teszünk. ( ) a) Mekkora a kapott test térfogata? b) Hány centiméter egy éle az ugyanekkora térfogatú kockának? 179

36 TÉRGOMTRI. Rozi díszhalakat vásárol. Kiválasztott db vitorláshalat, db gurámit és db guppit. boltban azt tanácsolták neki, hogy akkora akváriumot vegyen, amelyikbe halanként legalább 1 liter víz fér. a) Melyik akváriumot válassza az alábbiak közül, és milyen magasan álljon benne a víz? kg b) Hány kilogramm az akvárium tömege, ha az üveg sûrûsége 00? m. Mekkora a térfogata azoknak a 10 cm magas hasáboknak, amelyek felülnézete az ábrán látható? ) cm cm cm ) ) 10 cm 18 cm 18 cm cm cm 8cm 0 cm 8cm 7cm 8cm D) 7cm 7cm 7cm. gy elefánt naponta 00 liter vizet iszik. lég-e neki naponta egy hordó víz, ha a henger alakú hordó magassága 10 cm, alapkörének átmérõje 0 cm?. Melyik henger alakú konzervdobozba fér több babkonzerv? bba, amelynek magassága cm és alapkörének átmérõje 1 cm, vagy abba, amelynek magassága 1 cm és alapkörének átmérõje cm? 7. gy paradicsomszósz-konzerv doboza 1 cm magasságú henger, alapkörének sugara, cm. Átlagosan milyen vastagon terítene be egy 1 cm sugarú pizzát, ha a teli dobozban levõ összes paradicsomszószt rátennénk? 8. gyümölcstorta receptje 0 cm átmérõjû, henger alakú tortaformára van megadva. Hányszorosát kell venni a hozzávalókból, ha ugyanolyan magasságú tortát készítünk cm átmérõjû tortaformában? 9. gy 100 g-os tábla csokoládé alapja 1 cm 7 cm-es téglalap. csokoládét 8 szeletre lehet osztani, az elölnézete az ábrán látható. Mekkora a csokoládé sûrûsége? 7mm 1 cm Rejtvény gy cm átmérõjû labda beleesett egy cm átmérõjû, 0 cm magas hengerbe. Hogyan vegyük ki a labdát anélkül, hogy megfordítanánk a hengert? 180

37 8. gúla térfogata (kiegészítõ anyag) Kísérletezzünk! Készítsük el kartonból az ábrán látható hálók alapján a két gúlát, amelyek színnel jelölt alaplapja kihajtható! llenõrizzük azt, hogy a gúlák alaplapja ugyanakkora területû-e, és a testmagasságuk is megegyezik-e! z egyik gúlát öntsük tele liszttel, majd azt öntsük át a másikba! Így láthatjuk, hogy a két gúla térfogata megegyezik. bbõl arra gondolhatunk, hogy a gúla térfogata csak az alaplap területétõl és a test magasságától függ. testmagasság alaplap 1. példa Mekkora annak a gúlának a térfogata, amelyet úgy kapunk, hogy a cm élhosszúságú kocka középpontját összekötjük a kocka egy lapjának négy csúcsával? Rajzoljunk egy kockát, és húzzuk be a testátlóit! Kössük össze ezek metszéspontját a kocka csúcsaival! Így a kocka mind a hat lapjához tartozik egy-egy gúla, amely megfelel a feladat feltételeinek. z a hat gúla egybevágó, így térfogatuk is egyenlõ. zért egy ilyen gúla térfogata a kocka térfogatának hatoda: V = = (cm ). kocka testátlói egy pontban metszik egymást, amely minden testátlónak a felezõpontja. z a pont a kocka középpontja. példában szereplõ gúla alaplapja a kocka egy lapja, területe = (cm ). gúla testmagassága a kocka egy élének fele: cm. Így a gúla térfogata az alaplap területének és a testmagasság szorzatának a harmada. z minden gúlára igaz. gúla térfogata egyenlõ az alaplap területének és a testmagasság szorzatának harmadával. V gúla = 1 T alap M 181

38 TÉRGOMTRI Érdekesség! Készítsünk négyzet alapú gúlát! négyzetlap oldalai cm-esek, a négy egyenlõ szárú háromszöglap szárai, cm-esek legyenek! Hat darab ilyen gúlát az ábrán látható kockahálóra ragasztva kockát hajthatunk össze, amellyel az 1. példa szemléltethetõ. Ha az elõbbi gúlákat fordítva hajtanánk össze, rombdodekaédert kaphatnánk. V gúla = T alap M D 1 m T Ö` 11 m 0 m M 0 m = = 0 = 0 Hány köbkilométer a piramis térfogata?. példa Kheopsz-piramis négyzet alapú gúla, melynek alapéle 0 m, oldaléle 1 m. Mekkora a piramis térfogata? piramis térfogatához az alaplap területét és a test magasságát kell ismernünk. z alaplap négyzet, melynek oldala 0 m, így az alaplap területe: T alap = 0 = 900 (m ). testmagasság meghatározásához vágjuk félbe a gúlát a négyzet átlója mentén, az alaplapra merõlegesen! síkmetszet egyenlõ szárú háromszög, melynek magassága a testmagasság. háromszög alapja a négyzet átlója: = 0. 0 T = = = 11 1 m 0 m z T derékszögû háromszögben a Pitagorasz-tétel alapján: M = µ T = 1 µ ( 11) = 1 µ 11 = , amibõl M = » 18 (m). 1 Így a piramis térfogata: V = = 00 (m ). D T M 18

39 *. példa gy cm élhosszúságú kockából két tetraédert vágtunk le az ábra szerint. Mekkora a megmaradt test térfogata? 1. megoldás alap kockából levágott két tetraéder egybevágó, alaplapja a kocka egy lapjának fele, magassága pedig a kocka egy éle, így a térfogata: testmagasság 1 V tetr = = ( cm ). megmaradt test térfogatát megkapjuk, ha a kocka térfogatából kivonjuk a két levágott tetraéder térfogatát: V = µ = = 8 Megjegyzés: levágott tetraéder térfogatát úgy is kiszámíthatjuk, hogy a szabályos háromszög lapjára állítjuk. z alaphoz tartozó testmagasság talppontja a szabályos háromszög középpontja, ez alapján a testmagasságot Pitagorasz-tétellel számoljuk. ( ), cm. megoldás megmaradt testet két téglalap alapú egybevágó gúlára vághatjuk. téglalap egyik oldala a kocka éle: cm, másik oldala a kocka lapátlója: cm, így a gúla alaplapjának területe:. M Ö` -m alap V tetr = 1 T alap M Rajzoljuk le a darabok hálóját! T alap = = (cm ). gúla testmagasságának kiszámításához vegyük észre, hogy a gúla egyik oldallapja merõleges az alaplapra, így a testmagasság ennek a háromszög alakú lapnak a magassága. háromszög egyenlõ szárú, derékszögû, és befogója a kocka éle. háromszöget a magassága két egybevágó, egyenlõ szárú derékszögû háromszögre bontja, így a magasság egyenlõ az átfogó felével: M = (cm). 1 gúla térfogata: V gúla = = cm. megmaradt test térfogata ennek kétszerese: = 8 cm. alap testmagasság ( ) M Ö` M, ( ) Rajzoljuk le a testek nézeteit! V gúla = 1 T alap M 18

40 TÉRGOMTRI Testeket kaphatunk úgy is, hogy nagyobb testbõl levágunk darabokat, vagy darabokból összeállítjuk a testet. Mindkét módszernek megfelelõen számolhatjuk a test térfogatát. Feladatok *1. z alábbi táblázat különbözõ gúlák adatait tartalmazza. Töltsük ki a táblázatot! laplap területe ( T alap ) 1 cm dm 10 cm 0 dm Testmagasság ( M) Térfogat ( V) cm cm 0 cm 0 cm 180 cm 1m dm 00 cm *. Határozzuk meg a négyzet alapú szabályos gúláknak a táblázatból hiányzó adatait! ( gúlák testmagasságának talppontja a négyzet átlóinak felezõpontja.) laplapél (cm) Oldalél (cm) 1 Testmagasság (cm) 8 1 Felszín (cm ) 100 Térfogat (cm ) *. gy cm élhosszúságú kocka egy lapjának középpontját összekötjük a szemközti lap csúcsaival, így egy gúlát kapunk. Mekkora a kapott gúla térfogata és felszíne? *. téglalap alapú gúla alapélei a és b, testmagassága M, és a testmagasság talppontja a téglalap átlóinak metszéspontja. Mekkora a gúla térfogata és felszíne? a) a = cm; b) a = 10 cm; c) a = 7 mm; b = cm; b = 8 cm; b = mm; M = cm; M= 1 cm; M = cm. *. gy asztalos egy téglatest alakú fagerendából az ábrán látható testet vágta ki. Mennyi a levágott rész tömege, kg ha a fa sûrûsége 00? ( ) m. 1 cm 10 cm 8 cm *. Kössük össze egy cm élhosszúságú kocka lapközéppontjait az ábra szerint! Így egy oktaédert kapunk. ( ). a) Mekkorák a kapott test élei? b) Rajzoljuk le a kapott test egy hálóját! c) Számítsuk ki a kapott test térfogatát! d) Számítsuk ki a kapott test felszínét! 18

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint)

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) (ESZÉV 2004.minta III./7) Egy négyoldalú gúla alaplapja rombusz. A gúla csúcsa a rombusz középpontja felett van, attól 82 cm távolságra. A rombusz oldalának hossza

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné tankönyv 5 Mozaik Kiadó Szeged, 2013 A TERMÉSZETES SZÁMOK 13. A szorzat változásai Az iskolai könyvtáros 10

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria 1) Egy gömb alakú labda belső sugara 13 cm. Hány liter levegő van benne? Válaszát indokolja! 2) Egy forgáskúp alapkörének átmérője egyenlő a

Részletesebben

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő?

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő? Észforgató középiskolásoknak 1.Egy tálba egymás után felütünk tíz darab tojást. A tojások közül kettő romlott, de ez csak a feltöréskor derül ki. A záptojások az összes előttük feltört tojást használhatatlanná

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 3. évfolyam Diák mérőlapok A kiadvány KHF/3992-8/2008. engedélyszámon 2008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

3 6. 3 4. o.: 1 50. feladat 5 6. o.: 26 75. feladat. Mérünk és számolunk 2011. Egységnyi térfogatú anyag tömege

3 6. 3 4. o.: 1 50. feladat 5 6. o.: 26 75. feladat. Mérünk és számolunk 2011. Egységnyi térfogatú anyag tömege Jármezei Tamás Egységnyi térfogatú anyag tömege Mérünk és számolunk 211 FELADATGYŰJTEMÉNY AZ ÁLTALÁNOS ISKOLA 3 6. ÉVFOLYAMA SZÁMÁRA Jedlik-verseny I. forduló 3 4. o.: 1 5. feladat 5 6. o.: 26 75. feladat

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2 Matematika A 1. évfolyam 5. modul Térfogat és felszínszámítás Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;

Részletesebben

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL Tizedes törtek írása, olvasása, összehasonlítása 7. a) Két egész hét tized; kilenc tized; három egész huszonnégy század; hetvenkét század; öt egész száztizenkét ezred; ötszázhetvenegy

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MINISZTÉRIUMA. 2013. május 7. 8:00 EMBERI ERFORRÁSOK

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MINISZTÉRIUMA. 2013. május 7. 8:00 EMBERI ERFORRÁSOK I. rész II. rész a feladat sorszáma maximális pontszám elért pontszám maximális pontszám 1. 11 2. 13 51 3. 13 4. 14 16 16 64 16 16 8 nem választott feladat Az írásbeli vizsgarész pontszáma 115 elért pontszám

Részletesebben

Tájékozódás számvonalon, számtáblázatokon

Tájékozódás számvonalon, számtáblázatokon Matematika A 2. évfolyam Tájékozódás számvonalon, számtáblázatokon 12. modul Készítette: Bóta Mária Kőkúti Ágnes matematika A 2. évfolyam 12 modul Tájékozódás számvonalon, számtáblázatokon modulleírás

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály SZENT ISTVÁN RÓMAI KATOLIKUS ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS ÓVODA 5094 Tiszajenő, Széchenyi út 28. Tel.: 56/434-501 OM azonosító: 201 669 Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály 1. Hányféleképpen lehet

Részletesebben

Rátz László Matematikai kvízverseny 5. osztály

Rátz László Matematikai kvízverseny 5. osztály Rátz László Matematikai kvízverseny 5. osztály 2010. november 26. 1. feladat Ez a különleges óra a pontos időt mutatja. Az első sor ötórás intervallumokat számol (minden ötóránként vált szürkére), a második

Részletesebben

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! ) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! 4 c) d) e) f) 9k + 6k l + l = ay + 7ay + 54a = 4 k l = b 6bc + 9c 4 + 4y + y 4 4b 9a évfolyam javítóvizsgára ) Végezd el az alábbi műveleteket és hozd a

Részletesebben

3M 2008. All rights reserved. 3M Deutschland GmbH Carl-Schurz-Straße 1 41453 Neuss www.scotchbecreative.de www.scotchprodukte.de

3M 2008. All rights reserved. 3M Deutschland GmbH Carl-Schurz-Straße 1 41453 Neuss www.scotchbecreative.de www.scotchprodukte.de 3M 2008. All rights reserved. 3M Deutschland GmbH Carl-Schurz-Straße 1 41453 Neuss www.scotchbecreative.de www.scotchprodukte.de A kreatív kézm úvesség a szépség alkotásának öröme, a részletek szeretete.

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a 4 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát! A keresett halmaz: {1 4 6 8}. ) Hányszorosára nő egy cm sugarú kör területe, ha a sugarát háromszorosára

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI A Gyakorló feladatsor I. megoldásai Számadó László (Budapest)

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI A Gyakorló feladatsor I. megoldásai Számadó László (Budapest) NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI A Gyakorló feladatsor I. megoldásai Számadó László (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre bontása csak ott lehetséges,

Részletesebben

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy okresného kola maďarský preklad 35. ročník, školský rok 2013/2014 KATEGÓRIA P 3

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy okresného kola maďarský preklad 35. ročník, školský rok 2013/2014 KATEGÓRIA P 3 KATEGÓRIA P 3 1. Misi két csomag rágógumiért 4 eurót fizetne. Írjátok le, hogy hány eurót fog Misi fizetni, ha mindhárom testvérének egy-egy csomag, saját magának pedig két csomag rágógumit vett! 2. Írjátok

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/4365-1/008. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben

UTASÍTÁSOK AZ UNICLIC BURKOLÓANYAG LERAKÁSÁHOZ

UTASÍTÁSOK AZ UNICLIC BURKOLÓANYAG LERAKÁSÁHOZ UTASÍTÁSOK AZ UNICLIC BURKOLÓANYAG LERAKÁSÁHOZ 1) ÁLTALÁNOS TUDNIVALÓK Az UNICLIC olyan forradalmian új rendszer, amellyel ragasztó nélkül végezhető a laminált padlóburkolók lerakása. A padlólapok összeillesztéséhez

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2007. NOVEMBER 24.) 3. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2007. NOVEMBER 24.) 3. osztály 3. osztály Anna, Béla és Csaba összesen 36 diót talált a kertben. Annának és Bélának együtt 27, Bélának és Csabának együtt 19 diója van. Mennyi diót találtak külön-külön a gyerekek? Gondoltam egy kétjegyű

Részletesebben

MATEMATIKA C 6. évfolyam 3. modul LERAKÓS, TOLOGATÓS JÁTÉKOK

MATEMATIKA C 6. évfolyam 3. modul LERAKÓS, TOLOGATÓS JÁTÉKOK MATEMATIKA C 6. évfolyam 3. modul LERAKÓS, TOLOGATÓS JÁTÉKOK Készítette: Köves Gabriella MATEMATIKA C 6. ÉVFOLYAM 3. MODUL: LERAKÓS, TOLOGATÓS JÁTÉKOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa

Részletesebben

ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ KOMPETENCIATERÜLET B. 6. évfolyam

ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ KOMPETENCIATERÜLET B. 6. évfolyam ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS KOMPETENCIATERÜLET B MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ 6. évfolyam A kiadvány az Educatio Kht. kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterve alapján készült. A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Anna, Béla és Csaba összesen 36 diót talált a kertben. Annának és Bélának együtt 27, Bélának és Csabának együtt 19 diója van. Mennyi diót találtak külön-külön a gyerekek? A 36 dióból 27 Annáé

Részletesebben

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas)

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas) Eredeti forrás: Pintér Klára: Játsszunk Dienes Zoltán Pál logikai készletével! http://www.jgypk.u-szeged.hu/methodus/pinter-klara-jatsszunk-logikat-logikai-keszlettel/ A logikai készlet lapjaival kapcsolatos

Részletesebben

1. A MÁSODIK OSZTÁLYBAN TANULTAK ISMÉTLÉSE

1. A MÁSODIK OSZTÁLYBAN TANULTAK ISMÉTLÉSE 1. A MÁSODIK OSZTÁLYBAN TANULTAK ISMÉTLÉSE 1. Írd le számokkal! Hat, tizenhat,,hatvan, hatvanhat, ötven, száz, tizenhét, húsz nyolcvankettı, nyolcvanöt. 2. Tedd ki a vagy = jelet! 38 40 2 42 50+4

Részletesebben

Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010.

Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010. Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010. 1. feladat tengeren léket kapott egy hajó, de ezt csak egy óra múlva vették észre. Ekkorra már 3 m 3 víz befolyt a

Részletesebben

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória 2005. január 12. feladatok kidolgozására két óra áll rendelkezésre. Számológép nem használható. példák tetszőleges sorrendben megoldhatók.

Részletesebben

PTE PMMK ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 1. hét. 1. heti gyakorlat. Készítette: Schmidtné Szondi Györgyi 1/1

PTE PMMK ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 1. hét. 1. heti gyakorlat. Készítette: Schmidtné Szondi Györgyi 1/1 1. heti gyakorlat Készítette: Schmidtné Szondi Györgyi 1/1 Szerkesztő-rajzolással kapcsolatos tudnivalók. Az ábrázoló geometria tanulásához feladatokat dolgozunk ki rajzban, azaz szerkesztéseket végzünk.

Részletesebben

Lerakó 7. modul készítette: köves GaBrIeLLa

Lerakó 7. modul készítette: köves GaBrIeLLa Lerakó 7. modul Készítette: KÖVES GABRIELLA 2 Lerakó A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A tudatos észlelés, a megfigyelés és a figyelem fejlesztése Párban, kis csoportban

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Egy asztal körül 24-en ülnek, mindannyian mindig igazat mondanak. Minden lány azt mondja, hogy a közvetlen szomszédjaim közül pontosan az egyik fiú, és minden fiú azt mondja, hogy mindkét közvetlen

Részletesebben

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály Megoldások I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika 1. osztály 4. Lackó kezében egy gesztenye van. 5. Kettő. 1 + 1 = 2. 6. Öt. 3 + 2 = 5. 7. Igaz állítás: A), D), E). 2. osztály 1. 6 lehetőség van. Ha ismétel,

Részletesebben

Matematika A 1. évfolyam. páros, páratlan. 22. modul. Készítették: Szabóné Vajna Kinga Harzáné Kälbli Éva Molnár Éva

Matematika A 1. évfolyam. páros, páratlan. 22. modul. Készítették: Szabóné Vajna Kinga Harzáné Kälbli Éva Molnár Éva Matematika A 1. évfolyam páros, páratlan 22. modul Készítették: Szabóné Vajna Kinga Harzáné Kälbli Éva Molnár Éva matematika A 1. ÉVFOLYAM 22. modul Páros, páratlan modulleírás A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. EMELT SZINT I. 1) Egy 011-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt

Részletesebben

Név:...EHA kód:... 2007. tavasz

Név:...EHA kód:... 2007. tavasz VIZSGA_FIZIKA II (VHNB062/210/V/4) A MŰSZAKI INFORMATIKA SZAK Név:...EHA kód:... 2007. tavasz 1. Egy 20 g tömegű testet 8 m/s sebességgel függőlegesen felfelé dobunk. Határozza meg, milyen magasra repül,

Részletesebben

1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF

1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF 1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF háromszög egyenlőoldalú, stb ). A 10 pont közül ki kell választani

Részletesebben

Alak- és helyzettűrések

Alak- és helyzettűrések 1. Rajzi jelek Alak- és helyzettűrések Az alak- és helyzettűrésekkel kapcsolatos előírásokat az MSZ EN ISO 1101:2006 Termékek geometriai követelményei (GPS). Geometriai tűrések. Alak-, irány-, helyzet-

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK

GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 25. GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 25. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS

Részletesebben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Részletesebben

Készítette: niethammer@freemail.hu

Készítette: niethammer@freemail.hu VLogo VRML generáló program Készítette: Niethammer Zoltán niethammer@freemail.hu 2008 Bevezetés A VLogo az általános iskolákban használt Comenius Logo logikájára épülő programozási nyelv. A végeredmény

Részletesebben

Matematika tanmenet/4. osztály

Matematika tanmenet/4. osztály Comenius Angol-Magyar Két Tanítási Nyelvű Iskola 2015/2016. tanév Matematika tanmenet/4. osztály Tanító: Fürné Kiss Zsuzsanna és Varga Mariann Tankönyv: C. Neményi Eszter Wéber Anikó: Matematika 4. (Nemzeti

Részletesebben

GEOMATECH TANULMÁNYI VERSENYEK 2015. JANUÁR

GEOMATECH TANULMÁNYI VERSENYEK 2015. JANUÁR GEOMATECH TANULMÁNYI VERSENYEK 2015. JANUÁR Letöltöttétek már a GeoGebra legfrissebb verzióját? Ha igen, a Nézet menüpontban nyissátok meg a 3D-s nézetet! Ha nem, töltsétek le a www.geogebra.org oldalon

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

Dr. Hant Lá szló, Há romi Ferenc: Á brázoló geometria feladatok SZÉCHENYI ISTVÁ N EGYETEM

Dr. Hant Lá szló, Há romi Ferenc: Á brázoló geometria feladatok SZÉCHENYI ISTVÁ N EGYETEM Dr. Hant Lá szló, Há romi Ferenc: Á brázoló geometria feladatok SZÉCHENYI ISTVÁ N EGYETEM 1 Tá voktatá si tagozat 1994 Ö sszeállította: Dr. Hant Lá szló fő iskolai docens Há romi Ferenc fő iskolai adjunkus

Részletesebben

3. A földi helymeghatározás lényege, tengerszintfeletti magasság

3. A földi helymeghatározás lényege, tengerszintfeletti magasság 1. A geodézia tárgya és a földmûvek, mûtárgyak kitûzése A földméréstan (geodézia) a Föld fizikai felszínén illetve a felszín alatt lévõ természetes és mesterséges alakzatok méreteinek és helyének meghatározásával,

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

b) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást!

b) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást! 2006/I/I.1. * Ideális gázzal 31,4 J hőt közlünk. A gáz állandó, 1,4 10 4 Pa nyomáson tágul 0,3 liter térfogatról 0,8 liter térfogatúra. a) Mennyi munkát végzett a gáz? b) Mekkora a gáz belső energiájának

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 016. január 16. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egyszerűsítse a következő kifejezést: Válaszát

Részletesebben

Fizikai olimpiász. 52. évfolyam. 2010/2011-es tanév. D kategória

Fizikai olimpiász. 52. évfolyam. 2010/2011-es tanév. D kategória Fizikai olimpiász 52. évfolyam 2010/2011-es tanév D kategória Az iskolai forduló feladatai (további információk a http://fpv.uniza.sk/fo vagy www.olympiady.sk honlapokon) A D kategória 52. évfolyamához

Részletesebben

PYTAGORIÁDA Az iskolai forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév KATEGÓRIA P3

PYTAGORIÁDA Az iskolai forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév KATEGÓRIA P3 KATEGÓRIA P3 1. Írjátok le, melyik alakzat nem tartozik a többi közé: négyzet, háromszög, egyenes, kör, téglalap 2. Számítsátok ki: 15 + 17= 24 + 59 = 50 + 20 = Az eredményeket adjátok össze és ezt az

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

VÁZLATOK, MUNKATÉRKÉPEK

VÁZLATOK, MUNKATÉRKÉPEK VÁZLATOK, MUNKATÉRKÉPEK A vázlatok olyan rajzok, melyek a térkép felhasználásával vagy egyszerűen a terepen készülnek és a polgári védelmi vezetés tájékoztatását szolgálják. VIII. 1. Vázlatok és készítésük

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk MTEMTIK C 1. évflyam. mdul mi terünk Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató mdul célja Időkeret jánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk térfgat- és felszínszámítási

Részletesebben

TARTALOM. Általános feltételek 44. Anyagszükséglet 44. Elnevezések 45. Zsindelyigény felmérése 50. Tető előkészítése 51. Zsindely felrakás 53

TARTALOM. Általános feltételek 44. Anyagszükséglet 44. Elnevezések 45. Zsindelyigény felmérése 50. Tető előkészítése 51. Zsindely felrakás 53 TARTALOM Általános feltételek 44 Anyagszükséglet 44 Elnevezések 45 Zsindelyigény felmérése 50 Tető előkészítése 51 Zsindely felrakás 53 Zsindely felrakási útmutató ÁLTALÁNOS FELTÉTELEK Az IKO nem vállal

Részletesebben

Fizika előkészítő feladatok Dér-Radnai-Soós: Fizikai Feladatok I.-II. kötetek (Holnap Kiadó) 1. hét Mechanika: Kinematika Megoldandó feladatok: I.

Fizika előkészítő feladatok Dér-Radnai-Soós: Fizikai Feladatok I.-II. kötetek (Holnap Kiadó) 1. hét Mechanika: Kinematika Megoldandó feladatok: I. Fizika előkészítő feladatok Dér-Radnai-Soós: Fizikai Feladatok I.-II. kötetek (Holnap Kiadó) 1. hét Mechanika: Kinematika 1.5. Mennyi ideig esik le egy tárgy 10 cm magasról, és mekkora lesz a végsebessége?

Részletesebben

FEJSZÁMOLÁS A TÍZEZRES SZÁMKÖRBEN A KÉTJEGYŰEKKEL ANALÓG ESETEKBEN. AZ ÖSSZEADÁS ÉS KIVONÁS MONOTONITÁSA. 5. modul

FEJSZÁMOLÁS A TÍZEZRES SZÁMKÖRBEN A KÉTJEGYŰEKKEL ANALÓG ESETEKBEN. AZ ÖSSZEADÁS ÉS KIVONÁS MONOTONITÁSA. 5. modul Matematika A 4. évfolyam FEJSZÁMOLÁS A TÍZEZRES SZÁMKÖRBEN A KÉTJEGYŰEKKEL ANALÓG ESETEKBEN. AZ ÖSSZEADÁS ÉS KIVONÁS MONOTONITÁSA 5. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 5. modul FEJSZÁMOLÁS

Részletesebben

Az ellipszis, a henger AF 22 TORZS/ HATODIK/Tor62al98.doc

Az ellipszis, a henger AF 22 TORZS/ HATODIK/Tor62al98.doc Az ellipszis, a henger AF 22 TORZS/ HATODIK/Tor62al98.doc..\..\Tartalomjegyzék.doc - Az ellipszis Cél: Látvány utáni tanulmány. Szakkörön, rajziskolában heteken át szerkezeti rajzokat készítenénk, átlag

Részletesebben

Lámpás / Éjszakai fény WINKLER Nr. 100596

Lámpás / Éjszakai fény WINKLER Nr. 100596 Lámpás / Éjszakai fény WINKLER Nr. 100596 Anyaglista: 1 Keményhab lap (Styrodur) 100 x 100 x 30 mm 4 Fanyárs (250 x 3 mm) 1 Elemdobozka 2 ceruzaelemnek AA 1 Világító dióda (LED) fehér, szupererős 1 Vezeték

Részletesebben

Gáztörvények. Alapfeladatok

Gáztörvények. Alapfeladatok Alapfeladatok Gáztörvények 1. Ha egy bizonyos mennyiségő tökéletes gázt izobár módon három fokkal felhevítünk, a térfogata 1%-al változik. Mekkora volt a gáz kezdeti hımérséklete. (27 C) 2. Egy ideális

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben

Robert Bosch GmbH. Lezser íróasztalka

Robert Bosch GmbH. Lezser íróasztalka Lezser íróasztalka Intelligens bútor Lezser íróasztalka Kinek van ma már szüksége nagy fiókos és tárolórekeszes íróasztalra? Az íróasztalka sokkal lezserebb. 1 Bevezetés A nagy fiókos szekrények és irattartók

Részletesebben

Gondolatok a Blokus játékról

Gondolatok a Blokus játékról Gondolatok a Blokus játékról Bagota Mónika Eötvös Loránd Tudományegyetem TÓK Matematika Tanszék, Budapest bagota.monika@tok.elte.hu A Blokus játék tartalma: 1db 400 mezős játéktábla; 84 db alakzat 4 színben.

Részletesebben

Matematika javítókulcs

Matematika javítókulcs 2003 ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS Matematika javítókulcs 6. évfolyam Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény - Értékelési Központ ÁLTALÁNOS TUDNIVALÓK A 2003-as tavaszi felmérés célja a tanulók

Részletesebben

A bemutató órák feladatai

A bemutató órák feladatai A bemutató órák feladatai 1, A dobozban van 7 narancsos, 4 epres, 3 szilvás, 2 banános cukorka. Becsukott szemmel hányat kell kivenned ahhoz, hogy biztosan legyen a) 1 db epres ízű b) 1 db narancsos ízű

Részletesebben

Tanulói munkafüzet. FIZIKA 9. évfolyam 2015. egyetemi docens

Tanulói munkafüzet. FIZIKA 9. évfolyam 2015. egyetemi docens Tanulói munkafüzet FIZIKA 9. évfolyam 2015. Összeállította: Scitovszky Szilvia Lektorálta: Dr. Kornis János egyetemi docens Tartalomjegyzék 1. Az egyenletes mozgás vizsgálata... 3 2. Az egyenes vonalú

Részletesebben

Szeminárium-Rekurziók

Szeminárium-Rekurziók 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

NEMZEDÉKEK TUDÁSA TANKÖNYVKIADÓ

NEMZEDÉKEK TUDÁSA TANKÖNYVKIADÓ POLGÁR JUDIT SAKKPALOTA 1 Képességfejlesztô sakktankönyv NEMZEDÉKEK TUDÁSA TANKÖNYVKIADÓ Budapest TARTALOMJEGYZÉK 1. Ismerkedés a sakk világával... 3 2. Ismerkedés a sakkbábokkal... 7 3. Ismerkedés a sakktáblával...

Részletesebben

sorszámok, számszomszédok

sorszámok, számszomszédok Matematika A 1. évfolyam sorszámok, számszomszédok 12. modul Készítette: bóta mária kőkúti ágnes matematika A 1. ÉVFOLYAM 12. modul sorszámok, számszomszédok MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK Építészeti és építési alapismeretek középszint 1521 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. október 12. ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK

Részletesebben

VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS. A feladatsor jellemzői

VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS. A feladatsor jellemzői VI.7. RÁSOÁLKOZÁS Tárgy, téma feladatsor jellemzői háromszögek, négyszögek területe rácssokszögek segítségével. Előzmények él terület fogalma. már ismert terület fogalom (főképp a háromszög és a négyszögek

Részletesebben

Több feladat megoldásához használnod kell az általunk előkészített állományokat, melyeket a tankönyvhöz tartozó, www.pedellusinfo.

Több feladat megoldásához használnod kell az általunk előkészített állományokat, melyeket a tankönyvhöz tartozó, www.pedellusinfo. 1. Informatikai eszközök használata / 4 2. Dokumentumkészítés / 15 3. Problémamegoldás / 24 4. Infokommunikáció / 35 5. Könyvtárhasználat / 37 Több feladat megoldásához használnod kell az általunk előkészített

Részletesebben

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 6. Egy kocka élei 2 cm hosszúak. A kocka fehér, de rendelkezésünkre áll sok a) 1cm 3cm-es b) 1cm 4cm-es c) 1cm 5cm-es d) 1cm 6cm-es piros papírszalag, amelyeket

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat

Bolyai János Matematikai Társulat Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. október 15. 2013. október 15. 8:00 MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. október 15. 2013. október 15. 8:00 MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK I. rész II. rész a feladat sorszáma maximális pontszám elért pontszám maximális pontszám 1. 11 2. 12 51 3. 14 4. 14 16 16 64 16 16 8 nem választott feladat Az írásbeli vizsgarész pontszáma 115 elért pontszám

Részletesebben

Hogyan készítsünk Put-Put boat -ot?

Hogyan készítsünk Put-Put boat -ot? Hogyan készítsünk Put-Put boat -ot? Anyagok: Alumínium üdítős doboz. Ebből lesz a kazán. Konzervdoboz is jó, de kevésbé rugalmas és nehezebb vele bánni. Öblítsük ki, vigyázzunk, nehogy behorpadjon. Műanyag,

Részletesebben

360 Ft. 10 990 Ft. 990 Ft. 29 900 Ft. 7 900 Ft. 2 690 Ft. 3 650 Ft. 7 490 Ft. www.taneszkoz.hu. Csak a készlet erejéig. Matematika

360 Ft. 10 990 Ft. 990 Ft. 29 900 Ft. 7 900 Ft. 2 690 Ft. 3 650 Ft. 7 490 Ft. www.taneszkoz.hu. Csak a készlet erejéig. Matematika Minden, ami a színvonalas oktatáshoz kell! Balázs-Diák Kft. 1043 Budapest, Csányi László u. 34. email: info@taneszkoz.hu Telefon: +36 1/266-5140 Fax: +36 1/266-4644 Matematika Számlapok 1-100 ig Számlapocskák

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta

Részletesebben

V. Matematikai Tehetségnap 2014. október 11. IV. osztály

V. Matematikai Tehetségnap 2014. október 11. IV. osztály V. Matematikai Tehetségnap 014. október 11. IV. osztály Munkaid : 45 perc. Minden feladatnak pontosan egy helyes válasza van. Minden helyes válasz 1 pontot ér. Megválaszolatlanul hagyott kérdésre, illetve

Részletesebben

Tartalom ELEKTROSZTATIKA AZ ELEKTROMOS ÁRAM, VEZETÉSI JELENSÉGEK A MÁGNESES MEZÕ

Tartalom ELEKTROSZTATIKA AZ ELEKTROMOS ÁRAM, VEZETÉSI JELENSÉGEK A MÁGNESES MEZÕ Tartalom ELEKTROSZTATIKA 1. Elektrosztatikai alapismeretek... 10 1.1. Emlékeztetõ... 10 2. Coulomb törvénye. A töltésmegmaradás törvénye... 14 3. Az elektromos mezõ jellemzése... 18 3.1. Az elektromos

Részletesebben