Biostatisztika Hipotézisvizsgálatok, egy- és kétoldalas próbák, statisztikai hibák, ANOVA

Átírás

1 Biostatisztika Hipotézisvizsgálatok, egy- és kétoldalas próbák, statisztikai hibák, ANOVA Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

2 Hipotézisvizsgálatok A hipotézisvizsgálat során a rendelkezésre álló adatok (statisztikai minta) alapján az egész jelenség (populáció) tulajdonságaira következtetünk. Azt vizsgáljuk, hogy a tapasztalt eredmény (különbség) nagyobb-e, mint amit a véletlen önmagában okoz. Krisztina Boda 2

3 Mintavétel, szimuláció Legyen a populáció 120 átlagú, 10 szórású normális eloszlás, ebből veszünk 50 elemű mintákat Krisztina Boda 3

4 25 Histogram: s2 K-S d=.08901, p>.20; Lilliefors p>.20 Expected Normal No. of obs X <= Category Boundary Krisztina Boda 4

5 20 Histogram: s3 K-S d=.06554, p>.20; Lilliefors p>.20 Expected Normal No. of obs X <= Category Boundary Krisztina Boda 5

6 25 Histogram: s4 K-S d=.05667, p>.20; Lilliefors p>.20 Expected Normal No. of obs X <= Category Boundary Krisztina Boda 6

7 20 Histogram: s5 K-S d=.06256, p>.20; Lilliefors p>.20 Expected Normal No. of obs X <= Category Boundary Krisztina Boda 7

8 22 Histogram: s6 K-S d=.11902, p>.20; Lilliefors p<.10 Expected Normal No. of obs X <= Category Boundary Krisztina Boda 8

9 25 Histogram: s7 K-S d=.07360, p>.20; Lilliefors p>.20 Expected Normal No. of obs X <= Category Boundary Krisztina Boda 9

10 átlag + SD 120 átlagú, 10 szórású populációból származó 50 elemű minták átlagai és szórásai ismétlés Krisztina Boda 10

11 Mekkora lehet a véletlen ingadozás? A minták átlagai 120 körül ingadoznak, ha nem történik semmi, csak sima ismétlés Két mérés különbségének átlaga a 0 körül ingadozik Mekkora az a különbség, amit már nem a véletlen okoz? Krisztina Boda 11

12 Nullhipotézis: véletlen ingadozást mértem, semmi nem történt. A különbség 0 körül ingadozik y=student(x;49) Hipotézisek Alternatív hipotézis: a véletlen ingadozásnál nagyobbat mértem, valami történt A különbség 0-tól eltérő szám körül ingadozik p=2*(1-istudent(abs(x);49))??? Krisztina Boda 12

13 Hipotézisek tesztelése Mekkora esélyt adjunk a véletlennek? (Megbízhatósági szint). Akármennyi lehet, (tőlünk függ), általában 95% Mekkora esélyt adjunk annak, hogy esetleg hibásan döntünk (szignifikancia szint) Általában 5% ( =0.05) Krisztina Boda 13

14 A hipotézisvizsgálat menete Hipotézisek felállítása Nullhipotézis: semmi nem történt Alternatív hipotézis: valami változás van A döntés megbízhatósága (vagy a hiba) rögzítése: =0.05 Döntési szabály felállítása (függ: a kísérleti elrendezéstől, -tól, az elemszámtól) Minta-elemszám meghatározása A minta előállítása (mérés, adatgyűjtés,stb) A döntési szabály kiszámítása Döntés A nullhipotézist elfogadjuk (nincs szignifikáns különbség szinten, nincs elegendő információ a különbség (hatás) kimutatására) A nullhipotézist elvetjük, a különbség szignifikáns %-os szinten. A tapasztalt különbség nem csupán a véletlen műve, valami más hatás (kezelés??) is közbejátszott. Krisztina Boda 14

15 Student féle t-próbák Általános cél. A Student t-próbák normális eloszlású populációk átlagait vizsgálják. A hipotézisek teszteléséhez egy t próbastatisztikát használnak, amely a nullhipotézis fennállása esetén adott szabadságfokú t-eloszlást követ. Egymintás t-próba. Adott egyetlen minta, amelyről feltesszük, hogy normális eloszlásból származik. A próbával azt teszteljük, hogy a populációátlag lehet-e egy adott konstans H0: =c Páros t-próba (= egymintás t-próba a különbségekre). Két összetartozó mintát vizsgál. Feltételezzük, hogy a különbség-minta normális eloszlásból származik. A próbával azt teszteljük, hogy a különbség-átlag a populációban lehet-e nulla H0: különbség =0 Kétmintás t-próba ( independent samples t-test). Két független mintánk van, mindegyikről feltétezzük, hogy normális eloszlású populációból származik. A próbával azt teszteljük, hogy a két populáció-átlag azonos-e H0: 1 = 2 Krisztina Boda 15

16 Normális eloszlást feltételezve, az átlagok összehasonlítására használható próbák Egy minta esete: egymintás t-próba Két minta esete: Összetartozó minták: (előtt-után, baloldal-jobboldal): páros t-próba= egymintás t-próba a különbségekre Független minták (placebo-kezelés, férfi-nő, betegegészséges): kétmintás t-próba Azonos szórások esetén klasszikus Különböző szórások esetén módosított (Welch, D) Szórások egyezésének tesztelése: F-próba, Levene-próba Több (>2) minta esete: varianciaanalízis Krisztina 3. Egyváltozós Boda statisztikák 16

17 Krisztina Boda t-próbák végrehajtásának általános menete Null- és alternatív hipotézis felállítása Rögzítjük -t Ellenőrizzük a feltételeket legalább grafikusan Normalitásvizsgálat, kétmintás t-próba esetén a varianciák azonossága a hisztogramok illetve boksz diagramok alapján A próbastatisztika kiszámítása általában egy formula Döntés táblabeli t-érték (t táblázat ) alapján döntés( kézi számolás) t >t táblázat - elvetjük H0-t (elfogadjuk Ha-t) és azt mondjuk, hogy a különbség szignifikáns szinten t <t táblázat nem vetjük el H0-t (elfogadjuk) és azt mondjuk, hogy a különbség nem szignifikáns szinten Döntés p-érték alapján (számítógép) p< - elvetjük H0-t (elfogadjuk Ha-t) és azt mondjuk, hogy a különbség szignifikáns szinten p> - nem vetjük el H0-t (elfogadjuk) és azt mondjuk, hogy a különbség nem szignifikáns szinten 17

18 Statisztikai próbákról általában

19 Egy- és kétoldalas próbák Kétoldalas próba H 0 : nincs változás 1 = 2 H a : van változás (bármilyen irányú) 1 2 Egyoldalas próba H 0 : az átlag nem csökkent, 1 2 H a : az átlag csökkent, 1 > 2 9 szabadságfokú t-eloszlás Más lesz a táblabeli kritikus érték. p egyoldalas =p kétoldalas /2 Krisztina Boda 19

20 valószínűség df valószínűség egyoldalas kétoldalas df Krisztina Boda 20

21 Szignifikancia Szignifikáns a különbség ha azt mondjuk, hogy van hatás, az esetleges hiba nagysága kicsi (maximum - ez az ún. első fajta hiba). Nem szignifikáns különbség ilyenkor csak annyit tudunk mondani, hogy nincs elegendő információ a különbség kimutatására. Lehet, hogy Valóban nincs is különbség Van különbség, csak kevés volt az elemszám Nagy volt a szórás Rossz volt a vizsgálati módszer A statisztikai szignifikanciát mindig át kell gondolni, vajon biológiai szempontból jelentős-e Krisztina Boda 21

22 Statisztikai hibák Hipotézisvizsgálat során a minták alapján az összehasonlítandó populációkról döntést hozunk: vagy azt állítjuk róluk, hogy különbözők, vagy azt, hogy azonosak. Bárhogyan döntünk is, nem tudhatjuk, hogy helyesen döntöttünk-e, mivel a valóságot nem ismerjük (a hipotézisvizsgálatot éppen ezért végezzük). Helyesen döntöttünk, ha különbséget állapítottunk meg és a populációk valóban eltérők, vagy ha nem állapítottunk meg különbséget, és a populációk valóban azonosak. Döntés H A igaz Igazság H 0 igaz Elvetjük H 0 -t helyes döntés első fajta hiba, Type I. error (szign.) (álpozitív eredmény) valószínűsége: Nem vetjük el második fajta hiba, helyes döntés H 0 -t Type II.error (álnegatív (nem szign.) eredmény) valószínűsége: Krisztina Boda 22

23 Kereszt-osztályozás emlékeztető A referencia teszt Az általunk vizsgált (új) teszt eredménye Pozitív (beteg) Negatív (nem beteg) Pozitív VP Valódi pozitív ÁP Álpozitív Össz pozitív (a + b) (a) (b) Negatív ÁN Álnegatív VN Valódi negatív Össz negatív (c + d) (c) (d) Összes beteg (a + c) Összes nem beteg (b + d) Összes eset (n=a+b+c+d) Szenzitivitás= a/(a+c) 100% P(T + B) = P(T + B)/P(B) Specificikusság= d/(b+d) 100% P(T - E ) = P(T - E )/P(E ) Pozitív prediktív érték= a/(a+b) 100% Negatív prediktív érték = d/(c+d) 100% Validitás = (a+d)/(a+b+c+d) 100% Álnegativitási arány= c/(a+c) 100% ; Álpozitivitási arány= b(b+d) 100% ; Krisztina Boda

24 Első fajta hiba, Type I. error Előfordulhat, hogy szignifikáns különbséget állapítunk meg, pedig valójában nincs különbség. Ebben az esetben a döntés hibás, az elkövetett hibát első fajta hibának nevezik, nagyságát elkövetésének valószínűségével szokás megadni. Az első fajta hiba valószínűsége annak esélye, hogy a tapasztalt különbséget a véletlen okozta, ez éppen a szignifikanciaszinttel egyenlő ( ). Ha több összehasonlítást végzünk, pl. több csoportot páronként hasonlítunk össze, ez a hiba halmozódhat. Krisztina Boda 24

25 Második fajta hiba, Type II.error Hipotézisvizsgálat során nem állapítunk meg szignifikáns különbséget, pedig valójában azaz a populációk között mégis van különbség. Ebben az esetben a döntés hibás, az így elkövetett hibát második fajta hibának nevezik. A második fajta hiba valószínűségét ( ) általában nem ismerjük, mivel függ a szignifikanciaszinttől ( ), az elemszámtól, a populáció(k) szórásától tényleges különbség (hatás) nagyságától egyéb tényezők (milyen próba, a feltételek teljesülése, a kísérleti elrendezés,..) A második fajta hiba valószínűségének kiszámítását az nehezíti, hogy nem ismerjük a populációk közötti tényleges különbséget, így gyakran ehelyett a megfelelőnek tekintett különbséget (pl. a legkisebb klinikailag jelentős különbség), vagy a minták átlagai alapján becsült különbséget alkalmazzák. A populáció szórását pedig a minta(ák)ból számolt szórással közelítik. Krisztina Boda 25

26 A próba ereje A második fajta hiba valószínűsége helyett inkább (1 )-t, a próba erejét szokták megadni A próba ereje azt méri, hogy a próba milyen jó abban az esetben, ha elvetjük a hamis nullhipotézist. Minél erősebb a próba, (minél közelebb van értéke 1-hez), annál nagyobb valószínűséggel veti el a hamis nullhipotézist. Másképpen: a próba ereje annak valószínűsége, hogy egy különbséget adott mintanagyság és szignifikancia-szint mellett egy statisztikai próba kimutat. A vizsgálatok tervezésének gyakorlatában az erő nagyságának előre megszabott értékéből kiindulva határozzák meg a szükséges mintaelemszámot. A statisztika elméletének fontos része olyan döntési szabályok keresése, amely a próbát a lehető legerősebbé teszi adott esetén. Krisztina Boda 26

27 Második fajta hiba, Type II.error Ha a ködben semmit sem látsz, ez távolról sem jelenti azt, hogy nincs ott semmi. (Piepenbrink kapitány Hans-Peter Beck-Bernholdt, Hans-Hermann Dubben: A tojást rakó kutya. Magyar könyvklub, 1999.) Krisztina Boda 27

28 Második fajta hiba, Type II.error Krisztina Boda 28

29 A próba ereje adott elemszám és esetén, különböző alternatív hipotézisek mellett Krisztina Boda 29

30 A próba ereje adott elemszám és esetén, különböző alternatív hipotézisek mellett Krisztina Boda 30

31 Két átlag (változás) összehasonlításához szükséges elemszám ismert esetén z x 0 n Legyen a H0-ban és a H1-ben megfogalmazott átlag µ 0 ill. µ 1. Adott α,β, µ 0 ill. µ 1 esetén, konstans és ismert szórást tekintve a kritikus értékek a következők: z x 0 n z x 1 n z α µ 0 z β µ 1 ( z ) z n 1 0 Kétoldalas α=0.05 esetén z α =1.96, Egyoldalas β=0.1 esetén z β =1.28. Az egyenletekből az átlagot kifejezve és a két oldalt egyenlővé téve az n: 2 Krisztina Boda 31

32 Kérdések Ha két mintaátlagát vizsgálom, milyen esetben (milyen kísérlet esetén) lehet páros t-próbát és milyen esetben lehet kétmintás t- próbát alkalmazni? A kétmintás t-próba feltételei A kétmintás t-próba nullhipotézise A kétmintás t-próba végrehajtása azonos és különböző varianciák esetén A varianciák összehasonlítása: F-próba A statisztikai szignifikancia jelentése és értelmezése Statisztikai hibák Az első fajta hiba jelentése és valószínűsége A második fajta hiba jelentése és valószínűsége. Mitől függ? A próba ereje Elemszámbecslés két átlag összehasonlításához (mitől függ?) Krisztina Boda

33 Feladat A kalcium hatását vizsgálták a vérnyomásra két csoportban. A kezelés előtt és a kezelés után mért különbségeket hasonlították össze kétmintás t-próbával. Értelmezze az alábbi eredményeket! Kimutatható-e 5%-os hibát feltételezve, hogy a kalcium kezelés csökkenti a vérnyomást? Vérnyomás-esés alapstatisztikák Group Statistics decr treat Calcium Placebo Std. Error N Mean Std. Dev iation Mean t-próba eredménye: különböző varianciákat feltételezve, t=1.604, szabadságfok=15.591, p=0.129-et kaptunk. (Útmutatás: elegendő a p-érték alapján dönteni, p>0.05, a különbség nem szignifikáns 5%-os szinten) Independent Samples Test decr Equal v ariances assumed Equal v ariances not assumed Levene's Test f or Equality of Variances t-test for Equality of Means 95% Confidence Interv al of the Mean Std. Error Dif f erence F Sig. t df Sig. (2-tailed) Dif f erence Dif f erence Lower Upper Krisztina Boda

34 Feladatok 1. Vajon azonos-e a diabeteses és nem diabeteses populáció átlag- cholesterin szintje? Egy vizsgálatban az között születettek korcsoportjában a következő eredményeket kapták: Kontroll csoport n=63, átlag=5.27, SD=1.16 Diabetes csoport n=52, átlag=4.63, SD=1.31. A kérdés eldöntésére milyen statisztikai próbát használ? Mik a próba feltételei? A próbastatisztika értéke t= Szignifikáns-e a különbség? Döntsön 5%-os szinten (α =0.05) A p-érték Szignifikáns-e a különbség 5%-os szinten? 2. Vajon azonos-e a hallgatók populációjában a fiúk és lányok átlagéletkora? Az idegen nyelvű képzésben szereplő hallgatók adatait elemezve, az átlagok összehasonlítására a következő eredményeket kapták: Fiú: n=4, átlag=21.18, SD=3.025 Lány: n=53, átlag=20.38, SD=3.108 A kérdés eldöntésére milyen statisztikai próbát használ? Mik a próba feltételei? A próbastatisztika értéke t= Szignifikáns-e a különbség? Döntsön 5%-os szinten (α =0.05) A p-érték Szignifikáns-e a különbség 5%-os szinten? Krisztina Boda 34

35 Krisztina Boda Problémák több próba végrehajtásakor

36 átlag + SD Ugyanazon populációból származó minták páronkénti összehasonlítása t-próbával T-test for Dependent Samples: p-levels (veletlen) Marked differences are significant at p < Variable s10 s11 s12 s13 s14 s15 s16 s17 s18 s19 s20 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s ismétlés Krisztina Boda 36

37 Miért nem t-próbákat végzünk páronként? Mert a véletlen is okozhat szignifikáns eredményt átlagosan minden 20-adik esetben. CSOP R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R t - p r s z i g n. 4 e l s ő f a j t a h i b a v s z - e Krisztina Boda 37

38 Az első fajta hiba növekedése, összehasonlításonkénti és kísérletenkénti szignifikancia Ha egy adott adathalmaz esetén adott változóra vagy változókra vonatkozóan több statisztikai próbát is elvégzünk, mindegyiket adott mellett, az egész kísérletre vonatkozó az első fajta hibavalószínűség -nál sokkal nagyobb is lehet. Ez a meglepőnek látszó tényt a kétmintás t- próbával mutatjuk be: Az =0.05 szint azt jelenti, hogy amennyiben a nullhipotézis igaz, (pl. az összehasonlítandó populációk között nincs különbség), az első fajta hiba elkövetésének valószínűsége 0.05, azaz minden száz ilyen esetből 5 alkalommal, nagyjából minden húszadik esetben követhetjük el ezt a hibát. Ennyiszer okoz ugyanis a véletlen a különben egyforma, azonos populációkból vett minták közt túlságosan nagy, általunk szignifikánsnak minősített különbséget. Ha több, azonos populációból vett mintát páronként hasonlítunk össze, 20 közül átlagosan 1 összehasonlítás szignifikáns eredményre vezet! Általában, n számú független összehasonlítás esetén annak valószínűsége, hogy legalább egy összehasonlítás hibás (legalább egyszer elkövetjük az első fajta hibát), maximum:1-(1- ) n Krisztina Boda 38

39 A kísérletenkénti első fajta hiba valószínűségének növekedése Emiatt hibás több csoport esetén az átlagok összehasonlítására páronkénti kétmintás t-próbákat végezni, vagy két csoport esetén több összefüggő változót szintén kétmintás t-próbákkal összehasonlítani. Nem tudhatjuk ugyanis, hogy a szignifikáns eredmények közül melyek tulajdoníthatók a véletlennek, és melyek tükröznek valódi különbséget. Krisztina Boda 39

40 Sok kis darabból összecsomózott hegymászókötél: az egyes csomók 95%-os valószínűséggel jól tartanak Két csomó hibátlan voltának valószínűsége=0.95*0.95 =0.9025~90% 20 csomó hibátlan voltának valószínűsége= = =0.358~36% Lezuhanás valószínűsége 20 csomó esetén ~64% Krisztina Boda 40

41 Megoldás: sok t-próba helyett egyetlen varianciaanalízis Az egyedi p-értékek korrekciója Bonferroni Holm FDR (False Discovery Rate) Krisztina Boda 41

42 ANOVA Analysis of Variance Több (>2), normális eloszlású populáció átlagának összehasonlítására szolgáló módszer Fajtái: Egyszempontos (one-way): kontroll, kezelés I, kezelés II. Többszempontos (Kezelés, nem: a kettő együtt hogy hat) Bármelyik szempont lehet független ( between-subjects ) pl. nem, kezelési csoportok ismételt méréses ( within-subjects ) pl. időben mért ismétlések Krisztina Boda 42

43 Példa Egy kísérletben (Farkas és mtsai, 2003.) lokális iszkémiának alávetett, izolált patkányszívben a szívfrekvencia és a QT szakasz hosszának változását vizsgálták három antiaritmiás gyógyszer hatására. 5 Mm K+ kálium ion koncentráció esetén, 25 perccel a lokális iszkémia után a QT szakasz hosszára a 4.8. táblázatban látható értékeket kapták. Vizsgáljuk meg, hogy a 4 csoportban van-e különbség a QT szakasz átlagos hosszában! Kontroll Quinidine Lidocaine Flecainide átlag SD Kontroll Quinidine Lidocaine Flecainide Krisztina Boda 43

44 Egyszempontos ANOVA Feltételek, nullhipotézis Feltételek: Az egyedek véletlenszerűen kerülnek egyik vagy másik csoportba, a minták független minták (egy egyed csak egy csoportba kerülhet). Az összehasonlítandó értékeket tartalmazó változó folytonos. A minták normális eloszlású populációból származnak. Azok a populációk, amelyekből a minták származnak, azonos varianciájúak. Nullhipotézis: A független minták azonos eloszlású populációból származnak, azaz a populáció-átlagok megegyeznek H0: 1 = 2 = = t t a csoportok száma (t kezelés - treatment) HA: i j i j, i,j=1,2, t (van a csoport-átlagok között különböző) Krisztina Boda 44

45 Módszer Az ANOVA a teljes adathalmaz összvarianciáját kétféle forrásból származtatja: Csoportok közötti Csoportokon belüli Ha igaz az a nullhipotézis, hogy a populáció-átlagok megegyeznek, (H0: 1 = 2 = = t ), akkor a populációban a csoportok közötti és a csoportokon belüli variancia is megegyezik. A kettő hasonlításával lehet következtetni az átlagok azonosságára. új nullhipotézis: A populációban a csoportok közötti és a csoportokon belüli variancia megegyezik. 2 között= 2 belül Tesztelése: F-próba (egyoldalas). Egy p-értéket ad: ha p>0.05, akkor elfogadjuk az átlagok azonosságát (H0) ha p<0.05, akkor van az átlagok között különböző Krisztina Boda 45

46 a) b Azonos (a) és különböző (b) átlagú, egységnyi szórású normális eloszlású populációkból vett 6 elemű véletlen minták. Krisztina Boda 46

47 A varianciaanalízis táblázata A variancia analízis számításait általában táblázatba szokták foglalni A szóródás oka Négyzetösszeg Szabadságfok Variancia F t Csoportok 2 Qk ni ( xi x) között t-1 2 Qk s i 1 t 1 t ni Csoportokon 2 Qb ( xij xi ) 2 Qb belül i 1 j 1 N-t sb N t Teljes Q t ni 2 ( xij x) i 1 j 1 N-1 k F s s 2 k 2 b Krisztina Boda 47

48 A varianciaanalízis táblázata példafeladat adataira Kontroll Quinidine Lidocaine Flecainide A szóródás oka Négyzetösszeg Szabadságfok Variancia F p Csoportok között Csoportokon belül Teljes F(3,19)=14.426, p<0.001, a különbség szignifikáns, csoport-átlagok között van legalább egy, a többitől eltérő Krisztina Boda 48

49 További teendők, ha a varianciaanalízis eredménye szignifikáns Ha megállapítottuk, hogy az átlagok nem mind azonosak, felmerül a kérdés, hol van a különbség? Ismételt t-próbákkal nem dolgozhatunk (1. fajta hibanövekedés) Speciális páronkénti összehasonlítások (posthoc tesztek) Előre tervezett összehasonlítások Krisztina Boda

50 Páronkénti hasonlítások Módosított t-próbák (LSD) Bonferroni Scheffé Tukey Dunnett- egy kontrollhoz hasonlítja a többi csoportot Az átlagok különbsége Dunnett - p Kontroll Quinidine Kontroll Lidocaine Kontroll Flecainide Krisztina Boda

51 Páronkénti hasonlítások Multiple Comparisons Multiple Comparisons Dependent Variable: QT LSD (I) CSoport Kontroll Quinidine Lidocaine Flecainide (J) CSoport Quinidine Lidocaine Flecainide Kontroll Lidocaine Flecainide Kontroll Quinidine Flecainide Kontroll Quinidine Lidocaine Mean Diff erence 95% Confidence Interv al (I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound * * * * * * * * *. The mean diff erence is signif icant at the.05 lev el. Dependent Variable: QT Bonf erroni (I) CSoport Kontroll Quinidine Lidocaine Flecainide (J) CSoport Quinidine Lidocaine Flecainide Kontroll Lidocaine Flecainide Kontroll Quinidine Flecainide Kontroll Quinidine Lidocaine Mean Diff erence 95% Confidence Interv al (I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound * * * * * * *. The mean diff erence is signif icant at the.05 lev el. p Bonferroni =p LSD *összehasonlítások száma=p LSD *6 Krisztina Boda 51

52 > csoport<-factor(c(1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4)) > mit<c(61,53,68,66,54,76,84,89,78,81,89,65,56,76,72,66,69,69,65,73,71,61,69) > mean(mit[csoport==1]);sd(mit[csoport==1]) [1] 60.4 [1] > mean(mit[csoport==2]);sd(mit[csoport==2]) [1] [1] > mean(mit[csoport==3]);sd(mit[csoport==3]) [1] [1] > mean(mit[csoport==4]);sd(mit[csoport==4]) [1] 68 [1] > boxplot(mit~csoport) > fit<-aov(mit~csoport) #1-es tipusu, unbalanced eseten > fit Call: aov(formula = mit ~ csoport) R futtatás Terms: csoport Residuals Sum of Squares Deg. of Freedom 3 19 Residual standard error: Estimated effects may be unbalanced > summary(fit) #szokasos ANOVA tablat adja Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) csoport e-05 *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * > pairwise.t.test(mit,csoport,p.adj="none") #LSD Pairwise comparisons using t tests with pooled SD data: mit and csoport e P value adjustment method: none > pairwise.t.test(mit,csoport,p.adj="bon") #Bonferroni Pairwise comparisons using t tests with pooled SD data: mit and csoport e P value adjustment method: bonferroni Krisztina Boda

53 Kérdések és feladatok Krisztina Boda Miért nem helyes több csoport átlagának összehasonlítására páronként t-próbákat alkalmazni? A Bonferroni korrekció Az egyszempontos varianciaanalízis céja, null- és alternatív hipotézise A varianciaanalízis elve (milyen varianciákat hasonlít?), táblázata Páronkénti hasonlítások

54 Hasznos WEB oldalak Klinikai Biostatisztikai Társaság Rice Virtual Lab in Statistics html Statistics on the Web Krisztina Boda 54