Hidrosztatikai problémák

Átírás

1 Hidrsztatikai prblémák 11 hidrsztatikai nymással kapcslats gndlatmenetek Szájával lefelé frdíttt, vízzel telt mérőhengert kiemelünk egy nagybb kád vízből Kössünk rugós erőmérőt a mérőhengerre, s annál fgva emeljük ki adtt magasságig Mekkra erőt jelez a dinamméter? Diszkutáljuk az esetet! Tekintsünk egy erre vnatkzó mdell kísérletet mérőhengerre ráhúzunk egy jól záró sapkát, abból kiszívjuk a levegőt Ekkr a hengert a külső p nymás be akarja lőni a vákuumba lul a hengert, pl egy rugós erőmérő segítségével tartjuk (11 ábra) Ez az erő a mérőhenger fenekére ható, felfelé mutató F erőnek és a mérőhenger súlyának a különbsége z F erő reakciója visznt a hengerben lévő vízre hat lefelé Lassan szüntessük meg a vákuumt, ekkr a hengert alul mind kevesebb erővel kell tartani, sőt a sapka levételekr már felfelé kell húznunk (1 ábra) z egész művelet alatt a hengerben lévő víz nyugalmban vlt, tehát a reá ható erők összege zérus maradt Mivel a vízre a külső p nymásból adódó p erő, tvábbá G súlya és végül az üvegtől származó F erő hattt, ezért ezek összege maradt zérus p és a G erő a művelet alatt váltzatlan maradt, így F is váltzatlan kellett, hgy maradjn Tehát az eredeti helyzetben is F erő hat az üvegcsőre felfelé, amint az 1 ábra mutatja Felírjuk az egyensúly egyenletét külön a mérőhengerre és külön a vízre az 1 ábra szerint, ahl F r a dinamméter által jelzett erő Mérőhengerre: F p G + F = r Vízre: F G + p F cső = p G = F = G + G (1) r cső Tehát a dinamméter a cső és a benne lévő víz súlyának összegét jelzi, ahgyan azt vártuk is z F kényszererő bevezetésével így mélyebben tudjuk analizálni azt a jelenséget, hgy ugyan az üvegcsövet tartjuk a benne lévő vízhez nem érünk mégis ez által a vizet emeljük ki a kádból, vagyis hagyjuk érvényesülni a légnymást, hgy az nymja fel a vizet kényszererők fntsságát és szemléletfrmáló erejét a knkrét példán keresztül is jól megvilágíthatjuk a tanulónak 1 Más megldás Ugyanerre az eredményre jutunk más gndlatmenettel is Képzeljük el, hgy egy kevés levegő szrult a víz föle a mérőhengerbe Valójában ez a reális helyzet Tekintsük mst így a kiindulási helyzetet, vagyis amikr a kiemelt csövet adtt F r erővel tartjuk Pascal törvénye szerint az elzárt levegő p nymása az üvegcsőre p a nymóerő felfelé és a vízre ugyanez lefelé Írjuk fel mst az egyensúlyi egyenleteket:

2 mérőhengerre: F p p G r + cső vízre: p G + p = G = p p () F = G G r cső + = Ennek a gndlatmenetnek egy másik frdulatt is adhatunk klasszikus mechanikában érvényes a mndás: Salus in natura nn datur; vagyis a természetben nincsenek ugrásk jelen helyzetből átmehetünk az 11 pntban tárgyalt ideális helyzetre z F szerepét a p erő tölti be F, azaz p váltzatlan maradhat, ha egyre kisebb mennyiségű a víz fölé szrult levegő, ugyanakkr térfgata is egyre kevesebb lesz Gndlatban hajtsuk végre ezt a váltztatást ugyanlyan csőállás mellett kkr mivel flytns az átmenet határesetben eljutunk a kezdeti ideális helyzethez; a cső tele van vízzel és F r erővel tartjuk a vízzel telt csövet (Mlekulárisan nézve a helyzet paradx, mert zérus térfgatban nincs gáznymás, de a pv = nrt -ből, n, V, ρ=knst, p=knst Extrapláció pusztán matematikailag megengedhető) 13 Megldás a virtuális munka elvével Képzeljük el, hgy a csövet valameddig kiemeltük és mint előbb is rugó közvetítésével tartjuk F r erővel Ezt az F r -t kell mst meghatárznunk Jelenleg egyensúly van és G súlyú víz van a csőben Emeljük mst meg a csövet infinitezimálisan kicsiny dx -szel Ez egy lehetséges, (kicsiny) virtuális elmzdulásnak tekinthető z egyensúlyra úgy következtetünk, hgy a rendszer által a virtuális elmzduláskr végzett munka zérus rendszerhez hzzátartzik a kádban lévő víz is Van egy mellékfeltétel; ha az üvegcsövet dx -szel feljebb emeltük, akkr a kádban az eredeti állaptban lévő szintmagasság megváltztt; dy -nal lejjebb süllyedt a víz szintje kiszríttt térfgatk alapján az 14 ábra szerint írhatjuk, hgy a) ( ) dy = dx, ahl a kád (pl hengeres edény) keresztmetszete és a mérőhenger keresztmetszete Kissé más meggndlással: b) ( dx + dy) = dy z eredmény ugyanaz: dy = dx ( = )

3 Írjuk fel az egész rendszer virtuális munkáját: dx dy Fr dx Gdx dxρg ( ) dyρg( ) = δx ésδy a virtuális elmzdulás abszlút értékét jelenti Figyelembe véve az utlsó tagban az a) összefüggést kapjuk, hgy dx (3) ( F r G) dx ρg (1 ) = F r knvergál az egyensúlyi F r -hez (vagyis ahhz, amit keresünk) ha dx másdik tag magasabb rendben tűnik el, mint az első, így dx -ra érvényes, hgy( F r G) dx = Mivel dx, de egyébként bármi lehet, így fel kell álljn, hgy F r G = Ha G-be beleértjük a cső súlyát is, akkr látható, hgy F r valóban azns az előbbiekben kaptt értékkel (Pusztán érdekesség, ha az üvegcső falvastagsága sem hanyaglható el, ekkr ugyanis a vízbe benyúló különböző hsszúságú részek miatt az rchimedes törvénnyel kel számlni, mikr az üvegcső súlyát vesszük) 14 z egyensúlyi helyzet számítása a ptenciális energia-minimum elvvel Ismét az F r rúgó erőt keressük, vagyis azt, hgy kiemelve a csövet adtt magasságra, mekkra erővel kell tartanunk, hgy nyugalmban maradjn Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hgy a kiemelt csőrészt teljesen kitölti a flyadék z egész rendszer ptenciális energiáját írjuk fel az 15 ábra szerint a szinttől számítva Ezen a szinten a rugó éppen feszítetlen szint a kádban a víz szintje, mikr a mérőhenger még teljesen a kádban lévő vízben van mérőhenger hssza legyen a, a kád mélysége b Engedjük lassan, hgy a mst már feszített rugó a mérőhengert függőlegesen kihúzza úgy, hgy -tól x mélységbe legyen, és itt lefgjuk (Vagy esetleg nekünk kellett segíteni, hgy ilyen kiemelkedés jöjjön létre) Tekintjük tehát ezt a helyzetet, ami nem egyensúlyi helyzet Különböző x-ekre az egész rendszernek különböző a ptenciális energiája z energia minimum határzza meg az egyensúlyi helyzetet mikr a mérőhengert kiemeltük, akkr a kádban a víz az szintről az re szállt le, y vlt a süllyedés kiemelés (L- magassága és az y között az alábbi összefüggés érvényes: a) ( L = ( ) y vagy

4 b) ( L x + y) = y ahl a) és b) ugyanazt jelenti Így (4) y = ( L Legyen = α Végül (5) y = α ( L Rendre felírjuk a rugónak, a kiemelt vízmennyiségnek, a mérőhenger anyagának és a kádban lévő víznek (vagy más flyadéknak) a ptenciális energiáját, s ezek összege a rendszer ptenciális energiája 1 L x + y a b (6) V ( = Dx ρg( L x + y) x + G1 x + ρg L( b y) + y z utlsó tag a kádban lévő flyadék ptenciális energiája, mely a következőképpen adódik: b y ϕ ( = ρg ( b y) L + y + ; b y ϕ ( = ρg L( b y) + (6) képletben G 1 a mérőhenger súlya (Hgy a rá ható váltzó felhajtó erőt elhanyaglhassuk, falvastagságát elegendő kicsinynek vesszük) V(-ben külön felírjuk a másdik tagt átalakítva, így könnyebben áttekinthető a dv(/dx derivált tag: 1 Lx x + xy + ( L x + y) ρg Képezzük mst a V ( deriváltat (5) figyelembe vételével: V '( = Dx ρg L x αx + y (1 + α)( L x + y) G1 ρg α( L + y [ ] ) V (= az egyensúly feltétele Ennek alapján több egyszerű átalakítás és (5) felhasználásával az adódik, hgy Dx = L x + y( x ρ g + G (7) [ ] 1 ) Mivel Dx = F r, azért (7) éppen azt fejezi ki, hgy az egyensúlyi helyzetben az üvegcső és a benne lévő víz súlyát kell tartanunk (7) egyenletből visznt még az egyensúlyt jellemző 15 ábra szerinti x hely is kiszámítható z x hely az, felvételhez kötött, míg a (7) egyenlet jelentése általáns; egyensúly akkr van, ha a csövet a cső saját súlya és a benne lévő flyadék súlyának összege nagyságú erővel tartjuk z ábrabeli elrendezésben visznt az adtt helyhez rögzített rugót használtunk, így x -át erre vnatkzóan a (7) egyenletből kiszámíthatjuk Tehát Lρg( 1+ α) + G1 (8) x = D + (1 + α) ρg Áttekinthetőbb a (8) képlet, ha G 1 ~ vehető, a kádban lévő flyadék mennyisége elegendő nagy és felszíne is skkal nagybb a cső keresztmetszeténél Ekkr (4)-ből α = és 1 ; α = Ezzel (8) egyszerűbb:

5 (8/a) x L = D 1+ ρg 15 rezgés vizsgálata z előbbiek alapján a mennyezethez rögzített rugó által (L-x )-ra kiemelt, flyadékkal telt cső egyensúlyi helyzete x Próbáljuk meg pl lefelé lökéssel rezgésbe hzni és vizsgáljuk a mzgást Ha x > x, akkr a flyadék amit tartani kell kevesebb, mint x -ra, ugyanakkr a visszahúzó nagybb lett Tehát az egyensúlyi helyzetbe visszahúzó erő két kból is megnövekedett Ha visznt túllendült a cső fölfelé, lefelé húzó erő hat; kisebb a rugóerő és nagybb a kiemelt vízmennyiség Használva a 14 pntban lévő 15 ábrát, a mzgást matematikailag is leírhatjuk (9) Dx + [( L + y] ρ g + mg = [( L x + y) ρg + m]x &, ahl m jelenti a cső tömegét D (1) && x = + g ( L x + y) ρ + m Ha (5)-ből behzzuk y kifejezését, akkr Dx (11) && x = + g ρ 1+ α L x + m ( )( ) Látható, hgy kmplikált rezgést végez a rugóra akaszttt rendszer sebesség az x hely függvényében még kiintegrálható, a kitérés hely függvény csak közelítéssel határzható meg Például Euler-iterációval számítógép segítségével sebesség így számlható: Legyen: x & = p( ; dp dx kkr: & x = ; && x = p p dx dt D x p p = + g ρ( 1+ α ) L x + µ m D ahl µ = és legyen k = ρ( 1+ α ) ρ ( 1+α ) Kiintegrálás után: p = ( k + g) x + k( L + µ ) ln( L + µ + C Legyen a kezdeti feltétel: x= és v=v (=p ) v csak akkra lehet, hgy a cső éppen elmerüljön Végül a sebesség, mint hely függvénye: L + µ x (1) v = v + ( k + g) x + ( L + µ ) ln L + µ v értékére adtt felső határ egyet jelent azzal, hgy x L (1) egyenletből az x & = v mzgásegyenlet felhasználásával nehéz differenciálegyenletet kapunk Így a (1) egyenlettel le kellene zárni vizsgálódásainkat, de a számítógép, vagy a prgramzható zsebkalkulátr jó szlgálatt tehet Már eleve a (11) egyenletre kell felírnunk az Euler-féle közelítés rekurziós frmuláit, s ezt lehet már prgramba tenni 16 Néhány paradx helyzet a flyadék mechanikából tanítással összefüggő néhány esetet tekintünk, amikr az ellentmndáss helyzet abból származik, hgy részesetre vnatkzó törvényt a megengedettnél általánsabban alkalmaztunk

6 Tekintsük ismét eredeti prblémánkat Függőleges helyzetű, felül zárt, flyadékkal telt csövet ugyanlyan flyadékt tartalmazó elegendően nagy méretű kádból függőleges egyenes mentén kiemelünk cső egy része benne marad a flyadékban, így a csőben és a kádban lévő flyadék összefüggő egészet képez Határzzuk meg a cső tetszőleges helyén a nymást Első pillanatra a tanuló a tanult alaphelyzetre emlékezik; a felül nyittt, függőleges helyzetű mérőhengerben fellépő nymásra: p=xρg jelen helyzetet tisztázandó, első kérdésünk, hgy mihez képest keressük az x mélységben a nymást Kérdezhetjük a vákuumhz képest, a külső levegőhöz képest, és végül a zárt flyadékszlpnak a zárólapnál lévő szintjéhez képest Ha ismét a taníttt alaphelyzetre gndlunk, úgy vezettük le a p=hρg képletet, hgy egyszerűen felírtuk a flyadék súlyából származó nymást z eredmény a külső levegőhöz visznyíttt nymást adja meg Mst más fgalmazásban vetjük fel a kérdést Ha a felül nyittt henger belsejében a V térfgatú flyadékt tekintjük, az egyensúlyban van, tehát a reá ható erők eredője zérus E flyadékhasábra nemcsak a külső p légnymás hat, hanem x mélységben p( nymás is a Pascal törvény szerint felfelé, és ldalnymás is van Így az erők egyensúlya: p + xρg p( = p = p + x (13) ( ρg, ahl p( a vákuumhz visznyíttt nymás flyadékhasáb felső és alsó lapja közti nymáskülönbség legyen p kkr p=p(-p, p=xρg Ez egyben x mélységben a külső légnymáshz visznyíttt nymás is p=xρg rögződik a tanulóban, de nem az előbbi levezetéssel (13) képletben fglalt gndlat és a hzzátartzó ábra általánsítható Ezt tesszük mst eredeti prblémánkkal is a zárt csőben lévő flyadék p( nymásának meghatárzására Tekintsük az 16 fejezet első ábráját és rajzljuk be az x magasságú flyadékszlpra ható erőket: z egyensúly feltétele: F( F + xρ g F( =, p( = F (14) p( = + xρg

7 Mst nem p erő hat felülről a flyadékra, hanem F, amit az (1) képletekből nyerhetünk: F ahl G az egész kiemelt flyadék súlya, ezért (15) F = p Hρg, ezzel p( végül ilyen lesz: (16) p( = p ( H ρg = p G, F Ez a vákuumhz képest a nymás az ldalnymás is flyadék felső szintjéhez képest: p = p(, vagy eleve (14)-ből: F( F (17) p = ; p = xρg H a csövön függőleges egyenes mentén lyukakat fúrunk és beragasztjuk fóliával, akkr szemléletessé lehet tenni az ldalnymást is a fóliák különböző behrpadása következtében z itt mérvadó nymás a külső légnymáshz visznyíttt nymás Legyen p Ezért: p = p( p (16) képletből: (18) p = ( H ρg Látható, hgy p( < p lévén, a p -ból származó nymóerő befelé irányul Így ha nincsenek a lyukak beragasztva, a vízzel telt csőből nem flyik ki a víz ldalt Itt éppen frdíttt a nymás képlet, mint egy nyittt szájú, flyadékkal telt edényben, vagyis a tanítási alapszituációban (18) képlet alapján éppen az alulról számíttt szintmagassággal kell számlni, (H- értékkel, míg a szkványs esetben p = xρg lenne mit mst követtünk, a gndlkdás-módszertan egy alkalmazása vlt Vannak valóban nem triviális kérdések Ezek megldását a módszerek ismerete teszi lehetővé z előbbi paradxn közvetlenül is tárgyalható Ha a szájával lefelé álló, kiemelt csövön ldalt fent nyílás van, akkr a nyílás alatti flyadékszlpra alulról felfelé ható légnymás a flyadékszlp magasságából származó sztatikai nymással kevesebb, mint felülről, a nyílásn keresztül ható légnymás Éppen ez a fenti prbléma megldása Tekintsük mst az 11 és az 16-ban adtt prblémát vagyis eredeti prblémáinkat azzal a módsítással, hgy az egész berendezés a kísérleti asztallal együtt függőleges mentén a gyrsulással mzg Mutassn, pl a lefelé és legyen a < g Válasszuk lefelé a pzitív irányt már ismert jelöléseket használva, meghatárzzuk ez esetben az F kényszererőt legyen mst F a az x mélységben a nymást (Pa) és az F ra erőt, amivel tartanunk kell a csövet z (1) egyenletrendszernek megfelelő egyenletek: p + mg + F = a ma, ahl m a csőben lévő, kiemelt flyadék tömege Mg F + p F Ma ra a =, ahl M a cső tömege z első egyenletből (19) F a = p m( g a) a két egyenletből együtt kapjuk, hgy = m + M g a F ra () ( )( )

8 Mst határzzuk meg, hgy a cső fedőlapjától számíttt tetszőleges x mélységben mekkra a nymás Ehhez a (14) képlettel kapcslats gndlatmenetet követjük váltzás az, hgy a kiszemelt flyadék mennyiség nincs egyensúlyban, hanem a gyrsulással mzg Tehát: F + xρg F x ( ) ma a a = felső szinthez képest a nymás: Fa ( F a pa = ; p a = xρ ( g a) Mennyi a külső légnymáshz képest a nymás? Fa ( pa = p De Fa ( = F a + xρ( g a) és ide F a -t (19)-ből helyettesítve, majd ezt p a -ba, kapjuk végül, hgy = H x ρ g a p a (1) ( ) ( ) ρ (19) képletben mst m = H -t írtunk Látható, hgy a (1) képlet teljes analógiában van a (18) képlettel Érdekes az a= és az a=g eset Ha lefelé a > g gyrsulással mzg a rendszer, p a előjelet válthat, és így egy ldalnyílásn valóban kifelé áramlana a flyadék