Fontos a pontosság. Miklós Ildikó Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok

Átírás

1 Fontos a pontosság Miklós Ildikó Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok miklosildiko@komal.hu Amikor egy geometriai feladathoz megpróbálunk ábrát rajzolni, elıfordulhat, hogy nehézségekbe ütközünk: az ábra elsı nekifutásra nem felel meg minden feltételnek. Ha a GeoGebra programmal készítjük el az ábrát, kihasználhatjuk a dinamikus program elınyeit: a pontok mozgatásával készíthetünk szemre megfelelı illusztrációt. Ám ez nem pontos szerkesztés! Célunk legyen egy olyan ábra készítése, amely mindig magán hordozza a feladat követelményeit, akkor is, ha a pontokat elmozdítjuk. El kell sajátítani a helyes gondolkodásmódot egy ábra készítésekor. Úgy kell gondolkodnunk, mintha egy papír feküdne elıttünk és rendelkezésünkre állna egy körzı és egy vonalzó. A GeoGebra programmal is így kell dolgoznunk, kihasználva a program adta elınyöket, amelyek leegyszerősítik a szerkesztést. Nézzünk ehhez egy feladatot, amely a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok (KöMaL) januári számában került kitőzésre: B Adott az ABC és PQR háromszög úgy, hogy az A pont felezi a QR, a P pont a BC oldalt. A QR egyenes felezi a BAC, a BC egyenes a QPR szöget. Bizonyítsuk be, hogy AB+AC=PQ+PR. Anélkül, hogy a feladatot megoldanánk [2], készítsünk hozzá ábrát a GeoGebra segítségével, odafigyelve a geometriai gondolkodásmódra! Vegyünk föl egy tetszıleges ABC háromszöget a (Sokszög) ikon segítségével. Rajzoljuk meg a BC szakaszt felezı P pontot ( Felező vagy középpont), majd az A pontból kiinduló szögfelezıt ( Szögfelező) (1. ábra). Vegyünk föl egy tetszıleges R pontot a szögfelezın ( Új pont) ügyelve arra, hogy a pont valóban a szögfelezın legyen. Ezt úgy érhetjük el, hogy a pont felvételekor a szögfelezı fölé visszük az egérmutatót, ekkor a szögfelezıt vastagabbnak látjuk, az egérmutató pedig + jelbıl nyíllá alakul át. (Ez minden függı objektum felvételekor nagyon fontos: mindig figyeljünk oda, hogy valóban az a pont, egyenes stb. legyen vastagabb, amihez rendeljük az új alakzatot!) Ezután az R pontot mozgathatjuk ugyan, de csak a szögfelezın. Következı lépésként tükrözzük az R pontot az A pontra ( Centrális tükrözés), így megkapjuk a Q pontot (2. ábra).

2 1. ábra 2. ábra Ekkor már rendelkezésünkre áll a PQR háromszög három csúcspontja, a már ismert segítségével meg is rajzolhatjuk azt (3. ábra). ikon 3. ábra

3 Kérdés, hogy ekkor a kapott PQR háromszög megfelel-e a kitőzött feladat azon feltételének, mely szerint a BC egyenes felezi az RPQ szöget? Szemmel láthatóan nem, de ezt ellenırizhetjük is, ha megrajzoljuk a ikonnal az RPQ szög felezıjét. Még pontosabb eredményt kapunk, ha megjelöljük az RPB és BPQ szögeket ( Szög), ekkor a GeoGebra kiírja azok nagyságát is (4. ábra). 4. ábra Most már látjuk, hogy ez az ábra így nem megfelelı. Próbálkozhatunk a pontok mozgatásával annak érdekében, hogy úgy tőnjön, az ábránk mégis jó. Ennek érdekében a szabad pontokat (A, B, C), illetve a szögfelezıtıl függı R pontot mozgathatjuk ( Mozgatás). Ha az ábrát megfelelıképpen kinagyítjuk, elérhetjük, hogy szemre az A és a B pont az RPQ szög felezıjén legyen, sıt, a két szög nagyságát is két tizedes jegy pontosságra egyenlınek látjuk (5. ábra). Ezt leellenırizhetjük ( Kapcsolat két alakzat között), ekkor a látszólagos pontosság ellenére az egyenletekkel és koordinátákkal pontosan számoló GeoGebra közli velünk, hogy a két szög nem egyezik meg (6. ábra). Tehát az ábránk mégsem megfelelı, ráadásul, ha ekkor bármelyik mozgatható pont helyzetét megváltoztatjuk, már látszatra sem lesz az.

4 5. ábra 6. ábra Mi tehát a helyes út? Hol rontottuk el? Nyilvánvalónak látszik, hogy az R pont fölvételekor követtük el a hibát. Geometriai összefüggéseket kell keresnünk, hogy ábránk pontos legyen. Gondolkodjunk! Ábránk megrajzolását ugyanúgy kezdjük el, mint az elıbb (1. ábra); majd fölhasználunk két segédpontot. Rajzoljuk meg az ABC háromszög köré írt kört ( Köré írt kör), a BCA szög felezıjét ( ), valamint az AB szakasz felezımerılegesét ( Szakaszfelező); e két utóbbi egyenes metszéspontja ( Két alakzat metszéspontja) legyen az E pont (7. ábra). Az E pont rajta van a háromszög körülírt körén, mert a kisebbik AB ívet felezi az elıbb fölvett szögfelezı és szakaszfelezı is. A C-ben a szögfelezıre állított merıleges ( Merőleges, ez a háromszög külsı szögfelezıje) és az AB szakasz felezımerılegesének metszéspontja ( ) legyen I. A körülírt körben az EI egyenes átmérı, mert oldalfelezı merıleges. Az ECI szög derékszög, tehát a körülírt kör egyben az IEC derékszögő háromszög Thalész-köre is. Így az I pont is rajta van a körülírt körön.

5 7. ábra 8. ábra Keressünk most hasonló tulajdonságokkal rendelkezı pontokat a PQR háromszöghöz is. A PQR háromszögnek ismerjük egy csúcspontját (P), egy oldalfelezı pontját (A), és egy szögfelezıjét (BC szakasz). A P pontban a BC szakaszra állított merıleges ( ), és az A pontban az ABC háromszög szögfelezıjére állított merıleges ( ) T metszéspontja ( ) ugyanolyan tulajdonságú a PQR háromszögben, mint az I pont az ABC háromszögben, tehát rajta van a PQR háromszög körülírt körén. (A T pont mellesleg ugyanilyen tulajdonsággal rendelkezik az ABC háromszöggel kapcsolatban is, tehát rajta van e háromszög körülírt körén is.) A BC szakasz meghosszabbítása ( Egyenes két ponton keresztül) a PQR háromszög szögfelezıje, így ennek az A pontban az ABC háromszög szögfelezıjére állított merılegessel vett K metszéspontja ( ) ugyanolyan tulajdonságú a PQR háromszögben, mint az E pont az ABC háromszögben, tehát ugyancsak rajta van a PQR háromszög körülírt körén (8. ábra). A három pont (P, T, K) ismeretében a kört már meg tudjuk rajzolni ( ). Az ABC háromszög A-nál levı szögfelezıje a PQR háromszög oldalegyenese, így a körülírt körrel való két metszéspontja ( ) lesz a háromszög Q és R csúcspontja (9. ábra). Az eddigiek alapján a PQR háromszög megfelel a feladat feltételeinek, de hogy biztosak legyünk, ezt le is ellenırizhetjük

6 ( Távolság, illetve ): QA = AR és RPB = BPQ (10. ábra). 9. ábra 10. ábra Most már azt is kihasználhatjuk, hogy a GeoGebra dinamikus: az A, B, C pontokat mozgatva mindig helyes ábrát fogunk kapni (11., 12. ábra).

7 11. ábra 12. ábra Ez természetesen csak egy példa volt a helyes szerkesztésre. További meggondolást igényel, hogy létezik-e olyan szerkesztés, amelynél nem az A, B, C pontok lesznek a szabad pontok, hanem esetleg a három szabad pont megoszlik a két háromszög között. Köszönetnyilvánítás. Köszönettel tartozom Nagy Gyulának, a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok fıszerkesztıjének a megoldáshoz nyújtott szóbeli segítségéért. Hivatkozások [1] [2] B feladat megoldása, Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok, 59(4) (2009. április),