Pannon Egyetem, Veszprém. Műszaki Informatikai Kar Matematika Tanszék. Digitális tananyagfejlesztés GeoGebra programmal
|
|
- Adél Nagyné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Pannon Egyetem, Veszprém Műszaki Informatikai Kar Matematika Tanszék Tanári mesterképzési szak Informatikatanári szakképzettségi terület Digitális tananyagfejlesztés GeoGebra programmal Czirók Ottó Témavezető: Lipovits Ágnes Veszprém 2010
2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Matematikai segédprogramok csoportosítása Speciális szoftverek Általános célú szoftverek Dinamikus szoftverek Dinamikus szoftverek jellemzői A GeoeGebra jellegzetességei A GeoGebra általános jellemzői GeoGebra használata síkgeometria feladatokban Adott tulajdonságú ponthalmazok Szakaszfelező merőleges A Szögfelező Adott tulajdonságú pont(ok) szerkesztése A háromszög Általános háromszög A háromszög köré-és beírt köre Egybevágósági traszformációk Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Eltolás Forgatás Középpontos hasonlóság Összefoglalás Hivatkozott irodalomjegyzék Ábrák jegyzéke... 25
3 1. Bevezetés Jelenleg Szombathelyen egy általános iskolában tanítom a matematika és informatika tantárgyakat. Iskolánk jól felszerelt az IKT eszközök területén. Három informatika termünkben a számítógépeken kívül az interaktív tábla is az oktatás részévé vált. Ezeken kívül minden tanterembe van számítógép, internetes hozzáféréssel, és van még 3 mobilizálható projektorunk is. Mindig szerettem volna az informatika tantárgy eszközrendszerét integrálni a matematikaoktatásba. Sok időt töltöttem olyan oktatóprogramok kereséséve, tesztelésével melyek segítségével érdekesebbé, látványosabbá, és ez által hatékonyabbá, tehetem a matematika órák néha, visszafogott, száraz hangulatát. Sajnos általános iskola felső tagozatában csak kevés ilyen program létezik, melyek általában interaktív táblára vannak optimalizálva, és meglehetősen borsos az áruk. Nagyon örültem mikor ráakadtam egy olyan programra mellyel geometriai és algebrai feladatokat lehet megoldani, modellezni mindezt interaktív módon, és kis gyakorlással bárki el tudja a program használatát sajátítani. Ez a program nem más, mint a GeoGebra. A dolgozatom az informatika alkalmazásának lehetőségeit mutatja be a GeoGebra matematikai segédprogram segítségével. A célom az, hogy a program adta lehetőségeket bemutassam mintapéldákon keresztül, ezzel kedvet és egyben segítséget adva mindenkinek - főleg a matematika tanároknak - ahhoz hogy megismerjék és alkalmazzák ezt a programot, mellyel színesebbé, változatosabbá tehetik a matematika óráikat
4 2. Matematikai segédprogramok csoportosítása A matematikai segédprogramokkal sokféle matematikai probléma megoldható. Ezek a rendszerek egyszerű és összetett feladatok megoldására is alkalmasak, és segítségükkel egyszerűsíthetjük, felgyorsíthatjuk a megoldásokat, ezzel nem kevés időt megspórolva. A matematikai programokat csoportosíthatjuk aszerint, hogy milyen problémák megoldására tervezték őket. Így beszélhetünk speciális, és általános, illetve az általánoson belül a dinamikus programokról Speciális szoftverek A speciális rendszerek csak bizonyos feladatok megoldására alkalmasak, nagyon hatékonyak, így inkább kutatási területeken használják őket Általános célú szoftverek Viszonylag nagyobb területet ölelnek fel, több probléma megoldható segítségükkel. Ezek a programok azok, amiket jól használhatunk az oktatásban is. Ilyen matematikai segédprogramok pl.: Derive, Euklid és ide tartozik a GeoGebra is Dinamikus szoftverek A dinamikus geometriai szoftverek segítségével geometriai szerkesztéseket végezhetünk el ugyanolyan módon és elven, mintha azt hagyományosan végeznénk. A géppel elkészített szerkesztések bázispontokra épülnek és az elkészített szerkesztések a bázispontok mozgatásával megváltoztathatók, a változások nyomon követhetők Dinamikus szoftverek jellemzői Interaktivitás A szerkesztés bázispontjai megfoghatók és szabadon áthelyezhetők a síkon és a szerkesztett ábra úgy változik, hogy az objektumok közötti kapcsolat - 2 -
5 megmarad. Segít a következtetésk levonásában, a megoldások számának meghatározásában. Animáció A bázispont végigfut egy előre meghatározott objektumon és minden egyes fázisban megjelenik az aktuális szerkesztésnek megfelelő ábra. Látványos, nagyon jó motivációs tényező az oktatásban. Nyomvonal megjelenítés A bázispont végigfut egy alakzaton és a tőle függő másik pont által megjelenített vonalat nevezzük nyomvonalnak. A mértani hely meghatározásán alapuló feladatoknál vehetjük jó hasznát. Szerkesztés visszajátszása A már elkészített szerkesztést akárhányszor visszanézhetjük és elemezhetjük. Lényeges lehet az új ismeretek megértésénél, az összefüggések keresésénél. A dinamikus segédprogramok közé tartozik a GeoGebra is. Sokoldalúsága mellett, könnyű kezelhetőségével és grafikájának jó minőségével is kiemelkedik a többi program közül
6 3. A GeoeGebra jellegzetességei A szoftver nagy előnyei közé tartozik, hogy mindenki számára ingyenesen, van magyar nyelvű változata, és a Windows, a Mac és a Linux operációs rendszereken is fut. A oldalon, a nyelvet és a platformot kiválasztva gyorsan letölthető a mindössze 4,5 MB-os program. Telepítése után, a működéséhez Java plugin-re van szükség, ami szintén ingyenesen letölthető. A GeoGebra programhoz bárki hozzáférhet és bármelyik oktatási intézményben szabadon lehet használni. A dolgozat elkészítésekor a GeoGebra ás verzióját használtam, ami jelenleg legfrissebb verzió. A GeoGebra a matematika három lényeges területéhez kapcsolódik, melyek a következők: algebra, geometria, függvények. Neve is a geometria és algebra szavak összevonásából ered. Egyaránt alkalmas a geometriai problémák és az algebrai és számítási feladatok megoldására, ezért nagyszerűen használható a legtöbb matematikai témakörök feldolgozásának segítésére, szemléltető ábrák, digitális tananyagok készítésére. Megadhatóak benne pontok, vektorok, szakaszok, egyenesek éppúgy, mint kúpszeletek vagy akár függvények. Ezek az alakzatok a szerkesztés során, vagy akár utólag is dinamikusan megváltoztathatóak. Ugyanakkor nemcsak grafikus módon lehet az alakzatokat megadni. Arra is lehetőség van, hogy parancssorban adjuk meg a koordinátákat vagy az alakzatokat leíró egyenleteket, képleteket. Ezáltal lehetőség nyílik arra is, hogy számokat, pontokat, vektorokat változóként kezeljünk. Ha megrajzolunk a programban egy alakzatot, akkor automatikusan megjelenik a hozzá tartozó algebrai kifejezés is, és ez megfordítva is igaz. Ami igazán a sokoldalú felhasználhatóságát jellemzi, hogy az elkészített munkalapokat exportálhatjuk, dinamikus weblapokká, ezzel lehetőséget adva, akár a diákoknak is hogy felhasználják a tanulási segédanyagként a munkájukhoz, anélkül hogy ismerni, vagy telepíteni kellene nekik a GeoGebra programot. Ezek a igazi jellegzetességei
7 4. A GeoGebra általános jellemzői A dolgozatomban a programnak csak a használatához szükséges általános funkcióit mutatom be melyekre a feladatok megoldása során, többször hivatkozom. A bemutatott feladatok elkészítését részletesen elmagyarázom, így ha valaki a dolgozat alapján a mintafeladatokat elkészíti, hamar belejön a GeoGebra használatába. A program részletes megismeréséhez, ajánlom a magyar nyelvű felhasználói kézikönyvet, mely a 2.5-ös verzióhoz készült, és szintén ingyenesen letölthető pl.: A program az elindulás után a következő képernyővel jelentkezik be. Menüsor Eszköztár Geometria ablak Algebra ablak Parancssor Navigációs eszköztár Parancslista Szerkesztő protokoll 1. ábra Bejelentkező képernyő - 5 -
8 A program induló ablakának részei: Menüsor a program által elérhető funkciókat tartalmazza. Eszköztár az adatok, objektumok geometriai úton való bevitelére szolgál. Az eszköztár ikonjait kattintással tudjuk kiválasztani a megfelelő csoport legördülő listából, melyet az ikonok sarkán található kis háromszög jelez. Az aktuálisan kiválasztott ikon keretezetten jelenik meg. Algebrai ablak a program objektumainak értékét, vagy képletét tartalmazza. Megkülönböztetünk szabad alakzatokat, függő alakzatokat és segéd alakzatokat. A Szabad alakzatokat mi vesszük fel és ezeket a síkon, szabadon mozgathatjuk, míg a Függő alakzatokat nem tudjuk mozgatni, hanem a szabad alakzatok függvényében változnak. A Segéd alakzatok közé mi helyezhetünk tetszőlegesen különböző alakzatokat. Geometriai ablak vagy Rajzlap az alakzatok megjelenítésére szolgál. A rajzlap beállításait a Beállítások menü Rajzlap almenünél tudjuk megváltoztatni. Navigációs eszköztár segítségével a már elkészült szerkesztés lépésein tudunk oda-vissza lépegetni. A Lejátszás gombra kattintva pedig a teljes szerkesztés menetét tudjuk visszajátszani a megadott sebességgel. Szerkesztő protokoll, ami a szerkesztés lépéseit mutatja sorrendben, feltüntetve, táblázatba rendezve, és mutatja még az adott alakzatok definícióját is. Parancssor pedig az adatok, objektumok közvetlen, algebrai bevitelére szolgál. A parancsok szintaktikáját a kézikönyv tartalmazza. Láthatjuk, hogy objektumokat a rajzlapon közvetlenül, parancsok segítségével is felvehetünk, vagy az eszköztár ikonjainak segítségével is megjeleníthetünk. Mindkét esetben megkapjuk magát az alakzatot a rajzlapon és az alakzat képletét az algebra ablakban. Parancslista egy kényelmi szolgáltatás, a parancssorba írható parancsok listáját tartalmazza. A legördülő lista egy parancsára kattintva az automatikusan beíródik a parancssorba
9 Ha az alakzat képletére kattintunk jobb egérgombbal az algebra ablakban, vagy magára az alakzatra a geometriai ablakban, akkor megjelenik az adott objektumhoz tartozó Gyorsmenü, ami alakzatonként kissé módosulhat. A menü segítségével tudjuk az alakzatot újra definiálni, meg tudjuk határozni az alakzat és a felirat láthatóságát. A Tulajdonságok menüpont alatt az alakzat formátumait tudjuk módosítani: alakzat színe, vonalstílus, vonalvastagság. Itt tudjuk még beállítani, hogy az alakzat fix legyen, vagy nem, illetve, hogy a felirat mellett az érték is látható legyen
10 5. GeoGebra használata síkgeometria feladatokban A program indítása után célszerű a Nézet menüben kikapcsolni a Tengelyek és a Rács menüpontokat, hogy a Geometria ablakban, a szerkesztések közben ne legyenek ezek az elemek láthatóak, és ugyanitt bekapcsolni Navigációs eszköztárat. A geometriai feladatok megoldásában is igen sokrétűen használhatjuk a programot. Alkalmazhatjuk geometriai szerkesztések bemutatására, ahol a szerkesztés lépéseit visszajátszhatjuk, használhatjuk bizonyítási feladatok szemléltetésére, és geometriai számítások elvégzésére is. Felhasználhatjuk a programot az új anyag bemutatásánál és természetesen konkrét faladatok megoldásánál is. Ezekre mutatok példát, az általános iskolai geometria tananyag egyes anyagrészeit bemutatva mintapéldaként. A feladatok forráskódját, és a dinamikus weblapformátumát a Síkgeometria mappa tartalmazza Adott tulajdonságú ponthalmazok Szakaszfelező merőleges A Szakaszfelező_merőleges.ggb munkalap (1. ábra) a szakaszfelező merőleges tulajdonságát mutatja be. Használható teljes bemutatásra, valamint lépésenként lejátszva követi szakaszfelező szerkesztésének lépései. 2. ábra Szakaszfelező merőleges Ennek a feladatnak az elkészítésével részletesebben foglalkozom, hogy a szerkesztési lépések megvalósítása érthető legyen, mert van egy-két GeoGebrás rutinlépés, amit a későbbi felhasználás során sokszor kell alkalmazni
11 A feladat elkészítését az AB szakasz létrehozásával kezdtem, az eszköztár Szakasz ikonjával. Az algebra ablakban látható hogy létrejött koordinátáival egy A és B pont, valamint az a szakasz, ami egyben egy változó is, a szakasz hosszát dinamikusan tárolja. Az A és B szabad alakzatok, tehát tetszőlegesen mozgathatók a lapon de előtte a Mozgatás ikont kell kijelölni. Az a szakasz függő alakzat, mert hossza függ az a A és B helyzetétől. A GeoGebra automatikusan, alfabetikus sorrendben betűzi a pontokat nagy, más alakzatokat kisbetűvel. Természetesen a neveket meg lehet változtatni a környezeti menüben, de erről egy kicsit később. Ezután beírtam a parancssorba: Szakaszfelező[A,B] parancsot, melyet egérrel is szerkeszthettem volna a Szakaszfelező ikon segítségével. A program berajzolta a szakaszfelezőt. Az algebra ablakban létrejött egy b egyenes az egyenletével, mely szintén függő alakzat. Tehát a GeoGebra minden alakzatot a koordináta-rendszerben helyez el, de mivel kikapcsoltuk ezért nem látjuk, hisz itt zavaró lenne. A szakasz felezőpontját C-t a Felező vagy középpont ikont kijelölve, vagy a Szakaszfelező[A,B] paranccsal tudom megjeleníteni. A következő lépés a derékszög jelölése. Ehhez a b szakaszfelezőn elhelyezek egy D pontot, amit csak arra fogok használni, hogy a derékszöget be tudjam rajzolni, de a későbbiek során nem szeretném a munkalapon megjeleníteni. A létrehozás után az algebra ablakban jobb egérrel a D pontra kattintva megjelenik környezeti menüje, melyben a segéd alakzatok pontot kipipálom. Ezzel átkerült a D a segéd alakzatokba. A derékszög berajzolását a Szög ikon kiválasztása után sorrendben rákattintok a D-C-A pontokra. 3. ábra Tulajdonságok ablak - 9 -
12 Berajzolódik az szög. Itt térnék ki a Környezeti menü Tulajdonságok menüpontjára, mely az alakzatok különböző formázási lehetőségét kínálja fel. A 2. ábra az szög tulajdonságait mutatja. Kiveszem a pipát a Derékszög kiemeléséből, és a Felirat megjelenítésénél az Értéket választom. A többi beállítási lehetőségekre nem térnék ki, mert mindenki maga választja meg ezeket a lehetőségeket, ízlése szerint. Az előbb ismertetett módszerrel átneveztem a b-t f-re - f-nek piros színt állítottam -, a C-t F-re, az E-t M-re. Bármikor át lehet nevezni, a képletekben a GeoGebra dinamikusan kicseréli a neveket. Következik AM és BM szakaszok berajzolása, pl.: Szakasz[A,M] és a Szakasz[B,M] parancsokkal. Tulajdonképpen a rajzzal kész vagyunk. Most elrejtjük azokat az objektumokat melyekre nincs szükségünk. Több lehetőség is van, én most a legegyszerűbbet írom le. Az Algebra ablakban minden objektum előtt van egy szürke kör. Ha rákattintunk, fehérre változik, és a munkalapon eltűnik a kijelölt elem. Ezzel a módszerrel elrejtem a D pontot. Más a helyzet azokkal a rajzelemekkel, melyeknek csak a nevét szeretnénk elrejteni. A már megismert módon, az elem Környezeti menü Felirat megjelenítése elöl ki kell venni a pipát. Így rejtem el az a nevét. Hogy a tanulók lássák, hogy ha mozgatjuk az M pontot, az ugyanakkora távolságra lesz az A és a B pontoktól is a b, c szakaszok neve helyett a tárolt hosszértéküket jelenítem meg, ugyanúgy, mint ahogyan a 90 -os értéknél tettem. Még egy dolog van hátra, a szöveges szabály megjelenítése. Az Eszköztár ABC ikonjának kiválasztása után a munkalapon kattintva a szerkesztő ablak jelenik meg. Ez egy egyszerű szövegszerkesztő, beírva a szöveget nyugtázzuk, majd megjelenik a munkalapon. Ezután a Környezeti menü Tulajdonságok ablakban formázható. Ha értékeket szeretnénk megjeleníteni azt a következő képpen lehet: AB = + a. A + jel megjeleníti a változó értékét. Tehát a munkalapon (1. ábra) AB=5,22 jelenik meg. Készen is vagyunk a feladattal. Felvetődik a kérdés, hogy lehet a beírt vagy létrehozott parancsokat megjeleníteni, - mert az algebrai ablakban ezek nem láthatók-, illetve ha a létrehozott objektumok sorrendjét szeretnénk felcserélni azt hogy tehetjük meg. Erre szolgál a Navigációs eszköztár jobb szélén elhelyezkedő Szerkesztő protokoll (3. ábra)
13 4. ábra Szerkesztő protokoll ablak A 3. ábra mutatja a Szakaszfelező feladat létrehozásának lépéssorrendjét, definíciókat, parancsokat, és értékeket. Ezek láthatóságát a nézet menüben tudjuk szabályozni. A szerkesztőprotokoll használatát maga a súgó menüje magyarázza (4. ábra). 5. ábra Szerkesztő protokoll súgó A Szögfelező Ez a feladat (5. ábra) melyet a Szögfelező.ggb munkalap tartalmaz bemutató jellegű bizonyítási feladat, a tanórán jól alkalmazható, mind a tanárnak, mind a tanulóknak. Kész bemutatásra készült. A Félegyenes rajzolóval A kezdőpontú B-re illeszkedő a félegyenes, és szintén A kezdőpontú C-re illeszkedő b félegyenes megrajzolásával kezdtem a feladatot. Az általuk bezárt szöget a Szög[a,b] paranccsal jelenítettem meg, az értékét elrejtve. Következett a c szögfelező a Szögfelező[B,A,C] paranccsal
14 A Szögfelező[a,b]-t is használhatnám, de az két szögfelezőt rajzol be, mert a félegyeneseket mint egyeneseket kezeli ebben a parancsban a GeoGebra így itt ez nem használható. Felvettem a D pontot a szögfelezőn, majd merőlegest rajzoltattam D-ből mind a két szögszárra a Merőleges[D,a] és Merőleges[D,b] parancsokkal. A két merőleges d és e jelölést kapta. A szögszárak és a merőlegesek metszéspontjait a Metszéspont[d,a] ez az E pont és Metszéspont[e,b] ez a G pont parancsok határozták meg. A már ismertetett módon jelöltem a két 90 -os szöget. Már csak a merőleges szakaszok hosszát kell kiíratni. Itt viszont nem szakaszok szerepelnek ezért a meglévő két merőleges szakaszra rajzoltam két szakaszt. Az ED-re rajzolt az f, a DG-re rajzolt a g nevet kapta. Igy már ki let iratni a távolságokat, amit az f és a g Környezeti menü Tulajdonságok ablakában tehetünk meg. 6. ábra A szögfelező Kész vagyunk a feladat nyers munkaváltozatával. Most kell áttekinthetővé tenni a feladatot. El kell rejteni azokat az objektumokat melyekre nincs szükségünk a bemutató során. A szögfelezőre, c-re, illesztek egy A kezdőpontú h félegyenest. Ez fogja helyettesíteni az eredeti c szögfelezőt. Ha elrejtem a c-t akkor a szögfelező szögtartományon kívüli részét nem lehet majd látni. Ezek után elrejtettem a c, d és e egyeneseket, és a B, C, F pontokat, valamint az a, b, és h félegyenesek feliratát is kikapcsoltam. A szöveget az előző feladatban bemutatott módon kiírattam így jutottam a kész feladathoz
15 Adott tulajdonságú pont(ok) szerkesztése Feladat: Szerkessz 75 -os szögtartományba egy olyan pontot, mely az egyik szögszártól 3 cm-re, a másiktól 1,5 cm-re helyezkedik el. A feladatot a Feladat_ponthalmaz.ggb munkalap, a megoldását a 6. ábra mutatja. 7. ábra Adott tuljdonságú pont(ok) szerkesztése Először felvettem az A, B pontokra illeszkedő a félegyenest, majd a Forgatás[B,75,A] paranccsal A pont körül elforgattam 75 -al B-t, kaptam a B pontot. Megrajzoltam A, B pontokra illeszkedő b félegyenest. Az a szögszár D pontjába merőlegest szerkesztettem. Majd D pontból rajzoltam egy 3 cm sugarú kört a Kör középponttal és sugárral ikonjával és meghatároztam a kör és a merőleges metszéspontját F-et. Az F pontba kellett egy a szögszárral párhuzamos egyenest szerkeszteni a Párhuzamos ikon használatával. Ugyanezeket a lépéseket a másik szögszáron is végrehajtottam, de a kör sugara itt 1,5 cm volt. A két párhuzamos metszéspontja M az adott tulajdonságú pont. A szerkesztés nem minden lépése látható a 6.ábrán, mert az áttekinthetőségét befolyásolná. Viszont a Navigációs eszköztáron a Szerkesztő protokoll gombján a nem látható szerkesztési lépéseket is meg tudjuk nézni. Egy trükk ami nem látható sehol sem: a körök nem elrejtve vannak, hanem a színűket fehérre állítottam
16 Ezzel a feladattal igen jól tudjuk szemléltetni a bonyolultabb szerkesztéseket is. Megtehetjük, hogy a tanórán lépésenként végig megyünk a szerkesztés menetén, a Navigációs eszköztáron lépegetve, de akár többször is lejátszhatjuk az egész szerkesztést, a Lejátszás gomb segítségével. Tudjuk szabályozni a tanulók képessége szerint a lejátszás sebességét is A háromszög Általános háromszög A Háromszög_jellemzői.ggb munkalap a háromszögek legfontosabb jellemzőit a mutatja be, a képét pedig az alábbi 7.ábra szemlélteti. 8. ábra Általános háromszög A feladat elkészítése során a GeoGebra néhány új parancsát illetve ikonját használtam. A háromszöget legegyszerűbben Sokszög ikonnal rajzoltam meg, kijelölve a rajzlapon a háromszög csúcsait. Ezt megtehetjük a sokszög[a, B, C] paranccsal is. Mindkét esetben a program automatikusan elnevezi a sokszöget, esetünkben a háromszöget és az algebra ablakban megadja a háromszög oldalainak hosszát és a területét is. A kerület kiszámításához a parancssorba beírtam a K=a+b+c. A háromszög belső szögeit, a legegyszerűbb módon a Szög[sokszögnév sokszög] paranccsal lehet meghatározni
17 A program egyből elnevezi, jelöli a háromszög belső szögeit és értéküket megadja az algebra ablakban. A már ismertetett módon a Szög ikonnal, határoztam meg az ábrán látható külső szögeket, amelyeket át kellett nevezni. A szöveg és a változók értékeit kiírattam a rajzlapra. Ez a feladat alapján látszik, hogy milyen egyszerűen tudunk a GeoGebrában geometriai alakzatokat, és jellemzőit megjeleníteni A háromszög köré-és beírt köre A két feladatot a H_köré_írt_köre.ggb (8.ábra) és H_beírt_köre.ggb (9.ábra) munkalap tartalmazza. A munkalapon az ABC háromszög és a VTZ háromszög csúcsai is mozgathatók. A csúcspontok változtatásának hatására változik a köré írt és a beírt kör középpontja és a kör maga is. Az ABC háromszög csúcsainak mozgatásával jól szemléltethető, hogy hol helyezkedik el a háromszög köré írt kör középpontja. Mivel a háromszög szögei az ábrán és a rajzlapon láthatóak, így az összefüggés világos: hegyesszögű háromszög esetén belül, derékszögű háromszög esetén az átfogón, tompaszögű háromszög esetén a háromszögön kívül van a kör középpontja. 9. ábra A háromszög köré írható kör
18 A feladatok megvalósítása nem volt nehéz. A köré írt kört megszerkesztése a Köré írt kör ikonjának kiválasztásával, majd a háromszög csúcspontjainak megadásával történt. Ezzel azonos értékű megoldás lett volna a kör[a,b,c] parancs. Megszerkesztettem két oldalfelező merőlegest is. 10. ábra A háromszögbe írható kör A beírható kör megszerkesztése esetén a hagyományos szerkesztés lépéseit kellett végrehajtani. Megszerkesztettem a háromszög két szögfelezőjét, melyek metszéspontja a beírt kör középpontja. A középpontból egyik oldalra bocsátott merőleges kimetszi az oldalon a körvonal egy tetszőleges pontját. Ezeket, a szerkesztési lépéseket a már ismert módon végrehajtottam, majd végül a kört, a Kör középponttal és kerületi ponttal ikonjával megrajzoltam Egybevágósági traszformációk Tengelyes tükrözés A tengelyes tükrözést bemutató feladatot a T_tükrözés.ggb munkalap tartalmazza, a róla készült kép pedig a 10.ábrán látható. A t tengely valamint az ABC háromszög csúcsai a rajzlapon mozgathatók. Ezek függvényében kapjuk a háromszög tengelyes tükörképét
19 11. ábra Tengelyes tükrözés A feladat megoldása az ABC háromszög valamint a t tengely felvételével kezdődött. Ezt a síkgeometriánál megismert módon oldottam meg. A feladat lényegi része a tükrözés elvégzése volt. Mindegyik tükrözést egyszerűen a tükrözés[ ] paranccsal egyetlen lépésben is el tudunk végezni. Csak arra kell figyelni, hogy mit és mire (pontra vagy egyenesre) akarunk tükrözni. A tükrözés[z,t] parancs a Z sokszöget jelen esetünkben az ABC háromszöget tükrözi a t tengelyre. Tükrözhetjük az alakzatokat az eszközsor megfelelő ikonjaival is. A tengelyes tükrözésnél a Tengelyes tükrözés ikont használhatjuk. Az ikonok alkalmazása esetén is van lehetőségünk pontok és alakzatok kijelölésére és tükrözésére. Arra kell csak figyelni, hogy az ikon kiválasztása után először a tükrözendő alakzatot jelöljük ki, majd azt, amire tükrözni szeretnénk. A tükrözött alakzatokat a program automatikusan elnevezi, amiket a szokásos jelölések szerint átnevezhetünk. A munkalap bemutatása a matematika órákon nagyban megkönnyíti a munkánkat. Egyrészt nem kell táblán szerkesztő eszközökkel szerkesztenünk, és ezzel sok időt nyerünk. Másrészt még jó eszközökkel sem tudunk, ilyen pontos és szép szerkesztéseket végezni. Természetesen z itt leírt tulajdonságok a középpontos tükrözésre is igazak
20 Középpontos tükrözés A középpontos tükrözést bemutató feladatot a K_tükrözés.ggb munkalap tartalmazza, a róla készült kép pedig a 11.ábrán látható. Az O középpont valamint az ABC háromszög csúcsai a rajzlapon mozgathatók. Ezek függvényében kapjuk a háromszög középpontos tükörképét 12. ábra Középpontos tükrözés A feladat végrehajtása szinte teljesen megegyezett a tengelyes tükrözés lépéseivel csak itt nem egy tengelyt vettem fel, hanem egy O középpontot. A középpontos tükrözést a Centrális tükrözés eszközzel végeztem el, mely helyettesíthető a Tükrözés[P,O] paranccsal is Eltolás A tanulóknak az eltolás nem jelent nehézséget, vektorok miatt érdemes neki figyelmet szentelni. Az eltolást bemutató feladatot a Eltolás.ggb munkalap tartalmazza, a róla készült kép pedig a 12.ábrán látható. Változtatható a k vektor nagysága, állása és iránya, valamint mozgatható az ABC háromszög mindhárom csúcsa. Ezek függvényében kapjuk a háromszög k vektorral eltolt képét. A megoldásban újdonság a vektor felvétele volt. Vektort rajzolni többféleképpen tudunk. A vektor[k,v] paranccsal, ahol K a kezdőpont, V pedig a végpont, vagy az eszköztáron kiválasztjuk a Vektor ikonját és a rajzlapon, pedig kijelöljük a vektor kezdő és végpontját
21 13. ábra Eltolás A vektor megrajzolása és a háromszög felvétele után az eltolást kell elvégezni, mely történhet parancs és ikon segítségével is. Egyik lehetőség az Eltolás[P,k] parancs, ahol P esetünkben az ABC háromszöget, k pedig az eltolás vektorát jelenti. A másik lehetőség az eszközsor Eltolás ikonjával, ahol az ikon kiválasztása után az eltolni kívánt alakzatra, majd az eltolás vektorára kell kattintanunk. Ha csak egy pontot szeretnénk eltolni, az használhatjuk Vektor pontból ikonját is. A munkalap előnye, hogy a szemléltetésen túl az eltolás tulajdonságait bemutatja, de a vektorokkal kapcsolatos alapfogalmak bevezetésére is alkalmas Forgatás Az egybevágósági transzformációk közül a forgatás elsajátítása megy legnehezebben a tanulóknak. A megértésében nagy szerepet játszik hogy a gyerekek nem tudják elképzelni a forgatott alakzat, hogy is mozog a síkban. Reményeim szerint ez a munkalap ebben nyújt segítséget a tanulóknak. A forgatást bemutató feladatot a Forgatás.ggb munkalap tartalmazza, a róla készült kép pedig a 13.ábrán látható. A rajzlapon a forgatás szögét egy csúszkán szabályozhatjuk, és ennek függvényében változik az eredeti ABC háromszög O pont körüli elforgatott képe. Természetesen az O középpont és az ABC háromszög csúcsai is mozgathatok
22 14. ábra Forgatás A feladat megvalósítását egy új elem a Csúszka létrehozásával kezdtem. Csúszka úgy tudunk létrehozni, hogy az Eszközsoron kiválasztjuk a Csúszka ikonját, és a rajzlapon kattintva megjelenik egy beviteli ablak, amiben be kell állítani, hogy a Csúszka szög, vagy szám legyen. Továbbá meg tudjuk határozni a Csúszka intervallumát, beosztását, helyzetét és szélességét. A beállítások után megjelenik egy Csúszka a rajzlapon, melyet tetszőlegesen mozgathatunk a rajzlapon és a csúszka környezeti menüje segítségével át tudjunk nevezni és formázni. Összefoglalva az előbb leírtakat, a rajzlapon a forgatás szögét a Csúszka szabályozhatjuk, és ennek függvényében változik az eredeti ABC háromszög O pont körüli elforgatott képe. Az O középpont és az ABC háromszög csúcsai mozgathatók. A munkalapon a Csúszka létrehozása után az szög megrajzolásával folytattam. Magát a szöget - két segédpont felvétele után - forgatással hoztam létre, viszont a forgatás szögének nem konkrét értéket, hanem az paramétert adtam meg. Ezután megrajzoltam az ABC háromszöget és kijelöltem az O középpontot. Az Eszközsor Pont körüli forgatás adott szöggel ikon kiválasztása után elvégeztem az szögű forgatást. Itt először meg kell adni a forgatandó alakzatot, majd a forgatás középpontját kell kijelölni és ezután megadni a forgatás szögét és irányát. Ez helyettesíthető a Forgatás[S,,O] paranccsal is
23 A parancs az S alakzatot (ABC háromszöget) a megadott szöggel O pont körül egy lépésben elforgatja. A munkalapon az óramutató járásával ellentétes irányú forgatás mutatható be. Természetesen hasonlóan megvalósítható lenne a másik irányú forgatás is. Az szög változtatásával, jól szemléltethető a forgatás, hogy az A pont OA sugarú körvonalon mozog és az elfordulás szöge pontosan. Megfigyelhető még az is hogy az =180 -os forgatás a középpontos tükrözésnek felel meg. Összegezve, ez a feladat is segítheti a tanórákon az anyag megértését, ezért ajánlom tanároknak és tanulóknak egyaránt Középpontos hasonlóság A Kp_hasonlóság.ggb munkalap tartalmazza a középpontos hasonlósági transzformáció bemutatására és megoldására is alkalmas bemutatót, a róla készült képet pedig a 14.ábrán szemlélteti. 15. ábra Középpontos hasonlóság A munkalapon a középpontos hasonlóság k arányát Csúszkán, (-4;4) intervallumban, 0,1-es finomítással lehet szabályozni, továbbá a hasonlóság O középpontját és az ABC háromszög csúcsait a rajzlapon mozgathatjuk. Ezek függvényében kapjuk az aktuális háromszög k arányú A B C hasonlósági képét. A munkalap létrehozását a Csúszka, az ABC háromszög és az O pont felvételével kezdtem
24 Ezután eszközsor Nyújtás ikonját kiválasztottam, majd rákattintottam először az ABC a háromszögre, utána az O középpontra, és a megjelenő ablakban megadtam k paramétert. Megkaptam az épp aktuális k értéknek megfelelő középpontosan hasonló A B C háromszöget. Ezek a lépések helyettesíthetők a Nyújtás[P,k,O] paranccsal, melynél a P sokszög neve. A munkalap sgítségével könnyen be lehet mutatni az alakzatok egyező állású vagy fordított állású képét, a nagyítást és a kicsinyítést, továbbá könnyen belátható a k=1 esetén az egybevágóság, illetve a k= -1 esetén középpontos tükrözés. A táblai szerkesztés elég hosszadalmas, emiatt rengeteg időt takaríthatunk meg ezzel a munkalappal
25 6. Összefoglalás Egy tantárgy oktatása akkor lehet igazán eredményes, ha folyamatosan fenn tudjuk tartani a tanulók érdeklődését, figyelmét.. A számítógéppel segített oktatás mindenféleképpen rendelkezik ilyen figyelemfelkeltő, motiváló hatással. Ma már szinte minden tantárgyhoz létezik olyan program, amivel az adott tantárgy tanítását tehetjük szemléletesebbé és színesebbé. A matematika oktatásában is több segédprogram közül választhatunk, de ingyenes, könnyen kezelhető, hamar elsajátítható, és dinamikusan alakítható. Dolgozatomban azért dolgoztam fel a GeoGebra programot, mert meggyőződésem, hogy egy kis informatikai háttértudással, minden matematika tanár könnyedén elsajátíthatja az alkalmazását, ami szinte már alapkövetelmény mai kor pedagógusai számára. Én a GeoGebrát a síkgeometria területén használom a legtöbbet, mert az általános iskolai tananyagban szinte az összes ilyen típusú feladat feldolgozható. Ugyanakkor a függvények témakör nem annyira hangsúlyos, mint a középiskolában, ezért is mutattam be ezt az oldalát a programnak. Természetesen, aki megtanulja GeoGebra használatát, akár a dolgozatom alapján - könnyedén tud majd a függvények témaköréből is bemutató feladatokat készíteni. Amióta megismertem a programot, egyre többet használom a saját munkámban és gyakrabban szemléltetek a matematika órán. Mindenkinek ajánlom a programot, aki színesebbé, élvezetesebbé szeretné tenni a matematika óráit
26 Hivatkozott irodalomjegyzék Sulik Szabolcs (2006): GeoGebra 2.5 kézikönyv (utolsó hozzáférés dátuma: )
27 Ábrák jegyzéke 1. ábra Bejelentkező képernyő ábra Szakaszfelező merőleges ábra Tulajdonságok ablak ábra Szerkesztő protokoll ablak ábra Szerkesztő protokoll súgó ábra A szögfelező ábra Adott tuljdonságú pont(ok) szerkesztése ábra Általános háromszög ábra A háromszög köré írható kör ábra A háromszögbe írható kör ábra Tengelyes tükrözés ábra Középpontos tükrözés ábra Eltolás ábra Forgatás ábra Középpontos hasonlóság
Matematikai, informatikai, fizikai kompetenciák fejlesztése
ÚJBUDAI PETŐFI SÁNDOR ÁLTALÁNOS ISKOLA Matematikai, informatikai, fizikai kompetenciák fejlesztése Petőfi-MIF műhely Oktatási segédanyag Szerkesztők: Dr. Pereszlényiné Kocsis Éva, Almási Klára, Gáspár
RészletesebbenBevezető. Mi is az a GeoGebra? Tények
Bevezető Mi is az a GeoGebra? dinamikus matematikai szoftver könnyen használható csomagolásban az oktatás minden szintjén alkalmazható tanításhoz és tanuláshoz egyaránt egyesíti az interaktív geometriát,
RészletesebbenEgy feladat megoldása Geogebra segítségével
Egy feladat megoldása Geogebra segítségével A következőkben a Geogebra dinamikus geometriai szerkesztőprogram egy felhasználási lehetőségéről lesz szó, mindez bemutatva egy feladat megoldása során. A Geogebra
RészletesebbenInteraktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-
Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges
RészletesebbenA dinamikus geometriai rendszerek használatának egy lehetséges területe
Fejezetek a matematika tanításából A dinamikus geometriai rendszerek használatának egy lehetséges területe Készítette: Harsányi Sándor V. matematika-informatika szakos hallgató Porcsalma, 2004. december
Részletesebbenprogram használata a középiskolai matematika oktatásban
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatika Kar Média- és Oktatásinformatika Tanszék A program használata a középiskolai matematika oktatásban Készítette: Horváthné Oroján Gabriella levelező informatika-tanár
RészletesebbenEgybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.
Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely
RészletesebbenMechatronika segédlet 3. gyakorlat
Mechatronika segédlet 3. gyakorlat 2017. február 20. Tartalom Vadai Gergely, Faragó Dénes Feladatleírás... 2 Fogaskerék... 2 Nézetváltás 3D modellezéshez... 2 Könnyítés megvalósítása... 2 A fogaskerék
RészletesebbenEgybevágósági transzformációk
Egybevágósági transzformációk Párhuzamos eltolás Geometriai transzformációk Egybevágósági transzformációk (9. osztály) Helybenhagyás Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli forgatás Párhuzamos
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
Részletesebben2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
Részletesebben3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság
RészletesebbenKözéppontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenHáromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
RészletesebbenA Vonallánc készlet parancsai lehetővé teszik vonalláncok és sokszögek rajzolását.
11. Geometriai elemek 883 11.3. Vonallánc A Vonallánc készlet parancsai lehetővé teszik vonalláncok és sokszögek rajzolását. A vonallánc egy olyan alapelem, amely szakaszok láncolatából áll. A sokszög
RészletesebbenFeuerbach kör tanítása dinamikus programok segítségével
Feuerbach kör tanítása dinamikus programok segítségével Buzogány Ágota IV. Matematika-Angol Fejezetek a matematika tanításából Kovács Zoltán 2004-12-10 2 A Feuerbach körnek többféle elnevezése is van,
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
RészletesebbenPOSZEIDON dokumentáció (1.2)
POSZEIDON dokumentáció (1.2) Bevezetés a Poszeidon rendszer használatába I. TELEPÍTÉS Poszeidon alkalmazás letölthető: www.sze.hu/poszeidon/poszeidon.exe Lépések: FUTTATÁS / (FUTTATÁS) / TOVÁBB / TOVÁBB
RészletesebbenAblak és ablakműveletek
Ablak és ablakműveletek 1. Jelölje meg az igaz állításokat! A. A képen egy ablakot lehet látni. B. A Windows operációs rendszerben a mappák és programok ablakokban nyílnak meg. C. Egyszerre csak egy ablakot
RészletesebbenFontos a pontosság. Miklós Ildikó Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Fontos a pontosság Miklós Ildikó Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok miklosildiko@komal.hu Amikor egy geometriai feladathoz megpróbálunk ábrát rajzolni, elıfordulhat, hogy nehézségekbe ütközünk:
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenEgybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
RészletesebbenDiagram formázása. A diagram címének, a tengelyek feliratainak, jelmagyarázatának, adatfeliratainak formázása
A diagram címének, a tengelyek feliratainak, jelmagyarázatának, adatfeliratainak formázása Ha ezen elemeknek a betűtípusát, betűstílusát, betűméretét, betűszínét és az elem hátterét akarjuk formázni, akkor
RészletesebbenVI.1. NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN. A feladatsor jellemzői
VI.1. NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai: szögfelező, oldalfelező merőleges, magasság, beírt kör és középpontja, körülírt kör
Részletesebben1.1.1 Dátum és idő függvények
1.1.1 Dátum és idő függvények Azt már tudjuk, hogy két dátum különbsége az eltelt napok számát adja meg, köszönhetően a dátum tárolási módjának az Excel-ben. Azt is tudjuk a korábbiakból, hogy a MA() függvény
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenSzeged Megyei Jogú Város Integrált e-önkormányzati Rendszerének Térinformatikai Modul felhasználói kézikönyve. Internetes verzió
Szeged Megyei Jogú Város Integrált e-önkormányzati Rendszerének Térinformatikai Modul felhasználói kézikönyve Internetes verzió 2012. 04. 05. Tartalomjegyzék 1. Bevezetés... 3 2. Az alkalmazás felépítése...
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
RészletesebbenÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.
RészletesebbenRegresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program
Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z
RészletesebbenKövetelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,
RészletesebbenDiagram készítése. Diagramok formázása
Diagram készítése Diagramok segítségével a táblázatban tárolt adatainkat különféle módon ábrázolhatjuk. 1. A diagram készítésének első lépése az adatok kijelölése a táblázatban, melyekhez diagramot szeretnénk
RészletesebbenFELHASZNÁLÓI ÚTMUTATÓ
FELHASZNÁLÓI ÚTMUTATÓ VÉRADÁS IDŐPONT SZERKESZTŐ (verzió: 1.2) 2013. április 1. Tartalomjegyzék 1. Telepítés és indítás... 3 2. Frissítés... 3 3. Beállítás... 4 4. Felület... 4 5. Véradó helyszínek...
RészletesebbenA program a köröket és köríveket az óramutató járásával ellentétes irányban rajzolja meg.
894 11.4. Kör és körív 11.4. Kör és körív A program a köröket és köríveket az óramutató járásával ellentétes irányban rajzolja meg. 11.4.1. Kör/Körív tulajdonságai A kör vagy körív létrehozása előtt állítsa
RészletesebbenQGIS tanfolyam (ver.2.0)
QGIS tanfolyam (ver.2.0) I. Rétegkezelés, stílusbeállítás 2014. január-február Összeállította: Bércesné Mocskonyi Zsófia Duna-Ipoly Nemzeti Park Igazgatóság A QGIS a legnépszerűbb nyílt forráskódú asztali
RészletesebbenVARIO Face 2.0 Felhasználói kézikönyv
VARIO Face 2.0 Felhasználói kézikönyv A kézikönyv használata Mielőtt elindítaná és használná a szoftvert kérjük olvassa el figyelmesen a felhasználói kézikönyvet! A dokumentum nem sokszorosítható illetve
RészletesebbenA Canvas LMS új és régi felülete közti különbségek
A Canvas LMS új és régi felülete közti különbségek Ezen dokumentumban a Canvas LMS régi, illetve az új, modernebb felhasználói felületének eltéréseire térünk ki, segítséget adva azon felhasználóknak, akik
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember
MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra
RészletesebbenA LOGO MOTION TANÍTÁSA
A LOGO MOTION TANÍTÁSA ÍRTA: SZABÓ JÁNOS TANÍTÓ 2010, KECEL LOGO MOTION TANÍTÁSA KÉSZÍTETTE: SZABÓ JÁNOS TANÍTÓ 2010. 1 1. FOGLALKOZÁS Kattintsunk a Logo motion ikonjára. A Színes teki. Ez a program ablaka.
Részletesebben16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek
16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési
RészletesebbenProgramozási nyelvek 2. előadás
Programozási nyelvek 2. előadás Logo forgatás tétel Forgatás tétel Ha az ismétlendő rész T fok fordulatot végez és a kezdőhelyére visszatér, akkor az ismétlések által rajzolt ábrák egymás T fokkal elforgatottjai
RészletesebbenLáthatósági kérdések
Láthatósági kérdések Láthatósági algoritmusok Adott térbeli objektum és adott nézőpont esetén el kell döntenünk, hogy mi látható az adott alakzatból a nézőpontból, vagy irányából nézve. Az algoritmusok
RészletesebbenDiagramok/grafikonok használata a 2003-as verzióban
Diagramok/grafikonok használata Diagram beillesztése A prezentációnkban, előadásunkban gyakran használunk számokat, kimutatásokat, ezeknek a nyers felsorolása helyett érdemes használni diagramokat, grafikonokat.
RészletesebbenDinamikus geometriai programok
2010. szeptember 18. Ebben a vázlatban arról írok, hogyan válhatnak a dinamikus geometriai programok a matematika tanítás hatékony segítőivé. Reform mozgalmak a formális matematika megalapozását az életkjori
RészletesebbenKövetelmény a 8. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 8. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete, eszköz jellegű
Részletesebben* Az eszköztáron látható menüpontok közül csak a felsoroltak esetén használható a Ctrl.
Általános fogómód használata Az általános fogómód egy olyan objektum érzékeny kurzor, amely az alább felsorolt szerkesztı mőveleteknél felismeri azt, hogy milyen grafilus elem felett áll, és annak megfelelıen
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenASC TIMETABLE- ÓRARENDK ÉSZÍTŐ
ASC TIMETABLE- ÓRARENDK ÉSZÍTŐ Az Asc Timetable program segítségével könnyen, gyorsan elkészíthetjük az iskolai órarendeket. Ugyanilyen gyorsan és rugalmasan alakítható,változtatható órarendünk. A továbbiakban
RészletesebbenKövetelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Elemek halmazba rendezése több szempont alapján. Halmazok ábrázolása. A nyelv logikai elemeinek helyes használata.
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA
MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú
RészletesebbenA Paint program használata
A Paint program használata A Windows rendszerbe épített Paint program segítségével képeket rajzolhat, színezhet és szerkeszthet. A Paint használható digitális rajztáblaként. Egyszerű képek és kreatív projektek
RészletesebbenPrezentáció, Prezentáció elkészítése. Nézetek
Microsoft Power Point 2003 program esetén Különböző nézetek közül választhatunk, melyeket többféleképpen érhetünk el: kattinthatunk a Nézet menüre, és onnan választjuk ki a használni kívánt nézetet; a
Részletesebben2016/2017. Matematika 9.Kny
2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal
RészletesebbenAlapvető beállítások elvégzése Normál nézet
Alapvető beállítások elvégzése Normál nézet A Normál nézet egy egyszerűsített oldalképet mutat. Ez a nézet a legalkalmasabb a szöveg beírására, szerkesztésére és az egyszerűbb formázásokra. Ebben a nézetben
RészletesebbenOsztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
Részletesebben1.Háromszög szerkesztése három oldalból
1 Szerkessz háromszöget, ha három oldala: a=3 cm b=4 cm c=5 cm 1.Háromszög szerkesztése három oldalból (Ugye tudod, hogy az a oldallal szemben A csúcs, b oldallal szemben B stb. van!) (homorú, hegyes,
RészletesebbenDinamikus geometriai programok
2011. február 19. Eszköz és médium (fotó: http://sliderulemuseum.com) ugyanez egyben: Enter Reform mozgalmak a formális matematika megalapozását az életkjori sajátosságoknak megfelelő tárgyi tevékenységnek
RészletesebbenLakóház tervezés ADT 3.3-al. Segédlet
Lakóház tervezés ADT 3.3-al Segédlet A lakóház tervezési gyakorlathoz főleg a Tervezés és a Dokumentáció menüket fogjuk használni az AutoDesk Architectural Desktop programból. A program centiméterben dolgozik!!!
RészletesebbenServiceTray program Leírás
ServiceTray program Leírás Budapest 2015 Bevezetés szerviz munkalapok státuszai a Törölve és Lezárva státuszt leszámítva a munkalap különböző nyitott állapotát jelzik, melyek valamilyen tevékenységet jeleznek.
RészletesebbenA CAPICOM ActiveX komponens telepítésének és használatának leírása Windows 7 operációs rendszer és Internet Explorer 9 verziójú böngésző esetén
A CAPICOM ActiveX komponens telepítésének és használatának leírása Windows 7 operációs rendszer és Internet Explorer 9 verziójú böngésző esetén Tartalomjegyzék 1. Az Internet Explorer 9 megfelelősségének
Részletesebben2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat
1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer
Részletesebben11.5. Ellipszis és ellipszisív
11. Geometriai elemek 907 11.5. Ellipszis és ellipszisív Egy ellipszist geometriailag a fókuszpontjaival, valamint a nagy- és kistengelyei hosszának és irányának megadásával, egy ellipszisívet pedig ugyanezekkel
RészletesebbenFelhasználói kézikönyv - Android kliens
Felhasználói kézikönyv - Android kliens Tartalom Telepítés Indítás Fő képernyők Térkép Rétegválasztó ablak Kilépés Keresés Lista Részletek Telepítés Az Élő Berek Android alkalmazás letölthető a www.e-berek.hu
RészletesebbenTantárgyfelosztás. I. Ellenőrzés. Mielőtt hozzákezd a tantárgyfelosztás tervezéséhez, ellenőrizze le, illetve állítsa be a következőket:
Tantárgyfelosztás I. Ellenőrzés Mielőtt hozzákezd a tantárgyfelosztás tervezéséhez, ellenőrizze le, illetve állítsa be a következőket: Alkalmazott képes menü > alkalmazottak alapadatai - Alkalmazottak
RészletesebbenMesh generálás. IványiPéter
Mesh generálás IványiPéter drview Grafikus program MDF file-ok szerkesztéséhez. A mesh generáló program bemenetét itt szerkesztjük meg. http://www.hexahedron.hu/personal/peteri/sx/index.html Pont létrehozásához
Részletesebben2016/2017. Matematika 9.Kny
2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 5. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal
RészletesebbenAdatintegritás ellenőrzés Felhasználói dokumentáció verzió 2.0 Budapest, 2008.
Adatintegritás ellenőrzés Felhasználói dokumentáció verzió 2.0 Budapest, 2008. Változáskezelés Verzió Dátum Változás Pont Cím Oldal Kiadás: 2008.10.30. Verzió: 2.0. Oldalszám: 2 / 11 Tartalomjegyzék 1.
RészletesebbenMatematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)
Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.
RészletesebbenMechatronika segédlet 1. gyakorlat
Mechatronika segédlet 1. gyakorlat 2017. február 6. Tartalom Vadai Gergely, Faragó Dénes Indítás, kezelőfelület... 2 Négyzet... 4 Négyzet rajzolásának lépései abszolút koordinátákkal... 4 Kocka, 3D eszközök...
RészletesebbenDinamikus geometriai rendszerek jellemzõi
Dinamikus módszerek alkalmazása a geometriaoktatás különbözõ területein Árki Tamás SzTE JGYTFK Matematikai Tanszék Ebben a cikkben a dinamikus geometriai rendszerek tipikus szolgáltatásainak módszertani
RészletesebbenIsmételjük a geometriát egy feladaton keresztül!
Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.
RészletesebbenFelhasználói Kézikönyv
Felhasználói Kézikönyv A ForteMap használatához 1 T a r talomjegyzék 1. AZ ALKALMAZÁS ELINDÍTÁSA... 3 1.1. A KEZELŐFELÜLET ISMERTETÉSE... 3 1.2. NAVIGÁLÁS A TÉRKÉPEN... 3 1.2.1. Térkép nagyítása... 4 1.2.2.
RészletesebbenSZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM
SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM A vizsga szerkezete: A vizsga írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. 1.) Írásbeli vizsga Időtartama: 45 perc Elérhető pontszám: 65 pont Feladattípusok:
RészletesebbenAkciók, diavetítés. 1. ábra Akciógombok. A lap két regiszterfülből áll, ezek a Kattintásra és az Áthaladáskor. Nézzük meg először az elsőt!
Akciók Az akciógombok alkalmazásával beállíthatjuk, hogy az objektumra kattintva végrehajtsa a hozzárendelt hiperhivatkozást. Jól láttuk, hogy az objektumokhoz, diákhoz rendelhettünk akciókat, de az akciógombokkal
RészletesebbenDebitTray program Leírás
DebitTray program Leírás Budapest 2015 Bevezetés Egy-egy kintlévőséghez tartozó határidő elmulasztásának komoly következménye lehet. Éppen ezért a Kintlévőség kezelő program főmenü ablakában a program
RészletesebbenAutoCAD 2000H rajzszerkesztés
Jakubek Lajos AutoCAD 2000H rajzszerkesztés Gyakorlati útmutató, mintapéldák 1. Előszó A számítógéppel segített rajzolás és tervezés egyik leghatékonyabb rendszere az AutoCAD. A CAD felhasználók kb. 70
RészletesebbenOsztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika 1. félév 1. Gondolkozz és számolj! A természetes szám fogalma, műveleti tulajdonságok Helyiértékek rendszere a tízes számrendszerben: alakiérték, tényleges
RészletesebbenSzöveges értékelés. Magiszter.NET. Elérhetőségeink: Tel: 62/550-748; 550-749 Fax: 62/550-919 E-mail: magiszternet@infotec.hu Honlap: www.infotec.
Magiszter.NET Szöveges értékelés Elérhetőségeink: Tel: 62/550-748; 550-749 Fax: 62/550-919 E-mail: magiszternet@infotec.hu Honlap: www.infotec.hu Ügyfélszolgálat: H-P 8:00-16:00 A Magiszter.Net rendszerben
RészletesebbenKézikönyv. Szelekciós jegyzék létrehozása
Kézikönyv Szelekciós jegyzék létrehozása Tartalomjegyzék 1 OBJEKTUM KIVÁLASZTÁS - VEVŐ MEGJELENÍTÉS... 4 2 VEVŐ - ÜRES... 6 3 ABAS-ERP MASZKINFÓ... 8 4 VEVŐ - ÜRES... 9 5 ABAS-ERP MASZKINFÓ... 11 6 VEVŐ
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
RészletesebbenPrezentáció, Diagramok, rajzolt objektumok. Szervezeti diagram
A szervezeti diagram fogalma A szervezet egy többé-kevésbé állandó tagsággal rendelkező, emberekből álló csoport, melynek van egy vezető rétege. (forrás: Dr. Sediviné Balassa Ildikó: Szervezési Ismeretek
RészletesebbenDiagram létrehozása. 1. ábra Minta a diagramkészítéshez
Bevezetés Ebben a témakörben megtanuljuk, hogyan hozzunk létre diagramokat, valamint elsajátítjuk a diagramok formázásnak, módosításának lehetőségeit. A munkalap adatainak grafikus ábrázolási formáját
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenFELHASZNÁLÓI KÉZIKÖNYV XMAP (EXTENDED MAP) KEZELÉSI ÚTMUTATÓ (TATABÁNYA VÁROS KÖZLEKEDÉSE)
FELHASZNÁLÓI KÉZIKÖNYV XMAP (EXTENDED MAP) KEZELÉSI ÚTMUTATÓ (TATABÁNYA VÁROS KÖZLEKEDÉSE) 1. Bevezető Az XMap egy korszerű, internetes, böngésző alapú, térképes utastájékoztató szoftver. Jelenleg Tatabánya
RészletesebbenMatematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény
RészletesebbenMatematika pótvizsga témakörök 9. V
Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális
RészletesebbenA hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje
A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a
RészletesebbenAromo Szöveges értékelés normál tantárggyal
Aromo Szöveges értékelés normál tantárggyal Aromo Iskolaadminisztrációs Szoftver Felhasználói kézikönyv -- Szöveges értékelés 1 Tartalomjegyzék Aromo Szöveges értékelés normál tantárggyal 1 Bevezetés 3
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
RészletesebbenMicrosoft Office PowerPoint 2007 fájlműveletei
Microsoft Office PowerPoint 2007 fájlműveletei Program megnyitása Indítsuk el valamelyik tanult módszerrel a 2007-es verziót. Figyeljük meg, hogy most más felületet kapunk, mint az eddigi megszokott Office
RészletesebbenA matematikai feladatok és megoldások konvenciói
A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott
RészletesebbenSzámítási feladatok a Számítógépi geometria órához
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát
RészletesebbenLehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
RészletesebbenTartalom Képernyő részei... 2
Tartalom Képernyő részei... 2 Sötétszürke menü részei... 2 1. Menü kibontása... 2 2. Eszközök... 3 3. Műveletek... 3 Világosszürke menü részei... 4 Kijelölés... 4 Okos kijelölés... 5 Körülvágás... 6 Vegyes
Részletesebben