13. tétel: Derékszögő háromszög

Átírás

1 . tétel: Derékszögő hármszög Derékszögő hármszög: Olyn hármszög, melynek egyik szöge derékszög ( 90 ). A másik két szög egymás pótszöge, összegük α +β=90. A derékszöget ezáró ldlk efgók, derékszöggel szemen fekvı ldl z átfgó (ez szükségképpen legngy ldl hármszögnek). A derékszögő hármszög egyik efgójáhz trtzó mgsság másik efgó, így mgsságpntj derékszögő sús. A derékszögő hármszög ldlfelezı merılegesei z átfgó felezıpntján metszik egymást, ez körülírhtó kör középpntj (Thlész-tétel). A derékszögő hármszög eírt körének sugrár: A eírt kör érintési pntjit jelöljük T, R, Q-vl. ROQC négyszög négyzet (mivel minden szöge derékszög, és két szmszéds ldl egyenlı is). Így QB = r és AR = r. A körhöz külsı pntól húztt érintıszkszk egyenlı hsszúk: BQ = BT = r és AR = AT = r Tehát z átfgó = r + r + r= + Pitgrsz-tétel: Egy derékszögő hármszög két efgójánk négyzetösszege z átfgó négyzete. Azz: γ= 90 + =. Biznyítás: A tétel iznyításán felhsználjuk zt z euklideszi xiómát, hgy H egyenlı területekıl egyenlı területeket veszünk el, kkr mrdék területek is egyenlık. Készítsünk két dr ( + ) ldlú négyzetet z lái módn: hl és derékszögő hármszög efgói.

2 A ( + ) ldlú négyzetek területe nyilvánvlón egyenlı (. xióm, területszámítás). A lldli négyzeten kptunk 4 dr, z eredeti hármszöggel egyevágó derékszögő hármszöget (hiszen efgói és derékszög megegyezik), és egy illetve ldlú négyzetet. Ezek területe és területegység. A j ldli négyzeten is megtlálhtó ez 4 dr, z eredeti hármszöggel egyevágó derékszögő hármszög (hiszen efgói és derékszög mind 4 hármszögen megegyezik), ezeknek átfgój Így tehát középsı PQRS síkidm minden ldl. Az eredeti hármszögen α+β= 90, ezért PQRS síkidmnk minden szöge 80 ( α + β ) = 90. Tehát PQRS síkidm egy ldlú négyzet, területe pedig. H mindkét négyzetıl elvesszük 4 dr derékszögő hármszöget, mrdékk területe is egyenlı, zz: + = Pitgrsz-tétel megfrdítás: H egy hármszögen két ldl négyzetének összege egyenlı hrmdik ldl négyzetével, kkr hrmdik ldlll szemen derékszög vn. Azz: + = γ= 90. Biznyítás: Vegyünk fel egy A B C hármszöget, mely és efgójú és derékszögő. Ennek átfgóját jelöljük -vel. + = Erre hármszögre teljesül Pitgrsz-tétel, tehát: ( ) Visznt: + =, így = ( ) = Ez visznt zt jelenti, hgy két hármszög egyevágó, mivel minden ldl megegyezik, tehát z eredeti ABC hármszög is derékszögő. Thlész-tétel: H egy kör egyik átmérıjének két végpntját összekötjük kör ármely más pntjávl, kkr derékszögő hármszöget kpunk, hl derékszög z átmérıvel szemen vn. Biznyítás: Kössük össze kör AB átmérıjének két végpntját körvnl egy tetszıleges C pntjávl. Ekkr z OC szksz két hármszögre ntj ABC -et. Mivel OA = OB = OC kör sugr, ezért AOC és COB egyenlı szárúk. Így: CAOp = ACOp= α és CBOp = BCOp = β. Mivel ABC hármszög elsı szögeinek összege: α + β= 80, így α +β=90 mi épp ACBp.

3 Thlész-tétel megfrdítás: H egy AB szksz egy C pntól derékszög ltt látszik, kkr C pnt rjt vn z AB átmérıjő körön. Ez másnéven AB szksz Thlész-köre. Vgyis derékszögő hármszög köréírhtó körének középpntj z átfgójánk felezıpntj. Biznyítás: Indirekt: tfh, hgy ACBp átmérıjő köríven. = 90, de C sús nins rjt z AB. eset: C köríven elül helyezkedik el. Hsszítsuk meg z AC vgy BC egyenesét, hgy messe körívet M pntn. A Thlesz-tétel mitt AMB p = 90. ACB p = δ külsı szöge MCB -nek, így ACB p = δ>90. Ez ellentmndás.. eset: C köríven kívül helyezkedik el. AC vgy BC egyenese közül vlmelyik metszi körívet M pntn. A Thlesz-tétel mitt AMB p = 90. ACB p = δ elsı szöge MCB -nek, AMBp pedig külsı, így ACB p = δ<90. Ez ellentmndás. Összefgllv: Egy dtt pntól kkr és sk kkr látszódik 90 ltt egy dtt AB szksz, h z dtt pnt rjt vn z AB-re mint átmérıre emelt köríven (A és B pntk kivételével). Azz zn pntk hlmz síkn, melyekıl egy dtt szksz derékszög ltt látszik, z dtt szkszr, mint átmérıre emelet körív szksz végpntjink kivételével ( 90 - s látószögkörív). Mgsságtétel: Egy derékszögő hármszögen z átfgóhz trtzó mgsság efgók átfgór esı merıleges vetületeinek mértni közepe. Azz: CT= AT TB, tehát m= q Biznyítás: ACTp = CBTp = β és BCTp = CATp=α, mivel párnként merıleges szárú szögek. Így tehát ATC ~ CTA, mivel minden szögük párnként megegyezik. A megfelelı ldlk rányát felírv két hármszögen: m q = miıl dódik: m= q p m

4 Befgótétel: Egy derékszögő hármszög efgój z átfgó és efgó átfgór esı merıleges vetületének mértni közepe. Azz: CA= AT AB, tehát = Biznyítás: ACTp = CBTp = β mivel merıleges szárú szögek Így tehát ATC ~ ACB, mivel minden szögük párnként megegyezik. A megfelelı ldlk rányát felírv két hármszögen: = miıl dódik: = p Hegyesszögek szögfüggvényei: Egy hegyesszög szinusz egy derékszögő hármszögen szöggel szemközti efgó és z átfgó hányds. sin α = Egy hegyesszög kszinusz egy derékszögő hármszögen szög melletti efgó és z átfgó hányds. Azz z ár jelöléseit hsználv: s α = Egy hegyesszög tngense egy derékszögő hármszögen szöggel szemközti és szög melletti efgó hányds. Azz z ár jelöléseit hsználv: tg α = Egy hegyesszög ktngense egy derékszögő hármszögen szög melletti efgó és szöggel szemközti efgó hányds. Az ár jelöléseit hsználv: tg α = A definíió nem függ hármszög válsztásától, mert z ilyen hármszögek hsnlók (két szög megegyezik), z ldlk rány állndó. Szögfüggvények tuljdnsági: (hegyesszögek esetén). 0 < sinα<. 0 < sα<. 0 < tgα 4. 0 < tgα sinα 5. = sα = = = tgα 6. tg α= = sα tgα sinα 7. Visszkeresés: sin α = 0,6 számlógép: α = sin 0, 6 vgy α = rsin0, 6 8. Négyzetes összefüggés: mellékmegjegyzés: sin( α sin + Pitgrsz tétel α+ s α= + = = = ) (sinα)

5 9. Pótszöges összefüggés: α+β= 90 β= 90 α sin β= sin(90 α) = = sα tg β= tg(90 α) = = tgα= tgα 0. Nevezetes szögek szögfüggvényei: sin s tg tg Alklmzásk: Mtemtik: szálys hármszög mgsságánk és ldlánk rány egyenlı szárú derékszögő hármszög átfgójánk és efgójánk rány tégltest testátlójánk meghtárzás: l + t = + + gemetrii számításk térgemetrii számításk területszámítás külsı pntól körhöz húztt érintı szerkesztése (Thlész-kör) és hssz két szksz mértni közepének szerkesztése (Thlész-kör) egyiptmi derékszög szerkesztés, 4 és 5 pitgrszi számhármssl és smóztt kötéllel hegyesszög szögfüggvényeinek definíiój =, Egyé: vektrk felntás kmpnensekre (erık összegzése) építészet földmérés, térképészet (távlság és szögmeghtárzás) szegélylé, derékszög tálvnlzó lejtı, emelı, ék